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Se utiliza para calcular el aumento o disminución porcentual de una cantidad
EJEMPLO N° 1
Si en la mañana cuando sale el sol la temperatura es 15°C y al mediodía la temperatura
es 18°C. ¿En qué tanto por ciento aumenta la temperatura?
Solución:
15 18
AUMENTO 3° C
𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 =
𝟑
𝟏𝟓
𝒙𝟏𝟎𝟎%
Inicio Final
Escuela de Talentos- Porcentajes
10
EJEMPLO N° 2
Solución:
Si el radio de una esfera aumenta en 10%, en qué tanto por ciento varía su área?
r
Á𝑅𝐸𝐴 = 4𝜋𝑅2
Como el radio aumenta en un 10%,
significa que aumenta el 1/10 de su valor
inicial; entonces nos conviene asumir un
radio igual a un valor inicial 10k.
Sabemos que:
10k 11k
Inicio Final
Aumentó en 10%
𝐴𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 4𝜋 10𝑘 2
𝐴𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 100. 4𝜋𝑘2
𝐴 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 4𝜋 11𝑘 2
𝐴 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 121. 4𝜋𝑘2
Aumentó en 21.4𝜋𝑘2
Variación Porcentual =
21.4𝜋𝑘2
100.4𝜋𝑘2 . 100%
Variación Porcentual = 21%
Escuela de Talentos- Porcentajes
10
EJEMPLO N° 3
Solución:
Sea:
𝐸 =
𝜋𝑙𝑜𝑔5 𝑥2. 𝑦. 𝑧
4𝑤
Si x aumenta en 50% y z disminuye en 64%, ¿En qué tanto por ciento varía E?
Como x y z son los únicos que varían, todo
lo demás se puede despreciar así:
𝐸 =
𝜋𝑙𝑜𝑔5 𝑥2. 𝑦. 𝑧
4𝑤
𝐸 = 𝑥2
𝑧
Asumiendo valores convenientes para x y
z tenemos:
Inicio Final
𝑥 = 2
𝑧 = 100
𝑥 = 3
𝑧 = 36
+50% <> 1/2
-64%
𝐸 = 22
100
𝐸 = 40
𝐸 = 32
36
𝐸 = 54
Aumenta en 14
Variación Porcentual =
14
40
. 100%
Variación Porcentual = 35%
Escuela de Talentos- Porcentajes
11
APLICACIONES COMERCIALES
Donde más encontraremos aplicaciones del tanto por ciento es en las actividades comerciales, por
ejemplo en el banco (en las tasas de interés), en la SUNAT (al pagar un impuesto), etc.
Cuando resolvamos problemas de este tipo nos tocaremos con nombres como: precio de venta,
descuento, ganancia bruta, etc. Por ello especificamos la relación entre estas:
Nota:
Escuela de Talentos- Porcentajes
12
EJEMPLO N° 1
Se compra un artículo en 800 soles ¿Qué precio debe fijarse para su venta al público, para
hacer un descuento del 20% y aun así ganar el 25%?
Solución:
Según el enunciado:
Ganancia: 25%(800)=200 soles
Descuento: 20%(precio fijado) <>1/5 (precio fijado)
Precio fijado = 5k ⇒ Descuento = k
Gráficamente:
Escuela de Talentos- Porcentajes
13
MEZCLAS PORCENTUALES
Cuando vamos a la farmacia a comprar alcohol encontraremos alcohol al 75%, alcohol de 75° o
concentrado al 75%, todas estas expresiones indican lo mismo.
Escuela de Talentos- Porcentajes
10
EJEMPLO N° 1
Se tiene dos recipientes con 20 y 30 litros de alcohol al 50% y al 80% respectivamente; ambos se vierten
en un recipiente más grande. Halle la pureza de la mezcla resultante.
EJEMPLO N° 2
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debemos agregar adicionalmente para obtener una mezcla con 40% de agua?

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Porcentajes III 5TO

  • 2. Escuela de Talentos- Porcentajes 10 VARIACIÓN PORCENTUAL Se utiliza para calcular el aumento o disminución porcentual de una cantidad EJEMPLO N° 1 Si en la mañana cuando sale el sol la temperatura es 15°C y al mediodía la temperatura es 18°C. ¿En qué tanto por ciento aumenta la temperatura? Solución: 15 18 AUMENTO 3° C 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 = 𝟑 𝟏𝟓 𝒙𝟏𝟎𝟎% Inicio Final
  • 3. Escuela de Talentos- Porcentajes 10 EJEMPLO N° 2 Solución: Si el radio de una esfera aumenta en 10%, en qué tanto por ciento varía su área? r Á𝑅𝐸𝐴 = 4𝜋𝑅2 Como el radio aumenta en un 10%, significa que aumenta el 1/10 de su valor inicial; entonces nos conviene asumir un radio igual a un valor inicial 10k. Sabemos que: 10k 11k Inicio Final Aumentó en 10% 𝐴𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 4𝜋 10𝑘 2 𝐴𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 100. 4𝜋𝑘2 𝐴 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 4𝜋 11𝑘 2 𝐴 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 121. 4𝜋𝑘2 Aumentó en 21.4𝜋𝑘2 Variación Porcentual = 21.4𝜋𝑘2 100.4𝜋𝑘2 . 100% Variación Porcentual = 21%
  • 4. Escuela de Talentos- Porcentajes 10 EJEMPLO N° 3 Solución: Sea: 𝐸 = 𝜋𝑙𝑜𝑔5 𝑥2. 𝑦. 𝑧 4𝑤 Si x aumenta en 50% y z disminuye en 64%, ¿En qué tanto por ciento varía E? Como x y z son los únicos que varían, todo lo demás se puede despreciar así: 𝐸 = 𝜋𝑙𝑜𝑔5 𝑥2. 𝑦. 𝑧 4𝑤 𝐸 = 𝑥2 𝑧 Asumiendo valores convenientes para x y z tenemos: Inicio Final 𝑥 = 2 𝑧 = 100 𝑥 = 3 𝑧 = 36 +50% <> 1/2 -64% 𝐸 = 22 100 𝐸 = 40 𝐸 = 32 36 𝐸 = 54 Aumenta en 14 Variación Porcentual = 14 40 . 100% Variación Porcentual = 35%
  • 5. Escuela de Talentos- Porcentajes 11 APLICACIONES COMERCIALES Donde más encontraremos aplicaciones del tanto por ciento es en las actividades comerciales, por ejemplo en el banco (en las tasas de interés), en la SUNAT (al pagar un impuesto), etc. Cuando resolvamos problemas de este tipo nos tocaremos con nombres como: precio de venta, descuento, ganancia bruta, etc. Por ello especificamos la relación entre estas: Nota:
  • 6. Escuela de Talentos- Porcentajes 12 EJEMPLO N° 1 Se compra un artículo en 800 soles ¿Qué precio debe fijarse para su venta al público, para hacer un descuento del 20% y aun así ganar el 25%? Solución: Según el enunciado: Ganancia: 25%(800)=200 soles Descuento: 20%(precio fijado) <>1/5 (precio fijado) Precio fijado = 5k ⇒ Descuento = k Gráficamente:
  • 7. Escuela de Talentos- Porcentajes 13 MEZCLAS PORCENTUALES Cuando vamos a la farmacia a comprar alcohol encontraremos alcohol al 75%, alcohol de 75° o concentrado al 75%, todas estas expresiones indican lo mismo.
  • 8. Escuela de Talentos- Porcentajes 10 EJEMPLO N° 1 Se tiene dos recipientes con 20 y 30 litros de alcohol al 50% y al 80% respectivamente; ambos se vierten en un recipiente más grande. Halle la pureza de la mezcla resultante. EJEMPLO N° 2 Se tiene 54 litros de alcohol de 90° y se mezcla con 81 litros de alcohol de 72°. ¿Qué cantidad de agua debemos agregar adicionalmente para obtener una mezcla con 40% de agua?