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NUMERO AUREO
         FIBONACCI


ESCUELA SECUNDARIA TÉCNICA NO.

                   118

NOMBRE: Karla Nayeli Mendoza Gaona

MATERIA: Ma73mát1ca5

GRADO Y GRUPO: 3°A

PROFESOR: Luis Miguel M. Villareal

CICLO ESCOLAR: 2O12-2O13
NUMERO AUREO FIBONACCI                              (resumen de mucha
información)

El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea,
razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado
por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor
griego Fidias, es un número irracional:




El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos
segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:




El segmento menor es b. El cociente       es el valor del número áureo: φ.

Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros
dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo
resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.

Cálculo del valor del número áureo

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:




Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:




multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:




Igualamos a cero:
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:




que es el valor del número áureo, equivalente a la relación   .

El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300-265
a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:

"Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta
entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.’’

                              Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón
de dos números enteros, es decir, es un número irracional.

Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin
embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el
número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió:

"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón
dio origen."

     Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del
Sistema Solar utilizando los solidios platónicos, y se refirió al número áureo en
términos grandiosos

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro,
la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos
comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya
preciosa”

           Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico).

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este
número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico
Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar
Matemati (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:

"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos
partes como éstas la sección dorada."

         Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras
                                                               Elementales).

El número áureo en la geometría




El tríangulo de Kepler:




El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos
geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, que
sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

      Relaciones entre las partes   del pentágono.
      Relaciones entre las partes   del pentágono estrellado, pentáculo o
      pentagrama.
      Relaciones entre las partes   del decágono.
      Relaciones entre las partes   del dodecaedro y del icosaedro.

HABLANDO DE OTRA HISTORIA RECIENTE…

Los números de Fibonacci tienen propiedades matemáticas interesantes, y muchas
operaciones aritméticas entre ellos vuelven a dar números de Fibonacci. Una de
ellas, apuntada por el astrónomo Johannes Kepler es la siguiente: si vamos
dividiendo entre ellos números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores, su
cociente se acerca al valor 1.618033... Esta constante se denomina número de oro,
número áureo o divina proporción, e históricamente se le han atribuido
propiedades estéticas. Un rectángulo cuyo lado menor esté en la misma
proporción respecto al mayor, que el lado mayor respecto a la suma de los dos
lados, sigue las proporciones áureas. Hay estudios psicológicos que consideran
que la proporción áurea está relacionada con la percepción de la belleza por el
cerebro humano. Así se cree que obras como las pirámides o la acrópolis pudieron
ser construidas siguiendo esta proporción. También aparece en la disposición de
los elementos en cuadros como La Última Cena de Leonardo, o en la fachada de
Nôtre-Dame de París. Ya en el siglo XX, el arquitecto Le Corbusier tomó el
número áureo como base para su sistema de arquitectura Modular. Y como
aplicación más cercana, la proporción de los lados de las tarjetas de crédito es
muy cercana al número áureo. También hay quien apunta a la divina proporción en
la naturaleza, como por ejemplo en la relación entre la altura de una persona y la
altura de su ombligo, o en las proporciones del cuerpo de muchos animales.

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Numero aureo fibonacci MENDOZA GAONA

  • 1. NUMERO AUREO FIBONACCI ESCUELA SECUNDARIA TÉCNICA NO. 118 NOMBRE: Karla Nayeli Mendoza Gaona MATERIA: Ma73mát1ca5 GRADO Y GRUPO: 3°A PROFESOR: Luis Miguel M. Villareal CICLO ESCOLAR: 2O12-2O13
  • 2. NUMERO AUREO FIBONACCI (resumen de mucha información) El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional: El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación: El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ. Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor. Cálculo del valor del número áureo Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple: Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será: multiplicando ambos miembros por a, obtenemos: Igualamos a cero:
  • 3. La solución positiva de la ecuación de segundo grado es: que es el valor del número áureo, equivalente a la relación . El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera: "Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.’’ Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir, es un número irracional. Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió: "Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen." Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los solidios platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa” Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico). El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico
  • 4. Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matemati (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie: "Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada." Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales). El número áureo en la geometría El tríangulo de Kepler: El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco. Relaciones entre las partes del pentágono. Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama. Relaciones entre las partes del decágono. Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro. HABLANDO DE OTRA HISTORIA RECIENTE… Los números de Fibonacci tienen propiedades matemáticas interesantes, y muchas operaciones aritméticas entre ellos vuelven a dar números de Fibonacci. Una de ellas, apuntada por el astrónomo Johannes Kepler es la siguiente: si vamos dividiendo entre ellos números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores, su
  • 5. cociente se acerca al valor 1.618033... Esta constante se denomina número de oro, número áureo o divina proporción, e históricamente se le han atribuido propiedades estéticas. Un rectángulo cuyo lado menor esté en la misma proporción respecto al mayor, que el lado mayor respecto a la suma de los dos lados, sigue las proporciones áureas. Hay estudios psicológicos que consideran que la proporción áurea está relacionada con la percepción de la belleza por el cerebro humano. Así se cree que obras como las pirámides o la acrópolis pudieron ser construidas siguiendo esta proporción. También aparece en la disposición de los elementos en cuadros como La Última Cena de Leonardo, o en la fachada de Nôtre-Dame de París. Ya en el siglo XX, el arquitecto Le Corbusier tomó el número áureo como base para su sistema de arquitectura Modular. Y como aplicación más cercana, la proporción de los lados de las tarjetas de crédito es muy cercana al número áureo. También hay quien apunta a la divina proporción en la naturaleza, como por ejemplo en la relación entre la altura de una persona y la altura de su ombligo, o en las proporciones del cuerpo de muchos animales.