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CAP´
                     ITULO 5
 SOLUCIONES POR SERIES




                                                                  as
                                                               atic
                                                           atem
                                                          eM
5.1.   INTRODUCCION                                   o. d
   Una serie de potencias en (x − a), es una expresi´n de la forma
                                                    o
                                                     ept

                               ∞
                                    Cn (x − a)n .
                                                     ,D



                              n=0
                                               uia
                                            tioq




   Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia que consiste
   de todos los puntos para los cuales la serie es convergente, por ´sto,
                                                                     e
                                          An




   decimos que una serie de potencias define una funci´n cuyo dominio es,
                                                      o
   precisamente, el intervalo de convergencia.
                                          de




   Una serie de potencias converge absolutamente en un n´mero x, si
                                                        u
                                     ad




                               ∞
                                   rsid




                                    |Cn | |x − a|n
                              n=0
                               ive




   es convergente .
                             Un




   Todo intervalo de convergencia tiene un radio de convergencia R.
   Una serie de potencias converge absolutamente para |x − a| < R y
   diverge para |x − a| > R. Cuando R = 0, la serie s´lo converge en
                                                       o
   x = a. Cuando R = ∞, la serie converge para todo x.

                                    165
166           CAP´
                 ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES


       El radio de convergencia se obtiene mediante el criterio de la raz´n, en
                                                                         o
       efecto, como
                  Cn+1 (x − a)n+1               Cn+1
            l´
             ım                   = |x − a| l´
                                             ım      = L|x − a| < 1
            n→∞    Cn (x − a)n             n→∞   Cn
                                       Cn+1
       donde L =         l´
                          ım            Cn
                                                     y como la serie es convergente cuando
                         n→∞
                                                             1
       |x − a| < R, entonces el radio de convergencia es R = L .
       Si R = 0 o R = ∞, el intervalo de convergencia puede o no incluir los
                ´
       extremos a − R , a + R de dicho intervalo.




                                                                                            as
                                                                                        atic
       Una serie de potencias representa una funci´n continua en el interior
                                                  o
       de su intervalo de convergencia.




                                                                                  atem
       Una serie de potencias puede ser derivada t´rmino a t´rmino en el
                                                  e         e
       interior de su intervalo de convergencia.

                                                                                 eM
       Una serie de potencias puede ser integrada t´rmino a t´rmino en el
                                                   e         e                 o. d
       interior de su intervalo de convergencia.
                                                                            ept

       Dos series de potencias pueden ser sumadas t´rmino a t´rmino si tienen
                                                   e         e
       un intervalo com´n de convergencia.
                        u
                                                                        ,D



      SERIES MACLAURIN DE ALGUNAS FUNCIONES
                                                                   uia




                                                                        ∞
                    x2           x3
                                                                tioq




                                                      xn                    xn
  1. ex = 1 + x +   2!
                             +   3!
                                       + ... +        n!
                                                           + ... =          n!
                                                                     n=0
       convergente para todo x real ( o sea para −∞ < x < ∞)
                                                              An




                                                                                            ∞
                    x3       x5           x7                     x      2n+1                             x2n+1
  2. sen x = x −         +            −         + . . . + (−1)n (2n+1)! + . . . =               (−1)n
                                                           de




                    3!       5!           7!                                                            (2n+1)!
                                                                                          n=0
       convergente para todo x real.
                                                       ad
                                                     rsid




                                                                                      ∞
                   x2        x4           x6                    x    2n                             x2n
  3. cos x = 1 −         +        −            + . . . + (−1)n (2n)! + . . . =            (−1)n
                                                    ive




                   2!        4!           6!                                                       (2n)!
                                                                                      n=0
       convergente para todo x en los reales.
                                           Un




                                                                                  ∞
                        x3        x5           x7              x2n+1                     x2n+1
  4. senh x = x +       3!
                             +    5!
                                       +       7!
                                                    + ... +   (2n+1)!
                                                                        + ... =         (2n+1)!
                                                                                  n=0
       convergente para todo x real.
5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS                                                                    167

                                                                                        ∞
                       x2         x4         x6                x2n                           x2n
  5. cosh x = 1 +      2!
                            +     4!
                                       +     6!
                                                  + ... +     (2n)!
                                                                      + ... =               (2n)!
                                                                                    n=0
       convergente para todo x en los reales.

                                                                           ∞
        1
  6.   1−x
             = 1 + x + x2 + x3 + . . . + x n + · · · =                           xn
                                                                           n=0
       convergente para x en el intervalo −1 < x < 1

                                                                                                    ∞
                             x2         x3        x4
                                                       + . . . + (−1)n+1 x + . . . =                                xn
                                                                                    n
  7. ln(1 + x) = x −              +          −                                                            (−1)n+1




                                                                                                       as
                             2          3         4                      n                                          n
                                                                                                    n=1




                                                                                                    atic
       convergente para x en el intervalo −1 < x ≤ 1




                                                                                                atem
                                                                                            ∞
                        x3         x5                              x2n+1                                  x2n+1
  8. tan−1 x = x −      3
                             +     5
                                        − . . . + (−1)n            2n+1
                                                                           + ... =              (−1)n     2n+1
                                                                                            n=0



                                                                                            eM
       convergente para x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1
                                                                                        o. d
                                                                               ∞
                         1 x3          1·3 x5          1·3·5 x7                         1·3·5...(2n−1) x2n+1
  9. sen −1 x = x +      2 3
                                  +    2·4 5
                                                  +    2·4·6 7
                                                                  + ... =                  2·4·6...2n  2n+1
                                                                                 ept

                                                                             n=0
       convergente para todo x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1
                                                                             ,D
                                                                           uia




 10. Serie binomial:            2              3
                                                                     tioq




     (1 + x)r = 1 + rx + r(r−1)x + r(r−1)(r−2)x + . . .
                            2!           3!
     convergente para x en el intervalo −1 < x < 1
                                                                   An
                                                                  de




5.2.         SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS
                                                            ad




   Supongamos que la ecuaci´n
                           o
                                                        rsid




                             a2 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0
                                                      ive




se puede escribir as´
                    ı:
                                                  Un




                                   y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0

                                                  a1 (x)                   a0 (x)
donde a2 (x) = 0 en I y P (x) =                   a2 (x)
                                                           y Q(x) =        a2 (x)
168                 CAP´
                       ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES


Definici´n 5.1 (Punto Ordinario). Se dice que x = a es un punto ordi-
         o
nario de la E.D. y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0, si P (x) y Q(x) son anal´
                                                                      ıticas en
x = a, es decir, si P (x) y Q(x) se pueden expandir en serie de potencias de
x − a con un radio de convergencia positivo.

           Nota: si un punto no es ordinario se dice que es singular.

           RECORDEMOS: serie Taylor de y(x) en x = a es:
                                    ∞
                                         y (n) (a)
                                                   (x − a)n ,




                                                                             as
                                   n=0
                                            n!




                                                                         atic
luego, toda funci´n que tenga un desarrollo en serie Taylor alrededor de x = a
                  o




                                                                      atem
es anal´ıtica en x = a.




                                                                    eM
   En particular cuando x = 0 a la serie Taylor se le llama serie Maclaurin
de y(x) y la serie tiene la forma:                               o. d
                                        ∞
                                            y (n) (0)
                                                      (x)n ,
                                                                ept

                                     n=0
                                               n!
                                                               ,D



luego, toda funci´n que tenga un desarrollo en serie Maclaurin es anal´
                 o                                                    ıtica
                                                         uia




en x = 0.
                                                     tioq




  Ejemplo 1. Hallar los puntos ordinarios y singulares de
y + sen xy ′ + ex y = 0
 ′′
                                                   An
                                                 de




    Soluci´n: sen x: tiene expansi´n Taylor para cualquier a
          o                       o
 x
e : tiene expansi´n Taylor para cualquier a.
                 o
                                              ad




Es decir todo a en R es punto ordinario de la ecuaci´n diferencial, por tanto
                                                    o
                                            rsid




no tiene puntos singulares.
                                         ive




   Ejemplo 2. Hallar los puntos ordinarios y singulares de
      ′′
xy + ( sen x)y = 0
                                     Un




Soluci´n:
      o

                                            Q(x)
                                            sen x
                                     y ′′ +       y=0
                                              x
5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS                                        169

                                   ∞
                                                 x(2n+1)
                                        (−1)n                  ∞
                        sen x     n=0
                                                 (2n+1)!             (−1)n x2n
              Q(x) =          =                            =
                          x                  x                 n=0
                                                                     (2n + 1)!
⇒ x = 0 es punto ordinario de la E.D.,por tanto todos los x = 0 son puntos
singulares.
    Ejemplo 3. Hallar los puntos ordinarios y singulares de
 ′′
y + (ln x)y = 0

   Soluci´n: x = 0 es un punto singular ya que ln x no tiene expansi´n en
         o                                                            o




                                                                                 as
x = 0, todos los dem´s puntos diferentes de cero son puntos ordinarios.
                    a




                                                                            atic
   Analicemos el caso en que a2 (x), a1 (x) y a0 (x) son polinomios. Si en la




                                                                         atem
E.D. a2 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0 se tiene que a2 (x), a1 (x), a0 (x) son poli-
nomios sin factores comunes, o sea, sin ra´ comunes, entonces x = a es :
                                                ıces



                                                                      eM
    i) Un punto ordinario si a2 (a) = 0 es decir, x = a no es ra´ del polinomio
                                                                ız
a2 (x).                                                              o. d
   ii) Un punto singular si a2 (a) = 0, es decir, si a es ra´ de a2 (x).
                                                            ız
                                                                ept
                                                               ,D



    Ejemplo 4. Hallar los puntos ordinarios y singulares de
(x2 − 4)y ′′ + 2xy ′ + 3y = 0
                                                           uia




Soluci´n:
       o
                                                      tioq




    a2 (x) = x2 − 4 = 0, luego x = ±2 son puntos singulares y x = ±2 son
puntos ordinarios.
                                                    An




Teorema 5.1.
                                                 de




Si x = a es un punto ordinario de la ecuaci´n
                                           o
                                               ad




                         a2 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0,
                                             rsid




siempre podemos encontrar dos soluciones distintas (linealmente indepen-
                                        ive




dientes), en serie de potencias; soluciones que son de la forma
                                    Un




                                        ∞
                                y=           Cn (x − a)n .
                                       n=0

Una soluci´n en serie de potencias converge por lo menos para |x − a| < R1 ,
          o
donde R1 es la distancia de a al punto singular m´s cercano.
                                                  a
170             CAP´
                   ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES


   Nota: para simplificar supondremos que el punto ordinario es a = 0, si
a = 0, se hace la sustituci´n t = x − a. Esta sustituci´n convierte la E.D. en
                           o                           o
otra E.D. con punto ordinario t = 0.

   Ejemplo 5. Resolver por series la E.D. (x2 − 1)y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0
Soluci´n:
      o

   x2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1 son puntos singulares y los x = ±1 son puntos
ordinarios.




                                                                                           as
      Trabajemos con el punto ordinario x = 0, los candidatos a soluci´n son
                                                                      o




                                                                                          atic
                            ∞
de la forma y(x) =                C n xn
                            n=0




                                                                                   atem
      Debemos hallar las Cn : derivamos dos veces:



                                                                                eM
                                                       ∞
                                            ′
                                           y (x) =           nCn xn−1
                                                       n=1
                                                                               o. d
                                                 ∞
                                                                           ept

                                      ′′
                                   y (x) =             n(n − 1)Cn xn−2
                                                 n=2
                                                                      ,D



      Pasamos a sustituir y ′ (x) y y ′′ (x) en la E.D. original:
                                                                     uia




                                      x2 y ′′ − y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0
                                                               tioq




    ∞                             ∞                                  ∞                    ∞
                        n                                  n−2
                                                             An




                                                                                  n
        n(n − 1)Cn x −                 n(n − 1)Cn x              +         4n Cn x +            2 C n xn = 0
  n=2                            n=2                                 n=1                  n=0
                                                         de




Homogenizamos las potencias de x:
                                                       ad




∞                           ∞                                              ∞                  ∞
                   n                                             m                    n
                                                                                                  2 C n xn = 0
                                                 rsid




      n(n−1)Cn x −               (m+2)(m+1)Cm+2 x +                            4n Cn x +
n=2                     m=0                                              n=1               n=0
                                                ive




                n−2=m ⇒n=m+2
haciendo
                                                Un




                 n=2   ⇒m=0
      Escribimos todo en t´rminos de k:
                          e
∞                            ∞                                             ∞                  ∞
                    k                                            k                    k
      k(k − 1)Ck x −              (k + 2)(k + 1)Ck+2 x +                       4k Ck x +          2 C k xk = 0
k=2                         k=0                                          k=1                k=0
5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS                                             171


Ahora homogenizamos el ´
                       ındice de las series:

   ∞                                                 ∞
                    k
        k(k − 1)Ck x − 2C2 − (3)(2)C3 x −                (k + 2)(k + 1)Ck+2 xk + 4C1 x+
  k=2                                            k=2
                                    ∞                                    ∞
                                                 k
                               +         4k Ck x + 2C0 + 2C1 x +              2 C k xk = 0
                                   k=2                                  k=2

luego




                                                                              as
                                                                          atic
                              ∞
2C0 −2C2 +(6C1 −2·3C3 )x+          [k(k−1)Ck −(k+2)(k+1)Ck+2 +4kCk +2Ck ]xk = 0




