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I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS                                                             Matemática 4º de Secundaria


                                      RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
                                        DE ÁNGULOS NOTABLES

    Son aquellos triángulos rectángulos donde                      b) Triángulo de 16º y 74º
    conociendo las medidas de sus ángulos
    agudos, se puede saber la proporción
    existente entre sus lados.
    Como por ejemplo:




1. Triángulo Notable de 45º
                 k


                                                                   c) Triángulo de 8º y 82º
                       45º

k                                k

                                                                                               5 2k                82º
                                                                                                                         k
           45º

                 k
                                                                                          8º
                                                                                                         7k

2. Triángulo Notable de 30º y 60º

                                                                                  Ejercicios Resueltos
                                                30º
                 30º 30º                                  2k
      2k                         2k     3   k
                                                                1. Calcular: E = Sen230º + Tg37º

           60º             60º                            60º
                                                                   Solución:
            k              k                          k
                                                                        Reemplazando valores:
                                                                                          2
                                                                                 1               3   1 3
                                                                        E
                                                                          
                                                                                                        E 1
                                                                                 2
                                                                                                  4   4 4
3. Triángulo Notables Aproximados

                                                                                                  sen 2 45º  cos60º
                                                                2. Evaluar: E 
      a) Triángulo de 37º y 53º                                                                         csc30º

                                                                   Solución:

                                                                   Reemplazando:
                                                                                      2
                                                                                 
                                                                         2                  1
                                                                                                  2 1
                                                                        2                   2       
                                                                                                   4 2   1                 1
                                                                                                                     E=
                                                                              2                       2    2                 2


                                                                                          Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS                                        Matemática 4º de Secundaria
                                                    07. Determine el valor de “m” para que “x” sea
                                                                           m1
                                                        30º. cos2x 
            Práctica dirigida Nº 01                                        m1
                                                        a) 2                       b) 3                   c) 4
                                                        d) 5                       e) 6

01. Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º
                                                                                                9θ 
    a) 1                  b) 2            c) 1/4                           Sen3θ . Cos6θ . Csc 
                                                                                               
                                                                                                    
                                                                                                 2 
                                                                                                    
    d) 3/4                e) 4/3                    08. Sea: F  θ  
                                                                                                9θ 
                                                                            Tg3θ . Sec6θ  Cot 
                                                                                               
                                                                                                    
                                                                                                 2 
                                                                                                    
02. Calcular                                                   Para evaluar:            = 10º
               . sen 30º 3 . tg 60º
     F                                                 a)     13                  b)       6 /8          c) 15
             10 . cos 37 º 2 . sec 45º

    a) 1                  b) 1/2          c) -1/3       d)     15 / 7              e) 17
    d) 2                  e) 2/3

                                                    09. Del gráfico hallar: ctg
03. Calcular:
                 E  6tg30º sec 45º 3 sec 53º          a) 1,6
    a) 3                b) 5            c) 7            b) 1,7              45º
    d) 9                e) 11                           c) 0,4                     x+3
                                                        d) 0,6
                                                                                                               
                                                        e) 1,4
                                                                        2x + 1                   5x - 3
04. Calcular: E = sec37º + ctg53º - 2sen30º

    a) 0                  b) 1            c) 2
    d) 3                  e) 4                      10. Del gráfico, hallar Ctg 
                                                             4
                                                          a)
                                                             5
05. Resolver:                                                7
                                                          b)
                                                             4
           5xsen53º - 2sec60º = xtg45º + sec245º                            5
                                                               2
                                                          c)
                                                              5
    a) 1                  b) 2            c) 3                               53º                          
                                                             7
    d) 1/2                e) 1/4                          d)                                10
                                                             5
                                                          e) 1
                                                                                            senx
06. Indicar el valor de “x” en:                     11. Del gráfico calcular: E 
                                                                                            seny
        tg(2x - 5º) = sen230º + sen260º
                                                               4 2
                                                          a)
                                                                5
    a) 15º                b) 20º          c) 25º                                        x    y
                                                             4
    d) 30º                e) 35º                          b)
                                                             5
                                                                2
                                                          c)                     53º                          45º
                                                                5
                                                          d) 4 2
                                                          e) 1




