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Universidad Tecnológica de Torreón
“Números Complejos”
Ensayo.
Arely Xcaret Alemán Jáuregui
Alunan.
Procesos Industriales Área de Manufactura
Carrera
Algebra Lineal
Materia
G. Edgar Mata Ortiz
Maestro.
18010103
Matricula
1°A
Grado y Sección
2
Índice
Contenido.
Introducción…………………………………………………………3
Tema 1
“Origen del sistema de numeración” ………………………………..4
Tema 2
“Otros sistemas de numeración no posicionales” ……………….…6
Tema 3
“Propiedades de los números naturales” ……………………...........8
Tema 4
“Diferencia entre las propiedades de los números enteros y los
naturales” ……………………………………………………...……9
Tema 5
“Propiedades de los números enteros y los racionales” ………..…10
Tema 6
“Propiedades de los números irracionales” …….…………………11
Tema 7
“Diferencia entre las propiedades de los números reales y los
racionales” ………………………………………………………...12
Tema 8
“Propiedades de los números imaginarios” ………………………13
Tema 9
“Fractales” …………………………………………………..........15
Conclusión …………………………………………………………...
3
Introducción
En esta pequeña presentación se abarcará los temas del origen de los números,
iniciando desde sus orígenes básicos hasta los que hoy en día se conocen como
los números indo-arábigos. Es decir, todos estos temas, dese la importancia del
número 0 hasta el número 9. No solo se hablará del nacimiento de los números,
si no que, a su vez, se conocerán los famosos números, imaginarios, naturales,
irracionales, racionales, los posicionales y los no posicionales.
Los números reciben el nombre de indo-arábigo a causa de sus orígenes, que
una vez adentrándonos en el tema se conocerá la transición por la que los
numero tienen que pasar para ser lo que hoy en día conocemos como números.
También se dará a conocer los números no posicionales que, hasta hoy en día
un claro ejemplo son los números romanos, y se sabrá la razón principal por la
que no son posicionales estos números.
Se conocerán los sistemas de numeración posicional, es decir, la forma indicada
en la que los números son parcialmente conocidos y acomodados.
De igual forma se conocerá la forma de las propiedades de los números
naturales, la forma de resta, o por decirlo así la suma y resta de los números
negativos. Se enseñará los números racionales con su conjunto de números
positivos y negativos, la raíz cuadrada de un numero racional, la importancia de
los números reales, las principales propiedades de los números imaginarios,
como utilizarlos y trabajar con ellos.
Y parcialmente se hablará de como los números complejos nacieron no
solamente como una forma de evaluación matemática, si no como ayudaron hoy
en día para aparecieron en los fractales.
4
Tema 1
“Origen del sistema de numeración”
Todo inicio aproximadamente hace 20 mil años atrás, un ser
viviente que por lo que se supone fue un ser humano realizo
el primer descubrimiento, que fue el número 1, así es, el
primer número en ser descubierto fue el número 1.
Este número fue descubierto en un hueso como una simple
línea, que al parecer con el pasar del tiempo se fue
transformando, sirviéndole así a muchas civilizaciones de
aproximadamente 4000 a.c. es decir, que el número uno no
siempre fue como lo conocemos hoy en día, paso de ser unas
simples líneas en un hueso a ser una serie de fichas, que para
los seres vivientes les servía no solo como una forma de administración, si no
que a su vez les ayudo a crear lo que hoy en día conocemos
como aritmética, a sumar y a restar, esto les ayudaba mucho
a saber cuánto se perdía y se ganaba, pero principalmente
cuantos impuestos se iban a pagar., fue ahí donde los
numero recibieron sus nombres, por decirlo así, además
gracias a los numero se inició la escritura, ya que era muy
complicado y laborioso contar ficha por ficha., lo que
hicieron fue que en una tablilla de arcilla llevaban el registro
de la cantidad que ellos portaba.
Este sistema fue utilizado así hasta llegar a Egipto, donde
fueron convertidos en diversas formas, es decir, ya no solo
existía el número 1, si no que ya existía el 0 su fiel acompañante por decirlo así,
En Egipto tenían una forma de clasificar a cada ser viviente, es decir la forma
en el que el emperador podía saber cuántos esclavos, contadores, aristócratas
entre otras formas de vida estaban a su poder.
Además, ellos fueron los primeros en descubrir que los números no solo servían
para contar, si no que de igual forma también eran una forma de medir, es decir
que ellos crearon la primera regla a base de unidades para poder construir sus
famosas pirámides entre otros monumentos.
En la antigua Grecia el numero 1 era principalmente
trabajado por el aquel entonces Pitágoras, ya que él
decía que los números eran la fuente principal de la
vida, que todo estaba hecho básicamente de números,
es decir que básicamente todo en esta vida conllevaba
a un número, todo esto fue posible hasta que el famoso
5
Pitágoras se dio cuenta que la forma de
medición mediante unidades era
básicamente una mentira, que la unidad no
conformaba la idea principal de él, que era
el triángulo rectángulo. Todo esto sucedió
antes de la conquista de los romanos, que fue
ahí donde los romanos configuraron los
números hasta su forma de adaptación, es
decir que crearon lo que hoy en día conocemos como los números romanos, los
romanos no usaban los números para el beneficio de la población como solían
usarlos los antiguos matemáticos, ellos los usaban más con el fin de las guerras.
Mientras los romanos estaban básicamente interesados en las guerras, en la
India estaban siendo creado lo que hoy en día conocemos como los números
indo-arábigos, es decir se estaba haciendo la forma de adaptación que
conocemos hoy en día (1,2,3, 4…). Estos fueron conocidos como los números
principales de la vida, son los que hoy en día utilizamos para realizar la mayoría
de nuestras actividades cotidianas.