                                                                      atem
                             k=2

Comparando coeficientes:

                         x0 : 2C0 − 2C2 = 0 ⇒ C2 = C0
                                                                   eM
                                                                 o. d
                         x1 : 6C1 − 6C3 = 0 ⇒ C1 = C3
                                                               ept


    xk : [k(k − 1) + 4k + 2]Ck − (k + 2)(k + 1)Ck+2 = 0                  k = 2, 3, . . .
                                                             ,D



                   (k 2 + 3k + 2)Ck − (k + 2)(k + 1)Ck+2 = 0
                                                           uia




                  (k + 2)(k + 1)Ck − (k + 2)(k + 1)Ck+2 = 0
                                                       tioq
                                                     An




                                        (k + 2)(k + 1)
                           Ck+2 =                      Ck
                                              de




                                        (k + 2)(k + 1)
                           Ck+2 = Ck                               k = 2, 3, . . .
                                            ad
                                          rsid




           F´rmula de recurrencia para los coeficientes
            o
Iteremos la f´rmula de recurrencia:
             o
                                        ive




                             k = 2 : C4 = C2 = C0
                                    Un




                             k = 3 : C5 = C3 = C1
                             k = 4 : C6 = C4 = C0
                             k = 5 : C7 = C5 = C1
172               CAP´
                     ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES


Volviendo a
            ∞
  y(x) =          C n xn = C 0 + C 1 x + C 2 x2 + C 3 x3 + C 4 x4 + C 5 x5 + C 6 x6 + . . .
            n=0

             = C 0 + C 1 x + C 0 x 2 + C 1 x 3 + C 0 x 4 + C 1 x5 + C 0 x6 + . . .
La soluci´n general:
         o

= C0 (1 + x2 + x4 + x6 + . . . + x2n + . . .)+C1 (x + x3 + x5 + . . . + x2n+1 + . . .)
                          y1 (x)                                         y2 (x)




                                                                             as
                    1




                                                                         atic
             = C0        + C1 x(1 + x2 + x4 + x6 + . . . + x2n + . . .)
                 1 − x2




                                                                      atem
               1        C1 x               1
         = C0     2
                    +        2
                               ya que          = 1 + x + x2 + x3 + . . .
              1−x     1−x                1−x


                                                                    eM
Siendo y1 (x) y y2 (x) dos soluciones linealmente independientes.
                                                                 o. d
    El siguiente ejercicio resuelto, s´lo tiene validez para E.D. con condiciones
                                      o
iniciales. Si la condici´n inicial est´ en x = 0, utilizamos las series Maclaurin
                        o             a
                                                                ept

y si la condici´n inicial est´ en x = a, utilizamos la serie Taylor.
                o             a
                                                           ,D



   Ejemplo 6. y ′′ − e−x y = 0,              y(0) = y ′ (0) = 1
                                                        uia




Soluci´n.
      o
                                                     tioq




      Serie Maclaurin de y(x).
                                                   An




                                             ∞
                                                  y (n) (0)xn
                                   y(x) =
                                                 de




                                            n=0
                                                       n!
                                             ad




                                    y ′ (0)    y ′′ (0) 2 y ′′′ (0) 3
                                          rsid




                  y(x) = y(0) +             x+            x +      x + ...
                                       1!         2!            3!
                                   y(0) = 1         y ′ (0) = 1
                                        ive




De la ecuaci´n tenemos que
            o
                                     Un




          y ′′ (x) = e−x y(x),     evaluando en x = 0 ⇒ y ′′ (0) = 1 × 1 = 1

Derivando nuevamente tenemos que:

                               y ′′′ (x) = e−x y ′ (x) − e−x y(x)
5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS                                           173


evaluando en
                          x = 0⇒y ′′′ (0) = 1 × 1 − 1 × 1 = 0
                 y (iv) (x) = e−x (y ′′ (x) − y ′ (x)) − e−x (y ′ (x) − y(x))
                        x=0
                        ⇒ y (iv) (0) = 1(1 − 1) − 1(1 − 1) = 0
        y (v) (x) = e−x (y ′′′ (x) − 2y ′′ (x) + y ′ (x)) − e−x (y ′′ (x) − 2y ′ + y(x)
                 y (v) (0) = 1(0 − 2(1) + 1) − 1(1 − 2(1) + 1) = −1
Sustituyendo en la f´rmula de Maclaurin:
                    o




                                                                                  as
                                                                                atic
                                                  x2 x 5
                              y(x) = 1 + x +         −    + ...
                                                  2!   5!




                                                                          atem
    Resolver por series los siguientes ejercicios en el punto ordinario x = 0:



                                                                       eM
   Ejercicio 1. y ′′ − 2xy ′ + 8y = 0              y(0) = 3,      y ′ (0) = 0
(Rta: y = 3 − 12x2 + 4x4 )                                         o. d
   Ejercicio 2. (x2 − 1)y ′′ − 6y = 0
                                                                ept

(Rta: y = C0 ∞ (2n−1)(2n−3) x2n + C1 (x − x3 ))
               n=0
                        3
                                                              ,D



     Ejercicio 3. y ′′ − xy = 0
                                                           uia




                       1    1 1          1 1 1                             1        1 1
(Rta: y = C0 (1 + 3·2 x3 + 6·5 3·2 x6 + 9·8 6·5 3·2 x9 + . . .) + C1 (x + 4·3 x4 + 7·6 4·3 x7 +
                                                       tioq




 1 1 1 10
10·9 7·6 4·3
             x + . . .))
                                                     An




   Ejercicio 4. (x2 + 1)y ′′ + 6xy ′ + 6y = 0
(Rta: y = C0 ∞ (−1)n (2n + 1)x2n + C1
               n=0
                                                         ∞       n
                                                         n=0 (−1) (n     + 1)x2n+1 )
                                                   de




   Ejercicio 5. y ′′ − xy ′ − y = 0
                                                 ad




(Rta: y = C0 ∞ 2·4·6·8...2n x2n + C1
                        1                         ∞           1
                                                  n=0 1·3·5·7...(2n+1) x
                                                                         2n+1
                                                                              )
                                              rsid




               n=0


   Ejercicio 6. y ′′ + e−x y = 0
                                            ive




(Sugerencia: Hallar la serie e−x y multiplicarla por la serie de y)
                                           Un




                   2     3    4   5      6                3    4    5 x6
(Rta: y = C0 (1 − x + x − x − x + 11x · · · ) + C1 (x − x + x − x − 360 · · · ))
                  2     6    12  40   6!                 6    12  60


    Ejercicio 7. (x − 1)y ′′ + y ′ = 0
                                ∞
                                      xn
(Rta: y1 = C0 ,      y2 = C 1         n
                                           = C1 ln |x − 1|)
                                n=1
174            CAP´
                  ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES


   Ejercicio 8. (1 + x2 )y ′′ + 2xy ′ − 2y = 0
(Rta: y(x) = C0 (1 + x tan−1 x) + C1 x)

   Ejercicio 9. y ′′ − xy ′ + y = −x cos x,                   y(0) = 0,          y ′ (0) = 2
(Rta: y(x) = x + sen x)

   Ejercicio 10. y ′′ − 2xy ′ + 4y = 0 con y(0) = 1 y y ′ (0) = 0
(Rta: y = 1 − 2x2 )

   Ejercicio 11. (1 − x)2 y ′′ − (1 − x)y ′ − y = 0 con y(0) = y ′ (0) = 1




                                                                                       as
           1
(Rta: y = 1−x )




                                                                                  atic
   Ejercicio 12. y ′′ − 2xy ′ − 2y = x con y(0) = 1 y y ′ (0) = − 1




                                                                              atem
                                                                  4
            2
(Rta: y = ex − x )
               4




                                                                          eM
    Ejercicio 13. y ′′ + xy ′ + (2x − 1)y = x con y(0) = 2 y y ′ (0) = 3. Hallar
los primeros 6 t´rminos de la soluci´n particular.
                e                     o                               o. d
                           1       7      11
(Rta: y = 2 + 3x + x2 − 2 x3 − 12 x4 − 120 x5 − . . .)
                                                                    ept

    Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular de la E.D. de Ayry, alrededor
                                  o
del punto ordinario x = 1
                                                               ,D
                                                             uia




                      y ′′ − xy = 0            y(1) = 1,           y ′ (1) = 0
                                                        tioq




                  (x−1)2       (x−1)3       (x−1)4       4(x−1)5
(Rta.: y = 1 +      2!
                           +     3!
                                        +     4!
                                                     +      5!
                                                                   + . . .)
                                                      An




      Ejercicio 15. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
                                    o
                                                     de




                                                                                   1
                 y ′′ − 2xy − 2y = x                 y(0) = 1,       y ′ (0) = −
                                               ad




                                                                                   4
                                             rsid




                      2
(Rta.: y = − x + ex )
             4
                                        ive




      Ejercicio 16. Resolviendo por series, mostrar que la soluci´n de la E.D.
                                                                 o
                                        Un




             (x − 1)y ′′ − xy ′ + y = 0 con y(0) = −2,                        y ′ (0) = 6

es y = 8x − 2ex .
    Ejercicio 17. y ′′ + xy ′ + y = 0
5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS                                         175


  a). Hallar dos soluciones linealmente independientes y1 (x), y2 (x)

  b). Usando el criterio del cociente, mostrar que las dos series son conver-
      gentes para todo x.
                              −( √ )2
                                 x
  c). Probar que y1 (x) = e         2



  d). Usando el m´todo de reducci´n de orden de D’Alembert, hallar y2 (x)
                 e               o
                          2     4        6                            3     5      7
(Rta: a). y1 (x) = 1 − x + 2·4 − 2·4·6 + . . . , y2 (x) = x − x + 3·5 − 3·5·7 + . . .)
                       2
                           x      x
                                                              3
                                                                  x      x




                                                                                 as
   Ejercicio 18. La E.D. de Legendre de orden α es:




                                                                            atic
                (1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + α(α + 1)y = 0 con α > −1




                                                                          atem
Mostrar:


                                                                     eM
  a) Que las f´rmulas de recurrencia son:
              o
                                                                 o. d
              (−1)m α(α − 2)(α − 4) . . . (α − 2m + 2)(α + 1)(α + 3) . . . (α + 2m − 1)
      C2m =                                                                             C0
                                                                ept

                                                (2m)!
                                                             ,D



                 (−1)m (α − 1)(α − 3) . . . (α − 2m + 1)(α + 2)(α + 4) . . . (α + 2m)
      C2m+1 =                                                                         C1
                                               (2m + 1)!
                                                           uia
                                                         tioq




  b) Las dos soluciones linealmente independientes son:
                                                 ∞
                                                       An




                                y1 = C 0             (−1)m a2m x2m
                                                     de




                                             m=0
                                                 ad




                                             ∞
                                                 (−1)m a2m+1 x2m+1
                                             rsid




                              y2 = C 1
                                         m=0
                                         ive




      donde a2m y a2m+1 son las fracciones encontradas en a), pero sin (−1)m
                                        Un




   c) Si α es   entero no negativo y par, entonces a2m = 0 para 2m > n;
      mostrar   que y1 es un polinomio de grado n y y2 es una serie infinita.
      Si α es   entero no negativo e impar; mostrar que a2m+1 = 0 para
      2m + 1    > n y y2 es un polinomio de grado n y y1 es una serie in-
      finita.
176           CAP´
                 ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES


  d) Se acostumbra tomar la constante arbitraria (C0 o C1 seg´n el caso)
                                                                 u
                                             n
     de tal manera que el coeficiente de x en el polinomio y1 o y2 (seg´n el
                                                                       u
                (2n)!
     caso) sea 2n (n!)2 y se les llama polinomios de LegendrePn (x). Mostrar
     que:
                                 N
                                       (−1)k (2n − 2k)!
                       Pn (x) =                            xn−2k
                                k=0
                                    2n k!(n − k)!(n − 2k)!
                                     n
        donde N =parte entera de     2

  e) Mostrar que los 6 primeros polinomios de Legendre son:




                                                                     as
                                                                  atic
           P0 (x) = 1,                        P1 (x) = x,




                                                              atem
                    1                                  1
           P2 (x) = (3x2 − 1),                P3 (x) = (5x3 − 3x),
                    2                                  2
                    1                                  1

                                                             eM
           P4 (x) = (35x4 − 30x2 + 3),        P5 (x) = (63x5 − 70x3 + 15x)
                    8                                  8
                                                       o. d
      Ejercicio 19. F´rmula de Rodriguez:
                     o
                                                     ept

                                      1 dn 2
                          Pn (x) =            (x − 1)n
                                                  ,D



                                     n!2n dxn
                                                uia




para el polinomio de Legendre de grado n.
                                              tioq




  a) Mostrar que u = (x2 − 1)n satisface la E.D.
                                            An




                               (1 − x2 )u′ + 2nxu = 0
                                         de




        Derive ambos lados de la E.D. y obtenga
                                         ad




                         (1 − x2 ) + 2(n − 1)xu′ + 2nu = 0
                                     rsid




  b) Derive sucesivamente, n veces ambos lados de la ecuaci´n y obtenga:
                                                           o
                                 ive




                    (1 − x2 )u(n+2) − 2xu(n+1) + n(n + 1)u(n) = 0
                               Un




        Hacer v = u(n) y mostrar que v = Dn (1 − x2 )n y luego mostrar que v
        satisface la ecuaci´n de Legendre de orden n
                           o
                                                     (2n)!
  c) Demostrar que el coeficiente de xn en v es         n!
5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS                                    177


  d) Explicar porqu´ c) demuestra la f´rmula de Rodriguez (Notar que el
                    e                    o
                    n              (2n)!
     coeficiente de x en Pn (x) es 2n (n!)2 )

Ejercicio 20. La E.D.
                                 y ′′ − 2xy ′ + 2αy = 0

se le llama ecuaci´n de Hermite de orden α.
                  o

  a) Mostrar que las dos soluciones en serie de potencias son:




                                                                          as
                            ∞
                                         2m α(α − 2) . . . (α − 2m + 2) 2m
              y1 = 1 +           (−1)m                                 x




                                                                       atic
                           m=1
                                                    (2m)!




                                                                   atem
                     ∞
                                   2m (α − 1)(α − 3) . . . (α − 2m + 1) 2m+1
          y2 = x +         (−1)m                                       x
                                               (2m + 1)!

                                                                  eM
                     m=1

  b) Si α es entero par, mostrar que y1 es un polinomio.      o. d
     Si α es impar, mostrar que y2 es un polinomio.
                                                           ept

  c) El polinomio de la parte b) se denota por Hn (x) y se le llama polinomio
                                                          ,D


     de Hermite cuando el coeficiente de xn es 2n .
                                                        uia




  d) Demostrar que los 6 primeros polinomios de Hermite son:
                                                   tioq




          H0 (x) = 1,                            H1 (x) = 2x,
                                                 An




          H2 (x) = 4x2 − 2,                      H3 (x) = 8x3 − 12x,
                                               de




          H4 (x) = 16x4 − 48x2 + 12,             H5 (x) = 32x5 − 160x3 + 120x
                                             ad




  e) La formula general de los polinomios de Hermite es
                                          rsid




                                                        dn −x2
                                       ive




                                                   2
                             Hn (x) = (−1)n ex             (e )
                                                       dxn
                                     Un




     Por inducci´n mostrar que genera un polinomio de grado n.
                o
178            CAP´
                  ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES


5.3.        SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS
            SINGULARES REGULARES
Definici´n 5.2 (Punto singular).
       o
  i. Decimos que x = x0 es un punto singular regular de la E.D.O.

                                 y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0,

        si (x − x0 )P (x) y (x − x0 )2 Q(x) son anal´
                                                    ıticas en x = x0 , es decir, si
                                  2
        (x − x0 )P (x) y (x − x0 ) Q(x) tienen desarrollos en series de potencias




                                                                         as
        de (x − x0 ). Si x = x0 no cumple con la anterior definici´n, entonces
                                                                     o




                                                                      atic
        decimos que x = x0 es un punto singular irregular.




                                                                  atem
  ii. Si en la E.D.
                             a2 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0



                                                                eM
        se tiene que a2 (x), a1 (x), a0 (x) son polinomios sin factores comunes, en-
        tonces decimos que x = x0 es un punto singular regular si
                                                               o. d
                               a                     a2 (x)
                                                                      a0 (x)
        a2 (x0 ) = 0 y adem´s, si en P (x) = a1 (x) y Q(x) = a2 (x) , el factor
        x − x0 tiene a lo sumo grado uno en el denominador de P (x) y grado
                                                          ept

        a lo sumo dos en el denominador de Q(x).
                                                        ,D



      Ejemplo 7.Hallar los puntos singulares regulares e irregulares de
                                                       uia




                          (x2 − 4)2 y ′′ + (x − 2)y ′ + y = 0
                                                 tioq




Soluci´n:
      o
                                               An




Puntos singulares:
                                           de




                         a2 (x) = (x2 − 4)2 = 0 ⇒ x = ±2
                                         ad




                                   x−2               1
                       P (x) =              =
                                      rsid




                                 (x 2 − 4)2   (x − 2)(x + 2)2
                                                1
                                    ive




                             Q(x) =
                                       (x −   2)2 (x   + 2)2
                                  Un




        Con x = +2, como (x − 2) es un factor de grado uno en P (x) y de
        grado dos en Q(x), por lo tanto x = 2 es punto singular regular.

        Con x = −2 es punto singular irregular, porque x+2 aparece con grado
        dos en el denominador de P (x).
5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 179


   Nota: los puntos singulares pueden ser n´meros complejos.
                                           u


Teorema 5.2 (de Frobenius).
Si x = x0 es un punto singular regular de la E.D.O.

                            a2 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0,

entonces existe al menos una soluci´n en serie de la forma:
                                   o
                                           ∞




                                                                                           as
                                y=             Cn (x − x0 )n+r ,




                                                                                      atic
                                       n=0

donde r es una constante a determinar.




                                                                                  atem
Esta serie converge en un intervalo de la forma 0 < x − x0 < R.



                                                                                eM
    Ejemplo 8. Utilizar el teorema de Frobenius para hallar dos soluciones
linealmente independientes de la E.D. 3xy ′′ + y ′ − y = 0                   o. d
Soluci´n:
      o
                                                                            ept

   x = 0 es punto singular y es regular porque
                                                                        ,D



                                            1                            1
                              P (x) =         ,       Q(x) = −
                                                                   uia




                                           3x                           3x
                                                           tioq




Suponemos una soluci´n de la forma:
                    o
                       ∞                                ∞
                                                         An




                                     n+r          ′
                  y=          Cn x         ⇒y =              (n + r)Cn xn+r−1
                       n=0                             n=0
                                                       de




                                ∞
                                                      ad




                       ′′
                       y =           (n + r)(n + r − 1)Cn xn+r−2
                                                rsid




                               n=0

y sustituimos en la E.D.
                                               ive




                 ∞                                                ∞                             ∞
                                           Un




   ′′   ′                                             n+r−1                         n+r−1
3xy +y −y =          3(n+r)(n+r−1)Cn x                        +         (n+r)Cn x           −         Cn xn+r = 0
              n=0                                                 n=0                           n=0

             ∞                                                          ∞
                                                       n+r−1
                  (n + r)(3n + 3r − 2)Cn x                        −          Cn xn+r = 0
            n=0                                                       n=0
180                 CAP´
                       ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES

                          ∞                                               ∞
                    r                                           n−1
                x              (n + r)(3n + 3r − 2)Cn x               −         C n xn    =0
                         n=0                                              n=0

Sacamos la potencia m´s baja:
                     a
                                          ∞                                              ∞
    xr r(3r − 2)C0 x−1 +                      (n + r)(3n + 3r − 2)Cn xn−1 −                    C n xn = 0
                                       n=1                                               n=0


                                                k =n−1 ⇒n=k+1
                               hagamos
                                                  n=1   ⇒k=0




                                                                                           as
                                      ∞                                                      ∞




                                                                                         atic
    r                       −1                                                      k
x       r(3r − 2)C0 x            +         (k + r + 1)(3k + 3r + 1)Ck+1 x −                      C k xk = 0
                                     k=0                                                  k=0




                                                                                  atem
                                          ∞




                                                                                eM
    xr r(3r − 2)C0 x−1 +                      [(k + r + 1)(3k + 3r + 1)Ck+1 − Ck ] xk = 0
                                       k=0                                o. d
en potencias de:
                                           x−1 : r(3r − 2)C0 = 0
                                                                      ept


y en potencias de:
                                                                   ,D



        xk : (k + r + 1)(3k + 3r + 1)Ck+1 − Ck = 0 con k = 0, 1, 2, . . .
                                                                 uia




                                                                                    2
                                                              tioq




si C0 = 0 ⇒ r(3r − 2) = 0                     ⇒                 r2 = 0 r1 =                           y
                                                                                    3
                                                            An




                        ec. indicial
                                                  ´
                                                  ındices (o exponentes) de la singularidad
                                                          de




                                            Ck
                        Ck+1 =                            , k = 0, 1, 2, . . .
                                 (k + r + 1)(3k + 3r + 1)
                                                         ad
                                                     rsid




            2
Con r1 =    3
                que es la ra´ mayor, entonces:
                            ız
                                                  ive




                                       Ck                      Ck
            Ck+1 =                                   =                   , k = 0, 1, . . .             (5.1)
                                               Un




                                     5
                            (k +     3
                                       )(3k   + 3)       (3k + 5)(k + 1)

Con r2 = 0 entonces:
                                                 Ck
                               Ck+1 =                      , k = 0, 1, . . .                           (5.2)
                                           (k + 1)(3k + 1)
5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 181


Iteremos (5.1):
                 C0
   k = 0 : C1 =
                5×1
                 C1            C0                C0
   k = 1 : C2 =       =                   =
                8×2     (5 × 1) × (8 × 2)   2! × (5 × 8)
                  C2                  C0                        C0
   k = 2 : C3 =        =                              =
                11 × 3   (5 × 1) × (8 × 2) × (11 × 3)    3! × 5 × 8 × 11
                  C3              C0
   k = 3 : C4 =        =
                14 × 4   4! × 5 × 8 × 11 × 14




                                                                                        as
                                                                                    atic
generalizando

                           C0




                                                                               atem
     Cn =                                                    n = 1, 2, . . .
            n! × 5 × 8 × 11 × 14 . . . (3n + 2)



                                                                          eM
Iteremos (5.2):
                    C0                                                 o. d
      k = 0 : C1 =
                   1×1
                    C1            C0
                                                                    ept

      k = 1 : C2 =       =
                   2×4     (1 × 1) × (2 × 4)
                                                                  ,D



                    C2                 C0                    C0
      k = 2 : C3 =       =                             =
                                                              uia




                   3×7     (1 × 1) × (2 × 4) × (3 × 7)   3! × 4 × 7
                     C3            C0
                                                           tioq




      k = 3 : C4 =        =
                   4 × 10   4! × 4 × 7 × 10
                                                         An




generalizando
                                                     de




                                C0
         Cn =                                                     n = 1, 2, . . .
                  n! × 1 × 4 × 7 × 10 . . . (3n − 2)
                                                 ad
                                              rsid




                         ∞                           ∞                              ∞
       2                                2
                                     n+ 3        2
                                                              n       2
                                                                                          C n xn
                                            ive




   r1 = ⇒ y 1 =               Cn x          =x   3         Cn x = x   3   C0 +
       3                n=0                          n=0                            n=1
                                       Un




                                        ∞
                          2                                 C0
                    = x 3 C0 +                                                   xn
                                       n=1
                                             n! × 5 × 8 × 11 × 14 . . . (3n + 2)
                                         ∞
                              2                              xn
                    = C0 x 3 1 +
                                        n=1
                                              n! × 5 × 8 × 11 × 14 . . . (3n + 2)
182            CAP´
                  ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES

                                 ∞                       ∞                    ∞
                                              n+0                 n
         r2 = 0 ⇒ y 2 =                Cn x          =         Cn x = C0 +          C n xn
                                 n=0                     n=0                  n=1
                                           ∞
                                                               C0
                         = C0 +                                                     xn
                                           n=1
                                                 n! × 1 × 4 × 7 × 10 . . . (3n − 2)
                                                 ∞
                                                                   xn
                         = C0 1 +
                                               n=1
                                                     n! × 1 × 4 × 7 × 10 . . . (3n − 2)

      Luego la soluci´n general es :
                     o




                                                                                      as
           y = k1 y1 + k2 y2




                                                                                  atic
                                       ∞
                       2                                   xn




                                                                             atem
             = k1 C0 x 3 1 +                                                    +
                                     n=1
                                            n! × 5 × 8 × 11 × 14 . . . (3n + 2)
                           ∞
                                               xn

                                                                        eM
             k2 C0 1 +
                           n=1
                                 n! × 1 × 4 × 7 × 10 . . . (3n − 2)
                                                                       o. d
observemos que para este ejemplo
                                                                      ept

                        2                                          2
                    r1 = ,           r2 = 0 ⇒ r1 − r2 =              = entero
                                                                  ,D



                        3                                          3
                                                                uia




Nota: en general si x = 0 es un punto singular regular, entonces las funciones
                                                            tioq




xP (x) y x2 Q(x) son anal´
                         ıticas en x = 0, es decir
                                                          An




                            xP (x) = p0 + p1 x + p2 x2 + . . .
                                                         de




                            x2 Q(x) = q0 + q1 x + q2 x2 + . . .
                                                     ad




son convergentes en intervalos de radio positivo. Despu´s de sustituir y =
                                                          e
                                                 rsid




  ∞         n+r
  n=0 Cn x      en la E.D. y simplificar, la ecuaci´n indicial es una ecuaci´n
                                                   o                       o
cuadr´tica en r que resulta de igualar a cero el coeficiente de la menor po-
      a
                                            ive




tencia de x. Siguiendo este procedimiento se puede mostrar que la ecuaci´n o
                                           Un




indicial es
                            r(r − 1) + p0 r + q0 = 0
Se hallan las ra´
                ıces de la ecuaci´n indicial y se sustituyen en la relaci´n de
                                 o                                       o
recurrencia.
5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 183


    Con las ra´ıces de la ecuaci´n indicial pueden ocurrir los siguientes tres
                                o
casos.
    CASO I: cuando r1 − r2 = entero positivo (r1 > r2 ), entonces las dos
soluciones linealmente independientes son:
                                       ∞
                              y1 =          Cn xn+r1
                                     n=0

                                       ∞
                              y2 =          Cn xn+r2




                                                                             as
                                     n=0




                                                                        atic
Este caso lo hemos contemplado en el Ejemplo 8.




                                                                      atem
    CASO II: cuando r1 − r2 = entero positivo (r1 > r2 ), entonces las dos
soluciones linealmente independientes son:



                                                                 eM
                                       ∞
                              y1 =          Cn xn+r1          o. d
                                     n=0

                                           ∞
                                                            ept

                  y2 = Cy1 (x) ln x +            bn xn+r2   b0 = 0,
                                                            ,D


                                           n=0

donde C es una constante que puede ser cero.
                                                       uia
                                                    tioq




    Nota: para saber si C es cero o diferente de cero, utilizamos la f´rmula
                                                                      o
de D’Alembert; si es cero, entonces en y2 no aparece el t´rmino logar´
                                                         e            ıtmico.
                                                  An




El pr´ximo ejemplo lo haremos con C = 0; si C = 0, y2 tambi´n se puede
     o                                                          e
hallar utilizando la f´rmula de D’Alembert:
                      o
                                               de




                                            e− P (x) dx
                         y2 = y1 (x)                    dx
                                            ad




                                             [y1 (x)]2
                                       rsid




o tambi´n derivando dos veces
       e
                                  ive




                                           ∞
                                Un




                  y2 = Cy1 (x) ln x +            bn xn+r2   b0 = 0,
                                           n=0

y sustituyendo en la E.D. e iterando la f´rmula de recurrencia para hallar los
                                         o
coeficientes bn .
184            CAP´
                  ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES


   CASO III: cuando r1 − r2 = 0, entonces las soluciones linealmente in-
dependientes son:
                                     ∞
                             y1 =         Cn xn+r1        con C0 = 0
                                    n=0
                                      ∞
              y2 = y1 (x) ln x +            bn xn+r1       sabiendo que r1 = r2
                                     n=1




                                                                                   as
                                                                                atic
5.3.1.       CASO II: r1 − r2 = entero positivo




                                                                            atem
   Con el siguiente ejemplo mostramos el CASO II, o sea cuando r1 − r2 =
entero positivo.
Ejemplo 9. xy ′′ + (5 + 3x)y ′ + 3y = 0


                                                                           eM
Soluci´n:
      o
                                                                       o. d
      x = 0 es punto singular regular, ya que
                                                                    ept

                                           5 + 3x                      3
                             P (x) =                          Q(x) =
                                              x                        x
                                                                  ,D



Si utilizamos la f´rmula de D’Alembert encontramos que despu´s de efectuar
                  o                                             e
                                                                uia




todas las operaciones, el primer t´rmino no tiene logaritmo, por tanto C = 0.
                                  e
                                                           tioq




Ahora supongamos que
                                                         An




                        ∞                                 ∞
                                     n+r         ′
                  y=          Cn x         ⇒y =                (n + r)Cn xn+r−1
                                                     de




                       n=0                               n=0
                                                 ad




                                ∞
                        ′′
                       y =           (n + r)(n + r − 1)Cn xn+r−2
                                            rsid




                               n=0
                                           ive




sustituyendo en la E.D.
                                      Un




                               xy ′′ + 5y ′ + 3xy ′ + 3y = 0


   ∞                                                 ∞
                                    n+r−1
        (n + r)(n + r − 1)Cn x               +           5(n + r)Cn xn+r−1 +
  n=0                                            n=0
5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 185

                                                     ∞                                ∞
                                                                            n+r
                                                          3(n + r)Cn x            +         3Cn xn+r = 0
                                                    n=0                               n=0

                 ∞                                                 ∞
             r                                           n−1
         x             (n + r)(n + r − 1 + 5)Cn x              +         3(n + r + 1)Cn xn = 0
                 n=0                                               n=0
                                   ∞                                          ∞
    r                     −1                                        n−1
x       r(r + 4)C0 x           +         (n + r)(n + r + 4)Cn x           +         3(n + r + 1)Cn xn = 0
                                   n=1                                        n=0

                                                k =n−1     ⇒n=k+1




                                                                                              as
                           hagamos
                                              cuando n = 1  ⇒k=0




                                                                                            atic
luego




                                                                                      atem
                                   ∞
xr r(r + 4)C0 x−1 +                      [(k + r + 1)(k + r + 5)Ck+1 + 3(k + r + 1)Ck ]xk = 0


                                                                                  eM
                                   k=0

Por lo tanto la ecuaci´n indicial:
                      o                                                       o. d
        r(r + 4) = 0 ⇒ r1 = 0 r2 = −4 o sea que r1 − r2 = entero positivo
                                                                           ept


y la f´rmula de recurrencia es
      o
                                                                         ,D



          (k + r + 1)(k + r + 5)Ck+1 + 3(k + r + 1)Ck = 0 k = 0, 1, . . .
                                                                     uia
                                                                 tioq




e iteramos con la menor ra´ indicial r2 = −4:
                          ız

                       (k + 1)(k − 3)Ck+1 + 3(k − 3)Ck = 0 k = 0, 1, . . .
                                                               An
                                                          de




                                                            9C0
                  k=0 :            1(−3)C1 + 3(−3)C0 ⇒ C1 =     = −3C0
                                                         ad




                                                            −3
                                                                6C1    3        9
                                                    rsid




                  k=1 :            2(−2)C2 + 3(−2)C1 = 0 ⇒ C2 =     = − (−3)C0 = C0
                                                                −4     2        2
                                                                3C2    9
                                                  ive




                  k=2 :            3(−1)C3 + 3(−1)C2 = 0 ⇒ C3 =     = − C0
                                                                −3     2
                                                Un




           k=3 :                   4(0)C4 + 3(0)C3 = 0 ⇒
C4 es par´metro
         a

                                                  3
                  k≥4 :            Ck+1 = −            Ck
                                               (k + 1)
186          CAP´
                ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES


es decir
                                         9                    9
                   C1 = −3C0 ,       C2 = C0 ,          C3 = − C0 ,
                                         2                    2
C4 : par´metro
        a
                                                         3
                          k ≥ 4 : Ck+1 = −                    Ck                      (5.3)
                                                      (k + 1)
iteremos (5.3):
                                          3
                        k = 4 : C5 = − C4




                                                                                 as
                                          5
                                          3     3×3




                                                                           atic
                        k = 5 : C6 = − C5 =         C4
                                          6     5×6




                                                                       atem
                                          3      3×3×3
                        k = 6 : C7 = − C6 = −          C4
                                          7      5×6×7
                                 33 4!


                                                                  eM
                            =−         C4
                                  7!
            generalizando                                       o. d
                                   3(n−4) 4!
                       Cn = (−1)n            C4  n≥4
                                                               ept

                                       n!
                                                         ,D



                      ∞
             y =           Cn xn−4
                                                       uia




                     n=0
                                                    tioq




                                                                 ∞
                      −4                          2        3
                  = x [C0 + C1 x + C2 x + C3 x +                      C n xn ]
                                                  An




                                                                n=4
                                         9          9
                  = x−4 [C0 − 3C0 x + C0 x2 − C0 x3 + C4 x4 +
                                             de




                                         2          2
                       ∞          (n−4)
                                3       4!
                                           ad




                    +     (−1)n            C 4 xn ]
                                    n!
                                         rsid




                      n=5

                                         y1 (x)
                                     ive




                                     9     9
                  = C0 x−4 1 − 3 x + x2 − x3
                                Un




                                     2     2
                                    y2 (x)
                                     ∞
                                                  3(n−4) 4! n−4
                     +C4 1 +             (−1)n             x
                                 n=5
                                                    (n)!
5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 187

           k =n−4 ⇒n=k+4
hagamos
             n=5   ⇒k=1


                                                ∞
                                                                  3k 4!
           y = C0 y1 (x) + C4          1+             (−1)k+4            xk
                                                k=1
                                                                (k + 4)!
                                                      ∞
                                                                     3n
                 = C0 y1 (x) + C4      1 + 24             (−1)n            xn
                                                    n=1
                                                                  (n + 4)!




                                                                                   as
                                                converge ∀x ∈ Re




                                                                                atic
  Para abordar el caso iii) cuando r1 = r2 necesitamos definir la funci´n
                                                                      o




                                                                            atem
Gamma.



                                                                      eM
5.3.2.         ´
          FUNCION GAMMA: Γ(x)
                                                                    o. d
Definici´n 5.3. Sea x > 0. La funci´n Gamma se define as´
       o                          o                   ı:
                                            ∞
                                                                  ept

                              Γ(x) =            e−τ τ x−1 dτ
                                        0
                                                             ,D



Teorema 5.3 (F´rmula de recurrencia para la funci´n Γ).
              o                                  o
                                                            uia




                 Para x > 0 : Γ(x + 1) = xΓ(x) .
                                                        tioq




                                 ∞                                          ∞
Demostraci´n: Γ(x + 1) = 0 e−τ τ x dτ = −e−τ τ x |∞ + 0 xe−τ τ x−1 dτ =
              o                                     0
                                                      An




la anterior integral se hizo por partes,
              u     = τx ⇒      du = xτ x−1 dτ
haciendo
                                                 de




             dv = e−τ dt ⇒ v = −e−τ
                   ∞
    = 0 − 0 + x 0 e−τ τ x−1 dτ = xΓ(x)
                                                ad




ya que por el teorema de estricci´n y la regla de L’Hˆpital
                                   o                  o
                                        rsid




      −τ x          τx
 l´ e τ = l´ eτ = 0
  ım            ım
τ →∞        τ →∞
                                       ive




   Observaciones:
                                  Un




 a).

           x      0.1   0.2     0.3     0.4           0.5    0.6      0.7       0.8    0.9
                                                      √
          Γ(x)    9.5   4.59    2.99    2.22            π   1.49     1.30     1.16     1.07
188              CAP´
                    ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES


 b). Si x = n entero positivo:

       Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = . . . = n(n − 1)(n − 2) . . . 1 Γ(1)
                         ∞ −τ 0                     ∞
       Pero Γ(1) =      0
                          e τ     dτ = −e−τ |0 = −(0 − 1) = 1
       Luego,
                                           Γ(n + 1) = n!

       Definici´n 5.4. Si x < 0, definimos Γ(x) as´ Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1) si
                o                                ı:
       x = 0 o x = de un entero negativo. Γ(x) = ±∞ si x = 0 o x = entero




                                                                                             as
       negativo.(Ver la gr´fica 5.1)
                          a




                                                                                         atic
       NOTA: la f´rmula para calcular Γ(x) para x < 0 es:
                 o




                                                                                    atem
                                                   1
                                         Γ(x) =      Γ(x + 1)
                                                   x

       En la figuta 5.1 se muestra la gr´fica de la funci´n Γ(x).
                                       a               o                    eM
                                                                        o. d
                                               6
                                                                    ept

                                               5
                                                                    ,D



                                               4
                                                                uia




                                               3

                                               2
                                                      tioq




                                               1
                                                    An




            -5     -4     -3    -2        -1                1       2           3        4      5
                                                   -1
                                                   de




                                                   -2
                                               ad




                                                   -3
                                          rsid




                                                   -4

                                                   -5
                                         ive




                                                   -6
                                     Un




                                         Figura 5.1
                         5           3              3           3       3           1           31       1
      Ejemplo 10. Γ            =Γ        +1 =           Γ           =       Γ           +1 =         Γ       =
3 1√
                         2           2              2           2       2           2           22       2
22
     π
5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 189


   Ejemplo 11. Γ − 7
                   2
Soluci´n:
      o

               7           2                5              2          2                3
         Γ −        =    −         Γ −           =     −          −           Γ −
               2           7                2              7          5                2
                           2         2             2              1
                    =    −         −             −      Γ −
                           7         5             3              2
                           2         2             2          2               1
                    =    −         −             −          −         Γ
                           7         5             3          1               2
                                                                      √




                                                                                           as
                           2         2             2          2
                    =    −         −             −          −             π




                                                                                    atic
                           7         5             3          1




                                                                                  atem
Como Γ(n + 1) = n! para n entero positivo, generalizamos el factorial as´
                                                                        ı:

Definici´n 5.5 (Factorial generalizado). x! = Γ(x + 1), x = entero
         o


                                                                          eM
negativo.
                                                                      o. d
   Nota: con n = 0 obtenemos 0! = Γ(0 + 1) = Γ(1) = 1 y
                                                                  ept

                    1! = Γ(1 + 1) = 1 Γ(1) = 1 × 1 = 1
                                                                ,D



con esto probamos, mediante la funci´n Gamma, que 0! = 1 = 1!
                                    o
                                                           uia




                          7
   Ejemplo 12. Hallar          !
                                                       tioq




                          2

                        7           7                  7 5 3 1√
                          !=Γ         +1          =             π
                                                     An




                        2           2                  2222
                                                 de




Ejemplo 13. Calcular − 7 !
                       2
                                                ad




Soluci´n:
      o
                                        rsid




        7          7         5                              2             2            2        1
    −     ! = Γ − +1 =Γ −        =                      −             −            −       Γ
        2          2         2                              5             3            1        2
                                    ive




                 2     2   2 √
                                   Un




            =  −     −   −     π
                 5     3   1
                          1         1   3
   Ejercicio 1. Hallar   0
                              x3 ln x       dx
      3!
(Rta: 44 )
190           CAP´
                 ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES

                             ∞ −x2
   Ejercicio 2. Hallar
      √                     0
                              e      dx
(Rta: 2π )
                                                            ∞        2
   Ejercicio 3. Hallar utilizando la funci´n Γ:
      √
                                          o                0
                                                                x2 e−x dx
        π
(Rta: 4 )

      Ejercicio 4. Probar que

                                    1    (2n + 1)! √
                             n+       ! = 2n+1       π
                                    2     2    n!




                                                                            as
y




                                                                         atic
                                       1    (2n)! √
                                  n−     ! = 2n     π




                                                                   atem
                                       2    2 n!
para todo entero n no negativo.



                                                                 eM
5.3.3.      CASO III: r1 = r2                               o. d
   CASO III: r1 = r2 . Tomamos como ejemplo para este caso, la E.D. de
                                                          ept

Bessel de orden cero.
                                                          ,D



Definici´n 5.6 (Ecuaci´n Diferencial de Bessel). La E.D.:
       o             o
                                                     uia




                            d2 y    dy
                       x2        + x + (x2 − p2 )y = 0
                                                  tioq




                            dx 2    dx
                                                An




donde p es un par´metro positivo, se le llama E.D. de Bessel de orden p.
                 a
                                              de




  Las soluciones de esta E.D. se les llama funciones de Bessel de orden p.
Cuando p = 0 y x = 0 entonces
                                          ad
                                       rsid




                                  d2 y dy
                              x       +   + xy = 0.
                                  dx2 dx
                                    ive




Hallemos expl´ıcitamente estas soluciones en el intervalo 0 < x < R; es f´cil
                                                                         a
                                  Un




ver que x = 0 es un punto singular regular.
Suponemos una soluci´n de la forma
                      o
                                          ∞
                                  y=          Cn xn+r ,
                                        n=0
5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 191


con 0 < x < R y C0 = 0; derivamos dos veces y sustituimos en la E.D. y
llegamos a esto:
 ∞                                                                ∞                                       ∞
                                                n+r−1                                      n+r−1
       (n + r)(n + r − 1)Cn x                                +         (n + r)Cn x                    +         Cn xn+r+1 = 0
 n=0                                                             n=0                                      n=0

                           ∞                                                    ∞
                                                 2           n+r−1
                                   (n + r) Cn x                         +            Cn xn+r+1 = 0
                           n=0                                              n=0
                                       ∞                                        ∞




                                                                                                                  as
                               r                         2        n−1
                           x               (n + r) Cn x                  +             Cn xn+1 = 0




                                                                                                                atic
                                   n=0                                          n=0

para homogenizar los exponentes hagamos k = n − 1 (o sea que n = k + 1 y




                                                                                                          atem
cuando n = 0 entonces k = −1) en la primera sumatoria y hagamos k = n+1
en la segunda sumatoria, luego


                                                                                                      eM
                                   ∞                                                  ∞
                       r                                     2              k
                   x                   (k + r + 1) Ck+1 x +                                Ck−1 xk = 0
                                                                                                o. d
                               k=−1                                                  n=1
                                                                                             ept

                                                                 ∞
            2     −1                        2        0
        r
       x r C0 x        + (r + 1) C1 x +                                [(k + r + 1)2 Ck+1 + Ck−1 ] xk = 0
                                                                                           ,D



                                                                 k=1
                                                                                        uia




comparamos coeficientes
                                                                                  tioq




   r2 C0 = 0,      (r + 1)2 C1 = 0,                          (k + r + 1)2 Ck+1 + Ck−1 = 0 con k ≥ 1
                                                                                An




                                           Si C0 = 0 ⇒ r1 = r2 = r = 0
                                                                         de




                                            (0 + 1)2 C1 = 0 ⇒ C1 = 0
                                                                       ad




                                                       Ck−1
                                   Ck+1 = −                                         k = 1, 2, . . .
                                                                  rsid




                                                     (k + 1)2
iterando k
                                                             ive




                                            C0        C0
                                                         Un




                           k = 1 ⇒ C2 = −        2
                                                   =− 2
                                         (1 + 1)      2
                                         C1
                           k = 2 ⇒ C3 = − 2 = 0
                                         3
                                         C2        C0
                           k = 3 ⇒ C4 = − 2 = 2
                                         4     2 × 42
192           CAP´
                 ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES


                  k = 4 ⇒ C5 = 0
                                               C4        C0
                  k = 5 ⇒ C6 = −                 2
                                                   =− 2
                                               6     2 × 42 × 62

Generalizando,
                               C0                                C0
         C2n = (−1)n                           = (−1)n
                          22
                        · ·6    42
                                 2 · · · (2n)2         (2 · 4 · 6 · · · (2n))2
                              C0
              = (−1)n n
                     (2 1 · 2 · 3 . . . n)2




                                                                                   as
                        C0




                                                                              atic
              = (−1)n 2n        , n = 0, 1, 2, . . .
                     2 (n!)2




                                                                           atem
      C2n+1   = 0, n = 0, 1, 2, . . .

Sustituimos en


                                                                     eM
                   ∞                 ∞
       y1 (x) =            n
                        Cn x =             C2n x2n                 o. d
                  n=0                n=0
                   ∞                                          ∞
                                                               ept

                           C0                                                1     x    2n
              =     (−1) 2n n
                                 x2n = C0                          (−1)n
                         2 (n!)2                                           (n!)2   2
                                                             ,D


                n=0                                          n=0
                                                           uia




Por definici´n, la serie
           o
                                                     tioq




                               ∞
                                   (−1)n       x     2n
                                                          = J0 (x)
                                    (n!)2      2
                                                   An




                           n=0

se le llama funci´n de Bessel de orden cero y de primera especie
                 o
                                               de




                                           x2 x4   x6
                                             ad




                       J0 (x) = 1 −          +   −     + ...
                                           4   64 2304
                                           rsid




La segunda soluci´n la hallamos por el m´todo de reducci´n de orden D’Alembert:
                 o                      e               o
                                      ive




                                                   1
                                 e− x dx                       1
              y2 (x) = J0 (x)               dx = J0 (x)               dx
                                   Un




                                 [J0 (x)] 2                x[J0 (x)]2
                            x2 3x4 5x6
      como [J0 (x)]2 = 1 −      +      −        + ...
                             2     32       576
                           1              x2 5x4 23x6
                     ⇒           =1+          +     +        + ...
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  • 1. CAP´ ITULO 5 SOLUCIONES POR SERIES as atic atem eM 5.1. INTRODUCCION o. d Una serie de potencias en (x − a), es una expresi´n de la forma o ept ∞ Cn (x − a)n . ,D n=0 uia tioq Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia que consiste de todos los puntos para los cuales la serie es convergente, por ´sto, e An decimos que una serie de potencias define una funci´n cuyo dominio es, o precisamente, el intervalo de convergencia. de Una serie de potencias converge absolutamente en un n´mero x, si u ad ∞ rsid |Cn | |x − a|n n=0 ive es convergente . Un Todo intervalo de convergencia tiene un radio de convergencia R. Una serie de potencias converge absolutamente para |x − a| < R y diverge para |x − a| > R. Cuando R = 0, la serie s´lo converge en o x = a. Cuando R = ∞, la serie converge para todo x. 165
  • 2. 166 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES El radio de convergencia se obtiene mediante el criterio de la raz´n, en o efecto, como Cn+1 (x − a)n+1 Cn+1 l´ ım = |x − a| l´ ım = L|x − a| < 1 n→∞ Cn (x − a)n n→∞ Cn Cn+1 donde L = l´ ım Cn y como la serie es convergente cuando n→∞ 1 |x − a| < R, entonces el radio de convergencia es R = L . Si R = 0 o R = ∞, el intervalo de convergencia puede o no incluir los ´ extremos a − R , a + R de dicho intervalo. as atic Una serie de potencias representa una funci´n continua en el interior o de su intervalo de convergencia. atem Una serie de potencias puede ser derivada t´rmino a t´rmino en el e e interior de su intervalo de convergencia. eM Una serie de potencias puede ser integrada t´rmino a t´rmino en el e e o. d interior de su intervalo de convergencia. ept Dos series de potencias pueden ser sumadas t´rmino a t´rmino si tienen e e un intervalo com´n de convergencia. u ,D SERIES MACLAURIN DE ALGUNAS FUNCIONES uia ∞ x2 x3 tioq xn xn 1. ex = 1 + x + 2! + 3! + ... + n! + ... = n! n=0 convergente para todo x real ( o sea para −∞ < x < ∞) An ∞ x3 x5 x7 x 2n+1 x2n+1 2. sen x = x − + − + . . . + (−1)n (2n+1)! + . . . = (−1)n de 3! 5! 7! (2n+1)! n=0 convergente para todo x real. ad rsid ∞ x2 x4 x6 x 2n x2n 3. cos x = 1 − + − + . . . + (−1)n (2n)! + . . . = (−1)n ive 2! 4! 6! (2n)! n=0 convergente para todo x en los reales. Un ∞ x3 x5 x7 x2n+1 x2n+1 4. senh x = x + 3! + 5! + 7! + ... + (2n+1)! + ... = (2n+1)! n=0 convergente para todo x real.
  • 3. 5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS 167 ∞ x2 x4 x6 x2n x2n 5. cosh x = 1 + 2! + 4! + 6! + ... + (2n)! + ... = (2n)! n=0 convergente para todo x en los reales. ∞ 1 6. 1−x = 1 + x + x2 + x3 + . . . + x n + · · · = xn n=0 convergente para x en el intervalo −1 < x < 1 ∞ x2 x3 x4 + . . . + (−1)n+1 x + . . . = xn n 7. ln(1 + x) = x − + − (−1)n+1 as 2 3 4 n n n=1 atic convergente para x en el intervalo −1 < x ≤ 1 atem ∞ x3 x5 x2n+1 x2n+1 8. tan−1 x = x − 3 + 5 − . . . + (−1)n 2n+1 + ... = (−1)n 2n+1 n=0 eM convergente para x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 o. d ∞ 1 x3 1·3 x5 1·3·5 x7 1·3·5...(2n−1) x2n+1 9. sen −1 x = x + 2 3 + 2·4 5 + 2·4·6 7 + ... = 2·4·6...2n 2n+1 ept n=0 convergente para todo x en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 ,D uia 10. Serie binomial: 2 3 tioq (1 + x)r = 1 + rx + r(r−1)x + r(r−1)(r−2)x + . . . 2! 3! convergente para x en el intervalo −1 < x < 1 An de 5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS ad Supongamos que la ecuaci´n o rsid a2 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0 ive se puede escribir as´ ı: Un y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0 a1 (x) a0 (x) donde a2 (x) = 0 en I y P (x) = a2 (x) y Q(x) = a2 (x)
  • 4. 168 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES Definici´n 5.1 (Punto Ordinario). Se dice que x = a es un punto ordi- o nario de la E.D. y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0, si P (x) y Q(x) son anal´ ıticas en x = a, es decir, si P (x) y Q(x) se pueden expandir en serie de potencias de x − a con un radio de convergencia positivo. Nota: si un punto no es ordinario se dice que es singular. RECORDEMOS: serie Taylor de y(x) en x = a es: ∞ y (n) (a) (x − a)n , as n=0 n! atic luego, toda funci´n que tenga un desarrollo en serie Taylor alrededor de x = a o atem es anal´ıtica en x = a. eM En particular cuando x = 0 a la serie Taylor se le llama serie Maclaurin de y(x) y la serie tiene la forma: o. d ∞ y (n) (0) (x)n , ept n=0 n! ,D luego, toda funci´n que tenga un desarrollo en serie Maclaurin es anal´ o ıtica uia en x = 0. tioq Ejemplo 1. Hallar los puntos ordinarios y singulares de y + sen xy ′ + ex y = 0 ′′ An de Soluci´n: sen x: tiene expansi´n Taylor para cualquier a o o x e : tiene expansi´n Taylor para cualquier a. o ad Es decir todo a en R es punto ordinario de la ecuaci´n diferencial, por tanto o rsid no tiene puntos singulares. ive Ejemplo 2. Hallar los puntos ordinarios y singulares de ′′ xy + ( sen x)y = 0 Un Soluci´n: o Q(x) sen x y ′′ + y=0 x
  • 5. 5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS 169 ∞ x(2n+1) (−1)n ∞ sen x n=0 (2n+1)! (−1)n x2n Q(x) = = = x x n=0 (2n + 1)! ⇒ x = 0 es punto ordinario de la E.D.,por tanto todos los x = 0 son puntos singulares. Ejemplo 3. Hallar los puntos ordinarios y singulares de ′′ y + (ln x)y = 0 Soluci´n: x = 0 es un punto singular ya que ln x no tiene expansi´n en o o as x = 0, todos los dem´s puntos diferentes de cero son puntos ordinarios. a atic Analicemos el caso en que a2 (x), a1 (x) y a0 (x) son polinomios. Si en la atem E.D. a2 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0 se tiene que a2 (x), a1 (x), a0 (x) son poli- nomios sin factores comunes, o sea, sin ra´ comunes, entonces x = a es : ıces eM i) Un punto ordinario si a2 (a) = 0 es decir, x = a no es ra´ del polinomio ız a2 (x). o. d ii) Un punto singular si a2 (a) = 0, es decir, si a es ra´ de a2 (x). ız ept ,D Ejemplo 4. Hallar los puntos ordinarios y singulares de (x2 − 4)y ′′ + 2xy ′ + 3y = 0 uia Soluci´n: o tioq a2 (x) = x2 − 4 = 0, luego x = ±2 son puntos singulares y x = ±2 son puntos ordinarios. An Teorema 5.1. de Si x = a es un punto ordinario de la ecuaci´n o ad a2 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0, rsid siempre podemos encontrar dos soluciones distintas (linealmente indepen- ive dientes), en serie de potencias; soluciones que son de la forma Un ∞ y= Cn (x − a)n . n=0 Una soluci´n en serie de potencias converge por lo menos para |x − a| < R1 , o donde R1 es la distancia de a al punto singular m´s cercano. a
  • 6. 170 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES Nota: para simplificar supondremos que el punto ordinario es a = 0, si a = 0, se hace la sustituci´n t = x − a. Esta sustituci´n convierte la E.D. en o o otra E.D. con punto ordinario t = 0. Ejemplo 5. Resolver por series la E.D. (x2 − 1)y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 Soluci´n: o x2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1 son puntos singulares y los x = ±1 son puntos ordinarios. as Trabajemos con el punto ordinario x = 0, los candidatos a soluci´n son o atic ∞ de la forma y(x) = C n xn n=0 atem Debemos hallar las Cn : derivamos dos veces: eM ∞ ′ y (x) = nCn xn−1 n=1 o. d ∞ ept ′′ y (x) = n(n − 1)Cn xn−2 n=2 ,D Pasamos a sustituir y ′ (x) y y ′′ (x) en la E.D. original: uia x2 y ′′ − y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 tioq ∞ ∞ ∞ ∞ n n−2 An n n(n − 1)Cn x − n(n − 1)Cn x + 4n Cn x + 2 C n xn = 0 n=2 n=2 n=1 n=0 de Homogenizamos las potencias de x: ad ∞ ∞ ∞ ∞ n m n 2 C n xn = 0 rsid n(n−1)Cn x − (m+2)(m+1)Cm+2 x + 4n Cn x + n=2 m=0 n=1 n=0 ive n−2=m ⇒n=m+2 haciendo Un n=2 ⇒m=0 Escribimos todo en t´rminos de k: e ∞ ∞ ∞ ∞ k k k k(k − 1)Ck x − (k + 2)(k + 1)Ck+2 x + 4k Ck x + 2 C k xk = 0 k=2 k=0 k=1 k=0
  • 7. 5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS 171 Ahora homogenizamos el ´ ındice de las series: ∞ ∞ k k(k − 1)Ck x − 2C2 − (3)(2)C3 x − (k + 2)(k + 1)Ck+2 xk + 4C1 x+ k=2 k=2 ∞ ∞ k + 4k Ck x + 2C0 + 2C1 x + 2 C k xk = 0 k=2 k=2 luego as atic ∞ 2C0 −2C2 +(6C1 −2·3C3 )x+ [k(k−1)Ck −(k+2)(k+1)Ck+2 +4kCk +2Ck ]xk = 0 atem k=2 Comparando coeficientes: x0 : 2C0 − 2C2 = 0 ⇒ C2 = C0 eM o. d x1 : 6C1 − 6C3 = 0 ⇒ C1 = C3 ept xk : [k(k − 1) + 4k + 2]Ck − (k + 2)(k + 1)Ck+2 = 0 k = 2, 3, . . . ,D (k 2 + 3k + 2)Ck − (k + 2)(k + 1)Ck+2 = 0 uia (k + 2)(k + 1)Ck − (k + 2)(k + 1)Ck+2 = 0 tioq An (k + 2)(k + 1) Ck+2 = Ck de (k + 2)(k + 1) Ck+2 = Ck k = 2, 3, . . . ad rsid F´rmula de recurrencia para los coeficientes o Iteremos la f´rmula de recurrencia: o ive k = 2 : C4 = C2 = C0 Un k = 3 : C5 = C3 = C1 k = 4 : C6 = C4 = C0 k = 5 : C7 = C5 = C1
  • 8. 172 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES Volviendo a ∞ y(x) = C n xn = C 0 + C 1 x + C 2 x2 + C 3 x3 + C 4 x4 + C 5 x5 + C 6 x6 + . . . n=0 = C 0 + C 1 x + C 0 x 2 + C 1 x 3 + C 0 x 4 + C 1 x5 + C 0 x6 + . . . La soluci´n general: o = C0 (1 + x2 + x4 + x6 + . . . + x2n + . . .)+C1 (x + x3 + x5 + . . . + x2n+1 + . . .) y1 (x) y2 (x) as 1 atic = C0 + C1 x(1 + x2 + x4 + x6 + . . . + x2n + . . .) 1 − x2 atem 1 C1 x 1 = C0 2 + 2 ya que = 1 + x + x2 + x3 + . . . 1−x 1−x 1−x eM Siendo y1 (x) y y2 (x) dos soluciones linealmente independientes. o. d El siguiente ejercicio resuelto, s´lo tiene validez para E.D. con condiciones o iniciales. Si la condici´n inicial est´ en x = 0, utilizamos las series Maclaurin o a ept y si la condici´n inicial est´ en x = a, utilizamos la serie Taylor. o a ,D Ejemplo 6. y ′′ − e−x y = 0, y(0) = y ′ (0) = 1 uia Soluci´n. o tioq Serie Maclaurin de y(x). An ∞ y (n) (0)xn y(x) = de n=0 n! ad y ′ (0) y ′′ (0) 2 y ′′′ (0) 3 rsid y(x) = y(0) + x+ x + x + ... 1! 2! 3! y(0) = 1 y ′ (0) = 1 ive De la ecuaci´n tenemos que o Un y ′′ (x) = e−x y(x), evaluando en x = 0 ⇒ y ′′ (0) = 1 × 1 = 1 Derivando nuevamente tenemos que: y ′′′ (x) = e−x y ′ (x) − e−x y(x)
