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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN.
ESCUELA DE EDUCACIÓN
ÀREA MATEMÁTICA.
CÁTEDRA TALLER DE GEOMETRIA.

PROPUESTA DE ORIENTACION DIDACTICA PARA LA ENSEÑANZA Y
APRENDIZAJE DEL TEOREMA DE PITAGORAS DIRIGIDA A
ESTUDIANTES DE TERCER AÑO DE EDUCACIÓN MEDIA GENERAL DEL
LICEO BOLIVARIANO LLANO EL ANIS, MUNICIPIO SUCRE, ESTADO
MÉRIDA.

Bachilleres:

Del Rosario P. Grecia S. C.I: 21.332.174
Zambrano F. Luis G. C.I: 20.287.937
Prof. Yazmary Rondón

MÉRIDA, NOVIEMBRE DE 2013.
INTRODUCCION
La propuesta aplicable al manejo, utilización y el resolución del Teorema de
Pitágoras a los estudiantes del Tercer Año de Educación Media General, como
aspecto fundamental de la actividad en los contenidos del área de matemática
consiste en resolver problemas a partir de las herramientas matemáticas que a
medida del curso se van dando a conocer para luego saberlas utilizar.
Desarrollando la necesidad del pensamiento geométrico de los estudiantes, así
como el conocimiento del

plano y la necesidad de desarrollar habilidades

geométricas como la visual, verbal, gráfica, lógica y aplicada.
Se aborda la misma considerando algunas definiciones y antecedentes previos
a esta investigación que sirvieron de apoyo para ampliar el conocimiento sobre
la temática, como es el caso de la definición de planificación que en una acción
donde se diseñan actividades para estimular al estudiante en el aprendizaje
según, estrategias, métodos y materiales organizados para el logro de objetivos
propuestos.
Para la ejecución de esta propuesta nos guiamos siguiendo uno de los modelos
de enseñanza de la geometría quizás el de mayor renombre, realizado por los
esposos holandeses Van Hiele llamado “Modelo Van Hiele”, permitiéndonos
conocer los niveles de razonamiento geométrico que obtienen los estudiantes
al resolver actividades que tienen a desarrollar el pensamiento geométrico.
Siguiendo el modelo a utilizar, dicha propuesta se ha estructurado en varias
fases que van a desarrollarse en un período de 3 clases con un total de 4 horas
30 minutos guiándonos por un patrón y por materiales para hacer más
armónica la adquisición del conocimiento del tema.
OBJETIVO GENERAL.

Establecer nuevas estrategias entre el profesor y los estudiantes para que
optimicen el proceso de enseñanza y aprendizaje del Teorema de Pitágoras.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

-

Diagnosticar las estrategias utilizadas por el profesor de tercer año de
Educación Media General del Liceo Bolivariano Llano El Anís.

-

Ejecutar las estrategias planificadas según las fases de enseñanza para
mejorar el proceso de enseñanza y aprendizaje del Teorema de
Pitágoras.

-

Aplicar un recurso didáctico para promover el conocimiento del Teorema
de Pitágoras en los estudiantes del tercer año de Educación Media
General.
UNIDAD DIDACTICA: TEOREMA DE PITAGORAS.

Planificación de clases y fases de enseñanza según el modelo de Van
Hiele.
Nº de clase: 1 – Tiempo: 1hora 30 minutos.
Fase 1: Información y
Fase 2: Orientación dirigida.

Inicio: Se inicia la clase con el respectivo saludo, y se realiza la
presentación, dando luego una breve explicación de cuál es el contenido
que se va a tratar a lo largo de la clase.
Desarrollo:
Fase 1: Se pide a los estudiantes que formen grupos de cuatro (4)
personas, se le procede a entregar una serie de fichas para realizar la
identificación de las figuras que se presentan y de esta manera apreciar
el conocimiento. Luego se pide a los estudiantes que recuerden en que
cosas del entorno se encuentran presente ciertas figuras.
Fase 2: se recogerán opiniones de los estudiantes acerca de los
triángulos, para que a través de una lluvia de ideas ellos mismos
construyan su propio concepto, seguidamente, se les explicará el
concepto de triángulo.
Punto: El punto es una figura geométrica adimensional: no tiene
longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto
físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un
sistema de coordenadas preestablecidas.

Punto A

•A

Segmento: es una parte de la recta, está conformado por dos puntos,
llamados puntos extremos o finales y todos los puntos entre éstos.
●

●

A

B

Recta: la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección,
existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta
de infinitos segmentos. También se describe como la sucesión continua
e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee
principio ni fin.

Plano: un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y
contiene infinitos puntos y rectas; son conceptos fundamentales de la
geometría junto con el punto y la recta.

Nota: Cabe aclarar que estas son características del punto, la recta y el
plano para representados, pues son conceptos primitivos, es decir, que
no se pueden definir.
Angulo: Figura formada por dos semirrectas que parten del mismo
punto inicial. A las dos rectas se les denomina lados del ángulo y al
punto inicial se le llama vértice del ángulo. El símbolo del ángulo es
C
β
A

B

.
Triángulo: es un polígono de tres lados. El triángulo está determinado
por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos
no alineados llamados vértices.
A

B

C

Área del Triangulo: El área de un triángulo es igual a la mitad del
producto de una base (un lado) por la altura a esa base.

Ejemplo:

4

3
Triangulo Rectángulo: Se llama triángulo rectángulo a todo triángulo
que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90º, a los lados que
forman el ángulo recto se les llama catetos y al tercer lado se le llama
hipotenusa.
En un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras: Es razonable pensar que los primeros orígenes
de la Geometría se encuentran en los mismos orígenes de la
humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba aun de
manera inconsciente los objetos que le rodeaban según su forma. En la
abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento informal e
intuitivo a la Geometría.
Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos
conocimientos geométricos de carácter muy práctico. Estos son
esencialmente algunas fórmulas -o mejor dicho algoritmos expresados
en forma de ""receta""- para calcular áreas y longitudes. La finalidad era
práctica, pues se pretendía con ello calcular la producción proporcional
de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las
parcelas de tierra después de las inundaciones del Rio Nilo.
Por tanto, “Pitágoras de Samos (580 a. C. – 495 a. C.) Fue un filósofo y
matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó
de manera significativa en el avance de la matemática, la geometría y la
aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y
aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la
música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica,
una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente
religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética
y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que
influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más
general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía
racional en Occidente”, en la geometría nos enseña en su propio
Teorema.
Ejemplo:
Cierre: se les pide a los estudiantes que expresen como les pareció la
clase y que digan que fue lo que se aprendió en la clase.
Nº de clases: 2 – Tiempo: 1hora 30 minutos.

Fase 3: Explicitación.
Inicio: se inicia la clase con el respectivo saludo, se pide a los
estudiantes que formen grupos de cuatro (4) y se procede a recordar lo
que se hizo en la clase anterior.
Desarrollo:

se

procede

a

entregar

un

rompecabezas,

dándole

previamente las instrucciones del juego que van a ejecutar para que
ellos puedan comprobar que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los dos catetos del triangulo recto.
Instrucciones del rompecabezas:
Entregar a cada grupo una hoja con la figura que se va a
construir.
Deben ordenar las piezas indicadas para cada cateto.
Cada grupo tiene 30 minutos para realizar la actividad.
Realizar un pequeño informe que describa la actividad realizada.
Una vez realizada la actividad se procederá a explicar el ejercicio del
rompecabezas a través de la fórmula para verificar que se cumple lo
planteado.
Se resuelve el ejerció sustituyendo los valores de los catetos en la fórmula para
así luego encontrar el valor de la hipotenusa y comprobar que es la misma
cantidad que se presento en el rompecabezas.
Fase 4: Orientación libre.
Se le da una serie de ejercicios y problemas de la vida cotidiana donde los
estudiantes deben aplicar la fórmula del Teorema de Pitágoras utilizando sus
niveles de conocimiento de la explicación y ejecución del problema antes
resuelto, siguiendo las siguientes instrucciones:
Cada estudiante debe sacar una hoja, lápiz y borrador.
Se le dará una serie de cinco (5) ejercicios que deben ser resueltos de
manera individual.
Teniendo un tiempo de veinticinco (25) minutos para resolverlos.
Después de pasado el tiempo los resolvemos en la pizarra y que ellos
mismos se den cuenta de cuáles son los errores que han cometido si es
que los tienen.
Cierre: se les pide a los estudiantes que expresen como les pareció la clase y
que lograron aprender, leyendo uno de cada grupo el informe de la actividad
del rompecabezas.

Nº de clases: 3 – Tiempo: 1 hora 30 minutos.
Fase 5: Integración: Recurso Didáctico.
Inicio: se inicia la clase con el respectivo saludo, se les pide a los estudiantes
que se formen en grupo de tres (3), seguidamente recordando todo lo
acontecido del día anterior.
Desarrollo: se procede a entregar a cada grupo un trozo de cuerda, marcador y
una cinta métrica; para emplearlos en el Teorema de Pitágoras, a cada grupo le
corresponderá una actividad diferente.
ACTIVIDAD 1: Junto con a sus compañeros toman la cuerda, con el marcador
deben dividen la cuerda según los valores en partes iguales, en cada marca se
hace un pequeño nudo teniendo cuidado de mantener la misma longitud.
Utilizando la cuerda formamos un triangulo rectángulo, después deben
comprobar utilizando la ecuación del Teorema de Pitágoras.
ACTIVIDAD 2: Se le pide a los estudiantes que junto a sus compañeros tomen
la cinta métrica y midan el marco de alguna ventana del salón, midiendo de
forma horizontal y vertical para de esta manera obtener valores y determinar el
valor de la hipotenusa haciendo uso del teorema de Pitágoras.
ACTIVIDAD 3: Siguiendo los pasos de la actividad 2 pero en este caso el
objeto de estudio será la puerta.
Nota: En caso de haber varios grupos se realizará la misma actividad utilizando
diferentes valores y objetos del salón. Ejemplo: pizarrón, mesas, sillas entre
otros.
Para concluir con la actividad daremos a conocer de forma física que en todo
triangulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al área
del cuadrado de la hipotenusa. Construyendo con cartulina la siguiente figura.
Dejando unas pequeñas aberturas para así de esta manera llenar las cajas con
arroz. Y de esta manera demostrar lo planteado.
ACTIVIDAD 1:
ACTIVIDAD 2:

RECURSO DIDACTICO:
Niveles de Razonamiento:
Nivel 1: Visualización y Reconocimiento.
Los estudiantes deben reconocer los triángulos en las figuras y formas que
están a su alrededor, logrando identificarlas y señalar cuáles son sus
elementos.
Nivel 2: Análisis.
Los estudiantes deben percibir las propiedades de los triángulos de manera
lógica sin la presencia de la figura, como saber que un triangulo posee 3 lados,
3 vértices y 3 ángulos, que existen varios tipos de triángulos según la medida
de sus ángulos y de sus lados.
Nivel 3: Ordenación o Clasificación.
En este nivel ya los estudiantes deben ordenar los conocimientos previos para
la construcción del triangulo ayudados por el facilitador en este caso nosotros
como preparadores del tema, le explicaremos a partir de que se forma un
triangulo; y sobre todo a la implementación de el Teorema de Pitágoras para su
demostración.
Nivel 4: Razonamiento Deductivo.
Luego de siguiente paso de la clasificación de los conocimientos, los
estudiantes deben ellos mismos formar a partir de los conceptos, definiciones
que les hemos dado formar su propia demostración para luego radicalizar lo
que es la utilización del Teorema de Pitágoras en los triángulos. En este nivel lo
introduciremos de manera no tan explícita para que a los estudiantes se les
haga de manera fácil la abstracción de contenido.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Tomando en cuenta los aportes obtenidos como producto del análisis de los
resultados alcanzados con la aplicación de la propuesta, se llegó a las
siguientes conclusiones y recomendaciones, como respuesta a cada uno de
los objetivos planteados; en este sentido, se expone lo siguiente:
Conclusiones:
Al efectuar el diagnóstico en el área de Matemáticas a los estudiantes
del Tercer Año de Educación Media General del Liceo Bolivariano “Llano
El Anís”, se concluye que enfrentan

dificultades al desarrollar

contenidos en cuanto al Teorema de Pitágoras, debido a la falta de
práctica que se hace en el aula y al desconocimiento de procedimientos
y estrategias que les permitan desarrollar habilidades para superar las
limitaciones que poseen para conceptuar, razonar, analizar y sintetizar,
entre otras.
Al ejecutar estrategias planificadas que faciliten a los estudiantes el
aprendizaje de la matemática, se concluye que son necesarias, esto
implica la definición de nuevas estrategias psicopedagógicas con las
cuales los educandos aprendan a desarrollar su pensamiento, además,
para contribuir a un mejor desempeño, por lo tanto el perfeccionamiento
de los docentes en el uso de técnicas y estrategias metodológicas,
pedagógicas y didácticas es fundamental.
Al aplicar el recurso didáctico se vio de parte de los estudiantes un gran
interés y motivación, siendo esto algo innovador que les atrajo y les
causó asombro de lo que ellos podían descubrir. Es así como, utilizando
estrategias didácticas para disminuir la problemática en el grado del
objeto de estudio, se concluye que los estudiantes muestran más interés
y participan de manera más positiva en el desarrollo de los contenidos
del área de matemática, cuando las actividades están vinculadas a su
entorno, a su quehacer y a sus necesidades, es decir, cuando las
estrategias van acompañadas de actividades significativas, su actitud,
motivación

y su desempeño en el desarrollo de las mismas es

notablemente diferente a cuando la docente solo emplea la pizarra para
la clase.

Recomendaciones:
Las

siguientes

recomendaciones

fueron

concebidas

con

la

finalidad

de proporcionar aportes que sirvieran para minimizar la problemática:
A los docentes evitar usar únicamente una o dos técnicas para la
enseñanza del Teorema de Pitágoras. En su lugar aplicar la mayor
cantidad de técnicas posibles que faciliten la comprensión por parte del
estudiante.
Los docentes deben actualizarse en conocimientos teóricos- prácticos
en cuanto a las distintas formas de planificar de acuerdo a las técnicas,
métodos y estrategias que sirvan de guía para atraer la atención de los
estudiantes y desarrollar de forma positiva la enseñanza del Teorema de
Pitágoras entre otros contenidos, para romper con los patrones actuales
de repetición y dictado.
Fomentar la participación activa del estudiante en la toma de decisiones
en relación a la planificación de los proyectos y las actividades, a fin de
involucrarlo de manera más eficaz, para que sienta que participa en su
proceso de aprendizaje.
Finalmente que el docente este bien empapado en cuanto al tema a
tratar y tener una buena planificación para que eviten la improvisación y
el mal manejo de los contenidos, ayudándose con materiales de apoyo
que hoy en día ofrece el sistema educativo regional y nacional como lo
son las Canaimas, Colección Bicentenario, Aulas Virtuales, Tic’s, entre
otros, para así potenciar el desarrollo social y humano a través de la
actividad con su atributo esencial: el ser actividad productiva y
transformadora.
REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS

Ministerio del Poder Popular para la Educación, (2012). Colección Bicentenario.
La matemática de la belleza. TERCER AÑO. Educación Media. Caracas:
autor.
ANEXOS
Universidad de Los Andes
Facultad de Humanidades y Educación
Escuela de Educación
Departamento de Medición y Evaluación
Cátedra: Taller de Geometría
Mérida – Venezuela

Cuestionario de Base Estructurado dirigido a docentes del Área de Matemática en servicio de
Tercer Año de Educación Media General con el propósito de recabar información relacionada
con el rendimiento estudiantil sobre el contenido del Teorema de Pitágoras.
Nombre y Apellido: ____________________________________
Institución: ___________________________________________
Área de Especialización:________________________________
Instrucciones Generales:
a. Usar lápiz tinta..
b. Leer detalladamente cada pregunta.
c. A continuación se le presenta un cuestionario con una serie de preguntas relacionadas
con el contenido del Teorema de Pitágoras.
1. Incluye en su contenido el Teorema de Pitágoras.
SI ______ NO _____
2. En caso de que su respuesta anterior sea afirmativa diga que estrategia
utiliza:________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________________________________________
3. En caso de que su respuesta anterior sea negativa, indique las causas por las cuales
no
lo
aplica:________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________________________________________
4. Si
utiliza
alguna
estrategia
diga
de
que
tipo
es
:_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
__________________________________________________
5. Si el contenido indicado no se aplica diga las consecuencias que genera
:_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
__________________________________________________
6. En
que
lapso
del
año
escolar
aplica
este
contenido:______________________________________________________
7. ¿Cuántas
horas
académicas
emplea
para
explicar
este
contenido?______________________________________________________
8. ¿Considera usted que la estrategia que utiliza para el desarrollo de este contenido es
la
adecuada?
Justifique
su
respuesta_____________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________________________________________
9. ¿Qué
resultado
obtiene
con
la
estrategia
aplicada?_____________________________________________________________
_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Universidad de Los Andes
Facultad de Humanidades y Educación
Escuela de Educación
Departamento de Medición y Evaluación
Cátedra: Taller de Geometría
Mérida – Venezuela
Cuestionario de Base Estructurado dirigido a estudiantes de tercer año de Educación
Media General con el propósito de recabar información relacionada con el rendimiento
estudiantil sobre el contenido del Teorema de Pitágoras
Nombre y Apellido: ____________________________________
Institución: ___________________________________________
Instrucciones Generales:
d.
e.
f.
g.

Usar lápiz piedra.
Juego geométrico.
Leer detalladamente cada pregunta.
A continuación se le presenta una serie de preguntas relacionadas con dicho
contenido.

10. ¿Conoce el Teorema de Pitágoras?
SI ______ NO _____
11. Si su respuesta es afirmativa de una breve definición del Teorema de
Pitagoras:_______________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
______
12. En caso de que su respuesta sea negativa diga el por qué desconoce el
Teorema de
Pitágoras:_______________________________________________________
_______________________________________________________________
____
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
____
13. Crear un triangulo rectángulo e identificar cual es la hipotenusa, cuales son los
catetos y cuál es el ángulo de 90º.

14. Con la representación anterior señale los vértices y de nombre a cada uno de
ellos.
15. diga cuál de estas ecuaciones se utiliza para hallar el área del triangulo.

16. En el siguiente triangulo rectángulo si a=12 y b=16 entonces c=?.

17. La longitud de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es 17 y la de una de
los catetos es 15 ¿Calcular el cateto que falta?

18. Con respecto al ejerció anterior dado los mismos valores ¿Calcular el área del
triangulo?.
RESULTADOS

OBTENIDOS

DE

LA ENCUESTA DIRIGIDA

A

LOS

ESTUDIANTES DEL TERCER AÑO DE EDUCACION MEDIA GENERALEN
EL LICEO BOLIVARIANO “LLANO EL ANIS”, MUNICIPIO SUCRE, ESTADO
MERIDA.

CON

EL

PROPOSITO

DE

RECABAR

INFORMACION

RELACIONADA CON EL TEOREMA DE PITAGORAS.
Nº ITEMS
SI

NO

NO RESPONDIO

54

3

2

BUENO

MALO

REGULAR

NO RESPONDIO

27

1

20

6

6

2
NO LO DIERON

NO RESPONDIO

3

56

3
BUENO

MALO

REGULAR

NO RESPONDIO

49

1

0

9

5

21

10

0

28

6

18

20

0

21

7

13

21

0

25

8

7

11

0

41

9

6

0

0

53

4

FUENTE: ZAMBRANO Y DEL ROSARIO (2013).
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN.
ESCUELA DE EDUCACIÓN
ÀREA MATEMÁTICA.
CÁTEDRA TALLER DE GEOMETRIA

EJERCICIOS DEL TEOREMA DE PITAGORAS.

1. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
y
respectivamente?

2. Una escalera de 10m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la
escalera dista 6m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

10m

6m
3. ¿Calcula la longitud de una cinta transportadora que avanza 32 m de forma
horizontal y asciende 24 m de forma vertical? Realizar el grafico.
4. Los catetos de un triángulo
5. equilátero miden 3 unidades de longitud cada uno ¿Cuánto mide su
hipotenusa?
6. Calcula el lado desconocido de cada uno de los siguientes triángulos.
Explicación y dándoles relaciones de figuras
geométricas con su entorno.

Exposición de conceptos y definiciones primitivas
para la construcción del Teorema de Pitágoras.
Construcción del rompecabezas y utilización de la
fórmula del Teorema de Pitágoras para hallar la
hipotenusa y así ver que el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma del cuadrado de los catetos del
triangulo rectángulo.

Resolución de ejercicios planteados utilizando el
Teorema de Pitágoras en problemas de la vida
cotidiana.
Exposición y utilización del recurso didáctico dirigido
a los estudiantes del Tercer Año del Liceo Bolivariano
“Llano El Anís”.

Recurso didáctico de manejo fácil para estrategia del
Teorema de Pitágoras

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1. Propuesta de Orientación Didáctica para la Enseñanza y Aprendizaje del Teorema de Pitágoras dirigida a Estudiantes de Tercer Año de Educación Media General del Liceo Bolivariano "Llano El Anís", Municipio Sucre, Estado Mérida.

  • 1. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN. ESCUELA DE EDUCACIÓN ÀREA MATEMÁTICA. CÁTEDRA TALLER DE GEOMETRIA. PROPUESTA DE ORIENTACION DIDACTICA PARA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DEL TEOREMA DE PITAGORAS DIRIGIDA A ESTUDIANTES DE TERCER AÑO DE EDUCACIÓN MEDIA GENERAL DEL LICEO BOLIVARIANO LLANO EL ANIS, MUNICIPIO SUCRE, ESTADO MÉRIDA. Bachilleres: Del Rosario P. Grecia S. C.I: 21.332.174 Zambrano F. Luis G. C.I: 20.287.937 Prof. Yazmary Rondón MÉRIDA, NOVIEMBRE DE 2013.
  • 2. INTRODUCCION La propuesta aplicable al manejo, utilización y el resolución del Teorema de Pitágoras a los estudiantes del Tercer Año de Educación Media General, como aspecto fundamental de la actividad en los contenidos del área de matemática consiste en resolver problemas a partir de las herramientas matemáticas que a medida del curso se van dando a conocer para luego saberlas utilizar. Desarrollando la necesidad del pensamiento geométrico de los estudiantes, así como el conocimiento del plano y la necesidad de desarrollar habilidades geométricas como la visual, verbal, gráfica, lógica y aplicada. Se aborda la misma considerando algunas definiciones y antecedentes previos a esta investigación que sirvieron de apoyo para ampliar el conocimiento sobre la temática, como es el caso de la definición de planificación que en una acción donde se diseñan actividades para estimular al estudiante en el aprendizaje según, estrategias, métodos y materiales organizados para el logro de objetivos propuestos. Para la ejecución de esta propuesta nos guiamos siguiendo uno de los modelos de enseñanza de la geometría quizás el de mayor renombre, realizado por los esposos holandeses Van Hiele llamado “Modelo Van Hiele”, permitiéndonos conocer los niveles de razonamiento geométrico que obtienen los estudiantes al resolver actividades que tienen a desarrollar el pensamiento geométrico. Siguiendo el modelo a utilizar, dicha propuesta se ha estructurado en varias fases que van a desarrollarse en un período de 3 clases con un total de 4 horas 30 minutos guiándonos por un patrón y por materiales para hacer más armónica la adquisición del conocimiento del tema.
  • 3. OBJETIVO GENERAL. Establecer nuevas estrategias entre el profesor y los estudiantes para que optimicen el proceso de enseñanza y aprendizaje del Teorema de Pitágoras. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. - Diagnosticar las estrategias utilizadas por el profesor de tercer año de Educación Media General del Liceo Bolivariano Llano El Anís. - Ejecutar las estrategias planificadas según las fases de enseñanza para mejorar el proceso de enseñanza y aprendizaje del Teorema de Pitágoras. - Aplicar un recurso didáctico para promover el conocimiento del Teorema de Pitágoras en los estudiantes del tercer año de Educación Media General.
  • 4. UNIDAD DIDACTICA: TEOREMA DE PITAGORAS. Planificación de clases y fases de enseñanza según el modelo de Van Hiele. Nº de clase: 1 – Tiempo: 1hora 30 minutos. Fase 1: Información y Fase 2: Orientación dirigida. Inicio: Se inicia la clase con el respectivo saludo, y se realiza la presentación, dando luego una breve explicación de cuál es el contenido que se va a tratar a lo largo de la clase. Desarrollo: Fase 1: Se pide a los estudiantes que formen grupos de cuatro (4) personas, se le procede a entregar una serie de fichas para realizar la identificación de las figuras que se presentan y de esta manera apreciar el conocimiento. Luego se pide a los estudiantes que recuerden en que cosas del entorno se encuentran presente ciertas figuras. Fase 2: se recogerán opiniones de los estudiantes acerca de los triángulos, para que a través de una lluvia de ideas ellos mismos construyan su propio concepto, seguidamente, se les explicará el concepto de triángulo. Punto: El punto es una figura geométrica adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas. Punto A •A Segmento: es una parte de la recta, está conformado por dos puntos, llamados puntos extremos o finales y todos los puntos entre éstos.
  • 5. ● ● A B Recta: la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos. También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin. Plano: un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; son conceptos fundamentales de la geometría junto con el punto y la recta. Nota: Cabe aclarar que estas son características del punto, la recta y el plano para representados, pues son conceptos primitivos, es decir, que no se pueden definir. Angulo: Figura formada por dos semirrectas que parten del mismo punto inicial. A las dos rectas se les denomina lados del ángulo y al punto inicial se le llama vértice del ángulo. El símbolo del ángulo es C β A B .
  • 6. Triángulo: es un polígono de tres lados. El triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices. A B C Área del Triangulo: El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de una base (un lado) por la altura a esa base. Ejemplo: 4 3 Triangulo Rectángulo: Se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90º, a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al tercer lado se le llama hipotenusa.
  • 7. En un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras: Es razonable pensar que los primeros orígenes de la Geometría se encuentran en los mismos orígenes de la humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba aun de manera inconsciente los objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento informal e intuitivo a la Geometría. Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter muy práctico. Estos son esencialmente algunas fórmulas -o mejor dicho algoritmos expresados en forma de ""receta""- para calcular áreas y longitudes. La finalidad era práctica, pues se pretendía con ello calcular la producción proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas de tierra después de las inundaciones del Rio Nilo. Por tanto, “Pitágoras de Samos (580 a. C. – 495 a. C.) Fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente”, en la geometría nos enseña en su propio Teorema. Ejemplo:
  • 8. Cierre: se les pide a los estudiantes que expresen como les pareció la clase y que digan que fue lo que se aprendió en la clase. Nº de clases: 2 – Tiempo: 1hora 30 minutos. Fase 3: Explicitación. Inicio: se inicia la clase con el respectivo saludo, se pide a los estudiantes que formen grupos de cuatro (4) y se procede a recordar lo que se hizo en la clase anterior. Desarrollo: se procede a entregar un rompecabezas, dándole previamente las instrucciones del juego que van a ejecutar para que ellos puedan comprobar que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los dos catetos del triangulo recto. Instrucciones del rompecabezas: Entregar a cada grupo una hoja con la figura que se va a construir. Deben ordenar las piezas indicadas para cada cateto. Cada grupo tiene 30 minutos para realizar la actividad. Realizar un pequeño informe que describa la actividad realizada. Una vez realizada la actividad se procederá a explicar el ejercicio del rompecabezas a través de la fórmula para verificar que se cumple lo planteado.
  • 9. Se resuelve el ejerció sustituyendo los valores de los catetos en la fórmula para así luego encontrar el valor de la hipotenusa y comprobar que es la misma cantidad que se presento en el rompecabezas. Fase 4: Orientación libre. Se le da una serie de ejercicios y problemas de la vida cotidiana donde los estudiantes deben aplicar la fórmula del Teorema de Pitágoras utilizando sus niveles de conocimiento de la explicación y ejecución del problema antes resuelto, siguiendo las siguientes instrucciones: Cada estudiante debe sacar una hoja, lápiz y borrador. Se le dará una serie de cinco (5) ejercicios que deben ser resueltos de manera individual. Teniendo un tiempo de veinticinco (25) minutos para resolverlos. Después de pasado el tiempo los resolvemos en la pizarra y que ellos mismos se den cuenta de cuáles son los errores que han cometido si es que los tienen. Cierre: se les pide a los estudiantes que expresen como les pareció la clase y que lograron aprender, leyendo uno de cada grupo el informe de la actividad del rompecabezas. Nº de clases: 3 – Tiempo: 1 hora 30 minutos. Fase 5: Integración: Recurso Didáctico. Inicio: se inicia la clase con el respectivo saludo, se les pide a los estudiantes que se formen en grupo de tres (3), seguidamente recordando todo lo acontecido del día anterior.
  • 10. Desarrollo: se procede a entregar a cada grupo un trozo de cuerda, marcador y una cinta métrica; para emplearlos en el Teorema de Pitágoras, a cada grupo le corresponderá una actividad diferente. ACTIVIDAD 1: Junto con a sus compañeros toman la cuerda, con el marcador deben dividen la cuerda según los valores en partes iguales, en cada marca se hace un pequeño nudo teniendo cuidado de mantener la misma longitud. Utilizando la cuerda formamos un triangulo rectángulo, después deben comprobar utilizando la ecuación del Teorema de Pitágoras. ACTIVIDAD 2: Se le pide a los estudiantes que junto a sus compañeros tomen la cinta métrica y midan el marco de alguna ventana del salón, midiendo de forma horizontal y vertical para de esta manera obtener valores y determinar el valor de la hipotenusa haciendo uso del teorema de Pitágoras. ACTIVIDAD 3: Siguiendo los pasos de la actividad 2 pero en este caso el objeto de estudio será la puerta. Nota: En caso de haber varios grupos se realizará la misma actividad utilizando diferentes valores y objetos del salón. Ejemplo: pizarrón, mesas, sillas entre otros. Para concluir con la actividad daremos a conocer de forma física que en todo triangulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al área del cuadrado de la hipotenusa. Construyendo con cartulina la siguiente figura. Dejando unas pequeñas aberturas para así de esta manera llenar las cajas con arroz. Y de esta manera demostrar lo planteado. ACTIVIDAD 1:
  • 12. Niveles de Razonamiento: Nivel 1: Visualización y Reconocimiento. Los estudiantes deben reconocer los triángulos en las figuras y formas que están a su alrededor, logrando identificarlas y señalar cuáles son sus elementos. Nivel 2: Análisis. Los estudiantes deben percibir las propiedades de los triángulos de manera lógica sin la presencia de la figura, como saber que un triangulo posee 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos, que existen varios tipos de triángulos según la medida de sus ángulos y de sus lados. Nivel 3: Ordenación o Clasificación. En este nivel ya los estudiantes deben ordenar los conocimientos previos para la construcción del triangulo ayudados por el facilitador en este caso nosotros como preparadores del tema, le explicaremos a partir de que se forma un triangulo; y sobre todo a la implementación de el Teorema de Pitágoras para su demostración. Nivel 4: Razonamiento Deductivo. Luego de siguiente paso de la clasificación de los conocimientos, los estudiantes deben ellos mismos formar a partir de los conceptos, definiciones que les hemos dado formar su propia demostración para luego radicalizar lo que es la utilización del Teorema de Pitágoras en los triángulos. En este nivel lo introduciremos de manera no tan explícita para que a los estudiantes se les haga de manera fácil la abstracción de contenido.
  • 13. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Tomando en cuenta los aportes obtenidos como producto del análisis de los resultados alcanzados con la aplicación de la propuesta, se llegó a las siguientes conclusiones y recomendaciones, como respuesta a cada uno de los objetivos planteados; en este sentido, se expone lo siguiente: Conclusiones: Al efectuar el diagnóstico en el área de Matemáticas a los estudiantes del Tercer Año de Educación Media General del Liceo Bolivariano “Llano El Anís”, se concluye que enfrentan dificultades al desarrollar contenidos en cuanto al Teorema de Pitágoras, debido a la falta de práctica que se hace en el aula y al desconocimiento de procedimientos y estrategias que les permitan desarrollar habilidades para superar las limitaciones que poseen para conceptuar, razonar, analizar y sintetizar, entre otras. Al ejecutar estrategias planificadas que faciliten a los estudiantes el aprendizaje de la matemática, se concluye que son necesarias, esto implica la definición de nuevas estrategias psicopedagógicas con las cuales los educandos aprendan a desarrollar su pensamiento, además, para contribuir a un mejor desempeño, por lo tanto el perfeccionamiento de los docentes en el uso de técnicas y estrategias metodológicas, pedagógicas y didácticas es fundamental. Al aplicar el recurso didáctico se vio de parte de los estudiantes un gran interés y motivación, siendo esto algo innovador que les atrajo y les causó asombro de lo que ellos podían descubrir. Es así como, utilizando estrategias didácticas para disminuir la problemática en el grado del objeto de estudio, se concluye que los estudiantes muestran más interés y participan de manera más positiva en el desarrollo de los contenidos
  • 14. del área de matemática, cuando las actividades están vinculadas a su entorno, a su quehacer y a sus necesidades, es decir, cuando las estrategias van acompañadas de actividades significativas, su actitud, motivación y su desempeño en el desarrollo de las mismas es notablemente diferente a cuando la docente solo emplea la pizarra para la clase. Recomendaciones: Las siguientes recomendaciones fueron concebidas con la finalidad de proporcionar aportes que sirvieran para minimizar la problemática: A los docentes evitar usar únicamente una o dos técnicas para la enseñanza del Teorema de Pitágoras. En su lugar aplicar la mayor cantidad de técnicas posibles que faciliten la comprensión por parte del estudiante. Los docentes deben actualizarse en conocimientos teóricos- prácticos en cuanto a las distintas formas de planificar de acuerdo a las técnicas, métodos y estrategias que sirvan de guía para atraer la atención de los estudiantes y desarrollar de forma positiva la enseñanza del Teorema de Pitágoras entre otros contenidos, para romper con los patrones actuales de repetición y dictado. Fomentar la participación activa del estudiante en la toma de decisiones en relación a la planificación de los proyectos y las actividades, a fin de involucrarlo de manera más eficaz, para que sienta que participa en su proceso de aprendizaje. Finalmente que el docente este bien empapado en cuanto al tema a tratar y tener una buena planificación para que eviten la improvisación y el mal manejo de los contenidos, ayudándose con materiales de apoyo que hoy en día ofrece el sistema educativo regional y nacional como lo
  • 15. son las Canaimas, Colección Bicentenario, Aulas Virtuales, Tic’s, entre otros, para así potenciar el desarrollo social y humano a través de la actividad con su atributo esencial: el ser actividad productiva y transformadora.
  • 16. REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS Ministerio del Poder Popular para la Educación, (2012). Colección Bicentenario. La matemática de la belleza. TERCER AÑO. Educación Media. Caracas: autor.
  • 18. Universidad de Los Andes Facultad de Humanidades y Educación Escuela de Educación Departamento de Medición y Evaluación Cátedra: Taller de Geometría Mérida – Venezuela Cuestionario de Base Estructurado dirigido a docentes del Área de Matemática en servicio de Tercer Año de Educación Media General con el propósito de recabar información relacionada con el rendimiento estudiantil sobre el contenido del Teorema de Pitágoras. Nombre y Apellido: ____________________________________ Institución: ___________________________________________ Área de Especialización:________________________________ Instrucciones Generales: a. Usar lápiz tinta.. b. Leer detalladamente cada pregunta. c. A continuación se le presenta un cuestionario con una serie de preguntas relacionadas con el contenido del Teorema de Pitágoras. 1. Incluye en su contenido el Teorema de Pitágoras. SI ______ NO _____ 2. En caso de que su respuesta anterior sea afirmativa diga que estrategia utiliza:________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ___________________________________________________ 3. En caso de que su respuesta anterior sea negativa, indique las causas por las cuales no lo aplica:________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ___________________________________________________ 4. Si utiliza alguna estrategia diga de que tipo es :_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________________________________________ 5. Si el contenido indicado no se aplica diga las consecuencias que genera :_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________________________________________ 6. En que lapso del año escolar aplica este contenido:______________________________________________________ 7. ¿Cuántas horas académicas emplea para explicar este contenido?______________________________________________________ 8. ¿Considera usted que la estrategia que utiliza para el desarrollo de este contenido es la adecuada? Justifique su respuesta_____________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ___________________________________________________ 9. ¿Qué resultado obtiene con la estrategia aplicada?_____________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
  • 19. Universidad de Los Andes Facultad de Humanidades y Educación Escuela de Educación Departamento de Medición y Evaluación Cátedra: Taller de Geometría Mérida – Venezuela Cuestionario de Base Estructurado dirigido a estudiantes de tercer año de Educación Media General con el propósito de recabar información relacionada con el rendimiento estudiantil sobre el contenido del Teorema de Pitágoras Nombre y Apellido: ____________________________________ Institución: ___________________________________________ Instrucciones Generales: d. e. f. g. Usar lápiz piedra. Juego geométrico. Leer detalladamente cada pregunta. A continuación se le presenta una serie de preguntas relacionadas con dicho contenido. 10. ¿Conoce el Teorema de Pitágoras? SI ______ NO _____ 11. Si su respuesta es afirmativa de una breve definición del Teorema de Pitagoras:_______________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ______ 12. En caso de que su respuesta sea negativa diga el por qué desconoce el Teorema de Pitágoras:_______________________________________________________ _______________________________________________________________ ____ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ____ 13. Crear un triangulo rectángulo e identificar cual es la hipotenusa, cuales son los catetos y cuál es el ángulo de 90º. 14. Con la representación anterior señale los vértices y de nombre a cada uno de ellos.
  • 20. 15. diga cuál de estas ecuaciones se utiliza para hallar el área del triangulo. 16. En el siguiente triangulo rectángulo si a=12 y b=16 entonces c=?. 17. La longitud de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es 17 y la de una de los catetos es 15 ¿Calcular el cateto que falta? 18. Con respecto al ejerció anterior dado los mismos valores ¿Calcular el área del triangulo?.
  • 21. RESULTADOS OBTENIDOS DE LA ENCUESTA DIRIGIDA A LOS ESTUDIANTES DEL TERCER AÑO DE EDUCACION MEDIA GENERALEN EL LICEO BOLIVARIANO “LLANO EL ANIS”, MUNICIPIO SUCRE, ESTADO MERIDA. CON EL PROPOSITO DE RECABAR INFORMACION RELACIONADA CON EL TEOREMA DE PITAGORAS. Nº ITEMS SI NO NO RESPONDIO 54 3 2 BUENO MALO REGULAR NO RESPONDIO 27 1 20 6 6 2 NO LO DIERON NO RESPONDIO 3 56 3 BUENO MALO REGULAR NO RESPONDIO 49 1 0 9 5 21 10 0 28 6 18 20 0 21 7 13 21 0 25 8 7 11 0 41 9 6 0 0 53 4 FUENTE: ZAMBRANO Y DEL ROSARIO (2013).
  • 22. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN. ESCUELA DE EDUCACIÓN ÀREA MATEMÁTICA. CÁTEDRA TALLER DE GEOMETRIA EJERCICIOS DEL TEOREMA DE PITAGORAS. 1. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden y respectivamente? 2. Una escalera de 10m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? 10m 6m 3. ¿Calcula la longitud de una cinta transportadora que avanza 32 m de forma horizontal y asciende 24 m de forma vertical? Realizar el grafico. 4. Los catetos de un triángulo 5. equilátero miden 3 unidades de longitud cada uno ¿Cuánto mide su hipotenusa? 6. Calcula el lado desconocido de cada uno de los siguientes triángulos.
  • 23. Explicación y dándoles relaciones de figuras geométricas con su entorno. Exposición de conceptos y definiciones primitivas para la construcción del Teorema de Pitágoras.
  • 24. Construcción del rompecabezas y utilización de la fórmula del Teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa y así ver que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos del triangulo rectángulo. Resolución de ejercicios planteados utilizando el Teorema de Pitágoras en problemas de la vida cotidiana.
  • 25. Exposición y utilización del recurso didáctico dirigido a los estudiantes del Tercer Año del Liceo Bolivariano “Llano El Anís”. Recurso didáctico de manejo fácil para estrategia del Teorema de Pitágoras