                                                                        Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS                                                       Matemática 4º de Secundaria
                                                                   6. Hallar “x”.
                    Tarea Nº 01                                        Siendo: Csc x 45º
                                                                                                   1
                                                                                                 Csc30º
1. Calcular:
        E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º                         a) –1                 b) –2                c) 1

                                                                       d) 2                  e) 3
    a) 0                      b) 1               c) 2
    d) 3                      e) 4
                                                                   7. Determine tg  en el gráfico.


2. Calcular: “x”                                                        a)     3
  3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)
                                                          csc30º
                                                                               3
                                                                        b)
                                                                               3
                                                                                                        30º
    a) 1            b) 2                  c) 3                                 3
                                                                        c)
                                                                               2
    d) 4            e) 5
                                                                               3
                                                                        d)
                                                                               6
                                                      sec60º                  3 3                                        
3. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º)                              e)
                                                                               2

    a) 25/12                  b) 25/24           c) 49/12
    d) 49/24                  e) 7/18                               8. De la figura calcular a/b

                                                                        a) 1
                                                                        b) 2                 53º
4. Calcular:                                                                          a-b
                                                                        c) 5
           Tg30º  Sec60º  Sen37º  Cos30º
    E                                                                  d) 7
                           Sen 2 45º                                    e) 8                            a+b
           3                       11 3               3 3
    a)                        b)                 c)
           5                         5                 5
         5 3                       2 3                                                       y
    d)                        e)                                    9. Del gráfico hallar
          3                         5                                                        x


5. Calcular:                                                            a) 1
                                                                                                                  
                    45º                                                 b) 2
               tg
                     2                                                  c) 3
    a)     2                  b)     2 1        c)     2 1            d) 4
                                                                                                      37º
    d) 1  2                  e)     2 2                               e) 6             x             y      y




                                                                                    Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS                                           Matemática 4º de Secundaria


                        PROPIEDADES DE LAS RAZONES
                             TRIGONOMÉTRICAS

1. Razones Trigonométricas Recíprocas
                                                                 Ejercicios Resueltos
   Para un mismo ángulo, siempre se cumple:
                                                        1. Resolver el menor valor positivo de “x”
          Sen . Csc = 1                                  verifique:
                                                                      Sen5x = Cosx
          Cos . Sec = 1                                   Solución:
           Tg . Ctg = 1                                   Dada la ecuación: Sen5x = Cosx
                                                            Luego los ángulos deben sumar 90º,
                                                            entonces:
   Ejemplos:                                                             5x + x = 90º
                                                                            6x = 90º
       Sen 10º . Csc10º = 1
       Tg A . Ctg A = 1                                                     .x = 15º.
       Cos(x+y).Sec(x+y) = 1
       Csc(x + y – z). Sen(x + y – z) = 1
                                                        2. Resolver “x” el menor positivo que verifique:
                                                              Sen3x – Cosy = 0
                                                               Tg 2y . Ctg30º – 1 = 0
2. Razones trigonométricas de Ángulos                       Solución:
   Complementarios
                                                            Nótese que el sistema planteado es
                                                            equivalente a:
   Si:  y  son dos ángulos complementarios,
   siempre se cumple que:                                    Sen3x = Cosy  3x + y = 90º (R.T.
                                                              complementarios)
                                                             Tg2y . Ctg30º = 1                     2y = 30º
                                                
                                        c                       (R.T. recíprocas)
       sen = cos
                                                    a                                          .y = 15º.
       tg = ctg
       sec = csc                                            Reemplazando en la primera igualdad:
                                                                                 3x + 15º = 90º
                                            b
                                                                                         3x = 75º
   Es decir:     +  = 90º                                                              .x = 25º.


                                                        3. Si: Sen 9x – Cos 4x = 0,
   Ejemplos:                                                             Tg7x
                                                           calcular: P 
                                                                         Ctg6x
    Sen20º = Cos 70º
    Tg 50º = Ctg 40º                                       Solución:
    Sec 80º = Csc10º
                                                            Del Dato:    Sen 9x = Cos 4x
                                                                         9x + 4 x = 9 0 º
                                                                              13x = 9 0º


                                                                        Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS                                      Matemática 4º de Secundaria
      Pero:            7x + 6 x = 13x
                       7x + 6 x = 90º                                   sen10º 2tg20º 3sec40º
                                                   7.   Calcular: E                
      Entonces: R.T.(7x) = Co–R.T.(6x)                                  cos80º ctg70º csc50º

                        Tg7x                            a) 1               b) 2              c) 0
      Luego:                   1                       d) -1              e) -2
                       Ctg6x

                      P=1                         8.   Si: Sec7x = Csc4x
                                                                      2Senx Tg3x
                                                        Calcular: E        
                                                                      Cos10x Ctg8x
              Práctica Dirigida Nº 02
                                                        a) 0               b) 1              c) 2
                                                        d) -1              e) -2
 1.     Poner V o F según convenga:
                                                   9.   Calcular: cos(x + y)
        a) sen20º = cos70º                (    )
                                                        Si: Sen(x – 5º) . Csc(25º - x) = 1
        b) tg10º . ctg10º = 1             (    )
                                                             Sen(y + 10º) = Cos(y + 20º)
        c) sec(x + 40º) = csc(50º - x)    (    )
                                                                                2                 1
        d) tg(x + y) . ctg(x + y) = 1     (    )        a)     2           b)                c)
                                                                                2                 2
        e) tg20º = ctg20º                 (    )
                                                             3                  3
                                                        d)                 e)
                                                             5                  2
 2.     Señale el valor de “x”
        Si: Sen2x . Csc40º = 1
                                                   10. Simplificar:
        a) 10º                 b) 5º      c) 15º            Tg10º  Tg20º  Tg30º ........ Tg80º
                                                       E
        d) 20º                 e) 40º                     Ctg10º  Ctg20º  Ctg30º ........ Ctg80º

 3.     Sabiendo que: Tg 5x . Ctg(x + 40º) = 1                                  1                 1
                                                        a) 1               b)                c)
        Calcular: Cos3x                                                         2                 3
                                                               3                2
                                  1            2        d)                 e)
        a) 1                   b)         c)                   2                2
                                  2            2
                                  2
        d)     3               e)
                                  3
                                                   11. Determine “x” :
                                                                                             tg 1 5º
 4.     Hallar “x”                                       sec(2x - 8) = sen 40º csc 40º +
        Si: Cos(3x – 12º) . Sec(x + 36º) = 1                                                 ctg 75º

        a) 12º                 b) 24º     c) 36º        a) 17º             b) 20º            c) 28º
        d) 48º                 e) 8º                    d) 30º             e) 34º



 5.     Determine “x” en:
             Sen(3x + 25º) . Csc(x + 35) = 1

        a) 5º                  b) 8º      c) 10º
        d) 15º                 e) 20º

 6.     Calcular:
         E = (7tg10º - 2ctg80º) (ctg10º + tg80º)

        a) 5                   b) 14      c) 10
        d) 12                  e) 8


                                                                   Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS                                      Matemática 4º de Secundaria

                     Tarea Nº 02                    7.   Si: Sen3x = Cos14x
                                                         Calcular:
 1.   Señale el valor de “x”                                                            2 sec x
                                                                     E  tg5x tg12x 
      Si: Sen3x . Csc54º = 1                                                            csc 16x

      a) 10º               b) 12º        c) 14º          a) 1                  b) 2               c) 3
      d) 16º               e) 18º                        d) 4                  e) 5


 2.   Sabiendo que: Tg3x . Ctg(x + 40º) = 1
                                                    8.   Si: Sec(4x – 10º) = Csc(40º - x)
      Calcular: cos3x
                                                                                               3x
                              1                 2                 Calcular: E  tg2 3x  csc
      a) 1                 b)            c)                                                     2
                              2                 2
           3                  4                          a) 3                  b) 4               c) 5
      d)                   e)
           5                  5                          d) 6                  e) 7

 3.   Señale el valor de “x”                        9.   Determine el valor de “x” en :
      Si: Cos(2x – 10º) . Sec(x + 30º) = 1               Tg(x – 10º) = Tg1º Tg2º Tg3º ……. Tg89º

      a) 10º               b) 20º        c) 30º          a) 30º                b) 45º             c) 55º
      d) 40º               e) 50º                        d) 65º                e) 75º

                                                    10. Si: sen(x – 20º) = cos(y - 30º)
 4.   Si: Sen(3x – 10º) . Csc(x + 10º) = 1              Calcular:
      Calcular:                                                       xy            xy
                E = Sec6x . Tg8x . Tgx                          Sen(        )  Cos(     )
                                                                        4              2

      a) 1                 b) 2          c)     3               Cos(x  y  85º)  Sen(x  y  120º)

             3                  2 3
      d)                   e)                            a) 1/2                b) 2               c) -1
             2                   3
                                                         d) 0                  e) 1
 5.   Calcular:
                                                    11. Calcular :
           E = (4Sen2º + 3Cos88º) Csc2º
                                                                                      3
                                                                        sen(   x) tg(     x)
                                                                   E       5         8
      a) 14                b) 13         c) 11                             3           
      d) 9                 e) 7                                       cos(     x) ctg(  x)
                                                                           10           8

 6.   Simplificar:                                       a) 2                  b) 3               c) 1
                    2sen10º 3tg30º 5 sec 20º
               E                                      d) 0                  e) 1/2
                    cos80º ctg60º   csc 70º


      a) 4                 b) 6          c) 8
      d) 10                e) 12




                                                                    Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

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Razones trigonometricas de angulos notables

  • 1. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Son aquellos triángulos rectángulos donde b) Triángulo de 16º y 74º conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Como por ejemplo: 1. Triángulo Notable de 45º k c) Triángulo de 8º y 82º 45º k k 5 2k 82º k 45º k 8º 7k 2. Triángulo Notable de 30º y 60º Ejercicios Resueltos 30º 30º 30º 2k 2k 2k 3 k 1. Calcular: E = Sen230º + Tg37º 60º 60º 60º Solución: k k k Reemplazando valores: 2  1 3 1 3 E       E 1  2  4 4 4 3. Triángulo Notables Aproximados sen 2 45º  cos60º 2. Evaluar: E  a) Triángulo de 37º y 53º csc30º Solución: Reemplazando: 2    2  1    2 1  2  2    4 2 1 1   E= 2 2 2 2 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  • 2. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria 07. Determine el valor de “m” para que “x” sea m1 30º. cos2x  Práctica dirigida Nº 01 m1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 01. Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º  9θ  a) 1 b) 2 c) 1/4 Sen3θ . Cos6θ . Csc     2   d) 3/4 e) 4/3 08. Sea: F  θ    9θ  Tg3θ . Sec6θ  Cot     2   02. Calcular Para evaluar:  = 10º  . sen 30º 3 . tg 60º F  a) 13 b) 6 /8 c) 15 10 . cos 37 º 2 . sec 45º a) 1 b) 1/2 c) -1/3 d) 15 / 7 e) 17 d) 2 e) 2/3 09. Del gráfico hallar: ctg 03. Calcular: E  6tg30º sec 45º 3 sec 53º a) 1,6 a) 3 b) 5 c) 7 b) 1,7 45º d) 9 e) 11 c) 0,4 x+3 d) 0,6  e) 1,4 2x + 1 5x - 3 04. Calcular: E = sec37º + ctg53º - 2sen30º a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 10. Del gráfico, hallar Ctg  4 a) 5 05. Resolver: 7 b) 4 5xsen53º - 2sec60º = xtg45º + sec245º 5 2 c) 5 a) 1 b) 2 c) 3 53º  7 d) 1/2 e) 1/4 d) 10 5 e) 1 senx 06. Indicar el valor de “x” en: 11. Del gráfico calcular: E  seny tg(2x - 5º) = sen230º + sen260º 4 2 a) 5 a) 15º b) 20º c) 25º x y 4 d) 30º e) 35º b) 5 2 c) 53º 45º 5 d) 4 2 e) 1 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  • 3. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria 6. Hallar “x”. Tarea Nº 01 Siendo: Csc x 45º 1 Csc30º 1. Calcular: E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º a) –1 b) –2 c) 1 d) 2 e) 3 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 7. Determine tg  en el gráfico. 2. Calcular: “x” a) 3 3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º) csc30º 3 b) 3 30º a) 1 b) 2 c) 3 3 c) 2 d) 4 e) 5 3 d) 6 sec60º 3 3  3. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º) e) 2 a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12 d) 49/24 e) 7/18 8. De la figura calcular a/b a) 1 b) 2 53º 4. Calcular: a-b c) 5 Tg30º  Sec60º  Sen37º  Cos30º E d) 7 Sen 2 45º e) 8 a+b 3 11 3 3 3 a) b) c) 5 5 5 5 3 2 3 y d) e) 9. Del gráfico hallar 3 5 x 5. Calcular: a) 1  45º b) 2 tg 2 c) 3 a) 2 b) 2 1 c) 2 1 d) 4  37º d) 1  2 e) 2 2 e) 6 x y y Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  • 4. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 1. Razones Trigonométricas Recíprocas Ejercicios Resueltos Para un mismo ángulo, siempre se cumple: 1. Resolver el menor valor positivo de “x” Sen . Csc = 1 verifique: Sen5x = Cosx Cos . Sec = 1 Solución: Tg . Ctg = 1 Dada la ecuación: Sen5x = Cosx Luego los ángulos deben sumar 90º, entonces: Ejemplos: 5x + x = 90º 6x = 90º  Sen 10º . Csc10º = 1  Tg A . Ctg A = 1 .x = 15º.  Cos(x+y).Sec(x+y) = 1  Csc(x + y – z). Sen(x + y – z) = 1 2. Resolver “x” el menor positivo que verifique: Sen3x – Cosy = 0 Tg 2y . Ctg30º – 1 = 0 2. Razones trigonométricas de Ángulos Solución: Complementarios Nótese que el sistema planteado es equivalente a: Si:  y  son dos ángulos complementarios, siempre se cumple que:  Sen3x = Cosy  3x + y = 90º (R.T. complementarios)  Tg2y . Ctg30º = 1  2y = 30º  c (R.T. recíprocas) sen = cos a .y = 15º. tg = ctg sec = csc  Reemplazando en la primera igualdad: 3x + 15º = 90º b 3x = 75º Es decir:  +  = 90º .x = 25º. 3. Si: Sen 9x – Cos 4x = 0, Ejemplos: Tg7x calcular: P  Ctg6x  Sen20º = Cos 70º  Tg 50º = Ctg 40º Solución:  Sec 80º = Csc10º Del Dato: Sen 9x = Cos 4x 9x + 4 x = 9 0 º 13x = 9 0º Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  • 5. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria Pero: 7x + 6 x = 13x 7x + 6 x = 90º sen10º 2tg20º 3sec40º 7. Calcular: E    Entonces: R.T.(7x) = Co–R.T.(6x) cos80º ctg70º csc50º Tg7x a) 1 b) 2 c) 0 Luego: 1 d) -1 e) -2 Ctg6x  P=1 8. Si: Sec7x = Csc4x 2Senx Tg3x Calcular: E   Cos10x Ctg8x Práctica Dirigida Nº 02 a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 1. Poner V o F según convenga: 9. Calcular: cos(x + y) a) sen20º = cos70º ( ) Si: Sen(x – 5º) . Csc(25º - x) = 1 b) tg10º . ctg10º = 1 ( ) Sen(y + 10º) = Cos(y + 20º) c) sec(x + 40º) = csc(50º - x) ( ) 2 1 d) tg(x + y) . ctg(x + y) = 1 ( ) a) 2 b) c) 2 2 e) tg20º = ctg20º ( ) 3 3 d) e) 5 2 2. Señale el valor de “x” Si: Sen2x . Csc40º = 1 10. Simplificar: a) 10º b) 5º c) 15º Tg10º  Tg20º  Tg30º ........ Tg80º E d) 20º e) 40º Ctg10º  Ctg20º  Ctg30º ........ Ctg80º 3. Sabiendo que: Tg 5x . Ctg(x + 40º) = 1 1 1 a) 1 b) c) Calcular: Cos3x 2 3 3 2 1 2 d) e) a) 1 b) c) 2 2 2 2 2 d) 3 e) 3 11. Determine “x” : tg 1 5º 4. Hallar “x” sec(2x - 8) = sen 40º csc 40º + Si: Cos(3x – 12º) . Sec(x + 36º) = 1 ctg 75º a) 12º b) 24º c) 36º a) 17º b) 20º c) 28º d) 48º e) 8º d) 30º e) 34º 5. Determine “x” en: Sen(3x + 25º) . Csc(x + 35) = 1 a) 5º b) 8º c) 10º d) 15º e) 20º 6. Calcular: E = (7tg10º - 2ctg80º) (ctg10º + tg80º) a) 5 b) 14 c) 10 d) 12 e) 8 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  • 6. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria Tarea Nº 02 7. Si: Sen3x = Cos14x Calcular: 1. Señale el valor de “x” 2 sec x E  tg5x tg12x  Si: Sen3x . Csc54º = 1 csc 16x a) 10º b) 12º c) 14º a) 1 b) 2 c) 3 d) 16º e) 18º d) 4 e) 5 2. Sabiendo que: Tg3x . Ctg(x + 40º) = 1 8. Si: Sec(4x – 10º) = Csc(40º - x) Calcular: cos3x 3x 1 2 Calcular: E  tg2 3x  csc a) 1 b) c) 2 2 2 3 4 a) 3 b) 4 c) 5 d) e) 5 5 d) 6 e) 7 3. Señale el valor de “x” 9. Determine el valor de “x” en : Si: Cos(2x – 10º) . Sec(x + 30º) = 1 Tg(x – 10º) = Tg1º Tg2º Tg3º ……. Tg89º a) 10º b) 20º c) 30º a) 30º b) 45º c) 55º d) 40º e) 50º d) 65º e) 75º 10. Si: sen(x – 20º) = cos(y - 30º) 4. Si: Sen(3x – 10º) . Csc(x + 10º) = 1 Calcular: Calcular: xy xy E = Sec6x . Tg8x . Tgx Sen( )  Cos( ) 4 2 a) 1 b) 2 c) 3 Cos(x  y  85º)  Sen(x  y  120º) 3 2 3 d) e) a) 1/2 b) 2 c) -1 2 3 d) 0 e) 1 5. Calcular: 11. Calcular : E = (4Sen2º + 3Cos88º) Csc2º  3 sen(  x) tg(  x) E 5  8 a) 14 b) 13 c) 11 3  d) 9 e) 7 cos(  x) ctg(  x) 10 8 6. Simplificar: a) 2 b) 3 c) 1 2sen10º 3tg30º 5 sec 20º E   d) 0 e) 1/2 cos80º ctg60º csc 70º a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz