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Universidad Nacional Experimental
                    Francisco de Miranda
                  Decanato de Acción Social
        Especialización Enseñanza de la Matemática



              FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA




Lcdo. Luís Eduardo Arias Hernández (MSc))
CUADRILÁTEROS
CUADRILÁTEROS

Son polígonos formados por la unión de cuatro segmentos de
recta. Al ser un polígono, dos lados contiguos no pueden estar
alineados

                                               D
Entre los elementos de un                                C
                                                aA
cuadrilátero mencionamos               A
sus lados y ángulos
                                                     B



Las relaciones entre ellos, nos sirven para clasificarlos
Cuadriláteros que                       Cuadriláteros que
tiene los lados        PARALELOGRAMOS   tienen 2 pares de
paralelos dos a dos.                     lados paralelos.
Construcción de paralelogramos




Mediante el uso de las
herramientas geométricas
Construcción de paralelogramos



 Mediante la yuxtaposición
 de los correspondientes
 tipos de triángulos




Mediante el uso de cintas o
bandas que se intersectan
Yuxtaposición de dos triángulos isorectángulos.



Corte dos triángulos
isorectángulos
congruentes

                             D              C
Yuxtaponga los lados
diferentes cada
triángulo
                            A               B
¿ Como son los lados del           iguales
paralelogramo obtenido ?

                              Son dos triángulo isósceles
                             congruentes , al yuxtaponer
¿ Por qué son iguales?
                              los lados diferentes, los
                              demás lados son iguales



¿ Como son los ángulos del          iguales
paralelogramo obtenido ?
¿ Cuanto mide cada uno       90 grados
de ellos?


¿ Cuanto es la suma de los   360 grados
ángulos interiores?



¿ Como se llama el           Cuadrado
paralelogramo construido?
Dos DB y AC
                                D                 C
La diagonal es el segmento
que une los vértice del
cuadrado ¿ Cuantas
diagonales tiene ?
                               A                  B

                              Tienen la misma medida
                              Cada una divide a la otra
                               en dos partes iguales
¿Qué propiedades tienen las   Son bisectrices de los
diagonales de un cuadrado?    ángulos interiores
                              Se intersectan formando
                              ángulos rectos
Intersección de cintas o bandas




Corte dos cintas o
bandas de igual ancho
Los cuatro puntos de intersección son los vértices



Superpone las dos
bandas
perpendicularmente                   3cm     D
                                C

                                              3cm

                                 A          B
¿ Como son los lados del          iguales
paralelogramo obtenido ?


                             Son bandas de igual ancho
¿ Por qué son iguales?       Distancia entre rectas
                             paralelas son iguales



¿ Como son los ángulos del         iguales
paralalegramo obtenido ?
¿ Cuanto mide cada uno       90 grados
de ellos?


¿ Cuanto es la suma de los   360 grados
ángulos interiores?



¿ Como se llama el           Cuadrado
paralelogramo construido?
Yuxtaposición de dos triángulos rectángulos.



Corte dos triángulos
rectángulos congruentes


                           B              A
Yuxtaponga los lados
más grande de cada
triángulo
                           C              D
¿ Como son los lados del    Lados opuestos iguales
paralelogramo obtenido ?




¿ Como son los ángulos del         iguales
paralelogramo obtenido ?
¿ Cuanto mide cada uno       90 grados
de ellos?


¿ Cuanto es la suma de los   360 grados
ángulos interiores?



¿ Como se llama el           Rectángulo
paralelogramo construido?
Dos DB y AC
                                 B                 A
¿ Cuantas diagonales tiene ?
El rectángulo
                                 C                 D


                               Tienen la misma medida
                               Cada una divide a la otra
                                en dos partes iguales
¿Qué propiedades tienen las
                               No son bisectrices de los
diagonales de un
rectángulo?                    ángulos interiores
                               Se intersectan formando
                               ángulos oblicuos
Intersección de cintas o bandas




Corte dos cintas o
bandas de diferente
ancho
Los cuatro puntos de intersección son los vértices



Superpone las dos
bandas
perpendicularmente
                                 C 3cm      D

                                              2cm
                                 A           B
¿ Como son los lados del    Lados opuestos iguales
paralelogramo obtenido ?




¿ Como son los ángulos del         iguales
paralelogramo obtenido ?
¿ Cuanto mide cada uno       90 grados
de ellos?


