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Plano numérico
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO
ALUMNO:
MIGUEL COLOMBO MUJICA
CI: 31.111.538
SECCIÓN:0124
Plano Numérico
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un
punto en el plano, la cual está representada por el sistema de
coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la
elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
Característica:
 Los eje de coordenadas son perpendiculares entre si .
 Las escalas de los ejes son iguales.
 Los números positivos estan a la derecha del origen en el
eje de las X y por arriba del origen del eje de la y.
 Los puntos en los eje no pertenecen a ningún cuadrante.
 Es bidimensional.
Distancia:
La distancia entre dos puntos esta vinculada al plano
cartesiano, ya que este permite calcular la distancia que
existe entre ambos puntos, a partir de la ubicación de las
coordenadas de ambos.
Formula de distancia entre dos puntos:
La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano se puede calcular
mediante la fórmula de la Distancia de Pitágoras: d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2).
Esta fórmula nos permite calcular la distancia entre dos puntos
cualesquiera con coordenadas (x1, y1) y (x2, y2).
Por ejemplo, para calcular la distancia entre los puntos A (2, 3) y B (6, 7), la
fórmula sería: d = √((62-22)2 + (72-32)2) = √(42 + 42) = √84 = 9,2.
La distancia entre dos puntos también se puede calcular mediante el
Teorema de Coordenadas. Esto se logra mediante el cálculo de los
componentes en la dirección x y en la dirección y de los dos puntos
dados. La distancia entre los puntos entonces se calcula como la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados de los componentes x y y.
Ejemplo: para calcular la distancia entre los puntos A (2, 3) y B (6, 7), la
distancia se calcularía como: d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2) = √((6-2)2 + (7-3)2) =
√(42 + 42) = √84 = 9,2.
Punto medio:
Antes debemos conocer que es un punto es una figura geométrica
adimensional : no tiene longitud , área, volumen, ni otro Angulo
dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio,
determina respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Ahora bien, tenemos que el punto es el que se encuentra a la misma
distancia de cualquiera de los extremos.
El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un punto del
segmento que dista lo mismo de A que de B. Esto quiere decir que: Si es
un segmento acotado , el punto medio es el que lo divide en dos partes
iguales . En caso, el punto medio es unico y equidista de los extremos
del segmento. Por cumplir esta ultima condición, pertenece a la
mediatriz del segmento.
El modo de obtener geométricamente el punto medio de un segmento,
mediante regla y compás, consiste en trazar dos arcos de
circunferencia de igual radio, con centro en los extremos, y unir sus
intersecciones para obtener la recta mediatriz. Esta corta al segmento
en su punto medio.
Teorema sea A B un segmento cuyos extremos tienen coordenadas
A(xA; yA) : B(xB; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM ;
yM) de AB son:
Ecuaciones y trazado de circunferencias:
 Ecuaciones analítica de la circunferencia:
Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenada, las
coordenadas de cualquier punto de la circunferencia ( x, y) determina un
triangulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de
Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno
cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al
radio r retendremos que: r2 = (x – a)2 + (y- b)2 llamada canónica
podemos 2 desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado
perfecto) y obtenemos:
X^2 + Y^2 – 2ax – 2by – r^2 = 0.
Si reemplazamos: - 2a = D; -2b = E; F = a^2 + b^2 – r^2
Tendremos que: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo:
Si tenemos que: D = 6 P 6 = - 2a P a = -3
E = -8 P -8 = - 2b P b = 4
El centro de la circunferencia es (-3, 4). Hallemos el radio
F= (-3)^2 + 4^2 – r^2 P - 11 = (-3)^2 + 4^2 – r^2 P r = 6
La ecuación de la circunferencia queda: (x+ 3)^2 + (y – 4)^2 = 36
Elipse:
Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las
distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados
focos (F y F´) es siempre la misma.
Los siguientes elementos se encuentran en cada elipse:
 Centro: Es el punto de intersección de los eje. Es, demás, centro de simetría.
 Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de
simetría.
 Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatriz del segmento
que une los focos.
 Vértices: Puntos de intersección de elipse con los ejes.
 Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2 c.
 Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
 Semieje menor o principal : Segmento entre el centro y los vértices del eje
principal. Su longitud es a.
 Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje
secundario. Su longitud es b y cumple b= √a2 – c2
 Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son
los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto
P(x, y ) se cumple que d(P, F) = a –e. x y d( P, F´)= a+e.x
Ecuación analítica de la elipse:
Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las
x, situados en los puntos F (c, 0) y F´(-c, 0). Tomemos un punto cualquiera
P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y).
En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF´ es igual
al doble del radio sobre el eje x.
Entonces: PF + PF´ = 2a .
Se representaría de la siguiente manera:
Hipérbola:
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya diferencia de distancia a los puntos fijos llamados focos es
constante en valor absoluto.
Ecuación analítica de la hipérbola:
La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O
= (o1, o2) como:
 En la hipérbola horizontal:
siendo (x, y) un punto de la hipérbola,(01, 02 )el centro y a y b el semieje
real y el semieje imaginario.
Si la Hipérbola horizontal tiene su centro en el origen, O = (O, O), su ecuación es:
Y se representaría así:
 En la hipérbola vertical:
Si la hipérbola vertical tiene su centro en el origen, O= (0, 0) su ecuación
es:
Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación
general de la hipérbola
Ejemplo:
 Hipérbola de centro O= (1,2), semieje imaginario
b=4.
Parábola:
Una parábola es un lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo
plano llamada directriz.
La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un
cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su
eje y paralelo a una generatriz g de la superficie cónica.
El foco y la directriz determina cómo va a ser la apariencia de la
parábola ( en el sentido que “parecerá” mas o menos abierta según
sea la distancia entre F y la directriz). Todas las parábolas son
semejantes. Su excentricidad es 1 en todos los casos. Solamente varia la
escala.
Representación grafica de las
Ecuaciones de la cónicas:
Las cónicas son las figuras geométricas que
aparecen cuando hacemos la intersección de
un cono con un plano. Como podemos ver en
la siguiente imagen, según el Angulo de
inclinación el plano, que denotamos por B,
podemos encontrarnos con las siguientes
figuras: una circunferencia, un elipse, una
parábola o una hipérbola, de mayor a menor
inclinación.
Ejemplo:
En el siguiente grafico vemos la cónica que
representa la ecuación cuadrática anterior
Bibliografía:
 https://www.significados.com/plano-
cartesiano/#:~:text=Se%20conoce%20como%20plano%20cartesiano%2
C%20coordenadas%20cartesianas%20o,en%20un%20punto%20llamado
%20origen%20o%20punto%20cero.
 https://librosmexico.com.mx/distancia-entre-dos-puntos-en-el-plano-
cartesiano-ejercicios-
resueltos/#:~:text=La%20distancia%20entre%20dos%20puntos%20en%20
el%20plano,x2%20e%20y2%20las%20coordenadas%20del%20segundo%
20punto.
 https://objetos.unam.mx/matemáticas/leccionesMatematicas/02/2_01
2/index.html
 http://www.pps.k12.or.us/distric/depts/edmedia/videoteca/probe/html
b/SEC_39.HTM
 https://www.matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S1a.html
 https://www.monografías.com/trabajos65/plano-cartesiano/plano-
cartesiano.shtml
 http://kambry.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%20Matemati
cas/Analisis_Algebra/matem/matemática/Conicas.htm
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  • 1. Plano numérico REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO ALUMNO: MIGUEL COLOMBO MUJICA CI: 31.111.538 SECCIÓN:0124
  • 2. Plano Numérico Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica. Característica:  Los eje de coordenadas son perpendiculares entre si .  Las escalas de los ejes son iguales.  Los números positivos estan a la derecha del origen en el eje de las X y por arriba del origen del eje de la y.  Los puntos en los eje no pertenecen a ningún cuadrante.  Es bidimensional.
  • 3. Distancia: La distancia entre dos puntos esta vinculada al plano cartesiano, ya que este permite calcular la distancia que existe entre ambos puntos, a partir de la ubicación de las coordenadas de ambos. Formula de distancia entre dos puntos: La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano se puede calcular mediante la fórmula de la Distancia de Pitágoras: d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2). Esta fórmula nos permite calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera con coordenadas (x1, y1) y (x2, y2). Por ejemplo, para calcular la distancia entre los puntos A (2, 3) y B (6, 7), la fórmula sería: d = √((62-22)2 + (72-32)2) = √(42 + 42) = √84 = 9,2. La distancia entre dos puntos también se puede calcular mediante el Teorema de Coordenadas. Esto se logra mediante el cálculo de los componentes en la dirección x y en la dirección y de los dos puntos dados. La distancia entre los puntos entonces se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los componentes x y y. Ejemplo: para calcular la distancia entre los puntos A (2, 3) y B (6, 7), la distancia se calcularía como: d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2) = √((6-2)2 + (7-3)2) = √(42 + 42) = √84 = 9,2.
