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Revista Digital Matemática Mundomatic  demetrio ccesa rayme 2017
1
Editorial
Profesor Responsable de la Revista Digital Matemática MUNDOMATIC
Demetrio Ccesa Rayme ccesa007@hotmail.com
Equipo Pedagógico de la Revista
Carmen Renee Sandoval La Puerta
Rody Avalos Caquipoma
Onar Aburto Ponce
Shanna Yupanqui Pariona
Sitios de Interés
jsebastianbarranca.blogspot.com
jsebastianbarranca.edu.pe
2
Índice
Presentación 3
1. Fracciones I 4
2. Ángulos 5
3. Potenciación de un Numero Natural 10
4. Fracciones II 12
5. Chistes Matemáticos 15
6. El Mundo de las Matemáticas 17
7. Sucesiones 21
8. Números Decimales 24
9. Triángulos 29
10. Números Reales 33
11. Cripto Aritmética 35
12. Analogías Numéricas 36
13. Relaciones Graficas entre Números 38
14. Teoría de Números 40
15. Biografía de Matemáticos 42
16. La Poesía Matemática 46
3
Presentación
La Revista Digital Matemática MUNDOMATIC nace de la Experiencias de la Practica
Pedagógica en la Institución Educativa N° 1156 “José Sebastián Barranca Lovera” del ámbito
de la Jurisdicción de la UGEL N°03.
La Revista es el Instrumento (Digital o Impreso) con Orientación Pedagógica para el
Estudiante que incluye Actividades de Aprendizaje que conforman el Área de Matemática.
La Revista debe apoyar al Estudiante a estudiar los contenidos del Área de Matemática, a fin
de mejorar el aprovechamiento de tiempo disponible y Maximizar sus Aprendizajes.
Motivado y Convencido que es posible la Mejora de los Aprendizajes de la Matemática
podemos afirmar que todo Maestro es un Creador e Innovador de sus Estrategias y que
desarrollando sus Potencialidades llegara a convertirse en artífice de su Práctica Pedagógica.
Aquí presentamos diversos Temas que están relacionados con la Matemática tanto en el
aspecto Científico como en el Pedagógico. La mayor parte de los Artículos han sido escritos
por los Docentes del Equipo de Trabajo a quienes agradecemos su colaboración y queremos
que sirva de motivación para que otros también lo hagan.
El Propósito de la Revista Digital Matemática MUNDOMATIC es servir de vía para que los
Conocimientos Matemáticos lleguen a la Comunidad Educativa y sirva de motivación para que
las Nuevas Generaciones cambien la forma de ver y hacer Matemática.
Un agradecimiento especial al equipo del PEIN de la Municipalidad Metropolitana de Lima por
Impulsar y contribuir con nuestra Propuesta de Innovación Pedagógica.
4
1.- Fracciones I
Para adicionar o restar fracciones con diferente denominador. Se buscan fracciones
equivalentes a las fracciones dadas, con igual denominador, es decir se convierten en
fracciones homogéneas y luego se suman o se restan.
Se dice que dos fracciones son heterogéneas cuando tienen distinto denominador. Para
adicionar o restar fracciones con diferente denominador. Se buscan fracciones
equivalentes a las fracciones dadas, con igual denominador, es decir se convierten en
fracciones homogéneas y luego se suman o se restan.
Ej.:
Suma la siguiente fracción: +
Solución:
Problemas Propuestos
1. La mamá de Nataly compró dos retazos de la misma tela. Uno medía de metro
y el otro de metro. ¿Cuántos metros de tela compró?
Rta:
2. El papá de Vanessa compró los de una finca y vendió . ¿Qué parte le queda?
Rta:
3. Karina recibió los de un pastel y Pedro los ¿Qué parte del pastel
recibieron entre los dos?
Rta:
8
5
12
7
8
7
6
5
9
5
45
20
Para realizar la suma de dos fracciones
heterogéneas se multiplican:
Primero: Multiplicar denominador por
denominador 4x3.
Segundo: Multiplicar cruzado 1x3 y 4x1.
Tercero: Sumar las fracciones del
numerador para obtener el resultado 3 + 4
5
4. Manuel vende un terreno de la siguiente manera: a Fidel le vende del terreno, a
Luis le vende de terreno. ¿Qué cantidad de terreno vendió?
Rta:
2.- Ángulos
Para medir ángulos se necesita dos cosas:
 Una unidad de medida.
 Un aparato que reproduzca dicha unidad de medida.
Sistema sexagesimal: Recibe este nombre porque cada unidad es sesenta veces
mayor (o menor) que la siguiente inferior (o superior). La unidad de medida de ángulos
del sistema sexagesimal es el grado (º). Así, un ángulo recto mide 90º. Cada grado
se divide en 60 minutos (´) y, cada minuto, en 60 segundos (´´).
