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Universidad Politécnica
Salesiana
MATEMÁTICAS III
Nombre: John LucasVillacís Loor
Curso: F1
Grupo: 1
Unidad 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales
Definición y terminología
Tipos de ecuaciones diferenciales, orden
Linealidad, cambios direccionales
Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición
Familia soluciones, solución particular
Problemas con valores iniciales P.V.I
Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Factor de integración para EDO´S lineales de primer orden
Ecuaciones diferenciales exactas
Método variación de la constante
Sustituciones y transformaciones: Ecuaciones homogéneas
De la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺
𝑦
𝑥
De la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)
Ecuaciones de Bernoulli
Ecuaciones de Ricatti
Unidad 3 y 4: Ecuaciones diferenciales de 2do orden y orden superior
Problemas con valores iniciales (n-ésimo orden)
Funciones linealmente independientes y dependientes. El wronskiano.
Wronskiano
Solución general: Ecuación no homogénea, reducción de orden
Tipos de ecuaciones diferenciales, orden
Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes
Raíces reales y diferentes
Raíces reales e iguales
Raíces complejas conjugadas
Ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes
Método de superposición
Método del anulador: operador anulador
Método por variación de parámetro
Unidad 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales
Definición y terminología
Una ecuación diferencial, es aquella que relaciona variables dependientes, sus
derivadas y variables independientes.
Ejemplo:
𝑑ℎ
𝑑𝑡
,
𝑑2ℎ
𝑑𝑡2
donde; 𝑑ℎ, es la variable dependiente y 𝑑𝑡, es la variable independiente.
Tipos de ecuaciones diferenciales:
• Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): aquellas que presentan una sola variable
dependiente e independiente.
𝑦" − 𝑦′ = 1
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
• Ecuaciones diferenciales parciales (EDP): aquellas que presentan dos o más
variables dependientes o independientes.
𝑑2 𝑥
𝑑𝑦2 −
𝑑2 𝑧
𝑑𝑡2
Orden
El orden de una E.D está dada por la mayor derivada presente.
𝑦" − 𝑦′ = 1  2do orden
Linealidad
Una EDO es lineal si tiene la forma:
Cambios direccionales
EDO de 1er orden
Implícita: 𝐹 𝑦′, 𝑦, 𝑥 = 0  𝑦′ − 𝑥 − 𝑦
Explícita: 𝑦′
𝑥 = 𝑓(𝑦 𝑥 , 𝑥))  𝑦′
= 𝑥 + 𝑦
Solución de una ecuación diferencial e intervalo de
definición
• Una función 𝑦 = (𝑥)es una solución de una EDO de orden “n” en un intervalo I, si
sus “n” derivadas existen en el intervalo I, al reemplazarlo en la EDO, se obtiene
una identidad.
𝑌" + 4𝑦 = 0
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − cos 2𝑥
𝑦′ = 2 cos 2𝑥 + 6𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑦" = −4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 12cos 2𝑥
(−4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 12 cos 2𝑥) + 4(𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 3 cos 2𝑥) = 0
0 + 0 = 0
0 = 0
Familia soluciones
La solución de una ecuación diferencial de orden n, en donde
nos conduce a una familia n- paramétrica de soluciones
A la solución dada para cada valor de ci, se le conoce como solución particular.
Solución particular
Si fijando cualquier punto 𝑃(𝑋𝑜, 𝑌𝑜) por donde debe pasar necesariamente la
solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de
la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución
particular de la ecuación en el punto 𝑃(𝑋𝑜, 𝑌𝑜) , que recibe el nombre de
condición inicial.
Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o
constantes) recibe un valor específico.
Problemas con valores iniciales (P.V.I)
Consiste en encontrar una solución particular que cumpla con ciertas
condiciones dadas:
Como un ejemplo consideremos la ecuación diferencial:
su solución general es:
Esta solución es toda una familia de curvas
De entre éstas solo existe una solución particular que cumple la condición
y(1)=4
Por tanto, C = 4, y la solución particular con la condición y(1) = 4 es:
Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables
Se trata de ecuaciones de la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 ℎ(𝑦)
Se trata de arreglar de tal forma que la expresión nos quede en un miembro
solamente las x, y en el otro miembro sólo las y.
1
ℎ(𝑦)
𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Para así integrar ambos lados de la ecuación:
1
ℎ(𝑦)
𝑑𝑦= 𝑔(𝑥)
Ejemplo:
Sea la ecuación diferencial:
que puede ser expresada en la forma:
y ahora integramos los dos miembros:
es decir, y - 3 Ln y = Ln x + Ln C
Lo cual en forma más simple: y = Ln Cx y3 , o sea, la solución general es:
ey = C x y3
Factor de integración para EDO´S lineales de primer orden
Se escribe la ecuación en su forma ordinaria:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Se encuentra el factor integrante:
𝑢 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
Escribir de acuerdo a la fórmula:
𝑢𝑦 = 𝑢 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Resolver la integral y despejar “y”
Ejemplo:
Encontramos el factor integrante:

Ecuaciones diferenciales exactas
Una E.D 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0, es exacta si existe una función f(x,y)=0, tal que
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
La E.D tiene que cumplir que:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
Se elige el término de M o N más conveniente y se siguen los siguientes pasos:
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 ó 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + ℎ 𝑥
• 𝜕
𝜕𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝑀(𝑥, 𝑦))𝑑𝑥 + 𝑔′(𝑦)
𝜕
𝜕𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑁(𝑥, 𝑦))𝑑𝑦 + ℎ′(𝑥)
• Despejar g(y) Despejar h(x)
• Reemplazar en la ecuación de f(x,y)
Ejemplo:
(4 x3 y3 - 2 xy) dx + (3 x4 y2 - x2 ) dy = 0
M = 4x3y3-2xy, N = 3x4y2-x2
(exacta)
du = (4x3y3-2xy) dx
A continuación hallamos j(y) según la condición (2) de arriba, la derivada
de u respecto de y es:

u = x4y3-x2y+C1 la solución general es u=c, esto es:
• x4y3-x2y+C1 = C2  x4y3-x2y = C
Método variación de la constante
Ejemplo:
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 6
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 0  E.D homogénea variable separable
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑦
• 𝑑𝑦
𝑦
= −3𝑑𝑥
• 𝑙𝑛 𝑦 = 3𝑥 + 𝑐
• 𝑒 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑒3𝑥+𝑐
• 𝑦 = ±𝑒 𝑐1 𝑒−3𝑥
• 𝑦 = 𝑐𝑒3𝑥  Solución homogénea
1
• Considero “c” es una función de x.
