SlideShare una empresa de Scribd logo
Curvas en el espacio y funciones vectoriales

En la sección de curvas paramétricas definimos una curva C en el plano como
un conjunto de pares ordenados (f (t), g (t)) junto con unas ecuaciones
paramétricas

                            x = f (t) e y = g (t);

 donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. esta definición
admite una extensión natural al espacio tridimensional, como sigue. Una
curva C en el espacio es un conjunto de tripletas ordenadas (f (t), g (t), h (t))
junto con unas ecuaciones paramétricas

                       x = f (t) , y = g (t)   y     z = h (t)

 Donde f , g y h denotan funciones continuas de t en un intervalo I.


Antes de ver algunos ejemplos de curvas en el espacio, introduciremos un nuevo
tipo de funciones, las funciones vectoriales. Aplican los números reales en
vectores, es decir, son funciones con valores vectoriales.
DEFINICIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES


Se llama función vectorial a cualquier función de la forma


                         r(t) = f(t)i + g(t)j             Plano



                       r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k       Espacio


  donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con
  valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por:


                                r(t) = <f(t) , g(t)>
                            r(t) = <f(t) , g(t) , h(t)>
Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y
 las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones
 de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t),
 g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de
 t).
Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la
representación de curvas. Tomando como parámetro t el
tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo
largo de una curva. Más en general, podemos usar una
función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En
ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide
con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las
ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La
flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir,
el sentido de valores crecientes de t.

Salvo que se especifique otra cosa, se considera como
dominio de una función vectorial r la intersección de los
dominios de las funciones f, g y h. Por ejemplo el dominio de:

           r ( t ) = ln ( t ) i + 1 − t j + tk
es el intervalo (0, 1]
(Trazado de una curva en el plano)
EJEMPLO 1: Dibujar la curva representada por la función vectorial


   r ( t ) = 2 cos ti − 3sentj                  0 ≤ t ≤ 2π
  Solución:
(Tazado de una curva en el espacio)


EJEMPLO 2: Dibujar la curva representada por la función vectorial


r ( t ) = 4 cos ti + 4 sentj + tk             0 ≤ t ≤ 4π
 Solución:
Esto significa que la curva está en un cilindro circular recto de radio 4,
centrado en el eje z. Para localizar la curva en ese cilindro podemos usar la
tercera ecuación paramétrica z = t. Obsérvese, en la figura de la pizarra,
que cuando t crece de 0 a 4π el punto (x, y, z) se mueve en espiral hacia
arriba, describiendo una hélice
EJEMPLO 3: Hallar una función vectorial que represente una gráfica dada
  por:

                      x = 2 + t,     y = 3t      y     z=4-t


Claro está que si la gráfica se da en forma paramétrica, la respuesta es
inmediata. Así, para representar la recta dada en el espacio basta utilizar la
función vectorial

                           r (t) = (2 + t)i + 3tj + (4 – t)k

Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica en cuestión,
el problema de representarla mediante una función vectorial se reduce al de hallar
un conjunto de ecuaciones paramétricas
EJEMPLO 4: Esbozar la gráfica C representada por la intersección del
semielipsoide

            2

      x +y +z
       2        2


      12   24   4
                    =1             z≥0
 y el cilindro parabólico y = x2. Y hallar una función vectorial que
 represente esa gráfica




  EJERCICIO PARA LA CARPETA: Representar la parábola dada por:
  y = x2 + 1 mediante una función vectorial y trazar la gráfica.

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Aplicaciones funciones vectoriales
Aplicaciones funciones vectorialesAplicaciones funciones vectoriales
Aplicaciones funciones vectoriales
YOLVI ADRIANA CORDOBA BUITRAGO
 
Funciones vectoriales de una variable real
Funciones vectoriales de una variable realFunciones vectoriales de una variable real
Funciones vectoriales de una variable real
Nahomi OLiveros
 
Parametrizando la epicicloide
Parametrizando la epicicloideParametrizando la epicicloide
Parametrizando la epicicloide
gonzaaas
 
Funciones vectoriales de_una_variable_real (1)
Funciones vectoriales de_una_variable_real (1)Funciones vectoriales de_una_variable_real (1)
Funciones vectoriales de_una_variable_real (1)
César Jordi Bolo Caldas
 
FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL
FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REALFUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL
FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL
UNI - UCH - UCV - UNMSM - UNFV
 
Aplicaciones funciones vectoriales
Aplicaciones funciones vectorialesAplicaciones funciones vectoriales
Aplicaciones funciones vectoriales
YOLVI ADRIANA CORDOBA BUITRAGO
 
Material Extra
Material ExtraMaterial Extra
Material Extra
Isabel Martínez
 
Capitulo 9 funciones vectoriales
Capitulo 9  funciones vectorialesCapitulo 9  funciones vectoriales
Capitulo 9 funciones vectoriales
Israel Matorras Rojas
 
1
11
Transormaciones Lineales - Gabriela bello - Algebra lineal
Transormaciones Lineales - Gabriela bello - Algebra linealTransormaciones Lineales - Gabriela bello - Algebra lineal
Transormaciones Lineales - Gabriela bello - Algebra lineal
Gabriela Bello
 
Curvasparametricas
CurvasparametricasCurvasparametricas
Curvasparametricas
Rodolfo Alcantara Rosales
 
Recta tangente normal y binormal
Recta tangente normal y binormalRecta tangente normal y binormal
Recta tangente normal y binormal
moisesdhp
 
Funciones vectoriales
Funciones vectorialesFunciones vectoriales
Funciones vectoriales
Dany Deyvis Rios Garcia
 
6 curvas
6 curvas6 curvas
6 curvas
ERICK CONDE
 
Ecuaciones Paramétricas. Brito Cristhian
Ecuaciones Paramétricas. Brito CristhianEcuaciones Paramétricas. Brito Cristhian
Ecuaciones Paramétricas. Brito Cristhian
KhriszthianxD
 
Calculo
CalculoCalculo
Yukeilys morales
Yukeilys moralesYukeilys morales
Yukeilys morales
yukeilys morales
 
INTEGRAL DE LINEA
INTEGRAL DE LINEAINTEGRAL DE LINEA
INTEGRAL DE LINEA
Jorge Leonardo
 
VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMAL
VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMALVECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMAL
VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMAL
Mario Muruato
 
Curvas alabeadas
Curvas alabeadasCurvas alabeadas
Curvas alabeadas
Eduardo Mena Caravaca
 

La actualidad más candente (20)

Aplicaciones funciones vectoriales
Aplicaciones funciones vectorialesAplicaciones funciones vectoriales
Aplicaciones funciones vectoriales
 
Funciones vectoriales de una variable real
Funciones vectoriales de una variable realFunciones vectoriales de una variable real
Funciones vectoriales de una variable real
 
Parametrizando la epicicloide
Parametrizando la epicicloideParametrizando la epicicloide
Parametrizando la epicicloide
 
Funciones vectoriales de_una_variable_real (1)
Funciones vectoriales de_una_variable_real (1)Funciones vectoriales de_una_variable_real (1)
Funciones vectoriales de_una_variable_real (1)
 
FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL
FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REALFUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL
FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE REAL
 
Aplicaciones funciones vectoriales
Aplicaciones funciones vectorialesAplicaciones funciones vectoriales
Aplicaciones funciones vectoriales
 
Material Extra
Material ExtraMaterial Extra
Material Extra
 
Capitulo 9 funciones vectoriales
Capitulo 9  funciones vectorialesCapitulo 9  funciones vectoriales
Capitulo 9 funciones vectoriales
 
1
11
1
 
Transormaciones Lineales - Gabriela bello - Algebra lineal
Transormaciones Lineales - Gabriela bello - Algebra linealTransormaciones Lineales - Gabriela bello - Algebra lineal
Transormaciones Lineales - Gabriela bello - Algebra lineal
 
Curvasparametricas
CurvasparametricasCurvasparametricas
Curvasparametricas
 
Recta tangente normal y binormal
Recta tangente normal y binormalRecta tangente normal y binormal
Recta tangente normal y binormal
 
Funciones vectoriales
Funciones vectorialesFunciones vectoriales
Funciones vectoriales
 
6 curvas
6 curvas6 curvas
6 curvas
 
Ecuaciones Paramétricas. Brito Cristhian
Ecuaciones Paramétricas. Brito CristhianEcuaciones Paramétricas. Brito Cristhian
Ecuaciones Paramétricas. Brito Cristhian
 
Calculo
CalculoCalculo
Calculo
 
Yukeilys morales
Yukeilys moralesYukeilys morales
Yukeilys morales
 
INTEGRAL DE LINEA
INTEGRAL DE LINEAINTEGRAL DE LINEA
INTEGRAL DE LINEA
 
VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMAL
VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMALVECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMAL
VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMAL
 
Curvas alabeadas
Curvas alabeadasCurvas alabeadas
Curvas alabeadas
 

Similar a R39286

Vectoresnn
VectoresnnVectoresnn
Vectoresnn
dobadiego
 
Calculo Vectorial Parte III
Calculo Vectorial   Parte IIICalculo Vectorial   Parte III
Calculo Vectorial Parte III
Universidad Nacional de Loja
 
Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasEcuaciones parametricas
Ecuaciones parametricas
CarlosAraujo238
 
calculo III.pdf
calculo III.pdfcalculo III.pdf
calculo III.pdf
HobertBarreramejia
 
Analisis parametrizacion de curas
Analisis parametrizacion de curasAnalisis parametrizacion de curas
Analisis parametrizacion de curas
ESPOCH
 
ampliteoriatema1_unlocked.pdf
ampliteoriatema1_unlocked.pdfampliteoriatema1_unlocked.pdf
ampliteoriatema1_unlocked.pdf
AngelCasodelaVega
 
Integrales de línea para educación universitaria
Integrales de línea  para educación universitariaIntegrales de línea  para educación universitaria
Integrales de línea para educación universitaria
RobertoCarlosMiranda3
 
Integrales linea
Integrales lineaIntegrales linea
Integrales linea
whaguilar12
 
Ecuaciones Parametricas. Matemática
Ecuaciones Parametricas. Matemática Ecuaciones Parametricas. Matemática
Ecuaciones Parametricas. Matemática
Eldiceth Lira
 
propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]
propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]
propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]
nidejo
 
Matematica
MatematicaMatematica
Matematica
RicardoAzocar3
 
Completo calculo-3-listo-para-imprimir
Completo calculo-3-listo-para-imprimirCompleto calculo-3-listo-para-imprimir
Completo calculo-3-listo-para-imprimir
Alexis Jhosep Barboza Navarro
 
La integral definida
La integral definidaLa integral definida
La integral definida
alfredoelmenphis
 
La integral definida
La integral definidaLa integral definida
La integral definida
Orlando Torres Pibernat
 
Elba Alcala - Algebra lineal
Elba Alcala - Algebra linealElba Alcala - Algebra lineal
Elba Alcala - Algebra lineal
Elba Alcala
 
Funciones0910
Funciones0910Funciones0910
Funciones0910
DARIOPANTIRAMOS
 
Copia de ficha matematicas parte i.
Copia de ficha matematicas parte i.Copia de ficha matematicas parte i.
Copia de ficha matematicas parte i.
ruben802
 
Copia de ficha matematicas parte i schehhhhhhhh
Copia de ficha matematicas parte i schehhhhhhhhCopia de ficha matematicas parte i schehhhhhhhh
Copia de ficha matematicas parte i schehhhhhhhh
ruben802
 
4 FVectorialReal.pdf
4 FVectorialReal.pdf4 FVectorialReal.pdf
4 FVectorialReal.pdf
HobertBarreramejia
 
ecuaciones parametricas
ecuaciones parametricasecuaciones parametricas
ecuaciones parametricas
JuanLuisOrdazCairo
 

Similar a R39286 (20)

Vectoresnn
VectoresnnVectoresnn
Vectoresnn
 
Calculo Vectorial Parte III
Calculo Vectorial   Parte IIICalculo Vectorial   Parte III
Calculo Vectorial Parte III
 
Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasEcuaciones parametricas
Ecuaciones parametricas
 
calculo III.pdf
calculo III.pdfcalculo III.pdf
calculo III.pdf
 
Analisis parametrizacion de curas
Analisis parametrizacion de curasAnalisis parametrizacion de curas
Analisis parametrizacion de curas
 
ampliteoriatema1_unlocked.pdf
ampliteoriatema1_unlocked.pdfampliteoriatema1_unlocked.pdf
ampliteoriatema1_unlocked.pdf
 
Integrales de línea para educación universitaria
Integrales de línea  para educación universitariaIntegrales de línea  para educación universitaria
Integrales de línea para educación universitaria
 
Integrales linea
Integrales lineaIntegrales linea
Integrales linea
 
Ecuaciones Parametricas. Matemática
Ecuaciones Parametricas. Matemática Ecuaciones Parametricas. Matemática
Ecuaciones Parametricas. Matemática
 
propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]
propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]
propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]
 
Matematica
MatematicaMatematica
Matematica
 
Completo calculo-3-listo-para-imprimir
Completo calculo-3-listo-para-imprimirCompleto calculo-3-listo-para-imprimir
Completo calculo-3-listo-para-imprimir
 
La integral definida
La integral definidaLa integral definida
La integral definida
 
La integral definida
La integral definidaLa integral definida
La integral definida
 
Elba Alcala - Algebra lineal
Elba Alcala - Algebra linealElba Alcala - Algebra lineal
Elba Alcala - Algebra lineal
 
Funciones0910
Funciones0910Funciones0910
Funciones0910
 
Copia de ficha matematicas parte i.
Copia de ficha matematicas parte i.Copia de ficha matematicas parte i.
Copia de ficha matematicas parte i.
 
Copia de ficha matematicas parte i schehhhhhhhh
Copia de ficha matematicas parte i schehhhhhhhhCopia de ficha matematicas parte i schehhhhhhhh
Copia de ficha matematicas parte i schehhhhhhhh
 
4 FVectorialReal.pdf
4 FVectorialReal.pdf4 FVectorialReal.pdf
4 FVectorialReal.pdf
 
ecuaciones parametricas
ecuaciones parametricasecuaciones parametricas
ecuaciones parametricas
 

Más de Jessica German

Teoremas
TeoremasTeoremas
Teoremas
Jessica German
 
Practica8
Practica8Practica8
Practica8
Jessica German
 
Abcemprendimiento lecture slides-semana01-articulo-ensempresarios
Abcemprendimiento lecture slides-semana01-articulo-ensempresariosAbcemprendimiento lecture slides-semana01-articulo-ensempresarios
Abcemprendimiento lecture slides-semana01-articulo-ensempresarios
Jessica German
 
EMPRENDIMIENTO ESBELTO
EMPRENDIMIENTO ESBELTO EMPRENDIMIENTO ESBELTO
EMPRENDIMIENTO ESBELTO
Jessica German
 
Cocacola 4
Cocacola 4Cocacola 4
Cocacola 4
Jessica German
 
Museo de antropologia
Museo de antropologiaMuseo de antropologia
Museo de antropologia
Jessica German
 

Más de Jessica German (6)

Teoremas
TeoremasTeoremas
Teoremas
 
Practica8
Practica8Practica8
Practica8
 
Abcemprendimiento lecture slides-semana01-articulo-ensempresarios
Abcemprendimiento lecture slides-semana01-articulo-ensempresariosAbcemprendimiento lecture slides-semana01-articulo-ensempresarios
Abcemprendimiento lecture slides-semana01-articulo-ensempresarios
 
EMPRENDIMIENTO ESBELTO
EMPRENDIMIENTO ESBELTO EMPRENDIMIENTO ESBELTO
EMPRENDIMIENTO ESBELTO
 
Cocacola 4
Cocacola 4Cocacola 4
Cocacola 4
 
Museo de antropologia
Museo de antropologiaMuseo de antropologia
Museo de antropologia
 

R39286

  • 1.
  • 2. Curvas en el espacio y funciones vectoriales En la sección de curvas paramétricas definimos una curva C en el plano como un conjunto de pares ordenados (f (t), g (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas x = f (t) e y = g (t); donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. esta definición admite una extensión natural al espacio tridimensional, como sigue. Una curva C en el espacio es un conjunto de tripletas ordenadas (f (t), g (t), h (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas x = f (t) , y = g (t) y z = h (t) Donde f , g y h denotan funciones continuas de t en un intervalo I. Antes de ver algunos ejemplos de curvas en el espacio, introduciremos un nuevo tipo de funciones, las funciones vectoriales. Aplican los números reales en vectores, es decir, son funciones con valores vectoriales.
  • 3. DEFINICIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Se llama función vectorial a cualquier función de la forma r(t) = f(t)i + g(t)j Plano r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k Espacio donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por: r(t) = <f(t) , g(t)> r(t) = <f(t) , g(t) , h(t)>
  • 4. Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t). Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t. Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f, g y h. Por ejemplo el dominio de: r ( t ) = ln ( t ) i + 1 − t j + tk es el intervalo (0, 1]
  • 5. (Trazado de una curva en el plano) EJEMPLO 1: Dibujar la curva representada por la función vectorial r ( t ) = 2 cos ti − 3sentj 0 ≤ t ≤ 2π Solución:
  • 6. (Tazado de una curva en el espacio) EJEMPLO 2: Dibujar la curva representada por la función vectorial r ( t ) = 4 cos ti + 4 sentj + tk 0 ≤ t ≤ 4π Solución: Esto significa que la curva está en un cilindro circular recto de radio 4, centrado en el eje z. Para localizar la curva en ese cilindro podemos usar la tercera ecuación paramétrica z = t. Obsérvese, en la figura de la pizarra, que cuando t crece de 0 a 4π el punto (x, y, z) se mueve en espiral hacia arriba, describiendo una hélice
  • 7. EJEMPLO 3: Hallar una función vectorial que represente una gráfica dada por: x = 2 + t, y = 3t y z=4-t Claro está que si la gráfica se da en forma paramétrica, la respuesta es inmediata. Así, para representar la recta dada en el espacio basta utilizar la función vectorial r (t) = (2 + t)i + 3tj + (4 – t)k Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica en cuestión, el problema de representarla mediante una función vectorial se reduce al de hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas
  • 8. EJEMPLO 4: Esbozar la gráfica C representada por la intersección del semielipsoide 2 x +y +z 2 2 12 24 4 =1 z≥0 y el cilindro parabólico y = x2. Y hallar una función vectorial que represente esa gráfica EJERCICIO PARA LA CARPETA: Representar la parábola dada por: y = x2 + 1 mediante una función vectorial y trazar la gráfica.