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Slides by
John
Loucks
St. Edward’s
University
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Capítulo 10, Parte A
Modelos de distribución y red
 Problema de transporte
 Problema de asignación
 Problema de transbordo
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Problemas de transporte, asignación y transbordo
 Un modelo de red es aquel que puede ser
representado por un conjunto de nodos, un
conjunto de arcos y funciones (por ejemplo, costos,
suministros, demandas, etc.) asociadas con los arcos
y / o nodos.
 Los problemas de transporte, asignación,
transbordo, ruta más corta y flujo máximo de este
capítulo, así como los problemas de árbol de
expansión mínimo y PERT / CPM (en otros
capítulos) son ejemplos de problemas de red.

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Problemas de transporte, asignación y
transbordo
 Cada uno de los cinco modelos de este capítulo
puede formularse como programas lineales y
resolverse mediante códigos de programación lineal
de propósito general.
 Para cada uno de los cinco modelos, si el lado
derecho de las formulaciones de programación
lineal son todos enteros, la solución óptima será en
términos de valores enteros para las variables de
decisión.
 Sin embargo, hay muchos paquetes informáticos
(incluido The Management Scientist) que contienen
códigos informáticos separados para estos modelos
que aprovechan su estructura de red.

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Problema de transporte
 El problema de transporte busca minimizar los
costos totales de envío de las mercancías desde m
orígenes (cada uno con un suministro si) a n
destinos (cada uno con una demanda dj), cuando el
costo unitario de envío desde un origen, i, a un
destino, j, es cij.
 La representación de la red para un problema de
transporte con dos fuentes y tres destinos se da en
la siguiente diapositiva.

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Problema de transporte
 Representación de la red

2
c11
c12
c13
c21
c22
c23
d1
d2
d3
s1
s2
Fuentes Destinos
3
2
1
1
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Problema de transporte
 Formulación de Programación Lineal

Uso de la notación:
xij = número de unidades enviadas desde
origen i a destino j
cij = costo por unidad de envío desde
origen i a destino j
si = oferta o capacidad en unidades en origen i
dj = demanda en unidades en destino j
continued
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Problema de transporte
 Formulación de programación lineal (continuación)
1 1
Min
m n
ij ij
i j
c x
 

1
1,2, , Supply
n
ij i
j
x s i m

 

1
1,2, , Demand
m
ij j
i
x d j n

 

xij > 0 para todo i y j
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 Casos especiales de formulación de LP
 El objetivo es maximizar los beneficios o ingresos:
•Garantía de envío mínima desde i to j:
xij > Lij
•Capacidad máxima de ruta desde i to j:
xij < Lij
•Ruta inaceptable:
Quitar la variable de decisión correspondiente.
Problema de transporte
Resolver como un problema de maximización.
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Problema de transporte: Ejemplo #1
Acme Block Company tiene pedidos de 80
toneladas debloques de concreto en tres ubicaciones
suburbanas de la siguiente manera:
Northwood -- 25 toneladas, Westwood -- 45 toneladas,
y Eastwood -- 10 toneladas. Acme tiene dos plantas,
cada una de que puede producir 50 toneladas por
semana. Gastos de envío por se muestra la tonelada de
cada planta a cada ubicación suburbana
en la siguiente diapositiva.
¿Cómo se deben hacer los envíos de fin de semana
para llenar? los pedidos anteriores?
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 Costo de envío por tonelada

Northwood Westwood Eastwood
Plant 1 24 30 40
Plant 2 30 40 42
Problema de transporte: Ejemplo #1
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 Hoja de cálculo parcial que muestra datos de
problemas

Problema de transporte: Ejemplo #1
A B C D E F G H
1
2 C
onstra
int X
1
1 X
1
2 X
1
3 X
2
1 X
2
2 X
2
3 R
H
S
3 #
1 1 1 1 5
0
4 #
2 1 1 1 5
0
5 #
3 1 1 2
5
6 #
4 1 1 4
5
7 #
5 1 1 1
0
8 O
bj.C
oeffic
ients 2
4 3
0 4
0 3
0 4
0 4
2 3
0
LH
SC
oeffic
ients
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 Hoja de cálculo parcial que muestra una solución
óptima

Problema de transporte: Ejemplo #1
A B C D E F G
10 X11 X12 X13 X21 X22 X23
11 Dec.Var.Values 5 45 0 20 0 10
12 Minimized Total Shipping Cost 2490
13
14 LHS RHS
15 50 <= 50
16 30 <= 50
17 25 = 25
18 45 = 45
19 10 = 10
Eastwood Demand
Westwood Demand
Northwood Demand
Constraints
Plant 1 Capacity
Plant 2 Capacity
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 Solución óptima

From To Amount Cost
Plant 1 Northwood 5 120
Plant 1 Westwood 45 1,350
Plant 2 Northwood 20 600
Plant 2 Eastwood 10 420
Total Cost = $2,490
Problema de transporte: Ejemplo #1
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 Informe de sensibilidad parcial (primer semestre))
Problema de transporte: Ejemplo #1
Adjustable Cells
Final Reduced Objective Allowable Allowable
Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
$C$12 X11 5 0 24 4 4
$D$12 X12 45 0 30 4 1E+30
$E$12 X13 0 4 40 1E+30 4
$F$12 X21 20 0 30 4 4
$G$12 X22 0 4 40 1E+30 4
$H$12 X23 10.000 0.000 42 4 1E+30
Adjustable Cells
Final Reduced Objective Allowable Allowable
Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
$C$12 X11 5 0 24 4 4
$D$12 X12 45 0 30 4 1E+30
$E$12 X13 0 4 40 1E+30 4
$F$12 X21 20 0 30 4 4
$G$12 X22 0 4 40 1E+30 4
$H$12 X23 10.000 0.000 42 4 1E+30
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 Informe de sensibilidad parcial (segundo semestre)

Problema de transporte: Ejemplo #1
Constraints
Final Shadow Constraint Allowable Allowable
Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease
$E$17 P2.Cap 30.0 0.0 50 1E+30 20
$E$18 N.Dem 25.0 30.0 25 20 20
$E$19 W.Dem 45.0 36.0 45 5 20
$E$20 E.Dem 10.0 42.0 10 20 10
$E$16 P1.Cap 50.0 -6.0 50 20 5
Constraints
Final Shadow Constraint Allowable Allowable
Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease
$E$17 P2.Cap 30.0 0.0 50 1E+30 20
$E$18 N.Dem 25.0 30.0 25 20 20
$E$19 W.Dem 45.0 36.0 45 5 20
$E$20 E.Dem 10.0 42.0 10 20 10
$E$16 P1.Cap 50.0 -6.0 50 20 5
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Problema de transporte: Ejemplo #2
La Marina tiene 9,000 libras de material en Albany,
Georgia que desea enviar a tres instalaciones:
San Diego, Norfolk y Pensacola. Requieren 4.000,
2,500 y 2,500 libras, respectivamente. Gobierno
las regulaciones requieren una distribución equitativa
del envío entre los tres transportistas.
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© 2009 South-Western, a part of Cengage Learning
Los costos de envío por libra para camión,
ferrocarril, y el tránsito aéreo se muestran en la
siguiente diapositiva.
Formular y resolver un programa lineal para determinar
el arreglos de envío (modo, destino y
cantidad) que minimizará el costo total de envío.
Problema de transporte: Ejemplo #2
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Destination
Mode San Diego Norfolk Pensacola
Truck $12 $ 6 $ 5
Railroad 20 11 9
Airplane 30 26 28
Problema de transporte: Ejemplo #2
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© 2009 South-Western, a part of Cengage Learning
 Definir las variables de decisión

Queremos determinar las libras de material, xij ,
que se enviarán por modo i al destino j. En la tabla
siguiente se resumen las variables de decisión:
San Diego Norfolk Pensacola
Truck x11 x12 x13
Railroad x21 x22 x23
Airplane x31 x32 x33
Problema de transporte: Ejemplo #2
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 Definir la función objetivo

Minimice el costo total de envío.
Min: (costo de envío por libra para cada modo por
emparejamiento de destino) x (número de libras
enviadas por modo por emparejamiento de
destino).
Min: 12x11 + 6x12 + 5x13 + 20x21 + 11x22 + 9x23
+ 30x31 + 26x32 + 28x33
Problema de transporte: Ejemplo #2
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 Definir las restricciones
 Igualdad de uso de los modos de
transporte:
 (1) x11 + x12 + x13 = 3000
(2) x21 + x22 + x23 = 3000
(3) x31 + x32 + x33 = 3000
Requisitos de material de destino:
(4) x11 + x21 + x31 = 4000
(5) x12 + x22 + x32 = 2500
(6) x13 + x23 + x33 = 2500
No negatividad de las variables:
xij > 0, i = 1,2,3 and j = 1,2,3
Problema de transporte: Ejemplo #2
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 The Management Scientist Output
OBJECTIVE FUNCTION VALUE = 142000.000
Variable Value Reduced Cost
x11 1000.000 0.000
x12 2000.000 0.000
x13 0.000 1.000
x21 0.000 3.000
x22 500.000 0.000
x23 2500.000 0.000
x31 3000.000 0.000
x32 0.000 2.000
x33 0.000 6.000
Problema de transporte: Ejemplo #2
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 Resumen de la solución
 San Diego recibirá 1000 libras en camión
 y 3000 libras en avión.
 Norfolk recibirá 2000 libras en camión
 y 500 lbs. por ferrocarril.
 Pensacola recibirá 2500 libras por ferrocarril.
 El costo total de envío será de $ 142,000.