  • 9. 5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS 173 evaluando en x = 0⇒y ′′′ (0) = 1 × 1 − 1 × 1 = 0 y (iv) (x) = e−x (y ′′ (x) − y ′ (x)) − e−x (y ′ (x) − y(x)) x=0 ⇒ y (iv) (0) = 1(1 − 1) − 1(1 − 1) = 0 y (v) (x) = e−x (y ′′′ (x) − 2y ′′ (x) + y ′ (x)) − e−x (y ′′ (x) − 2y ′ + y(x) y (v) (0) = 1(0 − 2(1) + 1) − 1(1 − 2(1) + 1) = −1 Sustituyendo en la f´rmula de Maclaurin: o as atic x2 x 5 y(x) = 1 + x + − + ... 2! 5! atem Resolver por series los siguientes ejercicios en el punto ordinario x = 0: eM Ejercicio 1. y ′′ − 2xy ′ + 8y = 0 y(0) = 3, y ′ (0) = 0 (Rta: y = 3 − 12x2 + 4x4 ) o. d Ejercicio 2. (x2 − 1)y ′′ − 6y = 0 ept (Rta: y = C0 ∞ (2n−1)(2n−3) x2n + C1 (x − x3 )) n=0 3 ,D Ejercicio 3. y ′′ − xy = 0 uia 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (Rta: y = C0 (1 + 3·2 x3 + 6·5 3·2 x6 + 9·8 6·5 3·2 x9 + . . .) + C1 (x + 4·3 x4 + 7·6 4·3 x7 + tioq 1 1 1 10 10·9 7·6 4·3 x + . . .)) An Ejercicio 4. (x2 + 1)y ′′ + 6xy ′ + 6y = 0 (Rta: y = C0 ∞ (−1)n (2n + 1)x2n + C1 n=0 ∞ n n=0 (−1) (n + 1)x2n+1 ) de Ejercicio 5. y ′′ − xy ′ − y = 0 ad (Rta: y = C0 ∞ 2·4·6·8...2n x2n + C1 1 ∞ 1 n=0 1·3·5·7...(2n+1) x 2n+1 ) rsid n=0 Ejercicio 6. y ′′ + e−x y = 0 ive (Sugerencia: Hallar la serie e−x y multiplicarla por la serie de y) Un 2 3 4 5 6 3 4 5 x6 (Rta: y = C0 (1 − x + x − x − x + 11x · · · ) + C1 (x − x + x − x − 360 · · · )) 2 6 12 40 6! 6 12 60 Ejercicio 7. (x − 1)y ′′ + y ′ = 0 ∞ xn (Rta: y1 = C0 , y2 = C 1 n = C1 ln |x − 1|) n=1
  • 10. 174 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES Ejercicio 8. (1 + x2 )y ′′ + 2xy ′ − 2y = 0 (Rta: y(x) = C0 (1 + x tan−1 x) + C1 x) Ejercicio 9. y ′′ − xy ′ + y = −x cos x, y(0) = 0, y ′ (0) = 2 (Rta: y(x) = x + sen x) Ejercicio 10. y ′′ − 2xy ′ + 4y = 0 con y(0) = 1 y y ′ (0) = 0 (Rta: y = 1 − 2x2 ) Ejercicio 11. (1 − x)2 y ′′ − (1 − x)y ′ − y = 0 con y(0) = y ′ (0) = 1 as 1 (Rta: y = 1−x ) atic Ejercicio 12. y ′′ − 2xy ′ − 2y = x con y(0) = 1 y y ′ (0) = − 1 atem 4 2 (Rta: y = ex − x ) 4 eM Ejercicio 13. y ′′ + xy ′ + (2x − 1)y = x con y(0) = 2 y y ′ (0) = 3. Hallar los primeros 6 t´rminos de la soluci´n particular. e o o. d 1 7 11 (Rta: y = 2 + 3x + x2 − 2 x3 − 12 x4 − 120 x5 − . . .) ept Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular de la E.D. de Ayry, alrededor o del punto ordinario x = 1 ,D uia y ′′ − xy = 0 y(1) = 1, y ′ (1) = 0 tioq (x−1)2 (x−1)3 (x−1)4 4(x−1)5 (Rta.: y = 1 + 2! + 3! + 4! + 5! + . . .) An Ejercicio 15. Hallar la soluci´n particular de la E.D. o de 1 y ′′ − 2xy − 2y = x y(0) = 1, y ′ (0) = − ad 4 rsid 2 (Rta.: y = − x + ex ) 4 ive Ejercicio 16. Resolviendo por series, mostrar que la soluci´n de la E.D. o Un (x − 1)y ′′ − xy ′ + y = 0 con y(0) = −2, y ′ (0) = 6 es y = 8x − 2ex . Ejercicio 17. y ′′ + xy ′ + y = 0
  • 11. 5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS 175 a). Hallar dos soluciones linealmente independientes y1 (x), y2 (x) b). Usando el criterio del cociente, mostrar que las dos series son conver- gentes para todo x. −( √ )2 x c). Probar que y1 (x) = e 2 d). Usando el m´todo de reducci´n de orden de D’Alembert, hallar y2 (x) e o 2 4 6 3 5 7 (Rta: a). y1 (x) = 1 − x + 2·4 − 2·4·6 + . . . , y2 (x) = x − x + 3·5 − 3·5·7 + . . .) 2 x x 3 x x as Ejercicio 18. La E.D. de Legendre de orden α es: atic (1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + α(α + 1)y = 0 con α > −1 atem Mostrar: eM a) Que las f´rmulas de recurrencia son: o o. d (−1)m α(α − 2)(α − 4) . . . (α − 2m + 2)(α + 1)(α + 3) . . . (α + 2m − 1) C2m = C0 ept (2m)! ,D (−1)m (α − 1)(α − 3) . . . (α − 2m + 1)(α + 2)(α + 4) . . . (α + 2m) C2m+1 = C1 (2m + 1)! uia tioq b) Las dos soluciones linealmente independientes son: ∞ An y1 = C 0 (−1)m a2m x2m de m=0 ad ∞ (−1)m a2m+1 x2m+1 rsid y2 = C 1 m=0 ive donde a2m y a2m+1 son las fracciones encontradas en a), pero sin (−1)m Un c) Si α es entero no negativo y par, entonces a2m = 0 para 2m > n; mostrar que y1 es un polinomio de grado n y y2 es una serie infinita. Si α es entero no negativo e impar; mostrar que a2m+1 = 0 para 2m + 1 > n y y2 es un polinomio de grado n y y1 es una serie in- finita.
  • 12. 176 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES d) Se acostumbra tomar la constante arbitraria (C0 o C1 seg´n el caso) u n de tal manera que el coeficiente de x en el polinomio y1 o y2 (seg´n el u (2n)! caso) sea 2n (n!)2 y se les llama polinomios de LegendrePn (x). Mostrar que: N (−1)k (2n − 2k)! Pn (x) = xn−2k k=0 2n k!(n − k)!(n − 2k)! n donde N =parte entera de 2 e) Mostrar que los 6 primeros polinomios de Legendre son: as atic P0 (x) = 1, P1 (x) = x, atem 1 1 P2 (x) = (3x2 − 1), P3 (x) = (5x3 − 3x), 2 2 1 1 eM P4 (x) = (35x4 − 30x2 + 3), P5 (x) = (63x5 − 70x3 + 15x) 8 8 o. d Ejercicio 19. F´rmula de Rodriguez: o ept 1 dn 2 Pn (x) = (x − 1)n ,D n!2n dxn uia para el polinomio de Legendre de grado n. tioq a) Mostrar que u = (x2 − 1)n satisface la E.D. An (1 − x2 )u′ + 2nxu = 0 de Derive ambos lados de la E.D. y obtenga ad (1 − x2 ) + 2(n − 1)xu′ + 2nu = 0 rsid b) Derive sucesivamente, n veces ambos lados de la ecuaci´n y obtenga: o ive (1 − x2 )u(n+2) − 2xu(n+1) + n(n + 1)u(n) = 0 Un Hacer v = u(n) y mostrar que v = Dn (1 − x2 )n y luego mostrar que v satisface la ecuaci´n de Legendre de orden n o (2n)! c) Demostrar que el coeficiente de xn en v es n!
  • 13. 5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS 177 d) Explicar porqu´ c) demuestra la f´rmula de Rodriguez (Notar que el e o n (2n)! coeficiente de x en Pn (x) es 2n (n!)2 ) Ejercicio 20. La E.D. y ′′ − 2xy ′ + 2αy = 0 se le llama ecuaci´n de Hermite de orden α. o a) Mostrar que las dos soluciones en serie de potencias son: as ∞ 2m α(α − 2) . . . (α − 2m + 2) 2m y1 = 1 + (−1)m x atic m=1 (2m)! atem ∞ 2m (α − 1)(α − 3) . . . (α − 2m + 1) 2m+1 y2 = x + (−1)m x (2m + 1)! eM m=1 b) Si α es entero par, mostrar que y1 es un polinomio. o. d Si α es impar, mostrar que y2 es un polinomio. ept c) El polinomio de la parte b) se denota por Hn (x) y se le llama polinomio ,D de Hermite cuando el coeficiente de xn es 2n . uia d) Demostrar que los 6 primeros polinomios de Hermite son: tioq H0 (x) = 1, H1 (x) = 2x, An H2 (x) = 4x2 − 2, H3 (x) = 8x3 − 12x, de H4 (x) = 16x4 − 48x2 + 12, H5 (x) = 32x5 − 160x3 + 120x ad e) La formula general de los polinomios de Hermite es rsid dn −x2 ive 2 Hn (x) = (−1)n ex (e ) dxn Un Por inducci´n mostrar que genera un polinomio de grado n. o
  • 14. 178 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES 5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES REGULARES Definici´n 5.2 (Punto singular). o i. Decimos que x = x0 es un punto singular regular de la E.D.O. y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0, si (x − x0 )P (x) y (x − x0 )2 Q(x) son anal´ ıticas en x = x0 , es decir, si 2 (x − x0 )P (x) y (x − x0 ) Q(x) tienen desarrollos en series de potencias as de (x − x0 ). Si x = x0 no cumple con la anterior definici´n, entonces o atic decimos que x = x0 es un punto singular irregular. atem ii. Si en la E.D. a2 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0 eM se tiene que a2 (x), a1 (x), a0 (x) son polinomios sin factores comunes, en- tonces decimos que x = x0 es un punto singular regular si o. d a a2 (x) a0 (x) a2 (x0 ) = 0 y adem´s, si en P (x) = a1 (x) y Q(x) = a2 (x) , el factor x − x0 tiene a lo sumo grado uno en el denominador de P (x) y grado ept a lo sumo dos en el denominador de Q(x). ,D Ejemplo 7.Hallar los puntos singulares regulares e irregulares de uia (x2 − 4)2 y ′′ + (x − 2)y ′ + y = 0 tioq Soluci´n: o An Puntos singulares: de a2 (x) = (x2 − 4)2 = 0 ⇒ x = ±2 ad x−2 1 P (x) = = rsid (x 2 − 4)2 (x − 2)(x + 2)2 1 ive Q(x) = (x − 2)2 (x + 2)2 Un Con x = +2, como (x − 2) es un factor de grado uno en P (x) y de grado dos en Q(x), por lo tanto x = 2 es punto singular regular. Con x = −2 es punto singular irregular, porque x+2 aparece con grado dos en el denominador de P (x).
  • 15. 5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 179 Nota: los puntos singulares pueden ser n´meros complejos. u Teorema 5.2 (de Frobenius). Si x = x0 es un punto singular regular de la E.D.O. a2 (x)y ′′ + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0, entonces existe al menos una soluci´n en serie de la forma: o ∞ as y= Cn (x − x0 )n+r , atic n=0 donde r es una constante a determinar. atem Esta serie converge en un intervalo de la forma 0 < x − x0 < R. eM Ejemplo 8. Utilizar el teorema de Frobenius para hallar dos soluciones linealmente independientes de la E.D. 3xy ′′ + y ′ − y = 0 o. d Soluci´n: o ept x = 0 es punto singular y es regular porque ,D 1 1 P (x) = , Q(x) = − uia 3x 3x tioq Suponemos una soluci´n de la forma: o ∞ ∞ An n+r ′ y= Cn x ⇒y = (n + r)Cn xn+r−1 n=0 n=0 de ∞ ad ′′ y = (n + r)(n + r − 1)Cn xn+r−2 rsid n=0 y sustituimos en la E.D. ive ∞ ∞ ∞ Un ′′ ′ n+r−1 n+r−1 3xy +y −y = 3(n+r)(n+r−1)Cn x + (n+r)Cn x − Cn xn+r = 0 n=0 n=0 n=0 ∞ ∞ n+r−1 (n + r)(3n + 3r − 2)Cn x − Cn xn+r = 0 n=0 n=0
  • 16. 180 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES ∞ ∞ r n−1 x (n + r)(3n + 3r − 2)Cn x − C n xn =0 n=0 n=0 Sacamos la potencia m´s baja: a ∞ ∞ xr r(3r − 2)C0 x−1 + (n + r)(3n + 3r − 2)Cn xn−1 − C n xn = 0 n=1 n=0 k =n−1 ⇒n=k+1 hagamos n=1 ⇒k=0 as ∞ ∞ atic r −1 k x r(3r − 2)C0 x + (k + r + 1)(3k + 3r + 1)Ck+1 x − C k xk = 0 k=0 k=0 atem ∞ eM xr r(3r − 2)C0 x−1 + [(k + r + 1)(3k + 3r + 1)Ck+1 − Ck ] xk = 0 k=0 o. d en potencias de: x−1 : r(3r − 2)C0 = 0 ept y en potencias de: ,D xk : (k + r + 1)(3k + 3r + 1)Ck+1 − Ck = 0 con k = 0, 1, 2, . . . uia 2 tioq si C0 = 0 ⇒ r(3r − 2) = 0 ⇒ r2 = 0 r1 = y 3 An ec. indicial ´ ındices (o exponentes) de la singularidad de Ck Ck+1 = , k = 0, 1, 2, . . . (k + r + 1)(3k + 3r + 1) ad rsid 2 Con r1 = 3 que es la ra´ mayor, entonces: ız ive Ck Ck Ck+1 = = , k = 0, 1, . . . (5.1) Un 5 (k + 3 )(3k + 3) (3k + 5)(k + 1) Con r2 = 0 entonces: Ck Ck+1 = , k = 0, 1, . . . (5.2) (k + 1)(3k + 1)
  • 17. 5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 181 Iteremos (5.1): C0 k = 0 : C1 = 5×1 C1 C0 C0 k = 1 : C2 = = = 8×2 (5 × 1) × (8 × 2) 2! × (5 × 8) C2 C0 C0 k = 2 : C3 = = = 11 × 3 (5 × 1) × (8 × 2) × (11 × 3) 3! × 5 × 8 × 11 C3 C0 k = 3 : C4 = = 14 × 4 4! × 5 × 8 × 11 × 14 as atic generalizando C0 atem Cn = n = 1, 2, . . . n! × 5 × 8 × 11 × 14 . . . (3n + 2) eM Iteremos (5.2): C0 o. d k = 0 : C1 = 1×1 C1 C0 ept k = 1 : C2 = = 2×4 (1 × 1) × (2 × 4) ,D C2 C0 C0 k = 2 : C3 = = = uia 3×7 (1 × 1) × (2 × 4) × (3 × 7) 3! × 4 × 7 C3 C0 tioq k = 3 : C4 = = 4 × 10 4! × 4 × 7 × 10 An generalizando de C0 Cn = n = 1, 2, . . . n! × 1 × 4 × 7 × 10 . . . (3n − 2) ad rsid ∞ ∞ ∞ 2 2 n+ 3 2 n 2 C n xn ive r1 = ⇒ y 1 = Cn x =x 3 Cn x = x 3 C0 + 3 n=0 n=0 n=1 Un ∞ 2 C0 = x 3 C0 + xn n=1 n! × 5 × 8 × 11 × 14 . . . (3n + 2) ∞ 2 xn = C0 x 3 1 + n=1 n! × 5 × 8 × 11 × 14 . . . (3n + 2)
