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PLANO
NUMÉRICO
• Br: Hervin valles
• C.I: V-18632575
• DL0303
SE CONOCE COMO PLANO
CARTESIANO, A DOS RECTAS
NUMÉRICAS PERPENDICULARES,
UNA HORIZONTAL Y OTRA
VERTICAL, QUE SE CORTAN EN UN
PUNTO LLAMADO ORIGEN O PUNTO
CERO.
LA FINALIDAD DEL PLANO
CARTESIANO ES DESCRIBIR LA
POSICIÓN O UBICACIÓN DE UN
PUNTO EN EL PLANO, LA CUAL ESTÁ
REPRESENTADA POR EL SISTEMA DE
COORDENADAS.
ELEMENTOS DEL PLANO CARTESIANO
Los elementos y características
que conforman el plano
cartesiano son los ejes
coordenados, el origen, los
cuadrantes y las coordenadas.
A continuación, te explicamos
cada uno.
Ejes coordenados:
Se llaman ejes coordenados a las dos
rectas perpendiculares que se
interconectan en un punto del plano.
Estas rectas reciben el nombre de
abscisa y ordenada.
• Abscisa: el eje de las abscisas está
dispuesto de manera horizontal y
se identifica con la letra “x”.
• Ordenada: el eje de las ordenadas
está orientado verticalmente y se
representa con la letra “y”.
Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” y “y”, punto
al cual se le asigna el valor de cero (0). Cada eje representa una escala
numérica que será positiva o negativa de acuerdo a su dirección
respecto del origen.
Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es
positivo, mientras que el izquierdo es negativo. Consecuentemente, el
segmento ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el segmento
Origen o punto 0
CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO
Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman
por la unión de las dos rectas perpendiculares. Los
puntos del plano se describen dentro de estos
cuadrantes.
• Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas.
• Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada
positiva.
• Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son
negativas.
• Cuadrante IV: la abscisa es positiva y la ordenada
negativa.
COORDENADAS DEL PLANO CARTESIANO
Si queremos saber las coordenadas de un punto en el
plano, trazamos una línea perpendicular desde el punto P
hasta el eje “x” –a esta línea la llamaremos proyección
(ortogonal) del punto P sobre el eje “x”.
Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P
hasta el eje “y” –es decir, una proyección del punto P
sobre el eje “y”.
En cada uno de los cruces de las proyecciones con
ambos ejes, se refleja un número (positivo o negativo).
Esos números son las coordenadas.
Por ejemplo
Las coordenadas son los
números que nos dan la
ubicación del punto en el
plano. Las coordenadas se
forman asignando un
determinado valor al eje “x” y
otro valor al eje “y”. Esto se
representa de la siguiente
manera:
P (x, y), donde:
P = punto en el plano;
x = eje de la abscisa
(horizontal);
y = eje de la ordenada
(vertical).
En este ejemplo, las coordenadas de los puntos
en cada cuadrante son:
cuadrante I, P (2, 3);
cuadrante II, P (-3, 1);
cuadrante III, P (-3, -1) y
cuadrante IV, P (3, -2).
Si lo que queremos es saber la ubicación de un
punto a partir de unas coordenadas previamente
asignadas, entonces trazamos una línea
perpendicular desde el número indicado de la
abscisa, y otra desde el número de la ordenada.
La intersección o cruce de ambas proyecciones
nos da la ubicación espacial del punto.
Por ejemplo:
En este ejemplo, P (3,4) nos da la
ubicación precisa del punto en el
cuadrante I del plano. El 3 pertenece al
eje de las abscisas y el 4 (segmento
derecho) al eje de las ordenadas
(segmento ascendente).
P (-3,-4) nos da la ubicación específica
del punto en el cuadrante III del plano. El -
3 pertenece al eje de las abscisas
(segmento izquierdo) y el -4 al eje de las
ordenadas (segmento descendente).
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Cuando los puntos se encuentran ubicados
sobre el eje x o en una recta paralela a este eje,
la distancia entre los puntos corresponde al
valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y
(5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados
sobre el eje y o en una recta paralela a este eje,
la distancia entre los puntos corresponde al
valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier
lugar del sistema de coordenadas, la distancia
queda determinada por la relación:
PUNTO MEDIO Y SUS COORDENADAS
El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un
segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo
divide en dos partes iguales.
Sean y los extremos de un
de un segmento, el punto medio del segmento viene
dado por:
LA CIRCUNFERENCIA Y SU ECUACIÓN
La circunferencia se define como el lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de un punto
fijo que llamamos centro.
Por lo tanto, cada punto de la circunferencia satisface
donde la distancia se llama radio. Así, tenemos la siguiente
Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos:
La ecuación anterior se conoce como ecuación ordinaria de la circunferencia. Para obtener la
ecuación general debemos desarrollar los binomios al cuadrado:
Luego reagrupamos los términos de la siguiente manera:
Consideramos los siguientes cambios:
Por tanto, la ecuación de la circunferencia se
puede escribir de la siguiente manera:
la cual se conoce como la ecuación general de la
circunferencia. Aquí, el centro está dado por:
y el radio satisface que:
Es importante notar que la ecuación
debe satisfacer lo siguiente para que describa una
circunferencia:
1 Se cumple la siguiente desigualdad
2 no hay ningún término XY (es decir; x y Y no se multiplican) 3 X2 y Y2 tienen coeficiente 1
CÓNICAS. CIRCUNFERENCIA - ELIPSE -
HIPÉRBOLA - PARÁBOLA
Se entiende por CÓNICAS o SECCIONES CÓNICAS a las curvas planas que se producen por
la intersección de un plano con un cono.
Las intersecciones del plano con el cono dependen del modo como éstas se produzcan. Cambiando
el ángulo del plano y el lugar donde éste corta al cono, se producirán secciones diferentes.
En el siguiente dibujo tienes una cartulina amarilla que “corta”
perpendicularmente al eje del cono y compruebas que la sección es el círculo en azul,
siempre que el corte no se produzca por el vértice. Su contorno es una circunferencia.
Estudiaremos su contorno, es decir, la circunferencia.
Si el plano corta oblicuamente al eje del cono y a todas sus generatrices, sin pasar por
el vértice, la sección que obtenemos es una elipse.
Mantenemos la misma cartulina amarilla y la sección resultante en azul:
Si el corte lo
hacemos, de forma
oblicua al eje del
cono, pero paralela a
la generatriz del
mismo obtenemos
una parábola:
Si el plano corta a
las generatrices en
ambos lados del
vértice del cono,
obtenemos
una hipérbola.
Si te fijas en la figura
siguiente, a las
cónicas podemos
clasificarlas teniendo
en cuenta el ángulo
que forman el plano
con el eje del cono:
Si el plano es perpendicular al eje, tenemos una sección circular cuyo contorno es
la circunferencia.
Si el ángulo que forma el plano con la base es menor que el ángulo que forma el plano con la
generatriz, tenemos que la sección será una elipse.
Si el plano es paralelo a la generatriz tenemos la parábola.
Si el ángulo que forma el plano con la base es mayor del que forma con la generatriz, tenemos
la hipérbola.
Cuanto acabas de leer lo tienes representado a continuación:
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  • 1. PLANO NUMÉRICO • Br: Hervin valles • C.I: V-18632575 • DL0303
  • 2. SE CONOCE COMO PLANO CARTESIANO, A DOS RECTAS NUMÉRICAS PERPENDICULARES, UNA HORIZONTAL Y OTRA VERTICAL, QUE SE CORTAN EN UN PUNTO LLAMADO ORIGEN O PUNTO CERO. LA FINALIDAD DEL PLANO CARTESIANO ES DESCRIBIR LA POSICIÓN O UBICACIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO, LA CUAL ESTÁ REPRESENTADA POR EL SISTEMA DE COORDENADAS.
  • 3. ELEMENTOS DEL PLANO CARTESIANO Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A continuación, te explicamos cada uno. Ejes coordenados: Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se interconectan en un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada. • Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se identifica con la letra “x”. • Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se representa con la letra “y”.
  • 4. Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” y “y”, punto al cual se le asigna el valor de cero (0). Cada eje representa una escala numérica que será positiva o negativa de acuerdo a su dirección respecto del origen. Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es positivo, mientras que el izquierdo es negativo. Consecuentemente, el segmento ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el segmento Origen o punto 0
  • 5. CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de estos cuadrantes. • Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas. • Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva. • Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas. • Cuadrante IV: la abscisa es positiva y la ordenada negativa.
  • 6. COORDENADAS DEL PLANO CARTESIANO Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una línea perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la llamaremos proyección (ortogonal) del punto P sobre el eje “x”. Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es decir, una proyección del punto P sobre el eje “y”. En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes, se refleja un número (positivo o negativo). Esos números son las coordenadas. Por ejemplo Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x” y otro valor al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera: P (x, y), donde: P = punto en el plano; x = eje de la abscisa (horizontal); y = eje de la ordenada (vertical).
  • 7. En este ejemplo, las coordenadas de los puntos en cada cuadrante son: cuadrante I, P (2, 3); cuadrante II, P (-3, 1); cuadrante III, P (-3, -1) y cuadrante IV, P (3, -2). Si lo que queremos es saber la ubicación de un punto a partir de unas coordenadas previamente asignadas, entonces trazamos una línea perpendicular desde el número indicado de la abscisa, y otra desde el número de la ordenada. La intersección o cruce de ambas proyecciones nos da la ubicación espacial del punto. Por ejemplo: En este ejemplo, P (3,4) nos da la ubicación precisa del punto en el cuadrante I del plano. El 3 pertenece al eje de las abscisas y el 4 (segmento derecho) al eje de las ordenadas (segmento ascendente). P (-3,-4) nos da la ubicación específica del punto en el cuadrante III del plano. El - 3 pertenece al eje de las abscisas (segmento izquierdo) y el -4 al eje de las ordenadas (segmento descendente).
  • 8. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación: PUNTO MEDIO Y SUS COORDENADAS El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. Sean y los extremos de un de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por:
  • 9. LA CIRCUNFERENCIA Y SU ECUACIÓN La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo que llamamos centro. Por lo tanto, cada punto de la circunferencia satisface donde la distancia se llama radio. Así, tenemos la siguiente Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos: La ecuación anterior se conoce como ecuación ordinaria de la circunferencia. Para obtener la ecuación general debemos desarrollar los binomios al cuadrado: Luego reagrupamos los términos de la siguiente manera:
  • 10. Consideramos los siguientes cambios: Por tanto, la ecuación de la circunferencia se puede escribir de la siguiente manera: la cual se conoce como la ecuación general de la circunferencia. Aquí, el centro está dado por: y el radio satisface que: Es importante notar que la ecuación debe satisfacer lo siguiente para que describa una circunferencia: 1 Se cumple la siguiente desigualdad 2 no hay ningún término XY (es decir; x y Y no se multiplican) 3 X2 y Y2 tienen coeficiente 1
  • 11. CÓNICAS. CIRCUNFERENCIA - ELIPSE - HIPÉRBOLA - PARÁBOLA Se entiende por CÓNICAS o SECCIONES CÓNICAS a las curvas planas que se producen por la intersección de un plano con un cono. Las intersecciones del plano con el cono dependen del modo como éstas se produzcan. Cambiando el ángulo del plano y el lugar donde éste corta al cono, se producirán secciones diferentes. En el siguiente dibujo tienes una cartulina amarilla que “corta” perpendicularmente al eje del cono y compruebas que la sección es el círculo en azul, siempre que el corte no se produzca por el vértice. Su contorno es una circunferencia. Estudiaremos su contorno, es decir, la circunferencia. Si el plano corta oblicuamente al eje del cono y a todas sus generatrices, sin pasar por el vértice, la sección que obtenemos es una elipse. Mantenemos la misma cartulina amarilla y la sección resultante en azul:
  • 12. Si el corte lo hacemos, de forma oblicua al eje del cono, pero paralela a la generatriz del mismo obtenemos una parábola: Si el plano corta a las generatrices en ambos lados del vértice del cono, obtenemos una hipérbola. Si te fijas en la figura siguiente, a las cónicas podemos clasificarlas teniendo en cuenta el ángulo que forman el plano con el eje del cono:
  • 13. Si el plano es perpendicular al eje, tenemos una sección circular cuyo contorno es la circunferencia. Si el ángulo que forma el plano con la base es menor que el ángulo que forma el plano con la generatriz, tenemos que la sección será una elipse. Si el plano es paralelo a la generatriz tenemos la parábola. Si el ángulo que forma el plano con la base es mayor del que forma con la generatriz, tenemos la hipérbola. Cuanto acabas de leer lo tienes representado a continuación: