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Yanina C.J, profile picture
Subido porYanina C.J
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OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL

El documento detalla un problema de optimización en la empresa Wyndor Glass Co., la cual busca reorganizar su producción para maximizar utilidades al introducir dos nuevos productos. Se formula un modelo de programación lineal con restricciones de capacidad en tres plantas para determinar la tasa óptima de producción de cada producto. La solución propuesta es producir 2 lotes del producto 1 y 6 del producto 2, generando una ganancia semanal total de S/. 36,000.

Empresariales◦
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OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL
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OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL Cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de PL es un problema de PL: 1.- variables de decisión 2.- función objetivo 3.- restricciones 4.- parámetros
OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL La empresa WYNDOR GLASS CO. Produce artículos de vidrio de alta calidad, tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2, la planta 3 produce el vidrio y ensambla los productos. Debido a la reducción de ganancias la alta dirección ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía. Se descontinuaran varios productos no rentables y se dejara libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos nuevos cuyas ventas potenciales son muy prometedoras:
OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL PRODUCTO 1: Puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio PRODUCTO 2: Ventana corrediza con marco de madera de 4 pies x 6 El producto 1 requiere de parte de la capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2 solo necesita de trabajo en las plantas 2 y 3. La división comercial ha concluido que la compañía puede vender todos los productos que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como ambos productos competirán por la misma capacidad de producción en la planta 3, no esta claro que mezcla de productos sea la más rentable para lo cual han formado un equipo de IO para estudiar el problema.
OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL El grupo de IO comenzó por identificar los objetivos del estudio y como consecuencia desarrollo la siguiente definición del problema: Determinar cual es la tasa de producción que debe tener cada producto con el fin de maximizar las utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de producción limitadas disponibles en las tres plantas (Cada producto se fabricará en lotes de 20 unidades de manera que la tasa de producción esta definida como el número de lotes que se producen a la semana), se permite cualquier combinación de tasas de producción que satisfaga las restricciones, incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que sea posible del otro.
OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL El equipo de IO identifico los datos que necesitan reunir: 1. Número de horas de producción disponibles por semana en cada planta para fabricar estos nuevos productos. (Casi todo el tiempo de estas plantas esta comprometido con los productos actuales, lo que limita la capacidad para manufacturar los nuevos productos). 2. Número de horas de fabricación que se emplea para producir cada lote de cada articulo nuevo en cada una de las plantas. 3. Las ganancias por lote de cada producto nuevo. (Se escogió la ganancia por lote producido como una medida adecuada, la ganancia total de cada uno es aproximadamente la ganancia por lote que se produce multiplicada por el número de lotes. (No existe economía a escala)
OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL PLANTA TIEMPO DE PRODUCCIÓN LOTE/h TIEMPO DE PRODUCCIÓN DISPONIBLE SEMANA/hPRODUCTO 1 2 1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18 GANANCIAS POR LOTE S/. 3,000 S/. 5,000
OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL De inmediato el equipo de IO reconoció que se trataba de un problema de PL y procedió a la formulación del modelo matemático correspondiente: X1 = Número de lotes del producto 1 que se fabrican por semana X2 = Número de lotes del producto 2 que se fabrican por semana Z = Ganancias semanal total que generan estos dos productos Por lo tanto X1 y X2 son variables de decisión del modelo
OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL Por lo tanto: Z = 3 X1 + 5 X2 El objetivo entonces, es elegir valores de X1 y de X2 que maximicen la expresión Z = 3 X1 + 5 X2 sujeta a las restricciones impuestas por las capacidades de producción limitadas de que disponen las tres plantas.
OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL Cada lote del producto 1 que se produce por semana emplea 1 hora de producción en la planta 1 y solo se dispone de 4 horas semanales, en términos matemáticos la restricción se expresa mediante la desigualdad: X1 < 4 De igual manera la planta 2 impone la restricción: 2 X2 < 12 La planta 3 impone la siguiente restricción: 3 X1 + 2 X2 < 18 Por último como las tasas de producción no pueden ser negativas se restringen las variables a: X1 > 0 y X2 > 0
OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL En el lenguaje matemático el problema se plantea entonces, de la siguiente manera: Determinar los valores de: X1 y X2 Para maximizar la expresión: Z = 3 X1 + 5 X2 Sujeta a las siguientes restricciones: X1 < 4 2 X2 < 12 3 X1 + 2 X2 < 18 y X1 > 0 y X2 > 0
OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL El equipo de IO utilizó este procedimiento para encontrar que la solución óptima deseada es: X1 = 2, X2 = 6 y Z = 36. esta solución indica que WYNDOR GLASS CO. Debe fabricar los productos 1 y 2 a una tasa de 2 y 6 lotes respectivamente. Con una ganancia total resultante de s/. 36,000 semanales.
