proporcionalidad directa - karina moraes

Trinity School Eruditio et Religio
“GUIA PARA EL APRENDIZAJE Nº 3”
Nombre: Fecha: / /
Curso: 1° Medio Profesora: Miss Karina E. Morales Carrasco Unidad: Variaciones Proporcionales
Objetivo:
 Representar situaciones de proporcionalidad directa a través de diversos registros: tablas de valores,
gráficos, fórmulas.
 Resolver problemas de proporcionalidad directa.
 Relacionar la proporcionalidad directa con cociente constante .

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Al analizar algunas tablas y gráficos podrás descubrir algunas relaciones matemáticas
entre los datos. Considera, por ejemplo, la siguiente situación: se abre una llave y se
deja caer el agua dentro de un recipiente vacio. La tabla que se presenta a
continuación nos muestra el volumen de agua que va quedando en el recipiente según
va transcurriendo el tiempo.

Es natural esperar que si en 5 segundos la llave
lleno un volumen de 200 cc, en el doble de ese
tiempo (10 s) llene el doble de ese volumen (400
cc) ; en el triple de ese tiempo (15 s) llene el
triple (600 cc), etcétera.

Observamos entonces que la razón entre dos valores de la columna izquierda de la
tabla es igual a la razón entre los correspondientes valores de la columna derecha.

Cuando dos magnitudes variables relacionadas de esta manera, decimos son directamente proporcionales o
que varían proporcionalmente.

En Resumen:
A es directamente proporcional a B, o varia proporcionalmente a B, si la razón entre dos valores de A es
igual a la razón de los correspondientes valores de B.

COCIENTE CONSTANTE

Otra observación de la situación anterior, permite darnos cuenta de que el cociente entre los valores
correspondientes de volumen y tiempo es siempre igual a 40.

Notarás que el valor de este cociente corresponde a la cantidad de agua que entra al recipiente cada segundo
y es siempre el mismo valor debido a que el chorro de la Volumen Tiempo (s) cociente
llave es constante. (cc)
200 5 200: 5 = 40
Normalmente se llama a cociente “caudal de la llave”. 400 10 400 : 10 = 40
En este caso diremos que la llave tiene un caudal de 600 15 600 : 15 =40

40 cc por segundo 40 . 800 20 800 : 20 = 40

Lo que acabamos de hacer nos permite determinar una fórmula que describe esta situación. En efecto, si

representamos por V el volumen de agua en el recipiente y por T el tiempo transcurrido, entonces = , o
equivalentemente, = ∙ T. Esta fórmula te permitiría calcular el volumen en un tiempo cualquiera; por
ejemplo, a los 15 segundos, el volumen será = · = .

Miss Karina Morales C. Página 1 Unidad: Variaciones Proporcionales


En Resumen:
Diremos que dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si el cociente entre ellas es
constante, y a este cociente K lo llamaremos constante de proporcionalidad.
En nuestro ejemplo, k = 40.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Volvamos a considerar la situación de la llave que llena un depósito. La tabla que teníamos era la siguiente:
Tiempo (s) Volumen(cc)
5 200 Recuerda que obtuvimos la formula que describe esta situación:
10 400 = 40
15 600
20 800

Ahora construiremos un grafico que nos permita visualizar la relación entre las variables involucradas.
Pondremos los valores de T en el eje horizontal y los valores de V en el eje vertical. Representaremos luego
las parejas de valores (5, 200), (10, 400), (15, 600), etc., por puntos que, posteriormente, uniremos con una
línea.

Observa que ambas variables son cuantitativas y continuas

Como puedes ver, el gráfico que representa esta situación es una línea recta. Esta recta pasa por el origen
del sistema de coordenadas (0, 0), puesto que cuando la variable T toma el valor cero (momento en que
comencemos la medición), el depósito está vacío, es decir, V= 0.

La constante de proporcionalidad (K = 40 ) está relacionada
con la inclinación de la línea. Esto lo puedes entender como:
un “paso” en sentido horizontal equivale a 40 “pasos” en
sentido vertical. Aunque este estudio lo profundizaras más
adelante, por ahora basta que comprenderás, por ejemplo, que
una llave con menor caudal, es decir, que arroja menos agua
por unidad de tiempo, quedaría representada por una recta más
cercana al eje horizontal, como se aprecia en el grafico de la
izquierda.



En Resumen:
Si X e Y son dos variables directamente proporcionales, cuya relación queda representada por = ,
donde k es la constante de proporcionalidad, el grafico correspondiente es una Linea recta que pasa por
el origen del sistema (si x = 0, entonces, = · 0 = 0 ).
En un grafico como este, el valor de la constante de proporcionalidad está relacionado con el grado de
inclinación con respecto al eje horizontal.

EJERCICIOS

1- A varia proporcionalmente a B. Si A = 20 cuando B=4, calcula.
a) El valor de A cuando B = 1,5
b) El valor de B cuando A=15
2- Si Z varia proporcionalmente a X, completa la siguiente tabla.

Z 4 16

X 1 3 1
5
2

3- La impresora de un colegio imprime 54 informes de notas en 3 minutos. ¿Cuántos informes imprime
en 1 minuto? ¿ Cuánto tiempo demora en imprimir los informes de los 2.745 alumnos del colegio?.
4- Un vehículo recorre 150 kilómetros en 2,5 horas. ¿Cuántos kilómetros recorre en 4 horas, si su rapidez
es constante?
5- V varia proporcionalmente al cubo de R y V=16 cuando R=2.
a) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad?
b) Escribe la expresión algebraica que conecta las variables V y R.
c) Completa la tabla en tu cuaderno

V 16 128
R 1 2 11

6- En un experimento, los valores de las variables A y B fueron los siguientes:

A 4 32 62,5
B 2 4 5

a) Si K representa un valor fijo, ¿Cuál de las siguientes expresiones describe a relación que se dio entre
estas variables?
I. =
II. = 2
III. = 3
b) ¿Cuánto vale K?
7- Un estanque se puede llenar por la acción de cualquiera
de las tres llaves de alimentación que posee. En el
grafico siguiente se refleja la rapidez con que se llenaría
es estanque dependiendo de la llave que se abra.
a) ¿Cuál de las tres llaves demorara más tiempo en llenar
el estanque?
b) ¿Cuántos litros por minuto arroja cada una de las
llaves?
c) Si la capacidad del estanque es de 5.250 litro, ¿Cuánto
tiempo demoraran en llenar el estanque las tres llaves
juntas?



8- Carolina teje chalecos y los vende en una feria artesanal. Ella
confecciono un grafico para comprar el dinero que debe invertir
para hacer funcionar su negocio (costos) con el dinero que
contiene por la venta de sus chalecos (ingresos).
a) Determina a cuánto ascienden los costos y los ingresos si
vende 3 chalecos en una semana.
b) ¿Cuál es el mínimo número de chalecos que se debe vender
en una semana para que el negocio genere ganancias?
c) Aunque Carolina no teja ni venda ningún chaleco debe
pegar el arriendo del local que ocupa en la feria (costo fijo), lo que también está considerado en la
recta de costos. ¿Cuánto paga semanalmente por el arriendo del local?

9- Comprueba si los siguientes tríos de números son directamente proporcionales.

A B A B A B A B
1 60 4 1 1 8 12 3
5 30 2 16 24 12
7 1
8 48 3 26 36 18
9 1

10- Calcula el valor de p y q en los siguientes tríos de números, sabiendo que son directamente
proporcionales.

A B A B A B A B
2 8 9 3 p 15 20 P
3 q P 12 16 30 27 18
P 24 27 Q 32 q q 34

11- Si M varia proporcionalmente a N, completa los siguientes recuadro de la tabla.

M 5 45
N 1 8 1
4
2

M 1 30
3
2
N 32 7 4,8

M 3 7
3
4
N 30 17,5 36,25

M 5 1 12,5
2
N 7,5 10
2


12- En una ofertas de disco compacto se publicita la siguientes ofertas:

1 CD x $ 8.000 y CD x $ 24.000

En esta situación:

a) ¿Están las variables en proporcionalidad directa? ¿Por qué?
b) Si las variables son directamente proporcionales, ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
c) En este tipo de oferta conviene que las variables sean directamente proporcionales.

13- Las variables x e y son magnitudes directamente proporcionales. Si x=30 cuando y=6, ¿Cuál es el
valor de x, cuando y =3?
14- Determina con cada caso si las magnitudes involucradas son directamente proporcional.

a) El numero de hojas de un libro y su peso.
b) El lado del cuadrado y su perímetro.
c) La cantidad de hijos y el gasto en educación.
d) El costo de un kilógramo de naranja y la cantidad de naranjas que compran la persona.
e) El caudal de una llave y lo que demora en llenar un recipiente.
f) La masa y la edad de una persona.
g) La distancia recorrida y el tiempo que demoro en recorrerla.

15- Resuelve los siguientes problemas.

a) Doce metros de género cuestan $2.400 ¿Cuántos cuestan 5 metros?
b) Diez obrero cavan, en cinco horas, una zanja de 60 m de longitud. ¿cuantos metros cavaran en el
mismo tiempo 42 obrero trabajando en las mismas condiciones?
c) Si una persona de 1,85 m de altura proyecto una sombra de 1,35 m de longitud, calcula la altura
de un árbol que en mismo instante proyecta una sombra de 20 metros.
d) Un camión tiene un rendimiento de 20,5 km/L ¿Cuántos litros consumirá en un trayecto de 580
km?
e) Si se gastan $ 40.000 para llenar un estanque (36 L) de bencina de un auto, ¿Cuántos litros se
pueden comprar si se disponen de $ 12.000?
f) Veinte secretarias escriben 250 cartas al día. ¿Cuántas cartas escribirán 15 secretarias?
g) Una persona camina 35 km en 3 horas. ¿Cuánto camina en 4,5 horas?
h) Dos personas arriendan una hacienda. Una de ellas ocupa de la hacienda y paga $ 120.000 al mes.
¿Cuánto le corresponde pagar mensualmente a la otra persona?
i) En 16 cajas hay 112 cajas ¿De fósforos se deben disponer para 60 cajas?
j) El 2 de ciertas alfombras de la lana cuesta $ 47.500. ¿cuánto costara una alfombra de 60 x 50
cm?
k) Un tarro de pintura alcanza para pintar 60 2 de superficie. ¿Cuánto tarros se necesitan para
pintar paredes de una sala de estar si sus dimensiones son 3 m de largo, 4 m de ancho y 2 m de
alto?
l) Si un tarro de pintura equivale a 4,125 L, ¿Cuántos litros se ocupan en pintar la sala de estar con
tres manos de pintura?

16- Completa el siguiente grafico entre las variables: “kilogramos de pan” y “dinero gastado en pan”, si
cada se gastan $ 700.

a) Responde las siguientes preguntas utilizando el grafico y
estableciendo una proporción. ¿Cuánto dinero se gasta en
pan durante 6 días?
b) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad,
(costo/kilogramos)?


17- El costo de un taxi es de $ 200 la bajada de bandera, más $ 60 por 200 m recorrido.

a) Completa el siguiente grafico con los datos
anteriores.

b) Existe proporcionalidad directa entre las va
variables. ¿Por qué?

c) ¿Cuánto hay que cancelar si la distancia recorrida es
de 1 km? ¿y si es de 800 m? ¿y si es de 200m?


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