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NOCIONES BÁSICAS DE
FUNCIONES
Primer año Medio
Miss Yanira Castro Lizana
Funciones
¿Qué es una función?
Formas de
representación
Propiedades Clasificación
Tipos
Generalidades
Una función es una
regla de asociación
que relaciona el
conjunto de llegada y
el conjunto de salida.
Esta regla no permite
relacionar un mismo
elemento del dominio
con dos elementos
del rango.
No estamos en
presencia de una
función cuando:
 De algún elemento
del conjunto de
partida no sale
ninguna flecha.
 De algún elemento
del conjunto de
partida salen dos o
más flechas.
¿Qué es una función?
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
X Y
Formas de representar una función
VerbalAlgebraicaVisualNumérica
por medio
de
por medio depor medio de por medio de
palabrasfórmulasdiagramas y graficastablas
x 1 2 3 4 5 …
y 11 12 13 14 15…
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
X Y
Y=2x+4 E(t) son los
estudiantes
del colegio
en el
instante t.
Variable
dependiente
-
Variable
independiente
Intercepto en el eje X
-
Intercepto en el eje Y
Conjunto de llegada
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Conjunto de salida
GENERALIDADES
Dominio - Rango
El DOMINIO es
el conjunto de
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formado por las
pre imágenes,
generalmente
cuando se habla
del plano
cartesiano, el
dominio es el
intervalo de
valores que están
sobre el eje x, y
que nos generan
una asociación
en el eje y.
El otro
conjunto
llamado
RANGO, es
la gama de
valores que
toma la
función; en el
caso del
plano
cartesiano
son todos los
valores que
toma la
función o
valores en el
eje y.
La VARIABLE
INDEPENDIENTE
no depende de
ninguna otra
variable, en el
ejemplo anterior
la x es la variable
independiente ya
que la y es la que
depende de los
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Las VARIABLES
DEPENDIENTES
como su nombre lo
indica, dependen del
valor que toma las
otras variables Por
ejemplo: f(x)= x, y o
f(x) es la variable
dependiente ya que
esta sujeta a los
valores que se le
subministre a x.
El INTERCEPTO
EN EL EJE Y se
halla
reemplazando a x
por 0, y el
INTERCEPTO EN
EL EJE X se halla
igualando la
función a f(x)= y e
y= 0 y
solucionando la
ecuación
resultante.
El
CONJUNTO
DE LLEGADA
contiene los
elementos que
son la imagen
de los valores
del conjunto
de salida.
El CONJUNTO DE
SALIDA se llama al
conjunto que contiene
los elementos del
dominio de una función.
Función
Par
Función Impar
Función
Creciente
Función
Decreciente
FUNCIÓN PAR Si f(x) = f (-x).
Ejemplo: La función 𝒚 =
𝒙 𝟐
es par pues se obtienen
los mismos valores de y
independientemente del
signo de x.
La función 𝒚 = 𝒙 𝟐 es par
ya que f (-x) = (−𝒙) 𝟐 = 𝒙 𝟐
Simétricas con respecto al eje
Y.
FUNCIÓN IMPAR
Si f(x) = -f (-x).
Ejemplo: La función
y(x)=x es impar ya
que: f (-x) = -x pero
como f(x) = x
entonces: f(-x) = - f(x).
Simétricas con respecto al eje
de las coordenadas.
FUNCIÓN
CRECIENTE
La función es
creciente
cuando al
aumentar los
valores de X,
aumenta Y.
𝛼=Angulo agudo
𝛼
FUNCIÓN
DECRECIENTE
La función es
decreciente
cuando al
aumentar los
valores de X,
disminuye Y.
𝛽=Angulo obtuso
𝛽
1. Nociones de Conjuntos
a) Definiciones
Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos,
considerados como una sola unidad.
Pertenencia (Є) : Si un objeto “p” es elemento de un
conjunto C, entonces p pertenece a C y su notación es: p Є C.