El transportador de ángulos o semicírculo graduado. Es un semicírculo dividido
en 180 partes iguales. Cada una de ellas es un grado (º). Las unidades que se usan
para medir ángulos más pequeños que el grado son el minuto (1´) y
el segundo (1´´). Sus equivalencias son 1º = 60´ y 1´ = 60´´.
¿Cómo usamos el transportador?
a. Colocamos el transportador de manera que su centro
coincida con el vértice del ángulo y uno de los lados
del ángulo pase por 0º (0 grados).
b. Mira en el transportador el número por el que pasa
el otro lado del ángulo. Este número es la medida
del ángulo en grados.
Ej.:
Vamos a medir el ángulo siguiente utilizando el transportador.
6
1
5
1
90º
0º
guía
mide ________
6
Problemas Propuestos
1. Mide los siguientes ángulos
Mide: ________ Mide: ________
Mide: ________ Mide: ________
Este ángulo se puede representar
en símbolos, como ángulos “AOB”.
O también por una letra, ángulo “X”
7
2. Escribe verdadero "V" o falso "F" según corresponda:
a. Un ángulo que mide 70º es agudo. ( )
b. Un ángulo que mide 98º es recto. ( )
c. Un ángulo que mide 180º es obtuso. ( )
d. Un ángulo que mide 90º es recto. ( )
e. Un ángulo que mide 15º es obtuso. ( )
f. Un ángulo que mide 90º es agudo. ( )
3. Con la ayuda de tu transportador CONSTRUYE los siguientes ángulos.
A) m∢ABC = 30° B) m∢DEF =
45°
C) m∢GHI =
75°
D) m∢JKL = 90°
E) m∢MNO =
120°
F) m∢PQR =
150°
G) m∢STU =
180°
H) m∢VWX =
170°
8
4. RESUELVE utilizando la propiedad del ángulo recto.
9
5. RESUELVE utilizando la propiedad del ángulo llano.
10
3.- Potenciación de un Numero Natural
1.- Potenciación en N.- Se llama potenciación a una multiplicación de factores iguales.
Así tenemos:
2.-Propiedades de la potenciación.- Estudiamos las siguientes propiedades:
a) Al exponente 1.- Todo número natural, elevado al exponente 1, es igual al mismo
número.
Ejemplos:
 71
= 7
 241
= ____
 2341
= ____
b) Al exponente 0.-Todo número natural diferente de cero, elevado al exponente
cero, es igual a la unidad.
Ejemplos:
 70
=1
 230
= ___
 450
= ___
b0
=1
1
4 veces
34
= ____x____x____x_____=____
Donde: 3 es la Base
4 es el exponente
____ es la potencia
RECUERDA
bn
=b x b x b x…..x b=P
Dónde: b= es igual a la base
n es el exponente
P es la potencia
b1
=b
11
Actividades
1.-Desarrolla los ejercicios aplicando las propiedades.
a) 26
= __ x__x__x__x__x __ = __
b) 63
= __ x__x__x = __
c) 262
= __ x__x = __
d) 2631
= _________________
e) 73
=___________________
f) 204
=__________________
g) 243
=__________________
h) 104
= __________________
i) 23
x 22
= _________________
j) 122
-82
=_________________
k) 2340
= __________________
12
4.- Fracciones II
Las fracciones comunes se componen de: numerador, denominador y línea divisora entre
ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción común el denominador "b" expresa la
cantidad de partes iguales que representan la unidad, y el numerador "a" indica cuántas
de ellas se toman
Ejemplo:
1.-Señala los dibujos que representan una fracción.
2.-Observa el dibujo y responde:
¿En cuántas partes iguales hemos dividido el cuadrado? ______
¿Cuántas partes hemos coloreado? ______
2
9
a
b
13
3.-Fracción de un número.
Para calcular la fracción de un número tenemos que: Dividir el número por el denominador
de la fracción. Multiplicar el resultado de la división por el numerador.
Por ejemplo:
¿Cuánto es 1/3 de 18?
Dividimos 18 en 3 grupos iguales y consideramos uno de ellos. Es decir 1/3 de 18 es igual
a 6.
14
Actividades
1.-Resuelve los siguientes problemas:
a) Tengo una bolsa de 42 canicas de colores muy bonitas, las tengo verdes, amarillas y
azules. 1/7 de las canicas son verdes; azules son 4/7 y las restantes son amarillas.
¿Cuántas canicas tengo de cada color?