La principal importancia de los números no solamente es porque nos faciliten
la forma de vivir, más bien fue gracias a que nos dimos cuenta que juntándolos
podíamos hacer una forma invita de mantener algún registro o crear grandes
cantidades de sumas entre otras cosas.
La importancia del número cero es nada más y menos ya que sin ella no se aria
una simple distancio de los números, con esto queremos decir que el numero 0
nos ayuda a identificar los números negativos de los positivos, y que a su vez
nos hace reconocer cantidades muy grandes o a su vez muy pequeñas por el
sistema decimal, fue así que lo que hoy en día todo lo tecnológico está
conformado por el sistema binario que principalmente consta de números 1 y 0.
Se les conoce como indo-arábigos a los números ya que se crearon en la india,
pero fueron principalmente difundidos por un árabe.
6
Tema 2
“Otros sistemas de numeración no posicionales”
En los sistemas no-posicionales el valor del símbolo utilizado no depende de la
posición que ocupa en la expresión del número. Un ejemplo de este tipo de
sistemas es el sistema de los números romanos. En el número romano XIX (19)
los símbolos X (10) del inicio y del fin del número equivalen siempre al mismo
valor, sin importar su posición. Dos claros ejemplos son los siguientes:
 Sistema de numeración maya; Los mayas
utilizaban el sistema de numeración
vigesimal (base 20) de raíz mixta, es decir
que era similar a la de otras cavilaciones
mesoamericanas. Los mayas lo utilizaban
más que nada para medir tiempo, no como una forma de cálculo
matemático, por eso de esta forma los números mayas tiene que ver con
los días, las semanas, los meses, básicamente con el calendario. Los
mayas tenían 3 modalidades para representar los números del 1 al 19, es
decir, un sistema numérico con puntos y rayas.
Algunos ejemplos son los siguientes:
10 + 9 = 19
15 – 8 = 7
7
 Sistema de numeración Babilónica; Aunque claramente su sistema
decimal interno prefirieron usar 60 como la
segunda unidad más pequeña en vez de 100
como lo hacemos hoy, más
apropiadamente se considera como un
sistema mixto base 10 y 60. Un valor
grande que tiene como base 60 es el número que da como resultado un
guarismo más pequeño y además se puede dividir sin resto por 2, 3, 4, 5,
6, por lo tanto también 10,15,20 y 30. Solamente dos símbolos utilizados
en una variación de combinaciones para detonar los 59 números, un
espacio fue dejado para indicar el signo cero, aunque crearon más
adelantaste una muestra de dejar el vacío.
Algunos de los siguientes son ejemplos:
5 + 10 = 15
20-17 = 3
Este fue el estilo de representación que se les da. Como se puede apreciar tanto
los numero mayas, romanos, babilónicos entre otros son un bastante complejos,
es decir que todos se trabajan de la misma manera, pero algunos son más
laboriosos que otros, por eso, en la actualidad se decidió que los números más
comúnmente usados serían los numero indo-arábigos, ya que son la forma más
sencilla de trabajar, lo que, a nosotros como seres humanos que en la actualidad
son sedentarios nos favorece almenas en 80% ya que básicamente ya existe una
forma de realizar las operaciones sin tener la necesidad de escribirlas a mano.
8
Tema 3
“Propiedades de los números naturales”
Lo principal que se debe saber, es que es un número natural. Un número natural
es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3 hasta llegar a un millón, que se pueden
usar para contar los elementos de un conjunto finito. Por ejemplo: 24 manzanas,
2 camiones o 1.123 peces, son situaciones donde se cuenta con números
naturales. l conjunto de todos los números naturales se simboliza por la letra ℕ
o N. En algunos ámbitos matemáticos (especialmente en teoría de números) es
conveniente no considerar el cero como un número natural., mientras que otros,
especialmente en teoría de conjuntos, lógica e informática, predomina la postura
opuesta. En este artículo, el cero es considerado un número natural.
Bien, una vez que ya se sabe que es un numero natural conoceremos sus
principales propiedades:
A. Para cualquier elemento a de un conjunto A existe otro elemento b en A
tal que a<b
B. Cualquier subconjunto no vacío de A posee un elemento mínimo.
Luego encontramos otras propiedades referidas a la adición y multiplicación:
a. Operación interna: La suma de dos números naturales es siempre otro
número natural
b. Existencia del elemento neutro: Un numero natural tal que al ser sumado
o multiplicado a otro número natural da ese mismo número.
c. Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado.
a + b= b+ a
a x b=b x a
d. Propiedad asociativa:
(3 +5) +2 =8 +2 = 10
3 + (5+2) = 3 + 7=10
3 x (4 x5) = 3 x 20 =60
(3×4) x5= 12×5= 60
En la actualidad, aún hay duda de que el numero 0 sea un numero natural o no,
pero al parecer se ha comprobado que como es parte esencial del sistema de
numeración, se cree que lo más posible es que lo sea.
9
Tema 4
“Diferencia en las propiedades de los números enteros y los
naturales”
Anteriormente se dio a conocer que era un número natural, y cuáles eran sus
propiedades, ahora es momento de saber diferenciar las propiedades de un
número entero y un número natural. Estas diferencias se las presentaremos por
medio de una tabla que ayudará a facilitar el conocimiento de ellos.
Números Naturales (N) Números Enteros (Z)
 Es la colección de números
representados 1, 2, 3… etc. Mejor
conocidos como números para
contar
N= {1, 2, 3, 4 ...}
 Los naturales cuentan con
múltiplos y divisores que se
desarrollan como números
primos y compuestos, para
finalmente como números en
descomposición de fractorales.
