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NÚMEROS ENTEROS 1. De los números naturales a los enteros 2. Representación de los números enteros 3. Valor absoluto y ordenación de números enteros 4. Suma de números enteros 5. Opuesto de un número entero 6. Resta de números enteros 7. Operaciones con paréntesis 8. Multiplicación de números enteros 9. División exacta de números enteros 10. Propiedades de las operaciones de números enteros 11. Operaciones combinadas 12. Resolución de problemas AMPLIACIÓN Index
NÚMEROS ENTEROS (Ampliación) SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS OPERACIONES CON PARÉNTESIS RESUMEN – EJERCICIOS RESUELTOS MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS OPERACIONES COMBINADAS POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS OPERACIONES COMBINADAS (2)
Buena temperatura: + 20 ºC +20 +5000 +7 –  7 –  5000 –  20 0 Mucho frío:  – 20 ºC Soy rico: tengo +5000 euros Debo dinero: “tengo” -5000 euros Los números naturales se consideran enteros positivos. Por cada entero positivo hay un  entero negativo.   Van precedidos por un signo menos (–) De los números naturales a los enteros Los  números enteros   están formados por: enteros positivos, enteros negativos y el cero Los juegos olímpicos empezaron en el año 776 antes de Cristo –  250 El submarino navega a 250 m bajo el nivel del mar –  776
1º.  Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0. 2º.  A la derecha del 0 se representa el +1. 3º.  La distancia entre 0 y +1 será la que  exista entre cada dos enteros consecutivos. 4º.  A la  derecha del 0  se  colocan los  enteros positivos . 4º.  A la  izquierda del 0  se  colocan los  enteros negativos . Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos: +1 +2 +3 +4 +5 +6 – 1 0 – 2 – 3 – 4 – 5 Representación de los números enteros Positivos Negativos
Se llama  valor absoluto  de un número entero al número natural que sigue al signo.  Se indica escribiéndolo entre barras Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso:  Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero: El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2.  Se indica así: Otro ejemplo: Valor absoluto de un número entero +1 +2 +3 +4 +5 +6 – 1 0 – 2 – 3 – 4 – 5 – 2 +2
Ordenación: Valor absoluto de un número entero  es el número natural que sigue al signo Se indica escribiéndolo entre barras. Así: Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando  en la recta numérica está a la derecha.  Cualquier número  entero positivo  es  mayor que  cualquier  entero negativo . El cero  es  mayor que  cualquier  negativo  y  menor que  cualquier  positivo . Dados dos números  enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.  Dados dos números  enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.   Valor absoluto y ordenación de los números enteros 0 +1 +3 +2 +4 +6 – 5  +5 – 4  – 3  – 2  – 1  Más grandes Más pequeños
(+2) + (+3) = +5 Para  sumar dos números enteros del mismo signo: 1.º Se suman sus valores absolutos. (–2) + (–3) =  –5 2.º Al resultado se añade el signo que tienen. +2 +3 – 2 – 3 (+6) + (+12) = +18 (+4) + (+21) = +25 (–4) + (–11) = –15 (–17) + (–31) = –48 Suma de enteros del mismo signo 0 +1 +3 +2 +4 +6 +5 – 2  – 1  – 4 – 3 – 1 – 2 0 +2 +1 – 6  – 5
(+12) + (–9) = +3 Para  sumar dos números enteros de distinto signo: 1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor. (+18) + (–19) = –1 2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. Teresa y Miguel hacen cuentas ... Nos han dado 12 euros Y hemos gastado 9 euros Les quedan 3 euros Carola y Pablo también hacen sus cuentas ... Nos han dado 18 euros Y hemos gastado 19 euros Deben 1 euro ¿Les queda o deben dinero? (Observa que el resultado es  negativo,  como el número de mayor valor absoluto). Suma de números enteros de distinto signo
Para  sumar varios números enteros: 1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos. 2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido. Otros ejemplos: (+5) + (–4)  + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5  (+15) + (–8)  + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17  Observa que sumamos por separado los  positivos  y los  negativos . (+100) + (–40)  + (–70) + (+50) = =  ( +150 ) + ( –110 ) = +40  Veamos un ejemplo: (+100) + (+50) + (–40) + (–70) = Suma de varios números enteros
4  y  –4  son dos números enteros simétricos respecto de  0. Tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo. 4 = op.(–4)  –4 = op. (+4) El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número 8  6 – 2 – 8 – 6 – 6 – 7 – 12 7 12 Se llaman  opuestos. Opuesto del opuesto: op.(–5) = 5 op.(5) = –5 Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos. 2 – 5 5 12 Opuesto de un número entero +1 +2 +3 +4 +5 +6 – 1 0 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 a  b  a + b  op. (a)  op. (b)  op. (a+b)  op. (a) + op. (b)
Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. 1º. Como signo de la operación resta:  9 – 5  (+9) – (+5) = 9 – 5 = 4 2º. Como indicador de número negativo: –3  (+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0.  (Observa que un número más su opuesto vale 0). (–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8  (–9) – (+5) = –9 – 5 = –14 (–9) – (–5) =  –9 + 5 = –4 (+9) – (–5) = 9 + 5 = 14 Algunos ejemplos: – 7 – 12  + 32  – 19  + 49 =  –7 – 12 – 19  + 32 + 49 =  – 38  + 81 = 43  Resta de números enteros El signo  –  tiene dos significados:
Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras: 1º. Haciendo las operaciones del paréntesis. 2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene. 9 – (12 + 3)  =  9 – 15 = –6 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 9 – (12 + 3) =  9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6 2º. También se puede hacer así: 12 – (10 – 6)  =  12 – 4 = 8 1º. Operando antes el paréntesis: Como ves, sale el mismo resultado. 12 – (10 – 6) =  12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8  2º. También se puede hacer así: El uso del paréntesis 9 – (12 + 3)  Vamos a calcular: 12 –  (10 – 6)  Calculamos ahora: Son iguales
( a)  15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9  (operando dentro de los paréntesis). Otros ejemplos: Un signo  –  delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro.  8 + (4 – 14)  =  8 – 10 = – 2 (c)  8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7  – 14 + 19 = 34 – 14 = 20  (quitando el paréntesis). 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 8 + (4 – 14)  =  8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 2 2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2)  =  15 – 10 = 5 1º. Operando antes el paréntesis: 2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2)  =  15 – 12  + 2 = 3 + 2 = 5 Un signo  +  delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él.  Operar con paréntesis 8 + (4 – 14)  La expresión: se puede calcular de dos maneras: 15 –  (12 – 2)  Análogamente: se puede calcular de dos maneras:
Cada vez que va al cine gasta 6 euros (a)  (–7) ·(+ 9)  =  – 63 El producto de dos números enteros de distinto signo  es un número entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.  Ejemplo:   (– 6) · (+ 3)  = – 18 Otros ejemplos: –  6 (c)  (– 13) · (+4)= –52 (b)  (+12) · (–12)  =  –144 Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha gastado después de haber ido tres veces? Va tres veces + 3 Gasta:  3 · 6 euros = 18 euros –  18 Gráficamente: Multiplicación de enteros de distinto signo 0 +6 +12 – 24  – 18  – 12  – 6  – 6 – 6 – 6
(a)  (+5) · (– 1) =  –55 (+7) · (+ 9)  = +(7·9) = +63 Otros ejemplos: Hay cuatro posibilidades: Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.  (+7) · (– 9)  = –(7·9) = –63 (–7) · (+ 9)  = –(7·9) = –63 (–7) · (– 9)  = +(7·9) = +63 Regla de los signos: +  ·  +  =  + +  ·  –  =  – –  ·  +  =  – –  ·  –  =  + (b)  (–5) ·(+7) =  –35 (c)  (–3) · (–9) = 27 1º. Se halla el producto de sus valores absolutos. Observa: 2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo. El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo. Multiplicación de números enteros
Para multiplicar varios números enteros se agrupan de dos en dos en el orden que se prefiera y se realizan las multiplicaciones por parejas. Observa: – 4  ·  8   ·  (–3) =  –32   ·  (–3) = 96 – 4  ·   8  ·  (–3)  = –4  ·   (–24)  = 96 Luego: Otros ejemplos: – 5  ·  7   ·  (–3) =  –35   ·  (–3) = 105 – 5  ·   7  ·  (–3)  =  –5  ·   (–21)  = 105 Se obtiene el mismo resultado 1º. El producto  –5  ·  7  ·  (–3)   puede hacerse: 2º.  5  ·  8  ·  (–4)  ·  3 5  ·  8   ·   (–4)  ·  3  = 40   ·   (–12)  = –440 Producto de varios enteros Calculamos –  4  ·  8  ·  (–3)
(a)  15 : (– 5) =  – (15 : 5) = –3 (b)  (–54) : (+6) =  –(54 : 6) = –9 (+21) : (+ 7)  = +(21 : 7) = 3 Otros ejemplos: Pueden darse cuatro casos: Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.   (+32) : (– 4)  = –(32 : 4) = –8 (–63) : (+ 9)  = –(63 : 9) = –7 (–48) : (– 8)  = +(48 : 8) = 6 Regla de los signos: +  :  +  =  + +  :  –  =  – –  :  +  =  – –  :  –  =  + (c)  –35 : 7 =  –5 (d)  – 72 : (–9) = 8 Es la misma que para la multiplicación Observación : El paréntesis es necesario cuando se divide por un número negativo. En cualquier otro caso es optativo. División exacta de números enteros
7 +(– 12)  = – 5 Otros ejemplos: De la suma   La suma de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los sumandos. Observa: (– 12) + 7  = – 5 7 +(– 12)  = (–12) + 7 Del producto 4 · (– 5)  = – 20 Observa: (– 5) · 4  = – 20 4 · (– 5)  = (– 5) · 4 El producto de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los factores. Suma (–5) +  7 = 7 +(–5) = 2 2 + (–13)  =  (–13) + 2 = –11 Producto (– 3) · (–9) = (– 9) · (–3) = 27 (+6) · (–8) = (–8) · (+6) = –48 Propiedad conmutativa
La suma de tres números enteros no varía cuando  se asocian los términos de modos distintos La suma 10 + (–5) + (–2) puede hacerse de dos maneras: 1º.  Sumando los dos primeros números al tercero: [ 10 + (–5) ]  + (–2) = 5 + (–2) = 3 2º.  Sumando el primer número a los otros dos: 10 +  [ (–5) + (–2) ]  = 10 + (–7) = 3 Luego: [ 10 + (– 5) ]  + (– 2) = 10 +  [ (– 5) + (– 2) ]   Propiedad asociativa de la suma Otro ejemplo: [ (–5) + 17 ]  + (–8) =  12 + (–8) =  4 (–5) +  [ 17 + (–8) ]  =  –5 + 9  =  4 Propiedad asociativa de la suma
El producto de tres números enteros no varía cuando  se asocian los términos de modos distintos El producto (–12) · 8 · (–5) puede hacerse agrupando los factores de dos formas distintas: 1º.  (los dos primeros) · (el tercero): [ (–12) · 8 ]  · (–5) = (–96) · (–5) = 480 2º.  (el primero) · (el producto de los otros dos): (–12) ·  [ 8 · (–5) ]  = (–12) · (–40) = 480 Luego: [ (–12) · 8 ]  · (–5) = (–12) ·  [ 8 · (–5) ]   Propiedad asociativa del producto Otro ejemplo: [ (–5) · 7 ]  · (–3) =  –35 · (–3) = 105 (–5) ·  [ 7 · (–3) ]  =  –5· (–21)  = 105 Propiedad asociativa del producto
El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos del número entero por cada uno de los sumandos. El valor de la expresión – 5 · (–3 + 7) puede calcularse de dos formas distintas: Hacemos primero la suma y a continuación la multiplicación. Multiplicamos el factor por cada sumando y después sumamos. Luego: – 5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7 Una forma: – 5 ·  (–3 + 7)  = –5 ·  4  =  –20 Otra forma: – 5  · (–3 + 7) =  –5  · (–3) +( –5 ) · 7 = +15 + (–35) = –20 El resultado es el mismo Esta es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma Otro ejemplo: 15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15  · (–19) = –285 15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15  · (–10) + 15 · 8 + 15 · (–17) = –150 + 120 + (–255) = –285 15 · [–10 + 8 + (–17)] Sumando antes: Multiplicando por cada sumando: Propiedad distributiva
En la suma – 3 · 7 + (–3) · (–2) los sumandos son productos.  En ambos se repite el factor –3. Decimos que  –3 es factor común. Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de derecha a izquierda. Podemos escribir: – 3  · 7 + ( –3 ) · (–2) =  –3  · [7 + (–2)] Hemos sacado factor común. Otros ejemplos: (c)  –9 · 7 + (–9) · (–15) + 27 · 12 (a)  5 · (–10) + 5 · (–17) 5 · [–10 +  (–17)]  = 5 · (–27) = –135 (b)  –6 · (–12) +  (–6) · 17 + (–6) · (–9)  – 6 · [(–12) +17 + (–9)]  = –6 · (–4) = –24 El factor común es –6. Aparentemente no hay factor común. Pero como 27 = –9 · (–3), se tiene:  – 9 · 7 + (–9) · (–15) + (–9 )· (–3) · 12 = –9 · [ 7 + (–15) + (–3 )· 12] =  –9 · (–44) = 396  Factor común
Ejemplos: – 5 · 6 + (–4) · 8 +30 Otros ejemplos: 2º.  8 ·(– 6) – 3 · (12 –17) – 48 – 3 · (–5) = –48 + 15 = –33  1º  –6 · (–4) +  (–12) · 4 + (–5) · (–9)  = 24 – 48 + 45 = 21 (a) La operación debe realizarse en el siguiente orden: – 30  +  (–32)  + 30 = –32 Primero hemos hecho los productos y después las sumas – 30 : 6 + (–3) · 4 + 14  (b) Para hallar hay que seguir el siguiente orden: – 5  +  (–12)  + 14 = –3 Primero divisiones y productos, después las sumas Aplicando la propiedad distributiva 8 · (– 6) – 3 · 12 –3 · (–17) = –48 – 36 + 51 = –33 1º  Multiplicaciones y divisiones. 2º  Sumas y restas. El orden de las operaciones es: Operaciones combinadas. Sin paréntesis Operando en el paréntesis
Ejemplo: – 12 + [8 + (–14) : 2]  + [–7 + (–9) · 5]  Otros ejemplos: 1º  –6 ·[ (–4) +  (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9)  = –6 · (–16) + (–1) · (–9)  =  96 + 9 =  105 La operación Se hace así: – 12  +  [8  +  (–7)]  +  [–7 + (–45)]  =  –63 2º  El mismo ejemplo aplicando la propiedad distributiva 1º Operar dentro de los paréntesis. 2º Hacer las multiplicaciones y divisiones. 3º Hacer las sumas y restas. El orden a seguir es: – 12  +  1  +  (–52) – 6 ·[ (–4) +  (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9)  = –6 · (–4) + (–6) · (–12) ] + 4 · (–9) + (–5) · (–9) = 24 + 72 – 36 + 45 =  105 3º  [15 : (–5) + (–2) ] + [ (–8) · (–3) + 10] + (–5)  = [(–3) + (–2) ] + [24 + 10] + (–5) = –5 + 34 – 5 = 24  Operaciones combinadas. Con paréntesis
Resumimos con los siguientes casos: – 12 + (–3) · (+4) + (–9)  [–12 + (–3)] · (+4) + (–9)  – 12 + (–3) · [(+4) + (–9)]  [–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)]  Caso 1: Caso 2: Caso 3: Caso 4: Observa que en todos los casos hay los mismos números y operaciones. Cambia la situación de los paréntesis   =  –12 + (–12) + (–9) = –33  =  (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69 =  –12 + (–3) · (–5) = –12 + 15 = 3 =  –15 · (–5) =  75 Operaciones combinadas. Resumen
Problema :   Laura, Pedro y María se reúnen para organizar sus cuentas. Entre Laura y Pedro tienen 37 euros. Ente Pedro y María tienen 58 euros. Entre Laura y María deben 69 euros. ¿Cuánto dinero tiene o debe cada uno? Observando los datos vemos que Laura, Pedro y María, aparecen dos veces cada uno. Pensar un problema más fácil Primero: Comprobación. Segundo: Por tanto, entre los tres tienen 13 euros (la mitad de 26). Laura  y  Pedro :  + 37 Pedro  y María:  + 58 Laura  y María:  – 69 Luego el doble de lo que tienen es la suma total: 37 + 58 – 69 = 26 Laura tendrá  13 – 58 (lo que tienen Pedro y María): 13 – 58 =  – 45 Laura y Pedro:  –45 + 82 = 37. Pedro y María:  82 – 24 =  58.  Laura y María: –45 + (–24) = – 69 Como entre Laura y María “tienen” –69,  María tendrá:  –69 –( –45 ) =  –24 Como entre Pedro y María tienen  58,  Pedro tendrá:  58 – ( –24 ) = 82 Y entre los tres:  37 + 58 + (–24) = 13. Organizados los datos y hechos los tanteos: Resolución de problemas (I)
Tantear para comprender mejor Primero: Problema 1: La suma de dos números enteros es igual a –19 y su producto es igual a 60. ¿Cuáles son esos números?  Hacer una tabla Segundo: Comprobación. Tercero: La suma es:  –4 + (–15) = –19. Que son las condiciones requeridas. No puede ser , pues su producto debe ser 60. ¿Por qué no valdrían dos números positivos? Entonces, su producto sería:  –29 · 10 =  –290. Si los números suman – 19, uno podría ser  –29 y el otro 10. ¿Has advertido que para que el producto sea 60, los dos números deben ser negativos? Luego, los números buscados son –4 y –15.  Su producto vale: (–4) · (–15) = 60 Resolución de problemas (II)
800 + 25 · 15 – (30 · 15) = 800 + 375 – 450 = 725 Leer el enunciado y resumirlo. Primero: Problema 2:  En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo, salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento? Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.?  Hacer un dibujo explicativo. Segundo: +25 durante 15 min. -30 Hacer los cálculos. Tercero: Comprobación. Cuarto: Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5) En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75. Quedan entonces:  800 – 75 = 725. Hay 800 l Resolución de problemas (III)
