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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Edo. Lara
Números Reales
Inecuacios, desigualdades y Valor absoluto
Autor: Jean Álvarez 23.850.826
Sección: 0102
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CONJUNTOS
Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir,
elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o
características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos,
ciertas relaciones.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es
común denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras
mayúsculas, así por ejemplo:
C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen
sus elementos, por ejemplo:
Es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 ( incluidos ambos).
Diversos conjuntos numéricos.
En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven
para contar.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números enteros, o
números que sirven para designar cantidades enteras (positivas o negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de
los números racionales
Operacionesentreconjuntos
Al considerar dos conjuntos y , son diversas las operaciones que se pueden definir
sobre ellos dos. Sin embargo, todas se basan en las operaciones de unión, intersección y el
complemento. A continuación estudiaremos de forma concisa cada una de estas
operaciones apoyándonos en Diagramas de Venn y usando conjuntos numéricos.
Unión de Conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, definiremos la Unión de estos dos conjuntos como un nuevo
conjunto que contiene todos los elementos de A junto con todos los elementos de B y la
denotaremos por A B. Si consideramos un elemento c del conjunto A
B entonces c pertenece a A o pertenece a B.
Diagramas de Venn
Ejemplo
La unión del conjunto con el conjunto es el
conjunto , es decir,
Intersección de Conjuntos
Por otra parte si consideramos nuevamente dos conjuntos A y B, definiremos
la Intersección entre estos dos conjuntos como un nuevo conjunto que contiene todos los
elementos que están en A y que están en B al mismo tiempo, y lo denotaremos por .
Si consideramos un elemento c de entonces c pertenece a A y pertenece a B. En el
siguiente Diagrama de Venn, la intersección de los conjuntos queda representada por el
área donde las líneas se cruzan.
Ejemplo
La intersección del conjunto con el conjunto es el
conjunto , es decir,
LOS NÚMEROS REALES
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de
los números reales, se designa por .
La noción de orden en el conjunto de los números reales permite definir en la recta real los
siguientes conjuntos numéricos:
 Intervalo abierto de extremos a y b. Es el conjunto de número reales, cuyos
elementos son mayores que a y menores que b: .
 Intervalo cerrado de extremos a y b. Es el conjunto de número reales, cuyos
elementos son mayores o iguales que a y menores o iguales
que b: .
 Intervalo semiabierto o semicerrado de extremos a y b. Observa en este caso, que
solo está incluido uno de los extremos:
DESIGUALDADES
Expresiones en las que aparece un signo de desigualdad.
< > ≤ ≥
Ejemplos de desigualdades:
3 < 7
-2 > -5
x ≤ 2
x-3 ≥ y
Intervalo abierto
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y
menores que b.
(a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a
y menores o iguales que b.
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales
mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales
mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
Inecuaciones de primer grado
Una inecuación de primer grado es una desigualdad en la que la potencia de variable es
uno.
Ejemplos
es una inecuación de
primer grado.
Hallar los valores de que satisfacen la inecuación
Eliminamos primero los paréntesis y después los corchetes
2 Para eliminar los denominadores multiplicamos ambos lados de la inecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores que aparecen en la inecuación, es decir,
por y simplificamos las expresiones
3 Despejamos las al lado izquierdo de la inecuación y las constantes al lado derecho.
Para esto restamos y en cada lado de la inecuación y simplificamos las
expresiones
4 Para despejar multiplicamos ambos lados de la inecuación por . Al multiplicar
ambos lados por un número negativo, se cambia el sentido del símbolo de la inecuación
5 También podemos expresar la solución de la inecuación en forma gráfica
6 También podemos expresar la solución de la inecuación en forma de intervalo
Inecuación de 2do grado
1x² − 6x + 8 > 0
Solución
x² − 6x + 8 > 0
1º Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos
las raíces de la ecuación de segundo grado.
x² − 6x + 8 = 0
Las soluciones son raíces reales distintas porque el discriminante
es mayor que cero (Δ > 0)
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un
punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
Los puntos extremos están en blanco porque no pertenecen a la
solución, ya que no es mayor o igual
P(0) = 0² − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 3² − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 5² − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo)
que tengan el mismo signo que el polinomio.
Los intervalos son abiertos porque 2 y 4 no están incluidos en la solución
Inecuación de Cuarto Grado
Procedamos a resolver
Notemos que al final dividí entre , esto es porque al ser la expresión estrictamente
positiva, es imposible que , por lo tanto . Ahora, calculando las raíces
de podemos escribir nuestra inecuación como
Esto nos dice que , sin embargo, el producto es positivo
únicamente cuando las expresiones que se multiplican tienen el mismo signo, esto es,
tenemos dos casos principales, uno es que y , o bien, el otro
caso es que y .
