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Universidad Tecnológica de Torreón
Jesús Israel Isaías Rivera
M.E Edgar Mata Ortiz
Números Reales & Números Complejos
Cuatrimestre 1
Sección A
Torreón Coahuila México a 23 de septiembre del 2018
EL ORIGEN DE LOS NÚMEROS
Para algunos son más son más complicados, para otros tal vez aburridos, placenteros para
quiénes les gustan; pero sin duda en lo que todos los seres humanos coincidimos es en que
los números son útiles y necesarios para la vida diaria.
“Donde quiera que haya un número está la belleza” Félix Klein
Ciertamente, en lo personal, yo comparto la frase anterior, pero, ¿Por qué? Simplemente porque a lo
largo de la historia mediante los números hemos podido expresar y encontrar un sentido al universo
y sus fenómenos tan maravillosos. Sin embargo, para poder generar los resultados que hoy en día
vemos en ciencias como la astronomía, física, química entre otras que, no tendrían impacto sin la
existencia de los números, tuvo que haber un comienzo, algún ser humano, tribu o pueblo que se vio
obligado o en la necesidad de contar o de usar por primera vez algo que expresará el valor de algo. De
hecho, eso es lo que voy a tratar en este ensayo, desde el comienzo hasta su evolución y la necesidad
de descubrir como aprovechar al máximo los números.
El número 1 se estima que apareció sobre la Tierra hace unos 20 mil años, o al menos es la primera
evidencia sólida del uso de este número y no sólo un hueso con marcas, bueno en realidad así es como
comienza la existencia de la numeración, como una marca en una superficie, pero la diferencia de este
hueso es que tiene 60 marcas de un lado y 60 marcas del otro, y sacando conclusiones, la única manera
de hacer eso fue contando.
Así mismo, tal como la vida humana comenzó a evolucionar, también lo hizo el 1 y sus usos. En la
antigua Sumeria por el año de 4000 a.C. dejándolo de marcar en huesos y al contrario hacerlo en una
forma física a manera fichas, que gracias a las mismas se abrió paso a la invención de la aritmética
permitiendo la suma y la resta, lo cual permitió en su tiempo la organización, ya que en las
civilizaciones como Sumeria era necesaria la organización de los granos, alimento, etcétera. Además,
la creación de las fichas contribuyó a la administración de riquezas.
No conformes con el uso de la numeración para la administración en parte de su evolución, también
fue útil para las medidas tomando como ejemplo las usadas por los egipcios para las construcciones
de sus grandes monumentos. Claro está que hicieron su propia versión de la unidad tomando como
referencia el brazo de un hombre desde el codo hasta la punta de los dedos más el ancho de la mano,
llamándole así a esta unidad: Codo. Ejemplos de su uso los podemos ver en la Biblia durante el
Pentateuco, escrito por Moisés, un hebreo criado en Egipto como príncipe.
Mientras tanto los usos que les daban a los números los filósofos griegos eran poco convencionales
para su época, pues Pitágoras, por ejemplo, dijo que la unidad era la base del cosmos. En el caso de
Arquímedes, jugaba con los números haciéndolos llegar a situaciones extremas, de hecho, estos
juegos del Arquímedes sirvieron y el hombre consiguió encontrar una fórmula que probó ser
sumamente útil, incluso gracias a Arquímedes, se logro convertir el globo terráqueo en un mapa plano,
¿cómo?, este hombre tenía una obsesión con lo que sucedería si una esfera se convertía en cilindro,
quería saber las diferencias del área que ocuparía.
Sin embargo, todos estos avances en la numeración y aritmética se vieron afectados por un imperio
que tenía intereses y obsesiones distintas a las de los demás ya que el Imperio Romano sólo buscaba
aumentar sus conquistas y de hecho su sistema numérico solo servía para eso para contar soldados o
sus conquistas, o sea que sólo servía para contar. Con la expansión de los Romanos en Europa trajo
como consecuencia la expansión de su sistema numérico y un fuerte estancamiento en la matemática
teórica. Incluso aún después del derrocamiento de su Imperio, su sistema numeral sobrevivió, aunque
no sería por mucho tiempo más ya que en la India tenían otro sistema de numeración que, aunque
sus intereses tenían que ver más con la iluminación tenían algunas cantidades muy pero muy grandes
como por ejemplo el Rajju que es la distancia que recorrería dios en 6 meses si viajara un millón de
kilómetros por cada vez que pestañea. Por ello los hindúes desarrollaron un sistema para manejar
grandes números que es el que actualmente conocemos como numeración Indo-arábiga basándose
en valores del 1 hasta el 9, no conformes inventaron un número completamente nuevo, el 0 (cero),
que ciertamente, el número solo representa ‘nada’ combinándolo con un uno podemos tener las
decenas, centenas, millares e infinidad de números con un valor estupendamente grande.
