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ECUACIONES DIFERENCIALES ANDRÉS
GUALOTUÑA
Unidad 1
• Introducción a las Ecuaciones diferenciales
• CLASIFICACIÓN
• ORDEN y GRADO
• LINEALIDAD
SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
E INTERVALO DE DEFINICIÓN
• SOLUCIONES EXPLICITAS E IMPLICITAS.
FAMILIA DE SOLUCIONES
• PROBLEMAS DE VALORES INICIALES (PVI)
UNIDAD 2
• Ecuaciones diferenciales de primer orden
• Factor integrante
• Ecuaciones diferenciales exactas
• Variación de la constante
• Ecuaciones Homogéneas
• Ecuación de la forma dy/dx =G(ax+by)
• Ecuación diferencial de Bernoulli
• Ecuación diferencial ordinaria de riccati
• Aplicación de modelo ecuaciones diferenciales
• UNIDAD 3
• Ecuaciones lineales de segundo orden
• Funciones linealmente independientes y linealmente
dependientes
• El Wronskiano
• Existencia y unicidad (n-esima orden)
• Problemas con valores iniciales
• Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
• Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes
constantes
• Reducción de orden para ecuaciones de segundo orden
• Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
(método anulador)
• Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
(variación de parámetros)
• Es una ecuación que relaciona variables independientes, sus
derivadas y variables dependientes
• Y´ , Y´´ ,… Y(n)  DERIVADAS
• VARIABLE INDEPENDIENTE  x, t
• VARIABLE DEPENDIENTE  y= f(x) , h=g(t)
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS [EDO]
• Presentan una sola variables dependiente e
independiente:
Y´´ - Y´= 1
• ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES [EDP]
• Presentan 2 o más variables dependientes e
independientes
• ORDEN:
El orden de una ecuación diferencial esta dado por la mayor derivada
presente
GRADO:
Potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la
ecuación
• Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si tienen la
forma
• Una ecuación diferencial ordinaria no es lineal si no tiene
la forma anterior
• Una función y= Ø (x) es una solución de un EDO de orden
“n” en un intervalo I, ssi sus “n” derivadas existen en el
intervalo I y al reemplazarles en la EDO se obtiene una
identidad
SOLUCIONES EXPLICITAS E IMPLICITAS. FAMILIA DE
SOLUCIONES
• Ecuación diferencial ordinaria de primer orden
Y´´´ + 4y = 0
(-4 sen 2x + 12 cos 2x) + 4(sen 2x – 3cos
2x)= 0
0 + 0 = 0
0 = 0
IMPLICITA: F(Y´, Y, X) EJEM= Y´- X – Y
= 0
EXPLICITA: Y´(X)= F(Y(X), X) EJEM= Y´ =
X + Y
• forma general EDO orden “n”  solución:
• Forma normal EDO 1er orden  solución:
Consiste en encontrar una solución particular y(x) que
cumple ciertas condiciones dadas
Remedial resumen
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Si el segundo miembro de una ecuación expresas de la
forma
Se puede expresar como una función que depende
solamente de x, multiplicada por una función que depende
solamente de y; entonces, la ecuación diferencial se llama
separable
Remedial resumen
• Una función µ(x,y) es un factor integrante de una ecuación
diferencial si al multiplicar la ecuación diferencial por la función “µ”,
se cumple la condición de que la primera derivada parcial del primer
termino “µM” con respecto a “y” sea igual a la primera derivada
parcial del segundo termino “µN” con respecto a “x”
• Una ecuación diferencial exacta es una región R del
plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función
definida en R. Por tanto, una ED de primer orden de la
forma . Es una ecuación exacta si la expresión del lado
izquierdo es una diferencial exacta.
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• El método de variación de constantes permite calcular
una solución particular de una ecuación lineal de
segundo orden no homogénea (ecuación completa).
Remedial resumen
Una ecuación diferencial de primer orden, y´=f(x,y), es homogénea si la función f(x,y)
es homogénea de orden cero
Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma
sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes:
son funciones homogéneos del mismo grado.
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• La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación
diferencial ordinaria de primer orden, mediante la
sustitución , que se caracteriza por adoptar la
forma:
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• La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial
ordinaria, no lineal de primer orden
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• Vida media.- Es el tiempo que tarda en desintegrarse o
transformarse en otro elemento, la mitad de los átomos
de una muestra inicial
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• Ecuaciones lineales de segundo orden
• Una ecuación diferencial lineal de segundo orden para
una función x = x(t) es una ecuación de la forma:
• donde a(t), b(t) y f(t) son funciones dadas, definidas en
un intervalo J. Cuando f(t) es la función nula se dice que
(1) es una ecuación lineal homogénea. Algunos ejemplos
de ecuaciones lineales de segundo orden son:
• Sean f1(x), f2(x),…, fn(x), si:
• C1f1(x)+C2f2(x)+…+Cnfn(x)=0 (1)
• Si a excepción de C1=0, i=1,2,…,n no existen otros
valores de Ci para los cuales (1) es cero, entonces F1(x),
f2(x),…, fn(x) son funciones linealmente independientes
• Caso contrario f1(x), f2(x),…, fn(x), son linealmente
dependientes
• Dadas las funciones f1(x), f2(x),…, fn(x), El wroskiano
asociado define como:
• Si w=0, entonces:
• f1(x), f2(x),…, fn(x), son LINEALMENTE DEPENDIENTES
• Si w(no es)=0, entonces:
• f1(x), f2(x),…, fn(x), son LINEALMENTE
INDEPENDIENTES
Remedial resumen
• Sean an(x), an-1(x),…, a1(x), a0(x) y g(x) funciones
continuas en un intervalo I, y an(x) no es igual a 0 en
todo el intervalo I. Entonces existe una única solución
y(x)
es una ecuación diferencial ordinaria junto con un valor especificado,
llamado la condición inicial, de la función desconocida en un punto
dado del dominio de la solución.
Remedial resumen
• Una ecuación homogénea de segundo orden con
coeficientes constantes tiene la forma general
• donde a , b y c son constantes.
Remedial resumen
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• En matemáticas, la reducción de orden es una técnica
utilizada para resolver ecuaciones diferenciales
ordinarias de segundo orden. Se utiliza cuando la
primera de dos soluciones (y1) es conocida y se busca la
segunda (y2)
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• El método de variación de parámetros es un
procedimiento útil para la obtención de una solución
particular yp(x) de la ecuación diferencial ordinaria lineal
(no homogénea) y se basa en el conocimiento de la
solución general de la lineal homogénea asociada a
dicha edo. lineal.
• Haciendo referencia a las lineales de segundo orden
diremos que el método de variación de parámetros es útil
para obtener una solución particular yp(x) de la lineal
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• matemático, C. (s.f.). Ecuaciones diferenciales y
problemas con valores .
• STEWART. (s.f.). Calculo de una variable transcendentes
7ma edición.
• ZILL, Denis. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones
de modelado, Edición 8.

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Remedial resumen

  • 2. Unidad 1 • Introducción a las Ecuaciones diferenciales • CLASIFICACIÓN • ORDEN y GRADO • LINEALIDAD SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL E INTERVALO DE DEFINICIÓN • SOLUCIONES EXPLICITAS E IMPLICITAS. FAMILIA DE SOLUCIONES • PROBLEMAS DE VALORES INICIALES (PVI)
  • 3. UNIDAD 2 • Ecuaciones diferenciales de primer orden • Factor integrante • Ecuaciones diferenciales exactas • Variación de la constante • Ecuaciones Homogéneas • Ecuación de la forma dy/dx =G(ax+by) • Ecuación diferencial de Bernoulli • Ecuación diferencial ordinaria de riccati • Aplicación de modelo ecuaciones diferenciales
  • 4. • UNIDAD 3 • Ecuaciones lineales de segundo orden • Funciones linealmente independientes y linealmente dependientes • El Wronskiano • Existencia y unicidad (n-esima orden) • Problemas con valores iniciales • Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes • Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes • Reducción de orden para ecuaciones de segundo orden • Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes (método anulador) • Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes (variación de parámetros)
  • 5. • Es una ecuación que relaciona variables independientes, sus derivadas y variables dependientes • Y´ , Y´´ ,… Y(n)  DERIVADAS • VARIABLE INDEPENDIENTE  x, t • VARIABLE DEPENDIENTE  y= f(x) , h=g(t)
  • 6. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS [EDO] • Presentan una sola variables dependiente e independiente: Y´´ - Y´= 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES [EDP] • Presentan 2 o más variables dependientes e independientes
  • 7. • ORDEN: El orden de una ecuación diferencial esta dado por la mayor derivada presente GRADO: Potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación
  • 8. • Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si tienen la forma • Una ecuación diferencial ordinaria no es lineal si no tiene la forma anterior
  • 9. • Una función y= Ø (x) es una solución de un EDO de orden “n” en un intervalo I, ssi sus “n” derivadas existen en el intervalo I y al reemplazarles en la EDO se obtiene una identidad SOLUCIONES EXPLICITAS E IMPLICITAS. FAMILIA DE SOLUCIONES • Ecuación diferencial ordinaria de primer orden Y´´´ + 4y = 0 (-4 sen 2x + 12 cos 2x) + 4(sen 2x – 3cos 2x)= 0 0 + 0 = 0 0 = 0 IMPLICITA: F(Y´, Y, X) EJEM= Y´- X – Y = 0 EXPLICITA: Y´(X)= F(Y(X), X) EJEM= Y´ = X + Y
  • 10. • forma general EDO orden “n”  solución: • Forma normal EDO 1er orden  solución:
  • 11. Consiste en encontrar una solución particular y(x) que cumple ciertas condiciones dadas
  • 13. Ecuaciones diferenciales de variables separables Si el segundo miembro de una ecuación expresas de la forma Se puede expresar como una función que depende solamente de x, multiplicada por una función que depende solamente de y; entonces, la ecuación diferencial se llama separable
  • 15. • Una función µ(x,y) es un factor integrante de una ecuación diferencial si al multiplicar la ecuación diferencial por la función “µ”, se cumple la condición de que la primera derivada parcial del primer termino “µM” con respecto a “y” sea igual a la primera derivada parcial del segundo termino “µN” con respecto a “x”
  • 16. • Una ecuación diferencial exacta es una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función definida en R. Por tanto, una ED de primer orden de la forma . Es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.
  • 19. • El método de variación de constantes permite calcular una solución particular de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea (ecuación completa).
  • 21. Una ecuación diferencial de primer orden, y´=f(x,y), es homogénea si la función f(x,y) es homogénea de orden cero Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes: son funciones homogéneos del mismo grado.
  • 27. • La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, mediante la sustitución , que se caracteriza por adoptar la forma:
  • 33. • La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden
  • 35. • Vida media.- Es el tiempo que tarda en desintegrarse o transformarse en otro elemento, la mitad de los átomos de una muestra inicial
  • 39. • Ecuaciones lineales de segundo orden • Una ecuación diferencial lineal de segundo orden para una función x = x(t) es una ecuación de la forma: • donde a(t), b(t) y f(t) son funciones dadas, definidas en un intervalo J. Cuando f(t) es la función nula se dice que (1) es una ecuación lineal homogénea. Algunos ejemplos de ecuaciones lineales de segundo orden son:
  • 40. • Sean f1(x), f2(x),…, fn(x), si: • C1f1(x)+C2f2(x)+…+Cnfn(x)=0 (1) • Si a excepción de C1=0, i=1,2,…,n no existen otros valores de Ci para los cuales (1) es cero, entonces F1(x), f2(x),…, fn(x) son funciones linealmente independientes • Caso contrario f1(x), f2(x),…, fn(x), son linealmente dependientes
  • 41. • Dadas las funciones f1(x), f2(x),…, fn(x), El wroskiano asociado define como: • Si w=0, entonces: • f1(x), f2(x),…, fn(x), son LINEALMENTE DEPENDIENTES • Si w(no es)=0, entonces: • f1(x), f2(x),…, fn(x), son LINEALMENTE INDEPENDIENTES
  • 43. • Sean an(x), an-1(x),…, a1(x), a0(x) y g(x) funciones continuas en un intervalo I, y an(x) no es igual a 0 en todo el intervalo I. Entonces existe una única solución y(x)
  • 44. es una ecuación diferencial ordinaria junto con un valor especificado, llamado la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución.
  • 46. • Una ecuación homogénea de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma general • donde a , b y c son constantes.
  • 51. • En matemáticas, la reducción de orden es una técnica utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Se utiliza cuando la primera de dos soluciones (y1) es conocida y se busca la segunda (y2)
  • 58. • El método de variación de parámetros es un procedimiento útil para la obtención de una solución particular yp(x) de la ecuación diferencial ordinaria lineal (no homogénea) y se basa en el conocimiento de la solución general de la lineal homogénea asociada a dicha edo. lineal. • Haciendo referencia a las lineales de segundo orden diremos que el método de variación de parámetros es útil para obtener una solución particular yp(x) de la lineal
  • 63. • matemático, C. (s.f.). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores . • STEWART. (s.f.). Calculo de una variable transcendentes 7ma edición. • ZILL, Denis. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Edición 8.