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ESCUELA SECUNDARIA
TÉCNICA NO.118


Alumno: Guillermo Mejorada
Bojorges
Profesor: Luis Miguel Villarreal
Materia: Matemáticas
Titulo: Numero Áureo – Fibonacci
Grado y grupo: 3°A
Fecha de entrega: 25/10/12
INDICE

ÍNDICE…………………………………………………………………………..1

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………….2

NÚMERO ÁUREO O POPRORCIÓN ÁUREA…………………….3

SERIE DE FIBONACCI…………………………………………………….4

RELACIÓN QUE GUARDAN ENTRE ELLOS, CON LA

NATURALEZA Y OTRAS APLICACIONES…………………………6

CONCLUSIÓN……………………………………………………………….7

ACTIVIDAD…………………………………………………………………..8

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………..9




              INTRODUCCIÓN
En la materia de Matemáticas la sucesión de Fibonacci. En este trabajo
veremos la siguiente sucesión infinita de números naturales, en que la
sucesión inicia con cero, y se inicia a partir de ahí, cada elemento es la suma
del anterior. Analizaremos que cada elemento de esta sucesión se le llama
número de Fibonacci y que tiene descrita por Leonardo de Pisa, quién fue un
matemático italiano que vivió en el siglo XIII, quién también se le conoció con
el nombre de Fibonacci, por ello el nombre. Esta utilización como veremos
tiene un gran número de utilizaciones en muchas áreas y que esta
relacionada con el número áureo.

Así mismo analizaremos lo que es el número áureo o de oro, es un número
algebraico irracional que posee muchas propiedades interesantes y sus
descubrimientos. El cual fue descubierta en la antigüedad no como unidad,
sino como relación o proporción entre segmentos de recta. Como veremos la
proporción se encuentra tanto en las figuras geométricas como en la
naturaleza.




“Numero Áureo o Proporción Aurea”
El número áureo o de oro representado por la letra griega φ (fi) (en
minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un
número irracional: 2
El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las
siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a
como a es al segmento más corto b.
También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),3 por ser la primera letra
de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado
con la letra Fi (Φ,φ) es más común.
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico)
que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la
antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre
segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras
geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos
geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor
de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles,
etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas
guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una
importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el
diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes.


El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí
dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:




   El segmento menor es b. El cociente      es el valor del número áureo: φ.
   Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento
   en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor,
   obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre
   la del menor.

“SERIE DE FIBONACCI”
Una de las series más famosas es la serie de Fibonacci:
Un poco de observación es suficiente para encontrar que cualquier número
(a partir del tercero de la serie, ósea el segundo 1) es igual a la suma de los
dos números anteriores.

Daremos en primer lugar la versión iterativa. En este algoritmo deseamos
encontrar el -étimo número de la serie Fibonacci. Así si      el resultado
del algoritmo debe ser ; si           el resultado debe ser . La versión
iterativa empieza desde los primeros 1's, sumándolos y encontrando el
tercero, luego para encontrar el cuarto número se suman el tercero (recién
encontrado) y el segundo, y así en adelante hasta encontrar el número
buscado.

Leonardo de Pisa, También conocido Como Fibonacci, Fue un matemático
italiano que se hizo famoso al difundir en Europa el sistema de numeración
que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un digito de valor
nulo (el cero) que usamos en la actualidad, Leonardo también ideó una
sucesión de números que lleva su nombre “Sucesión de Fibonacci” Se trata
de una sucesión muy simple, en la que cada término es la suma de los dos
anteriores. La sucesión empieza por el número 1 y se continúa con
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89…..

Los números de Fibonacci, poseen varias propiedades interesantes. Quizás
una de las más curiosas, es que el cociente de dos números consecutivos de
la serie se aproxima a la denominación “razón dorada”, sección áurea o
divina proporción.

Este número descubierto por los renacentistas, tiene un valor de:

(1+raíz de 5) /2=1.61803…….. Y se le nombra con la letra griega Phi.



La sucesión formada por los cocientes (resultados de la división) de números
de Fibonacci Consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo

Los griegos y los renacentistas estaban fascinados con este número, ya que lo
consideraban el ideal de la belleza.
Un objeto que tuviese una proporción que se ajusta a la sección áurea era
estrictamente agradable que uno que no lo hiciese.

¿Cómo es posible que el cociente de dos números de una secuencia
inventada por el hombre se relacione con la belleza. La relación es simple: la
sucesión de Fibonacci esta estrechamente emparentada con la naturaleza.?

Algunos aseguran que Leobardo encontró estos números cuando estudiaba
el crecimiento de las poblaciones de conejos y es muy posible que así sea.

Imaginemos una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, y a
partir de este momento cada vez engendra otra pareja de conejos, que a su
vez (tras llegar a la edad de la fertilización) engendrarán cada mes una pareja
de conejos.

¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses? Cada
mes habrá un número de conejos que coincidan con cada uno de los
términos de la sucesión de Fibonacci.

Las ramas y las hojas de las plantas son más o menos eficientes para atrapar
el máximo de luz solar posible de acuerdo a la forma en que se distribuyen
alrededor del tallo.

Si miráramos un poco en un jardín, veríamos que no hay plantas en que las
hojas se encuentren una justo a la vertical de la otra. En general, las hojas,
nacen siguiendo una espiral alrededor del tallo.

Veremos que la mayoría de las plantas este número pertenece a la sucesión
de Fibonacci.




Relación de este número con                                                la
naturaleza y otras aplicaciones.
El número áureo también esta relacionado con la serie de Fibonacci. Si
llamamos Fn al enésimo número Fibonacci y Fn+1, podemos ver que a
medida que n se hace más grande, la razón entre Fn+1 Y Fn oscila, siendo
alternativamente menor y mayor que la razón áurea, esto lo relaciona de una
forma muy especial con la naturaleza, ya como hemos visto antes, la serie
Fibonacci aparece continuamente en la estructura de los seres vivos, a la
naturaleza, así como también en el espiral de las galaxias, también se
acomodan según los números de Fibonacci. Sin duda, es sorprendente la
relación que existe entre las matemáticas y la naturaleza, pero no se trata en
absoluto de una casualidad.




CONCLUSIÓN
La sucesión Fibonacci, nos puede servir o la podemos utilizar en muchos
aspectos de nuestra vida, para poder determinar mediante estos números
cantidades exactas. Por lo tanto nos puede servir en nuestra vida diaria, así
como también el número áureo, nos ayuda a ver aspectos importantes en la
naturaleza, de elementos geométricos exactos, como podemos ver las hojas
de algunos árboles, el grosor de algunas ramas, el caparazón de un caracol,
las partes de una rosa, la armonía o figuras geométricas exactas, de una
margarita, que representan un carácter estético en los objetos cuyas medidas
guardan la proporción áurea.




                           ACTIVIDAD

   A. Subraye la respuesta correcta.
1. ¿Cómo se representa el número áureo?
   a) O           b) E            C)I
2. ¿Qué es un número áureo?
   a) A+B+C       B) a+b= a       c) p+q-r
                        a b
3. El número áureo, es un número algebraico…
   a) Racional      b) compuesto c) Irracional



4. ¿Dónde se encuentran la proporción áureo?
   a) Figuras geométricas     b) En un libro c) en un diccionario
      Como la naturaleza



5. Con que otro nombre se le conoce a Fibonacci
   a) Leonardo da Vinci       b) Euclides       c) Leonardo de Pisa



6. En dónde se ha atribuido su inclusión la proporción áurea.
   a) En el diseño de diversas obras b) En mi casa c) En las actividades
      Arquitectónicas y otras artes




      BIBLIOGRAFIA

      http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo
http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci
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Número aureo.3.12 (9) MEJORADA