PROBLEMA La suma de los valores absolutos de dos números enteros es igual a 84 y la suma de los números es igual a 36. ¿Cuáles son los números?  TANTEA No puede ser ,  los  resultados no coinciden.  Suma de los números:  4 + (–7) = –3. Si los números fueran  4  y  –7, tendríamos que: Suma de valores absolutos: ELIGE UNA ESTRATEGIA Por ser su suma igual a 36, el número de mayor valor absoluto es positivo Representamos la situación sobre la recta numérica : – + 36 Luego  84 – 36 es igual al doble del valor absoluto del sumando negativo . RESUELVE EL PROBLEMA 84 – 36 = 48;  la mitad es 24.  24  será el valor absoluto del sumando negativo. Por tanto será  – 24.   Y el otro número,  24 + 36 = 60 COMPRUEBA –  24 + 60 = 36 Correcto .  Técnicas y estrategias 0 Un número negativo Sumando positivo Suma de valores absolutos:  84 36 Suman 36
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS:   1)  Cuando los números enteros tienen el  MISMO  SIGNO   SE  SUMAN  y  el resultado  queda con el MISMO SIGNO  que tienen  los números que sumé.  EJEMPLO:   1  +  3  +  5  +  8  =  17  POSITIVOS  POSITIVO   - 1  -  3  -  5  -  8  =  -  17  NEGATIVOS  NEGATIVO   2)  Cuando los números tienen  DISTINTO  SIGNO   resto  al mayor  (en valor absoluto)  el menor ( en valor absoluto)  y  el resultado  me da con el signo del mayor (en valor absoluto).  EJEMPLO :   5  +  3  =  -2   ME  DA  NEGATIVO  PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO   5  -  3  =  2   ME DA  POSITIVO  PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO
OPERACIONES CON PARÉNTESIS ,[object Object],[object Object],EJEMPLO:   HAY  UN  SIGNO  POSITIVO   4)  Cuando  delante de un paréntesis , corchete o llave hay :   ,[object Object],[object Object],[object Object],EJEMPLO:   -  (  4  -  3  )  =  -  4  +  3   SE CAMBIAN  LOS SIGNOS   ,[object Object],[object Object],[object Object],EJEMPLO:   (  4  -  3  )  =  4  -  3   NO  SE CAMBIAN  LOS SIGNOS
RESUMIENDO :   1)  Si tengo varios números a sumar algunos positivos, otros negativos:  -7 + 4 - 2 + 8 - 3 - 5 + 1  1er  PASO:  Sumo los positivos   ( 4 + 8 + 1 ) = 13   2º PASO:  Sumo los negativos anteponiendo el signo menos al paréntesis   - ( 7 + 2 + 3 + 5 ) = - 17  3er  PASO:  Me queda  ( 4 + 8 + 1 ) - ( 7 + 2 + 3 + 5 )  13  -  17   Busco la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor   13  -  17  =  -  4   La diferencia entre 17 y 13 es de 4 y como el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, el resultado me da negativo.
EJERCICIO RESUELTO 1   a)  Eliminando paréntesis, corchetes y llaves:   Eliminar paréntesis :   Si  delante  del paréntesis hay un signo negativo:  saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro, si es positivo los dejo igual. Eliminar   corchetes :  procedo igual que con los paréntesis : Eliminar llaves :  proceso igual que con paréntesis Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro anteponiendo el signo negativo a éstos últimos Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor
EJERCICIO RESUELTO 2   b)  Resolviendo lo que hay dentro de los paréntesis corchetes y llaves :   Resuelvo lo que está dentro de los paréntesis: Eliminar los paréntesis:  Si delante del paréntesis hay un signo negativo saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro, si es positivo los dejo igual. Eliminar corchetes:  procedo igual que con los paréntesis Eliminar llaves : Procedo igual que con paréntesis Resuelvo lo que está dentro de las llaves Resuelvo lo que está dentro de los corchetes Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro  anteponiendo el signo negativos a éstos últimos Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor
MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE ENTEROS 1)  S i multiplico o divido números enteros tengo que atenerme a la siguiente regla de signos:  a)  +  .  +  =  +  EJEMPLO:  8  .  2  =  16  +  :  +  =  +  8  :  2  =  4  b)  -  .  -  =  +  EJEMPLO:  - 8  .  (- 2)  =  16  -  :  -  =  +  - 8  :  (- 2)  =  4  c)  +  .  -  =  -  EJEMPLO:  8  .  (- 2)  =  - 16  +  :  -  =  -  8  :  (- 2)  =  - 4  d)  -  .  +  =  -  EJEMPLO:  - 8  .  2  =  - 16  -  :  +  =  -  - 8  :  2  =  - 4  ,[object Object],[object Object],EJEMPLO:   HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION  ,[object Object],EJEMPLO:   HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION  HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION  HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION
OPERACIONES COMBINADAS Para resolver ejercicios combinados con suma o resta y multiplicación o división, debo primero  separar en términos .  Los  signos que separan términos son los de suma o resta  y  se resuelve primero lo que está en cada término. Por ejemplo:  Si el ejercicio combinado tiene paréntesis, corchetes y/o llaves, se procede así:  Separo  en términos  lo que está dentro de los  paréntesis  y lo resuelvo:   Separo los términos  que están dentro de los  corchetes  y resuelvo: Separo los términos  que están dentro de las  llaves  y resuelvo
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I) C uando un número (base) está elevado a otro número (exponente)  significa que hay que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente.  1)  Propiedad de potencias de igual base:   a)  Cuando se  MULTIPLICAN potencias de igual base  se  SUMAN los exponentes .  b)  Cuando se  DIVIDEN potencias de igual base  se  RESTAN los exponentes .  EJEMPLOS:   2)  Si una potencia está elevada a otro número, se MULTIPLICAN los exponentes.  EJEMPLO:
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II) ,[object Object],[object Object],EJEMPLO:   5)  Propiedades: a)  La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN EJEMPLO:   b)  La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.  EJEMPLO:
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I) Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice  me de por resultado el radicando.  PROPIEDADES DE LA RADICACION:   1. Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN.  EJEMPLOS:   En la multiplicación  En la división  2. NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.  EJEMPLOS:   En la suma  En la resta
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II) 3.Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE  que ser POSITIVO  y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo.  EJEMPLO:   4. Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.  EJEMPLO:   5. Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.  EJEMPLO:
EJERCICIO RESUELTO 3   Ejercicio combinado (suma-resta, multiplicación-división y potencia–raíz) Separo en términos los que está dentro de los paréntesis: Resuelvo primero raíces y potencias dentro de los paréntesis: Resuelvo multiplicaciones y divisiones dentro de los paréntesis: Resuelvo sumas y restas dentro de los paréntesis: Separo en términos lo que está dentro de los corchetes y lo resuelvo  en el mismo orden que con los paréntesis: Separo en términos lo que está dentro de las llaves y lo resuelvo:

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Presentaciones Enteros

  • 1. NÚMEROS ENTEROS 1. De los números naturales a los enteros 2. Representación de los números enteros 3. Valor absoluto y ordenación de números enteros 4. Suma de números enteros 5. Opuesto de un número entero 6. Resta de números enteros 7. Operaciones con paréntesis 8. Multiplicación de números enteros 9. División exacta de números enteros 10. Propiedades de las operaciones de números enteros 11. Operaciones combinadas 12. Resolución de problemas AMPLIACIÓN Index
  • 2. NÚMEROS ENTEROS (Ampliación) SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS OPERACIONES CON PARÉNTESIS RESUMEN – EJERCICIOS RESUELTOS MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS OPERACIONES COMBINADAS POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS OPERACIONES COMBINADAS (2)
  • 3. Buena temperatura: + 20 ºC +20 +5000 +7 – 7 – 5000 – 20 0 Mucho frío: – 20 ºC Soy rico: tengo +5000 euros Debo dinero: “tengo” -5000 euros Los números naturales se consideran enteros positivos. Por cada entero positivo hay un entero negativo. Van precedidos por un signo menos (–) De los números naturales a los enteros Los números enteros están formados por: enteros positivos, enteros negativos y el cero Los juegos olímpicos empezaron en el año 776 antes de Cristo – 250 El submarino navega a 250 m bajo el nivel del mar – 776
  • 4. 1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0. 2º. A la derecha del 0 se representa el +1. 3º. La distancia entre 0 y +1 será la que exista entre cada dos enteros consecutivos. 4º. A la derecha del 0 se colocan los enteros positivos . 4º. A la izquierda del 0 se colocan los enteros negativos . Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos: +1 +2 +3 +4 +5 +6 – 1 0 – 2 – 3 – 4 – 5 Representación de los números enteros Positivos Negativos
  • 5. Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo. Se indica escribiéndolo entre barras Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso: Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero: El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2. Se indica así: Otro ejemplo: Valor absoluto de un número entero +1 +2 +3 +4 +5 +6 – 1 0 – 2 – 3 – 4 – 5 – 2 +2
  • 6. Ordenación: Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo Se indica escribiéndolo entre barras. Así: Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando en la recta numérica está a la derecha. Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo . El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo . Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. Valor absoluto y ordenación de los números enteros 0 +1 +3 +2 +4 +6 – 5 +5 – 4 – 3 – 2 – 1 Más grandes Más pequeños
  • 7. (+2) + (+3) = +5 Para sumar dos números enteros del mismo signo: 1.º Se suman sus valores absolutos. (–2) + (–3) = –5 2.º Al resultado se añade el signo que tienen. +2 +3 – 2 – 3 (+6) + (+12) = +18 (+4) + (+21) = +25 (–4) + (–11) = –15 (–17) + (–31) = –48 Suma de enteros del mismo signo 0 +1 +3 +2 +4 +6 +5 – 2 – 1 – 4 – 3 – 1 – 2 0 +2 +1 – 6 – 5
  • 8. (+12) + (–9) = +3 Para sumar dos números enteros de distinto signo: 1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor. (+18) + (–19) = –1 2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. Teresa y Miguel hacen cuentas ... Nos han dado 12 euros Y hemos gastado 9 euros Les quedan 3 euros Carola y Pablo también hacen sus cuentas ... Nos han dado 18 euros Y hemos gastado 19 euros Deben 1 euro ¿Les queda o deben dinero? (Observa que el resultado es negativo, como el número de mayor valor absoluto). Suma de números enteros de distinto signo
  • 9. Para sumar varios números enteros: 1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos. 2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido. Otros ejemplos: (+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5 (+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17 Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos . (+100) + (–40) + (–70) + (+50) = = ( +150 ) + ( –110 ) = +40 Veamos un ejemplo: (+100) + (+50) + (–40) + (–70) = Suma de varios números enteros
  • 10. 4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo. 4 = op.(–4) –4 = op. (+4) El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número 8 6 – 2 – 8 – 6 – 6 – 7 – 12 7 12 Se llaman opuestos. Opuesto del opuesto: op.(–5) = 5 op.(5) = –5 Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos. 2 – 5 5 12 Opuesto de un número entero +1 +2 +3 +4 +5 +6 – 1 0 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 a b a + b op. (a) op. (b) op. (a+b) op. (a) + op. (b)
  • 11. Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. 1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5 (+9) – (+5) = 9 – 5 = 4 2º. Como indicador de número negativo: –3 (+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0). (–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8 (–9) – (+5) = –9 – 5 = –14 (–9) – (–5) = –9 + 5 = –4 (+9) – (–5) = 9 + 5 = 14 Algunos ejemplos: – 7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43 Resta de números enteros El signo – tiene dos significados:
  • 12. Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras: 1º. Haciendo las operaciones del paréntesis. 2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene. 9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6 2º. También se puede hacer así: 12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8 1º. Operando antes el paréntesis: Como ves, sale el mismo resultado. 12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8 2º. También se puede hacer así: El uso del paréntesis 9 – (12 + 3) Vamos a calcular: 12 – (10 – 6) Calculamos ahora: Son iguales
  • 13. ( a) 15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis). Otros ejemplos: Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro. 8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2 (c) 8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7 – 14 + 19 = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis). 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 8 + (4 – 14) = 8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 2 2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5 1º. Operando antes el paréntesis: 2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 12 + 2 = 3 + 2 = 5 Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él. Operar con paréntesis 8 + (4 – 14) La expresión: se puede calcular de dos maneras: 15 – (12 – 2) Análogamente: se puede calcular de dos maneras:
  • 14. Cada vez que va al cine gasta 6 euros (a) (–7) ·(+ 9) = – 63 El producto de dos números enteros de distinto signo es un número entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. Ejemplo: (– 6) · (+ 3) = – 18 Otros ejemplos: – 6 (c) (– 13) · (+4)= –52 (b) (+12) · (–12) = –144 Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha gastado después de haber ido tres veces? Va tres veces + 3 Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros – 18 Gráficamente: Multiplicación de enteros de distinto signo 0 +6 +12 – 24 – 18 – 12 – 6 – 6 – 6 – 6
  • 15. (a) (+5) · (– 1) = –55 (+7) · (+ 9) = +(7·9) = +63 Otros ejemplos: Hay cuatro posibilidades: Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. (+7) · (– 9) = –(7·9) = –63 (–7) · (+ 9) = –(7·9) = –63 (–7) · (– 9) = +(7·9) = +63 Regla de los signos: + · + = + + · – = – – · + = – – · – = + (b) (–5) ·(+7) = –35 (c) (–3) · (–9) = 27 1º. Se halla el producto de sus valores absolutos. Observa: 2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo. El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo. Multiplicación de números enteros
  • 16. Para multiplicar varios números enteros se agrupan de dos en dos en el orden que se prefiera y se realizan las multiplicaciones por parejas. Observa: – 4 · 8 · (–3) = –32 · (–3) = 96 – 4 · 8 · (–3) = –4 · (–24) = 96 Luego: Otros ejemplos: – 5 · 7 · (–3) = –35 · (–3) = 105 – 5 · 7 · (–3) = –5 · (–21) = 105 Se obtiene el mismo resultado 1º. El producto –5 · 7 · (–3) puede hacerse: 2º. 5 · 8 · (–4) · 3 5 · 8 · (–4) · 3 = 40 · (–12) = –440 Producto de varios enteros Calculamos – 4 · 8 · (–3)
  • 17. (a) 15 : (– 5) = – (15 : 5) = –3 (b) (–54) : (+6) = –(54 : 6) = –9 (+21) : (+ 7) = +(21 : 7) = 3 Otros ejemplos: Pueden darse cuatro casos: Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. (+32) : (– 4) = –(32 : 4) = –8 (–63) : (+ 9) = –(63 : 9) = –7 (–48) : (– 8) = +(48 : 8) = 6 Regla de los signos: + : + = + + : – = – – : + = – – : – = + (c) –35 : 7 = –5 (d) – 72 : (–9) = 8 Es la misma que para la multiplicación Observación : El paréntesis es necesario cuando se divide por un número negativo. En cualquier otro caso es optativo. División exacta de números enteros
  • 18. 7 +(– 12) = – 5 Otros ejemplos: De la suma La suma de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los sumandos. Observa: (– 12) + 7 = – 5 7 +(– 12) = (–12) + 7 Del producto 4 · (– 5) = – 20 Observa: (– 5) · 4 = – 20 4 · (– 5) = (– 5) · 4 El producto de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los factores. Suma (–5) + 7 = 7 +(–5) = 2 2 + (–13) = (–13) + 2 = –11 Producto (– 3) · (–9) = (– 9) · (–3) = 27 (+6) · (–8) = (–8) · (+6) = –48 Propiedad conmutativa
  • 19. La suma de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos La suma 10 + (–5) + (–2) puede hacerse de dos maneras: 1º. Sumando los dos primeros números al tercero: [ 10 + (–5) ] + (–2) = 5 + (–2) = 3 2º. Sumando el primer número a los otros dos: 10 + [ (–5) + (–2) ] = 10 + (–7) = 3 Luego: [ 10 + (– 5) ] + (– 2) = 10 + [ (– 5) + (– 2) ] Propiedad asociativa de la suma Otro ejemplo: [ (–5) + 17 ] + (–8) = 12 + (–8) = 4 (–5) + [ 17 + (–8) ] = –5 + 9 = 4 Propiedad asociativa de la suma
  • 20. El producto de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos El producto (–12) · 8 · (–5) puede hacerse agrupando los factores de dos formas distintas: 1º. (los dos primeros) · (el tercero): [ (–12) · 8 ] · (–5) = (–96) · (–5) = 480 2º. (el primero) · (el producto de los otros dos): (–12) · [ 8 · (–5) ] = (–12) · (–40) = 480 Luego: [ (–12) · 8 ] · (–5) = (–12) · [ 8 · (–5) ] Propiedad asociativa del producto Otro ejemplo: [ (–5) · 7 ] · (–3) = –35 · (–3) = 105 (–5) · [ 7 · (–3) ] = –5· (–21) = 105 Propiedad asociativa del producto
  • 21. El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos del número entero por cada uno de los sumandos. El valor de la expresión – 5 · (–3 + 7) puede calcularse de dos formas distintas: Hacemos primero la suma y a continuación la multiplicación. Multiplicamos el factor por cada sumando y después sumamos. Luego: – 5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7 Una forma: – 5 · (–3 + 7) = –5 · 4 = –20 Otra forma: – 5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) +( –5 ) · 7 = +15 + (–35) = –20 El resultado es el mismo Esta es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma Otro ejemplo: 15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15 · (–19) = –285 15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15 · (–10) + 15 · 8 + 15 · (–17) = –150 + 120 + (–255) = –285 15 · [–10 + 8 + (–17)] Sumando antes: Multiplicando por cada sumando: Propiedad distributiva
  • 22. En la suma – 3 · 7 + (–3) · (–2) los sumandos son productos. En ambos se repite el factor –3. Decimos que –3 es factor común. Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de derecha a izquierda. Podemos escribir: – 3 · 7 + ( –3 ) · (–2) = –3 · [7 + (–2)] Hemos sacado factor común. Otros ejemplos: (c) –9 · 7 + (–9) · (–15) + 27 · 12 (a) 5 · (–10) + 5 · (–17) 5 · [–10 + (–17)] = 5 · (–27) = –135 (b) –6 · (–12) + (–6) · 17 + (–6) · (–9) – 6 · [(–12) +17 + (–9)] = –6 · (–4) = –24 El factor común es –6. Aparentemente no hay factor común. Pero como 27 = –9 · (–3), se tiene: – 9 · 7 + (–9) · (–15) + (–9 )· (–3) · 12 = –9 · [ 7 + (–15) + (–3 )· 12] = –9 · (–44) = 396 Factor común
  • 23. Ejemplos: – 5 · 6 + (–4) · 8 +30 Otros ejemplos: 2º. 8 ·(– 6) – 3 · (12 –17) – 48 – 3 · (–5) = –48 + 15 = –33 1º –6 · (–4) + (–12) · 4 + (–5) · (–9) = 24 – 48 + 45 = 21 (a) La operación debe realizarse en el siguiente orden: – 30 + (–32) + 30 = –32 Primero hemos hecho los productos y después las sumas – 30 : 6 + (–3) · 4 + 14 (b) Para hallar hay que seguir el siguiente orden: – 5 + (–12) + 14 = –3 Primero divisiones y productos, después las sumas Aplicando la propiedad distributiva 8 · (– 6) – 3 · 12 –3 · (–17) = –48 – 36 + 51 = –33 1º Multiplicaciones y divisiones. 2º Sumas y restas. El orden de las operaciones es: Operaciones combinadas. Sin paréntesis Operando en el paréntesis
  • 24. Ejemplo: – 12 + [8 + (–14) : 2] + [–7 + (–9) · 5] Otros ejemplos: 1º –6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–16) + (–1) · (–9) = 96 + 9 = 105 La operación Se hace así: – 12 + [8 + (–7)] + [–7 + (–45)] = –63 2º El mismo ejemplo aplicando la propiedad distributiva 1º Operar dentro de los paréntesis. 2º Hacer las multiplicaciones y divisiones. 3º Hacer las sumas y restas. El orden a seguir es: – 12 + 1 + (–52) – 6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–4) + (–6) · (–12) ] + 4 · (–9) + (–5) · (–9) = 24 + 72 – 36 + 45 = 105 3º [15 : (–5) + (–2) ] + [ (–8) · (–3) + 10] + (–5) = [(–3) + (–2) ] + [24 + 10] + (–5) = –5 + 34 – 5 = 24 Operaciones combinadas. Con paréntesis
  • 25. Resumimos con los siguientes casos: – 12 + (–3) · (+4) + (–9) [–12 + (–3)] · (+4) + (–9) – 12 + (–3) · [(+4) + (–9)] [–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)] Caso 1: Caso 2: Caso 3: Caso 4: Observa que en todos los casos hay los mismos números y operaciones. Cambia la situación de los paréntesis = –12 + (–12) + (–9) = –33 = (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69 = –12 + (–3) · (–5) = –12 + 15 = 3 = –15 · (–5) = 75 Operaciones combinadas. Resumen
  • 26. Problema : Laura, Pedro y María se reúnen para organizar sus cuentas. Entre Laura y Pedro tienen 37 euros. Ente Pedro y María tienen 58 euros. Entre Laura y María deben 69 euros. ¿Cuánto dinero tiene o debe cada uno? Observando los datos vemos que Laura, Pedro y María, aparecen dos veces cada uno. Pensar un problema más fácil Primero: Comprobación. Segundo: Por tanto, entre los tres tienen 13 euros (la mitad de 26). Laura y Pedro : + 37 Pedro y María: + 58 Laura y María: – 69 Luego el doble de lo que tienen es la suma total: 37 + 58 – 69 = 26 Laura tendrá 13 – 58 (lo que tienen Pedro y María): 13 – 58 = – 45 Laura y Pedro: –45 + 82 = 37. Pedro y María: 82 – 24 = 58. Laura y María: –45 + (–24) = – 69 Como entre Laura y María “tienen” –69, María tendrá: –69 –( –45 ) = –24 Como entre Pedro y María tienen 58, Pedro tendrá: 58 – ( –24 ) = 82 Y entre los tres: 37 + 58 + (–24) = 13. Organizados los datos y hechos los tanteos: Resolución de problemas (I)
  • 27. Tantear para comprender mejor Primero: Problema 1: La suma de dos números enteros es igual a –19 y su producto es igual a 60. ¿Cuáles son esos números? Hacer una tabla Segundo: Comprobación. Tercero: La suma es: –4 + (–15) = –19. Que son las condiciones requeridas. No puede ser , pues su producto debe ser 60. ¿Por qué no valdrían dos números positivos? Entonces, su producto sería: –29 · 10 = –290. Si los números suman – 19, uno podría ser –29 y el otro 10. ¿Has advertido que para que el producto sea 60, los dos números deben ser negativos? Luego, los números buscados son –4 y –15. Su producto vale: (–4) · (–15) = 60 Resolución de problemas (II)
  • 28. 800 + 25 · 15 – (30 · 15) = 800 + 375 – 450 = 725 Leer el enunciado y resumirlo. Primero: Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo, salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento? Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.? Hacer un dibujo explicativo. Segundo: +25 durante 15 min. -30 Hacer los cálculos. Tercero: Comprobación. Cuarto: Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5) En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75. Quedan entonces: 800 – 75 = 725. Hay 800 l Resolución de problemas (III)
  • 29. PROBLEMA La suma de los valores absolutos de dos números enteros es igual a 84 y la suma de los números es igual a 36. ¿Cuáles son los números? TANTEA No puede ser , los resultados no coinciden. Suma de los números: 4 + (–7) = –3. Si los números fueran 4 y –7, tendríamos que: Suma de valores absolutos: ELIGE UNA ESTRATEGIA Por ser su suma igual a 36, el número de mayor valor absoluto es positivo Representamos la situación sobre la recta numérica : – + 36 Luego 84 – 36 es igual al doble del valor absoluto del sumando negativo . RESUELVE EL PROBLEMA 84 – 36 = 48; la mitad es 24. 24 será el valor absoluto del sumando negativo. Por tanto será – 24. Y el otro número, 24 + 36 = 60 COMPRUEBA – 24 + 60 = 36 Correcto . Técnicas y estrategias 0 Un número negativo Sumando positivo Suma de valores absolutos: 84 36 Suman 36
  • 30. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS: 1) Cuando los números enteros tienen el MISMO SIGNO SE SUMAN y el resultado queda con el MISMO SIGNO que tienen los números que sumé. EJEMPLO: 1 + 3 + 5 + 8 = 17 POSITIVOS POSITIVO - 1 - 3 - 5 - 8 = - 17 NEGATIVOS NEGATIVO 2) Cuando los números tienen DISTINTO SIGNO resto al mayor (en valor absoluto) el menor ( en valor absoluto) y el resultado me da con el signo del mayor (en valor absoluto). EJEMPLO : 5 + 3 = -2 ME DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO 5 - 3 = 2 ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO
  • 31.
  • 32. RESUMIENDO : 1) Si tengo varios números a sumar algunos positivos, otros negativos: -7 + 4 - 2 + 8 - 3 - 5 + 1 1er PASO: Sumo los positivos ( 4 + 8 + 1 ) = 13 2º PASO: Sumo los negativos anteponiendo el signo menos al paréntesis - ( 7 + 2 + 3 + 5 ) = - 17 3er PASO: Me queda ( 4 + 8 + 1 ) - ( 7 + 2 + 3 + 5 ) 13 - 17 Busco la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor 13 - 17 = - 4 La diferencia entre 17 y 13 es de 4 y como el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, el resultado me da negativo.
  • 33. EJERCICIO RESUELTO 1 a) Eliminando paréntesis, corchetes y llaves: Eliminar paréntesis : Si delante del paréntesis hay un signo negativo: saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro, si es positivo los dejo igual. Eliminar corchetes : procedo igual que con los paréntesis : Eliminar llaves : proceso igual que con paréntesis Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro anteponiendo el signo negativo a éstos últimos Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor
  • 34. EJERCICIO RESUELTO 2 b) Resolviendo lo que hay dentro de los paréntesis corchetes y llaves : Resuelvo lo que está dentro de los paréntesis: Eliminar los paréntesis: Si delante del paréntesis hay un signo negativo saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro, si es positivo los dejo igual. Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis Eliminar llaves : Procedo igual que con paréntesis Resuelvo lo que está dentro de las llaves Resuelvo lo que está dentro de los corchetes Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro anteponiendo el signo negativos a éstos últimos Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor
  • 35.
  • 36. OPERACIONES COMBINADAS Para resolver ejercicios combinados con suma o resta y multiplicación o división, debo primero separar en términos . Los signos que separan términos son los de suma o resta y se resuelve primero lo que está en cada término. Por ejemplo: Si el ejercicio combinado tiene paréntesis, corchetes y/o llaves, se procede así: Separo en términos lo que está dentro de los paréntesis y lo resuelvo: Separo los términos que están dentro de los corchetes y resuelvo: Separo los términos que están dentro de las llaves y resuelvo
  • 37. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I) C uando un número (base) está elevado a otro número (exponente) significa que hay que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente. 1) Propiedad de potencias de igual base: a) Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes . b) Cuando se DIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes . EJEMPLOS: 2) Si una potencia está elevada a otro número, se MULTIPLICAN los exponentes. EJEMPLO:
  • 38.
  • 39. RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I) Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el radicando. PROPIEDADES DE LA RADICACION: 1. Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN. EJEMPLOS: En la multiplicación En la división 2. NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA. EJEMPLOS: En la suma En la resta
  • 40. RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II) 3.Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo. EJEMPLO: 4. Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando. EJEMPLO: 5. Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices. EJEMPLO:
  • 41. EJERCICIO RESUELTO 3 Ejercicio combinado (suma-resta, multiplicación-división y potencia–raíz) Separo en términos los que está dentro de los paréntesis: Resuelvo primero raíces y potencias dentro de los paréntesis: Resuelvo multiplicaciones y divisiones dentro de los paréntesis: Resuelvo sumas y restas dentro de los paréntesis: Separo en términos lo que está dentro de los corchetes y lo resuelvo en el mismo orden que con los paréntesis: Separo en términos lo que está dentro de las llaves y lo resuelvo: