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1
2 
Objetivos: 
1. Sumar y restar polinomios 
2. Multiplicar un monomio por un monomio. 
3. Multiplicar un monomio por un polinomio. 
4. Multiplicar un polinomio por un polinomio. 
5. Multiplicar polinomios usando los 
productos especiales: la diferencia de 
cuadrados y la expansión de binomios.
3 
Definición 
Dos términos son semejantes si tienen las 
mismas variables con los mismos exponentes. 
Ejemplos: 
1) 3x2 y5 y  4x2 y5 
2) ab y 2ba
4 
La suma y la resta de polinomios 
Definición 
Para sumar polinomios, se suman los 
coeficientes de los términos semejantes 
de los dos polinomios. 
Aclaración: 
Lo que nos permite definir la suma de 
términos semejantes es la propiedad 
asociativa de los números reales.
5 
Efectúe la operación indicada. 
1) 3x3 5x2  4x 5x2 5x 2  
      3 2 2  3x  5x  x  4x  5x  5 2 
3 2  3x  4x  x  3 
    4 2 4 2 2) x  x  3x  7  8x  3x  3x  6 
        4 4 2 2  x 8x  x 3x  3x  3x  7  6 
4 2  9x  4x  6x 13
6 
La resta de polinomios 
Definición 
La resta de dos polinómios se define como 
la suma del opuesto del pololinomio 
sustraendo.
7 
Efectúe la operación indicada. 
1) 3x3 5x2  4x  5 x2  5x  2 
    3 2 2  3x 5x  4x  5  x 5x  2 
3 2  3x  6x  9x  7 
    4 2 4 2 2) x  x  3x  7  8x  3x  3x  6 
    4 2 4 2  x  x  3x  7  8x  3x 3x  6 
        4 4 2 2  x 8x  x  3x  3x 3x  7  6 
4 2  7x  2x 1
8 
3) 2x53x752x3  
 2x 3x 10x  5 7 15 
 11x  27 
4) 2x 6x 4x 75  
 2x 6x  4x  75 
 2x 2x  75 
 2x2x75 
 2
9 
La multiplicación de polinomios 
Aclaración: 
Para multiplicar polinomios, se necesita 
conocer las reglas de los exponentes 
enteros y la propiedad distributiva de la 
multiplicación con respecto a la suma.
10 La multiplicación de monomios 
La multiplicación de dos monomios se lleva a 
cabo usando las leyes de exponentes y las 
propiedades de los números reales. 
1) 4x3 5x5   8 20x 
    2 3 
2 3 4 2 2) 5y x 2y x      4 6 12 6 25y x 8y x 
16 12  200y x
La multiplicación de un monomio por un 11 
polinomio 
La multiplicación de un monomio por un 
polinomio se lleva a cabo multiplicando el 
monomio por cada término del polinomio 
mediante la propiedad distributiva de los 
números reales. 
  2 4 1) 3x 6x 5x 7  6 18x 3 15x 2 21x 
   3 10 5 2) 4w z 7w 2z  13 28w z 3 6 8w z
La multiplicación de un polinomio por 12 
otro polinomio 
La multiplicación de un polinomio por otro 
polinomio se lleva a cabo multiplicando el cada 
término del primer polinomio por cada término 
del segundo polinomio mediante la propiedad 
distributiva de los números reales.
13 
1) 2x 14x 3  2 8x 6 x  4x  3 
 2 8x 10x  3 
   2 2 2 2) 4x  6y  2 x  xy  y  
4 4x 3 4x y   2 2 4x y 2 6x y 2 6xy 3 6y 2 2 2x  2xy  2y 
   2 2 2 3) 2x  y  4 x  xy  2y  
4 2x 3  2x y 2 2 4x y 2 x y 2 xy 3 2y 2 2 4x  4xy  8y
14 
4) 3x  24x 1  2 12x 3 x 8 x 2 
2 12x 11  x 2  
   2 2 2 5) x  2y  4 3x  2xy  y  
4  3x 3 2x y 2 2 x y 2 6x y 2 4xy 3 2y 2 2 12x  8xy  4y 
   2 2 2 6) 2x  3y  4 x  2xy  2y  
4  2x 3 4x y 2 2 4x y 2 3x y 2 6xy 3 6y 2 2 4x  8xy  8y
15 
Productos especiales 
1. Diferencia de Cuadrados 
a ba b 
2 2  a  b 
Ejemplos: 
3x  53x 5  9 25 2 x  
7x  47x  4  49 16 2 x  
1) 
2) 
2 2 a  ab  ba  b
16 
2x  3y2x 3y  2 2 4x 9y 
3) 
     3 2 3 2 3a 4b 3a 4b 6 4 9a 16b 
4)
17 
2. La expansión de un binomio al 
cuadrado 
a ba b 
 ab2  2 b 2 a  
a ba b 
2  a 
    2 a b 
    2 a b 
 ab2  2 b 
Ejemplos: 
    2 x 5 2 1) x  10x  25
18 
    2 8x 3 2 64x  x 48  9 
    2 8 5 y 25y 80 2 64 y  
    
3 2 4x 3 6 16x  3 24x  9 
2) 
3) 
4)
19 
3. La expansión de un binomio al cubo 
    3 a b 
    3 a b 
3 a  b a2 3  2 3ab  3 b 
3 ab a2 3  2 3ab  3 b
20 
Ejemplos: 
    3 2x 5 3 8x      5 2 3 2 x    2 5 2 3 x 125 
 3 8x    5 4 3 2 x    25 2 3 x  125 
 3 8x  2 60x  x 150  125 
1)
21 
    3 3x 4 3 27x 2 108x  x 144 64 
 3 x  y 
2   
3 x  2 2 3 y x  4 3xy  6 y 
2) 
3)
22 
División de Polinómios 
Aclaración: 
Para dividir polinomios éstos deben estar 
expresados en forma decendente. Esto es; 
las potencias deben aparecer en orden de 
mayor a menor. 
De faltar alguna potencia se añadirá con 
coeficiente cero.
Teorema: Algoritmo de División 
23 Si dividimos un polinomio P ( x 
) por otro 
polinomio D ( x 
) llamado el divisor, entonces 
existen polinomios Q ( x 
) llamado el cociente y 
R ( x ) llamado el residuo ,con el grado de R ( x 
) 
menor que el grado de D ( 
x), tal que 
P(x)  D(x).Q(x)  R(x) 
3 
Ejemplo: 2 7 
6 
1 
7  2(3) 1 
P(x) D(x) Q(x) R(x)
Procedimiento para le división de 24 
polinomios 
1. Colocar el dividendo dentro del símbolo ( la 
casita ) de división en forma descendente de 
acuerdo con los exponentes. 
2. Si alguna potencia no aparece añádala con 
coeficiente cero. 
3. Divide el primer término del dividendo entre el 
primer término del divisor para obtener el 
primer término cociente. 
4. Multiplica el término del cociente por cada 
uno de los términos del divisor. 
5. Resta el dividendo menos el polinomio 
obtenido al multiplicar el paso anterior. 
6. Repite los pasos 3,4 y 5 hasta que el grado del 
residuo sea menor que el grado del divisor.
25 
Ejemplo 1 
Usa la división larga para dividir los polinomios. 
5  6 8  2  3 x x x 
Primero expresamos los polinomios 
en forma decendente. 
5  0  6 8  2  3 2 x x x x 
ojo 
x2 
5 0 6 8 3 2 x  x  x 
26 
2 5x 
x 10  
26  
2x 8 6 0 5 3 2 x  x  x  
3 5x  2 10x 
2 10x x 6  
2 10x  x 20  
 
x 26 8 
x 26  52 
44 residuo 
 
27 
Resultado: 
5 10 26 2   x x  
44 
 
2 
 
x 
  
2 5 10 26 x x     
44 
x  
2 
3 5 6 8 
x x 
x 
2 
 
 
Usando el algoritmo de división t 
5 6 8 2 5 10 26 
enemos 
3   2 
 4 
, 
x  x   x  x  x   4
28 
2. 5x2 17x 12 x  4  
x 5 
5 17 12 2   x x 4x 
2 5x x 20  
3x 12 
3  
3x 12 
3 5  x 
0 residuo
29 
3 
  
3 7 
1 
  
2 
3. 
x x 
x 
 
 
x x 
  
3 7 
2 1 
3 
2 
  
 
x x 
3 2 
x x x 
   
0 3 7 
2 
  
2 1 
 
x x
30 
x 
2  
0 3 7 3 2 2 1 x  x  x  2 x  x  
3 x 2 2x  x  
2 2x x 2  7  
2 2x x 4  2 
x 6 5  residuo
31 
Resultado: 
2  x  
x 
6  
5 
2   
x x 
2 1 
3 
x x 
  
3 7 
1 
  
2 
x 
 
 
Usando el algoritmo de división 
    3 2 
tenemos, 
x  x   x  x   x  
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Operaciones con polinomios-EMDH

  • 1. 1
  • 2. 2 Objetivos: 1. Sumar y restar polinomios 2. Multiplicar un monomio por un monomio. 3. Multiplicar un monomio por un polinomio. 4. Multiplicar un polinomio por un polinomio. 5. Multiplicar polinomios usando los productos especiales: la diferencia de cuadrados y la expansión de binomios.
  • 3. 3 Definición Dos términos son semejantes si tienen las mismas variables con los mismos exponentes. Ejemplos: 1) 3x2 y5 y  4x2 y5 2) ab y 2ba
  • 4. 4 La suma y la resta de polinomios Definición Para sumar polinomios, se suman los coeficientes de los términos semejantes de los dos polinomios. Aclaración: Lo que nos permite definir la suma de términos semejantes es la propiedad asociativa de los números reales.
  • 5. 5 Efectúe la operación indicada. 1) 3x3 5x2  4x 5x2 5x 2        3 2 2  3x  5x  x  4x  5x  5 2 3 2  3x  4x  x  3     4 2 4 2 2) x  x  3x  7  8x  3x  3x  6         4 4 2 2  x 8x  x 3x  3x  3x  7  6 4 2  9x  4x  6x 13
  • 6. 6 La resta de polinomios Definición La resta de dos polinómios se define como la suma del opuesto del pololinomio sustraendo.
  • 7. 7 Efectúe la operación indicada. 1) 3x3 5x2  4x  5 x2  5x  2     3 2 2  3x 5x  4x  5  x 5x  2 3 2  3x  6x  9x  7     4 2 4 2 2) x  x  3x  7  8x  3x  3x  6     4 2 4 2  x  x  3x  7  8x  3x 3x  6         4 4 2 2  x 8x  x  3x  3x 3x  7  6 4 2  7x  2x 1
  • 8. 8 3) 2x53x752x3   2x 3x 10x  5 7 15  11x  27 4) 2x 6x 4x 75   2x 6x  4x  75  2x 2x  75  2x2x75  2
  • 9. 9 La multiplicación de polinomios Aclaración: Para multiplicar polinomios, se necesita conocer las reglas de los exponentes enteros y la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
  • 10. 10 La multiplicación de monomios La multiplicación de dos monomios se lleva a cabo usando las leyes de exponentes y las propiedades de los números reales. 1) 4x3 5x5   8 20x     2 3 2 3 4 2 2) 5y x 2y x      4 6 12 6 25y x 8y x 16 12  200y x
  • 11. La multiplicación de un monomio por un 11 polinomio La multiplicación de un monomio por un polinomio se lleva a cabo multiplicando el monomio por cada término del polinomio mediante la propiedad distributiva de los números reales.   2 4 1) 3x 6x 5x 7  6 18x 3 15x 2 21x    3 10 5 2) 4w z 7w 2z  13 28w z 3 6 8w z
  • 12. La multiplicación de un polinomio por 12 otro polinomio La multiplicación de un polinomio por otro polinomio se lleva a cabo multiplicando el cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio mediante la propiedad distributiva de los números reales.
  • 13. 13 1) 2x 14x 3  2 8x 6 x  4x  3  2 8x 10x  3    2 2 2 2) 4x  6y  2 x  xy  y  4 4x 3 4x y   2 2 4x y 2 6x y 2 6xy 3 6y 2 2 2x  2xy  2y    2 2 2 3) 2x  y  4 x  xy  2y  4 2x 3  2x y 2 2 4x y 2 x y 2 xy 3 2y 2 2 4x  4xy  8y
  • 14. 14 4) 3x  24x 1  2 12x 3 x 8 x 2 2 12x 11  x 2     2 2 2 5) x  2y  4 3x  2xy  y  4  3x 3 2x y 2 2 x y 2 6x y 2 4xy 3 2y 2 2 12x  8xy  4y    2 2 2 6) 2x  3y  4 x  2xy  2y  4  2x 3 4x y 2 2 4x y 2 3x y 2 6xy 3 6y 2 2 4x  8xy  8y
