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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL “ANDRÉS ELOY BLANCO”
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACION EN ENTRENAMIENTO
DEPORTIVO
BARQUISIMETO-ESTADO LARA
PLANO NUMÉRICO
Participante: Alexis José Gómez Aranguren
Cédula de Identidad: V-12.245.569
PLANO NUMÉRICO O PLANO CARTESIANO
DEFINICIÓN: Es el marco de espacio
bidimensional formado por dos rectas
numéricas infinitas (el eje X, de modo
horizontal, y el eje Y, de modo vertical) que
se encuentran perpendicularmente en el
origen (0,0). La ubicación de un punto (X,Y)
dentro del plano se denomina coordenada
numérica y se expresa como un par ordenado
entre distancia y altura.
También se define como un sistema de
referencias, que está conformado por dos
rectas numéricas, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto
determinado y al que llamamos Origen. A la
horizontal se le llama Eje de las Abscisas o de
las X y a la vertical Eje de las Coordenadas o
de las Y
PLANO NUMÉRICO O PLANO CARTESIANO
FUNCIÓN: La principal función de este plano será el de describir la posición de
puntos, los cuales se encontrarán representados por sus coordenadas o pares
ordenados. Las coordenadas se formarán asociando un valor del eje x y otro del
eje y.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sean A(x1, y1) y B(x2,y2 ) dos puntos de R2, se define la distancia entre A y B como:
Ejercicios :
1.- Calcular la distancia entre los dos puntos y hacer la representación gráfica correspondiente
La distancia entre los puntos A(0,1) y B(2,2):
Representación Gráfica:
La distancia es la longitud del segmento que une ambos puntos.
DAB= 𝑋2 − 𝑋1
2 + 𝑌2 − 𝑌1
2
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Ejercicio :
2.- Calcular la distancia entre los dos puntos A(-4, -6) y B(-1, 5)
Solución:
DAB= 𝑋2 − 𝑋1
2 + 𝑌2 − 𝑌1
2, sustituyendo los valores de x y y en la fórmula de la distancia, tenemos:
DAB = −1 − (−4) 2 + 5 − (−6) 2 = (3)2 +(11)2= 9 + 121 = 130 = 11,44
DAB = 11,44
PUNTO MEDIO
El punto medio es un punto que se ubica exactamente en la mitad de un segmento de línea que une a
dos puntos. Por ejemplo, si es que tenemos dos puntos y los unimos con un segmento de línea, el punto
medio se ubicará en la mitad de ese segmento y será equidistante a ambos puntos. Para calcular la
ubicación del punto medio, simplemente tenemos que medir la longitud del segmento y dividir por 2.
FÓRMULA DEL CÁLCULO DEL PUNTO MEDIO
Si tenemos los puntos A y B con las A=(x1,y1) y B=(x2,y2), la fórmula del punto medio es:
𝑀 =
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
El punto medio será expresado como las coordenadas M=(x3,y3).
PUNTO MEDIO
Ejercicios:
1.- ¿Cuál es el punto medio entre los puntos A=(2, 6) y B=(8, 12)?
Sustituyendo los valores de x y y en la fórmula tenemos:
𝑀 =
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
M =
2+8
2
,
6+12
2
=
10
2
,
18
2
= 5, 9
2.- Encuentra el punto medio si es que tenemos los puntos (-5, -6) y (6, -2).
Sustituyendo los valores de x y y en la fórmula tenemos:
𝑀 =
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
M =
−5+6
2
,
−6+( −2)
2
=
1
2
,
−8
2
=
1
2
, −4
PUNTO MEDIO
Ejercicios:
3.- El diámetro de un círculo tiene los puntos extremos (-4, 2) y (2, 8). ¿Cuáles son
las coordenadas del centro del círculo?
El centro del círculo divide al diámetro en dos partes iguales. Eso significa que, para encontrar el centro,
tenemos que encontrar las coordenadas del punto medio del diámetro. Entonces, empezamos con las
coordenadas:
(x1,y1)=(−4,2)
(x2,y2)=(2,8)
Aplicamos la fórmula del punto medio con estas coordenadas:
𝑀 =
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
M =
−4+2
2
,
2+8
2
=
−2
2
,
10
2
= −1, 5
Las coordenadas del centro del círculo es (−1,5).
