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PROBLEMAS QUE
ORIGINAN SISTEMAS DE
ECUACIONES
PROBLEMAS MECÁNICOS Y BIOLÓGICOS
LECCIÓN 33A
RESORTES ACOPLADOS
• Dos masas m1 y m2 descansan en una superficie horizontal sin fricción, están unidas entre sí y a
su vez a dos soportes fijos en los extremos por tres resortes no estirados s1, s2 y s3 con
constantes de resorte k1, k2 y k3 respectivamente.
• Saco conclusiones para la obtención del sistema de ecuaciones.
• O1 Y O2 son las posiciones de las masas m1 y m2 respectivamente antes de que se produzca el
movimiento mostrado en b).
• X1 es el desplazamiento de la masa m1 y X2 es el desplazamiento de la masa m2 todo esto en un
tiempo t.
• Como las masas se mueven los resortes s1 y s2 se elongarán.
• S1 se elongará una distancia x1 y S2 se elongará una distancia x2-x1
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE MOVIMIENTO M1
• La fuerza aplicada por S1 por la izquierda es –k1x1
• La fuerza aplicada por S2 por la derecha es k2(x2-x1)
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE MOVIMIENTO M2
• La fuerza aplicada por S2 por la izquierda es –k2(x2-x1)
• La fuerza aplicada por S3 por la derecha es –k3x2
SISTEMA DE ECUACIONES
SISTEMA CONSIDERANDO LA FRICCIÓN
• Considerando que existe una resistencia al movimiento con un coeficiente de fricción r1
y r2 para las masas m1 y m2 respectivamente.
RESOLUCION DEL SISTEMA
Si considero que k1=k2=k3 (todas las variables k tienen el mismo valor) puedo simplificar el sistema
de ecuaciones.
En caso de que los datos del problema me indiquen de que existan otras valores con los mismos
valores (m1=m2, r1=r2 o F1(t)=F2(t)) la resolución se puede simplificar aún más,
NOTACIÓN
La ecuación anterior puede reescribirse utilizando una diferente notación, extrayendo la variable y
asociando por factor común
En este momento tengo dos variables x1 y x2 en mi sistema de ecuaciones, analizamos que
podemos eliminar el x2 multiplicando la primera ecuación por (m2*D^2+r2*D+2k), la segunda por k y
sumando lo obtenido.
Debo notar de que ahora tengo una EDO lineal con una sola variable x1, esta la puedo resolver con
los métodos convencionales.
Una vez he determinado x1 puedo determinar x2 simplemente reemplazando x1 en la primera
ecuación del Sistema de ecuaciones y resolviendo esto para x2 sin añadir nuevas constantes. (c1,
c2, c3, c4, etc) puesto que existe un numero determinado de constantes requeridas para la resolución
del sistema, en este caso 4.
LECCIÓN 33B
AUGE Y CAÍDA DE POBLACIONES
• En la naturaleza hay una lucha constante por la supervivencia, una especie sobrevive comiendo a
miembros de otra, así aumenta su número, pero con esto también aumenta su consumo por tanto
disminuye la población comida, disminuyendo nuevamente la población de los depredadores.
• PROBLEMA:
• Tengo una población H de individuos, los cuales son huéspedes de una población P parasitaria, la
cual necesita poner huevos en H para reproducirse, lo que termina matando al huésped cuando el
parasito nace y se desarrolla.
• En este sistema debo definir ciertos elementos que son constantes, entonces defino los siguientes
valores para cada 100 individuos de cada población.
• a) Hb denota el número de nacimientos por año de la especie H.
• b) Hd denota el número de muertes por año de la especie H por muerte natural.
• c) Pd denota el número de muertes por año de la especie P parasitaria.
• El número de huevos puestos cada año es la misma cantidad de muertes de la población H por
culpa del parasito y la misma cantidad de nacimientos del mismo.
• Esta cantidad es proporcional a la probabilidad de que los miembros de ambas especies se
encuentren. Esta probabilidad depende de el producto entre la cantidad de miembros de ambas
poblaciones.
• K es la constante de proporcionalidad.
• Esta cantidad será la cantidad de muertes de H por el parasito , además de la cantidad de
nacimientos del mismo.