Evaluemos cada caso, empecemos con el primero que mencionamos. Supongamos
que , entonces , además, tenemos que ,
entonces , esto es debe cumplir que y , o bien, debe
pertenecer a la intersección de los intervalos y . Notemos que
la intersección es , por lo tanto esta es una solución.
Ahora procedamos con el segundo caso, supongamos que ,
entonces , además, tenemos que , entonces , esto nos dice
que debe cumplir que y , o bien, debe pertenecer a la intersección
de los intervalos y . Notemos que la intersección es , dicho
intervalo también es solución.
Así, nuestra solución final es la unión de las dos soluciones individuales que encontramos,
esto es, la solución final es .
VALOR ABSOLUTO
el valor absoluto o módulo1
de un número real , denotado por , es el valor no
negativo de sin importar el signo, sea este positivo o negativo.2
Así, 3 es el valor
absoluto de +3 y de -3.
Valor absoluto de un número real
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo
o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
Propiedades del valor absoluto
Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los
factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
DESIGUALDA CON VALOR ABSOLUTO
La relación entre el valor absoluto y la distancia nos permite utilizar los valores absolutos
para describir desigualdades, y esto nos conduce a las siguientes propiedades:
Si k es número positivo (k>0) y a, b, y x son números reales entonces:
1. 2.
Las propiedades 1 y 2 también son validas si £ se remplaza por <.
3. Si , entonces x = k, o, x = -k. 4. .
Ejemplo 1
| |5 - 2x| - 4 | = 10
Ejemplo 2
|2x – 5| = 3.
Solución: Por la propiedad 3de (4), |2x – 5| = 3 es equivalente a las siguientes ecuaciones:
2x – 5 = 3 o 2x – 5 = - 3
Resolviendo 2x – 5 = 3. Tenemos:
2x = 3 +5
2x = 8
x = 8/2 = 4
Resolviendo 2x – 5 =
3. Obtenemos:
2x = -3 + 5
2x = 2
x = 2/2 = 1
De aquí tenemos que la igualdad |2x – 5| = 3 tiene como solución los valores de x = 4 y x=
1.

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Numeros reales

  • 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto – Edo. Lara Números Reales Inecuacios, desigualdades y Valor absoluto Autor: Jean Álvarez 23.850.826 Sección: 0102 Prof: Mary de cols
  • 2. CONJUNTOS Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir, elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones. Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es común denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas, así por ejemplo: C = {a, b, c, d, e, f, g, h} En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus elementos, por ejemplo: Es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 ( incluidos ambos). Diversos conjuntos numéricos. En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar. Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números enteros, o números que sirven para designar cantidades enteras (positivas o negativas). Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números racionales Operacionesentreconjuntos Al considerar dos conjuntos y , son diversas las operaciones que se pueden definir sobre ellos dos. Sin embargo, todas se basan en las operaciones de unión, intersección y el complemento. A continuación estudiaremos de forma concisa cada una de estas operaciones apoyándonos en Diagramas de Venn y usando conjuntos numéricos.
  • 3. Unión de Conjuntos Dados dos conjuntos A y B, definiremos la Unión de estos dos conjuntos como un nuevo conjunto que contiene todos los elementos de A junto con todos los elementos de B y la denotaremos por A B. Si consideramos un elemento c del conjunto A B entonces c pertenece a A o pertenece a B. Diagramas de Venn Ejemplo La unión del conjunto con el conjunto es el conjunto , es decir, Intersección de Conjuntos Por otra parte si consideramos nuevamente dos conjuntos A y B, definiremos la Intersección entre estos dos conjuntos como un nuevo conjunto que contiene todos los elementos que están en A y que están en B al mismo tiempo, y lo denotaremos por . Si consideramos un elemento c de entonces c pertenece a A y pertenece a B. En el siguiente Diagrama de Venn, la intersección de los conjuntos queda representada por el área donde las líneas se cruzan. Ejemplo La intersección del conjunto con el conjunto es el conjunto , es decir,
  • 4. LOS NÚMEROS REALES El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por . La noción de orden en el conjunto de los números reales permite definir en la recta real los siguientes conjuntos numéricos:  Intervalo abierto de extremos a y b. Es el conjunto de número reales, cuyos elementos son mayores que a y menores que b: .  Intervalo cerrado de extremos a y b. Es el conjunto de número reales, cuyos elementos son mayores o iguales que a y menores o iguales que b: .  Intervalo semiabierto o semicerrado de extremos a y b. Observa en este caso, que solo está incluido uno de los extremos: DESIGUALDADES Expresiones en las que aparece un signo de desigualdad. < > ≤ ≥ Ejemplos de desigualdades: 3 < 7 -2 > -5 x ≤ 2 x-3 ≥ y Intervalo abierto Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) = {x / a < x < b}