¿ Cuanto es la suma de los   360 grados
ángulos interiores?



¿ Como se llama el           Rectángulo
paralelogramo construido?
Yuxtaposición de dos triángulos isósceles.


Corte dos triángulos
isósceles congruentes


                                       D


Yuxtaponga los lados
de la base de cada
triángulo                         A            C



                                       B
¿ Como son los lados del           iguales
paralelogramo obtenido ?

                              Son dos triángulo isósceles
                             congruentes , al yuxtaponer
¿ Por qué son iguales?
                              los lados diferentes, los
                              demás lados son iguales


                             Oblicuos, dos agudos
¿ Como son los ángulos del
                             y dos obtuso
paralelogramo obtenido ?
¿ Cuanto es la suma de los   360 grados
ángulos interiores?




¿ Como se llama el            Rombo
paralelogramo construido?
D
¿ Cuantas diagonales tiene ?
el rombo

                                     A            C
         Dos AC y DB



                                            B
                               Tienen distintas medida
                               Cada una divide a la otra
                                en dos partes iguales
¿Qué propiedades tienen las    Son bisectrices de los
diagonales de un rombo?        ángulos interiores
                               Se intersectan formando
                               ángulos rectos
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bandas de igual ancho
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                                         D
Superpone las dos




                                         A
bandas con un ángulo
distinto a 90 grado
                                  A                   C



                                           B
¿ Como son los lados del          iguales
paralelogramo obtenido ?




¿ Como son los ángulos del   Oblicuos, dos agudos
paralelogramo obtenido ?     y dos obtuso
¿ Cuanto es la suma de los   360 grados
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¿ Como se llama el            Rombo
paralelogramo construido?
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Corte dos triángulos
obtusángulo
congruentes
D
                             C
Yuxtaponga los
lados del lado
mayor de cada
triángulo
                 A       B
¿ Como son los lados del    Lados paralelos iguales
paralelogramo obtenido ?




¿ Como son los ángulos del   Oblicuos, dos agudos
paralelogramo obtenido ?     y dos obtuso
¿ Cuanto es la suma de los   360 grados
ángulos interiores?




¿ Como se llama el           Romboide
paralelogramo construido?
¿ Cuantas diagonales tiene ?
           D                           C
                                            Dos DB y AC




A                          B         Tienen distintas medida
                                     Cada una divide a la otra
                                      en dos partes iguales
    ¿Qué propiedades tienen las      No son bisectrices de los
    diagonales de un rombo?          ángulos interiores
                                     Se intersectan formando
                                     ángulos oblicuos
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bandas de diferente
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Superpone las dos
bandas con un ángulo                         D
distinto a 90 grado

                                      A               C



                                             B
¿ Como son los lados del    Lados opuestos iguales
paralelogramo obtenido ?




¿ Como son los ángulos del   Oblicuos, dos agudos
paralelogramo obtenido ?     y dos obtuso
¿ Cuanto es la suma de los   360 grados
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¿ Como se llama el           Romboide
paralelogramo construido?
Cuadriláteros que
TRAPECIOS   tienen un par de
             lados paralelos.
Yuxtaposición de un rectángulo y un triángulo
rectángulo.

     Corte un                           3 cm
     rectángulo




 Corte un triángulo
 rectángulo con un lado       3 cm
 igual a un lado del
 rectángulo
Yuxtaponga los lados
iguales del triángulo y
el rectángulo
D              C

                           h

                A                  B



                           Diferentes
¿ Como son los lados del   Dos lados paralelos AB//DC
  trapecio obtenido ?      Una base mayor AB
                           Una base menor DC
¿ Como son los ángulos del   Dos rectos, un agudo
   trapecio obtenido ?        y uno obtuso




¿ Cuanto es la suma de los      360 grados
ángulos interiores?
¿ Como se llama el trapecio   Trapecio rectángulo
construido?




                               Segmento trazado
h es la altura del trapecio    perpendicularmente
                              entre los lados paralelos
Yuxtaposición de un rectángulo y dos triángulos
rectángulos.

