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SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE
CIRCUNFERENCIAS
3.- Hallar la ecuación ordinaria o canónica
de la circunferencia que pasa por los
puntos P(3,-2), Q(4,0) y R(0,5).
Elaborado por Pascual Sardella
Solución al Problema Nº
3Datos del Problema: Como dichos puntos pertenecen a lugar
geométrico de la circunferencia cuya ecuación general es:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Entonces tenemos que sustituir a «x» y «y» en la ecuación
anterior, así obtenemos tres ecuaciones con las variables A, B y
C:
Para P(3,-2): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
(3)2+(−2)2+𝐴 3 + 𝐵 −2 + 𝐶 = 0 → 9 + 4 + 3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0
𝟑𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟑 (1)
Para Q(4,0): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
(4)2+(0)2+𝐴 4 + 𝐵 0 + 𝐶 = 0 → 16 + 4𝐴 + 0𝐵 + 𝐶 = 0
𝟒𝑨 + 𝟎𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟔 (2)
Para R(0,5): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝟎 𝟐
+ 𝟓 𝟐
+ 𝑨 𝟎 + 𝑩 𝟓 + 𝑪 = 𝟎 → 𝟐𝟓 + 𝟎𝑨 + 𝟓𝑩 + 𝑪 = 𝟎
𝟎𝑨 + 𝟓𝑩 + 𝑪 = −𝟐𝟓 (3)
Luego tenemos el sistema siguiente:
𝟑𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟑 (1)
𝟒𝑨 + 𝟎𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟔 (2)
𝟑 −𝟐 𝟏
𝟒 𝟎 𝟏
𝟎 𝟓 𝟏
−𝟏𝟑
−𝟏𝟔
−𝟐𝟓
Solución al Problema Nº 3
Paso 1: Empezamos a calcular el determinante del sistema (∆ 𝑺)
∆ 𝑺=
𝟑 −𝟐 𝟏
𝟒 𝟎 𝟏
𝟎 𝟓 𝟏
Paso 2: Resolvemos este determinante por la Regla de Sarrus,
es decir:
a) Repitiendo filas 1 y 2 debajo de la fila 3:
∆ 𝑠=
3 −2 1
4 0 1
0 5 1
3 −2 1
4 0 1
= 20 − 7 → ∆ 𝐒= 𝟏𝟑
Ó b) repitiendo columnas 1 y 2 después de la 3:
∆ 𝑺=
𝟑 𝟖 𝟏
𝟗 𝟔 𝟏
𝟏𝟑 −𝟐 𝟏
𝟑 𝟖
𝟗 𝟔
𝟏𝟑 −𝟐
→ ∆ 𝑺=
𝟑 𝟖 𝟏
𝟗 𝟔 𝟏
𝟏𝟑 −𝟐 𝟏
𝟑 𝟖
𝟗 𝟓
𝟏𝟑 −𝟐
= ∆ 𝑺= 𝟏𝟑
Debe dar igual, por lo que puedes usar cualquier método.
𝟑 −𝟐 𝟏
𝟒 𝟎 𝟏
𝟎 𝟓 𝟏
−𝟏𝟑
−𝟏𝟔
−𝟐𝟓
Solución al Problema Nº 3
Ahora debemos hallar el determinantes de las variables A, B y
C, es decir:
∆ 𝑨=
−𝟏𝟑 −𝟐 𝟏
−𝟏𝟔 𝟎 𝟏
−𝟐𝟓 𝟓 𝟏
→ ∆ 𝑨=
−𝟏𝟑 −𝟐 𝟏
−𝟏𝟔 𝟎 𝟏
−𝟐𝟓 𝟓 𝟏
−𝟏𝟑 −𝟐
−𝟏𝟔 𝟎
−𝟐𝟓 𝟓
∆ 𝑨= 𝟑
∆ 𝑩=
𝟑 −𝟕𝟑 𝟏
𝟗 𝟏𝟏𝟕 𝟏
𝟏𝟑 −𝟏𝟕𝟑 𝟏
→ ∆ 𝑩=
𝟑 −𝟕𝟑 𝟏
𝟗 𝟏𝟏𝟕 𝟏
𝟏𝟑 −𝟏𝟕𝟑 𝟏
𝟑 −𝟕𝟑
𝟗 𝟏𝟏𝟕
𝟏𝟑 −𝟏𝟕𝟑
∆ 𝑩= −𝟐𝟏
∆ 𝑪=
𝟑 𝟖 −𝟕𝟑
𝟗 𝟔 𝟏𝟏𝟕
𝟏𝟑 −𝟐 −𝟏𝟕𝟑
→ ∆ 𝑪=
𝟑 𝟖 −𝟕𝟑
𝟗 𝟔 𝟏𝟏𝟕
𝟏𝟑 −𝟐 −𝟏𝟕𝟑
𝟑 𝟖
𝟗 𝟔
𝟏𝟑 −𝟐
∆ 𝑪= −𝟐𝟐𝟎
𝑨 =
∆ 𝑨
∆ 𝑺
=
𝟑
𝟏𝟑
; 𝑩 =
∆ 𝑩
∆ 𝑺
= −
𝟐𝟏
𝟏𝟑
; 𝑪 = −
𝟐𝟐𝟎
𝟏𝟑
Ahora se debe sustituir estos valores en la ecuación general,
es decir:
Solución al Problema Nº 3
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑥2 + 𝑦2 +
3
13
𝑥 + −
21
13
𝑦 −
220
13
= 0
𝟏𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟑𝒚 𝟐
+ 𝟑𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟐𝟐𝟎 = 𝟎
Luego la ecuación de la circunferencia es:
𝟏𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏𝟑𝒚 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟐𝟐𝟎 = 𝟎
Para llevarla a la ecuación ordinaria o usual se agrupa términos en
«x» y en «y» y se busca configurarlo como trinomios notables, es
decir:
𝟏𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏𝟑𝒚 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟐𝟐𝟎 = 𝟎
𝟏𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟏𝟑𝒚 𝟐
− 𝟐𝟏𝒚 = 𝟐𝟐𝟎 → 𝟏𝟑 𝒙 𝟐
+
𝟑
𝟏𝟑
𝒙 + 𝟏𝟑 𝒚 𝟐
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𝟐𝟏
𝟏𝟑
𝒚 = 𝟐𝟐𝟎
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Problema de circunferencia resuelto 03

  • 1. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE CIRCUNFERENCIAS 3.- Hallar la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia que pasa por los puntos P(3,-2), Q(4,0) y R(0,5). Elaborado por Pascual Sardella
  • 2. Solución al Problema Nº 3Datos del Problema: Como dichos puntos pertenecen a lugar geométrico de la circunferencia cuya ecuación general es: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Entonces tenemos que sustituir a «x» y «y» en la ecuación anterior, así obtenemos tres ecuaciones con las variables A, B y C: Para P(3,-2): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (3)2+(−2)2+𝐴 3 + 𝐵 −2 + 𝐶 = 0 → 9 + 4 + 3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0 𝟑𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟑 (1) Para Q(4,0): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (4)2+(0)2+𝐴 4 + 𝐵 0 + 𝐶 = 0 → 16 + 4𝐴 + 0𝐵 + 𝐶 = 0 𝟒𝑨 + 𝟎𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟔 (2) Para R(0,5): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝟎 𝟐 + 𝟓 𝟐 + 𝑨 𝟎 + 𝑩 𝟓 + 𝑪 = 𝟎 → 𝟐𝟓 + 𝟎𝑨 + 𝟓𝑩 + 𝑪 = 𝟎 𝟎𝑨 + 𝟓𝑩 + 𝑪 = −𝟐𝟓 (3) Luego tenemos el sistema siguiente: 𝟑𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟑 (1) 𝟒𝑨 + 𝟎𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟔 (2) 𝟑 −𝟐 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 𝟓 𝟏 −𝟏𝟑 −𝟏𝟔 −𝟐𝟓
  • 3. Solución al Problema Nº 3 Paso 1: Empezamos a calcular el determinante del sistema (∆ 𝑺) ∆ 𝑺= 𝟑 −𝟐 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 𝟓 𝟏 Paso 2: Resolvemos este determinante por la Regla de Sarrus, es decir: a) Repitiendo filas 1 y 2 debajo de la fila 3: ∆ 𝑠= 3 −2 1 4 0 1 0 5 1 3 −2 1 4 0 1 = 20 − 7 → ∆ 𝐒= 𝟏𝟑 Ó b) repitiendo columnas 1 y 2 después de la 3: ∆ 𝑺= 𝟑 𝟖 𝟏 𝟗 𝟔 𝟏 𝟏𝟑 −𝟐 𝟏 𝟑 𝟖 𝟗 𝟔 𝟏𝟑 −𝟐 → ∆ 𝑺= 𝟑 𝟖 𝟏 𝟗 𝟔 𝟏 𝟏𝟑 −𝟐 𝟏 𝟑 𝟖 𝟗 𝟓 𝟏𝟑 −𝟐 = ∆ 𝑺= 𝟏𝟑 Debe dar igual, por lo que puedes usar cualquier método. 𝟑 −𝟐 𝟏 𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 𝟓 𝟏 −𝟏𝟑 −𝟏𝟔 −𝟐𝟓
  • 4. Solución al Problema Nº 3 Ahora debemos hallar el determinantes de las variables A, B y C, es decir: ∆ 𝑨= −𝟏𝟑 −𝟐 𝟏 −𝟏𝟔 𝟎 𝟏 −𝟐𝟓 𝟓 𝟏 → ∆ 𝑨= −𝟏𝟑 −𝟐 𝟏 −𝟏𝟔 𝟎 𝟏 −𝟐𝟓 𝟓 𝟏 −𝟏𝟑 −𝟐 −𝟏𝟔 𝟎 −𝟐𝟓 𝟓 ∆ 𝑨= 𝟑 ∆ 𝑩= 𝟑 −𝟕𝟑 𝟏 𝟗 𝟏𝟏𝟕 𝟏 𝟏𝟑 −𝟏𝟕𝟑 𝟏 → ∆ 𝑩= 𝟑 −𝟕𝟑 𝟏 𝟗 𝟏𝟏𝟕 𝟏 𝟏𝟑 −𝟏𝟕𝟑 𝟏 𝟑 −𝟕𝟑 𝟗 𝟏𝟏𝟕 𝟏𝟑 −𝟏𝟕𝟑 ∆ 𝑩= −𝟐𝟏 ∆ 𝑪= 𝟑 𝟖 −𝟕𝟑 𝟗 𝟔 𝟏𝟏𝟕 𝟏𝟑 −𝟐 −𝟏𝟕𝟑 → ∆ 𝑪= 𝟑 𝟖 −𝟕𝟑 𝟗 𝟔 𝟏𝟏𝟕 𝟏𝟑 −𝟐 −𝟏𝟕𝟑 𝟑 𝟖 𝟗 𝟔 𝟏𝟑 −𝟐 ∆ 𝑪= −𝟐𝟐𝟎 𝑨 = ∆ 𝑨 ∆ 𝑺 = 𝟑 𝟏𝟑 ; 𝑩 = ∆ 𝑩 ∆ 𝑺 = − 𝟐𝟏 𝟏𝟑 ; 𝑪 = − 𝟐𝟐𝟎 𝟏𝟑 Ahora se debe sustituir estos valores en la ecuación general, es decir:
  • 5. Solución al Problema Nº 3 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑥2 + 𝑦2 + 3 13 𝑥 + − 21 13 𝑦 − 220 13 = 0 𝟏𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏𝟑𝒚 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟐𝟐𝟎 = 𝟎 Luego la ecuación de la circunferencia es: 𝟏𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏𝟑𝒚 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟐𝟐𝟎 = 𝟎 Para llevarla a la ecuación ordinaria o usual se agrupa términos en «x» y en «y» y se busca configurarlo como trinomios notables, es decir: 𝟏𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏𝟑𝒚 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟐𝟐𝟎 = 𝟎 𝟏𝟑𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏𝟑𝒚 𝟐 − 𝟐𝟏𝒚 = 𝟐𝟐𝟎 → 𝟏𝟑 𝒙 𝟐 + 𝟑 𝟏𝟑 𝒙 + 𝟏𝟑 𝒚 𝟐 − 𝟐𝟏 𝟏𝟑 𝒚 = 𝟐𝟐𝟎 13 𝑥2 + 3 13 𝑥 + 9 676 − 13 · 9 676 + 13 𝑦2 − 21 13 𝑦 + 441 676 − 13 · 441 676 = 220 13 𝑥 + 3 26 2 + 13 𝑦 − 21 26 2 = 200 + 117 676 + 5733 676 𝑥 + 3 26 2 + 𝑦 − 21 26 2 = 5425 338
  • 6. Gráfica del Problema Nº 3 Para la representación gráfica utilizamos el software Geogebra