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PLANO NUMÉRICO O PLANO CARTESIANO
ANDERSON MARCHAN
29,587,737
SECCION,0203
Barquisimeto-Marzo 2023
PLANO NUMÉRICO O CARTESIANO
¿Qué es?
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está
representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole,
la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes, quien fue el creador de la
geometría analítica y el primero en utilizar este sistema de coordenadas.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente,
esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus
coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si
son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las
ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza
cualquier punto dadas ambas coordenadas.
PUNTO MEDIO O EQUIDISTANTE
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o
extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos
elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales.
Punto medio de un segmento
El punto medio de un segmento representa al punto que se ubica exactamente en la mitad de los dos puntos
extremos del segmento. El punto medio puede ser encontrado al dividir a la suma de las coordenadas x por 2 y
dividir a la suma de las coordenadas y por 2.
ECUACIONES Y TRAZADOS DE CIRCUNFERENCIAS
Ecuaciones de la circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que
estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que
trabajamos)
Determinación de una circunferencia
Una circunferencia queda determinada
cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma, equidistantes del
centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la circunferencia.
•
También podemos decir que la circunferencia es la línea
formada por todos los puntos que están a la misma
distancia de otro punto, llamado centro .
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión
analítica de una circunferencia (la ecuación de la
circunferencia ).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica ,
(dentro del Plano Cartesiano ) diremos que —para cualquier
punto, P (x, y) , de una circunferencia cuyo centro es el
punto C (a, b) y con radio r ─, la ecuación ordinaria es
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación , cuenta con una serie de elementos o parámetros que
son básicos para su descripción, y son:
Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría ).
Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice.
Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la
misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco , así como entre vértice y
directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.
Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola:
ECUACIONES ELIPSE
Elipses horizontales y verticales
Venimos estudiando la elipse horizontal que tiene el eje
mayor (2a) en el eje de abscisas y el menor (2b) en el de
ordenadas.
Cuando el eje mayor se encuentre en el de ordenaas y el
menor en el de las abscisas decimos que se trata de una
elipse vertical.
Una elipse es una curva plana, simple y cerrada con dos ejes
de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por
un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el
de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse
que gira alrededor de su eje menor genera
un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira
alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
La elipse es también la imagen afín de una circunferencia
ECUACION HIPERBOLA
La hipérbola cuyo centro se halla en el origen de coordenadas es representable mediante una de las siguientes
ecuaciones denominadas de manera común como ecuación canónica o forma normal de la ecuación de una hipérbola:
ELEMENTOS DE UNA HIPERBOLA
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola
con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la
circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la
hipérbola a los focos: PF y PF'.
7. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje
imaginario.
11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:
12. Relación entre los semiejes:
REPRESENTACIÓN GRAFICAS DE LAS SECCIONES CONICAS
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las
diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se
obtienen las cónicas propiamente dichas elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
Los tres ejemplos de de un plano con un
cono: parábola (1), elipse y circunferencia
(2) e hipérbola (3)

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  • 1. PLANO NUMÉRICO O PLANO CARTESIANO ANDERSON MARCHAN 29,587,737 SECCION,0203 Barquisimeto-Marzo 2023
  • 2. PLANO NUMÉRICO O CARTESIANO ¿Qué es? Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica. El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el primero en utilizar este sistema de coordenadas.
  • 3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.
  • 4. PUNTO MEDIO O EQUIDISTANTE Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. Punto medio de un segmento El punto medio de un segmento representa al punto que se ubica exactamente en la mitad de los dos puntos extremos del segmento. El punto medio puede ser encontrado al dividir a la suma de las coordenadas x por 2 y dividir a la suma de las coordenadas y por 2.
  • 5. ECUACIONES Y TRAZADOS DE CIRCUNFERENCIAS Ecuaciones de la circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos) Determinación de una circunferencia Una circunferencia queda determinada cuando conocemos: a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro. b) El centro y el radio. c) El centro y un punto en ella. d) El centro y una recta tangente a la circunferencia. • También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro . Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia ). Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica , (dentro del Plano Cartesiano ) diremos que —para cualquier punto, P (x, y) , de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r ─, la ecuación ordinaria es (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
  • 6. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación , cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son: Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría ). Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice. Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice. Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola. Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco , así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales). Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola. Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco. Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal. Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola:
  • 7. ECUACIONES ELIPSE Elipses horizontales y verticales Venimos estudiando la elipse horizontal que tiene el eje mayor (2a) en el eje de abscisas y el menor (2b) en el de ordenadas. Cuando el eje mayor se encuentre en el de ordenaas y el menor en el de las abscisas decimos que se trata de una elipse vertical. Una elipse es una curva plana, simple y cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia
  • 8. ECUACION HIPERBOLA La hipérbola cuyo centro se halla en el origen de coordenadas es representable mediante una de las siguientes ecuaciones denominadas de manera común como ecuación canónica o forma normal de la ecuación de una hipérbola: ELEMENTOS DE UNA HIPERBOLA 1. Focos: Son los puntos fijos F y F'. 2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos. 3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'. 4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. 6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'. 7. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c. 8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a. 9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b. 10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario. 11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: 12. Relación entre los semiejes:
  • 9. REPRESENTACIÓN GRAFICAS DE LAS SECCIONES CONICAS Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas elipse, parábola, hipérbola y circunferencia. Los tres ejemplos de de un plano con un cono: parábola (1), elipse y circunferencia (2) e hipérbola (3)