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Controladores PID
Virginia Mazzone
Regulador centr´ıfugo de Watt
Control Autom´atico 1
http://iaci.unq.edu.ar/caut1
Automatizaci´on y Control Industrial
Universidad Nacional de Quilmes
Marzo 2002
Controladores PID - 1
1 Introducci´on
En este cap´ıtulo veremos la familia de controladores PID, que mostraron ser robustos en
muchas aplicaciones y son los que m´as se utilizan en la industria. La estructura de un
controlador PID es simple, aunque su simpleza es tambi´en su debilidad, dado que limita el
rango de plantas donde pueden controlar en forma satisfactoria (existe un grupo de plantas
inestables que no pueden estabilizadas con ning´un`un miembro de la familia PID). En este
cap´ıtulo estudiaremos los enfoques tradicionales al dise˜no de controladores PID.
2 Estructura del PID
Consideremos un lazo de control de una entrada y una salida (SISO) de un grado de liber-
tad:
-
6
-- U(s)
PID
Y(s)
G(s)
R(s) j-
Figura 1: Diagrama en bloques
Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional
(P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID.
• P: acci´on de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional
al error, es decir: u(t) = KP.e(t),que descripta desde su funci´on transferencia queda:
Cp(s) = Kp (1)
donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede
controlar cualquier planta estable, pero posee desempe˜no limitado y error en r´egimen
permanente (off-set).
• I: acci´on de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al
error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.
u(t) = Ki
t
0
e(τ)dτ Ci(s) =
Ki
s
(2)
La se˜nal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la se˜nal de error e(t)
es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones,
el error en r´egimen permanente es cero.
• PI: acci´on de control proporcional-integral, se define mediante
u(t) = Kpe(t) +
Kp
Ti
t
0
e(τ)dτ (3)
Controladores PID - 2
donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la acci´on integral. La funci´on
de transferencia resulta:
CPI(s) = Kp 1 +
1
Tis
(4)
Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una acci´on de
control distinta de cero. Con acci´on integral, un error peque˜no positivo siempre nos
dar´a una acci´on de control creciente, y si fuera negativo la se˜nal de control ser´a decre-
ciente. Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en r´egimen permanente
ser´a siempre cero.
Muchos controladores industriales tienen solo acci´on PI. Se puede demostrar que un
control PI es adecuado para todos los procesos donde la din´amica es esencialmente
de primer orden. Lo que puede demostrarse en forma sencilla, por ejemplo, mediante
un ensayo al escal´on.
• PD: acci´on de control proporcional-derivativa, se define mediante:
u(t) = Kpe(t) + KpTd
de(t)
dt
(5)
donde Td es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta acci´on tiene car´acter
de previsi´on, lo que hace m´as r´apida la acci´on de control, aunque tiene la desventaja
importante que amplifica las se˜nales de ruido y puede provocar saturaci´on en el ac-
tuador. La acci´on de control derivativa nunca se utiliza por s´ı sola, debido a que s´olo
es eficaz durante per´ıodos transitorios. La funci´on transferencia de un controlador
PD resulta:
CPD(s) = Kp + sKpTd (6)
Cuando una acci´on de control derivativa se agrega a un controlador proporcional,
permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la ve-
locidad del cambio del error y produce una correcci´on significativa antes de que la
magnitud del error se vuelva demasiado grande. Aunque el control derivativo no
afecta en forma directa al error ea estado estacionario, a˜nade amortiguamiento al sis-
tema y, por tanto, permite un valor m´as grande que la ganancia K, lo cual provoca
una mejora en la precisi´on en estado estable.
• PID: acci´on de control proporcional-integral-derivativa, esta acci´on combinada reu-
ne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuaci´on
de un controlador con esta acci´on combinada se obtiene mediante:
u(t) = Kpe(t) +
Kp
Ti
t
0
e(τ)dτ + KpTd
de(t)
dt
(7)
y su funci´on transferencia resulta:
CPID(s) = Kp 1 +
1
Tis
+ Tds (8)
Controladores PID - 3
3 M´etodos cl´asicos de ajuste de Ziegler and Nichols
En esta secci´on veremos dos m´etodos de ajuste de las ganancias de un controlador PID,
el M´etodo de Oscilaci´on o M´etodo de Respuesta en Frecuencia y el M´etodo Basado en la Curva
Reacci´on o M´etodo de Respuesta al Escal´on. El primero se basa en un lazo de control s´olo con
ganancia proporcional y de acuerdo a la ganancia utilizada para que el sistema empiece a
oscilar y al per´ıodo de esas oscilaciones, podemos establecer las ganancias del controlador
PID. El otro m´etodo se resume en ensayar al sistema a lazo abierto con un escal´on unitario,
se calculan algunos par´ametros, como la m´axima pendiente de la curva y el retardo, y con
ellos establecemos las ganancias del controlador PID. Estos m´etodos fueron propuestos por
Ziegler y Nichols (Z-N) en 1942, quienes se basaron en la pr´actica para desarrollarlos.
3.1 M´etodo de Oscilaci´on
- -
6
-Kp Planta
r(t) u(t) y(t)
j-
Figura 2: Lazo cerrado solo con ganancia proporcional
Este procedimiento es v´alido solo para plantas estables a lazo abierto y se lleva a cabo
siguiendo los siguientes pasos:
1. Utilizando s´olo control proporcional, comenzando con un valor de ganancia peque˜no,
incrementar la ganancia hasta que el lazo comience a oscilar. Notar que se requieren
oscilaciones lineales y que ´estas deben ser observadas en la salida del controlador.