  • 1. ESCUELA SECUNDARIA TÉCNICA NO.118 Alumno: Guillermo Mejorada Bojorges Profesor: Luis Miguel Villarreal Materia: Matemáticas Titulo: Numero Áureo – Fibonacci Grado y grupo: 3°A Fecha de entrega: 25/10/12
  • 2. INDICE ÍNDICE…………………………………………………………………………..1 INTRODUCCIÓN…………………………………………………………….2 NÚMERO ÁUREO O POPRORCIÓN ÁUREA…………………….3 SERIE DE FIBONACCI…………………………………………………….4 RELACIÓN QUE GUARDAN ENTRE ELLOS, CON LA NATURALEZA Y OTRAS APLICACIONES…………………………6 CONCLUSIÓN……………………………………………………………….7 ACTIVIDAD…………………………………………………………………..8 BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………..9 INTRODUCCIÓN
  • 3. En la materia de Matemáticas la sucesión de Fibonacci. En este trabajo veremos la siguiente sucesión infinita de números naturales, en que la sucesión inicia con cero, y se inicia a partir de ahí, cada elemento es la suma del anterior. Analizaremos que cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci y que tiene descrita por Leonardo de Pisa, quién fue un matemático italiano que vivió en el siglo XIII, quién también se le conoció con el nombre de Fibonacci, por ello el nombre. Esta utilización como veremos tiene un gran número de utilizaciones en muchas áreas y que esta relacionada con el número áureo. Así mismo analizaremos lo que es el número áureo o de oro, es un número algebraico irracional que posee muchas propiedades interesantes y sus descubrimientos. El cual fue descubierta en la antigüedad no como unidad, sino como relación o proporción entre segmentos de recta. Como veremos la proporción se encuentra tanto en las figuras geométricas como en la naturaleza. “Numero Áureo o Proporción Aurea” El número áureo o de oro representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional: 2
  • 4. El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b. También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),3 por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (Φ,φ) es más común. Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes. El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación: El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ. Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor. “SERIE DE FIBONACCI” Una de las series más famosas es la serie de Fibonacci:
  • 5. Un poco de observación es suficiente para encontrar que cualquier número (a partir del tercero de la serie, ósea el segundo 1) es igual a la suma de los dos números anteriores. Daremos en primer lugar la versión iterativa. En este algoritmo deseamos encontrar el -étimo número de la serie Fibonacci. Así si el resultado del algoritmo debe ser ; si el resultado debe ser . La versión iterativa empieza desde los primeros 1's, sumándolos y encontrando el tercero, luego para encontrar el cuarto número se suman el tercero (recién encontrado) y el segundo, y así en adelante hasta encontrar el número buscado. Leonardo de Pisa, También conocido Como Fibonacci, Fue un matemático italiano que se hizo famoso al difundir en Europa el sistema de numeración que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un digito de valor nulo (el cero) que usamos en la actualidad, Leonardo también ideó una sucesión de números que lleva su nombre “Sucesión de Fibonacci” Se trata de una sucesión muy simple, en la que cada término es la suma de los dos anteriores. La sucesión empieza por el número 1 y se continúa con 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89….. Los números de Fibonacci, poseen varias propiedades interesantes. Quizás una de las más curiosas, es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a la denominación “razón dorada”, sección áurea o divina proporción. Este número descubierto por los renacentistas, tiene un valor de: (1+raíz de 5) /2=1.61803…….. Y se le nombra con la letra griega Phi. La sucesión formada por los cocientes (resultados de la división) de números de Fibonacci Consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo Los griegos y los renacentistas estaban fascinados con este número, ya que lo consideraban el ideal de la belleza.
  • 6. Un objeto que tuviese una proporción que se ajusta a la sección áurea era estrictamente agradable que uno que no lo hiciese. ¿Cómo es posible que el cociente de dos números de una secuencia inventada por el hombre se relacione con la belleza. La relación es simple: la sucesión de Fibonacci esta estrechamente emparentada con la naturaleza.? Algunos aseguran que Leobardo encontró estos números cuando estudiaba el crecimiento de las poblaciones de conejos y es muy posible que así sea. Imaginemos una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, y a partir de este momento cada vez engendra otra pareja de conejos, que a su vez (tras llegar a la edad de la fertilización) engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses? Cada mes habrá un número de conejos que coincidan con cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci. Las ramas y las hojas de las plantas son más o menos eficientes para atrapar el máximo de luz solar posible de acuerdo a la forma en que se distribuyen alrededor del tallo. Si miráramos un poco en un jardín, veríamos que no hay plantas en que las hojas se encuentren una justo a la vertical de la otra. En general, las hojas, nacen siguiendo una espiral alrededor del tallo. Veremos que la mayoría de las plantas este número pertenece a la sucesión de Fibonacci. Relación de este número con la naturaleza y otras aplicaciones.
  • 7. El número áureo también esta relacionado con la serie de Fibonacci. Si llamamos Fn al enésimo número Fibonacci y Fn+1, podemos ver que a medida que n se hace más grande, la razón entre Fn+1 Y Fn oscila, siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea, esto lo relaciona de una forma muy especial con la naturaleza, ya como hemos visto antes, la serie Fibonacci aparece continuamente en la estructura de los seres vivos, a la naturaleza, así como también en el espiral de las galaxias, también se acomodan según los números de Fibonacci. Sin duda, es sorprendente la relación que existe entre las matemáticas y la naturaleza, pero no se trata en absoluto de una casualidad. CONCLUSIÓN
  • 8. La sucesión Fibonacci, nos puede servir o la podemos utilizar en muchos aspectos de nuestra vida, para poder determinar mediante estos números cantidades exactas. Por lo tanto nos puede servir en nuestra vida diaria, así como también el número áureo, nos ayuda a ver aspectos importantes en la naturaleza, de elementos geométricos exactos, como podemos ver las hojas de algunos árboles, el grosor de algunas ramas, el caparazón de un caracol, las partes de una rosa, la armonía o figuras geométricas exactas, de una margarita, que representan un carácter estético en los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. ACTIVIDAD A. Subraye la respuesta correcta.
  • 9. 1. ¿Cómo se representa el número áureo? a) O b) E C)I 2. ¿Qué es un número áureo? a) A+B+C B) a+b= a c) p+q-r a b 3. El número áureo, es un número algebraico… a) Racional b) compuesto c) Irracional 4. ¿Dónde se encuentran la proporción áureo? a) Figuras geométricas b) En un libro c) en un diccionario Como la naturaleza 5. Con que otro nombre se le conoce a Fibonacci a) Leonardo da Vinci b) Euclides c) Leonardo de Pisa 6. En dónde se ha atribuido su inclusión la proporción áurea. a) En el diseño de diversas obras b) En mi casa c) En las actividades Arquitectónicas y otras artes BIBLIOGRAFIA http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo