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Razones y proporciones Cuando decimos “ la razón entre el número  a  y el número  b  es... ” estamos diciendo lo siguiente: “ la división entre el número  a  y el número  b  es ... ” O de otra forma: “ a   dividido  por  b  es la  razón  entre  a  y  b ” La palabra razón entonces es sinónimo de división. Así de simple. ¿Porqué, entonces, usar razón en vez de división?  Realicemos la siguiente división Esto es, dos divido por 3, o en nuestro nuevo lenguaje, la razón entre 2 y 3 (observe que es diferente a decir la razón entre 3 y 2) es
Razones y proporciones Pues bien, entonces la razón entre 2 y 3 es 0,66666. Calculemos ahora la razón entre 4 y 6, esto es No resulta complicado verificar que la “ división ” entre 4 y 6 tiene como resultado la misma  razón  entre 2 y 3 Por lo demás,  De manera que, podemos decir que existe la “misma razón” entre 2 y 3 que entre 4 y 6.
Razones y proporciones Ahora daremos una explicación de porqué utilizar, en algunos casos, la parabra razón más que la palabra división Observe esta antena, compuesta por una barra vertical y una horizontal. La barra vertical tiene una longitud de tres metros, y la barra horizontal tiene una longitud de dos metros. De este modo  la razón entre la longitud horizontal y la longitud vertical  es de 2/3 3 metros 2 metros
Razones y proporciones Ahora construiremos una antena de longitud horizontal de 4 metros y de longitud vertical de 6 metros Esta nueva antena, más grande, tiene la  misma razón entre la barra horizontal y la barra vertical  que la antena más pequeña. De tal forma que, más que una división entre longitud vertical y longitud horizontal, la razón nos está indicando una forma de “construcción”, un cierto “patrón” de cómo construir antenas similares a la antena pequeña. 3 metros 2 metros 6 metros 4 metros
Razones y proporciones Entendiendo ahora la  razón entre la cantidad a y la cantidad b  como una  medida de relación entre a y b , se tiene una poderosa herramienta de medición con muchas aplicaciones al entorno real Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de  Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 17 bebés. Entonces ¿por cada 2000 habitantes cúantos nacimientos ocurrirán durante el año? (recuerde la antena, en este caso la barra horizontal son los recien nacidos y la barra vertical los habitantes)
Razones y proporciones Ambas antenas, que representan esquematicamente a la población, deben estar en la misma razón, esto es Esto es, por cada 2000 habitantes nacerán 34 bebés anualmente. 1000 habitantes 17 recién nacidos 2000 habitantes x  recién nacidos
Razones y proporciones La  razón entre población y superficie  se conoce, por los demógrafos, como  densidad poblacional . Por ejemplo, se sabe que la población de la Segunda Región de Antofagasta es de 493984 personas, y también se sabe que la superficie de la Segunda Región es de 126000 kilómetros cuadrados. Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de habitantes por kilómetro cuadrado ¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!
Razones y proporciones Se dice en los organismos de salud que, en invierno, la  razón de enfermedades bronquiales  es que se  enfermará un estudiante de cada tres Si la población estudiantil de la ciudad de Antofagasta es de 130000 estudiantes, ¿cuántos se enfermarán este invierno aproximadamente? ¡Aproximadamente 43333 estudiantes se enfermarán este invierno! razón =  estudiantes enfermos número de estudiantes =
Razones y proporciones Si dos cantidades  a  y  b  están en la razón  r , es decir  r  =  a / b . Entonces si se tiene que otras dos cantidades, digamos  c  y  d , están en la misma razón, es decir  r  =  c / d , se dice que  c  y  d  están en la misma proporción que  a  y  b . Suponga lo siguiente: se tiene la urna con 1 bolita blanca y tres rojas Se quiere mantener la misma proporción pero esta vez se desea que hayan 9 bolitas rojas, ¿cuántas bolitas blancas deben estar? bolitas blancas

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Razones

  • 1. Razones y proporciones Cuando decimos “ la razón entre el número a y el número b es... ” estamos diciendo lo siguiente: “ la división entre el número a y el número b es ... ” O de otra forma: “ a dividido por b es la razón entre a y b ” La palabra razón entonces es sinónimo de división. Así de simple. ¿Porqué, entonces, usar razón en vez de división? Realicemos la siguiente división Esto es, dos divido por 3, o en nuestro nuevo lenguaje, la razón entre 2 y 3 (observe que es diferente a decir la razón entre 3 y 2) es
  • 2. Razones y proporciones Pues bien, entonces la razón entre 2 y 3 es 0,66666. Calculemos ahora la razón entre 4 y 6, esto es No resulta complicado verificar que la “ división ” entre 4 y 6 tiene como resultado la misma razón entre 2 y 3 Por lo demás, De manera que, podemos decir que existe la “misma razón” entre 2 y 3 que entre 4 y 6.
  • 3. Razones y proporciones Ahora daremos una explicación de porqué utilizar, en algunos casos, la parabra razón más que la palabra división Observe esta antena, compuesta por una barra vertical y una horizontal. La barra vertical tiene una longitud de tres metros, y la barra horizontal tiene una longitud de dos metros. De este modo la razón entre la longitud horizontal y la longitud vertical es de 2/3 3 metros 2 metros
  • 4. Razones y proporciones Ahora construiremos una antena de longitud horizontal de 4 metros y de longitud vertical de 6 metros Esta nueva antena, más grande, tiene la misma razón entre la barra horizontal y la barra vertical que la antena más pequeña. De tal forma que, más que una división entre longitud vertical y longitud horizontal, la razón nos está indicando una forma de “construcción”, un cierto “patrón” de cómo construir antenas similares a la antena pequeña. 3 metros 2 metros 6 metros 4 metros
  • 5. Razones y proporciones Entendiendo ahora la razón entre la cantidad a y la cantidad b como una medida de relación entre a y b , se tiene una poderosa herramienta de medición con muchas aplicaciones al entorno real Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 17 bebés. Entonces ¿por cada 2000 habitantes cúantos nacimientos ocurrirán durante el año? (recuerde la antena, en este caso la barra horizontal son los recien nacidos y la barra vertical los habitantes)
  • 6. Razones y proporciones Ambas antenas, que representan esquematicamente a la población, deben estar en la misma razón, esto es Esto es, por cada 2000 habitantes nacerán 34 bebés anualmente. 1000 habitantes 17 recién nacidos 2000 habitantes x recién nacidos
  • 7. Razones y proporciones La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional . Por ejemplo, se sabe que la población de la Segunda Región de Antofagasta es de 493984 personas, y también se sabe que la superficie de la Segunda Región es de 126000 kilómetros cuadrados. Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de habitantes por kilómetro cuadrado ¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!
  • 8. Razones y proporciones Se dice en los organismos de salud que, en invierno, la razón de enfermedades bronquiales es que se enfermará un estudiante de cada tres Si la población estudiantil de la ciudad de Antofagasta es de 130000 estudiantes, ¿cuántos se enfermarán este invierno aproximadamente? ¡Aproximadamente 43333 estudiantes se enfermarán este invierno! razón = estudiantes enfermos número de estudiantes =
  • 9. Razones y proporciones Si dos cantidades a y b están en la razón r , es decir r = a / b . Entonces si se tiene que otras dos cantidades, digamos c y d , están en la misma razón, es decir r = c / d , se dice que c y d están en la misma proporción que a y b . Suponga lo siguiente: se tiene la urna con 1 bolita blanca y tres rojas Se quiere mantener la misma proporción pero esta vez se desea que hayan 9 bolitas rojas, ¿cuántas bolitas blancas deben estar? bolitas blancas