2. Registrar la ganancia cr´ıtica del controlador Kp = Kc y el per´ıodo de oscilaci´on de la
salida del controlador, Pc. (en el diagrama de Nyquist, corresponde a que KcG(jω)
cruza el punto (−1, 0) cuando Kp = Kc).
3. Ajustar los par´ametros del controlador seg´un la Tabla 1:
Kp Ti Td
P 0.50Kc
PI 0.45Kc
Pc
1.2
PID 0.60Kc 0.5Pc
Pc
8
Tabla 1: Par´ametros de ajuste (m´etodo de oscilaci´on)
Dicha tabla fue obtenida por Ziegler y Nichols quienes buscaban una respuesta al es-
cal´on de bajo amortiguamiento para plantas que puedan describirse satisfactoriamente por
un modelo de la forma:
G0(s) =
K0e−sτ0
υ0s + 1
, donde υ0 > 0 (9)
Controladores PID - 4
Pc
-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
-1.2
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
Figura 3: Respuesta de la planta con ganancia cr´ıtica
Ejemplo 1. Considerar el modelo de una planta dado por:
G0(s) =
1
(s + 1)3
(10)
Determinar los par´ametros de un controlador PID utilizando el m´etodo de oscilaci´on de
Z-N. Obtener un gr´afico de la respuesta a una entrada escal´on unitario y a una perturbaci´on
de entrada escal´on unitario.
Primero debemos calcular la ganancia cr´ıtica Kc y la frecuencia cr´ıtica ωc. Dichos valores
deben satisfacer
KcG0(jω0) = −1 ⇔ Kc = −(jωc + 1)3
, (11)
de donde obtenemos Kc=8 y ωc =
√
3. El per´ıodo cr´ıtico es entonces Pc = 2π
ωc
3.63.
Utilizando la tabla obtenemos los siguientes valores:
Kp = 0.6 × Kc = 4.8; Ti = 0.5 × Pc = 1.81; Td = 0.25 × Pd = 0.45
De esta forma la funci´on transferencia a lazo abierto resulta:
G0(s)C(s) = Kp
Tds2
+ s + 1
Ti
s(s + 1)3
=
2.16s2
+ 4.8s + 2.652
s(s + 1)3
(12)
Implementando dicho sistema en SIMULINK, con una entrada escal´on unitario aplica-
da en el instante t = 0 y una perturbaci´on de entrada escal´on unitario en el instante t = 10,
obtenemos la Figura 4
Como se puede apreciar en el gr´afico, el control hallado provoca un sobrevalor signi-
ficativo, lo que es inaceptable en algunos casos. Sin embargo el m´etodo de Z-N nos ha
Controladores PID - 5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
Controlador PID ajustado con Z−N (método de oscilación)
Tiempo [s]
Salidadelaplanta
Figura 4: Salida del sistema controlado con un PID
proporcionado un punto de partida para una sinton´ıa m´as fina. En este caso, si utilizamos
el valor Td = 1 el desempe˜no mejora. Sin embargo, el incremento de acci´on derivativa
puede traer inconvenientes si estuvi´eramos en presencia de un ruido significativo en el sis-
tema, y es recomendable verificar que el aumento de acci´on derivativa no amplifique ruido
excesivamente.
3.2 M´etodo Basado en la Curva Reacci´on
Muchas plantas, pueden ser descriptas satisfactoriamente por el modelo:
G0(s) =
K0e−sτ0
υ0s + 1
donde υ0 > 0 (13)
Una versi´on cuantitativa lineal de este modelo puede ser obtenida mediante un experi-
mento a lazo abierto, utilizando el siguiente procedimiento:
1. Con la planta a lazo abierto, llevar a la planta a un punto de operaci´on normal. Diga-
mos que la salida de la planta se estabiliza en y(t) = y0 para una entrada constante
u(t) = u0.
2. En el instante inicial t0, aplicar un cambio en la entrada escal´on, desde u0 a u∞ (esto
deber´ıa ser en un rango de 10 al 20% de rango completo).
3. Registrar la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operaci´on. Suponga-
mos que la curva que se obtiene es la que se muestra en la Figura 5 . Esta curva se
llama curva de reacci´on del proceso.
Calcular los par´ametros del modelo de la siguiente forma:
K0 =
y∞ − y0
y∞ − u0
; τ0 = t1 − t0; υ0 = t2 − t1 (14)
Controladores PID - 6
y0
y∞
t2
t0
t[seg]
t1
Figura 5: Respuesta al escal´on de la planta
El modelo obtenido puede ser utilizado para varios m´etodos de ajuste de controladores
PID. Uno de estos tambi´en ´en fue propuesto por Ziegler y Nichols. El objetivo de dise˜no es
alcanzar un amortiguamiento tal que exista una relaci´on de 4:1 para el primer y segundo
pico de la respuesta a una referencia escal´on. Los par´ametros sugeridos por Z-N son los
que se muestran en la Tabla 2.