Si p no pertenece a C, se denota: p Є C
Conjunto vacío (Ø): Es aquel conjunto que no posee
elementos. También se denota como: { }
Subconjunto ( ): Un conjunto A es “subconjunto” de otro
conjunto B si todos los elementos que pertenecen a A, son
también elementos de B.
b)Producto Cartesiano
Dados los conjuntos A y B , su producto cartesiano ( A × B )
está formado por cada uno de los pares ordenados donde el
primer elemento pertenece a A y el segundo a B :
A x B = { (a,b) / a Є A y b Є B }
Ejemplo:
Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 } , entonces:
A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}
a b c
1
2 .
.
.
.
.
.
A
B
Gráficamente:
2.Relaciones
a) Definición:
Ejemplo:
Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:
R = { (a,b) Є A x B / b es múltiplo de a}
A x B = {(2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (7,4); (7,5); (7,6)}
R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B
entonces:
Una “relación R” de un conjunto A a un conjunto B
(R: A B), es un subconjunto del producto cartesiano entre A
y B (A x B), determinado por una, o más condiciones.
El conjunto A se denomina “Conjunto de Salida” o “Conjunto de
Partida”; y el conjunto B, “Conjunto de Llegada” de la relación.
2 3 7
4
5 .
.
.
.
.
.
A
BGráficamente:
6 . . .
R
El par (2,4) pertenece a la relación R, ya que 4 es múltiplo de 2.
Los pares (2,6) y (3,6), también están relacionados, ya que
6 es múltiplo de 2 y de 3.
(2,4) Є R ó 2 R 4
Notación:
ó R (2) = 4
(2,6) Є R ó 2 R 6 ó R (2) = 6
(3,6) Є R ó 3 R 6 ó R (3) = 6
Además de estos elementos podemos agregar que:
b) Dominio, Recorrido y
Codominio :
Dominio:
Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de
partida que son pre-imagen de algún elemento del conjunto de
llegada.
Recorrido:
Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de
llegada que son imagen de algún elemento del conjunto de
partida.
Codominio:
Es otra manera de denominar al conjunto de llegada de la
relación.
Ejemplo:
Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:
R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B , entonces:
Dom(R): = {2,3}
Rec(R): = {4,6}
= {4,5,6} = BCodom(R):
Entonces, si R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B
2
3
7
4
5
6
A B
R
Conj. de partida.
{2,3,7}
Conj. de llegada (Codominio)
{4,5,6}
Pre-imágenes {2,3} Imágenes {4,6}
De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que:
2 es “pre-imagen” de 4 y de 6, y 4 es “imagen” de 2
Este tipo de
representación de
relaciones se denomina
“diagrama sagital”
(sagita = flecha)
Relación Inversa
Una relación R tiene inversa y se escribe como Rˉ¹
Por ejemplo: Sí R={ (2,3), (4,5),(5,6)}
Entonces Rˉ¹ ={(3,2),(5,4),(6,5)}
3. Funciones
Una “función f” es una relación, tal que todo elemento del
conjunto de partida tiene imagen, y ésta es única.
3.1. Definición
Ejemplos:
1. Determine si la siguiente relación R es función:
a
b
c
d
e
f
A B
R
La relación R NO es función, porque c tiene dos imágenes.
R (c)= e
R (c)= f
• Dom f = A
• Ningún elemento del dominio tiene más de una imagen.
2. Determine si la siguiente relación R es función:
3
5
4
6
7
9
A B
R
R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida
tiene imagen y ésta es única.
f (3) = 6
f (5) = 6
f (4) = 7
Además: Dominio(f) = A Recorrido(f) = {6,7}
3
5
4
6
7
9
f
A B
Sea f una función, definida en los reales como:
3.2. Evaluación de funciones
f(x) = 2x + 3.
a) f (1) =
Determinar:
IR IR
f
b) f (3) =
c) f (7) =
d) f (12) =
= 24 + 3
= 27
Ejemplo 1:
1
3
7
12
…
x
5
9
17
27
…
f(x)
2·1 + 3 = 5
2·3 + 3 = 9
2·7 + 3 = 17
2·12 + 3
2·4 + 3 – 3(2·0 + 3)
2(-1) + 3
f (4) - 3·f (0)
f (-1)
=
8 + 3 – 3(3)
1
2
11 – 9
=
=
=
e) Para f(x) = 2x + 3, determinar
Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3.