     Corte un                           3 cm
     rectángulo




 Corte dos triángulo
 rectángulo congruentes          3 cm    3 cm
 con un lado igual a un
 lado del rectángulo
Yuxtaponga los lados
iguales de los triángulo
y el rectángulo
D              C

                              h


              A                       B


                           Dos lados iguales
¿ Como son los lados del   Dos lados paralelos AB//DC
   trapecio obtenido ?     Una base mayor AB
                           Una base menor DC
¿ Como son los ángulos del   Par agudo iguales y par
   trapecio obtenido ?             obtuso iguales




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ángulos interiores?
¿ Como se llama el trapecio   Trapecio isósceles
construido?




                              Segmento trazado
h es la altura del trapecio   perpendicularmente
                              entre los lados paralelos
Yuxtaposición de un rectángulo y dos triángulos
rectángulos.

     Corte un                           3 cm
     rectángulo




 Corte dos triángulo
 rectángulo con un lado
 igual a un lado del           3 cm 3 cm
 rectángulo
Yuxtaponga los lados
iguales de los triángulo
y el rectángulo
D              C

                            h



            A                          B
                           Lados desiguales
¿ Como son los lados del   Dos lados paralelos AB//DC
   trapecio obtenido ?     Una base mayor AB
                           Una base menor DC
¿ Como son los ángulos del   Par agudo y par
   trapecio obtenido ?             obtuso




¿ Cuanto es la suma de los    360 grados
ángulos interiores?
¿ Como se llama el trapecio   Trapecio escaleno
construido?




                              Segmento trazado
h es la altura del trapecio   perpendicularmente
                              entre los lados paralelos
Yuxtaposición dos triángulos isósceles cualquiera.


Corte dos triángulo
isósceles con el lado
distinto, iguales entre ellos
                                3 cm          3 cm
Yuxtaponga los lados
diferente de los
triángulo e iguales
entre ellos
D


                  A               C




                           B



¿ Como son los lados del       Par de lados consecutivos
   trapecio obtenido ?         iguales
                               No tiene lados paralelos
¿ Como son los ángulos del   Un par de ángulos
   trapecio obtenido ?       opuesto son iguales




¿ Cuanto es la suma de los     360 grados
ángulos interiores?
Trapezoide


¿ Como se llama el trapecio        Cometa
construido?




                              Tienen la medida diferentes
¿Como son las diagonales?     Cada una divide a la otra
                               en dos partes iguales
                              Son bisectrices de los
                              ángulos interiores
                              Se intersectan formando
                              ángulos rectos
Ejemplos

01) Dada la siguiente cuadrilátero encuentre las
medidas de los ángulos

                                      = ?
            112º
                                      = ?
                    102º

                                      = ?
                       76º

                                      = ?
GRACIAS...
   ..