 Los números enteros abarcan todos
los números incluyendo los
números negativos y los positivos.
Z= { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…}
 En estos números no se observa
relativamente nada, ya que
básicamente no abarca fracciones
ni nada que tenga que ver con
divisiones, básicamente tampoco
abarca los decimales.
Con estos dos puntos pequeños, pero muy importantes sabremos reconocer la
diferencia de un numero natural y un entero. La verdadera curiosidad de los
números es saber diferenciarlos, a continuación, se mostrarán una serie de
ejemplos para saber diferenciar un numero natural y un número entero.
¿El 8 es un numero natural o entero? Realmente el numero 8 entra dentro de las
dos gamas de posibilidad ya que el número no es negativo, en dado caso que se
realizará un -8, este número seria específicamente un numero entero.
¿Qué tipo de número es el
5
7
? Este no es ni un número natural ni un numero
entero, la causa es que el numero natural solo abarca los números positivos, ni
decimales, ni negativos, es decir, si ponemos 0.57 estaríamos hablando de un
numero entero, por desgracia el número entero no abarca tampoco fracciones.
En pocas palabras este número no entra dentro de las posibilidades del rango
aceptado para reconocer un número natural o un número entero.
10
Tema 5
“Propiedades de los números enteros y los racionales”
Principalmente iniciaremos dando a conocer que es un numero entero: En las
matemáticas, los números enteros es el conjunto de números naturales (que son
los números positivos ℕ = {1, 2, 3, …}), el número cero (0) y los números
negativos y que son todos aquellos que se encuentran por debajo del 0 y que se
representan con el signo menos delante de ellos (-1, -2,-3, …). A continuación,
se mostrarán sus principales propiedades.
 Orden numérico. Es el que da la idea de que un número es mayor o menor
que otro número, o que hay diferencia real entre dos números. Ejemplo:
el orden de los cursos de la educación primaria es (1º primero, 2º segundo,
3º tercero, 4º cuarto, 5º quinto)
 Número mayor: Que supera en cantidad a otro.
 Número menor: Que es inferior en cantidad a otro.
 El número siguiente a otro; Es el número considerado más una unidad,
por ejemplo 6 = 5 + 1.
 El número anterior a otro; Es el número considerado menos una unidad,
por ejemplo 4 = 5 – 1.
 Recta numérica; Es la que está dividida en intervalos iguales de distancia.
La diferencia entre una división y la siguiente es siempre la unidad (1)
Bien una vez que ya conocemos las propiedades de los números enteros
conoceremos que es un número racional. Número racional es todo número que
puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más
precisamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común con
numerador y denominador distinto de cero. A continuación, se darán a conocer
sus propiedades.
 Un numero racional es un numero que puede ser escrito como cociente
de dos números enteros a, b ≠ 0
 Las fracciones son utilizadas para usar una forma de conjunto.
Bien, una vez que conocemos la forma de los números racionales sería más
simple reconocer y saber diferenciar un numero racional y un numero entero.
11
Tema 6
“Propiedades de los números irracionales”
En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado
como una fracción ᵐ⁄ₙ, donde m y n sean enteros y n sea diferente de cero.
Una vez que ya sabemos que es un numero irracional conoceremos sus
principales propiedades en la vida del sistema de numeración, e aritmética.
 Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la
propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el
 resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación,
π×ϕ=ϕ×π.
 Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números
da como resultado el mismo número, de manera independiente a su
agrupación, siendo (ϕ+π) +e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la
multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
 Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números
irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula,
por ejemplo, π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da
como resultado 1, es decir ϕ×1/ ϕ = 1.
 El conjunto de los números irracionales no verifica clausura entre las
operaciones, es decir, la suma y el producto entre dos irracionales no
necesariamente es irracional.
 Todos los racionales y todos los irracionales son números reales.
Recuerda que incluidos en los racionales están los enteros y en los
enteros, los naturales.
Con estos conocimientos adquiridos sobre los números irracionales, podemos
saber que están compuestos de números enteros, naturales. Los números
irracionales son aquellos que cumplen con el funcionamiento de la
multiplicación y de la distribución independiente. Es decir que no tiene una
forma tan simple de ser expresados, con los números irracionales conocemos
que cada número tiene su negativo que lo anula.
12
Tema 7
“Diferencia entre las propiedades de los números reales y los
racionales”
Bueno, anteriormente se dio a conocer cada una de las propiedades que
conforman los números reales y los racionales.
 Los números reales pueden ser racionales o irracional y pueden tomar
cualquier valor expresado en una recta numérica; mientras que los
números racionales son los que pueden expresarse en forma de fracción,
pero con un denominador distinto de cero.
 Los números reales incluyen (pero no se limitan): números positivos,
negrativos, enteros, racionales, raíces cuadradas, raíces cúbicas…
 Los números racionales incluyen: 3/4 como una forma de fracción. Raíz
cuadrada de 16, que sería 4 y podría expresarse como 4/1. Las
repeticiones de decimales son racionales, ejemplo: 0.777777.
 Los números naturales son los positivos y no tienen parte decimal (1, 2,
3, ... etc.), mientras que los números reales incluye todos los números,
sean naturales, enteros (positivos y negativos), racionales (incluye
enteros, naturales, se pueden escribir en fracción) e irracionales (poseen
cifras decimales infinitas, por ejemplo, el numero pi).
En pocas palabras se da a conocer que los números racionales y los reales son
diferentes por la causa de que el número real es especialmente calificativo para
números precisamente enteros, mientras que los números racionales se
especializan específicamente los números que conocemos como números
decimales, es decir los que van después del punto, es decir como los ejemplos
que se ponen hoy en día. También con esto se conoce que los números
racionales no tienen raíz cuadrada como los números enteros, es decir que no
son simples de encontrar, por ejemplo: √16 es 4 como sabemos esta respuesta,
es fácil ya que 4 * 4 = 16, pero en si usamos números racionales seria por un
poco más complicado poder encontrar su raíz cuadrada.
13
Tema 8
“Propiedades de los números imaginarios”
Son números complejos cuya parte real es igual a cero. Un número imaginario
puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria
i, donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1. Al número imaginario i se le
denomina también constante imaginaria. A continuación, se mostrarán sus
principales propiedades:
 Es una extensión de los números reales.
 Al conjunto de los números complejos se lo representa con la letra C.
 Posee una parte real y una parte imaginaria.
 Este conjunto es representado en el plano (plano complejo).
 Propiedad conmutativa: z + w=w + z ; zw = wz
 Propiedad asociativa: v+(w+z)=(v+w)+z ; v(wz)=(vw)z
 Propiedad distributiva: v(w+z)=vw+vz ; (w+z)v=wv+zv
 Elemento neutro: o para la suma z+o=o+z=z y el 1 para la multiplicación
ya que z1=1z=z
 Inverso: todos los números complejos tienen su inverso aditivo que es –
z ya que cumple que z+(-z)=0 y si z ≠0 entonces su inverso multiplicativo
es z-1 ya que z.z-1=1.
 Partiendo de que la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da
por resultado un número imaginario (por ejemplo: √¯-36 = √¯(-36) (-1)
= √¯36 √¯-1 = 6 i ).
 Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo ( i² = -1
) .
 Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto
de los números complejos.
 Los números imaginarios, al igual que los números reales, no pueden ser
ordenados de acuerdo a su valor.
 Para los números imaginarios no se cumple: 1 > 0 y -1 < 0.
 Los números imaginarios formalmente no pertenece al conjunto de los
números reales ni al conjunto de los números racionales.
 El número imaginario es tan real como cualquier otro natural, entero o
fraccionario, ya que se ocupa igualmente para describir la realidad, y es
tan racional y entendible como cualquier número irracional.
 Estos tienen una infinita cantidad de decimales.
14
 Al multiplicar un número complejo por la unidad imaginaria rota un
ángulo e 90º, pero mantiene su valor absoluto.
 Uno de los valores de ii es un número real.
La forma de unos de los números imaginarios son los siguientes:
 El número imaginario no solo es imprescindible en Física y Matemática,
sino que ha `permitido la ampliación y desarrollo de nuevos conceptos.
 Tiene especial utilidad en electromagnetismo, ondas radiactivas,
trayectorias espaciales, hidrodinámica e indispensables para múltiples
problemas matemáticos.
 La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raíz
cuadrada de números negativos y las raíces cuartas, sextas y pares de
números negativos, confirmando el teorema fundamental del álgebra.
Esto es toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes complejos,
tiene por lo menos una raíz en el campo de los números complejos.
 Igualmente, la raíz cuadrada de un número imaginario es un número
complejo, y la raíz de un número complejo en general es otro número
complejo.
 En física cuántica la unidad imaginaria permite simplificar la descripción
matemática de los estados cuánticos variables en el tiempo.
 En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa para
representar ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un
tratamiento algebraico más ágil de dichas magnitudes.
 En campos de la ingeniería eléctrica y afines, la unidad imaginaria es a
menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de la
corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
15
Tema 9
“Fractales”
Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas.
Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto,
observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos
incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objeto, ya
que siempre lo veremos de la misma forma. El termino fractal (del
latín fractus) fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en
1975. En la naturaleza encontramos muchas estructuras con
geometría fractal, Existen muchísimos fractales, ya que como
veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares
son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último
se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande,
colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas,
repetimos el último paso. como, por ejemplo, en el romanescu.
Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski:
Sierpinski Carpet
Como puede verse, la
estrategia más sencilla para
conseguir un fractal, es coger
una figura y reproducirla en
versiones más pequeñas. Sin
embargo, se pueden
conseguir objetos muchos
más complejos.
16
Resumen de las propiedades de los fractales:
 Dimensión no entera. Como se mostrará en el apartado siguiente
la dimensión de un fractal no es un número entero sino un
número generalmente irracional.
 Compleja estructura a cualquier escala. Los fractales muestran
estructuras muy complejas independientemente de la escala a la
cual lo observemos.
 Infinitud. Se consideran infinitos ya que a medida que
aumentamos la precisión del instrumento de medición
observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.
 Autosimilitud en algunos casos. Existen fractales plenamente
auto similares de manera que el todo está formado por pequeños
fragmentos parecidos al todo.
Es así como reconocemos que los
fractales son unas solas figuras que
si unimos conseguimos hacer una
imagen “hipnóticas”
Los fractales no son una forma
sencilla de trabajar, pero si son bien
pensados podrían terminar siendo
una serie infinita de imágenes que si
le damos consecutivamente una serie
de vueltas sería una forma tan infinita como los mismos números,
de ahí es donde proviene que los fractales se relacionan con los
números.
17
Conclusión.
Existen carias explicaciones y teoría acerca del origen del sistema
de numeración empleados actualmente. Es generalmente aceptado
que la numeración indo-arábiga fue desarrollada en la india y
difundida por los árabes en occidente. Simultáneamente, otras
culturas elaboraron sus propios sistemas de numeración y los
emplearon durante los siglos. Se dio a conocer que las
computadoras emplean un sistema de numeración posicional con
base dos, es decir, solamente existen dos números (0, 1) y, de
acuerdo a la posición que ocupan, toman diferentes valores.