f(x) = 2x + 3 es “función afín”, Dom(f)=IR y Rec(f)=IR
3.3. Dominio y Recorrido
●
●
●
●
●
●
●
●
●
f
Es una función
●
●
●
●
●
●
●
No es una función
●
●
●
●
●
●
●
●
Es una función
f
A B AA B
BA
TIPOS DE FUNCIONES
Polinómica Racional Logarítmica Exponencial Valor
absoluto
TrigonométricaPor partes
Grado impar Grado par Grado cero
Lineal Cúbica Cuadrática Constante
Afín Lineal
Idéntica
Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada
por la ecuación:
y = mx o como función f(x)=mx con, y =f(x)
Ejemplo: y = 2x
Elementos
 Punto de corte con x: 0
 Punto de corte con y: 0
 Conjunto de salida= Reales
 Conjunto de llegada= Reales
 Dominio= Reales
 Rango= Reales
 Pendiente = 2 es creciente
 Pasa por el origen
FUNCIÓN LINEAL
En la función f(x)= mx + n, m indica la
pendiente ey n indica el punto de corte
con y, el desplazamiento vertical de la
función.
Características de la función lineal
Dominio= Conjunto de Salida= conjunto de los números Reales
Recorrido = Rango= Conjunto de los números Reales (con excepción a la
función constante).
Conjunto de llegada = Reales.
f(x)= mx + n es equivalente la ecuación y= mx + n
m es una constante que se denomina
pendiente que indica el grado de
inclinación de la recta y se halla
mediante la ecuación: Si m > o: la función es creciente
Si m < 0: la función es decreciente
Si m = 0: la función es nula es una constante (
se representa por una recta horizontal)
Si m= ∄ la función se indetermina y resulta ser
una recta vertical.
FUNCIÓN AFIN
Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por
la ecuación: y = mx + n, y tiene un desplazamiento vertical.
Ejemplo: y = 2x+3
Elementos
 coeficiente n= 3
 Punto de corte con y: 3
en el punto (0,3)
 Punto de corte con x:
3
2
punto P(
3
2
,0)
 Conjunto de salida: Reales
 Conjunto de llegada: Reales
 Dominio: Reales
 Rango: Reales
 Pendiente: 2
 Función creciente
AFIN
Cuando m>0, n>0 la gráfica es Cuando m<0, n>0 la gráfica es
Cuando m<0, n<0 la gráfica esCuando m>0, n<0 la gráfica es
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Nociones basicas funciones- primero medio

  • 1. NOCIONES BÁSICAS DE FUNCIONES Primer año Medio Miss Yanira Castro Lizana
  • 2. Funciones ¿Qué es una función? Formas de representación Propiedades Clasificación Tipos Generalidades
  • 3. Una función es una regla de asociación que relaciona el conjunto de llegada y el conjunto de salida. Esta regla no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del rango. No estamos en presencia de una función cuando:  De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.  De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. ¿Qué es una función? a b c d e 1 2 3 4 5 X Y
  • 4. Formas de representar una función VerbalAlgebraicaVisualNumérica por medio de por medio depor medio de por medio de palabrasfórmulasdiagramas y graficastablas x 1 2 3 4 5 … y 11 12 13 14 15… a b c d e 1 2 3 4 5 X Y Y=2x+4 E(t) son los estudiantes del colegio en el instante t.
  • 5. Variable dependiente - Variable independiente Intercepto en el eje X - Intercepto en el eje Y Conjunto de llegada - Conjunto de salida GENERALIDADES Dominio - Rango
  • 6. El DOMINIO es el conjunto de elementos formado por las pre imágenes, generalmente cuando se habla del plano cartesiano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje x, y que nos generan una asociación en el eje y. El otro conjunto llamado RANGO, es la gama de valores que toma la función; en el caso del plano cartesiano son todos los valores que toma la función o valores en el eje y.