• c=c(x)
• 𝑦 = 𝑐(𝑥)𝑒3𝑥
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐 𝑥 𝑒3𝑥)
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑐′ 𝑥 𝑒3𝑥 + 3(𝑐 𝑥 )𝑒3𝑥
• Reemplazo “y” y
𝑑𝑦
𝑑𝑥
en 1
• 𝑐′ 𝑥 𝑒3𝑥 + 3 𝑐𝑥 𝑒3𝑥 − 3 𝑐 𝑥 𝑒3𝑥 = 6
• 𝑐′ 𝑥 𝑒3𝑥 = 6
• 𝑐′ 𝑥 = 6𝑒−3𝑥  𝑐 𝑥 = 6𝑒−3𝑥 𝑑𝑥  𝑐 𝑥 = −2𝑒−3𝑥 + 𝑐
• Reemplazo c(x) en 2
• 𝑦 = (−2𝑒−3𝑥 + 𝑐)𝑒3𝑥  𝑦 = −2 + 𝑐𝑒3𝑥  solución general
2
Sustituciones y transformaciones
Ecuaciones homogéneas
De la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺
𝑦
𝑥
• 𝑧 =
𝑦
𝑥
; 𝑦 = 𝑧𝑥
• 𝑑𝑦
𝑑𝑧
= 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧
• 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧 = G(z)
• 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= G z − z
• 𝑑𝑧
𝐺 𝑧 −𝑧
=
𝑑𝑥
𝑥
 variables separables
Ejemplo
𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑦 = 0
• 𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 𝑥2
𝑑𝑥=𝑥2
𝑑𝑦
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥𝑦+𝑦2+𝑥2
𝑥2  forma normal
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
+ (
𝑦
𝑥
)2 + 1  Ecuación homogénea
• 𝑧 =
𝑦
𝑥
;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧
• 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧 = z + 𝑧2 + 1  𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑧2 + 1
• 𝑑𝑧
𝑧2+1
=
𝑑𝑥
𝑥
• arctan 𝑧 = ln 𝑥 + 𝑐
• arctan
𝑦
𝑥
= ln 𝑥 + 𝑐  tan(arctan
𝑦
𝑥
) = tan(ln 𝑥 + 𝑐)
• 𝑦
𝑥
= tan(ln 𝑥 + 𝑐)
• 𝑦 = 𝑥𝑡𝑎𝑛(ln 𝑥 + 𝑐)  solución general
De la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)
• 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑎 + 𝑏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
−
𝑎
𝑏
• 1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
−
𝑎
𝑏
= 𝐺(𝑧)
• 1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝐺 𝑧 +
𝑎
𝑏
• 𝑑𝑧
𝐺 𝑧 +
𝑎
𝑏
= 𝑏𝑑𝑥
Ejemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑥 + 𝑦 + 2)2
• 𝑧 = 𝑥 + 𝑦;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
• 𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 1 = (𝑧 + 2)2
• 𝑑𝑧
𝑑𝑥
= (𝑧 + 2)2 + 1
• 𝑑𝑧
(𝑧+2)2+1
= 𝑑𝑥
• arctan 𝑢 = 𝑥 + 𝑐
• arctan 𝑧 + 2 = 𝑥 + 𝑐
• arctan 𝑥 + 𝑦 + 2 = 𝑥 + 𝑐
• 𝑥 + 𝑦 + 2 = tan(𝑥 + 2)
• 𝑦 = tan 𝑥 + 𝑐 − 𝑥 − 2
Ecuaciones de Bernoulli
Son ecuaciones de la forma:
donde P(x) , Q(x) son funciones dependientes de x, o constantes, y n es un número racional distinto de 0 y de 1 (de lo contrario la
ecuación es lineal).
Para su resolución, primeramente se transforma a ecuación lineal por medio de las siguientes pasos:
a) Dividimos a toda la ecuación entre yn (o lo que es lo mismo, multiplicamos por y-n )
y-ny’ + P(x) y-n+1 = Q(x)
b) Hacemos el cambio y-n+1 = z, y a continuación derivamos z:
z’ = (-n+1) y-n y’
c) La ecuación resultante con la variable z, es de tipo lineal:
en concreto, la ecuación en z resultante:
Ejemplo:
Para transformarla a ecuación diferencial lineal la dividimos entre y4 (es decir,
multiplicamos por y-4 )
Ahora realizamos el cambio: y-3 = z, a continuación derivamos z:
despejamos y-4y’ para poder sustituir en la ecuación:

La cual queda en la forma lineal si multiplicamos a la ecuación por (-3):
• La integral de u(x) puede realizarse por partes, su resultado es:
u(x) = - 2x e-x - e-x + C
z = ex (- 2x e-x - e-x + C)
Ecuaciones de Ricatti
Una ecuación que se pueda escribir de la forma:
𝑦′ = 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 𝑦 + 𝑅 𝑥 𝑦2
se denomina ecuación diferencial de Riccati.
Si se conoce una solución particular, y1, de (1), la ecuación de Riccati se puede reducir a una
de Bernoulli con n = 2 mediante la sustitución y = y1 + u.
Esta ecuación de Bernoulli se reduce a una ED lineal de primer orden efectuando una
sustitución pertinente:
Ejemplo:
Unidad 3 y 4: Ecuaciones diferenciales de 2do orden
y orden superior
Una ecuación diferencial de 2do orden es de la forma:
Si,
Se llama ecuación homogénea, por ejemplo:
Si,
Se llama ecuación no homogénea, por ejemplo:
Problemas con valores iniciales (n-ésimo orden)
Existencia y unicidad de un PVI (n-ésimo orden)
Sean 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑎 𝑛−1 𝑥 , … , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un
intervalo I, entonces existe una única solución.
Ejemplo:
• 3𝑦′′′ + 5𝑦′′ − 𝑦′ + 7𝑦 = 0
• 𝑦 1 = 0, 𝑦′ 1 = 0, 𝑦′′ 1 = 0
• Solución inicialY=0
• Por lo tanto, es única solución
Funciones linealmente independientes y dependientes. El wronskiano.
Se dice que las funciones linealmente independientes si la única
solución de la ecuación
Donde en caso contrario, las funciones son linealmente
dependientes.
Ejemplo:
1) Las funciones para ser linealmente independientes debe
cumplir
Remplazando los valores de las funciones se obtiene
Como los únicos valores posibles de para que cumpla la igualdad es
entonces las funciones son linealmente independientes
Wronskiano
Dado un conjunto de n funciones, f1, ..., fn, el wronskiano W(f1, ..., fn) está
dado por:
El wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es
linealmente independiente en un intervalo dado:
Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces
las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo.
• Si w=0, entonces f1(x), f2(x), …, fn(x) son linealmente dependientes.
• Si w≠0, entonces f1(x), f2(x), …, fn(x) son linealmente independientes.
Ejemplo:
Solución general: Ecuación no homogénea
Sea yp, solución de (1) y y1, y2,…, yn, un conjunto final de soluciones de (2).
Entonces la solución general de (1) es:
𝑦𝑔 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑦𝑛 + 𝑦𝑝
sol. general sol. Homogénea sol. particular
Reducción de orden
Dada: 𝑎2 𝑥 𝑦′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦′ + 𝑎0 𝑥 = 0
Si y1 es una solución particular; entonces se puede definir otra solución
particular linealmente independiente y2, como:
𝑦2 = 𝑦1
𝑒 −𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2 𝑑𝑥
Por lo tanto;Yc=c1y1+c2y2 ( solución general)
Ejemplo
Hallar la solución general de: 𝑥2 𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 donde y1=𝑥2 es una solución
particular
• 𝑥2
𝑦′′
− 3𝑥𝑦′
+ 4𝑦 = 0 /𝑥2
• 𝑦′′
−
3
𝑥
𝑦′
+
4
𝑥2 𝑦 = 0
• 𝑦2 = 𝑦1
𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2 𝑑𝑥
• 𝑦2 = 𝑥2 𝑒
− (−
3
𝑥)𝑑𝑥
𝑥4 𝑑𝑥
• 𝑦2 = 𝑥2 𝑒3𝑙𝑛𝑥
𝑥4 𝑑𝑥  𝑦2 = 𝑥2 𝑒 𝑙𝑛𝑥3
𝑥4 𝑑𝑥  𝑦2 = 𝑥2 𝑥3
𝑥4 𝑑𝑥
• 𝑦2 = 𝑥2 1
𝑥
𝑑𝑥  𝑦2 = 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥  𝑦 = 𝑐1 𝑥2 + 𝑐2 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥
Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes
𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦 = 0
𝑎𝑖 = 𝑖 = 1, … , 𝑛  constantes
𝑎2 𝑦′′ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦 = 0 (2do orden)
Existe una solución particular: 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥
Ejemplo:
2𝑦′′ − 3𝑦′ − 2𝑦 = 0  𝑦 = 𝑒2𝑥, 𝑦′ = 2𝑒2𝑥, 𝑦′′ = 4𝑒2𝑥
𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥; 𝑦′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥; 𝑦′′ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥
𝑎2 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 + 𝑎1 𝑚𝑒 𝑚𝑥 + 𝑎0 𝑒 𝑚𝑥 = 0
𝑒 𝑚𝑥(𝑎2 𝑚2 + 𝑎1 𝑚 + 𝑎0)
𝑎2 𝑚2 + 𝑎1 𝑚 + 𝑎0 = 0
𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0  Ecuación característica
Raíces reales y diferentes
Ejemplo:
Raíces reales e iguales
Ejemplo:
Raíces complejas conjugadas
Ejemplo:
Ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes
Método de superposición
Este método nos permite encontrar una solución particularYp(x) para las ecuaciones
de la forma:
Donde a, b, y c son constantes y
Para resolverla, se tiene que hacer lo siguiente:
• Resolver la ecuación lineal homogénea asociada (función complementaria) con lo
que se obtiene 𝑦ℎ
• Obtener alguna solución particular 𝑦𝑝 de la ecuación no homogénea
• A partir de ellas: 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
Ejemplo:
Método del anulador
Operador anulador
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de operador anulador.
Necesitamos encontrar L =Anulador en ambas partes de la ecuación.
)()( xLgxLf 
Regla 1 12
...,,1 
 n
n
n
xxxAnula
dx
dy
D
Regla 2
xnxxxn
exexxeeAnulaD 
 12
....,,)( 

Regla 3 xsenxexxexsenexeAnulaDD nxnxxxn
  11222
,cos,,cos)](2[ 

xsene x

Ejemplo Regla 1: 12
...,,1 
 n
n
n
xxxAnula
dx
dy
D
)18(18 232
 xxDxxsea
1
 nn
xndondeD
)18( 2
 xxD
82'  xD
2'' D
0''' D
Ejemplo Regla 2:
xnxxxn
exexxeeAnulaD 
 12
....,,)( 

0'1)1(   xxxxxx
eeDeDeeDesea
Ejemplo Regla 3:
xsenxexxexsenexeAnulaDD nxnxxxn
  11222
,cos,,cos)](2[ 

52)]2)1(()1(2[2cos5 21222

DDDDxesea x
121  nDonde 
0522
 DD
Resolución de un problema por el método del anulador en una
ecuación de segundo orden
2'''
23 xyyy Sea
Segundo Orden
No Homogénea
Paso 1: Sacar yc igualando a 0 el primer miembro de la ecuación.
023 '''
 yyyyc
Y se resuelve por el método de coeficientes
Constantes,
Recordemos que estamos buscando
pcG yyy 
12 21  
0232
  )1)(2(  
xx
c eCeCy 
 2
2
1
Ya que tenemos yc . sacamos yp De la siguiente forma
Paso 2: Ahora anularemos a g(x).
22
)23( xyDDyp 
2'''
23 xyyy 
0)23( 2323
 xDyDDDyp
0)23( 23
 yDDDyp
Ahora tenemos que resolver Esa ecuación de la misma
forma que resolvemos la homogénea
Paso 3:Resolvemos la ecuación por el método de Coeficientes Constantes.
0)23( 23
 yDDDyp
)1)(2(0)23( 323
 
0321   12 54  
xx
eCeCxCxCCy 
 5
2
4
2
321
Vemos que esta es igual a la homogénea
Por lo tanto vamos a resolver el recuadro
Azul únicamente de la forma de Coeficientes
Indeterminados
2
CxBxAyp 
2
CxBxAyp 
CxByp 2' 
Cyp 2'
222'''
)(2)2(3223 xCxBxACxBCxyyy 
Paso 4: Una vez que hallamos derivado vamos a sustituir en nuestra ecuación
Original y resolvemos
2
1
12  CC
2
3
2
1
02)(6026 
 BBBC
4
7
2
3
2
1
02320232  
AAABC
4
7
2
3
2
1
 
py
222'''
)(2)2(3223 xCxBxACxBCxyyy 
22
)232()26(2 xABCxBCCx 
2
4
7
2
3
2
1
2
2
1 xxxeCeCy xx
G  
Método por variación de parámetro
Para emplear el método de variación de parámetro a una E.D de 2do orden, se
empieza por escribir la ecuación en la forma estándar
𝑦′′
+ 𝑃 𝑥 𝑦′
+ 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2
𝑐1 y 𝑐2 pasar a ser funciones 𝑢1 𝑦 𝑢2
𝑤 = 𝑦1 𝑦2 =
𝑦1 𝑦2
𝑦′1 𝑦′2
𝑢′1 = −
𝑦2 𝑓(𝑥)
𝑤
; 𝑢′2 =
𝑦1 𝑓(𝑥)
𝑤
Ejemplo:
• y’’ + 3y’ + 2y = 0
• Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes de la homogénea
asociada:
• m2 + 3m + 2 = 0
• (m + 2)(m + 1) = 0
• m1 = -2; m2 = -1
y’’ + 3y’ + 2y = sen(ex)
yh = C1 e-2x + C2 e-xç
y1 y2
• Por Cramer hallamosW(y1; y2)
W(y1; y2) = e-2x e-x = -e-3x + 2e-3x = e-3x
-2e-2x -e-x
• Y después encontramos:
U’1 = -y2f(x) = -e-x sen (ex) = -e2x sen (ex)
W(y1; y2) e-3x
U’2 = y1f(x) = e-2x sen (ex) = ex sen (ex)
W(y1; y2) e-3x
• Integramos u1 = ∫ u’1 dx y u2 = ∫ u’2 dx
• u1 =∫ u’1 dx
• = ∫-e2x sen (ex) dx
z= ex
haciendo dz = ex dx
dx = dz/z
= -∫z2 sen(z) dz/z
= -∫z sen(z) dz
integrando por partes v = z dv = dz
dw = -sen zdz w = cos z
= z cos z -∫cos z dz
= z cos z - sen z
= ex cos(ex) - sen (ex)
u2 =∫u’2 dx = ∫ex sen (ex) dx
=∫z sen z dz/z = ∫senz dz
= -cos z = -cos(ex)
yp = u1y1 + u2y2  solución particular
= [ex cos(ex) - sen (ex)] e-2x -e-x cos(ex)
= -e-2x sen (ex)
• La solucion general y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2
y = yh + yp
= C1e-2x + C2e-x – e-2x sen (ex)

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  • 1. Universidad Politécnica Salesiana MATEMÁTICAS III Nombre: John LucasVillacís Loor Curso: F1 Grupo: 1
  • 2. Unidad 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales Definición y terminología Tipos de ecuaciones diferenciales, orden Linealidad, cambios direccionales Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición Familia soluciones, solución particular Problemas con valores iniciales P.V.I Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones diferenciales de variables separables Factor de integración para EDO´S lineales de primer orden
  • 3. Ecuaciones diferenciales exactas Método variación de la constante Sustituciones y transformaciones: Ecuaciones homogéneas De la forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑦 𝑥 De la forma: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐺(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) Ecuaciones de Bernoulli Ecuaciones de Ricatti Unidad 3 y 4: Ecuaciones diferenciales de 2do orden y orden superior Problemas con valores iniciales (n-ésimo orden) Funciones linealmente independientes y dependientes. El wronskiano.
  • 4. Wronskiano Solución general: Ecuación no homogénea, reducción de orden Tipos de ecuaciones diferenciales, orden Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes Raíces reales y diferentes Raíces reales e iguales Raíces complejas conjugadas Ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes Método de superposición Método del anulador: operador anulador Método por variación de parámetro
  • 5. Unidad 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales Definición y terminología Una ecuación diferencial, es aquella que relaciona variables dependientes, sus derivadas y variables independientes. Ejemplo: 𝑑ℎ 𝑑𝑡 , 𝑑2ℎ 𝑑𝑡2 donde; 𝑑ℎ, es la variable dependiente y 𝑑𝑡, es la variable independiente.
  • 6. Tipos de ecuaciones diferenciales: • Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): aquellas que presentan una sola variable dependiente e independiente. 𝑦" − 𝑦′ = 1 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 • Ecuaciones diferenciales parciales (EDP): aquellas que presentan dos o más variables dependientes o independientes. 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 − 𝑑2 𝑧 𝑑𝑡2 Orden El orden de una E.D está dada por la mayor derivada presente. 𝑦" − 𝑦′ = 1  2do orden
  • 7. Linealidad Una EDO es lineal si tiene la forma: Cambios direccionales EDO de 1er orden Implícita: 𝐹 𝑦′, 𝑦, 𝑥 = 0  𝑦′ − 𝑥 − 𝑦 Explícita: 𝑦′ 𝑥 = 𝑓(𝑦 𝑥 , 𝑥))  𝑦′ = 𝑥 + 𝑦
  • 8. Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición • Una función 𝑦 = (𝑥)es una solución de una EDO de orden “n” en un intervalo I, si sus “n” derivadas existen en el intervalo I, al reemplazarlo en la EDO, se obtiene una identidad. 𝑌" + 4𝑦 = 0 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − cos 2𝑥 𝑦′ = 2 cos 2𝑥 + 6𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑦" = −4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 12cos 2𝑥 (−4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 12 cos 2𝑥) + 4(𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 3 cos 2𝑥) = 0 0 + 0 = 0 0 = 0
  • 9. Familia soluciones La solución de una ecuación diferencial de orden n, en donde nos conduce a una familia n- paramétrica de soluciones A la solución dada para cada valor de ci, se le conoce como solución particular. Solución particular Si fijando cualquier punto 𝑃(𝑋𝑜, 𝑌𝑜) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto 𝑃(𝑋𝑜, 𝑌𝑜) , que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
  • 10. Problemas con valores iniciales (P.V.I) Consiste en encontrar una solución particular que cumpla con ciertas condiciones dadas: Como un ejemplo consideremos la ecuación diferencial: su solución general es: Esta solución es toda una familia de curvas De entre éstas solo existe una solución particular que cumple la condición y(1)=4 Por tanto, C = 4, y la solución particular con la condición y(1) = 4 es:
  • 11. Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables Se trata de ecuaciones de la forma: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑥 ℎ(𝑦) Se trata de arreglar de tal forma que la expresión nos quede en un miembro solamente las x, y en el otro miembro sólo las y. 1 ℎ(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Para así integrar ambos lados de la ecuación: 1 ℎ(𝑦) 𝑑𝑦= 𝑔(𝑥)
  • 12. Ejemplo: Sea la ecuación diferencial: que puede ser expresada en la forma: y ahora integramos los dos miembros: es decir, y - 3 Ln y = Ln x + Ln C Lo cual en forma más simple: y = Ln Cx y3 , o sea, la solución general es: ey = C x y3
  • 13. Factor de integración para EDO´S lineales de primer orden Se escribe la ecuación en su forma ordinaria: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Se encuentra el factor integrante: 𝑢 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 Escribir de acuerdo a la fórmula: 𝑢𝑦 = 𝑢 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Resolver la integral y despejar “y”
  • 15. Ecuaciones diferenciales exactas Una E.D 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0, es exacta si existe una función f(x,y)=0, tal que 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦) La E.D tiene que cumplir que: 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Se elige el término de M o N más conveniente y se siguen los siguientes pasos: • 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 ó 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + ℎ 𝑥 • 𝜕 𝜕𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑀(𝑥, 𝑦))𝑑𝑥 + 𝑔′(𝑦) 𝜕 𝜕𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑁(𝑥, 𝑦))𝑑𝑦 + ℎ′(𝑥) • Despejar g(y) Despejar h(x) • Reemplazar en la ecuación de f(x,y)