Los sistemas de numeración empleados por el ser humano han sido
posicionales, un ejemplo conocido es la numeración romana. Los
sistemas de numeración posicional presentan grandes ventajas
sobre los no posicionales, la facilidad para efectuar operaciones
aritméticas. En general se dio a conocer como los tipos de números
son conocidos a las niñas, es decir, nosotros podemos conocer hoy
en día como los números con los que trabajamos, de igual forma se
puede hacer a conocer como los números generales, las factoriales,
los racionales, los no racionales, los posicionales y los no
posicionales. También nos ayudó a distinguir como los números se
pueden trabajar, de esta manera, se sabe que los números no son
una forma simple de trabajo. Los números a pesar de que en
diferentes lugares se manejan de diversas formas en los distintos
países, todos tienen algo en común, que es lo más sencillo, tienen
la finalidad de que nos haga la vida del ser humano mucho más
sencilla.

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Números Complejos

  • 1. 1 Universidad Tecnológica de Torreón “Números Complejos” Ensayo. Arely Xcaret Alemán Jáuregui Alunan. Procesos Industriales Área de Manufactura Carrera Algebra Lineal Materia G. Edgar Mata Ortiz Maestro. 18010103 Matricula 1°A Grado y Sección
  • 2. 2 Índice Contenido. Introducción…………………………………………………………3 Tema 1 “Origen del sistema de numeración” ………………………………..4 Tema 2 “Otros sistemas de numeración no posicionales” ……………….…6 Tema 3 “Propiedades de los números naturales” ……………………...........8 Tema 4 “Diferencia entre las propiedades de los números enteros y los naturales” ……………………………………………………...……9 Tema 5 “Propiedades de los números enteros y los racionales” ………..…10 Tema 6 “Propiedades de los números irracionales” …….…………………11 Tema 7 “Diferencia entre las propiedades de los números reales y los racionales” ………………………………………………………...12 Tema 8 “Propiedades de los números imaginarios” ………………………13 Tema 9 “Fractales” …………………………………………………..........15 Conclusión …………………………………………………………...
  • 3. 3 Introducción En esta pequeña presentación se abarcará los temas del origen de los números, iniciando desde sus orígenes básicos hasta los que hoy en día se conocen como los números indo-arábigos. Es decir, todos estos temas, dese la importancia del número 0 hasta el número 9. No solo se hablará del nacimiento de los números, si no que, a su vez, se conocerán los famosos números, imaginarios, naturales, irracionales, racionales, los posicionales y los no posicionales. Los números reciben el nombre de indo-arábigo a causa de sus orígenes, que una vez adentrándonos en el tema se conocerá la transición por la que los numero tienen que pasar para ser lo que hoy en día conocemos como números. También se dará a conocer los números no posicionales que, hasta hoy en día un claro ejemplo son los números romanos, y se sabrá la razón principal por la que no son posicionales estos números. Se conocerán los sistemas de numeración posicional, es decir, la forma indicada en la que los números son parcialmente conocidos y acomodados. De igual forma se conocerá la forma de las propiedades de los números naturales, la forma de resta, o por decirlo así la suma y resta de los números negativos. Se enseñará los números racionales con su conjunto de números positivos y negativos, la raíz cuadrada de un numero racional, la importancia de los números reales, las principales propiedades de los números imaginarios, como utilizarlos y trabajar con ellos. Y parcialmente se hablará de como los números complejos nacieron no solamente como una forma de evaluación matemática, si no como ayudaron hoy en día para aparecieron en los fractales.
  • 4. 4 Tema 1 “Origen del sistema de numeración” Todo inicio aproximadamente hace 20 mil años atrás, un ser viviente que por lo que se supone fue un ser humano realizo el primer descubrimiento, que fue el número 1, así es, el primer número en ser descubierto fue el número 1. Este número fue descubierto en un hueso como una simple línea, que al parecer con el pasar del tiempo se fue transformando, sirviéndole así a muchas civilizaciones de aproximadamente 4000 a.c. es decir, que el número uno no siempre fue como lo conocemos hoy en día, paso de ser unas simples líneas en un hueso a ser una serie de fichas, que para los seres vivientes les servía no solo como una forma de administración, si no que a su vez les ayudo a crear lo que hoy en día conocemos como aritmética, a sumar y a restar, esto les ayudaba mucho a saber cuánto se perdía y se ganaba, pero principalmente cuantos impuestos se iban a pagar., fue ahí donde los numero recibieron sus nombres, por decirlo así, además gracias a los numero se inició la escritura, ya que era muy complicado y laborioso contar ficha por ficha., lo que hicieron fue que en una tablilla de arcilla llevaban el registro de la cantidad que ellos portaba. Este sistema fue utilizado así hasta llegar a Egipto, donde fueron convertidos en diversas formas, es decir, ya no solo existía el número 1, si no que ya existía el 0 su fiel acompañante por decirlo así, En Egipto tenían una forma de clasificar a cada ser viviente, es decir la forma en el que el emperador podía saber cuántos esclavos, contadores, aristócratas entre otras formas de vida estaban a su poder. Además, ellos fueron los primeros en descubrir que los números no solo servían para contar, si no que de igual forma también eran una forma de medir, es decir que ellos crearon la primera regla a base de unidades para poder construir sus famosas pirámides entre otros monumentos. En la antigua Grecia el numero 1 era principalmente trabajado por el aquel entonces Pitágoras, ya que él decía que los números eran la fuente principal de la vida, que todo estaba hecho básicamente de números, es decir que básicamente todo en esta vida conllevaba a un número, todo esto fue posible hasta que el famoso
  • 5. 5 Pitágoras se dio cuenta que la forma de medición mediante unidades era básicamente una mentira, que la unidad no conformaba la idea principal de él, que era el triángulo rectángulo. Todo esto sucedió antes de la conquista de los romanos, que fue ahí donde los romanos configuraron los números hasta su forma de adaptación, es decir que crearon lo que hoy en día conocemos como los números romanos, los romanos no usaban los números para el beneficio de la población como solían usarlos los antiguos matemáticos, ellos los usaban más con el fin de las guerras. Mientras los romanos estaban básicamente interesados en las guerras, en la India estaban siendo creado lo que hoy en día conocemos como los números indo-arábigos, es decir se estaba haciendo la forma de adaptación que conocemos hoy en día (1,2,3, 4…). Estos fueron conocidos como los números principales de la vida, son los que hoy en día utilizamos para realizar la mayoría de nuestras actividades cotidianas. La principal importancia de los números no solamente es porque nos faciliten la forma de vivir, más bien fue gracias a que nos dimos cuenta que juntándolos podíamos hacer una forma invita de mantener algún registro o crear grandes cantidades de sumas entre otras cosas. La importancia del número cero es nada más y menos ya que sin ella no se aria una simple distancio de los números, con esto queremos decir que el numero 0 nos ayuda a identificar los números negativos de los positivos, y que a su vez nos hace reconocer cantidades muy grandes o a su vez muy pequeñas por el sistema decimal, fue así que lo que hoy en día todo lo tecnológico está conformado por el sistema binario que principalmente consta de números 1 y 0. Se les conoce como indo-arábigos a los números ya que se crearon en la india, pero fueron principalmente difundidos por un árabe.
  • 6. 6 Tema 2 “Otros sistemas de numeración no posicionales” En los sistemas no-posicionales el valor del símbolo utilizado no depende de la posición que ocupa en la expresión del número. Un ejemplo de este tipo de sistemas es el sistema de los números romanos. En el número romano XIX (19) los símbolos X (10) del inicio y del fin del número equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posición. Dos claros ejemplos son los siguientes:  Sistema de numeración maya; Los mayas utilizaban el sistema de numeración vigesimal (base 20) de raíz mixta, es decir que era similar a la de otras cavilaciones mesoamericanas. Los mayas lo utilizaban más que nada para medir tiempo, no como una forma de cálculo matemático, por eso de esta forma los números mayas tiene que ver con los días, las semanas, los meses, básicamente con el calendario. Los mayas tenían 3 modalidades para representar los números del 1 al 19, es decir, un sistema numérico con puntos y rayas. Algunos ejemplos son los siguientes: 10 + 9 = 19 15 – 8 = 7
  • 7. 7  Sistema de numeración Babilónica; Aunque claramente su sistema decimal interno prefirieron usar 60 como la segunda unidad más pequeña en vez de 100 como lo hacemos hoy, más apropiadamente se considera como un sistema mixto base 10 y 60. Un valor grande que tiene como base 60 es el número que da como resultado un guarismo más pequeño y además se puede dividir sin resto por 2, 3, 4, 5, 6, por lo tanto también 10,15,20 y 30. Solamente dos símbolos utilizados en una variación de combinaciones para detonar los 59 números, un espacio fue dejado para indicar el signo cero, aunque crearon más adelantaste una muestra de dejar el vacío. Algunos de los siguientes son ejemplos: 5 + 10 = 15 20-17 = 3 Este fue el estilo de representación que se les da. Como se puede apreciar tanto los numero mayas, romanos, babilónicos entre otros son un bastante complejos, es decir que todos se trabajan de la misma manera, pero algunos son más laboriosos que otros, por eso, en la actualidad se decidió que los números más comúnmente usados serían los numero indo-arábigos, ya que son la forma más sencilla de trabajar, lo que, a nosotros como seres humanos que en la actualidad son sedentarios nos favorece almenas en 80% ya que básicamente ya existe una forma de realizar las operaciones sin tener la necesidad de escribirlas a mano.
  • 8. 8 Tema 3 “Propiedades de los números naturales” Lo principal que se debe saber, es que es un número natural. Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3 hasta llegar a un millón, que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito. Por ejemplo: 24 manzanas, 2 camiones o 1.123 peces, son situaciones donde se cuenta con números naturales. l conjunto de todos los números naturales se simboliza por la letra ℕ o N. En algunos ámbitos matemáticos (especialmente en teoría de números) es conveniente no considerar el cero como un número natural., mientras que otros, especialmente en teoría de conjuntos, lógica e informática, predomina la postura opuesta. En este artículo, el cero es considerado un número natural. Bien, una vez que ya se sabe que es un numero natural conoceremos sus principales propiedades: A. Para cualquier elemento a de un conjunto A existe otro elemento b en A tal que a<b B. Cualquier subconjunto no vacío de A posee un elemento mínimo. Luego encontramos otras propiedades referidas a la adición y multiplicación: a. Operación interna: La suma de dos números naturales es siempre otro número natural b. Existencia del elemento neutro: Un numero natural tal que al ser sumado o multiplicado a otro número natural da ese mismo número. c. Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado. a + b= b+ a a x b=b x a d. Propiedad asociativa: (3 +5) +2 =8 +2 = 10 3 + (5+2) = 3 + 7=10 3 x (4 x5) = 3 x 20 =60 (3×4) x5= 12×5= 60 En la actualidad, aún hay duda de que el numero 0 sea un numero natural o no, pero al parecer se ha comprobado que como es parte esencial del sistema de numeración, se cree que lo más posible es que lo sea.