Aunque la India obtuvo grandes resultados con su sistema numeral en el resto de occidente seguían
utilizando la numeración romana. La expansión de dicho sistema posicional vino a partir de su llegada
al mundo Islámico ya que consigo llegaron también las ecuaciones cuadráticas y el álgebra, no
obstante, el sistema numérico no posicional romano seguía dominando Europa.
El sistema numeral Indo-arábigo conquistó primero África del norte y a pesar de prometer mucho,
cuando recién llegó, las personas se sentían mucho más cómodas con el antiguo sistema numeral
romano, a tal grado de que en 1229 la ciudad de Florencia prohibió a los nuevos mercaderes el uso de
los números hindúes, solo podían usar números romanos. Aunque, ya con el capitalismo en
crecimiento lucía más atractivo sacar algún interés de un préstamo con el sistema Indo-arábigo.
A pesar de que en Europa se había establecido el sistema Indo-arábigo con éxito, en el año de 1642
Wilhelm trató de liberar al humano de sus errores al momento de usar este nuevo sistema, creó un
nuevo sistema de numeración que solo consistía de 1 y 0, para representar cualquier cantidad y así
poder dejar a un lado los errores.
Hoy día es el sistema de numeración que utilizan las maquinas ya que a una computadora no le
interesa que tan grande pueda ser un número y así usar el todo y la nada para eliminar el error y usarlo
en las maquinas. Así fue como a lo largo de la historia se evoluciono el número para convertirlo en un
sistema numeral, primero en auge uno no posicional y después posicionales, todo en pro de las
ciencias como la matemática y la astronomía así mismo para apoyar algunos avances tecnológicos,
pero para esto fue necesario que los números tuvieran que tener varias modificaciones o
clasificaciones, mejor dicho, como ya lo comentamos los primeros números en ser descubiertos
fueron los números enteros.
Números naturales
Como lo mencione antes el descubrimiento de la unidad contribuyó a un avance especialmente
importante a la humanidad, no tan solo por tratarse de algo nuevo sino por lo que traía consigo, la
posibilidad de contar y esa es la característica especial de los números naturales. A continuación,
mencionare dichas propiedades de los números naturales:
• Elemento neutro en la suma: La propiedad del elemento neutro de la suma consiste en que
a cualquier número al que se le sume 0, el resultado equivale al mismo número. El resultado
es exactamente igual al número original.
Ej----->62+0=62
• Elemento neutro en la multiplicación: La propiedad del elemento neutro de la multiplicación
consiste en que el producto de 1 multiplicado por cualquier número es igual al número
original.
Ej----->2500*1=2500
• Ley conmutativa de la suma: La ley conmutativa de la suma nos dice que puedes cambiar de
posición los números en la expresión sin alterar el resultado de la misma
Ej-----> 2+3=5
3+2=5
• Ley conmutativa de la multiplicación: La ley conmutativa de la multiplicación nos dice que
puedes cambiar de posición los números en la expresión sin alterar el resultado de la misma
Ej----->8*7=56
7*8=56
• Ley asociativa de la suma: La ley asociativa de la suma nos dice que los valores de una
expresión aditiva pueden reagruparse usando paréntesis
Ej-----> (4+10) +6=20
• Ley asociativa de la multiplicación: La ley asociativa de la multiplicación nos dice que los
valores en una expresión de multiplicación pueden reagruparse usando paréntesis
Ej-----> (5*3) *3=45
Los números naturales eran muy útiles a la hora de contar sin embargo cuando vino la necesidad del
hombre por hacer operaciones aritméticas los números naturales no eran todos los necesarios había
algo que faltaba en este caso para representar los valores necesarios en los mismos. Por ello se crean
los números enteros.
Números enteros
¿Qué es un número entero?, un número entero es, simplemente, un número natural pero que
también abarca valores negativos, más específicamente valores exactos, incluyendo el 0 (cero). Esta
es la única diferencia entre los números naturales y los números positivos, mas, sin embargo, sus
similitudes son por obvias razones, sí su única diferencia es el signo esto quiere decir que su similitud
lo es todo, son cualquier numero que no sea una fracción, deben de ser exclusivamente cantidades
cerradas.
Las matemáticas muchas veces permiten simplificar expresiones numéricas, esto permite el uso de
ciertas leyes o propiedades que aplican a ciertos casos con operaciones aritméticas.
Los números enteros comparten casi las mismas propiedades de los naturales, pero, en este caso,
gracias a los números enteros pudimos ampliar el mundo de las operaciones aritméticas a tal grado
de poder trabajar con cantidades negativas y positivas.
Además de esto, los números enteros tienen algunos criterios para su orden:
1. Todo número negativo es menor que cero
2. Todo número positivo es mayor que cero
3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto
4. De los enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto
Además de los criterios anteriores a diferencia de los números naturales, los números enteros cuentan
la ‘Ley de los signos’ la cual de describe de la siguiente manera:
“Signos iguales se suman signos diferentes se restan”
(+) * (+) = +
(+) * (-) = -
(-) * (-) = +
(-) * (+) = -
El uso de números enteros para operaciones aritméticas abrió paso para el aumento de la familia
numeral, pues se dieron cuenta que, al momento de realizar divisiones, no siempre el resultado era
con números positivos, por eso les dieron la bienvenida a los números racionales.
Números racionales
Los números racionales son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados
por medio de fracciones. Este conjunto de números se encuentra en la recta real numérica con la
diferencia de que los enteros van consecutivos ( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3) y los racionales no tienen
consecución ya que entre cada número racional hay infinidad de números racionales que solo podrían
ser escritos durante la eternidad.
Entonces un número racional podemos definirlo como el cociente de dos números enteros, hay dos
tipos de números racionales:
• Los racionales limitados: Son aquellos que su representación decimal tiene una determinada
cantidad de cifras por ejemplo 1
/8 = 0.125
• Los racionales periódicos: Son aquellos cuya representación decimal es ilimitada pero que, a
diferencia de los números irracionales, estos tienen un patrón para cumplir
Una de las razones por la cual los números enteros son distintos a los números racionales es porque
se representan de diferente manera, los números enteros se representan por uno o más dígitos que
van del 0 hasta el 9, mientras que los números racionales se representan por dos números enteros
uno que es el numerador y otro (no puede ser cero) al cual llamamos denominador.
Pero, así como de una fracción se pueden encontrar números racionales también se pueden encontrar
números irracionales, los cuales son valores fraccionarios que al pasarlos a su valor decimal tienen
decimales infinitos.
Números irracionales
Los números irracionales se definen como números que poseen infinitas cifras de decimales no
periódicas que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Los valores obtenidos suelen
truncarse o redondearse. Así que, como los demás números, estos, tienen también sus propiedades:
• Propiedad conmutativa de suma: Esta propiedad conmutativa de suma (que no se diferencia
en nada de la ley conmutativa de los números naturales) nos dice que puedes cambiar de
posición los números en la expresión sin alterar el resultado de la misma
Ej-----> π+ϕ = ϕ+π
• Propiedad conmutativa de multiplicación: Al igual que la anterior, en esta el orden de los
factores no altera el producto que se desea obtener
Ej-----> π*ϕ = ϕ*π
• Elemento opuesto de la suma: Esta propiedad quiere decir que cada valor tiene su negativo
que lo anula
Ej-----> π-π=0
• Elemento opuesto de la multiplicación: Al igual que la anterior tiene su opuesto que anula,
pero en este caso sería la división la que anule al valor que multiplica
Ej-----> ϕ×1/ ϕ = 1
Solo como una nota a destacar las sumas entre números irracionales no siempre dan como resultado
un número irracional.
Números reales
Los números reales son aquellos que hacen un conjunto de los números racionales y los números
irracionales. Con estos (hablando de los números reales) podemos realizar todas las operaciones,
excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por 0 (cero). Además, cabe
destacar de que a todo número real le corresponde un punto en la recta y a cada punto de la recta le
corresponde un número real, de hecho, nosotros podemos expresar un número real en la recta con
tanta aproximación como queramos, pero hay algunos casos en los que podemos expresarlos o
representarlos de forma exacta.
Una de las diferencias entre estos números es que los números reales pueden adquirir cualquier valor
y representado en una recta numérica, mientras que los números racionales pueden representarse en
forma de fracción y con un denominador distinto a 0 (cero). Además, los números incluyen (pero no
se limitan) números positivos, números negativos, números enteros, números racionales, raíces
cuadradas, números racionales, raíces cubicas… etcétera.
Entonces podemos comprender que la principal diferencia es la extensión y la capacidad que tiene
cada conjunto de números, en este caso lo extensos que son los números reales.
Al exigir cada vez más a los números reales trabajando con la matemática teórica se vio la necesidad
de buscar alguna otra alternativa para poder seguir creciendo en conocimientos.
Números imaginarios
Los números imaginarios son aquellos en el que su parte real es igual a 0 (cero), puede describirse
como el producto de un numero real por la unidad imaginaria (i), donde ésta adquiere el valor de la
raíz cuadrada de menos uno (-1) y así como los demás grupos de números también cuentan con
propiedades.
• El valor cuadrático de un numero imaginario es igual a menos uno
• Estos números extienden el conjunto de los números reales a los números complejos
• Los números imaginarios al igual que los números reales no pueden ser acomodados u
ordenados de acuerdo a su valor
• Para los números imaginarios no se cumple 1>0 ni -1<0
• Los números imaginarios no pertenecen formalmente al conjunto de los números reales ni al
conjunto de los racionales
• Un numero imaginario es tan real como uno entero, natural o fraccionario ya que se utiliza
para describir la realidad y es tan entendible como un numero irracional
• Éstos tienen una cantidad infinita de decimales
• Al multiplicar un numero complejo por la unidad imaginaria rota un ángulo de 90° pero
mantiene su valor absoluto
Además de sus características antes mencionadas, los números imaginarios tienen muchos usos muy
peculiares, ya que no solo es imprescindible en física y matemática, sino que ha permitido el avance
en nuevos conceptos
Números complejos
Los números complejos o los sistemas de números complejos, son construidos a partir de números
reales, y cuentan con las siguientes propiedades:
• Propiedad transitiva: Si Z1=Z2 y Z2=Z3 entonces Z1=Z3
• Propiedades de la suma: Se define la suma de dos números complejos Z1=a+bi y Z2=c+di
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
• Existencia del inverso multiplicativo o reciproco: Está propiedad se refiere a que todo
número complejo Z distinto de 0, tiene un único inverso multiplicativo detonado por Z-1
.
Yo creo que en base a todo lo que he investigado ahora no solo tengo un conocimiento robótico, y por
robótico me refiero a aquel en el que se cómo realizar una operación aritmética, pero ni siquiera sé
por qué sucedió o de donde salió, este tipo de trabajos nos sirven para saber orígenes, saber razones,
saber ¿Por qué?, simplemente un porque, que desde el principio de los tiempos ha sido la motivación
del ser humano, las causas son las que nos han llevado al descubrimiento y realmente aunque si
aprendí mucho acerca de la historia y el origen de los números, siento que el aprendizaje que me llevo
es ese, el querer siempre encontrar las causas de las cosas inclusive que lucen ser simples, porque de
las cosas que a mi parecer no son complejas, realmente de lo simple se describe lo complejo, y creo
que ese es el aprendizaje que tomo de mi ensayo.
Ahora que de la evolución de los números y de la unidad me parece interesante como conforme a las
necesidades el hombre fue creando, pero no solo decía por decir, ya que lo que inventaban o
innovaban lo comprobaban de manera correcta, y así como aquellos tiempos hoy en día innovamos
por necesidad, pero no solo lo hacemos por hacer sino describimos, como lo dije antes razones.
Ahora me pongo a pensar que sentirá el hombre que descubrió el 0 o el que utilizó por primera vez el
sistema numeral posicional Indo-arábigo, si tan solo supiera como ese pequeño gran aporte, es tan
esencial para la vida diaria.
Fractales
Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos
acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos
incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objeto, ya que siempre lo veremos de la
misma forma. El termino fractal fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En la
naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, como, por ejemplo, en el
romanesco.
Nota: El romanesco es una verdura con una estética que verdaderamente llama la atención
Existen muchísimos fractales, ya que, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el
conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla:
dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas,
repetimos el último paso. Algunas de las propiedades de los fractales son:
• Dimensión no entera: La dimensión de un fractal no es un número entero sino un número
generalmente irracional.
• Compleja estructura a cualquier escala: Los fractales muestran estructuras muy complejas
independientemente de la escala a la cual lo observemos.
• Infinitud: Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del
instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.
• Autosimilitud en algunos casos: Existen fractales plenamente autosimilares de manera que
todo esta formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.
Ya sentándome a analizar esto de los fractales me puse a investigar de la posibilidad de un
universo fractal y resulta que es una cosmovisión del universo para considerar, según estuve
investigando, hay un modelo cosmofractal. Por lo tanto, significa por lógica simple y elemental
que el Universo debe poseer físicamente la misma propiedad de infinitud que posee el sistema
matemático que organiza su morfología; ya que en definitiva el sistema matemático determina de
manera directamente correspondiente la forma específica en la cual se manifiesta físicamente la
naturaleza.

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Números complejos

  • 1. Universidad Tecnológica de Torreón Jesús Israel Isaías Rivera M.E Edgar Mata Ortiz Números Reales & Números Complejos Cuatrimestre 1 Sección A Torreón Coahuila México a 23 de septiembre del 2018
  • 2. EL ORIGEN DE LOS NÚMEROS Para algunos son más son más complicados, para otros tal vez aburridos, placenteros para quiénes les gustan; pero sin duda en lo que todos los seres humanos coincidimos es en que los números son útiles y necesarios para la vida diaria. “Donde quiera que haya un número está la belleza” Félix Klein Ciertamente, en lo personal, yo comparto la frase anterior, pero, ¿Por qué? Simplemente porque a lo largo de la historia mediante los números hemos podido expresar y encontrar un sentido al universo y sus fenómenos tan maravillosos. Sin embargo, para poder generar los resultados que hoy en día vemos en ciencias como la astronomía, física, química entre otras que, no tendrían impacto sin la existencia de los números, tuvo que haber un comienzo, algún ser humano, tribu o pueblo que se vio obligado o en la necesidad de contar o de usar por primera vez algo que expresará el valor de algo. De hecho, eso es lo que voy a tratar en este ensayo, desde el comienzo hasta su evolución y la necesidad de descubrir como aprovechar al máximo los números. El número 1 se estima que apareció sobre la Tierra hace unos 20 mil años, o al menos es la primera evidencia sólida del uso de este número y no sólo un hueso con marcas, bueno en realidad así es como comienza la existencia de la numeración, como una marca en una superficie, pero la diferencia de este hueso es que tiene 60 marcas de un lado y 60 marcas del otro, y sacando conclusiones, la única manera de hacer eso fue contando. Así mismo, tal como la vida humana comenzó a evolucionar, también lo hizo el 1 y sus usos. En la antigua Sumeria por el año de 4000 a.C. dejándolo de marcar en huesos y al contrario hacerlo en una
  • 3. forma física a manera fichas, que gracias a las mismas se abrió paso a la invención de la aritmética permitiendo la suma y la resta, lo cual permitió en su tiempo la organización, ya que en las civilizaciones como Sumeria era necesaria la organización de los granos, alimento, etcétera. Además, la creación de las fichas contribuyó a la administración de riquezas. No conformes con el uso de la numeración para la administración en parte de su evolución, también fue útil para las medidas tomando como ejemplo las usadas por los egipcios para las construcciones de sus grandes monumentos. Claro está que hicieron su propia versión de la unidad tomando como referencia el brazo de un hombre desde el codo hasta la punta de los dedos más el ancho de la mano, llamándole así a esta unidad: Codo. Ejemplos de su uso los podemos ver en la Biblia durante el Pentateuco, escrito por Moisés, un hebreo criado en Egipto como príncipe. Mientras tanto los usos que les daban a los números los filósofos griegos eran poco convencionales para su época, pues Pitágoras, por ejemplo, dijo que la unidad era la base del cosmos. En el caso de Arquímedes, jugaba con los números haciéndolos llegar a situaciones extremas, de hecho, estos juegos del Arquímedes sirvieron y el hombre consiguió encontrar una fórmula que probó ser sumamente útil, incluso gracias a Arquímedes, se logro convertir el globo terráqueo en un mapa plano, ¿cómo?, este hombre tenía una obsesión con lo que sucedería si una esfera se convertía en cilindro, quería saber las diferencias del área que ocuparía. Sin embargo, todos estos avances en la numeración y aritmética se vieron afectados por un imperio que tenía intereses y obsesiones distintas a las de los demás ya que el Imperio Romano sólo buscaba aumentar sus conquistas y de hecho su sistema numérico solo servía para eso para contar soldados o sus conquistas, o sea que sólo servía para contar. Con la expansión de los Romanos en Europa trajo como consecuencia la expansión de su sistema numérico y un fuerte estancamiento en la matemática teórica. Incluso aún después del derrocamiento de su Imperio, su sistema numeral sobrevivió, aunque no sería por mucho tiempo más ya que en la India tenían otro sistema de numeración que, aunque sus intereses tenían que ver más con la iluminación tenían algunas cantidades muy pero muy grandes como por ejemplo el Rajju que es la distancia que recorrería dios en 6 meses si viajara un millón de kilómetros por cada vez que pestañea. Por ello los hindúes desarrollaron un sistema para manejar grandes números que es el que actualmente conocemos como numeración Indo-arábiga basándose en valores del 1 hasta el 9, no conformes inventaron un número completamente nuevo, el 0 (cero), que ciertamente, el número solo representa ‘nada’ combinándolo con un uno podemos tener las decenas, centenas, millares e infinidad de números con un valor estupendamente grande. Aunque la India obtuvo grandes resultados con su sistema numeral en el resto de occidente seguían utilizando la numeración romana. La expansión de dicho sistema posicional vino a partir de su llegada al mundo Islámico ya que consigo llegaron también las ecuaciones cuadráticas y el álgebra, no obstante, el sistema numérico no posicional romano seguía dominando Europa. El sistema numeral Indo-arábigo conquistó primero África del norte y a pesar de prometer mucho, cuando recién llegó, las personas se sentían mucho más cómodas con el antiguo sistema numeral romano, a tal grado de que en 1229 la ciudad de Florencia prohibió a los nuevos mercaderes el uso de los números hindúes, solo podían usar números romanos. Aunque, ya con el capitalismo en crecimiento lucía más atractivo sacar algún interés de un préstamo con el sistema Indo-arábigo. A pesar de que en Europa se había establecido el sistema Indo-arábigo con éxito, en el año de 1642 Wilhelm trató de liberar al humano de sus errores al momento de usar este nuevo sistema, creó un nuevo sistema de numeración que solo consistía de 1 y 0, para representar cualquier cantidad y así poder dejar a un lado los errores.
  • 4. Hoy día es el sistema de numeración que utilizan las maquinas ya que a una computadora no le interesa que tan grande pueda ser un número y así usar el todo y la nada para eliminar el error y usarlo en las maquinas. Así fue como a lo largo de la historia se evoluciono el número para convertirlo en un sistema numeral, primero en auge uno no posicional y después posicionales, todo en pro de las ciencias como la matemática y la astronomía así mismo para apoyar algunos avances tecnológicos, pero para esto fue necesario que los números tuvieran que tener varias modificaciones o clasificaciones, mejor dicho, como ya lo comentamos los primeros números en ser descubiertos fueron los números enteros. Números naturales Como lo mencione antes el descubrimiento de la unidad contribuyó a un avance especialmente importante a la humanidad, no tan solo por tratarse de algo nuevo sino por lo que traía consigo, la posibilidad de contar y esa es la característica especial de los números naturales. A continuación, mencionare dichas propiedades de los números naturales: • Elemento neutro en la suma: La propiedad del elemento neutro de la suma consiste en que a cualquier número al que se le sume 0, el resultado equivale al mismo número. El resultado es exactamente igual al número original. Ej----->62+0=62 • Elemento neutro en la multiplicación: La propiedad del elemento neutro de la multiplicación consiste en que el producto de 1 multiplicado por cualquier número es igual al número original. Ej----->2500*1=2500 • Ley conmutativa de la suma: La ley conmutativa de la suma nos dice que puedes cambiar de posición los números en la expresión sin alterar el resultado de la misma Ej-----> 2+3=5 3+2=5 • Ley conmutativa de la multiplicación: La ley conmutativa de la multiplicación nos dice que puedes cambiar de posición los números en la expresión sin alterar el resultado de la misma Ej----->8*7=56 7*8=56 • Ley asociativa de la suma: La ley asociativa de la suma nos dice que los valores de una expresión aditiva pueden reagruparse usando paréntesis Ej-----> (4+10) +6=20 • Ley asociativa de la multiplicación: La ley asociativa de la multiplicación nos dice que los valores en una expresión de multiplicación pueden reagruparse usando paréntesis Ej-----> (5*3) *3=45
  • 5. Los números naturales eran muy útiles a la hora de contar sin embargo cuando vino la necesidad del hombre por hacer operaciones aritméticas los números naturales no eran todos los necesarios había algo que faltaba en este caso para representar los valores necesarios en los mismos. Por ello se crean los números enteros. Números enteros ¿Qué es un número entero?, un número entero es, simplemente, un número natural pero que también abarca valores negativos, más específicamente valores exactos, incluyendo el 0 (cero). Esta es la única diferencia entre los números naturales y los números positivos, mas, sin embargo, sus similitudes son por obvias razones, sí su única diferencia es el signo esto quiere decir que su similitud lo es todo, son cualquier numero que no sea una fracción, deben de ser exclusivamente cantidades cerradas. Las matemáticas muchas veces permiten simplificar expresiones numéricas, esto permite el uso de ciertas leyes o propiedades que aplican a ciertos casos con operaciones aritméticas. Los números enteros comparten casi las mismas propiedades de los naturales, pero, en este caso, gracias a los números enteros pudimos ampliar el mundo de las operaciones aritméticas a tal grado de poder trabajar con cantidades negativas y positivas. Además de esto, los números enteros tienen algunos criterios para su orden: 1. Todo número negativo es menor que cero 2. Todo número positivo es mayor que cero 3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto 4. De los enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto Además de los criterios anteriores a diferencia de los números naturales, los números enteros cuentan la ‘Ley de los signos’ la cual de describe de la siguiente manera:
  • 6. “Signos iguales se suman signos diferentes se restan” (+) * (+) = + (+) * (-) = - (-) * (-) = + (-) * (+) = - El uso de números enteros para operaciones aritméticas abrió paso para el aumento de la familia numeral, pues se dieron cuenta que, al momento de realizar divisiones, no siempre el resultado era con números positivos, por eso les dieron la bienvenida a los números racionales. Números racionales Los números racionales son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto de números se encuentra en la recta real numérica con la diferencia de que los enteros van consecutivos ( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3) y los racionales no tienen consecución ya que entre cada número racional hay infinidad de números racionales que solo podrían ser escritos durante la eternidad. Entonces un número racional podemos definirlo como el cociente de dos números enteros, hay dos tipos de números racionales: • Los racionales limitados: Son aquellos que su representación decimal tiene una determinada cantidad de cifras por ejemplo 1 /8 = 0.125 • Los racionales periódicos: Son aquellos cuya representación decimal es ilimitada pero que, a diferencia de los números irracionales, estos tienen un patrón para cumplir Una de las razones por la cual los números enteros son distintos a los números racionales es porque se representan de diferente manera, los números enteros se representan por uno o más dígitos que van del 0 hasta el 9, mientras que los números racionales se representan por dos números enteros uno que es el numerador y otro (no puede ser cero) al cual llamamos denominador. Pero, así como de una fracción se pueden encontrar números racionales también se pueden encontrar números irracionales, los cuales son valores fraccionarios que al pasarlos a su valor decimal tienen decimales infinitos.
  • 7. Números irracionales Los números irracionales se definen como números que poseen infinitas cifras de decimales no periódicas que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Los valores obtenidos suelen truncarse o redondearse. Así que, como los demás números, estos, tienen también sus propiedades: • Propiedad conmutativa de suma: Esta propiedad conmutativa de suma (que no se diferencia en nada de la ley conmutativa de los números naturales) nos dice que puedes cambiar de posición los números en la expresión sin alterar el resultado de la misma Ej-----> π+ϕ = ϕ+π • Propiedad conmutativa de multiplicación: Al igual que la anterior, en esta el orden de los factores no altera el producto que se desea obtener Ej-----> π*ϕ = ϕ*π • Elemento opuesto de la suma: Esta propiedad quiere decir que cada valor tiene su negativo que lo anula Ej-----> π-π=0 • Elemento opuesto de la multiplicación: Al igual que la anterior tiene su opuesto que anula, pero en este caso sería la división la que anule al valor que multiplica Ej-----> ϕ×1/ ϕ = 1 Solo como una nota a destacar las sumas entre números irracionales no siempre dan como resultado un número irracional. Números reales Los números reales son aquellos que hacen un conjunto de los números racionales y los números irracionales. Con estos (hablando de los números reales) podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por 0 (cero). Además, cabe
  • 8. destacar de que a todo número real le corresponde un punto en la recta y a cada punto de la recta le corresponde un número real, de hecho, nosotros podemos expresar un número real en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay algunos casos en los que podemos expresarlos o representarlos de forma exacta. Una de las diferencias entre estos números es que los números reales pueden adquirir cualquier valor y representado en una recta numérica, mientras que los números racionales pueden representarse en forma de fracción y con un denominador distinto a 0 (cero). Además, los números incluyen (pero no se limitan) números positivos, números negativos, números enteros, números racionales, raíces cuadradas, números racionales, raíces cubicas… etcétera. Entonces podemos comprender que la principal diferencia es la extensión y la capacidad que tiene cada conjunto de números, en este caso lo extensos que son los números reales. Al exigir cada vez más a los números reales trabajando con la matemática teórica se vio la necesidad de buscar alguna otra alternativa para poder seguir creciendo en conocimientos. Números imaginarios Los números imaginarios son aquellos en el que su parte real es igual a 0 (cero), puede describirse como el producto de un numero real por la unidad imaginaria (i), donde ésta adquiere el valor de la raíz cuadrada de menos uno (-1) y así como los demás grupos de números también cuentan con propiedades. • El valor cuadrático de un numero imaginario es igual a menos uno • Estos números extienden el conjunto de los números reales a los números complejos • Los números imaginarios al igual que los números reales no pueden ser acomodados u ordenados de acuerdo a su valor • Para los números imaginarios no se cumple 1>0 ni -1<0 • Los números imaginarios no pertenecen formalmente al conjunto de los números reales ni al conjunto de los racionales • Un numero imaginario es tan real como uno entero, natural o fraccionario ya que se utiliza para describir la realidad y es tan entendible como un numero irracional • Éstos tienen una cantidad infinita de decimales • Al multiplicar un numero complejo por la unidad imaginaria rota un ángulo de 90° pero mantiene su valor absoluto
  • 9. Además de sus características antes mencionadas, los números imaginarios tienen muchos usos muy peculiares, ya que no solo es imprescindible en física y matemática, sino que ha permitido el avance en nuevos conceptos Números complejos Los números complejos o los sistemas de números complejos, son construidos a partir de números reales, y cuentan con las siguientes propiedades: • Propiedad transitiva: Si Z1=Z2 y Z2=Z3 entonces Z1=Z3 • Propiedades de la suma: Se define la suma de dos números complejos Z1=a+bi y Z2=c+di (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i • Existencia del inverso multiplicativo o reciproco: Está propiedad se refiere a que todo número complejo Z distinto de 0, tiene un único inverso multiplicativo detonado por Z-1 . Yo creo que en base a todo lo que he investigado ahora no solo tengo un conocimiento robótico, y por robótico me refiero a aquel en el que se cómo realizar una operación aritmética, pero ni siquiera sé por qué sucedió o de donde salió, este tipo de trabajos nos sirven para saber orígenes, saber razones, saber ¿Por qué?, simplemente un porque, que desde el principio de los tiempos ha sido la motivación del ser humano, las causas son las que nos han llevado al descubrimiento y realmente aunque si aprendí mucho acerca de la historia y el origen de los números, siento que el aprendizaje que me llevo es ese, el querer siempre encontrar las causas de las cosas inclusive que lucen ser simples, porque de las cosas que a mi parecer no son complejas, realmente de lo simple se describe lo complejo, y creo que ese es el aprendizaje que tomo de mi ensayo. Ahora que de la evolución de los números y de la unidad me parece interesante como conforme a las necesidades el hombre fue creando, pero no solo decía por decir, ya que lo que inventaban o innovaban lo comprobaban de manera correcta, y así como aquellos tiempos hoy en día innovamos por necesidad, pero no solo lo hacemos por hacer sino describimos, como lo dije antes razones. Ahora me pongo a pensar que sentirá el hombre que descubrió el 0 o el que utilizó por primera vez el sistema numeral posicional Indo-arábigo, si tan solo supiera como ese pequeño gran aporte, es tan esencial para la vida diaria.
  • 10. Fractales Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objeto, ya que siempre lo veremos de la misma forma. El termino fractal fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, como, por ejemplo, en el romanesco. Nota: El romanesco es una verdura con una estética que verdaderamente llama la atención Existen muchísimos fractales, ya que, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso. Algunas de las propiedades de los fractales son: • Dimensión no entera: La dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional. • Compleja estructura a cualquier escala: Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos. • Infinitud: Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro. • Autosimilitud en algunos casos: Existen fractales plenamente autosimilares de manera que todo esta formado por pequeños fragmentos parecidos al todo. Ya sentándome a analizar esto de los fractales me puse a investigar de la posibilidad de un universo fractal y resulta que es una cosmovisión del universo para considerar, según estuve investigando, hay un modelo cosmofractal. Por lo tanto, significa por lógica simple y elemental que el Universo debe poseer físicamente la misma propiedad de infinitud que posee el sistema matemático que organiza su morfología; ya que en definitiva el sistema matemático determina de manera directamente correspondiente la forma específica en la cual se manifiesta físicamente la naturaleza.