Para ello vamos hacer 7 grupos iguales de canicas:
Ahora colorea cada grupo del color que nos dice el problema:
¿Cuántos grupos has coloreado de verde?_______¿Cuántas canicas?________
¿Cuántos grupos has coloreado de azul?_______¿Cuántas canicas?________
¿Cuántos grupos has coloreado de amarillo?_______¿Cuántas canicas?________
b) Sofía tenía 12 dulces. Si regaló 3/4 de ellos a su hermana, ¿cuántos dulces le dio?
c) En un taller han arreglado en una semana 70 coches. Dos séptimos de los coches
tenían estropeados los frenos, tres quintos de los coches tenían rayada la pintura y el
resto tenía alguna luna rota. ¿Cuántos coches tenían alguna luna rota?
d) Esther tiene una colección de 68 postales de animales y flores. Si los animales son los
1/4 del total. ¿Cuántas postales de flores tiene?
e) ¿Cuántos metros son los 3/4 de 52 kilómetros?
2.-Resuelve:
a)
b)
c)
d)
e)
15
5.- Chistes Matemáticos
El Maestro de Jaimito le pregunta al niño:
- Jaimito, ¿cuánto es 2 por 2?
- Empate.
- ¿Y cuánto es 2 por 1?
- ¡Una oferta!
¿Por qué se suicidó el libro de matemática?
Porque tenía demasiados problemas.
¿Cuántos lados tienen un Círculo? Dos, el de dentro y el de fuera.
El Profesor pregunta:
- ¿Jaimito qué debo hacer para repartir 11 papas para 7 personas?
- Puré de Papas, señor Profesor.
16
17
La primera máquina sumadora la inventó el matemático
francés Blaise Pascal en 1642.
Era una máquina calculadora que podía sumar y restar
conocido como el ábaco.
Tenía unas ruedas, cada una de ellas mascada en su
borde con las cifras 1 a 10. Popularmente utilizado por la
Hada Mary en Tinkerbell.
Cuando la rueda de la derecha que representaba las unidades, daba una vuelta
completa, engranaba con la rueda situada a su izquierda, y que representaba las
decenas, y se adelantaba una muesca. Si se introducían los números correctos no había
posibilidad de error.
Posteriormente, el matemático alemán Gotfried Whilelm Leibniz (1646-1716) ideó una
máquina calculadora en 1693, mientras que la de Pascal solo podía sumar y restar, la
de él, podía multiplicar y dividir.
El mayor invento fue el de la calculadora de bolsillo, lejos
la que más gente utiliza. En 1970, Texas Instruments
sacó a la venta la primera calculadora fácilmente
transportable, y a que no sabes algo? sólo pesaba poco
más de un kilo y costaba 150 dólares.
Si realizamos la multiplicación, por ejemplo en una
Calculadora de 111111111 x 111111111
el resultado es 12345678987654321
18
¿Existe la historia de las matemáticas? Pero… ¿Las matemáticas no han existido
siempre? Todas estas interrogantes suelen surgir ¿Quién la invento? en la mente de
cualquier ser humano, debido a que muchos en su mayoría desconocen de su origen y
sus creadores. Ahora bien, es importante saber que la matemática no es una ciencia
estancada que siempre ha existido, sino una, así como los investigadores que
contribuyeron ciencia que ha tenido sus avances y retrocesos en la misma. Por ejemplo,
pocas personas saben que un matemático llegó a ser papá, que una mujer tenía que
hacerse pasar por hombre para poder publicar sus hallazgos, que ha habido
matemáticos que se han robado descubrimientos de otros, y que hasta un matemático
murió ahogado en agua por sus descubrimientos. ¡Así es! Los matemáticos son seres de
carne y hueso, aquí están algunos de ellos y sus aportes a las que dedicaron su vida a
las matemáticas, aquí están algunos de ellos y sus aportes a las matemáticas.
Fue uno de los más grandes genios que las Matemáticas
han dado. Era capaz de hacer mentalmente difíciles
cálculos, algunos de los cuales requerían retener en la
cabeza hasta 50 cifras. Una anécdota de Euler fue cuando
el ejército ruso invadió Alemania en 1760 y saqueó una
granja de su propiedad, la pérdida le fue inmediatamente
remediada, y a ello se añadió un obsequio de cuatro mil
florines, hecho por la emperatriz Isabel cuando se enteró
del suceso
Fue un excelente matemático (precursor del cálculo
infinitesimal) que fue amigo e influyó en Newton. Se
cuenta de Wallis que en una noche de insomnio llegó a
calcular la raíz cuadrada de un número de 40 cifras,
recordándolo y escribiéndolo al día siguiente.
19
Platón fue un reconocido filósofo
griego, pero no se limitó solo a eso.
También ayudó a contribuir en otros
aspectos de la ciencia, como las
matemáticas, y según se ha
descubierto, también en la música. En
la actualidad, se ha descubierto un
código en los libros de Platón, al
parecer es una serie de elementos que
se repetían, pero que aparentemente
guardaba una relación de significado.
El estudio fue realizado por el doctor J. Kennedy y se basa en que Platón usó un patrón
regular de caracteres y el resultado fue que dio una estructura musical a sus libros. Uno
de sus libros más conocidos “La República” encierra este enigmático código.
