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Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”1
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
PÁGINA 39
■ Resuelve problemas
58 Un rollo de cable mide más de 150 m y menos de 200 m. ¿Cuál es su longitud
exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 m y también en trozos de
18 m?
La longitud del rollo es de 180 m.
mín.c.m. (15, 18) = 90 8 El primer múltiplo de 90 comprendido entre 150 y 200 es
180.
59 De cierta parada de autobús parten dos líneas, A y B, que inician su actividad
a las 7 h de la mañana. La línea A presta un servicio cada 24 minutos, y la línea B,
cada 36 minutos. ¿A qué hora vuelven a coincidir en la parada los autobuses de am-
bas líneas?
A las 8 h 12 min.
mín.c.m. (24, 36) = 72
72 min = 1 h + 12 min 8 7 h + (1 h + 12 min) = 8 h + 12 min
60 Se desea dividir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales, lo más grandes
que sea posible, y sin desperdiciar nada. ¿Cuánto medirá cada trozo?
Cada trozo medirá 10 metros.
máx.c.d. (20, 30) = 10
61 Una liebre corre dando saltos de 2,5 metros, perseguida por un galgo que da
saltos de 3 metros. ¿Cada cuántos metros caen las huellas del galgo sobre las de la
liebre?
Las huellas coinciden en los múltiplos comunes. Tenemos que buscar el mínimo de ellos,
que nos dará la mayor cantidad de coincidencias.
mín.c.m. (25; 30) = 150
Así, las huellas coinciden cada 150 cm, o 15 m, de carrera.
62 Para pavimentar el suelo de una nave de 12,3 m de largo por 9 m de ancho, se
han empleado baldosas cuadradas, que han venido justas, sin necesidad de cortar
ninguna. ¿Qué medida tendrá el lado de cada baldosa, sabiendo que se han emplea-
do las mayores que era posible?
30 cm de lado.
12,3 m = 123 dm
9 m = 90 dm
°
¢
£
8 máx.c.d. (90, 123) = 3
3 dm = 30 cm = 0,3 m
Pág. 1
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Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
63 Si apilo cajas con un grosor de 0,18 m, y al lado apilo otras cajas con un gro-
sor de 0,2 m, ¿a qué altura coinciden ambas torres?
Hay que estudiar los múltiplos comunes de 18 cm y de 20 cm, y quedarnos con el más
pequeño; es decir:
mín.c.m. (18, 20) = 180
Por tanto, las torres coinciden cada 180 cm = 1,8 m.
64 Julia ha formado el cuadrado más pequeño posible uniendo piezas rectangula-
res de cartulina, de 12 cm por 18 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? ¿Cuántas
piezas ha empleado?
El lado del cuadrado mide 36 cm y se han empleado 6 piezas.
mín.c.m. (12, 18) = 36
(36 cm) : (12 cm) = 3 8 Caben 3 anchos del rectángulo en el lado del cuadrado.
(36 cm) : (18 cm) = 2 8 Caben 2 largos del rectángulo en el lado del cuadrado.
3 · 2 = 6 piezas
65 En un horno de bollería se han fabricado 2400 magdalenas y 2640 mantecados,
que se desean comercializar en bolsas con el mismo número de unidades y sin mezclar
ambos productos. ¿Cuántas magdalenas o cuántos mantecados se pueden poner en
cada bolsa, teniendo en cuenta que el número debe ser superior a 15 e inferior a 30?
Se pueden poner 16, 20 o 24 unidades por bolsa.
2400 = 25 · 3 · 52
2640 = 24 · 3 · 5 · 11
°
¢
£
Divisores comunes de 2400 y 2640
que son mayores de 15 y menores de 30
8
8 24 = 16 23 · 3 = 24 22 · 5 = 20
66 Se desea envasar 125 botes de conserva de tomate y 175 botes de conserva de
pimiento en cajas del mismo número de botes, y sin mezclar ambos productos en la
misma caja. ¿Cuál es el mínimo número de cajas necesarias? ¿Cuántos botes irán en
cada caja?
• Se necesitan 12 cajas como mínimo.
• Habrá 25 botes en cada caja.
Los divisores comunes de 125 y 175 son 5 y 25. Podemos envasar en cajas de 5 o de 25
botes. Para utilizar un mínimo número de cajas envasaremos en cajas de 25 botes.