  • 18. 182 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES ∞ ∞ ∞ n+0 n r2 = 0 ⇒ y 2 = Cn x = Cn x = C0 + C n xn n=0 n=0 n=1 ∞ C0 = C0 + xn n=1 n! × 1 × 4 × 7 × 10 . . . (3n − 2) ∞ xn = C0 1 + n=1 n! × 1 × 4 × 7 × 10 . . . (3n − 2) Luego la soluci´n general es : o as y = k1 y1 + k2 y2 atic ∞ 2 xn atem = k1 C0 x 3 1 + + n=1 n! × 5 × 8 × 11 × 14 . . . (3n + 2) ∞ xn eM k2 C0 1 + n=1 n! × 1 × 4 × 7 × 10 . . . (3n − 2) o. d observemos que para este ejemplo ept 2 2 r1 = , r2 = 0 ⇒ r1 − r2 = = entero ,D 3 3 uia Nota: en general si x = 0 es un punto singular regular, entonces las funciones tioq xP (x) y x2 Q(x) son anal´ ıticas en x = 0, es decir An xP (x) = p0 + p1 x + p2 x2 + . . . de x2 Q(x) = q0 + q1 x + q2 x2 + . . . ad son convergentes en intervalos de radio positivo. Despu´s de sustituir y = e rsid ∞ n+r n=0 Cn x en la E.D. y simplificar, la ecuaci´n indicial es una ecuaci´n o o cuadr´tica en r que resulta de igualar a cero el coeficiente de la menor po- a ive tencia de x. Siguiendo este procedimiento se puede mostrar que la ecuaci´n o Un indicial es r(r − 1) + p0 r + q0 = 0 Se hallan las ra´ ıces de la ecuaci´n indicial y se sustituyen en la relaci´n de o o recurrencia.
  • 19. 5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 183 Con las ra´ıces de la ecuaci´n indicial pueden ocurrir los siguientes tres o casos. CASO I: cuando r1 − r2 = entero positivo (r1 > r2 ), entonces las dos soluciones linealmente independientes son: ∞ y1 = Cn xn+r1 n=0 ∞ y2 = Cn xn+r2 as n=0 atic Este caso lo hemos contemplado en el Ejemplo 8. atem CASO II: cuando r1 − r2 = entero positivo (r1 > r2 ), entonces las dos soluciones linealmente independientes son: eM ∞ y1 = Cn xn+r1 o. d n=0 ∞ ept y2 = Cy1 (x) ln x + bn xn+r2 b0 = 0, ,D n=0 donde C es una constante que puede ser cero. uia tioq Nota: para saber si C es cero o diferente de cero, utilizamos la f´rmula o de D’Alembert; si es cero, entonces en y2 no aparece el t´rmino logar´ e ıtmico. An El pr´ximo ejemplo lo haremos con C = 0; si C = 0, y2 tambi´n se puede o e hallar utilizando la f´rmula de D’Alembert: o de e− P (x) dx y2 = y1 (x) dx ad [y1 (x)]2 rsid o tambi´n derivando dos veces e ive ∞ Un y2 = Cy1 (x) ln x + bn xn+r2 b0 = 0, n=0 y sustituyendo en la E.D. e iterando la f´rmula de recurrencia para hallar los o coeficientes bn .
  • 20. 184 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES CASO III: cuando r1 − r2 = 0, entonces las soluciones linealmente in- dependientes son: ∞ y1 = Cn xn+r1 con C0 = 0 n=0 ∞ y2 = y1 (x) ln x + bn xn+r1 sabiendo que r1 = r2 n=1 as atic 5.3.1. CASO II: r1 − r2 = entero positivo atem Con el siguiente ejemplo mostramos el CASO II, o sea cuando r1 − r2 = entero positivo. Ejemplo 9. xy ′′ + (5 + 3x)y ′ + 3y = 0 eM Soluci´n: o o. d x = 0 es punto singular regular, ya que ept 5 + 3x 3 P (x) = Q(x) = x x ,D Si utilizamos la f´rmula de D’Alembert encontramos que despu´s de efectuar o e uia todas las operaciones, el primer t´rmino no tiene logaritmo, por tanto C = 0. e tioq Ahora supongamos que An ∞ ∞ n+r ′ y= Cn x ⇒y = (n + r)Cn xn+r−1 de n=0 n=0 ad ∞ ′′ y = (n + r)(n + r − 1)Cn xn+r−2 rsid n=0 ive sustituyendo en la E.D. Un xy ′′ + 5y ′ + 3xy ′ + 3y = 0 ∞ ∞ n+r−1 (n + r)(n + r − 1)Cn x + 5(n + r)Cn xn+r−1 + n=0 n=0
  • 21. 5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 185 ∞ ∞ n+r 3(n + r)Cn x + 3Cn xn+r = 0 n=0 n=0 ∞ ∞ r n−1 x (n + r)(n + r − 1 + 5)Cn x + 3(n + r + 1)Cn xn = 0 n=0 n=0 ∞ ∞ r −1 n−1 x r(r + 4)C0 x + (n + r)(n + r + 4)Cn x + 3(n + r + 1)Cn xn = 0 n=1 n=0 k =n−1 ⇒n=k+1 as hagamos cuando n = 1 ⇒k=0 atic luego atem ∞ xr r(r + 4)C0 x−1 + [(k + r + 1)(k + r + 5)Ck+1 + 3(k + r + 1)Ck ]xk = 0 eM k=0 Por lo tanto la ecuaci´n indicial: o o. d r(r + 4) = 0 ⇒ r1 = 0 r2 = −4 o sea que r1 − r2 = entero positivo ept y la f´rmula de recurrencia es o ,D (k + r + 1)(k + r + 5)Ck+1 + 3(k + r + 1)Ck = 0 k = 0, 1, . . . uia tioq e iteramos con la menor ra´ indicial r2 = −4: ız (k + 1)(k − 3)Ck+1 + 3(k − 3)Ck = 0 k = 0, 1, . . . An de 9C0 k=0 : 1(−3)C1 + 3(−3)C0 ⇒ C1 = = −3C0 ad −3 6C1 3 9 rsid k=1 : 2(−2)C2 + 3(−2)C1 = 0 ⇒ C2 = = − (−3)C0 = C0 −4 2 2 3C2 9 ive k=2 : 3(−1)C3 + 3(−1)C2 = 0 ⇒ C3 = = − C0 −3 2 Un k=3 : 4(0)C4 + 3(0)C3 = 0 ⇒ C4 es par´metro a 3 k≥4 : Ck+1 = − Ck (k + 1)
  • 22. 186 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES es decir 9 9 C1 = −3C0 , C2 = C0 , C3 = − C0 , 2 2 C4 : par´metro a 3 k ≥ 4 : Ck+1 = − Ck (5.3) (k + 1) iteremos (5.3): 3 k = 4 : C5 = − C4 as 5 3 3×3 atic k = 5 : C6 = − C5 = C4 6 5×6 atem 3 3×3×3 k = 6 : C7 = − C6 = − C4 7 5×6×7 33 4! eM =− C4 7! generalizando o. d 3(n−4) 4! Cn = (−1)n C4 n≥4 ept n! ,D ∞ y = Cn xn−4 uia n=0 tioq ∞ −4 2 3 = x [C0 + C1 x + C2 x + C3 x + C n xn ] An n=4 9 9 = x−4 [C0 − 3C0 x + C0 x2 − C0 x3 + C4 x4 + de 2 2 ∞ (n−4) 3 4! ad + (−1)n C 4 xn ] n! rsid n=5 y1 (x) ive 9 9 = C0 x−4 1 − 3 x + x2 − x3 Un 2 2 y2 (x) ∞ 3(n−4) 4! n−4 +C4 1 + (−1)n x n=5 (n)!
  • 23. 5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 187 k =n−4 ⇒n=k+4 hagamos n=5 ⇒k=1 ∞ 3k 4! y = C0 y1 (x) + C4 1+ (−1)k+4 xk k=1 (k + 4)! ∞ 3n = C0 y1 (x) + C4 1 + 24 (−1)n xn n=1 (n + 4)! as converge ∀x ∈ Re atic Para abordar el caso iii) cuando r1 = r2 necesitamos definir la funci´n o atem Gamma. eM 5.3.2. ´ FUNCION GAMMA: Γ(x) o. d Definici´n 5.3. Sea x > 0. La funci´n Gamma se define as´ o o ı: ∞ ept Γ(x) = e−τ τ x−1 dτ 0 ,D Teorema 5.3 (F´rmula de recurrencia para la funci´n Γ). o o uia Para x > 0 : Γ(x + 1) = xΓ(x) . tioq ∞ ∞ Demostraci´n: Γ(x + 1) = 0 e−τ τ x dτ = −e−τ τ x |∞ + 0 xe−τ τ x−1 dτ = o 0 An la anterior integral se hizo por partes, u = τx ⇒ du = xτ x−1 dτ haciendo de dv = e−τ dt ⇒ v = −e−τ ∞ = 0 − 0 + x 0 e−τ τ x−1 dτ = xΓ(x) ad ya que por el teorema de estricci´n y la regla de L’Hˆpital o o rsid −τ x τx l´ e τ = l´ eτ = 0 ım ım τ →∞ τ →∞ ive Observaciones: Un a). x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 √ Γ(x) 9.5 4.59 2.99 2.22 π 1.49 1.30 1.16 1.07
  • 24. 188 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES b). Si x = n entero positivo: Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = . . . = n(n − 1)(n − 2) . . . 1 Γ(1) ∞ −τ 0 ∞ Pero Γ(1) = 0 e τ dτ = −e−τ |0 = −(0 − 1) = 1 Luego, Γ(n + 1) = n! Definici´n 5.4. Si x < 0, definimos Γ(x) as´ Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1) si o ı: x = 0 o x = de un entero negativo. Γ(x) = ±∞ si x = 0 o x = entero as negativo.(Ver la gr´fica 5.1) a atic NOTA: la f´rmula para calcular Γ(x) para x < 0 es: o atem 1 Γ(x) = Γ(x + 1) x En la figuta 5.1 se muestra la gr´fica de la funci´n Γ(x). a o eM o. d 6 ept 5 ,D 4 uia 3 2 tioq 1 An -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 de -2 ad -3 rsid -4 -5 ive -6 Un Figura 5.1 5 3 3 3 3 1 31 1 Ejemplo 10. Γ =Γ +1 = Γ = Γ +1 = Γ = 3 1√ 2 2 2 2 2 2 22 2 22 π
  • 25. 5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 189 Ejemplo 11. Γ − 7 2 Soluci´n: o 7 2 5 2 2 3 Γ − = − Γ − = − − Γ − 2 7 2 7 5 2 2 2 2 1 = − − − Γ − 7 5 3 2 2 2 2 2 1 = − − − − Γ 7 5 3 1 2 √ as 2 2 2 2 = − − − − π atic 7 5 3 1 atem Como Γ(n + 1) = n! para n entero positivo, generalizamos el factorial as´ ı: Definici´n 5.5 (Factorial generalizado). x! = Γ(x + 1), x = entero o eM negativo. o. d Nota: con n = 0 obtenemos 0! = Γ(0 + 1) = Γ(1) = 1 y ept 1! = Γ(1 + 1) = 1 Γ(1) = 1 × 1 = 1 ,D con esto probamos, mediante la funci´n Gamma, que 0! = 1 = 1! o uia 7 Ejemplo 12. Hallar ! tioq 2 7 7 7 5 3 1√ !=Γ +1 = π An 2 2 2222 de Ejemplo 13. Calcular − 7 ! 2 ad Soluci´n: o rsid 7 7 5 2 2 2 1 − ! = Γ − +1 =Γ − = − − − Γ 2 2 2 5 3 1 2 ive 2 2 2 √ Un = − − − π 5 3 1 1 1 3 Ejercicio 1. Hallar 0 x3 ln x dx 3! (Rta: 44 )
  • 26. 190 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES ∞ −x2 Ejercicio 2. Hallar √ 0 e dx (Rta: 2π ) ∞ 2 Ejercicio 3. Hallar utilizando la funci´n Γ: √ o 0 x2 e−x dx π (Rta: 4 ) Ejercicio 4. Probar que 1 (2n + 1)! √ n+ ! = 2n+1 π 2 2 n! as y atic 1 (2n)! √ n− ! = 2n π atem 2 2 n! para todo entero n no negativo. eM 5.3.3. CASO III: r1 = r2 o. d CASO III: r1 = r2 . Tomamos como ejemplo para este caso, la E.D. de ept Bessel de orden cero. ,D Definici´n 5.6 (Ecuaci´n Diferencial de Bessel). La E.D.: o o uia d2 y dy x2 + x + (x2 − p2 )y = 0 tioq dx 2 dx An donde p es un par´metro positivo, se le llama E.D. de Bessel de orden p. a de Las soluciones de esta E.D. se les llama funciones de Bessel de orden p. Cuando p = 0 y x = 0 entonces ad rsid d2 y dy x + + xy = 0. dx2 dx ive Hallemos expl´ıcitamente estas soluciones en el intervalo 0 < x < R; es f´cil a Un ver que x = 0 es un punto singular regular. Suponemos una soluci´n de la forma o ∞ y= Cn xn+r , n=0
  • 27. 5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 191 con 0 < x < R y C0 = 0; derivamos dos veces y sustituimos en la E.D. y llegamos a esto: ∞ ∞ ∞ n+r−1 n+r−1 (n + r)(n + r − 1)Cn x + (n + r)Cn x + Cn xn+r+1 = 0 n=0 n=0 n=0 ∞ ∞ 2 n+r−1 (n + r) Cn x + Cn xn+r+1 = 0 n=0 n=0 ∞ ∞ as r 2 n−1 x (n + r) Cn x + Cn xn+1 = 0 atic n=0 n=0 para homogenizar los exponentes hagamos k = n − 1 (o sea que n = k + 1 y atem cuando n = 0 entonces k = −1) en la primera sumatoria y hagamos k = n+1 en la segunda sumatoria, luego eM ∞ ∞ r 2 k x (k + r + 1) Ck+1 x + Ck−1 xk = 0 o. d k=−1 n=1 ept ∞ 2 −1 2 0 r x r C0 x + (r + 1) C1 x + [(k + r + 1)2 Ck+1 + Ck−1 ] xk = 0 ,D k=1 uia comparamos coeficientes tioq r2 C0 = 0, (r + 1)2 C1 = 0, (k + r + 1)2 Ck+1 + Ck−1 = 0 con k ≥ 1 An Si C0 = 0 ⇒ r1 = r2 = r = 0 de (0 + 1)2 C1 = 0 ⇒ C1 = 0 ad Ck−1 Ck+1 = − k = 1, 2, . . . rsid (k + 1)2 iterando k ive C0 C0 Un k = 1 ⇒ C2 = − 2 =− 2 (1 + 1) 2 C1 k = 2 ⇒ C3 = − 2 = 0 3 C2 C0 k = 3 ⇒ C4 = − 2 = 2 4 2 × 42
  • 28. 192 CAP´ ITULO 5. SOLUCIONES POR SERIES k = 4 ⇒ C5 = 0 C4 C0 k = 5 ⇒ C6 = − 2 =− 2 6 2 × 42 × 62 Generalizando, C0 C0 C2n = (−1)n = (−1)n 22 · ·6 42 2 · · · (2n)2 (2 · 4 · 6 · · · (2n))2 C0 = (−1)n n (2 1 · 2 · 3 . . . n)2 as C0 atic = (−1)n 2n , n = 0, 1, 2, . . . 2 (n!)2 atem C2n+1 = 0, n = 0, 1, 2, . . . Sustituimos en eM ∞ ∞ y1 (x) = n Cn x = C2n x2n o. d n=0 n=0 ∞ ∞ ept C0 1 x 2n = (−1) 2n n x2n = C0 (−1)n 2 (n!)2 (n!)2 2 ,D n=0 n=0 uia Por definici´n, la serie o tioq ∞ (−1)n x 2n = J0 (x) (n!)2 2 An n=0 se le llama funci´n de Bessel de orden cero y de primera especie o de x2 x4 x6 ad J0 (x) = 1 − + − + ... 4 64 2304 rsid La segunda soluci´n la hallamos por el m´todo de reducci´n de orden D’Alembert: o e o ive 1 e− x dx 1 y2 (x) = J0 (x) dx = J0 (x) dx Un [J0 (x)] 2 x[J0 (x)]2 x2 3x4 5x6 como [J0 (x)]2 = 1 − + − + ... 2 32 576 1 x2 5x4 23x6 ⇒ =1+ + + + ... [J0 (x)]2 2 32 576