Problema de transporte: Ejemplo #2
25
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Problema de asignación
 Un problema de asignación busca minimizar el costo
total de asignación de m trabajadores a m trabajos,
dado que el costo del trabajador i que realiza el trabajo
j es cij.
 Asume que todos los trabajadores están asignados y
se realiza cada trabajo.
 Un problema de asignación es un caso especial de un
problema de transporte en el que todos los
suministros y todas las demandas son iguales a 1; por
lo tanto, los problemas de asignación pueden
resolverse como programas lineales.
 La representación en red de un problema de
asignación con tres trabajadores y tres trabajos se
muestra en la siguiente diapositiva.

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© 2009 South-Western, a part of Cengage Learning
Problema de asignación
 Representación de la red

2
3
1
2
3
1
c11
c12
c13
c21
c22
c23
c31
c32
c33
Agents Tasks
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 Formulación de Programación Lineal
 Uso de la notación:
xij = 1 Si el agente I está asignado a la tarea
j
0 de otra manera
cij = costo de asignar el agente i a la tarea
j
Problema de asignación
continued
28
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 Linear Programming Formulation (continued)
Problema de asignación
1 1
Min
m n
ij ij
i j
c x
 

1
1 1,2, , Agents
n
ij
j
x i m

 

1
1 1,2, , Tasks
m
ij
i
x j n

 

xij > 0 for all i and j
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 LP Formulación de Casos Especiales
•El número de agentes supera el número de tareas:
•Number of tasks exceeds the number of agents:
Agregue suficientes agentes ficticios para ecualizar el
número de agentes y número de tareas.
Los coeficientes de función objetivo para estos
la nueva variable sería cero.
Problema de asignación
Los agentes adicionales simplemente permanecen sin asignar.
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Problema de asignación
 Casos especiales de formulación de LP (continuación))
•Las alternativas de asignación se evalúan en
términos de ingresos o ganancias.:
Resolver como un problema de maximización.
•Una asignación es inaceptable:
• Quitar la variable de decisión correspondiente.
•Un agente puede trabajar t tareas:
1
1,2, , Agents
n
ij
j
x t i m

 

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Un contratista eléctrico paga a sus subcontratistas
una tarifa fija más kilometraje por el trabajo realizado.
En un día determinado, el contratista se enfrenta a tres
trabajos eléctricos asociados con varios proyectos. A
continuación se presentan las distancias entre los
subcontratistas y los proyectos.
Projects
Subcontractor A B C
Westside 50 36 16
Federated 28 30 18
Goliath 35 32 20
Universal 25 25 14
¿Cómo se deben asignar los contratistas para minimizar
los costos totales de kilometraje?
Problema de asignación: ejemplo
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 Representación de la red
 50
36
16
28
30
18
35 32
20
25 25
14
West.
C
B
A
Univ.
Gol.
Fed.
Projects
Subcontractors
Problema de asignación: ejemplo
33
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 Formulación de Programación Lineal

Min 50x11+36x12+16x13+28x21+30x22+18x23
+35x31+32x32+20x33+25x41+25x42+14x43
s.t. x11+x12+x13 < 1
x21+x22+x23 < 1
x31+x32+x33 < 1
x41+x42+x43 < 1
x11+x21+x31+x41 = 1
x12+x22+x32+x42 = 1
x13+x23+x33+x43 = 1
xij = 0 or 1 for all i and j
Agents
Tasks
Problema de asignación: ejemplo
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 La asignación óptima es:
 Subcontractor Project Distance
Westside C 16
Federated A 28
Goliath (unassigned)
Universal B 25
Total Distance = 69 miles
Problema de asignación: ejemplo
35
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Problema de transbordo
 Los problemas de transbordo son problemas de
transporte en los que un envío puede moverse a
través de nodos intermedios (nodos de transbordo)
antes de llegar a un nodo de destino en particular.
 Los problemas de transbordo se pueden convertir en
problemas de transporte más grandes y resolverse
mediante un programa de transporte especial.
 Los problemas de transbordo también se pueden
resolver mediante códigos de programación lineal de
propósito general.
 La representación de red para un problema de
transbordo con dos orígenes, tres nodos intermedios y
dos destinos se muestra en la siguiente diapositiva.

36
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Transshipment Problem
 Representación de la red

2
3
4
5
6
7
1
c13
c14
c23
c24
c25
c15
s1
c36
c37
c46
c47
c56
c57
d1
d2
Intermediate Nodes
Sources Destinations
s2
Demand
Supply
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Problema de transbordo
 Formulación de Programación Lineal

 Usando la notación:
 xij = número de unidades enviadas del nodo i al nodo
j
 cij = costo por unidad de envío del nodo i al nodo j
 si = suministro en el nodo de origen i
 dj = demanda en el nodo de destino j

continued
38
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Problema de transbordo
all arcs
Min ij ij
c x

arcs out arcs in
s.t. Origin nodes
ij ij i
x x s i
 
 
xij > 0 for all i and j
arcs out arcs in
0 Transhipment nodes
ij ij
x x
 
 
arcs in arcs out
Destination nodes
ij ij j
x x d j
 
 
 Formulación de programación lineal (continuación)
continued
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Problema de transbordo
 Casos especiales de formulación de LP
 Oferta total no igual a la demanda total
 Función objetivo de maximización
 Capacidades de ruta o mínimos de ruta
 Rutas inaceptables
 Las modificaciones del modelo LP requeridas aquí
son
 idénticos a los requeridos para los casos especiales
en
 el problema del transporte.

40
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Las instalaciones de Northside y Southside de
Zeron Industries suministran a tres empresas (Zrox,
Hewes, Rockrite) estanterías personalizadas para sus
oficinas. Ambos ordenan estanterías de los mismos
dos fabricantes, Arnold Manufacturers y Supershelf,
Inc.
Actualmente las demandas semanales de los
usuarios son 50 para Zrox, 60 para Hewes y 40 para
Rockrite. Tanto Arnold como Supershelf pueden
suministrar como máximo 75 unidades a sus clientes.
Los datos adicionales se muestran en la siguiente
diapositiva.
Problema de transbordo: ejemplo
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© 2009 South-Western, a part of Cengage Learning
Debido a los contratos de larga data basados en
pedidos anteriores, los costos unitarios de los
fabricantes a los proveedores son:
Zeron N Zeron S
Arnold 5 8
Supershelf 7 4
Los costos para instalar las estanterías en las
diversas ubicaciones son:
Zrox Hewes Rockrite
Thomas 1 5 8
Washburn 3 4 4
Transshipment Problem: Example
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© 2009 South-Western, a part of Cengage Learning
 Representación de la red

ARNOLD
WASH
BURN
ZROX
HEWES
75
75
50
60
40
5
8
7
4
1
5
8
3
4
4
Arnold
Super
Shelf
Hewes
Zrox
Zeron
N
Zeron
S
Rock-
Rite
Problema de transbordo: ejemplo
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© 2009 South-Western, a part of Cengage Learning
 Formulación de Programación Lineal
 Decision Variables Defined
xij = amount shipped from manufacturer i to supplier j
xjk = amount shipped from supplier j to customer k
where i = 1 (Arnold), 2 (Supershelf)
j = 3 (Zeron N), 4 (Zeron S)
k = 5 (Zrox), 6 (Hewes), 7 (Rockrite)
•Función objetiva definida
• Minimize Overall Shipping Costs:
Min 5x13 + 8x14 + 7x23 + 4x24 + 1x35 + 5x36 + 8x37
+ 3x45 + 4x46 + 4x47
Problema de transbordo: ejemplo
44
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 Restricciones definidas
 Amount Out of Arnold: x13 + x14 < 75
Amount Out of Supershelf: x23 + x24 < 75
Amount Through Zeron N: x13 + x23 - x35 - x36 - x37 = 0
Amount Through Zeron S: x14 + x24 - x45 - x46 - x47 = 0
Amount Into Zrox: x35 + x45 = 50
Amount Into Hewes: x36 + x46 = 60
Amount Into Rockrite: x37 + x47 = 40
Non-negativity of Variables: xij > 0, for all i and j.
Problema de transbordo: ejemplo
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 La solución de Management Scientist

Objective Function Value = 1150.000
Variable Value Reduced Costs
X13 75.000 0.000
X14 0.000 2.000
X23 0.000 4.000
X24 75.000 0.000
X35 50.000 0.000
X36 25.000 0.000
X37 0.000 3.000
X45 0.000 3.000
X46 35.000 0.000
X47 40.000 0.000
Problema de transbordo: ejemplo
46
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 Solución

ARNOLD
WASH
BURN
ZROX
HEWES
75
75
50
60
40
5
8
7
4
1
5
8
3 4
4
Arnold
Super
Shelf
Hewes
Zrox
Zeron
N
Zeron
S
Rock-
Rite
75
Problema de transbordo: ejemplo
47
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© 2009 South-Western, a part of Cengage Learning
 La solución del científico de gestión (continuación)
 Constraint Slack/Surplus Dual Prices
1 0.000 0.000
2 0.000 2.000
3 0.000 -5.000
4 0.000 -6.000
5 0.000 -6.000
6 0.000 -10.000
7 0.000 -10.000
Problema de transbordo: ejemplo
48
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© 2009 South-Western, a part of Cengage Learning
 The Management Scientist Solución (continuación)
OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES
Variable Lower Limit Current Value Upper Limit
X13 3.000 5.000 7.000
X14 6.000 8.000 No Limit
X23 3.000 7.000 No Limit
X24 No Limit 4.000 6.000
X35 No Limit 1.000 4.000
X36 3.000 5.000 7.000
X37 5.000 8.000 No Limit
X45 0.000 3.000 No Limit
X46 2.000 4.000 6.000
X47 No Limit 4.000 7.000
Transshipment Problem: Example
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© 2009 South-Western, a part of Cengage Learning
 The Management Scientist Solución (continuación)
RIGHT HAND SIDE RANGES
Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit
1 75.000 75.000 No Limit
2 75.000 75.000 100.000
3 -75.000 0.000 0.000
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  • 2. 2 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Capítulo 10, Parte A Modelos de distribución y red  Problema de transporte  Problema de asignación  Problema de transbordo
  • 3. 3 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problemas de transporte, asignación y transbordo  Un modelo de red es aquel que puede ser representado por un conjunto de nodos, un conjunto de arcos y funciones (por ejemplo, costos, suministros, demandas, etc.) asociadas con los arcos y / o nodos.  Los problemas de transporte, asignación, transbordo, ruta más corta y flujo máximo de este capítulo, así como los problemas de árbol de expansión mínimo y PERT / CPM (en otros capítulos) son ejemplos de problemas de red. 
  • 4. 4 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problemas de transporte, asignación y transbordo  Cada uno de los cinco modelos de este capítulo puede formularse como programas lineales y resolverse mediante códigos de programación lineal de propósito general.  Para cada uno de los cinco modelos, si el lado derecho de las formulaciones de programación lineal son todos enteros, la solución óptima será en términos de valores enteros para las variables de decisión.  Sin embargo, hay muchos paquetes informáticos (incluido The Management Scientist) que contienen códigos informáticos separados para estos modelos que aprovechan su estructura de red. 
  • 5. 5 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de transporte  El problema de transporte busca minimizar los costos totales de envío de las mercancías desde m orígenes (cada uno con un suministro si) a n destinos (cada uno con una demanda dj), cuando el costo unitario de envío desde un origen, i, a un destino, j, es cij.  La representación de la red para un problema de transporte con dos fuentes y tres destinos se da en la siguiente diapositiva. 
  • 6. 6 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de transporte  Representación de la red  2 c11 c12 c13 c21 c22 c23 d1 d2 d3 s1 s2 Fuentes Destinos 3 2 1 1
  • 7. 7 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de transporte  Formulación de Programación Lineal  Uso de la notación: xij = número de unidades enviadas desde origen i a destino j cij = costo por unidad de envío desde origen i a destino j si = oferta o capacidad en unidades en origen i dj = demanda en unidades en destino j continued
  • 8. 8 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de transporte  Formulación de programación lineal (continuación) 1 1 Min m n ij ij i j c x    1 1,2, , Supply n ij i j x s i m     1 1,2, , Demand m ij j i x d j n     xij > 0 para todo i y j
  • 9. 9 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Casos especiales de formulación de LP  El objetivo es maximizar los beneficios o ingresos: •Garantía de envío mínima desde i to j: xij > Lij •Capacidad máxima de ruta desde i to j: xij < Lij •Ruta inaceptable: Quitar la variable de decisión correspondiente. Problema de transporte Resolver como un problema de maximización.
  • 10. 10 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de transporte: Ejemplo #1 Acme Block Company tiene pedidos de 80 toneladas debloques de concreto en tres ubicaciones suburbanas de la siguiente manera: Northwood -- 25 toneladas, Westwood -- 45 toneladas, y Eastwood -- 10 toneladas. Acme tiene dos plantas, cada una de que puede producir 50 toneladas por semana. Gastos de envío por se muestra la tonelada de cada planta a cada ubicación suburbana en la siguiente diapositiva. ¿Cómo se deben hacer los envíos de fin de semana para llenar? los pedidos anteriores?
  • 11. 11 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Costo de envío por tonelada  Northwood Westwood Eastwood Plant 1 24 30 40 Plant 2 30 40 42 Problema de transporte: Ejemplo #1
  • 12. 12 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Hoja de cálculo parcial que muestra datos de problemas  Problema de transporte: Ejemplo #1 A B C D E F G H 1 2 C onstra int X 1 1 X 1 2 X 1 3 X 2 1 X 2 2 X 2 3 R H S 3 # 1 1 1 1 5 0 4 # 2 1 1 1 5 0 5 # 3 1 1 2 5 6 # 4 1 1 4 5 7 # 5 1 1 1 0 8 O bj.C oeffic ients 2 4 3 0 4 0 3 0 4 0 4 2 3 0 LH SC oeffic ients
  • 13. 13 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Hoja de cálculo parcial que muestra una solución óptima  Problema de transporte: Ejemplo #1 A B C D E F G 10 X11 X12 X13 X21 X22 X23 11 Dec.Var.Values 5 45 0 20 0 10 12 Minimized Total Shipping Cost 2490 13 14 LHS RHS 15 50 <= 50 16 30 <= 50 17 25 = 25 18 45 = 45 19 10 = 10 Eastwood Demand Westwood Demand Northwood Demand Constraints Plant 1 Capacity Plant 2 Capacity
  • 14. 14 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Solución óptima  From To Amount Cost Plant 1 Northwood 5 120 Plant 1 Westwood 45 1,350 Plant 2 Northwood 20 600 Plant 2 Eastwood 10 420 Total Cost = $2,490 Problema de transporte: Ejemplo #1
  • 15. 15 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Informe de sensibilidad parcial (primer semestre)) Problema de transporte: Ejemplo #1 Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $C$12 X11 5 0 24 4 4 $D$12 X12 45 0 30 4 1E+30 $E$12 X13 0 4 40 1E+30 4 $F$12 X21 20 0 30 4 4 $G$12 X22 0 4 40 1E+30 4 $H$12 X23 10.000 0.000 42 4 1E+30 Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease $C$12 X11 5 0 24 4 4 $D$12 X12 45 0 30 4 1E+30 $E$12 X13 0 4 40 1E+30 4 $F$12 X21 20 0 30 4 4 $G$12 X22 0 4 40 1E+30 4 $H$12 X23 10.000 0.000 42 4 1E+30
  • 16. 16 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Informe de sensibilidad parcial (segundo semestre)  Problema de transporte: Ejemplo #1 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $E$17 P2.Cap 30.0 0.0 50 1E+30 20 $E$18 N.Dem 25.0 30.0 25 20 20 $E$19 W.Dem 45.0 36.0 45 5 20 $E$20 E.Dem 10.0 42.0 10 20 10 $E$16 P1.Cap 50.0 -6.0 50 20 5 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $E$17 P2.Cap 30.0 0.0 50 1E+30 20 $E$18 N.Dem 25.0 30.0 25 20 20 $E$19 W.Dem 45.0 36.0 45 5 20 $E$20 E.Dem 10.0 42.0 10 20 10 $E$16 P1.Cap 50.0 -6.0 50 20 5
  • 17. 17 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de transporte: Ejemplo #2 La Marina tiene 9,000 libras de material en Albany, Georgia que desea enviar a tres instalaciones: San Diego, Norfolk y Pensacola. Requieren 4.000, 2,500 y 2,500 libras, respectivamente. Gobierno las regulaciones requieren una distribución equitativa del envío entre los tres transportistas.
  • 18. 18 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Los costos de envío por libra para camión, ferrocarril, y el tránsito aéreo se muestran en la siguiente diapositiva. Formular y resolver un programa lineal para determinar el arreglos de envío (modo, destino y cantidad) que minimizará el costo total de envío. Problema de transporte: Ejemplo #2
  • 19. 19 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Destination Mode San Diego Norfolk Pensacola Truck $12 $ 6 $ 5 Railroad 20 11 9 Airplane 30 26 28 Problema de transporte: Ejemplo #2
  • 20. 20 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Definir las variables de decisión  Queremos determinar las libras de material, xij , que se enviarán por modo i al destino j. En la tabla siguiente se resumen las variables de decisión: San Diego Norfolk Pensacola Truck x11 x12 x13 Railroad x21 x22 x23 Airplane x31 x32 x33 Problema de transporte: Ejemplo #2
  • 21. 21 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Definir la función objetivo  Minimice el costo total de envío. Min: (costo de envío por libra para cada modo por emparejamiento de destino) x (número de libras enviadas por modo por emparejamiento de destino). Min: 12x11 + 6x12 + 5x13 + 20x21 + 11x22 + 9x23 + 30x31 + 26x32 + 28x33 Problema de transporte: Ejemplo #2
  • 22. 22 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Definir las restricciones  Igualdad de uso de los modos de transporte:  (1) x11 + x12 + x13 = 3000 (2) x21 + x22 + x23 = 3000 (3) x31 + x32 + x33 = 3000 Requisitos de material de destino: (4) x11 + x21 + x31 = 4000 (5) x12 + x22 + x32 = 2500 (6) x13 + x23 + x33 = 2500 No negatividad de las variables: xij > 0, i = 1,2,3 and j = 1,2,3 Problema de transporte: Ejemplo #2
  • 23. 23 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  The Management Scientist Output OBJECTIVE FUNCTION VALUE = 142000.000 Variable Value Reduced Cost x11 1000.000 0.000 x12 2000.000 0.000 x13 0.000 1.000 x21 0.000 3.000 x22 500.000 0.000 x23 2500.000 0.000 x31 3000.000 0.000 x32 0.000 2.000 x33 0.000 6.000 Problema de transporte: Ejemplo #2
  • 24. 24 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Resumen de la solución  San Diego recibirá 1000 libras en camión  y 3000 libras en avión.  Norfolk recibirá 2000 libras en camión  y 500 lbs. por ferrocarril.  Pensacola recibirá 2500 libras por ferrocarril.  El costo total de envío será de $ 142,000.  Problema de transporte: Ejemplo #2
  • 25. 25 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de asignación  Un problema de asignación busca minimizar el costo total de asignación de m trabajadores a m trabajos, dado que el costo del trabajador i que realiza el trabajo j es cij.  Asume que todos los trabajadores están asignados y se realiza cada trabajo.  Un problema de asignación es un caso especial de un problema de transporte en el que todos los suministros y todas las demandas son iguales a 1; por lo tanto, los problemas de asignación pueden resolverse como programas lineales.  La representación en red de un problema de asignación con tres trabajadores y tres trabajos se muestra en la siguiente diapositiva. 
  • 26. 26 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de asignación  Representación de la red  2 3 1 2 3 1 c11 c12 c13 c21 c22 c23 c31 c32 c33 Agents Tasks
  • 27. 27 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Formulación de Programación Lineal  Uso de la notación: xij = 1 Si el agente I está asignado a la tarea j 0 de otra manera cij = costo de asignar el agente i a la tarea j Problema de asignación continued
  • 28. 28 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Linear Programming Formulation (continued) Problema de asignación 1 1 Min m n ij ij i j c x    1 1 1,2, , Agents n ij j x i m     1 1 1,2, , Tasks m ij i x j n     xij > 0 for all i and j
  • 29. 29 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  LP Formulación de Casos Especiales •El número de agentes supera el número de tareas: •Number of tasks exceeds the number of agents: Agregue suficientes agentes ficticios para ecualizar el número de agentes y número de tareas. Los coeficientes de función objetivo para estos la nueva variable sería cero. Problema de asignación Los agentes adicionales simplemente permanecen sin asignar.
  • 30. 30 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de asignación  Casos especiales de formulación de LP (continuación)) •Las alternativas de asignación se evalúan en términos de ingresos o ganancias.: Resolver como un problema de maximización. •Una asignación es inaceptable: • Quitar la variable de decisión correspondiente. •Un agente puede trabajar t tareas: 1 1,2, , Agents n ij j x t i m    
  • 31. 31 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Un contratista eléctrico paga a sus subcontratistas una tarifa fija más kilometraje por el trabajo realizado. En un día determinado, el contratista se enfrenta a tres trabajos eléctricos asociados con varios proyectos. A continuación se presentan las distancias entre los subcontratistas y los proyectos. Projects Subcontractor A B C Westside 50 36 16 Federated 28 30 18 Goliath 35 32 20 Universal 25 25 14 ¿Cómo se deben asignar los contratistas para minimizar los costos totales de kilometraje? Problema de asignación: ejemplo
  • 32. 32 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Representación de la red  50 36 16 28 30 18 35 32 20 25 25 14 West. C B A Univ. Gol. Fed. Projects Subcontractors Problema de asignación: ejemplo
  • 33. 33 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Formulación de Programación Lineal  Min 50x11+36x12+16x13+28x21+30x22+18x23 +35x31+32x32+20x33+25x41+25x42+14x43 s.t. x11+x12+x13 < 1 x21+x22+x23 < 1 x31+x32+x33 < 1 x41+x42+x43 < 1 x11+x21+x31+x41 = 1 x12+x22+x32+x42 = 1 x13+x23+x33+x43 = 1 xij = 0 or 1 for all i and j Agents Tasks Problema de asignación: ejemplo
  • 34. 34 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  La asignación óptima es:  Subcontractor Project Distance Westside C 16 Federated A 28 Goliath (unassigned) Universal B 25 Total Distance = 69 miles Problema de asignación: ejemplo
  • 35. 35 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de transbordo  Los problemas de transbordo son problemas de transporte en los que un envío puede moverse a través de nodos intermedios (nodos de transbordo) antes de llegar a un nodo de destino en particular.  Los problemas de transbordo se pueden convertir en problemas de transporte más grandes y resolverse mediante un programa de transporte especial.  Los problemas de transbordo también se pueden resolver mediante códigos de programación lineal de propósito general.  La representación de red para un problema de transbordo con dos orígenes, tres nodos intermedios y dos destinos se muestra en la siguiente diapositiva. 
  • 36. 36 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Transshipment Problem  Representación de la red  2 3 4 5 6 7 1 c13 c14 c23 c24 c25 c15 s1 c36 c37 c46 c47 c56 c57 d1 d2 Intermediate Nodes Sources Destinations s2 Demand Supply
  • 37. 37 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de transbordo  Formulación de Programación Lineal   Usando la notación:  xij = número de unidades enviadas del nodo i al nodo j  cij = costo por unidad de envío del nodo i al nodo j  si = suministro en el nodo de origen i  dj = demanda en el nodo de destino j  continued
  • 38. 38 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de transbordo all arcs Min ij ij c x  arcs out arcs in s.t. Origin nodes ij ij i x x s i     xij > 0 for all i and j arcs out arcs in 0 Transhipment nodes ij ij x x     arcs in arcs out Destination nodes ij ij j x x d j      Formulación de programación lineal (continuación) continued
  • 39. 39 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Problema de transbordo  Casos especiales de formulación de LP  Oferta total no igual a la demanda total  Función objetivo de maximización  Capacidades de ruta o mínimos de ruta  Rutas inaceptables  Las modificaciones del modelo LP requeridas aquí son  idénticos a los requeridos para los casos especiales en  el problema del transporte. 
  • 40. 40 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Las instalaciones de Northside y Southside de Zeron Industries suministran a tres empresas (Zrox, Hewes, Rockrite) estanterías personalizadas para sus oficinas. Ambos ordenan estanterías de los mismos dos fabricantes, Arnold Manufacturers y Supershelf, Inc. Actualmente las demandas semanales de los usuarios son 50 para Zrox, 60 para Hewes y 40 para Rockrite. Tanto Arnold como Supershelf pueden suministrar como máximo 75 unidades a sus clientes. Los datos adicionales se muestran en la siguiente diapositiva. Problema de transbordo: ejemplo
  • 41. 41 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Debido a los contratos de larga data basados en pedidos anteriores, los costos unitarios de los fabricantes a los proveedores son: Zeron N Zeron S Arnold 5 8 Supershelf 7 4 Los costos para instalar las estanterías en las diversas ubicaciones son: Zrox Hewes Rockrite Thomas 1 5 8 Washburn 3 4 4 Transshipment Problem: Example
  • 42. 42 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Representación de la red  ARNOLD WASH BURN ZROX HEWES 75 75 50 60 40 5 8 7 4 1 5 8 3 4 4 Arnold Super Shelf Hewes Zrox Zeron N Zeron S Rock- Rite Problema de transbordo: ejemplo
  • 43. 43 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Formulación de Programación Lineal  Decision Variables Defined xij = amount shipped from manufacturer i to supplier j xjk = amount shipped from supplier j to customer k where i = 1 (Arnold), 2 (Supershelf) j = 3 (Zeron N), 4 (Zeron S) k = 5 (Zrox), 6 (Hewes), 7 (Rockrite) •Función objetiva definida • Minimize Overall Shipping Costs: Min 5x13 + 8x14 + 7x23 + 4x24 + 1x35 + 5x36 + 8x37 + 3x45 + 4x46 + 4x47 Problema de transbordo: ejemplo
  • 44. 44 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Restricciones definidas  Amount Out of Arnold: x13 + x14 < 75 Amount Out of Supershelf: x23 + x24 < 75 Amount Through Zeron N: x13 + x23 - x35 - x36 - x37 = 0 Amount Through Zeron S: x14 + x24 - x45 - x46 - x47 = 0 Amount Into Zrox: x35 + x45 = 50 Amount Into Hewes: x36 + x46 = 60 Amount Into Rockrite: x37 + x47 = 40 Non-negativity of Variables: xij > 0, for all i and j. Problema de transbordo: ejemplo
  • 45. 45 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  La solución de Management Scientist  Objective Function Value = 1150.000 Variable Value Reduced Costs X13 75.000 0.000 X14 0.000 2.000 X23 0.000 4.000 X24 75.000 0.000 X35 50.000 0.000 X36 25.000 0.000 X37 0.000 3.000 X45 0.000 3.000 X46 35.000 0.000 X47 40.000 0.000 Problema de transbordo: ejemplo
  • 46. 46 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  Solución  ARNOLD WASH BURN ZROX HEWES 75 75 50 60 40 5 8 7 4 1 5 8 3 4 4 Arnold Super Shelf Hewes Zrox Zeron N Zeron S Rock- Rite 75 Problema de transbordo: ejemplo
  • 47. 47 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  La solución del científico de gestión (continuación)  Constraint Slack/Surplus Dual Prices 1 0.000 0.000 2 0.000 2.000 3 0.000 -5.000 4 0.000 -6.000 5 0.000 -6.000 6 0.000 -10.000 7 0.000 -10.000 Problema de transbordo: ejemplo
  • 48. 48 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  The Management Scientist Solución (continuación) OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit Current Value Upper Limit X13 3.000 5.000 7.000 X14 6.000 8.000 No Limit X23 3.000 7.000 No Limit X24 No Limit 4.000 6.000 X35 No Limit 1.000 4.000 X36 3.000 5.000 7.000 X37 5.000 8.000 No Limit X45 0.000 3.000 No Limit X46 2.000 4.000 6.000 X47 No Limit 4.000 7.000 Transshipment Problem: Example
  • 49. 49 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning  The Management Scientist Solución (continuación) RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit 1 75.000 75.000 No Limit 2 75.000 75.000 100.000 3 -75.000 0.000 0.000 4 -25.000 0.000 0.000 5 0.000 50.000 50.000 6 35.000 60.000 60.000 7 15.000 40.000 40.000 Problema de transbordo: ejemplo
  • 50. 50 Slide © 2009 South-Western, a part of Cengage Learning Fin del Capítulo 10, Parte A