Pitágoras, dijo que los planetas y las estrellas
creaban una música que no se podía escuchar.
Platón hizo lo siguiente: ocultó las partituras en
sus libros. Pero, ¿Cómo lo logró? El código se hizo
así: Platón separó cada diálogo en 12 partes, y
cada una de las partes pertenecía a una nota
musical. Y, ¿Por qué decidió esconderlo? Muy
sencillo. Esa idea tan revolucionaria, podía
costarle la muerte. Creía que el universo estaba
controlado por leyes matemáticas, y por aquel
entonces, cualquiera que no demostrase respeto o
creyera en dios era castigado. En definitiva, Platón
fue un avanzado a su época.
20
¡SI LOS MATEMÁTICOS DE LA HISTORIA CREARON CIENCIA!
Según una popular leyenda en la que se
dice, que no hay reconocimiento de la
Matemática en los PREMIOS NOBEL,
debido a que Alfred Nobel no quiso crear
el premio en esta categoría por una
supuesta rivalidad personal o incluso
sentimental con Mittag Leffler, fue un
matemático sueco de la historia, quien
fundó el diario matemático Acta
Mathematica en el año 1882, y también,
reunió una biblioteca de textos
matemáticos en su mansión en
Djursholm, a las afueras de Estocolmo. La
casa y su contenido fueron donados a la
Academia de las Ciencias y renombrado
como Instituto Mittag-Leffler.
Se cuentan varias historias: La más conocida, dice que la esposa de Nobel tenía amoríos
con Mittag-Leffler uno de los más distinguidos matemáticos en el tránsito del siglo XIX al
XX y para vengarse, Nobel no incluyó dicha asignatura en los premios. Otra de las
historias dice, que se llevaba mal con Mittag-Leffler quien tendría posibilidades de ganar el
premio. Parece que ninguna de ellas es cierta pues Nobel, al escuchar todos los rumores
que se decían, tuvo que reconocer los aportes al desarrollo técnico y científico que
beneficiaran la humanidad, sin embargo, para él, las matemáticas no contribuía a este fin
y era poco útiles en la vida diaria
21
7.- Sucesiones
Sucesion.- Es un conjunto ordenado de números de acuerdo a una ley de formación.
Dichos números son los términos de la sucesión.
En efecto, si aumentamos dos unidades a cada uno de los números, obtendremos el
siguiente.
Por lo tanto: (1; 3; 5; 7; 9; . . . ) es una SUCESIÓN, donde los términos mantienen un
orden y se les nombra del modo siguiente:
1: primer término
3: segundo término
5: tercer término
7: cuarto término, etc.
Para resolver este problema, debemos encontrar la ley de formación, como se muestra a
continuación:
Por lo tanto el número que sigue deberá ser: 14 + 5; esto es 19.
Arreglos Literales:
Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Para encontrar el
criterio de ordenamiento de las letras en un problema dado, es necesario conocer bien el
abecedario, tener en cuenta la posición de cada letra y no se debe considerar las letras
compuestas "CH" y LL".
Este arreglo tiene cierto criterio de ordenamiento. En efecto, observemos lo siguiente:
Por ejemplo, el siguiente conjunto ordenado de números:
1; 3; 5; 7; 9; . . . tiene una ley de formación.
Ahora veamos otra sucesión: 5; 7; 10; 14; . . .
¿Podrías hallar el término que sigue?
5; 7; 10; 14; . . .
+2 +3 +4 +5
Por ejemplo: ¿Qué letra sigue?
A; C; F; J; . . .
22
Entre "A" y "C" hay una letra intermedia;
entre "C" y "F" hay dos letras intermedias;
entre "F" y "J" hay tres letras intermedias.
Por lo tanto entre "J" y la letra que sigue deben haber cuatro letras intermedias.
Entonces la letra que sigue es: ______
Nota: Se puede resolver el problema anterior de otra manera, lo único que necesitamos
saber es, la posición que ocupa cada letra del arreglo dado, en el abecedario.
Ahora observa cómo se resuelve el problema anterior, pasando del arreglo literal a una
"SUCESIÓN":
Como verás, el número que sigue en la "sucesión" es 15, ahora sólo tenemos que buscar
la letra que ocupa la posición número 15 en el abecedario y ésta es la letra "Ñ".
A; C; F; J; . . .
B DE GHI KLMN
A
1
B C D E F G H I J K L M N
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Ñ
15
O P Q R S T U V W X Y Z
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Recuerda que no se consideran las letras
compuestas "CH" y "LL" en arreglos literales.
A; C; F; J; . . .
1; 3; 6; 10; . . .
Posición en
el abecedario
+2 +3 +4 +5
Ñ
15
A; C; F; J
B DE GHI
23
TAREA N° 01
I. Encontrar el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones:
II. Encontrar la letra que sigue en cada uno de los siguientes arreglos literales:
1) 7; 10; 15; 22; . . .