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  • 1. Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda Decanato de Acción Social Especialización Enseñanza de la Matemática FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA Lcdo. Luís Eduardo Arias Hernández (MSc))
  • 3. CUADRILÁTEROS Son polígonos formados por la unión de cuatro segmentos de recta. Al ser un polígono, dos lados contiguos no pueden estar alineados D Entre los elementos de un C aA cuadrilátero mencionamos A sus lados y ángulos B Las relaciones entre ellos, nos sirven para clasificarlos
  • 4. Cuadriláteros que Cuadriláteros que tiene los lados PARALELOGRAMOS tienen 2 pares de paralelos dos a dos. lados paralelos.
  • 5. Construcción de paralelogramos Mediante el uso de las herramientas geométricas
  • 6. Construcción de paralelogramos Mediante la yuxtaposición de los correspondientes tipos de triángulos Mediante el uso de cintas o bandas que se intersectan
  • 7. Yuxtaposición de dos triángulos isorectángulos. Corte dos triángulos isorectángulos congruentes D C Yuxtaponga los lados diferentes cada triángulo A B
  • 8. ¿ Como son los lados del iguales paralelogramo obtenido ? Son dos triángulo isósceles congruentes , al yuxtaponer ¿ Por qué son iguales? los lados diferentes, los demás lados son iguales ¿ Como son los ángulos del iguales paralelogramo obtenido ?
  • 9. ¿ Cuanto mide cada uno 90 grados de ellos? ¿ Cuanto es la suma de los 360 grados ángulos interiores? ¿ Como se llama el Cuadrado paralelogramo construido?
  • 10. Dos DB y AC D C La diagonal es el segmento que une los vértice del cuadrado ¿ Cuantas diagonales tiene ? A B Tienen la misma medida Cada una divide a la otra en dos partes iguales ¿Qué propiedades tienen las Son bisectrices de los diagonales de un cuadrado? ángulos interiores Se intersectan formando ángulos rectos
  • 11. Intersección de cintas o bandas Corte dos cintas o bandas de igual ancho
  • 12. Los cuatro puntos de intersección son los vértices Superpone las dos bandas perpendicularmente 3cm D C 3cm A B
  • 13. ¿ Como son los lados del iguales paralelogramo obtenido ? Son bandas de igual ancho ¿ Por qué son iguales? Distancia entre rectas paralelas son iguales ¿ Como son los ángulos del iguales paralalegramo obtenido ?
  • 14. ¿ Cuanto mide cada uno 90 grados de ellos? ¿ Cuanto es la suma de los 360 grados ángulos interiores? ¿ Como se llama el Cuadrado paralelogramo construido?
  • 15. Yuxtaposición de dos triángulos rectángulos. Corte dos triángulos rectángulos congruentes B A Yuxtaponga los lados más grande de cada triángulo C D
  • 16. ¿ Como son los lados del Lados opuestos iguales paralelogramo obtenido ? ¿ Como son los ángulos del iguales paralelogramo obtenido ?
  • 17. ¿ Cuanto mide cada uno 90 grados de ellos? ¿ Cuanto es la suma de los 360 grados ángulos interiores? ¿ Como se llama el Rectángulo paralelogramo construido?
  • 18. Dos DB y AC B A ¿ Cuantas diagonales tiene ? El rectángulo C D Tienen la misma medida Cada una divide a la otra en dos partes iguales ¿Qué propiedades tienen las No son bisectrices de los diagonales de un rectángulo? ángulos interiores Se intersectan formando ángulos oblicuos
  • 19. Intersección de cintas o bandas Corte dos cintas o bandas de diferente ancho
  • 20. Los cuatro puntos de intersección son los vértices Superpone las dos bandas perpendicularmente C 3cm D 2cm A B
  • 21. ¿ Como son los lados del Lados opuestos iguales paralelogramo obtenido ? ¿ Como son los ángulos del iguales paralelogramo obtenido ?
  • 22. ¿ Cuanto mide cada uno 90 grados de ellos? ¿ Cuanto es la suma de los 360 grados ángulos interiores? ¿ Como se llama el Rectángulo paralelogramo construido?
  • 23. Yuxtaposición de dos triángulos isósceles. Corte dos triángulos isósceles congruentes D Yuxtaponga los lados de la base de cada triángulo A C B
  • 24. ¿ Como son los lados del iguales paralelogramo obtenido ? Son dos triángulo isósceles congruentes , al yuxtaponer ¿ Por qué son iguales? los lados diferentes, los demás lados son iguales Oblicuos, dos agudos ¿ Como son los ángulos del y dos obtuso paralelogramo obtenido ?
  • 25. ¿ Cuanto es la suma de los 360 grados ángulos interiores? ¿ Como se llama el Rombo paralelogramo construido?
  • 26. D ¿ Cuantas diagonales tiene ? el rombo A C Dos AC y DB B Tienen distintas medida Cada una divide a la otra en dos partes iguales ¿Qué propiedades tienen las Son bisectrices de los diagonales de un rombo? ángulos interiores Se intersectan formando ángulos rectos
  • 27. Intersección de cintas o bandas Corte dos cintas o bandas de igual ancho
  • 28. Los cuatro puntos de intersección son los vértices D Superpone las dos A bandas con un ángulo distinto a 90 grado A C B
  • 29. ¿ Como son los lados del iguales paralelogramo obtenido ? ¿ Como son los ángulos del Oblicuos, dos agudos paralelogramo obtenido ? y dos obtuso
  • 30. ¿ Cuanto es la suma de los 360 grados ángulos interiores? ¿ Como se llama el Rombo paralelogramo construido?
  • 31. Yuxtaposición de dos triángulos obtusángulos. Corte dos triángulos obtusángulo congruentes
  • 32. D C Yuxtaponga los lados del lado mayor de cada triángulo A B
  • 33. ¿ Como son los lados del Lados paralelos iguales paralelogramo obtenido ? ¿ Como son los ángulos del Oblicuos, dos agudos paralelogramo obtenido ? y dos obtuso
  • 34. ¿ Cuanto es la suma de los 360 grados ángulos interiores? ¿ Como se llama el Romboide paralelogramo construido?
  • 35. ¿ Cuantas diagonales tiene ? D C Dos DB y AC A B Tienen distintas medida Cada una divide a la otra en dos partes iguales ¿Qué propiedades tienen las No son bisectrices de los diagonales de un rombo? ángulos interiores Se intersectan formando ángulos oblicuos
  • 36. Intersección de cintas o bandas Corte dos cintas o bandas de diferente ancho
  • 37. Los cuatro puntos de intersección son los vértices Superpone las dos bandas con un ángulo D distinto a 90 grado A C B
  • 38. ¿ Como son los lados del Lados opuestos iguales paralelogramo obtenido ? ¿ Como son los ángulos del Oblicuos, dos agudos paralelogramo obtenido ? y dos obtuso
  • 39. ¿ Cuanto es la suma de los 360 grados ángulos interiores? ¿ Como se llama el Romboide paralelogramo construido?
  • 40. Cuadriláteros que TRAPECIOS tienen un par de lados paralelos.
  • 41. Yuxtaposición de un rectángulo y un triángulo rectángulo. Corte un 3 cm rectángulo Corte un triángulo rectángulo con un lado 3 cm igual a un lado del rectángulo
  • 42. Yuxtaponga los lados iguales del triángulo y el rectángulo
  • 43. D C h A B Diferentes ¿ Como son los lados del Dos lados paralelos AB//DC trapecio obtenido ? Una base mayor AB Una base menor DC
  • 44. ¿ Como son los ángulos del Dos rectos, un agudo trapecio obtenido ? y uno obtuso ¿ Cuanto es la suma de los 360 grados ángulos interiores?
  • 45. ¿ Como se llama el trapecio Trapecio rectángulo construido? Segmento trazado h es la altura del trapecio perpendicularmente entre los lados paralelos
  • 46. Yuxtaposición de un rectángulo y dos triángulos rectángulos. Corte un 3 cm rectángulo Corte dos triángulo rectángulo congruentes 3 cm 3 cm con un lado igual a un lado del rectángulo
  • 47. Yuxtaponga los lados iguales de los triángulo y el rectángulo
  • 48. D C h A B Dos lados iguales ¿ Como son los lados del Dos lados paralelos AB//DC trapecio obtenido ? Una base mayor AB Una base menor DC
  • 49. ¿ Como son los ángulos del Par agudo iguales y par trapecio obtenido ? obtuso iguales ¿ Cuanto es la suma de los 360 grados ángulos interiores?
  • 50. ¿ Como se llama el trapecio Trapecio isósceles construido? Segmento trazado h es la altura del trapecio perpendicularmente entre los lados paralelos
  • 51. Yuxtaposición de un rectángulo y dos triángulos rectángulos. Corte un 3 cm rectángulo Corte dos triángulo rectángulo con un lado igual a un lado del 3 cm 3 cm rectángulo
  • 52. Yuxtaponga los lados iguales de los triángulo y el rectángulo
  • 53. D C h A B Lados desiguales ¿ Como son los lados del Dos lados paralelos AB//DC trapecio obtenido ? Una base mayor AB Una base menor DC
  • 54. ¿ Como son los ángulos del Par agudo y par trapecio obtenido ? obtuso ¿ Cuanto es la suma de los 360 grados ángulos interiores?
  • 55. ¿ Como se llama el trapecio Trapecio escaleno construido? Segmento trazado h es la altura del trapecio perpendicularmente entre los lados paralelos
  • 56. Yuxtaposición dos triángulos isósceles cualquiera. Corte dos triángulo isósceles con el lado distinto, iguales entre ellos 3 cm 3 cm
  • 57. Yuxtaponga los lados diferente de los triángulo e iguales entre ellos
  • 58. D A C B ¿ Como son los lados del Par de lados consecutivos trapecio obtenido ? iguales No tiene lados paralelos
  • 59. ¿ Como son los ángulos del Un par de ángulos trapecio obtenido ? opuesto son iguales ¿ Cuanto es la suma de los 360 grados ángulos interiores?
  • 60. Trapezoide ¿ Como se llama el trapecio Cometa construido? Tienen la medida diferentes ¿Como son las diagonales? Cada una divide a la otra en dos partes iguales Son bisectrices de los ángulos interiores Se intersectan formando ángulos rectos
  • 61. Ejemplos 01) Dada la siguiente cuadrilátero encuentre las medidas de los ángulos = ? 112º = ? 102º = ? 76º = ?