LAS CÓNICAS
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de
segundo grado
1.- LA CIRCUNFERENCIA : está formada por un conjunto de puntos que se ubican a una distancia
constante desde un punto fijo. La distancia constante es llamada el radio de la circunferencia y el
punto fijo es llamado el centro. La ecuación de la circunferencia en su forma general es obtenida al
expandir a la ecuación usada cuando la circunferencia tiene un centro fuera del origen.
Forma General de la Ecuación de una Circunferencia
Una circunferencia con centro en el punto (h,k) y con radio r puede ser escrita como la siguiente
ecuación: (x−h)2+(y−k)2=r2
x2+y2+Ax+Bx+C=0
A=−2h B=−2k C =h2 + k2 - r2
𝒓 =
𝑨𝟐
+𝑩𝟐
+𝑪𝟐
𝟒
CIRCUNFERENCIA
EJERCICIO : Si es que tenemos la circunferencia −2x+4y−4=0, ¿cuál es su centro y su radio?
Esta gráfica se corresponde con la ecuación de la circunferencia
El centro de una circunferencia en su forma general está dado por:
−
𝑨
𝟐
, −
𝑩
𝟐
h= -
𝐴
2
y k =-
𝐵
2
= −
𝑨
𝟐
, −
𝑩
𝟐
= −
−𝟐
𝟐
, −
𝟒
𝟐
= 𝟏, −𝟐
𝒓 =
𝑨𝟐+𝑩𝟐−𝟒𝑪
𝟒
=
(−𝟐)𝟐+(𝟒)𝟐+𝟒(𝟒)
𝟒
=
𝟒+𝟏𝟔+𝟏𝟔
𝟒
=
𝟑𝟔
𝟒
= 𝟑 𝒓 = 𝟑
CIRCUNFERENCIA
Ecuación de la Circunferencia con Centro Fuera del Origen
Consideremos la siguiente circunferencia:
Podemos ver que esta circunferencia tiene a su centro ubicado en el punto (h,k). Entonces, si es que usamos
la ecuación de la circunferencia con este centro, tenemos:
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
Ecuación de la Circunferencia con Centro en el Origen
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
Encuentra el radio de la circunferencia representada por la
ecuación : 𝑥2 + 𝑦2 = 4
Tenemos que la ecuación general es:
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
Y la de la ecuación dada es : 𝑥2
+ 𝑦2
= 4
Comparándolas tenemos que 𝑟2
=4 ; r = 2
PARÁBOLA
Las parábolas son secciones cónicas que son obtenidas en la intersección de un plano con un cono. El plano
tiene que cortar a la base del cono para que la parábola sea formada. La característica principal de las
parábolas es que todos los puntos en su curva están ubicados a la misma distancia de un punto fijo y de
una línea recta. El punto fijo es el foco y la línea recta es la directriz. Una parábola está definida como el
conjunto de puntos que tienen la misma distancia desde un punto fijo, llamado el foco, y una línea recta,
llamada la directriz
Las características principales de una parábola son:
•El foco de la parábola siempre está ubicado en la parte
interna de la curva.
•La directriz siempre está ubicada en la parte externa de
la curva.
•La distancia desde cualquier punto en la parábola es la
misma que la distancia desde ese mismo punto hasta la
directriz.
•El vértice es el punto extremo de la parábola. Puede ser
el punto más bajo o más alto de la parábola.
•La distancia desde el vértice hasta el foco es la misma
que la distancia desde el vértice hasta la directriz.
•El eje de simetría cruza a través el vértice.
PARÁBOLA
•Si es que la parábola está centrada en el origen y está orientada verticalmente, su ecuación
es x2=4ay, en donde, a es la distancia desde el vértice hasta el foco.
•Cuando la parábola está centrada en el origen y está orientada horizontalmente, su ecuación
es y2=4ax.
•Si es que la parábola está centrada fuera del origen y está orientada verticalmente, su ecuación es
(x−h)2=4a(y−k), en donde, (h,k) son las coordenadas del vértice de la parábola.
•Cuando la parábola está centrada fuera del origen y está orientada horizontalmente, su ecuación
es (y−k)2=4a(x−h).
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA : puede variar dependiendo en si la parábola está centrada en el origen o
centrada fuera del origen
PARTES DE UNA PARÁBOLA:
Una parábola es definida de la siguiente manera: Para un punto fijo, llamado el foco, y una línea recta,
llamada la directriz, una parábola es el conjunto de puntos de modo que la distancia hasta el foco y
hasta la directriz es la misma.
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA:
Ecuación General:
La ecuación de una parábola orientada verticalmente es : 𝑥 − ℎ 2 =4p(y−k)
La ecuación de una parábola orientada horizontalmente es: 𝑦 − 𝑘2 =4p(x−h).
PARÁBOLA
GRÁFICAS:
ELIPSE
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano de tal forma que la suma de sus distancias desde
dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos son conocidos como los focos, los cuales están rodeados por la
curva. Otros elementos importantes de las elipses son los vértices, el eje menor, el eje mayor, el centro y la
excentricidad. La forma de la elipse es un óvalo y su área está definida por la longitud del semieje menor y la
longitud del semieje mayor.
Ecuación de elipses con centro en el origen :
Elipses horizontales con centro en el origen:
𝑿𝟐
𝒂𝟐 +
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏 El eje mayor tiene una longitud de 2a
El eje menor tiene una longitud de 2b
Los vértices se ubican en los puntos (±a,0)
Los covértices se ubican en los puntos (0,±b)
Los focos se ubican en los puntos (±c,0), en
donde, c2=a2−b2
Elipses verticales con centro en el origen:
𝑿𝟐
𝒃𝟐 +
𝒚𝟐
𝒂𝟐 = 𝟏
en donde, a>b
El eje mayor tiene una longitud de 2a
El eje menor tiene una longitud de 2b
Los vértices tienen las coordenadas 0,±a)
Los covértices tienen las coordenadas b,0)
Los focos tienen las coordenadas (0,±c), en
donde, c2=a2−b2
Elipses horizontales con centro fuera del origen :Una elipse que tiene un centro en (h, k), y en la que su
eje mayor es paralelo al eje x, tiene la ecuación:
(𝒙−𝒉)𝟐
𝒂𝟐 +
(𝒚−𝒉𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏 en donde,a>b
•La longitud del eje mayor es 2a
•La longitud del eje menor es 2b
•Los vértices tienen las coordenadas (h±a,k)
•Los covértices tienen las coordenadas (h,k±b)
•Los focos tienen las coordenadas (h±c,k), en donde, c2=a2−b2
Elipses verticales con centro fuera del origen : Una elipse que tiene al centro en (h, k), y en la que su eje
mayor es paralelo al eje y tiene la ecuación:
(𝒙−𝒉)𝟐
𝒃𝟐 +
(𝒚−𝒉𝟐
𝒂𝟐 = 𝟏
en donde, a>b
El eje mayor mide 2a
El eje menor mide 2b
Las coordenadas de los vértices son (h,k±a)
Las coordenadas de los covértices son (h±b,k)
Las coordenadas de los focos son (h,k±c), en
donde, c2=a2−b2
HIPÉRBOLA
Las hipérbolas consisten de dos piezas que tienen una forma similar a las parábolas. Una pieza se abre
hacia arriba y la otra hacia abajo o una hacia la izquierda y la otra hacia la derecha. Además, similar a
las parábolas, cada una de las piezas tiene un vértice. Las gráficas de las hipérbolas también tienen dos
líneas, las cuales son llamadas asíntotas. Las asíntotas no son parte de las hipérbolas oficialmente, pero
son incluidas para asegurarnos de que obtenemos la gráfica correcta. Los elementos más importantes de
una hipérbola son los focos, los vértices, los ejes, la longitud focal, los semiejes y las asíntotas.
Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos, los cuales tienen distancias desde dos puntos fijos,
llamados los focos, que tienen una diferencia que es igual a una constante.
HIPÉRBOLA
Ecuación de hipérbolas centradas en el origen
Hipérbola orientada horizontalmente
Cuando la hipérbola está centrada en el origen, (0, 0) y su eje transversal está en el eje x, su ecuación en
forma estándar es:
𝑿𝟐
𝒂𝟐 −
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
en donde,
•La longitud del eje transversal es 2a
•Los vértices tienen las coordenadas (±a,0)
•El eje conjugado (segmento que une a los covértices) tiene una
longitud de 2b
•Los covértices tienen las coordenadas (0,±b)
•La distancia entre los focos es c2=a2+b2
•Los focos tienen las coordenadas (±c,0)
•Las asíntotas tienen las ecuaciones y=±abx
HIPÉRBOLA
Ecuación de hipérbolas centradas en el origen
Hipérbola orientada Verticalmente
Cuando la hipérbola está centrada en el origen, (0, 0) y su eje transversal está en el eje x, su ecuación en
forma estándar es:
𝒚𝟐
𝒂𝟐 −
𝒙𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
en donde,
•2a representa a la longitud del eje transversal
•Los vértices están ubicados en (0,±a)
•2b representa a la longitud del eje conjugado
•Los covértices están ubicados en (±b,0)
•2c representa a la distancia entre los focos, en donde,
c2=a2+b2
•Los focos están ubicados en (0,±c)
•Las ecuaciones de las asíntotas son y=±bax
HIPÉRBOLA
Ecuación de hipérbolas centradas fuera del origen
Hipérbola orientada Horizontalmente
Cuando la hipérbola tiene al centro en el punto (h,k) y su eje transversal es paralelo al eje x, su ecuación
es:
(𝒙−𝒉)𝟐
𝒂𝟐 −
(𝒚−𝒌)𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
en donde,
•h es el componente en x del centro y k es el componente en y del centro
•El eje transversal tiene una longitud de 2a
•Las coordenadas de los vértices son (h±a,k)
•El eje conjugado tiene una longitud de 2b
•Las coordenadas de los covértices son (h,k±b)
•La distancia entre los focos es 2c, en donde, c2=a2+b2
•Las coordenadas de los focos son (h±c,0)
•Las asíntotas tienen las ecuaciones y=±ab​(x−h)+k
HIPÉRBOLA
Ecuación de hipérbolas centradas fuera del origen
Hipérbola orientada Verticalmente
Cuando la hipérbola tiene al centro en el punto (h,k) y su eje transversal es paralelo al eje x, su ecuación
es:
(𝒚−𝒌)𝟐
𝒂𝟐 −
(𝒙−𝒉)𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
en donde,
•h es el componente en x del centro y k es el componente en y del centro
•El eje transversal mide 2a
•Los vértices tienen las coordenadas (h,k±a)
•El eje conjugado mide 2b
•Los covértices tienen las coordenadas (h±b,k)
•La distancia entre los focos es 2c, en donde, c2=a2+b2
•Las coordenadas de los focos son (h,k±c)
•Las ecuaciones de las asíntotas son y=±ba​(x−h)+k

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  • 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL “ANDRÉS ELOY BLANCO” PROGRAMA NACIONAL DE FORMACION EN ENTRENAMIENTO DEPORTIVO BARQUISIMETO-ESTADO LARA PLANO NUMÉRICO Participante: Alexis José Gómez Aranguren Cédula de Identidad: V-12.245.569
  • 2. PLANO NUMÉRICO O PLANO CARTESIANO DEFINICIÓN: Es el marco de espacio bidimensional formado por dos rectas numéricas infinitas (el eje X, de modo horizontal, y el eje Y, de modo vertical) que se encuentran perpendicularmente en el origen (0,0). La ubicación de un punto (X,Y) dentro del plano se denomina coordenada numérica y se expresa como un par ordenado entre distancia y altura. También se define como un sistema de referencias, que está conformado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto determinado y al que llamamos Origen. A la horizontal se le llama Eje de las Abscisas o de las X y a la vertical Eje de las Coordenadas o de las Y
  • 3. PLANO NUMÉRICO O PLANO CARTESIANO FUNCIÓN: La principal función de este plano será el de describir la posición de puntos, los cuales se encontrarán representados por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se formarán asociando un valor del eje x y otro del eje y.
  • 4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean A(x1, y1) y B(x2,y2 ) dos puntos de R2, se define la distancia entre A y B como: Ejercicios : 1.- Calcular la distancia entre los dos puntos y hacer la representación gráfica correspondiente La distancia entre los puntos A(0,1) y B(2,2): Representación Gráfica: La distancia es la longitud del segmento que une ambos puntos. DAB= 𝑋2 − 𝑋1 2 + 𝑌2 − 𝑌1 2
  • 5. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Ejercicio : 2.- Calcular la distancia entre los dos puntos A(-4, -6) y B(-1, 5) Solución: DAB= 𝑋2 − 𝑋1 2 + 𝑌2 − 𝑌1 2, sustituyendo los valores de x y y en la fórmula de la distancia, tenemos: DAB = −1 − (−4) 2 + 5 − (−6) 2 = (3)2 +(11)2= 9 + 121 = 130 = 11,44 DAB = 11,44
  • 6. PUNTO MEDIO El punto medio es un punto que se ubica exactamente en la mitad de un segmento de línea que une a dos puntos. Por ejemplo, si es que tenemos dos puntos y los unimos con un segmento de línea, el punto medio se ubicará en la mitad de ese segmento y será equidistante a ambos puntos. Para calcular la ubicación del punto medio, simplemente tenemos que medir la longitud del segmento y dividir por 2. FÓRMULA DEL CÁLCULO DEL PUNTO MEDIO Si tenemos los puntos A y B con las A=(x1,y1) y B=(x2,y2), la fórmula del punto medio es: 𝑀 = 𝑥1 + 𝑥2 2 , 𝑦1 + 𝑦2 2 El punto medio será expresado como las coordenadas M=(x3,y3).