Kp Ti Td
P υ0
K0τ0
PI 0.9υ0
K0τ0
3τ0
PID 1.2υ0
K0τ0
2τ0 0.5τ0
Tabla 2: Par´ametros de ajuste (m´etodo curva de reacci´on)
4 Modificaciones de los esquemas de control PID
En los sistemas de control b´asicos vistos hasta ahora, si la entrada de referencia es un es-
cal´on, debido a la presencia del t´ermino derivativo en la acci´on de control, la variable ma-
nipulada u(t) contendr´a una funci´on impulso (una delta). En un controlador PID real, en
lugar del t´ermino derivativo TDs emplearemos:
Tds
τDs + 1
(15)
donde τD, denominada constante de tiempo derivativa, normalmente es elegida tal que
0.1 ≤ τD ≤ 0.2. Cuanto m´as peque˜na es τD, mejor es la aproximaci´on entre el t´ermino
Controladores PID - 7
”derivativo filtrado” de la Ecuaci´on (15) y el ”derivativo” Tds, es decir son iguales en el l´ımite:
lim
τd→0
uPID(t) = Kpe(t) +
Kp
Ti
t
t0
e(τ)dτ + KpTd
de(t)
dt
(16)
Con la inclusi´on de un polo evitamos utilizar acciones de control grandes en respuesta a
errores de control de alta frecuencia, tales como errores inducidos por cambios de setpoint
(referencia) o mediciones de ruido. El argumento cl´asico por el cual se elige τD = 0 es,
adem´as de asegurar un controlador propio, para atenuar ruido de alta frecuencia. Casi
todos los controladores industriales PID definen a τD como una fracci´on fija de Td, en lugar
de tomarlo como un par´ametro independiente de dise˜no.
Analicemos nuevamente el Ejemplo 1, pero tomando ahora como funci´on transferencia
del controlador PID a:
CPID(s) = Kp 1 +
1
Tis
+
Tds
τDs + 1
(17)
Por lo que la funci´on transferencia a lazo abierta resulta ser la siguiente
Go(s)C(s) =
Kp(Td + τD)s2
+ (1 + τD
Ti
)s + 1
Ti
s(τDs + 1)
Go(s) (18)
Con el mismo desarrollo anteriormente explicado obtenemos los mismos par´ametros
del PID aplicando el m´etodo de oscilaci´on de Z-N. Tomando a τD = 0.1 y Td = 0.045, la
funci´on transferencia a lazo abierto resulta:
Go(s)C(s) =
52.8s2
+ 109.32s + 58.93
s(s + 22.2)(s + 1)3
(19)
5 Asignaci´on de polos
La asignaci´on de polos es un m´etodo de dise˜no de controladores cuando queremos que
el desempe˜no del sistema a lazo cerrado cumpla con determinadas especificaciones de di-
se˜no. En esta secci´on veremos en detalle de qu´e se trata y veremos tambi´en como podemos
ajustar un controlador PID utilizando asignaci´on de polos.
Consideremos el lazo nominal de la Figura 1 con las siguientes funciones transferencias:
C(s) =
P(s)
L(s)
G0(s) =
B0(s)
A0(s)
(20)
con P(s), L(s), B0(s) y A0(s) polinomios de grados np, nl, n − 1 y n respectivamente (asu-
mimos que el modelo nominal de la planta es estrictamente propio).Consideremos que el
polinomio a lazo cerrado deseado est´a dado por Alc. La pregunta que surge es:
¿Dado un Alc arbitrario, existir´a una funci´on C(s) propia tal que a lazo cerrado resulte que Alc
sea el polinomio caracter´ıstico?
Para contestar esta pregunta, veamos primero que pasa con un ejemplo para ilustrar
mejor la idea:
Controladores PID - 8
Ejemplo 2 (Asignaci´on de polos). Sea el modelo nominal de una planta dada y un controlador
de la forma:
G0(s) =
1
s2 + 3s + 2
C(s) =
P(s)
L(s)
(21)
Podemos ver que Alc = A0(s)L(s) + B0(s)P(s) = (s2
+ 3s + 2)(l1s + l0) + (p1s + p0). Si
igualamos los coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:




1 0 0 0
3 1 0 0
2 3 2 0
0 2 0 1








l0
l1
p0
p1



 =




1
3
3
1



 (22)
Podemos verificar que la matriz anterior es no-singular, por lo que el sistema tendr´a
soluci´on ´unica: l1 = 1, l0 = 0, p1 = 1 y p0 = 1. As´ı el polinomio caracter´ıstico es alcanzado
para un controlador dado por la siguiente funci´on transferencia:
C(s) =
s + 1
s
(23)
En el ejemplo anterior vimos como la asignaci´on de polos a lazo cerrado depende de la
no-singularidad de una matriz particular. Como la idea es generalizar el resultado anterior,
primero necesitaremos algunos resultados matem´aticos.
Teorema 1 (Teorema de Sylvester). Consideremos los polinomios
A(s) = ansn
+ = an−1sn−1
+ . . . + = a1s + a0, (24)
B(s) = bnsn
+ bn−1sn−1
+ . . . + = b1s + b0, (25)
junto con la matriz
Me =











an 0 . . . 0 bn 0 . . . 0
an−1 an . . . 0 bn−1 bn . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
...
a0 a1 . . . an b0 b1 . . . bn
0 a0 . . . an−1 0 b0 . . . bn−1
...
...
...
...
...
...
...
...
0 0 . . . a0 0 0 . . . b0











. (26)
Se dice que A(s) y B(s) son coprimos, es decir que no tienen factores en com´un o ra´ıces, si
y solo si det(Me) = 0
Con este resultado podemos ahora generalizar lo visto en el Ejemplo 2, para mostrar que
la asignaci´on de polos es generalmente posible, cuando se cumplen algunos requerimientos
m´ınimos.
Lema 1 (Asignaci´on de Polos SISO). Consideremos un lazo de realimentaci´on de un grado
de libertad con un controlador C(s) y un modelo nominal G0(s) dado por (20). Suponiendo
que A0(s) y B0(s) son coprimos y que sus grados son n y n − 1, respectivamente. Sea Alc
Controladores PID - 9
un polinomio arbitrario de grado nc = 2n − 1. Entonces existen polinomios P(s) y L(s),
con grados np = nl = n − 1 tal que:
A0(s)L(s) + B0(s)P(s) = Alc(s) (27)
Nota 1. El lema anterior establece bajo qu´e condiciones existe soluci´on para el problema
de asignaci´on de polos, asumiendo un controlador bipropio. Cuando se requiere un con-
trolador estrictamente propio, el grado de P(s) y L(s) deber´ıa ser np = n − 1 y nl = n,
respectivamente. De esta forma, para poder estar en condiciones de elegir un polinomio a
lazo cerrado Alc(s) arbitrario, su grado deber´ıa ser igual a 2n.
Nota 2. No est´an permitidas las cancelaciones del estilo polo-cero inestables. Cualquier
cancelaci´on entre el controlador y la planta aparecer´a como factor en A0(s)L(s) y tambi´en
en B0(s)P(s). Para que la condici´on del lema 1 pueda ser satisfecha, el mismo factor deber´a
aparecer en Alc(s), pero el polinomio caracter´ıstico a lazo cerrado se debe elegir estable,
por lo que ese factor com´un deber´a ser estable. S´olo de esta forma, el lazo cerrado nominal
es garant´ıa de ser internamente estable, es decir, las cuatro funciones de sensibilidad ser´an
estables.
En esta secci´on, veremos una forma m´as moderna que las anteriores para ajustar un
controlador PID, bas´andonos en t´ecnicas de asignaci´on de polos. Durante esta secci´on con-
sideraremos un lazo de control de un grado de libertad con controladores PI de la siguiente
forma
CPI(s) = Kp +
Ki
s
(28)
y la forma del controlador PID
CPID(s) = Kp +
Ki
s
+
Kds
τDs + 1
(29)
Para referencias futuras notamos la siguiente representaci´on alternativa de un controla-
dor PID:
Lema 2. Cualquier controlador de la forma:
C(s) =
n2s2
+ n1s + n0
d2s2 + d1s
(30)
es id´entico al controlador PID de (29) con los siguientes valores de los par´ametros:
Kp =
n1d1 − n0d2
d2
1
(31)
Ki =
n0
d1
(32)
Kd =
n2d2
1 − n1d1d2 + n0d2
2
d3
1
(33)
τD =
d2
d1
(34)
Demostraci´on. Desarrollando en fracciones simples (29) y compar´andola con (30) se obtie-
nen dichos coeficientes.
Controladores PID - 10
Si asumimos que la planta puede ser (por lo menos, aproximadamente) modelada por
un modelo de segundo orden, entonces podemos utilizar asignaci´on de polos para sintoni-
zar un controlador PID.
Ejemplo 3. Una planta tiene un modelo nominal dado por:
G0(s) =
2
(s + 1)(s + 2)
(35)
Sintonizar un controlador PID para que a lazo cerrado alcance la din´amica dominada por:
s2
+ 4s + 9
Resolvemos primero el problema de asignaci´on de polos, donde
Alc(s) = (s2
+ 4s + 9)(s + 4)2
; B0(s) = 2; A0(s) = s2
+ 3s + 2. (36)
El factor (s + 4)2
ha sido agregado para asegurar que la asignaci´on de polos tenga soluci´on,
es decir que el grado de Alc(s) debe ser 4. Notar que este factor genera modos (polos) que
son m´as r´apidos que los originados por el polinomio deseado. De esta forma, la din´amica
dominante ser´a la de los polos mas lentos.
Resolviendo la ecuaci´on de asignaci´on de polos, resulta que
C(s) =
P(s)
sL(s)
=
14s2
+ 59s + 72
s(s + 9)
(37)
de donde: Kp = 5.67; Ki = 8; Kd = 0.93; τD = 0.11.
Una importante observaci´on es que la soluci´on de este problema tiene la estructura
de un controlador PID para el modelo dado G0(s). Para un modelo de mayor orden, el
controlador resultante no ser´a, en general, un controlador PID.
6 Resumen
• Desde una perspectiva moderna, un controlador PID es simplemente un controlador
de hasta segundo orden, conteniendo un integrador.
• Descubrimientos emp´ıricos demuestran que la estructura del PID por lo general tiene
la suficiente flexibilidad como para alcanzar excelentes resultados en muchas aplica-
ciones.
• El t´ermino b´asico es el t´ermino proporcional, P, que genera una actuaci´on de control
correctivo proporcional al error.
• El t´ermino integral, I, genera una correcci´on proporcional a la integral del error. Esto
nos asegura que si aplicamos un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimien-
to se reduce a cero.
• El t´ermino derivativo, D, genera una acci´on de control proporcional al cambio de
rango del error. Esto tiende a tener un efecto estabilizante pero por lo general genera
actuaciones de control grandes.
Controladores PID - 11
• Los diferentes m´etodos de sintonizaci´on de los par´ametros de un controlador PID,
van de acuerdo a la estructura que se utilice del mismo. Cabe recordar, que s´olo se
mencion´o una estructura, dada en la ecuaci´on (29), y que los m´etodos que se estu-
diaron se realizaron de acuerdo a dicha estructura. En caso de tener otra habr´a que
analizar el m´etodo equivalente.

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PID control

  • 1. Controladores PID Virginia Mazzone Regulador centr´ıfugo de Watt Control Autom´atico 1 http://iaci.unq.edu.ar/caut1 Automatizaci´on y Control Industrial Universidad Nacional de Quilmes Marzo 2002
  • 2. Controladores PID - 1 1 Introducci´on En este cap´ıtulo veremos la familia de controladores PID, que mostraron ser robustos en muchas aplicaciones y son los que m´as se utilizan en la industria. La estructura de un controlador PID es simple, aunque su simpleza es tambi´en su debilidad, dado que limita el rango de plantas donde pueden controlar en forma satisfactoria (existe un grupo de plantas inestables que no pueden estabilizadas con ning´un`un miembro de la familia PID). En este cap´ıtulo estudiaremos los enfoques tradicionales al dise˜no de controladores PID. 2 Estructura del PID Consideremos un lazo de control de una entrada y una salida (SISO) de un grado de liber- tad: - 6 -- U(s) PID Y(s) G(s) R(s) j- Figura 1: Diagrama en bloques Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID. • P: acci´on de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KP.e(t),que descripta desde su funci´on transferencia queda: Cp(s) = Kp (1) donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempe˜no limitado y error en r´egimen permanente (off-set). • I: acci´on de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento. u(t) = Ki t 0 e(τ)dτ Ci(s) = Ki s (2) La se˜nal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la se˜nal de error e(t) es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en r´egimen permanente es cero. • PI: acci´on de control proporcional-integral, se define mediante u(t) = Kpe(t) + Kp Ti t 0 e(τ)dτ (3)
  • 3. Controladores PID - 2 donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la acci´on integral. La funci´on de transferencia resulta: CPI(s) = Kp 1 + 1 Tis (4) Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una acci´on de control distinta de cero. Con acci´on integral, un error peque˜no positivo siempre nos dar´a una acci´on de control creciente, y si fuera negativo la se˜nal de control ser´a decre- ciente. Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en r´egimen permanente ser´a siempre cero. Muchos controladores industriales tienen solo acci´on PI. Se puede demostrar que un control PI es adecuado para todos los procesos donde la din´amica es esencialmente de primer orden. Lo que puede demostrarse en forma sencilla, por ejemplo, mediante un ensayo al escal´on. • PD: acci´on de control proporcional-derivativa, se define mediante: u(t) = Kpe(t) + KpTd de(t) dt (5) donde Td es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta acci´on tiene car´acter de previsi´on, lo que hace m´as r´apida la acci´on de control, aunque tiene la desventaja importante que amplifica las se˜nales de ruido y puede provocar saturaci´on en el ac- tuador. La acci´on de control derivativa nunca se utiliza por s´ı sola, debido a que s´olo es eficaz durante per´ıodos transitorios. La funci´on transferencia de un controlador PD resulta: CPD(s) = Kp + sKpTd (6) Cuando una acci´on de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la ve- locidad del cambio del error y produce una correcci´on significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error ea estado estacionario, a˜nade amortiguamiento al sis- tema y, por tanto, permite un valor m´as grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisi´on en estado estable. • PID: acci´on de control proporcional-integral-derivativa, esta acci´on combinada reu- ne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuaci´on de un controlador con esta acci´on combinada se obtiene mediante: u(t) = Kpe(t) + Kp Ti t 0 e(τ)dτ + KpTd de(t) dt (7) y su funci´on transferencia resulta: CPID(s) = Kp 1 + 1 Tis + Tds (8)
  • 4. Controladores PID - 3 3 M´etodos cl´asicos de ajuste de Ziegler and Nichols En esta secci´on veremos dos m´etodos de ajuste de las ganancias de un controlador PID, el M´etodo de Oscilaci´on o M´etodo de Respuesta en Frecuencia y el M´etodo Basado en la Curva Reacci´on o M´etodo de Respuesta al Escal´on. El primero se basa en un lazo de control s´olo con ganancia proporcional y de acuerdo a la ganancia utilizada para que el sistema empiece a oscilar y al per´ıodo de esas oscilaciones, podemos establecer las ganancias del controlador PID. El otro m´etodo se resume en ensayar al sistema a lazo abierto con un escal´on unitario, se calculan algunos par´ametros, como la m´axima pendiente de la curva y el retardo, y con ellos establecemos las ganancias del controlador PID. Estos m´etodos fueron propuestos por Ziegler y Nichols (Z-N) en 1942, quienes se basaron en la pr´actica para desarrollarlos. 3.1 M´etodo de Oscilaci´on - - 6 -Kp Planta r(t) u(t) y(t) j- Figura 2: Lazo cerrado solo con ganancia proporcional Este procedimiento es v´alido solo para plantas estables a lazo abierto y se lleva a cabo siguiendo los siguientes pasos: 1. Utilizando s´olo control proporcional, comenzando con un valor de ganancia peque˜no, incrementar la ganancia hasta que el lazo comience a oscilar. Notar que se requieren oscilaciones lineales y que ´estas deben ser observadas en la salida del controlador. 2. Registrar la ganancia cr´ıtica del controlador Kp = Kc y el per´ıodo de oscilaci´on de la salida del controlador, Pc. (en el diagrama de Nyquist, corresponde a que KcG(jω) cruza el punto (−1, 0) cuando Kp = Kc). 3. Ajustar los par´ametros del controlador seg´un la Tabla 1: Kp Ti Td P 0.50Kc PI 0.45Kc Pc 1.2 PID 0.60Kc 0.5Pc Pc 8 Tabla 1: Par´ametros de ajuste (m´etodo de oscilaci´on) Dicha tabla fue obtenida por Ziegler y Nichols quienes buscaban una respuesta al es- cal´on de bajo amortiguamiento para plantas que puedan describirse satisfactoriamente por un modelo de la forma: G0(s) = K0e−sτ0 υ0s + 1 , donde υ0 > 0 (9)
  • 5. Controladores PID - 4 Pc -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 Figura 3: Respuesta de la planta con ganancia cr´ıtica Ejemplo 1. Considerar el modelo de una planta dado por: G0(s) = 1 (s + 1)3 (10) Determinar los par´ametros de un controlador PID utilizando el m´etodo de oscilaci´on de Z-N. Obtener un gr´afico de la respuesta a una entrada escal´on unitario y a una perturbaci´on de entrada escal´on unitario. Primero debemos calcular la ganancia cr´ıtica Kc y la frecuencia cr´ıtica ωc. Dichos valores deben satisfacer KcG0(jω0) = −1 ⇔ Kc = −(jωc + 1)3 , (11) de donde obtenemos Kc=8 y ωc = √ 3. El per´ıodo cr´ıtico es entonces Pc = 2π ωc 3.63. Utilizando la tabla obtenemos los siguientes valores: Kp = 0.6 × Kc = 4.8; Ti = 0.5 × Pc = 1.81; Td = 0.25 × Pd = 0.45 De esta forma la funci´on transferencia a lazo abierto resulta: G0(s)C(s) = Kp Tds2 + s + 1 Ti s(s + 1)3 = 2.16s2 + 4.8s + 2.652 s(s + 1)3 (12) Implementando dicho sistema en SIMULINK, con una entrada escal´on unitario aplica- da en el instante t = 0 y una perturbaci´on de entrada escal´on unitario en el instante t = 10, obtenemos la Figura 4 Como se puede apreciar en el gr´afico, el control hallado provoca un sobrevalor signi- ficativo, lo que es inaceptable en algunos casos. Sin embargo el m´etodo de Z-N nos ha
  • 6. Controladores PID - 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 Controlador PID ajustado con Z−N (método de oscilación) Tiempo [s] Salidadelaplanta Figura 4: Salida del sistema controlado con un PID proporcionado un punto de partida para una sinton´ıa m´as fina. En este caso, si utilizamos el valor Td = 1 el desempe˜no mejora. Sin embargo, el incremento de acci´on derivativa puede traer inconvenientes si estuvi´eramos en presencia de un ruido significativo en el sis- tema, y es recomendable verificar que el aumento de acci´on derivativa no amplifique ruido excesivamente. 3.2 M´etodo Basado en la Curva Reacci´on Muchas plantas, pueden ser descriptas satisfactoriamente por el modelo: G0(s) = K0e−sτ0 υ0s + 1 donde υ0 > 0 (13) Una versi´on cuantitativa lineal de este modelo puede ser obtenida mediante un experi- mento a lazo abierto, utilizando el siguiente procedimiento: 1. Con la planta a lazo abierto, llevar a la planta a un punto de operaci´on normal. Diga- mos que la salida de la planta se estabiliza en y(t) = y0 para una entrada constante u(t) = u0. 2. En el instante inicial t0, aplicar un cambio en la entrada escal´on, desde u0 a u∞ (esto deber´ıa ser en un rango de 10 al 20% de rango completo). 3. Registrar la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operaci´on. Suponga- mos que la curva que se obtiene es la que se muestra en la Figura 5 . Esta curva se llama curva de reacci´on del proceso. Calcular los par´ametros del modelo de la siguiente forma: K0 = y∞ − y0 y∞ − u0 ; τ0 = t1 − t0; υ0 = t2 − t1 (14)
  • 7. Controladores PID - 6 y0 y∞ t2 t0 t[seg] t1 Figura 5: Respuesta al escal´on de la planta El modelo obtenido puede ser utilizado para varios m´etodos de ajuste de controladores PID. Uno de estos tambi´en ´en fue propuesto por Ziegler y Nichols. El objetivo de dise˜no es alcanzar un amortiguamiento tal que exista una relaci´on de 4:1 para el primer y segundo pico de la respuesta a una referencia escal´on. Los par´ametros sugeridos por Z-N son los que se muestran en la Tabla 2. Kp Ti Td P υ0 K0τ0 PI 0.9υ0 K0τ0 3τ0 PID 1.2υ0 K0τ0 2τ0 0.5τ0 Tabla 2: Par´ametros de ajuste (m´etodo curva de reacci´on) 4 Modificaciones de los esquemas de control PID En los sistemas de control b´asicos vistos hasta ahora, si la entrada de referencia es un es- cal´on, debido a la presencia del t´ermino derivativo en la acci´on de control, la variable ma- nipulada u(t) contendr´a una funci´on impulso (una delta). En un controlador PID real, en lugar del t´ermino derivativo TDs emplearemos: Tds τDs + 1 (15) donde τD, denominada constante de tiempo derivativa, normalmente es elegida tal que 0.1 ≤ τD ≤ 0.2. Cuanto m´as peque˜na es τD, mejor es la aproximaci´on entre el t´ermino
  • 8. Controladores PID - 7 ”derivativo filtrado” de la Ecuaci´on (15) y el ”derivativo” Tds, es decir son iguales en el l´ımite: lim τd→0 uPID(t) = Kpe(t) + Kp Ti t t0 e(τ)dτ + KpTd de(t) dt (16) Con la inclusi´on de un polo evitamos utilizar acciones de control grandes en respuesta a errores de control de alta frecuencia, tales como errores inducidos por cambios de setpoint (referencia) o mediciones de ruido. El argumento cl´asico por el cual se elige τD = 0 es, adem´as de asegurar un controlador propio, para atenuar ruido de alta frecuencia. Casi todos los controladores industriales PID definen a τD como una fracci´on fija de Td, en lugar de tomarlo como un par´ametro independiente de dise˜no. Analicemos nuevamente el Ejemplo 1, pero tomando ahora como funci´on transferencia del controlador PID a: CPID(s) = Kp 1 + 1 Tis + Tds τDs + 1 (17) Por lo que la funci´on transferencia a lazo abierta resulta ser la siguiente Go(s)C(s) = Kp(Td + τD)s2 + (1 + τD Ti )s + 1 Ti s(τDs + 1) Go(s) (18) Con el mismo desarrollo anteriormente explicado obtenemos los mismos par´ametros del PID aplicando el m´etodo de oscilaci´on de Z-N. Tomando a τD = 0.1 y Td = 0.045, la funci´on transferencia a lazo abierto resulta: Go(s)C(s) = 52.8s2 + 109.32s + 58.93 s(s + 22.2)(s + 1)3 (19) 5 Asignaci´on de polos La asignaci´on de polos es un m´etodo de dise˜no de controladores cuando queremos que el desempe˜no del sistema a lazo cerrado cumpla con determinadas especificaciones de di- se˜no. En esta secci´on veremos en detalle de qu´e se trata y veremos tambi´en como podemos ajustar un controlador PID utilizando asignaci´on de polos. Consideremos el lazo nominal de la Figura 1 con las siguientes funciones transferencias: C(s) = P(s) L(s) G0(s) = B0(s) A0(s) (20) con P(s), L(s), B0(s) y A0(s) polinomios de grados np, nl, n − 1 y n respectivamente (asu- mimos que el modelo nominal de la planta es estrictamente propio).Consideremos que el polinomio a lazo cerrado deseado est´a dado por Alc. La pregunta que surge es: ¿Dado un Alc arbitrario, existir´a una funci´on C(s) propia tal que a lazo cerrado resulte que Alc sea el polinomio caracter´ıstico? Para contestar esta pregunta, veamos primero que pasa con un ejemplo para ilustrar mejor la idea:
  • 9. Controladores PID - 8 Ejemplo 2 (Asignaci´on de polos). Sea el modelo nominal de una planta dada y un controlador de la forma: G0(s) = 1 s2 + 3s + 2 C(s) = P(s) L(s) (21) Podemos ver que Alc = A0(s)L(s) + B0(s)P(s) = (s2 + 3s + 2)(l1s + l0) + (p1s + p0). Si igualamos los coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:     1 0 0 0 3 1 0 0 2 3 2 0 0 2 0 1         l0 l1 p0 p1     =     1 3 3 1     (22) Podemos verificar que la matriz anterior es no-singular, por lo que el sistema tendr´a soluci´on ´unica: l1 = 1, l0 = 0, p1 = 1 y p0 = 1. As´ı el polinomio caracter´ıstico es alcanzado para un controlador dado por la siguiente funci´on transferencia: C(s) = s + 1 s (23) En el ejemplo anterior vimos como la asignaci´on de polos a lazo cerrado depende de la no-singularidad de una matriz particular. Como la idea es generalizar el resultado anterior, primero necesitaremos algunos resultados matem´aticos. Teorema 1 (Teorema de Sylvester). Consideremos los polinomios A(s) = ansn + = an−1sn−1 + . . . + = a1s + a0, (24) B(s) = bnsn + bn−1sn−1 + . . . + = b1s + b0, (25) junto con la matriz Me =            an 0 . . . 0 bn 0 . . . 0 an−1 an . . . 0 bn−1 bn . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... ... a0 a1 . . . an b0 b1 . . . bn 0 a0 . . . an−1 0 b0 . . . bn−1 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . a0 0 0 . . . b0            . (26) Se dice que A(s) y B(s) son coprimos, es decir que no tienen factores en com´un o ra´ıces, si y solo si det(Me) = 0 Con este resultado podemos ahora generalizar lo visto en el Ejemplo 2, para mostrar que la asignaci´on de polos es generalmente posible, cuando se cumplen algunos requerimientos m´ınimos. Lema 1 (Asignaci´on de Polos SISO). Consideremos un lazo de realimentaci´on de un grado de libertad con un controlador C(s) y un modelo nominal G0(s) dado por (20). Suponiendo que A0(s) y B0(s) son coprimos y que sus grados son n y n − 1, respectivamente. Sea Alc
  • 10. Controladores PID - 9 un polinomio arbitrario de grado nc = 2n − 1. Entonces existen polinomios P(s) y L(s), con grados np = nl = n − 1 tal que: A0(s)L(s) + B0(s)P(s) = Alc(s) (27) Nota 1. El lema anterior establece bajo qu´e condiciones existe soluci´on para el problema de asignaci´on de polos, asumiendo un controlador bipropio. Cuando se requiere un con- trolador estrictamente propio, el grado de P(s) y L(s) deber´ıa ser np = n − 1 y nl = n, respectivamente. De esta forma, para poder estar en condiciones de elegir un polinomio a lazo cerrado Alc(s) arbitrario, su grado deber´ıa ser igual a 2n. Nota 2. No est´an permitidas las cancelaciones del estilo polo-cero inestables. Cualquier cancelaci´on entre el controlador y la planta aparecer´a como factor en A0(s)L(s) y tambi´en en B0(s)P(s). Para que la condici´on del lema 1 pueda ser satisfecha, el mismo factor deber´a aparecer en Alc(s), pero el polinomio caracter´ıstico a lazo cerrado se debe elegir estable, por lo que ese factor com´un deber´a ser estable. S´olo de esta forma, el lazo cerrado nominal es garant´ıa de ser internamente estable, es decir, las cuatro funciones de sensibilidad ser´an estables. En esta secci´on, veremos una forma m´as moderna que las anteriores para ajustar un controlador PID, bas´andonos en t´ecnicas de asignaci´on de polos. Durante esta secci´on con- sideraremos un lazo de control de un grado de libertad con controladores PI de la siguiente forma CPI(s) = Kp + Ki s (28) y la forma del controlador PID CPID(s) = Kp + Ki s + Kds τDs + 1 (29) Para referencias futuras notamos la siguiente representaci´on alternativa de un controla- dor PID: Lema 2. Cualquier controlador de la forma: C(s) = n2s2 + n1s + n0 d2s2 + d1s (30) es id´entico al controlador PID de (29) con los siguientes valores de los par´ametros: Kp = n1d1 − n0d2 d2 1 (31) Ki = n0 d1 (32) Kd = n2d2 1 − n1d1d2 + n0d2 2 d3 1 (33) τD = d2 d1 (34) Demostraci´on. Desarrollando en fracciones simples (29) y compar´andola con (30) se obtie- nen dichos coeficientes.
  • 11. Controladores PID - 10 Si asumimos que la planta puede ser (por lo menos, aproximadamente) modelada por un modelo de segundo orden, entonces podemos utilizar asignaci´on de polos para sintoni- zar un controlador PID. Ejemplo 3. Una planta tiene un modelo nominal dado por: G0(s) = 2 (s + 1)(s + 2) (35) Sintonizar un controlador PID para que a lazo cerrado alcance la din´amica dominada por: s2 + 4s + 9 Resolvemos primero el problema de asignaci´on de polos, donde Alc(s) = (s2 + 4s + 9)(s + 4)2 ; B0(s) = 2; A0(s) = s2 + 3s + 2. (36) El factor (s + 4)2 ha sido agregado para asegurar que la asignaci´on de polos tenga soluci´on, es decir que el grado de Alc(s) debe ser 4. Notar que este factor genera modos (polos) que son m´as r´apidos que los originados por el polinomio deseado. De esta forma, la din´amica dominante ser´a la de los polos mas lentos. Resolviendo la ecuaci´on de asignaci´on de polos, resulta que C(s) = P(s) sL(s) = 14s2 + 59s + 72 s(s + 9) (37) de donde: Kp = 5.67; Ki = 8; Kd = 0.93; τD = 0.11. Una importante observaci´on es que la soluci´on de este problema tiene la estructura de un controlador PID para el modelo dado G0(s). Para un modelo de mayor orden, el controlador resultante no ser´a, en general, un controlador PID. 6 Resumen • Desde una perspectiva moderna, un controlador PID es simplemente un controlador de hasta segundo orden, conteniendo un integrador. • Descubrimientos emp´ıricos demuestran que la estructura del PID por lo general tiene la suficiente flexibilidad como para alcanzar excelentes resultados en muchas aplica- ciones. • El t´ermino b´asico es el t´ermino proporcional, P, que genera una actuaci´on de control correctivo proporcional al error. • El t´ermino integral, I, genera una correcci´on proporcional a la integral del error. Esto nos asegura que si aplicamos un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimien- to se reduce a cero. • El t´ermino derivativo, D, genera una acci´on de control proporcional al cambio de rango del error. Esto tiende a tener un efecto estabilizante pero por lo general genera actuaciones de control grandes.
  • 12. Controladores PID - 11 • Los diferentes m´etodos de sintonizaci´on de los par´ametros de un controlador PID, van de acuerdo a la estructura que se utilice del mismo. Cabe recordar, que s´olo se mencion´o una estructura, dada en la ecuaci´on (29), y que los m´etodos que se estu- diaron se realizaron de acuerdo a dicha estructura. En caso de tener otra habr´a que analizar el m´etodo equivalente.