𝑘𝑥𝑦Δ𝑡
• Obtengo el sistema de ecuaciones para la x cantidad de individuos de la población H y para y
cantidad de individuos de la población P.
ECUACIONES DEL SISTEMA
SIMPLIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DEL SISTEMA
• Debido a que los valores Hb, Hd y Pd son constantes, el Sistema de ecuaciones se puede
simplificar un poco al decidir que:
• h=(Hb-Hd)/100
• p=Pd/100
• Entonces
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
• Debo considerar de que la ecuación anterior no es una ecuación diferencial, esta únicamente
relaciona las variables en un cierto intervalo de tiempo, para obtener una ecuación diferencial
divido las ecuaciones para delta(t) y hago que delta(t) tienda a cero.
• Entonces obtengo un sistema de dos ecuaciones no lineales de primer orden. Podemos obtener la
resolución del Sistema únicamente si conozco los valores de h, k y p, los cuales son dados en el
momento de plantear el problema
RESOLUCION DEL SISTEMA
La forma de resolver este Sistema es como una función implícita, para esto dividimos la segunda
ecuación por la primera , obtenemos.
A partir de esta ecuación característica obtendremos nuestra respuesta.
Integramos la ecuación, entonces
De donde resolviendo obtengo
C es el valor de la constante arbitraria en la solucion, esto lo puedo obtener puesto que conozco los
valores de X y Y cuando t=0, entonces
Debo considerar de que para resolver este Sistema debo tomar ciertas asunciones
respecto al problema.
Por ejemplo, si supongo que en un cierto momento en el tiempo la cantidad de individuos
de cada población esta determinada por
Esto será el punto de equilibrio para X yY respectivamente, entonces debería adicionar una
cierta desviación a este equilibrio
Esto lo sustituyo en el Sistema de ecuaciones original, entonces obtengo
Simplificando estas ecuaciones obtengo
Si asumo que X yY no son muy grandes entonces puedo descartar los terminos X*Y
La solucion de este caso esta dada por (Caso 2, Leccion 32)

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Problemas que originan sistemas de ecuaciones

  • 1. PROBLEMAS QUE ORIGINAN SISTEMAS DE ECUACIONES PROBLEMAS MECÁNICOS Y BIOLÓGICOS
  • 2. LECCIÓN 33A RESORTES ACOPLADOS • Dos masas m1 y m2 descansan en una superficie horizontal sin fricción, están unidas entre sí y a su vez a dos soportes fijos en los extremos por tres resortes no estirados s1, s2 y s3 con constantes de resorte k1, k2 y k3 respectivamente.
  • 3. • Saco conclusiones para la obtención del sistema de ecuaciones. • O1 Y O2 son las posiciones de las masas m1 y m2 respectivamente antes de que se produzca el movimiento mostrado en b). • X1 es el desplazamiento de la masa m1 y X2 es el desplazamiento de la masa m2 todo esto en un tiempo t. • Como las masas se mueven los resortes s1 y s2 se elongarán. • S1 se elongará una distancia x1 y S2 se elongará una distancia x2-x1
  • 4. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE MOVIMIENTO M1 • La fuerza aplicada por S1 por la izquierda es –k1x1 • La fuerza aplicada por S2 por la derecha es k2(x2-x1)
  • 5. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE MOVIMIENTO M2 • La fuerza aplicada por S2 por la izquierda es –k2(x2-x1) • La fuerza aplicada por S3 por la derecha es –k3x2
  • 7. SISTEMA CONSIDERANDO LA FRICCIÓN • Considerando que existe una resistencia al movimiento con un coeficiente de fricción r1 y r2 para las masas m1 y m2 respectivamente.
  • 8. RESOLUCION DEL SISTEMA Si considero que k1=k2=k3 (todas las variables k tienen el mismo valor) puedo simplificar el sistema de ecuaciones. En caso de que los datos del problema me indiquen de que existan otras valores con los mismos valores (m1=m2, r1=r2 o F1(t)=F2(t)) la resolución se puede simplificar aún más,
  • 9. NOTACIÓN La ecuación anterior puede reescribirse utilizando una diferente notación, extrayendo la variable y asociando por factor común En este momento tengo dos variables x1 y x2 en mi sistema de ecuaciones, analizamos que podemos eliminar el x2 multiplicando la primera ecuación por (m2*D^2+r2*D+2k), la segunda por k y sumando lo obtenido.
  • 10. Debo notar de que ahora tengo una EDO lineal con una sola variable x1, esta la puedo resolver con los métodos convencionales. Una vez he determinado x1 puedo determinar x2 simplemente reemplazando x1 en la primera ecuación del Sistema de ecuaciones y resolviendo esto para x2 sin añadir nuevas constantes. (c1, c2, c3, c4, etc) puesto que existe un numero determinado de constantes requeridas para la resolución del sistema, en este caso 4.
  • 11. LECCIÓN 33B AUGE Y CAÍDA DE POBLACIONES • En la naturaleza hay una lucha constante por la supervivencia, una especie sobrevive comiendo a miembros de otra, así aumenta su número, pero con esto también aumenta su consumo por tanto disminuye la población comida, disminuyendo nuevamente la población de los depredadores. • PROBLEMA: • Tengo una población H de individuos, los cuales son huéspedes de una población P parasitaria, la cual necesita poner huevos en H para reproducirse, lo que termina matando al huésped cuando el parasito nace y se desarrolla.
  • 12. • En este sistema debo definir ciertos elementos que son constantes, entonces defino los siguientes valores para cada 100 individuos de cada población. • a) Hb denota el número de nacimientos por año de la especie H. • b) Hd denota el número de muertes por año de la especie H por muerte natural. • c) Pd denota el número de muertes por año de la especie P parasitaria.
  • 13. • El número de huevos puestos cada año es la misma cantidad de muertes de la población H por culpa del parasito y la misma cantidad de nacimientos del mismo. • Esta cantidad es proporcional a la probabilidad de que los miembros de ambas especies se encuentren. Esta probabilidad depende de el producto entre la cantidad de miembros de ambas poblaciones. • K es la constante de proporcionalidad. • Esta cantidad será la cantidad de muertes de H por el parasito , además de la cantidad de nacimientos del mismo. 𝑘𝑥𝑦Δ𝑡
  • 14. • Obtengo el sistema de ecuaciones para la x cantidad de individuos de la población H y para y cantidad de individuos de la población P. ECUACIONES DEL SISTEMA
  • 15. SIMPLIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DEL SISTEMA • Debido a que los valores Hb, Hd y Pd son constantes, el Sistema de ecuaciones se puede simplificar un poco al decidir que: • h=(Hb-Hd)/100 • p=Pd/100 • Entonces
  • 16. SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES • Debo considerar de que la ecuación anterior no es una ecuación diferencial, esta únicamente relaciona las variables en un cierto intervalo de tiempo, para obtener una ecuación diferencial divido las ecuaciones para delta(t) y hago que delta(t) tienda a cero. • Entonces obtengo un sistema de dos ecuaciones no lineales de primer orden. Podemos obtener la resolución del Sistema únicamente si conozco los valores de h, k y p, los cuales son dados en el momento de plantear el problema
  • 17. RESOLUCION DEL SISTEMA La forma de resolver este Sistema es como una función implícita, para esto dividimos la segunda ecuación por la primera , obtenemos.
  • 18. A partir de esta ecuación característica obtendremos nuestra respuesta. Integramos la ecuación, entonces De donde resolviendo obtengo
  • 19. C es el valor de la constante arbitraria en la solucion, esto lo puedo obtener puesto que conozco los valores de X y Y cuando t=0, entonces
  • 20. Debo considerar de que para resolver este Sistema debo tomar ciertas asunciones respecto al problema. Por ejemplo, si supongo que en un cierto momento en el tiempo la cantidad de individuos de cada población esta determinada por Esto será el punto de equilibrio para X yY respectivamente, entonces debería adicionar una cierta desviación a este equilibrio
  • 21. Esto lo sustituyo en el Sistema de ecuaciones original, entonces obtengo Simplificando estas ecuaciones obtengo
  • 22. Si asumo que X yY no son muy grandes entonces puedo descartar los terminos X*Y La solucion de este caso esta dada por (Caso 2, Leccion 32)