  • 4. Punto medio: Antes debemos conocer que es un punto es una figura geométrica adimensional : no tiene longitud , área, volumen, ni otro Angulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determina respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. Ahora bien, tenemos que el punto es el que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un punto del segmento que dista lo mismo de A que de B. Esto quiere decir que: Si es un segmento acotado , el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales . En caso, el punto medio es unico y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta ultima condición, pertenece a la mediatriz del segmento. El modo de obtener geométricamente el punto medio de un segmento, mediante regla y compás, consiste en trazar dos arcos de circunferencia de igual radio, con centro en los extremos, y unir sus intersecciones para obtener la recta mediatriz. Esta corta al segmento en su punto medio. Teorema sea A B un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA; yA) : B(xB; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM ; yM) de AB son:
  • 5. Ecuaciones y trazado de circunferencias:  Ecuaciones analítica de la circunferencia: Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenada, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia ( x, y) determina un triangulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r retendremos que: r2 = (x – a)2 + (y- b)2 llamada canónica podemos 2 desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos: X^2 + Y^2 – 2ax – 2by – r^2 = 0. Si reemplazamos: - 2a = D; -2b = E; F = a^2 + b^2 – r^2 Tendremos que: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplo: Si tenemos que: D = 6 P 6 = - 2a P a = -3 E = -8 P -8 = - 2b P b = 4 El centro de la circunferencia es (-3, 4). Hallemos el radio F= (-3)^2 + 4^2 – r^2 P - 11 = (-3)^2 + 4^2 – r^2 P r = 6 La ecuación de la circunferencia queda: (x+ 3)^2 + (y – 4)^2 = 36
  • 6. Elipse: Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F´) es siempre la misma. Los siguientes elementos se encuentran en cada elipse:  Centro: Es el punto de intersección de los eje. Es, demás, centro de simetría.  Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría.  Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatriz del segmento que une los focos.  Vértices: Puntos de intersección de elipse con los ejes.  Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2 c.  Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.  Semieje menor o principal : Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a.  Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple b= √a2 – c2  Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x, y ) se cumple que d(P, F) = a –e. x y d( P, F´)= a+e.x
  • 7. Ecuación analítica de la elipse: Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c, 0) y F´(-c, 0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF´ es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF´ = 2a . Se representaría de la siguiente manera:
  • 8. Hipérbola: La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancia a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.
  • 9. Ecuación analítica de la hipérbola: La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O = (o1, o2) como:  En la hipérbola horizontal: siendo (x, y) un punto de la hipérbola,(01, 02 )el centro y a y b el semieje real y el semieje imaginario. Si la Hipérbola horizontal tiene su centro en el origen, O = (O, O), su ecuación es:
  • 10. Y se representaría así:  En la hipérbola vertical: Si la hipérbola vertical tiene su centro en el origen, O= (0, 0) su ecuación es: Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la hipérbola
  • 11. Ejemplo:  Hipérbola de centro O= (1,2), semieje imaginario b=4.
  • 12. Parábola: Una parábola es un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo plano llamada directriz. La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una generatriz g de la superficie cónica. El foco y la directriz determina cómo va a ser la apariencia de la parábola ( en el sentido que “parecerá” mas o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz). Todas las parábolas son semejantes. Su excentricidad es 1 en todos los casos. Solamente varia la escala.
  • 13. Representación grafica de las Ecuaciones de la cónicas: Las cónicas son las figuras geométricas que aparecen cuando hacemos la intersección de un cono con un plano. Como podemos ver en la siguiente imagen, según el Angulo de inclinación el plano, que denotamos por B, podemos encontrarnos con las siguientes figuras: una circunferencia, un elipse, una parábola o una hipérbola, de mayor a menor inclinación. Ejemplo: En el siguiente grafico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior
  • 14. Bibliografía:  https://www.significados.com/plano- cartesiano/#:~:text=Se%20conoce%20como%20plano%20cartesiano%2 C%20coordenadas%20cartesianas%20o,en%20un%20punto%20llamado %20origen%20o%20punto%20cero.  https://librosmexico.com.mx/distancia-entre-dos-puntos-en-el-plano- cartesiano-ejercicios- resueltos/#:~:text=La%20distancia%20entre%20dos%20puntos%20en%20 el%20plano,x2%20e%20y2%20las%20coordenadas%20del%20segundo% 20punto.  https://objetos.unam.mx/matemáticas/leccionesMatematicas/02/2_01 2/index.html  http://www.pps.k12.or.us/distric/depts/edmedia/videoteca/probe/html b/SEC_39.HTM  https://www.matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S1a.html  https://www.monografías.com/trabajos65/plano-cartesiano/plano- cartesiano.shtml  http://kambry.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%20Matemati cas/Analisis_Algebra/matem/matemática/Conicas.htm