  • 15. 15 Productos especiales 1. Diferencia de Cuadrados a ba b 2 2  a  b Ejemplos: 3x  53x 5  9 25 2 x  7x  47x  4  49 16 2 x  1) 2) 2 2 a  ab  ba  b
  • 16. 16 2x  3y2x 3y  2 2 4x 9y 3)      3 2 3 2 3a 4b 3a 4b 6 4 9a 16b 4)
  • 17. 17 2. La expansión de un binomio al cuadrado a ba b  ab2  2 b 2 a  a ba b 2  a     2 a b     2 a b  ab2  2 b Ejemplos:     2 x 5 2 1) x  10x  25
  • 18. 18     2 8x 3 2 64x  x 48  9     2 8 5 y 25y 80 2 64 y      3 2 4x 3 6 16x  3 24x  9 2) 3) 4)
  • 19. 19 3. La expansión de un binomio al cubo     3 a b     3 a b 3 a  b a2 3  2 3ab  3 b 3 ab a2 3  2 3ab  3 b
  • 20. 20 Ejemplos:     3 2x 5 3 8x      5 2 3 2 x    2 5 2 3 x 125  3 8x    5 4 3 2 x    25 2 3 x  125  3 8x  2 60x  x 150  125 1)
  • 21. 21     3 3x 4 3 27x 2 108x  x 144 64  3 x  y 2   3 x  2 2 3 y x  4 3xy  6 y 2) 3)
  • 22. 22 División de Polinómios Aclaración: Para dividir polinomios éstos deben estar expresados en forma decendente. Esto es; las potencias deben aparecer en orden de mayor a menor. De faltar alguna potencia se añadirá con coeficiente cero.
  • 23. Teorema: Algoritmo de División 23 Si dividimos un polinomio P ( x ) por otro polinomio D ( x ) llamado el divisor, entonces existen polinomios Q ( x ) llamado el cociente y R ( x ) llamado el residuo ,con el grado de R ( x ) menor que el grado de D ( x), tal que P(x)  D(x).Q(x)  R(x) 3 Ejemplo: 2 7 6 1 7  2(3) 1 P(x) D(x) Q(x) R(x)
  • 24. Procedimiento para le división de 24 polinomios 1. Colocar el dividendo dentro del símbolo ( la casita ) de división en forma descendente de acuerdo con los exponentes. 2. Si alguna potencia no aparece añádala con coeficiente cero. 3. Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término cociente. 4. Multiplica el término del cociente por cada uno de los términos del divisor. 5. Resta el dividendo menos el polinomio obtenido al multiplicar el paso anterior. 6. Repite los pasos 3,4 y 5 hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.
  • 25. 25 Ejemplo 1 Usa la división larga para dividir los polinomios. 5  6 8  2  3 x x x Primero expresamos los polinomios en forma decendente. 5  0  6 8  2  3 2 x x x x ojo x2 5 0 6 8 3 2 x  x  x 
  • 26. 26 2 5x x 10  26  2x 8 6 0 5 3 2 x  x  x  3 5x  2 10x 2 10x x 6  2 10x  x 20   x 26 8 x 26  52 44 residuo  
  • 27. 27 Resultado: 5 10 26 2   x x  44  2  x   2 5 10 26 x x     44 x  2 3 5 6 8 x x x 2   Usando el algoritmo de división t 5 6 8 2 5 10 26 enemos 3   2  4 , x  x   x  x  x   4
  • 28. 28 2. 5x2 17x 12 x  4  x 5 5 17 12 2   x x 4x 2 5x x 20  3x 12 3  3x 12 3 5  x 0 residuo
  • 29. 29 3   3 7 1   2 3. x x x   x x   3 7 2 1 3 2    x x 3 2 x x x    0 3 7 2   2 1  x x
  • 30. 30 x 2  0 3 7 3 2 2 1 x  x  x  2 x  x  3 x 2 2x  x  2 2x x 2  7  2 2x x 4  2 x 6 5  residuo
  • 31. 31 Resultado: 2  x  x 6  5 2   x x 2 1 3 x x   3 7 1   2 x   Usando el algoritmo de división     3 2 tenemos, x  x   x  x   x  3 7 1 2 6 5