  • 16. Ejemplo: (4 x3 y3 - 2 xy) dx + (3 x4 y2 - x2 ) dy = 0 M = 4x3y3-2xy, N = 3x4y2-x2 (exacta) du = (4x3y3-2xy) dx A continuación hallamos j(y) según la condición (2) de arriba, la derivada de u respecto de y es:  u = x4y3-x2y+C1 la solución general es u=c, esto es: • x4y3-x2y+C1 = C2  x4y3-x2y = C
  • 17. Método variación de la constante Ejemplo: • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 3𝑦 = 6 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 3𝑦 = 0  E.D homogénea variable separable • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑦 • 𝑑𝑦 𝑦 = −3𝑑𝑥 • 𝑙𝑛 𝑦 = 3𝑥 + 𝑐 • 𝑒 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑒3𝑥+𝑐 • 𝑦 = ±𝑒 𝑐1 𝑒−3𝑥 • 𝑦 = 𝑐𝑒3𝑥  Solución homogénea 1
  • 18. • Considero “c” es una función de x. • c=c(x) • 𝑦 = 𝑐(𝑥)𝑒3𝑥 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 (𝑐 𝑥 𝑒3𝑥) • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑐′ 𝑥 𝑒3𝑥 + 3(𝑐 𝑥 )𝑒3𝑥 • Reemplazo “y” y 𝑑𝑦 𝑑𝑥 en 1 • 𝑐′ 𝑥 𝑒3𝑥 + 3 𝑐𝑥 𝑒3𝑥 − 3 𝑐 𝑥 𝑒3𝑥 = 6 • 𝑐′ 𝑥 𝑒3𝑥 = 6 • 𝑐′ 𝑥 = 6𝑒−3𝑥  𝑐 𝑥 = 6𝑒−3𝑥 𝑑𝑥  𝑐 𝑥 = −2𝑒−3𝑥 + 𝑐 • Reemplazo c(x) en 2 • 𝑦 = (−2𝑒−3𝑥 + 𝑐)𝑒3𝑥  𝑦 = −2 + 𝑐𝑒3𝑥  solución general 2
  • 19. Sustituciones y transformaciones Ecuaciones homogéneas De la forma: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑦 𝑥 • 𝑧 = 𝑦 𝑥 ; 𝑦 = 𝑧𝑥 • 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 • 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 = G(z) • 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = G z − z • 𝑑𝑧 𝐺 𝑧 −𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥  variables separables
  • 20. Ejemplo 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 • 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥=𝑥2 𝑑𝑦 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦+𝑦2+𝑥2 𝑥2  forma normal • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑥 + ( 𝑦 𝑥 )2 + 1  Ecuación homogénea • 𝑧 = 𝑦 𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 • 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 = z + 𝑧2 + 1  𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑧2 + 1 • 𝑑𝑧 𝑧2+1 = 𝑑𝑥 𝑥 • arctan 𝑧 = ln 𝑥 + 𝑐 • arctan 𝑦 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐  tan(arctan 𝑦 𝑥 ) = tan(ln 𝑥 + 𝑐) • 𝑦 𝑥 = tan(ln 𝑥 + 𝑐) • 𝑦 = 𝑥𝑡𝑎𝑛(ln 𝑥 + 𝑐)  solución general
  • 21. De la forma: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐺(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) • 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑎 + 𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑥 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑏 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 𝑎 𝑏 • 1 𝑏 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 𝑎 𝑏 = 𝐺(𝑧) • 1 𝑏 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑧 + 𝑎 𝑏 • 𝑑𝑧 𝐺 𝑧 + 𝑎 𝑏 = 𝑏𝑑𝑥
  • 22. Ejemplo: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (𝑥 + 𝑦 + 2)2 • 𝑧 = 𝑥 + 𝑦; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 1 = (𝑧 + 2)2 • 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = (𝑧 + 2)2 + 1 • 𝑑𝑧 (𝑧+2)2+1 = 𝑑𝑥 • arctan 𝑢 = 𝑥 + 𝑐 • arctan 𝑧 + 2 = 𝑥 + 𝑐 • arctan 𝑥 + 𝑦 + 2 = 𝑥 + 𝑐 • 𝑥 + 𝑦 + 2 = tan(𝑥 + 2) • 𝑦 = tan 𝑥 + 𝑐 − 𝑥 − 2
  • 23. Ecuaciones de Bernoulli Son ecuaciones de la forma: donde P(x) , Q(x) son funciones dependientes de x, o constantes, y n es un número racional distinto de 0 y de 1 (de lo contrario la ecuación es lineal). Para su resolución, primeramente se transforma a ecuación lineal por medio de las siguientes pasos: a) Dividimos a toda la ecuación entre yn (o lo que es lo mismo, multiplicamos por y-n ) y-ny’ + P(x) y-n+1 = Q(x) b) Hacemos el cambio y-n+1 = z, y a continuación derivamos z: z’ = (-n+1) y-n y’ c) La ecuación resultante con la variable z, es de tipo lineal: en concreto, la ecuación en z resultante:
  • 24. Ejemplo: Para transformarla a ecuación diferencial lineal la dividimos entre y4 (es decir, multiplicamos por y-4 ) Ahora realizamos el cambio: y-3 = z, a continuación derivamos z: despejamos y-4y’ para poder sustituir en la ecuación: 
  • 25. La cual queda en la forma lineal si multiplicamos a la ecuación por (-3): • La integral de u(x) puede realizarse por partes, su resultado es: u(x) = - 2x e-x - e-x + C z = ex (- 2x e-x - e-x + C)
  • 26. Ecuaciones de Ricatti Una ecuación que se pueda escribir de la forma: 𝑦′ = 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 𝑦 + 𝑅 𝑥 𝑦2 se denomina ecuación diferencial de Riccati. Si se conoce una solución particular, y1, de (1), la ecuación de Riccati se puede reducir a una de Bernoulli con n = 2 mediante la sustitución y = y1 + u. Esta ecuación de Bernoulli se reduce a una ED lineal de primer orden efectuando una sustitución pertinente:
  • 28. Unidad 3 y 4: Ecuaciones diferenciales de 2do orden y orden superior Una ecuación diferencial de 2do orden es de la forma: Si, Se llama ecuación homogénea, por ejemplo: Si, Se llama ecuación no homogénea, por ejemplo:
  • 29. Problemas con valores iniciales (n-ésimo orden) Existencia y unicidad de un PVI (n-ésimo orden) Sean 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑎 𝑛−1 𝑥 , … , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un intervalo I, entonces existe una única solución. Ejemplo: • 3𝑦′′′ + 5𝑦′′ − 𝑦′ + 7𝑦 = 0 • 𝑦 1 = 0, 𝑦′ 1 = 0, 𝑦′′ 1 = 0 • Solución inicialY=0 • Por lo tanto, es única solución
  • 30. Funciones linealmente independientes y dependientes. El wronskiano. Se dice que las funciones linealmente independientes si la única solución de la ecuación Donde en caso contrario, las funciones son linealmente dependientes. Ejemplo: 1) Las funciones para ser linealmente independientes debe cumplir Remplazando los valores de las funciones se obtiene Como los únicos valores posibles de para que cumpla la igualdad es entonces las funciones son linealmente independientes
  • 31. Wronskiano Dado un conjunto de n funciones, f1, ..., fn, el wronskiano W(f1, ..., fn) está dado por: El wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado: Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo. • Si w=0, entonces f1(x), f2(x), …, fn(x) son linealmente dependientes. • Si w≠0, entonces f1(x), f2(x), …, fn(x) son linealmente independientes.
  • 33. Solución general: Ecuación no homogénea Sea yp, solución de (1) y y1, y2,…, yn, un conjunto final de soluciones de (2). Entonces la solución general de (1) es: 𝑦𝑔 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑦𝑛 + 𝑦𝑝 sol. general sol. Homogénea sol. particular Reducción de orden Dada: 𝑎2 𝑥 𝑦′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦′ + 𝑎0 𝑥 = 0 Si y1 es una solución particular; entonces se puede definir otra solución particular linealmente independiente y2, como: 𝑦2 = 𝑦1 𝑒 −𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑦1 2 𝑑𝑥 Por lo tanto;Yc=c1y1+c2y2 ( solución general)
  • 34. Ejemplo Hallar la solución general de: 𝑥2 𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 donde y1=𝑥2 es una solución particular • 𝑥2 𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 /𝑥2 • 𝑦′′ − 3 𝑥 𝑦′ + 4 𝑥2 𝑦 = 0 • 𝑦2 = 𝑦1 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑦1 2 𝑑𝑥 • 𝑦2 = 𝑥2 𝑒 − (− 3 𝑥)𝑑𝑥 𝑥4 𝑑𝑥 • 𝑦2 = 𝑥2 𝑒3𝑙𝑛𝑥 𝑥4 𝑑𝑥  𝑦2 = 𝑥2 𝑒 𝑙𝑛𝑥3 𝑥4 𝑑𝑥  𝑦2 = 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑑𝑥 • 𝑦2 = 𝑥2 1 𝑥 𝑑𝑥  𝑦2 = 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥  𝑦 = 𝑐1 𝑥2 + 𝑐2 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥
  • 35. Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦 = 0 𝑎𝑖 = 𝑖 = 1, … , 𝑛  constantes 𝑎2 𝑦′′ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦 = 0 (2do orden) Existe una solución particular: 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 Ejemplo: 2𝑦′′ − 3𝑦′ − 2𝑦 = 0  𝑦 = 𝑒2𝑥, 𝑦′ = 2𝑒2𝑥, 𝑦′′ = 4𝑒2𝑥 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥; 𝑦′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥; 𝑦′′ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 𝑎2 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 + 𝑎1 𝑚𝑒 𝑚𝑥 + 𝑎0 𝑒 𝑚𝑥 = 0 𝑒 𝑚𝑥(𝑎2 𝑚2 + 𝑎1 𝑚 + 𝑎0) 𝑎2 𝑚2 + 𝑎1 𝑚 + 𝑎0 = 0 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0  Ecuación característica
  • 36. Raíces reales y diferentes Ejemplo:
  • 37. Raíces reales e iguales Ejemplo:
  • 40. Ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes
  • 41. Método de superposición Este método nos permite encontrar una solución particularYp(x) para las ecuaciones de la forma: Donde a, b, y c son constantes y Para resolverla, se tiene que hacer lo siguiente: • Resolver la ecuación lineal homogénea asociada (función complementaria) con lo que se obtiene 𝑦ℎ • Obtener alguna solución particular 𝑦𝑝 de la ecuación no homogénea • A partir de ellas: 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
  • 43.
  • 44. Método del anulador Operador anulador Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de operador anulador. Necesitamos encontrar L =Anulador en ambas partes de la ecuación. )()( xLgxLf  Regla 1 12 ...,,1   n n n xxxAnula dx dy D Regla 2 xnxxxn exexxeeAnulaD   12 ....,,)(   Regla 3 xsenxexxexsenexeAnulaDD nxnxxxn   11222 ,cos,,cos)](2[   xsene x 
  • 45. Ejemplo Regla 1: 12 ...,,1   n n n xxxAnula dx dy D )18(18 232  xxDxxsea 1  nn xndondeD )18( 2  xxD 82'  xD 2'' D 0''' D Ejemplo Regla 2: xnxxxn exexxeeAnulaD   12 ....,,)(   0'1)1(   xxxxxx eeDeDeeDesea
  • 46. Ejemplo Regla 3: xsenxexxexsenexeAnulaDD nxnxxxn   11222 ,cos,,cos)](2[   52)]2)1(()1(2[2cos5 21222  DDDDxesea x 121  nDonde  0522  DD
  • 47. Resolución de un problema por el método del anulador en una ecuación de segundo orden 2''' 23 xyyy Sea Segundo Orden No Homogénea Paso 1: Sacar yc igualando a 0 el primer miembro de la ecuación. 023 '''  yyyyc Y se resuelve por el método de coeficientes Constantes, Recordemos que estamos buscando pcG yyy 
  • 48. 12 21   0232   )1)(2(   xx c eCeCy   2 2 1 Ya que tenemos yc . sacamos yp De la siguiente forma Paso 2: Ahora anularemos a g(x). 22 )23( xyDDyp  2''' 23 xyyy  0)23( 2323  xDyDDDyp 0)23( 23  yDDDyp Ahora tenemos que resolver Esa ecuación de la misma forma que resolvemos la homogénea
  • 49. Paso 3:Resolvemos la ecuación por el método de Coeficientes Constantes. 0)23( 23  yDDDyp )1)(2(0)23( 323   0321   12 54   xx eCeCxCxCCy   5 2 4 2 321 Vemos que esta es igual a la homogénea Por lo tanto vamos a resolver el recuadro Azul únicamente de la forma de Coeficientes Indeterminados 2 CxBxAyp  2 CxBxAyp  CxByp 2'  Cyp 2' 222''' )(2)2(3223 xCxBxACxBCxyyy 
  • 50. Paso 4: Una vez que hallamos derivado vamos a sustituir en nuestra ecuación Original y resolvemos 2 1 12  CC 2 3 2 1 02)(6026   BBBC 4 7 2 3 2 1 02320232   AAABC 4 7 2 3 2 1   py 222''' )(2)2(3223 xCxBxACxBCxyyy  22 )232()26(2 xABCxBCCx  2 4 7 2 3 2 1 2 2 1 xxxeCeCy xx G  
  • 51. Método por variación de parámetro Para emplear el método de variación de parámetro a una E.D de 2do orden, se empieza por escribir la ecuación en la forma estándar 𝑦′′ + 𝑃 𝑥 𝑦′ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 𝑐1 y 𝑐2 pasar a ser funciones 𝑢1 𝑦 𝑢2 𝑤 = 𝑦1 𝑦2 = 𝑦1 𝑦2 𝑦′1 𝑦′2 𝑢′1 = − 𝑦2 𝑓(𝑥) 𝑤 ; 𝑢′2 = 𝑦1 𝑓(𝑥) 𝑤
  • 52. Ejemplo: • y’’ + 3y’ + 2y = 0 • Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes de la homogénea asociada: • m2 + 3m + 2 = 0 • (m + 2)(m + 1) = 0 • m1 = -2; m2 = -1 y’’ + 3y’ + 2y = sen(ex) yh = C1 e-2x + C2 e-xç y1 y2
  • 53. • Por Cramer hallamosW(y1; y2) W(y1; y2) = e-2x e-x = -e-3x + 2e-3x = e-3x -2e-2x -e-x • Y después encontramos: U’1 = -y2f(x) = -e-x sen (ex) = -e2x sen (ex) W(y1; y2) e-3x U’2 = y1f(x) = e-2x sen (ex) = ex sen (ex) W(y1; y2) e-3x
  • 54. • Integramos u1 = ∫ u’1 dx y u2 = ∫ u’2 dx • u1 =∫ u’1 dx • = ∫-e2x sen (ex) dx z= ex haciendo dz = ex dx dx = dz/z
  • 55. = -∫z2 sen(z) dz/z = -∫z sen(z) dz integrando por partes v = z dv = dz dw = -sen zdz w = cos z = z cos z -∫cos z dz = z cos z - sen z = ex cos(ex) - sen (ex)
  • 56. u2 =∫u’2 dx = ∫ex sen (ex) dx =∫z sen z dz/z = ∫senz dz = -cos z = -cos(ex) yp = u1y1 + u2y2  solución particular = [ex cos(ex) - sen (ex)] e-2x -e-x cos(ex) = -e-2x sen (ex)
  • 57. • La solucion general y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2 y = yh + yp = C1e-2x + C2e-x – e-2x sen (ex)