  • 7. PUNTO MEDIO Ejercicios: 1.- ¿Cuál es el punto medio entre los puntos A=(2, 6) y B=(8, 12)? Sustituyendo los valores de x y y en la fórmula tenemos: 𝑀 = 𝑥1 + 𝑥2 2 , 𝑦1 + 𝑦2 2 M = 2+8 2 , 6+12 2 = 10 2 , 18 2 = 5, 9 2.- Encuentra el punto medio si es que tenemos los puntos (-5, -6) y (6, -2). Sustituyendo los valores de x y y en la fórmula tenemos: 𝑀 = 𝑥1 + 𝑥2 2 , 𝑦1 + 𝑦2 2 M = −5+6 2 , −6+( −2) 2 = 1 2 , −8 2 = 1 2 , −4
  • 8. PUNTO MEDIO Ejercicios: 3.- El diámetro de un círculo tiene los puntos extremos (-4, 2) y (2, 8). ¿Cuáles son las coordenadas del centro del círculo? El centro del círculo divide al diámetro en dos partes iguales. Eso significa que, para encontrar el centro, tenemos que encontrar las coordenadas del punto medio del diámetro. Entonces, empezamos con las coordenadas: (x1,y1)=(−4,2) (x2,y2)=(2,8) Aplicamos la fórmula del punto medio con estas coordenadas: 𝑀 = 𝑥1+𝑥2 2 , 𝑦1+𝑦2 2 M = −4+2 2 , 2+8 2 = −2 2 , 10 2 = −1, 5 Las coordenadas del centro del círculo es (−1,5).
  • 9. LAS CÓNICAS Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado 1.- LA CIRCUNFERENCIA : está formada por un conjunto de puntos que se ubican a una distancia constante desde un punto fijo. La distancia constante es llamada el radio de la circunferencia y el punto fijo es llamado el centro. La ecuación de la circunferencia en su forma general es obtenida al expandir a la ecuación usada cuando la circunferencia tiene un centro fuera del origen. Forma General de la Ecuación de una Circunferencia Una circunferencia con centro en el punto (h,k) y con radio r puede ser escrita como la siguiente ecuación: (x−h)2+(y−k)2=r2 x2+y2+Ax+Bx+C=0 A=−2h B=−2k C =h2 + k2 - r2 𝒓 = 𝑨𝟐 +𝑩𝟐 +𝑪𝟐 𝟒
  • 10. CIRCUNFERENCIA EJERCICIO : Si es que tenemos la circunferencia −2x+4y−4=0, ¿cuál es su centro y su radio? Esta gráfica se corresponde con la ecuación de la circunferencia El centro de una circunferencia en su forma general está dado por: − 𝑨 𝟐 , − 𝑩 𝟐 h= - 𝐴 2 y k =- 𝐵 2 = − 𝑨 𝟐 , − 𝑩 𝟐 = − −𝟐 𝟐 , − 𝟒 𝟐 = 𝟏, −𝟐 𝒓 = 𝑨𝟐+𝑩𝟐−𝟒𝑪 𝟒 = (−𝟐)𝟐+(𝟒)𝟐+𝟒(𝟒) 𝟒 = 𝟒+𝟏𝟔+𝟏𝟔 𝟒 = 𝟑𝟔 𝟒 = 𝟑 𝒓 = 𝟑
  • 11. CIRCUNFERENCIA Ecuación de la Circunferencia con Centro Fuera del Origen Consideremos la siguiente circunferencia: Podemos ver que esta circunferencia tiene a su centro ubicado en el punto (h,k). Entonces, si es que usamos la ecuación de la circunferencia con este centro, tenemos: 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2 Ecuación de la Circunferencia con Centro en el Origen 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 Encuentra el radio de la circunferencia representada por la ecuación : 𝑥2 + 𝑦2 = 4 Tenemos que la ecuación general es: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 Y la de la ecuación dada es : 𝑥2 + 𝑦2 = 4 Comparándolas tenemos que 𝑟2 =4 ; r = 2
  • 12. PARÁBOLA Las parábolas son secciones cónicas que son obtenidas en la intersección de un plano con un cono. El plano tiene que cortar a la base del cono para que la parábola sea formada. La característica principal de las parábolas es que todos los puntos en su curva están ubicados a la misma distancia de un punto fijo y de una línea recta. El punto fijo es el foco y la línea recta es la directriz. Una parábola está definida como el conjunto de puntos que tienen la misma distancia desde un punto fijo, llamado el foco, y una línea recta, llamada la directriz Las características principales de una parábola son: •El foco de la parábola siempre está ubicado en la parte interna de la curva. •La directriz siempre está ubicada en la parte externa de la curva. •La distancia desde cualquier punto en la parábola es la misma que la distancia desde ese mismo punto hasta la directriz. •El vértice es el punto extremo de la parábola. Puede ser el punto más bajo o más alto de la parábola. •La distancia desde el vértice hasta el foco es la misma que la distancia desde el vértice hasta la directriz. •El eje de simetría cruza a través el vértice.
  • 13. PARÁBOLA •Si es que la parábola está centrada en el origen y está orientada verticalmente, su ecuación es x2=4ay, en donde, a es la distancia desde el vértice hasta el foco. •Cuando la parábola está centrada en el origen y está orientada horizontalmente, su ecuación es y2=4ax. •Si es que la parábola está centrada fuera del origen y está orientada verticalmente, su ecuación es (x−h)2=4a(y−k), en donde, (h,k) son las coordenadas del vértice de la parábola. •Cuando la parábola está centrada fuera del origen y está orientada horizontalmente, su ecuación es (y−k)2=4a(x−h). ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA : puede variar dependiendo en si la parábola está centrada en el origen o centrada fuera del origen PARTES DE UNA PARÁBOLA: Una parábola es definida de la siguiente manera: Para un punto fijo, llamado el foco, y una línea recta, llamada la directriz, una parábola es el conjunto de puntos de modo que la distancia hasta el foco y hasta la directriz es la misma. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA: Ecuación General: La ecuación de una parábola orientada verticalmente es : 𝑥 − ℎ 2 =4p(y−k) La ecuación de una parábola orientada horizontalmente es: 𝑦 − 𝑘2 =4p(x−h).
  • 15. ELIPSE Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano de tal forma que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos son conocidos como los focos, los cuales están rodeados por la curva. Otros elementos importantes de las elipses son los vértices, el eje menor, el eje mayor, el centro y la excentricidad. La forma de la elipse es un óvalo y su área está definida por la longitud del semieje menor y la longitud del semieje mayor. Ecuación de elipses con centro en el origen : Elipses horizontales con centro en el origen: 𝑿𝟐 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 El eje mayor tiene una longitud de 2a El eje menor tiene una longitud de 2b Los vértices se ubican en los puntos (±a,0) Los covértices se ubican en los puntos (0,±b) Los focos se ubican en los puntos (±c,0), en donde, c2=a2−b2
  • 16. Elipses verticales con centro en el origen: 𝑿𝟐 𝒃𝟐 + 𝒚𝟐 𝒂𝟐 = 𝟏 en donde, a>b El eje mayor tiene una longitud de 2a El eje menor tiene una longitud de 2b Los vértices tienen las coordenadas 0,±a) Los covértices tienen las coordenadas b,0) Los focos tienen las coordenadas (0,±c), en donde, c2=a2−b2 Elipses horizontales con centro fuera del origen :Una elipse que tiene un centro en (h, k), y en la que su eje mayor es paralelo al eje x, tiene la ecuación: (𝒙−𝒉)𝟐 𝒂𝟐 + (𝒚−𝒉𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 en donde,a>b •La longitud del eje mayor es 2a •La longitud del eje menor es 2b •Los vértices tienen las coordenadas (h±a,k) •Los covértices tienen las coordenadas (h,k±b) •Los focos tienen las coordenadas (h±c,k), en donde, c2=a2−b2
  • 17. Elipses verticales con centro fuera del origen : Una elipse que tiene al centro en (h, k), y en la que su eje mayor es paralelo al eje y tiene la ecuación: (𝒙−𝒉)𝟐 𝒃𝟐 + (𝒚−𝒉𝟐 𝒂𝟐 = 𝟏 en donde, a>b El eje mayor mide 2a El eje menor mide 2b Las coordenadas de los vértices son (h,k±a) Las coordenadas de los covértices son (h±b,k) Las coordenadas de los focos son (h,k±c), en donde, c2=a2−b2
  • 18. HIPÉRBOLA Las hipérbolas consisten de dos piezas que tienen una forma similar a las parábolas. Una pieza se abre hacia arriba y la otra hacia abajo o una hacia la izquierda y la otra hacia la derecha. Además, similar a las parábolas, cada una de las piezas tiene un vértice. Las gráficas de las hipérbolas también tienen dos líneas, las cuales son llamadas asíntotas. Las asíntotas no son parte de las hipérbolas oficialmente, pero son incluidas para asegurarnos de que obtenemos la gráfica correcta. Los elementos más importantes de una hipérbola son los focos, los vértices, los ejes, la longitud focal, los semiejes y las asíntotas. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos, los cuales tienen distancias desde dos puntos fijos, llamados los focos, que tienen una diferencia que es igual a una constante.
  • 19. HIPÉRBOLA Ecuación de hipérbolas centradas en el origen Hipérbola orientada horizontalmente Cuando la hipérbola está centrada en el origen, (0, 0) y su eje transversal está en el eje x, su ecuación en forma estándar es: 𝑿𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 en donde, •La longitud del eje transversal es 2a •Los vértices tienen las coordenadas (±a,0) •El eje conjugado (segmento que une a los covértices) tiene una longitud de 2b •Los covértices tienen las coordenadas (0,±b) •La distancia entre los focos es c2=a2+b2 •Los focos tienen las coordenadas (±c,0) •Las asíntotas tienen las ecuaciones y=±abx
  • 20. HIPÉRBOLA Ecuación de hipérbolas centradas en el origen Hipérbola orientada Verticalmente Cuando la hipérbola está centrada en el origen, (0, 0) y su eje transversal está en el eje x, su ecuación en forma estándar es: 𝒚𝟐 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 en donde, •2a representa a la longitud del eje transversal •Los vértices están ubicados en (0,±a) •2b representa a la longitud del eje conjugado •Los covértices están ubicados en (±b,0) •2c representa a la distancia entre los focos, en donde, c2=a2+b2 •Los focos están ubicados en (0,±c) •Las ecuaciones de las asíntotas son y=±bax
  • 21. HIPÉRBOLA Ecuación de hipérbolas centradas fuera del origen Hipérbola orientada Horizontalmente Cuando la hipérbola tiene al centro en el punto (h,k) y su eje transversal es paralelo al eje x, su ecuación es: (𝒙−𝒉)𝟐 𝒂𝟐 − (𝒚−𝒌)𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 en donde, •h es el componente en x del centro y k es el componente en y del centro •El eje transversal tiene una longitud de 2a •Las coordenadas de los vértices son (h±a,k) •El eje conjugado tiene una longitud de 2b •Las coordenadas de los covértices son (h,k±b) •La distancia entre los focos es 2c, en donde, c2=a2+b2 •Las coordenadas de los focos son (h±c,0) •Las asíntotas tienen las ecuaciones y=±ab​(x−h)+k
  • 22. HIPÉRBOLA Ecuación de hipérbolas centradas fuera del origen Hipérbola orientada Verticalmente Cuando la hipérbola tiene al centro en el punto (h,k) y su eje transversal es paralelo al eje x, su ecuación es: (𝒚−𝒌)𝟐 𝒂𝟐 − (𝒙−𝒉)𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 en donde, •h es el componente en x del centro y k es el componente en y del centro •El eje transversal mide 2a •Los vértices tienen las coordenadas (h,k±a) •El eje conjugado mide 2b •Los covértices tienen las coordenadas (h±b,k) •La distancia entre los focos es 2c, en donde, c2=a2+b2 •Las coordenadas de los focos son (h,k±c) •Las ecuaciones de las asíntotas son y=±ba​(x−h)+k