125 : 25 = 5 8 5 cajas de tomates
175 : 25 = 7 8 7 cajas de pimientos
°
¢
£
8 5 + 7 = 12 cajas en total
Pág. 2
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Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
■ Problemas “+”
67 Una línea de tendido eléctrico, de 60 km, se sostiene sobre postes de madera o
torretas metálicas, separados 50 metros, y alternando 11 postes entre dos torretas.
Ahora, cada 1000 metros se va a instalar una antena, sencilla si va sobre un poste y
parabólica si va sobre una torreta. Teniendo en cuenta que la línea comienza con una
torreta con antena, ¿cuántas antenas sencillas y cuántas parabólicas se necesitan?
Veamos un esquema del problema:
T P P P P P P P P P P P T
50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
Es decir, entre torreta y torreta hay 50 · 12 = 600 m.
Por tanto, las torretas están colocadas en los puntos kilométricos múltiplos de 600 m.
Además, habrá antenas en los puntos kilométricos múltiplos de 1000 m.
Vamos a ver cuántas antenas hay en torretas; es decir, cuántas parabólicas:
mín.c.m. (600, 1000) = 3000
Esto es, cada 3000 m hay una parabólica.
En total habrá 60000 : 3000 = 20 parabólicas, a las que hay que sumar la primera. Por
tanto, se necesitan 21 antenas parabólicas.
Finalmente, como en total habrá 60000 : 1000 + 1 = 61 antenas, resulta que habrá
61 – 21 = 40 antenas sencillas.
68 Si escribes todos los números enteros del (–50) al (+50), ¿cuántas veces habrás
utilizado la cifra 5? ¿Y la cifra 3? ¿Y la cifra 7?
— La cifra 5 se ha utilizado 12 veces.
— La cifra 3 se ha utilizado 30 veces.
— La cifra 7 se ha utilizado 10 veces.
69 Dibuja unos ejes de coordenadas y los puntos A(–2, 0) y B(4, 2). Traza todos
los cuadrados que tienen por vértices esos puntos (son tres distintos). Por último,
escribe las coordenadas de los vértices de cada uno de esos cuadrados.
☞ No olvides el cuadrado cuya diagonal es AB.
C(–4, 6) D(2, 8)
E(0, –6) F(6, –4)
G(0, 4) H(2, –2)
A
B
C
D
E
F
G
H
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  • 1. Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”1 Unidad 1. Divisibilidad y números enteros PÁGINA 39 ■ Resuelve problemas 58 Un rollo de cable mide más de 150 m y menos de 200 m. ¿Cuál es su longitud exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 m y también en trozos de 18 m? La longitud del rollo es de 180 m. mín.c.m. (15, 18) = 90 8 El primer múltiplo de 90 comprendido entre 150 y 200 es 180. 59 De cierta parada de autobús parten dos líneas, A y B, que inician su actividad a las 7 h de la mañana. La línea A presta un servicio cada 24 minutos, y la línea B, cada 36 minutos. ¿A qué hora vuelven a coincidir en la parada los autobuses de am- bas líneas? A las 8 h 12 min. mín.c.m. (24, 36) = 72 72 min = 1 h + 12 min 8 7 h + (1 h + 12 min) = 8 h + 12 min 60 Se desea dividir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales, lo más grandes que sea posible, y sin desperdiciar nada. ¿Cuánto medirá cada trozo? Cada trozo medirá 10 metros. máx.c.d. (20, 30) = 10 61 Una liebre corre dando saltos de 2,5 metros, perseguida por un galgo que da saltos de 3 metros. ¿Cada cuántos metros caen las huellas del galgo sobre las de la liebre? Las huellas coinciden en los múltiplos comunes. Tenemos que buscar el mínimo de ellos, que nos dará la mayor cantidad de coincidencias. mín.c.m. (25; 30) = 150 Así, las huellas coinciden cada 150 cm, o 15 m, de carrera. 62 Para pavimentar el suelo de una nave de 12,3 m de largo por 9 m de ancho, se han empleado baldosas cuadradas, que han venido justas, sin necesidad de cortar ninguna. ¿Qué medida tendrá el lado de cada baldosa, sabiendo que se han emplea- do las mayores que era posible? 30 cm de lado. 12,3 m = 123 dm 9 m = 90 dm ° ¢ £ 8 máx.c.d. (90, 123) = 3 3 dm = 30 cm = 0,3 m Pág. 1
  • 2. Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”1 Unidad 1. Divisibilidad y números enteros 63 Si apilo cajas con un grosor de 0,18 m, y al lado apilo otras cajas con un gro- sor de 0,2 m, ¿a qué altura coinciden ambas torres? Hay que estudiar los múltiplos comunes de 18 cm y de 20 cm, y quedarnos con el más pequeño; es decir: mín.c.m. (18, 20) = 180 Por tanto, las torres coinciden cada 180 cm = 1,8 m. 64 Julia ha formado el cuadrado más pequeño posible uniendo piezas rectangula- res de cartulina, de 12 cm por 18 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? ¿Cuántas piezas ha empleado? El lado del cuadrado mide 36 cm y se han empleado 6 piezas. mín.c.m. (12, 18) = 36 (36 cm) : (12 cm) = 3 8 Caben 3 anchos del rectángulo en el lado del cuadrado. (36 cm) : (18 cm) = 2 8 Caben 2 largos del rectángulo en el lado del cuadrado. 3 · 2 = 6 piezas 65 En un horno de bollería se han fabricado 2400 magdalenas y 2640 mantecados, que se desean comercializar en bolsas con el mismo número de unidades y sin mezclar ambos productos. ¿Cuántas magdalenas o cuántos mantecados se pueden poner en cada bolsa, teniendo en cuenta que el número debe ser superior a 15 e inferior a 30? Se pueden poner 16, 20 o 24 unidades por bolsa. 2400 = 25 · 3 · 52 2640 = 24 · 3 · 5 · 11 ° ¢ £ Divisores comunes de 2400 y 2640 que son mayores de 15 y menores de 30 8 8 24 = 16 23 · 3 = 24 22 · 5 = 20 66 Se desea envasar 125 botes de conserva de tomate y 175 botes de conserva de pimiento en cajas del mismo número de botes, y sin mezclar ambos productos en la misma caja. ¿Cuál es el mínimo número de cajas necesarias? ¿Cuántos botes irán en cada caja? • Se necesitan 12 cajas como mínimo. • Habrá 25 botes en cada caja. Los divisores comunes de 125 y 175 son 5 y 25. Podemos envasar en cajas de 5 o de 25 botes. Para utilizar un mínimo número de cajas envasaremos en cajas de 25 botes. 125 : 25 = 5 8 5 cajas de tomates 175 : 25 = 7 8 7 cajas de pimientos ° ¢ £ 8 5 + 7 = 12 cajas en total Pág. 2
  • 3. Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”1 Unidad 1. Divisibilidad y números enteros ■ Problemas “+” 67 Una línea de tendido eléctrico, de 60 km, se sostiene sobre postes de madera o torretas metálicas, separados 50 metros, y alternando 11 postes entre dos torretas. Ahora, cada 1000 metros se va a instalar una antena, sencilla si va sobre un poste y parabólica si va sobre una torreta. Teniendo en cuenta que la línea comienza con una torreta con antena, ¿cuántas antenas sencillas y cuántas parabólicas se necesitan? Veamos un esquema del problema: T P P P P P P P P P P P T 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 Es decir, entre torreta y torreta hay 50 · 12 = 600 m. Por tanto, las torretas están colocadas en los puntos kilométricos múltiplos de 600 m. Además, habrá antenas en los puntos kilométricos múltiplos de 1000 m. Vamos a ver cuántas antenas hay en torretas; es decir, cuántas parabólicas: mín.c.m. (600, 1000) = 3000 Esto es, cada 3000 m hay una parabólica. En total habrá 60000 : 3000 = 20 parabólicas, a las que hay que sumar la primera. Por tanto, se necesitan 21 antenas parabólicas. Finalmente, como en total habrá 60000 : 1000 + 1 = 61 antenas, resulta que habrá 61 – 21 = 40 antenas sencillas. 68 Si escribes todos los números enteros del (–50) al (+50), ¿cuántas veces habrás utilizado la cifra 5? ¿Y la cifra 3? ¿Y la cifra 7? — La cifra 5 se ha utilizado 12 veces. — La cifra 3 se ha utilizado 30 veces. — La cifra 7 se ha utilizado 10 veces. 69 Dibuja unos ejes de coordenadas y los puntos A(–2, 0) y B(4, 2). Traza todos los cuadrados que tienen por vértices esos puntos (son tres distintos). Por último, escribe las coordenadas de los vértices de cada uno de esos cuadrados. ☞ No olvides el cuadrado cuya diagonal es AB. C(–4, 6) D(2, 8) E(0, –6) F(6, –4) G(0, 4) H(2, –2) A B C D E F G H Pág. 3