  • 5. Intervalo cerrado Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] = {x / a ≤ x ≤ b} Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. (a, b] = {x / a < x ≤ b} Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. [a, b) = {x / a ≤ x < b}
  • 6. Inecuaciones de primer grado Una inecuación de primer grado es una desigualdad en la que la potencia de variable es uno. Ejemplos es una inecuación de primer grado. Hallar los valores de que satisfacen la inecuación Eliminamos primero los paréntesis y después los corchetes
  • 7. 2 Para eliminar los denominadores multiplicamos ambos lados de la inecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores que aparecen en la inecuación, es decir, por y simplificamos las expresiones 3 Despejamos las al lado izquierdo de la inecuación y las constantes al lado derecho. Para esto restamos y en cada lado de la inecuación y simplificamos las expresiones 4 Para despejar multiplicamos ambos lados de la inecuación por . Al multiplicar ambos lados por un número negativo, se cambia el sentido del símbolo de la inecuación
  • 8. 5 También podemos expresar la solución de la inecuación en forma gráfica 6 También podemos expresar la solución de la inecuación en forma de intervalo Inecuación de 2do grado 1x² − 6x + 8 > 0 Solución x² − 6x + 8 > 0 1º Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado. x² − 6x + 8 = 0
  • 9. Las soluciones son raíces reales distintas porque el discriminante es mayor que cero (Δ > 0) 2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: Los puntos extremos están en blanco porque no pertenecen a la solución, ya que no es mayor o igual P(0) = 0² − 6 · 0 + 8 > 0 P(3) = 3² − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0 P(5) = 5² − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0 3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
  • 10. Los intervalos son abiertos porque 2 y 4 no están incluidos en la solución Inecuación de Cuarto Grado Procedamos a resolver Notemos que al final dividí entre , esto es porque al ser la expresión estrictamente positiva, es imposible que , por lo tanto . Ahora, calculando las raíces de podemos escribir nuestra inecuación como Esto nos dice que , sin embargo, el producto es positivo únicamente cuando las expresiones que se multiplican tienen el mismo signo, esto es, tenemos dos casos principales, uno es que y , o bien, el otro caso es que y . Evaluemos cada caso, empecemos con el primero que mencionamos. Supongamos que , entonces , además, tenemos que , entonces , esto es debe cumplir que y , o bien, debe
  • 11. pertenecer a la intersección de los intervalos y . Notemos que la intersección es , por lo tanto esta es una solución. Ahora procedamos con el segundo caso, supongamos que , entonces , además, tenemos que , entonces , esto nos dice que debe cumplir que y , o bien, debe pertenecer a la intersección de los intervalos y . Notemos que la intersección es , dicho intervalo también es solución. Así, nuestra solución final es la unión de las dos soluciones individuales que encontramos, esto es, la solución final es . VALOR ABSOLUTO el valor absoluto o módulo1 de un número real , denotado por , es el valor no negativo de sin importar el signo, sea este positivo o negativo.2 Así, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3. Valor absoluto de un número real Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo. |5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0 |x| = 2 x = −2 x = 2
  • 12. Propiedades del valor absoluto Los números opuestos tienen igual valor absoluto. |a| = |−a| |5| = |−5| = 5 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. |a · b| = |a| ·|b| |5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10 DESIGUALDA CON VALOR ABSOLUTO La relación entre el valor absoluto y la distancia nos permite utilizar los valores absolutos para describir desigualdades, y esto nos conduce a las siguientes propiedades: Si k es número positivo (k>0) y a, b, y x son números reales entonces: 1. 2. Las propiedades 1 y 2 también son validas si £ se remplaza por <. 3. Si , entonces x = k, o, x = -k. 4. . Ejemplo 1 | |5 - 2x| - 4 | = 10
  • 13. Ejemplo 2 |2x – 5| = 3. Solución: Por la propiedad 3de (4), |2x – 5| = 3 es equivalente a las siguientes ecuaciones: 2x – 5 = 3 o 2x – 5 = - 3 Resolviendo 2x – 5 = 3. Tenemos: 2x = 3 +5 2x = 8 x = 8/2 = 4 Resolviendo 2x – 5 = 3. Obtenemos: 2x = -3 + 5 2x = 2 x = 2/2 = 1 De aquí tenemos que la igualdad |2x – 5| = 3 tiene como solución los valores de x = 4 y x= 1.