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Barquisimeto- Edo. Lara.
Plano Numérico o
Cartesiano.
Integrante:
Jesús Gutiérrez
C.I 19.482.133
Sección: 0303
¿Qué es un plano cartesiano?
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en
un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y
la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe
el nombre de origen.
Ejemplo:
¿Cómo medir distancia?
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto
de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Fórmula de teorema de Pitágoras:
El teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es equivalente a la suma de los cuadrados de sus catetos, por lo tanto:
Y para obtener la fórmula solo
tenemos que despejar
la distancia entre los 2
puntos:
Finalmente, cabe destacar que, si estuviéramos trabajando con puntos de 3
coordenadas, la fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio (en R3)
Sería la
misma, pero añadiendo la coordenada Z:
Ejemplo:
Halla la distancia entre los siguientes dos puntos:
Para hallar la distancia entre los dos puntos geométricamente simplemente
debemos aplicar la fórmula:
Ahora sustituimos las coordenadas de los puntos en la fórmula:
Y hacemos los cálculos:
Punto medio y sus coordenadas:
El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de
otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un
segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales.
Fórmula de punto medio:
Encuentra el punto medio de un segmento que une a los puntos (2, 5) y (6,
9).
Ecuaciones y trazado de circunferencia:
La circunferencia en el plano cartesiano
TRASLACION DE EJES En el estudio de las cónicas a veces es conveniente
“mover” los ejes cartesianos para que la curva que estamos estudiando quede en
una posición más “fácil” y su ecuación sea más simple. Los movimientos que se
pueden hacer con los ejes cartesianos son de dos tipos: traslaciones y rotaciones
ya que estos movimientos no alteran las distancias entre puntos ni los ángulos
entre rectas; a este proceso de cambiar de un par de ejes a otro se le llama
transformación de coordenadas. Consideremos un sistema coordenado en el
plano cartesiano. Tomemos un punto O’ (xo, yo) distinto del origen, tracemos un
nuevo par de ejes cartesianos X’ y Y’ con origen O’, paralelos a los ejes X y Y
originales. Por tanto casa punto P del plano puede expresarse con coordenadas
en términos de X y Y o en términos de X’ y Y’. Las coordenadas de cada punto del
plano se cambian bajo una traslación de ejes. Para ver cómo cambian las
coordenadas, examinamos la figura 1 Las coordenadas del origen O’, referidas a
los ejes originales, se representan con (h, k). Así, los nuevos ejes se pueden
obtener desplazando los ejes anteriores h unidades horizontalmente y k unidades
verticalmente, manteniendo sin cambio de direcciones. Se llamará x, e y las
coordenadas de cualquier punto P con respecto a los ejes anteriores (sistema
primitivo) y, x’ e y’ las coordenadas de P con respecto a los nuevos ejes.
Estas fórmulas relacionan las “viejas” coordenadas (o anteriores) con las “nuevas”
coordenadas; éstas valen para todos los puntos del plano donde el nuevo origen
O’ es cualquier punto del plano. En consecuencia, las sustituciones x’ + h por x y
y’ + k por y en las ecuaciones de la curva referida a los ejes originales, da la
ecuación de la misma curva referida a los ejes trasladados. Es indispensable que
cada conjunto de ejes se denomine de manera adecuada, porque de no ser así,
una gráfica se convierte es una confusión de trazos y líneas.
¿Qué es una ecuación en un plano cartesiano?
Tiene la forma y = mx + b; donde m es la pendiente (ángulo de inclinación de la
recta con respecto al eje x) y b es el intercepto donde la recta corta al eje y.
Esquema de los rangos de las coordenadas cartesianas:
Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen
II
(-,+)
I
(+,+)
III
(-,-)
IV
(+,-)
Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en
que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano
Cartesiano) y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una
es característica.
Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en
el origen, su eje focal o de simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que
está orientada (se abre) hacia la derecha.
Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto
“P” (no confundir con el “parámetro p”), cualquiera de coordenadas (x, y), y el
foco “F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos
en la figura:
¿Qué es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o
canónica?
Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola
(hacia donde se abre).
Veamos ahora las cuatro posibilidades:
Primera posibilidad
La que ya vimos, cuando la parábola se abre hacia la derecha
(sentido positivo) en e l eje de las abscisas “X”
 Elipse:
Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano,
tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados
focos, siempre es constante. A esta longitud constante se le denomina eje
mayo que puede ser paralelo al eje “x”, paralelo al eje “y” o bien oblicuo.
 Hipérbola:
Es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico
de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es
constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real. Tiene dos ejes
perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva.
 Ecuación general de una cónica:
Si A = B, entonces se tratará de una circunferencia. Si, pero son del mismo signo,
entonces se tratará de una elipse. Si y son de signo distinto, entonces se tratará
de una hipérbola.
¿Qué es una cónica?
Cónicas. La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son
curvas planas de todos conocidas. Estas curvas aparecían ya en la geometría
griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época
de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono
con un plano.