  • 9. 9 Tema 4 “Diferencia en las propiedades de los números enteros y los naturales” Anteriormente se dio a conocer que era un número natural, y cuáles eran sus propiedades, ahora es momento de saber diferenciar las propiedades de un número entero y un número natural. Estas diferencias se las presentaremos por medio de una tabla que ayudará a facilitar el conocimiento de ellos. Números Naturales (N) Números Enteros (Z)  Es la colección de números representados 1, 2, 3… etc. Mejor conocidos como números para contar N= {1, 2, 3, 4 ...}  Los naturales cuentan con múltiplos y divisores que se desarrollan como números primos y compuestos, para finalmente como números en descomposición de fractorales.  Los números enteros abarcan todos los números incluyendo los números negativos y los positivos. Z= { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…}  En estos números no se observa relativamente nada, ya que básicamente no abarca fracciones ni nada que tenga que ver con divisiones, básicamente tampoco abarca los decimales. Con estos dos puntos pequeños, pero muy importantes sabremos reconocer la diferencia de un numero natural y un entero. La verdadera curiosidad de los números es saber diferenciarlos, a continuación, se mostrarán una serie de ejemplos para saber diferenciar un numero natural y un número entero. ¿El 8 es un numero natural o entero? Realmente el numero 8 entra dentro de las dos gamas de posibilidad ya que el número no es negativo, en dado caso que se realizará un -8, este número seria específicamente un numero entero. ¿Qué tipo de número es el 5 7 ? Este no es ni un número natural ni un numero entero, la causa es que el numero natural solo abarca los números positivos, ni decimales, ni negativos, es decir, si ponemos 0.57 estaríamos hablando de un numero entero, por desgracia el número entero no abarca tampoco fracciones. En pocas palabras este número no entra dentro de las posibilidades del rango aceptado para reconocer un número natural o un número entero.
  • 10. 10 Tema 5 “Propiedades de los números enteros y los racionales” Principalmente iniciaremos dando a conocer que es un numero entero: En las matemáticas, los números enteros es el conjunto de números naturales (que son los números positivos ℕ = {1, 2, 3, …}), el número cero (0) y los números negativos y que son todos aquellos que se encuentran por debajo del 0 y que se representan con el signo menos delante de ellos (-1, -2,-3, …). A continuación, se mostrarán sus principales propiedades.  Orden numérico. Es el que da la idea de que un número es mayor o menor que otro número, o que hay diferencia real entre dos números. Ejemplo: el orden de los cursos de la educación primaria es (1º primero, 2º segundo, 3º tercero, 4º cuarto, 5º quinto)  Número mayor: Que supera en cantidad a otro.  Número menor: Que es inferior en cantidad a otro.  El número siguiente a otro; Es el número considerado más una unidad, por ejemplo 6 = 5 + 1.  El número anterior a otro; Es el número considerado menos una unidad, por ejemplo 4 = 5 – 1.  Recta numérica; Es la que está dividida en intervalos iguales de distancia. La diferencia entre una división y la siguiente es siempre la unidad (1) Bien una vez que ya conocemos las propiedades de los números enteros conoceremos que es un número racional. Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común con numerador y denominador distinto de cero. A continuación, se darán a conocer sus propiedades.  Un numero racional es un numero que puede ser escrito como cociente de dos números enteros a, b ≠ 0  Las fracciones son utilizadas para usar una forma de conjunto. Bien, una vez que conocemos la forma de los números racionales sería más simple reconocer y saber diferenciar un numero racional y un numero entero.
  • 11. 11 Tema 6 “Propiedades de los números irracionales” En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción ᵐ⁄ₙ, donde m y n sean enteros y n sea diferente de cero. Una vez que ya sabemos que es un numero irracional conoceremos sus principales propiedades en la vida del sistema de numeración, e aritmética.  Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el  resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.  Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π) +e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).  Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo, π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ ϕ = 1.  El conjunto de los números irracionales no verifica clausura entre las operaciones, es decir, la suma y el producto entre dos irracionales no necesariamente es irracional.  Todos los racionales y todos los irracionales son números reales. Recuerda que incluidos en los racionales están los enteros y en los enteros, los naturales. Con estos conocimientos adquiridos sobre los números irracionales, podemos saber que están compuestos de números enteros, naturales. Los números irracionales son aquellos que cumplen con el funcionamiento de la multiplicación y de la distribución independiente. Es decir que no tiene una forma tan simple de ser expresados, con los números irracionales conocemos que cada número tiene su negativo que lo anula.
  • 12. 12 Tema 7 “Diferencia entre las propiedades de los números reales y los racionales” Bueno, anteriormente se dio a conocer cada una de las propiedades que conforman los números reales y los racionales.  Los números reales pueden ser racionales o irracional y pueden tomar cualquier valor expresado en una recta numérica; mientras que los números racionales son los que pueden expresarse en forma de fracción, pero con un denominador distinto de cero.  Los números reales incluyen (pero no se limitan): números positivos, negrativos, enteros, racionales, raíces cuadradas, raíces cúbicas…  Los números racionales incluyen: 3/4 como una forma de fracción. Raíz cuadrada de 16, que sería 4 y podría expresarse como 4/1. Las repeticiones de decimales son racionales, ejemplo: 0.777777.  Los números naturales son los positivos y no tienen parte decimal (1, 2, 3, ... etc.), mientras que los números reales incluye todos los números, sean naturales, enteros (positivos y negativos), racionales (incluye enteros, naturales, se pueden escribir en fracción) e irracionales (poseen cifras decimales infinitas, por ejemplo, el numero pi). En pocas palabras se da a conocer que los números racionales y los reales son diferentes por la causa de que el número real es especialmente calificativo para números precisamente enteros, mientras que los números racionales se especializan específicamente los números que conocemos como números decimales, es decir los que van después del punto, es decir como los ejemplos que se ponen hoy en día. También con esto se conoce que los números racionales no tienen raíz cuadrada como los números enteros, es decir que no son simples de encontrar, por ejemplo: √16 es 4 como sabemos esta respuesta, es fácil ya que 4 * 4 = 16, pero en si usamos números racionales seria por un poco más complicado poder encontrar su raíz cuadrada.