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL TERMINOLOGIA COMÚN DE PROGRAMACIÓN LINEAL EJEMPLO MODELO PROBLEMA GENERAL CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN DE LAS PLANTAS 3 PLANTAS FABRICACIÓN DE PRODUCTOS 2 PRODUCTOS TASA DE PRODUCCIÓN DEL PRODUCTO j, xj GANANCIA Z RECURSOS m RECURSOS ACTIVIDADES n ACTIVIDADES NIVEL DE ACTIVIDAD j, xj MEDIDA GLOBAL DE DESEMPEÑO Z
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL Z = MEDIDA GLOBAL DE DESEMPEÑO xJ = NIVEL DE LA ACTIVIDAD j (Para j = 1, 2, ……………, n) cJ = INCREMENTO DE Z QUE SE OBTIENE AL AUMENTAR UNA UNIDAD EL NIVEL DE LA ACTIVIDAD j bi = CANTIDAD DE RECURSO i DISPONIBLE PARA ASIGNARSE A LAS ACTIVIDADES (Para i = 1, 2, ………….., m) aij = CANTIDAD DE RECURSO i CONSUMIDO POR CADA UNIDAD DE LA ACTIVIDAD j
OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN LINEAL RECURSO CONSUMO DE RECURSO POR UNIDAD DE ACTIVIDAD CANTIDAD DE RECURSO DISPONIBLE ACTIVIDAD 1 2 …… n 1 a1 1 a1 2 ..... a1 n b1 2 a2 1 a2 2 ….. a2 n b2 . …… …… ….. ….. . . …… …… ..… ….. . m am 1 am 2 ….. am n bm CONTRIBUCIÓN DE Z POR UNIDAD DE ACTIVIDAD C1 C2 .…. Cn
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL Ahora se puede formular el modelo matemático para asignar recurso a las actividades, este modelo consiste en elegir valores para X1, X2, ………, Xn de modo que maximice: Z = C1X1 + C2X2 + ……….. + Cnxn Sujeta a las restricciones: a1 1 x1 + a1 2 x2 + …… + a1n xn < b1 a2 1 x1 + a2 2 x2 + …… + a2n xn < b2 ....….. ………. …… ..…………. am 1 x1 + am 2 x2 + …… + amn xn < bm y X1 > 0, X2 > 0, ………, Xn > 0
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL Para formular el modelo en una hoja de calculo es necesario primero contestar tres preguntas: 1. ¿Qué decisiones deben tomarse? (Maximizar la tasa de producción) 2. ¿Cuáles son las restricciones de esas decisiones? (Número de horas de producción) 3. ¿Cuáles son las medidas globales de desempeño? (Ganancia total)
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL WYNDOR GLASS Co. PUERTAS VENTANAS GANANCIAS POR LOTES (MILES) 3 5 HORAS USADAS POR LOTE PRODUCIDO DISPONIBLES PLANTA 1 1 0 4 PLANTA 2 0 2 12 PLANTA 3 3 2 18 PUERTAS VENTANAS GANANCIA TOTAL (MILES) LOTES PRODUCIDOS 0 0 0
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL LOTES PRODUCIDOS: C12:D12 HORAS DISPONIBLES: G7:G9 HORAS UTILIZADAS: E7:E9 HORAS USADAS POR LOTE PRODUCIDO: C7:D9 GANANCIAS POR LOTE: C4:D4 GANACIA TOTAL: (CELDA OBJETIVO) G12
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL E7: =SUMAPRODUCTO(C7:D7,C12:D12) E8: =SUMAPRODUCTO(C8:D8,C12:D12) E9: =SUMAPRODUCTO(C9:D9,C12:D12) F7: Alt60,Alt61 F8: Alt60,Alt61 F9: Alt60,Alt61 G12: =SUMAPRODUCTO(C4:D4,C12:D12)