Ejercicio:
Calcula la distancia entre los siguientes dos puntos:
Bibliografía:
 Algebra (1998). Dr. Aurelio Baldor Décima Sexta reimpresión México.
 Matemática 9ª Grado 1992. Júpiter Figuera Yiberin. Cumaná Edo. Sucre- Venezuela.
 Wikipedia.
A (5, 3) B (2, 6)

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  • 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto- Edo. Lara. Plano Numérico o Cartesiano. Integrante: Jesús Gutiérrez C.I 19.482.133 Sección: 0303
  • 2. ¿Qué es un plano cartesiano? El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. Ejemplo: ¿Cómo medir distancia? Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades. Fórmula de teorema de Pitágoras:
  • 3. El teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equivalente a la suma de los cuadrados de sus catetos, por lo tanto: Y para obtener la fórmula solo tenemos que despejar la distancia entre los 2 puntos: Finalmente, cabe destacar que, si estuviéramos trabajando con puntos de 3 coordenadas, la fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio (en R3) Sería la misma, pero añadiendo la coordenada Z: Ejemplo: Halla la distancia entre los siguientes dos puntos: Para hallar la distancia entre los dos puntos geométricamente simplemente debemos aplicar la fórmula:
  • 4. Ahora sustituimos las coordenadas de los puntos en la fórmula: Y hacemos los cálculos: Punto medio y sus coordenadas: El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. Fórmula de punto medio: Encuentra el punto medio de un segmento que une a los puntos (2, 5) y (6, 9).
  • 5. Ecuaciones y trazado de circunferencia: La circunferencia en el plano cartesiano TRASLACION DE EJES En el estudio de las cónicas a veces es conveniente “mover” los ejes cartesianos para que la curva que estamos estudiando quede en una posición más “fácil” y su ecuación sea más simple. Los movimientos que se pueden hacer con los ejes cartesianos son de dos tipos: traslaciones y rotaciones ya que estos movimientos no alteran las distancias entre puntos ni los ángulos entre rectas; a este proceso de cambiar de un par de ejes a otro se le llama transformación de coordenadas. Consideremos un sistema coordenado en el plano cartesiano. Tomemos un punto O’ (xo, yo) distinto del origen, tracemos un nuevo par de ejes cartesianos X’ y Y’ con origen O’, paralelos a los ejes X y Y originales. Por tanto casa punto P del plano puede expresarse con coordenadas en términos de X y Y o en términos de X’ y Y’. Las coordenadas de cada punto del plano se cambian bajo una traslación de ejes. Para ver cómo cambian las coordenadas, examinamos la figura 1 Las coordenadas del origen O’, referidas a los ejes originales, se representan con (h, k). Así, los nuevos ejes se pueden
  • 6. obtener desplazando los ejes anteriores h unidades horizontalmente y k unidades verticalmente, manteniendo sin cambio de direcciones. Se llamará x, e y las coordenadas de cualquier punto P con respecto a los ejes anteriores (sistema primitivo) y, x’ e y’ las coordenadas de P con respecto a los nuevos ejes. Estas fórmulas relacionan las “viejas” coordenadas (o anteriores) con las “nuevas” coordenadas; éstas valen para todos los puntos del plano donde el nuevo origen O’ es cualquier punto del plano. En consecuencia, las sustituciones x’ + h por x y y’ + k por y en las ecuaciones de la curva referida a los ejes originales, da la ecuación de la misma curva referida a los ejes trasladados. Es indispensable que cada conjunto de ejes se denomine de manera adecuada, porque de no ser así, una gráfica se convierte es una confusión de trazos y líneas. ¿Qué es una ecuación en un plano cartesiano? Tiene la forma y = mx + b; donde m es la pendiente (ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje x) y b es el intercepto donde la recta corta al eje y. Esquema de los rangos de las coordenadas cartesianas: Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen II (-,+) I (+,+) III (-,-) IV (+,-)
  • 7. Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano) y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica. Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha. Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro p”), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:
  • 8. ¿Qué es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica? Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola (hacia donde se abre). Veamos ahora las cuatro posibilidades: Primera posibilidad La que ya vimos, cuando la parábola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en e l eje de las abscisas “X”
  • 9.  Elipse: Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, siempre es constante. A esta longitud constante se le denomina eje mayo que puede ser paralelo al eje “x”, paralelo al eje “y” o bien oblicuo.  Hipérbola: Es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real. Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva.  Ecuación general de una cónica: Si A = B, entonces se tratará de una circunferencia. Si, pero son del mismo signo, entonces se tratará de una elipse. Si y son de signo distinto, entonces se tratará de una hipérbola. ¿Qué es una cónica? Cónicas. La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas. Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.
  • 10. Ejercicio: Calcula la distancia entre los siguientes dos puntos: Bibliografía:  Algebra (1998). Dr. Aurelio Baldor Décima Sexta reimpresión México.  Matemática 9ª Grado 1992. Júpiter Figuera Yiberin. Cumaná Edo. Sucre- Venezuela.  Wikipedia. A (5, 3) B (2, 6)