  • 7. La VARIABLE INDEPENDIENTE no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x. Las VARIABLES DEPENDIENTES como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.
  • 8. El INTERCEPTO EN EL EJE Y se halla reemplazando a x por 0, y el INTERCEPTO EN EL EJE X se halla igualando la función a f(x)= y e y= 0 y solucionando la ecuación resultante.
  • 9. El CONJUNTO DE LLEGADA contiene los elementos que son la imagen de los valores del conjunto de salida. El CONJUNTO DE SALIDA se llama al conjunto que contiene los elementos del dominio de una función.
  • 11. FUNCIÓN PAR Si f(x) = f (-x). Ejemplo: La función 𝒚 = 𝒙 𝟐 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x. La función 𝒚 = 𝒙 𝟐 es par ya que f (-x) = (−𝒙) 𝟐 = 𝒙 𝟐 Simétricas con respecto al eje Y.
  • 12. FUNCIÓN IMPAR Si f(x) = -f (-x). Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f (-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x). Simétricas con respecto al eje de las coordenadas.
  • 13. FUNCIÓN CRECIENTE La función es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y. 𝛼=Angulo agudo 𝛼
  • 14. FUNCIÓN DECRECIENTE La función es decreciente cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y. 𝛽=Angulo obtuso 𝛽
  • 15. 1. Nociones de Conjuntos a) Definiciones Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos, considerados como una sola unidad. Pertenencia (Є) : Si un objeto “p” es elemento de un conjunto C, entonces p pertenece a C y su notación es: p Є C. Si p no pertenece a C, se denota: p Є C Conjunto vacío (Ø): Es aquel conjunto que no posee elementos. También se denota como: { } Subconjunto ( ): Un conjunto A es “subconjunto” de otro conjunto B si todos los elementos que pertenecen a A, son también elementos de B.
  • 16. b)Producto Cartesiano Dados los conjuntos A y B , su producto cartesiano ( A × B ) está formado por cada uno de los pares ordenados donde el primer elemento pertenece a A y el segundo a B : A x B = { (a,b) / a Є A y b Є B } Ejemplo: Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 } , entonces: A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}
  • 17. a b c 1 2 . . . . . . A B Gráficamente:
  • 18. 2.Relaciones a) Definición: Ejemplo: Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que: R = { (a,b) Є A x B / b es múltiplo de a} A x B = {(2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (7,4); (7,5); (7,6)} R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B entonces: Una “relación R” de un conjunto A a un conjunto B (R: A B), es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B (A x B), determinado por una, o más condiciones. El conjunto A se denomina “Conjunto de Salida” o “Conjunto de Partida”; y el conjunto B, “Conjunto de Llegada” de la relación.
  • 19. 2 3 7 4 5 . . . . . . A BGráficamente: 6 . . . R
  • 20. El par (2,4) pertenece a la relación R, ya que 4 es múltiplo de 2. Los pares (2,6) y (3,6), también están relacionados, ya que 6 es múltiplo de 2 y de 3. (2,4) Є R ó 2 R 4 Notación: ó R (2) = 4 (2,6) Є R ó 2 R 6 ó R (2) = 6 (3,6) Є R ó 3 R 6 ó R (3) = 6 Además de estos elementos podemos agregar que:
  • 21. b) Dominio, Recorrido y Codominio : Dominio: Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que son pre-imagen de algún elemento del conjunto de llegada. Recorrido: Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de llegada que son imagen de algún elemento del conjunto de partida. Codominio: Es otra manera de denominar al conjunto de llegada de la relación.
  • 22. Ejemplo: Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que: R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B , entonces: Dom(R): = {2,3} Rec(R): = {4,6} = {4,5,6} = BCodom(R):
  • 23. Entonces, si R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B 2 3 7 4 5 6 A B R Conj. de partida. {2,3,7} Conj. de llegada (Codominio) {4,5,6} Pre-imágenes {2,3} Imágenes {4,6} De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que: 2 es “pre-imagen” de 4 y de 6, y 4 es “imagen” de 2 Este tipo de representación de relaciones se denomina “diagrama sagital” (sagita = flecha)
  • 24. Relación Inversa Una relación R tiene inversa y se escribe como Rˉ¹ Por ejemplo: Sí R={ (2,3), (4,5),(5,6)} Entonces Rˉ¹ ={(3,2),(5,4),(6,5)}
  • 25. 3. Funciones Una “función f” es una relación, tal que todo elemento del conjunto de partida tiene imagen, y ésta es única. 3.1. Definición Ejemplos: 1. Determine si la siguiente relación R es función: a b c d e f A B R La relación R NO es función, porque c tiene dos imágenes. R (c)= e R (c)= f • Dom f = A • Ningún elemento del dominio tiene más de una imagen.
  • 26. 2. Determine si la siguiente relación R es función: 3 5 4 6 7 9 A B R R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida tiene imagen y ésta es única. f (3) = 6 f (5) = 6 f (4) = 7 Además: Dominio(f) = A Recorrido(f) = {6,7} 3 5 4 6 7 9 f A B
  • 27. Sea f una función, definida en los reales como: 3.2. Evaluación de funciones f(x) = 2x + 3. a) f (1) = Determinar: IR IR f b) f (3) = c) f (7) = d) f (12) = = 24 + 3 = 27 Ejemplo 1: 1 3 7 12 … x 5 9 17 27 … f(x) 2·1 + 3 = 5 2·3 + 3 = 9 2·7 + 3 = 17 2·12 + 3
  • 28. 2·4 + 3 – 3(2·0 + 3) 2(-1) + 3 f (4) - 3·f (0) f (-1) = 8 + 3 – 3(3) 1 2 11 – 9 = = = e) Para f(x) = 2x + 3, determinar
  • 29. Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3. f(x) = 2x + 3 es “función afín”, Dom(f)=IR y Rec(f)=IR 3.3. Dominio y Recorrido
  • 30. ● ● ● ● ● ● ● ● ● f Es una función ● ● ● ● ● ● ● No es una función ● ● ● ● ● ● ● ● Es una función f A B AA B BA
  • 31. TIPOS DE FUNCIONES Polinómica Racional Logarítmica Exponencial Valor absoluto TrigonométricaPor partes Grado impar Grado par Grado cero Lineal Cúbica Cuadrática Constante Afín Lineal Idéntica
  • 32. Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx o como función f(x)=mx con, y =f(x) Ejemplo: y = 2x Elementos  Punto de corte con x: 0  Punto de corte con y: 0  Conjunto de salida= Reales  Conjunto de llegada= Reales  Dominio= Reales  Rango= Reales  Pendiente = 2 es creciente  Pasa por el origen FUNCIÓN LINEAL
  • 33. En la función f(x)= mx + n, m indica la pendiente ey n indica el punto de corte con y, el desplazamiento vertical de la función. Características de la función lineal Dominio= Conjunto de Salida= conjunto de los números Reales Recorrido = Rango= Conjunto de los números Reales (con excepción a la función constante). Conjunto de llegada = Reales. f(x)= mx + n es equivalente la ecuación y= mx + n m es una constante que se denomina pendiente que indica el grado de inclinación de la recta y se halla mediante la ecuación: Si m > o: la función es creciente Si m < 0: la función es decreciente Si m = 0: la función es nula es una constante ( se representa por una recta horizontal) Si m= ∄ la función se indetermina y resulta ser una recta vertical. FUNCIÓN AFIN
  • 34. Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx + n, y tiene un desplazamiento vertical. Ejemplo: y = 2x+3 Elementos  coeficiente n= 3  Punto de corte con y: 3 en el punto (0,3)  Punto de corte con x: 3 2 punto P( 3 2 ,0)  Conjunto de salida: Reales  Conjunto de llegada: Reales  Dominio: Reales  Rango: Reales  Pendiente: 2  Función creciente AFIN
  • 35. Cuando m>0, n>0 la gráfica es Cuando m<0, n>0 la gráfica es Cuando m<0, n<0 la gráfica esCuando m>0, n<0 la gráfica es