  • 13. 13 Tema 8 “Propiedades de los números imaginarios” Son números complejos cuya parte real es igual a cero. Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1. Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria. A continuación, se mostrarán sus principales propiedades:  Es una extensión de los números reales.  Al conjunto de los números complejos se lo representa con la letra C.  Posee una parte real y una parte imaginaria.  Este conjunto es representado en el plano (plano complejo).  Propiedad conmutativa: z + w=w + z ; zw = wz  Propiedad asociativa: v+(w+z)=(v+w)+z ; v(wz)=(vw)z  Propiedad distributiva: v(w+z)=vw+vz ; (w+z)v=wv+zv  Elemento neutro: o para la suma z+o=o+z=z y el 1 para la multiplicación ya que z1=1z=z  Inverso: todos los números complejos tienen su inverso aditivo que es – z ya que cumple que z+(-z)=0 y si z ≠0 entonces su inverso multiplicativo es z-1 ya que z.z-1=1.  Partiendo de que la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número imaginario (por ejemplo: √¯-36 = √¯(-36) (-1) = √¯36 √¯-1 = 6 i ).  Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo ( i² = -1 ) .  Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos.  Los números imaginarios, al igual que los números reales, no pueden ser ordenados de acuerdo a su valor.  Para los números imaginarios no se cumple: 1 > 0 y -1 < 0.  Los números imaginarios formalmente no pertenece al conjunto de los números reales ni al conjunto de los números racionales.  El número imaginario es tan real como cualquier otro natural, entero o fraccionario, ya que se ocupa igualmente para describir la realidad, y es tan racional y entendible como cualquier número irracional.  Estos tienen una infinita cantidad de decimales.
  • 14. 14  Al multiplicar un número complejo por la unidad imaginaria rota un ángulo e 90º, pero mantiene su valor absoluto.  Uno de los valores de ii es un número real. La forma de unos de los números imaginarios son los siguientes:  El número imaginario no solo es imprescindible en Física y Matemática, sino que ha `permitido la ampliación y desarrollo de nuevos conceptos.  Tiene especial utilidad en electromagnetismo, ondas radiactivas, trayectorias espaciales, hidrodinámica e indispensables para múltiples problemas matemáticos.  La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raíz cuadrada de números negativos y las raíces cuartas, sextas y pares de números negativos, confirmando el teorema fundamental del álgebra. Esto es toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes complejos, tiene por lo menos una raíz en el campo de los números complejos.  Igualmente, la raíz cuadrada de un número imaginario es un número complejo, y la raíz de un número complejo en general es otro número complejo.  En física cuántica la unidad imaginaria permite simplificar la descripción matemática de los estados cuánticos variables en el tiempo.  En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa para representar ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más ágil de dichas magnitudes.  En campos de la ingeniería eléctrica y afines, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de la corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
  • 15. 15 Tema 9 “Fractales” Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objeto, ya que siempre lo veremos de la misma forma. El termino fractal (del latín fractus) fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso. como, por ejemplo, en el romanescu. Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski: Sierpinski Carpet Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.
  • 16. 16 Resumen de las propiedades de los fractales:  Dimensión no entera. Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.  Compleja estructura a cualquier escala. Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.  Infinitud. Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.  Autosimilitud en algunos casos. Existen fractales plenamente auto similares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo. Es así como reconocemos que los fractales son unas solas figuras que si unimos conseguimos hacer una imagen “hipnóticas” Los fractales no son una forma sencilla de trabajar, pero si son bien pensados podrían terminar siendo una serie infinita de imágenes que si le damos consecutivamente una serie de vueltas sería una forma tan infinita como los mismos números, de ahí es donde proviene que los fractales se relacionan con los números.
  • 17. 17 Conclusión. Existen carias explicaciones y teoría acerca del origen del sistema de numeración empleados actualmente. Es generalmente aceptado que la numeración indo-arábiga fue desarrollada en la india y difundida por los árabes en occidente. Simultáneamente, otras culturas elaboraron sus propios sistemas de numeración y los emplearon durante los siglos. Se dio a conocer que las computadoras emplean un sistema de numeración posicional con base dos, es decir, solamente existen dos números (0, 1) y, de acuerdo a la posición que ocupan, toman diferentes valores. Los sistemas de numeración empleados por el ser humano han sido posicionales, un ejemplo conocido es la numeración romana. Los sistemas de numeración posicional presentan grandes ventajas sobre los no posicionales, la facilidad para efectuar operaciones aritméticas. En general se dio a conocer como los tipos de números son conocidos a las niñas, es decir, nosotros podemos conocer hoy en día como los números con los que trabajamos, de igual forma se puede hacer a conocer como los números generales, las factoriales, los racionales, los no racionales, los posicionales y los no posicionales. También nos ayudó a distinguir como los números se pueden trabajar, de esta manera, se sabe que los números no son una forma simple de trabajo. Los números a pesar de que en diferentes lugares se manejan de diversas formas en los distintos países, todos tienen algo en común, que es lo más sencillo, tienen la finalidad de que nos haga la vida del ser humano mucho más sencilla.