2) 3; 9; 5; 15; 11; . . .
3) 2; 2; 4; 12; . . .
4) 64; 32; 16; . . .
5) 2; 4; 8; 14; . . .
6) 2; 3; 4; 7; 8; 11; . . .
7) 5; 3; 6; 4; 8; 6; 16; . . .
8) 1; 1; 2; 6; . . .
9) 2; 3; 4; 5; 8; 7; 16; . . .
10) 18; 16; 12; 6; . . .
11) 10; 12; 6; 8; 4; . . .
12) 3; 4; 8; 5; 9; 45; . . .
1) A; D; G; J; . . .
2) B; D; G; I; L; . . .
3) A; D; I; O; . . .
4) B; C; F; G; N; . . .
5) A; B; D; D; G; F; J; . . .
6) B; C; E; H; L; . . .
C; F; J; M; P; . . .
Rpta.: _______
¡Ahora, hazlo tú!
¿Qué letra sigue en el siguiente arreglo literal?
C; F; J; M; P; . . .
24
8.- Números Decimales
1. Escribe los siguientes números:
Números decimales Lectura
0,04
2,144
45,009
9,64
69,079
2,18
0,003
7,86
25,789
25
2. Lee los siguientes números decimales:
Lectura Número
decimal
Cinco enteros, cuatro centésimos.
Ocho centésimos.
Veintitrés enterosa, cinco milésimos.
Tres enteros, cuarenta y cinco centésimos.
Dos décimos.
Cincuenta y tres enteros tres centésimos.
Veinticuatro milésimos.
Doscientos ocho enteros, cinco décimos.
Treinta y cuatro enteros, tres milésimos.
26
3- Convierte a número decimal.
4- Convierte a fracción decimal:
a) 0,2 = ______________ b) 0,31 = _______________
c) 2,7 = ______________ d) 0,036 = _______________
e) 13,8 = ______________ f) 0,136 = ________________
5. Marca la respuesta correcta:
A. El número decimal “cinco enteros veintisiete milésimos” es:
a) 5,27 b) 5,027 c) 5,0027 d) N.A.
B. El número decimal “Un entero nueve centésimos”
a) 1,09 b) 1,9 c) 1,009 d) N.A.
C. El número decimal de la fracción
10
87
es:
a) 0,87 b) 8,7 c) 87,0 d) N.A.
27
5
100
1005
1000
0,22 0,005 0,5
2
100
22
10
0,02 1,005
5
10
0,05
22
100
0,2 2,25
1000
2
10
Ayúda m e a llega r ha sta el
m olino, pinta ndo de un m ism o
color ca da fracción con su
respectivo decim a l.
Re c ue rda :
6- Colorea:
28
Actividades
1. Escribe como se lee los decimales:
0,09 .......................................................................
0,2 ........................................................................
0,005 ........................................................................
1,2 ........................................................................
2-Convierte a números decimales:

1000
2
...........................

10
15
............................

100
32
...........................

1000
122
...........................
3- Convierto los números decimales a fracción decimal:
0,8 = ............................ 0,002 = ............................
0,24 = ............................ 0,56 = ................................
1,56 = ............................ 1,9 = ...............................
4- El decimal “nueve milésimos” corresponde a:
a) 0,09 b) 0,009 c) 0,9 d) N.
[Escriba aquí]
29
Triángulo ____________
sus tres lados son
iguales.
Triángulo ____________
sus tres lados son
diferentes.
Triángulo ____________
dos de sus lados son
iguales.
9.- Triángulos
Según la medida de sus lados pueden ser:
1- Mide los lados de cada triángulo y escribe sus nombres.
A C
B
D
lado
vértice ángulo
Recuerda:
- + + = 180º
- No tiene diagonales.
altura
[Escriba aquí]
30
Triángulo ____________
sus tres ángulos son
agudos.
Triángulo ____________
tieneunánguloobtuso.
Triángulo ____________
tieneunángulorecto.
Según la medida de sus ángulos pueden ser:
2- Mide los ángulos de cada triángulo y escribe a qué clase de triángulo corresponde.
3- Marca con un aspa (X) la clasificación de cada triángulo, según la medida de sus lados y
ángulos.
[Escriba aquí]
31
Áreas y Perímetros
Parte I
[Escriba aquí]
32
Parte II
01. Un banderín tiene la forma de un triángulo cuya base mide 25 cm y su altura 30 cm. Hallar su área.
SOLUCIÓN RESPUESTA
02. El área de un triángulo mide 540 m2
. Si su base mide 40 m. ¿Cuánto mide su altura?
SOLUCIÓN RESPUESTA
03. Uno de los lados de un triángulo equilátero mide 12,8 m y la altura de dicho triángulo mide 10 m. Hallar su área.
SOLUCIÓN RESPUESTA
04. El perímetro de un triángulo equilátero mide 36 cm y su altura la mitad de la base. Hallar su área.
SOLUCIÓN RESPUESTA
05. El perímetro de un terreno de forma cuadrada mide 200 m. ¿Cuál es el área del terreno?
SOLUCIÓN RESPUESTA
[Escriba aquí]
33
10.- Números Reales
1. Une con flechas:
A) 0,13  Decimal P. Puro
B) 0,22  Decimal P. Mixto
C) 0,567  Decimal Exacto
D) 1,26  Decimal
2. Colocar verdadero o falso:
1) 3/8 = 0,375 ……………… ( )
2) 5/9 = 0,425 ……………… ( )
3) 4/20 = 0,2 ……………… ( )
3. Colocar > o < según corresponda:
1) -62,508 ( ) -87,52
2) 015,36 ( ) 113,58
3) -6,3 ( ) 8,2
4) 51,36 ( ) 71,23
4. Coloca (V) ó (F) según convenga:
A) 0,666……… D.P. Mixto …..… ( )
B) 2,1313………D.P. Puro .…..… ( )
C) 4,566………D. Exacto ……… ( )
5. Qué clase de decimal forma:
A)
4
2
 D. Exacto
B)
11
7
 D. P. Puro
C)
15
7
 D. P. Mixto
6. Coloca (V) ó (F) según convenga:
A) Periódico Puro = 0,26 ………… ( )
B) Decimal Exacto = 0,3 ……..… ( )
C) Decimal Exacto = 0,25 ……..… ( )
D) Periódico Mixto= 8,72 ………… ( )
7. Resuelve y convierte a Decimal:
A) 1,26
B) 0,713
8. Resuelve: y convierte a Decimal
A) 0,13
B) 2,6
9. Resuelve: y convierte a Decimal
A) 2,61
B) 31,72
10. Hallar la fracción generatriz de:
a) 3,62 =
b) 6,3 =
c) 3,618 =
11.- Resolver la siguiente ecuación:
3
3
12

x
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
12.-Resolver las siguiente ecuación
3
5
2
3
3
2



 xx
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
[Escriba aquí]
34
13.-Resolver las siguiente ecuación
3x + 1 = x + 13
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
14.-Resolver la siguiente inecuación:
2x + 3 > 3(x – 2)
15.-Resolver la siguiente inecuación:
4(x - 1) + 2  x + 5
16.-Determina el valor de w en:
39; 109; 58 ; 87 ; 77 ; 65 ; 98 ; w
17.-Qué número sigue en:
2 ; 7 ; 28 ; 31 ; 62 ; ____
18. Completa la secuencia:
2 ; 6 ; 15 ; 31 ; 56 ; ____
19.-Qué figura continúa?
20 ¿Qué figura continua?
A B C D E
A B C D E
[Escriba aquí]
35
11.-Cripto Aritmética
Lee y completa:
En este capítulo vamos a desarrollar ejercicios con multiplicación y división.
Bloque I
Escribe la cifra que falta en las siguientes
operaciones y dar como respuesta lo que se
puede.
1. Hallar el multiplicando:
Rpta.: __________
2. Hallar el multiplicador:
Rpta.: __________
3. Indicar la mayor cifra:
Rpta.: __________
4. Indicar la menor cifra:
Rpta.: __________
5. Hallar la suma de cifras del
multiplicando, si:
Rpta.: __________
6. Hallar la suma de todos las cifras
halladas.
Rpta.: __________
7. Hallar la suma del multiplicando más el
multiplicador de:
Rpta.: __________
[Escriba aquí]
36
12.-Analogías Numéricas
Analogías Numéricas: Consiste en encontrar la relación de los números de forma
horizontal y en otros casos en forma vertical.
Ejemplo: Calcule el término desconocido en la siguiente analogía:
3 (34) 5 32
+ 52
= 34
4 (20) 2 42
+ 22
= 20
2 ( x ) 5 22
+ 52
= x x = 29
01) 2 (32) 5
6 (36) 2
3 ( x ) 2
A) 10 B) 27 C) 9
D) 5 E) 12
02) 2 ( 7 ) 1
9 (29) 2
8 ( x ) 6
A) 20 B) 24 C) 25
D) 28 E) 30
03) 2 ( 3 ) 28
17 ( 5 ) 33
120 ( x ) 80
A) 5 B) 20 C) 10
D) 12 E) 15
04) 63 (9 ) 7
333 (9) 37
280 ( x ) 40
A) 12 B) 15 C) 6
D) 8 E) 7
05) 49 ( x ) 2
64 ( 4 ) 3
16 ( 2 ) 4
A) 2 B) 9 C) 5
D) 4 E) 7
06) 34 ( 1 ) 35
59 ( 0 ) 59
35 ( 4 ) 39
74 ( x ) 79
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
07) 24 (86) 35
43 (77) 61
22 ( x ) 31
A) 53 B) 9 C) 44
D) 52 E) 37
[Escriba aquí]
37
Miscelánea
Calcule el valor de “x” en las siguientes
analogías:
01) 14 (9) 23
21 (14) 35
43 ( x ) 56
A) 12 B) 14 C) 18
D) 13 E) 16
02) 27 (59) 32
42 (73) 31
90 ( x ) 41
A) 132 B) 131 C) 138
D) 139 E) 142
03) 10 (17) 12
24 (14 ) 2
30 ( x ) 2
A) 32 B) 23 C) 17
D) 19 E) 22
04) 16 ( 4 ) 6
9 (49) 10
81 ( x ) 14
A) 16 B) 20 C) 25
D) 36 E) 42
05) 26 ( 6 ) 4
33 ( 8 ) 5
38 ( x ) 7
A) 2 B) 4 C) 5
D) 6 E) 3
06) 7 (43) 8
9 (55 ) 10
11 ( x ) 12
A) 51 B) 61 C) 67
D) 41 E) 81
07) 49 (13) 3
82 (12) 6
26 ( x ) 2
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
08) 23 ( 8 ) 9
21 ( x ) 27
17 (10 ) 23
A) 10 B) 12 C) 15
D) 20 E) 25
[Escriba aquí]
38
13.-Relaciones Graficas entre Números
Parte I
1. Determine el número que falta:
2. Basado en la indicación dada en la parte superior izquierda, complete la pirámide
3. Identifique la figura con el número apropiado:
4. Coloque los números que faltan:
5. Encuentre el número que falta:
7 3 3 8 5 6
21 24 ?
a + b
a b
29
16
6a + b
2
÷ 5 =
x 7 =
- 10 = 11
3 4
8 1
63
3 5
7 2
72
3 ?
6 3
?
3
12
60
360
?
[Escriba aquí]
39
Parte II
Ejercicios Propuestos de Relaciones Graficas
1. En la Figura, Falta el Número:
A) 20 B) 25 C) 30 D) 36 E) 40
2. En la siguiente figura; hallar:
A)7 B) 36 C) 30 D) 29 E) 32
3. Indicar el número que falta:
a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 32
4. Hallar el número que falta:
a) 15 b) 12 c) d) 18 e) 9
5. ¿Qué figura continua?
A) B) C) D) E)
2 3
5 4
14
7 1
3 5
16
2 7
8 9
?
3 3
7 8
3
3 2
2 2
2
10 7
4 4
x
?
4
5
9
1
3
?
11
81
9
2 12
49
7
5 13
y
6
x
[Escriba aquí]
40
14.- Teoría de Números
LA CRIPTOGRAFIA
Actualmente, los Números Primos y la Criptografía tienen una relación muy estrecha,
por esa razón Vamos a dar unas pinceladas a este apasionante Tema.
Desde el Antiguo Egipto a la Era Digital, el Hombre siempre ha tenido la necesidad de
guardar secretos. Armas de Militares, Espias o Diplomáticos, el hombre ha hecho gala
a lo largo de la Historia de su ingenio para garantizar el secreto de sus
Comunicaciones.
Siempre que dos personas se tenían que comunicar han necesitado de técnicas para
que tercera persona que interceptase el mensaje no consiguiese saber de qué se
estaba hablando.
A la codificación de estos mensajes para hacerlos secretos se le denomina criptografía
(del griego kryptos, escondido, y graphein, escribir)
La Criptografía fue considerada un Arte hasta que Shannon publico en 1949 la Teoria
de las Comunicaciones Secretas. Desde este momento empezó a considerarse una
Ciencia Aplicada, debido a la relación con otras Ciencias y ramas de las Matematicas,
como La Escritura, la Informática, la Teoría de Números o la Complejidad
Computacional.
Ahora bien, esta Ciencia existe por el hecho de que hay gente que trata siempre de
descrifrar esos mensajes secretos, de lo contrario no tendría sentido. A la ciencia de
descrifar los Códigos Secretos denomina Criptoanálisis. Al conjunto de ambas, cifrado y
descrifrado. Se le denomina Criptología.
CRIPTOLOGÍA = CRIPTOGRAFÍA + CRIPTOANALISIS
Los Numeros Amigos
Se denomina de esta forma a dos números enteros positivos tales que la suma de los
divisores del uno sea igual al otro, y viceversa (al 1 se le considera divisor propio, pero
no al mismo número)
Los Números Amigos ya eran conocidos por los Pitagóricos, a los que les atribuían
propiedades misticas,
Un ejemplo es el par (220, 284), donde los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5,
10,11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284. Mientras que los divisores propios de 284
son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.
Otros pares de Números Amigos son: (6232, 6368) y (17296, 18416)
[Escriba aquí]
41
Los Números Amigos fueron ampliamente estudiados durante muchos años,
entre otros por dos genios: el racionalista René Descartes y el matemático suizo
Leonhard Euler.
Los Números Perfectos
Con este término se denomina a aquel número que es amigo de sí mismo. Es
decir, aquel número entero que es igual a la suma de sus divisores (sin
contarse a sí mismo)
Por ejemplo, el número 6 es perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3;
y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128
El matematico griego Euclides descubrió una formula para calcular estos
primeros cuatro números.
El quinto numero perfecto consta de 8 digitos: 33.550.336; el siguiente consta
de 10 digitos: 8.589.869.056.
No se conoce la existencia de números perfectos impares, y no se puede
demostrar su existencia de forma Matemática.
[Escriba aquí]
42
15.- Biografía de Matemáticos
LEONARDO DE PISA (1170 -1250)
Leonardo de Pisa, también apodado Fibonacci (hijo de
Bonacci), vivió y estudió en Argelia, donde su padre era
representante comercial de la prospera ciudad italiana
de Pisa; ya adulto recorrió otros países árabes por
asuntos comerciales pero también se interesó por la
Cultura Árabe y principalmente por su desarrollo
Matemático.
En 1202 se publicó su Obra principal: Liber Abaci, o sea,
Libro sobre el ábaco, donde expone los conocimientos
Matemáticos del Mundo Árabe, con ese Libro se inició el
Renacimiento Matemático del Mundo Occidental. En esa
obra Fibonacci mostraba, entre otras cosas, las ventajas del Sistema de Numeración
indoarábico que todo el mundo usa hoy sin dificultades.
Decía Fibonacci: “la Raza Latina no puede carecer por más tiempo de tan importante
conocimiento”; la “Raza Latina” utilizaba entonces el sistema romano de numeración.
Empezó entonces una larga y dura batalla entre los “abacistas” que defendían el
Sistema Romano y los “algoristas”, partidarios del nuevo Método. Es cierto que los
nuevos números presentaban algunas dificultades:
- No había todavía acuerdo sobre su Escritura
- El Cero era completamente desconocido y fue difícil habituarse a esa nueva entidad,
- Se argumentaba que era fácil falsificar los números arábigos:
El 0 se transformaba que era fácilmente en 6 o en 9, el 1 en 4 ó7; esa fue la
explicación dada por el Concejo de la Ciudad de Florencia en 1299 para prohibir el uso
de los nuevos entes en las transferencias financieras.
Hubo que esperar hasta principios del Siglo XVI, unos 300 años después de la
publicación del Libro de Fibonacci, para que el Nuevo Sistema se hiciera Universal.
Fibonacci es también conocido por la Sucesión que lleva su nombre: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13,
21…. Donde cualquier término de la Sucesión es igual a la suma de los dos anteriores.
También se conservan informaciones sobre la participación de Leonardo de Pisa en
competencias públicas de problemas de matemáticas, según era la costumbre en la
Italia del siglo XIII. En una de esas competencias, en 1225, el Emperador Romano
Federico II fue a Pisa con un equipo de matemáticas para desafiar públicamente a
Fibonacci.
[Escriba aquí]
43
GALILEO GALILEI (1564 - 1642)
El Creador de la Ciencia Moderna y su primer Filosofo,
Galileo Galilei, nació en Pisa, Italia. Su Padre, un noble
Florentino, quería que se dedicara al Comercio y que
restaurara la fortuna de la Familia, pero al ver las
cualidades intelectuales de su hijo, aceptó que estudiara
Medicina. Sin embargo, al joven Galileo le atraían las
Ciencias y las Matematicas; su Padre aceptó que
abandonara la Medicina. La decisión no fue facil, dado el
bajo prestigio de estas actividades humanas en aquel
entonces ( el salario de un Profesor de Medicina equivalia a unos $2 000, el de
un Profesor de Matematicas a unos $60)
Galileo tuvo una Carrera Cientifica impresionante. Aportó contribuciones
originales y muy valiosas en Astronomia y en Matematicas. Fue el primero en
distinguir claramente entre las cualidades de los objetos que son “medibles” y
las de los que no lo son; con eso eliminó el concepto aristotélico del Mundo (los
objetos tenían cualidades escondidas) que dominaba la manera de pensar de su
Epoca.
Es curioso que la Historia haya tardado tanto en reconocer la importancia del
aporte de Galileo a la Ciencia. Una razón podría ser su retractación del
Movimiento de la Tierra ante los Tribunales de la Inquisión en 1633, cuando
tenía 70 años de edad; eso habría provocado el alejamiento y la critica de
muchos de sus Contemporanéos.
Refiriendose a esas criticas dijo el gran matematico alemán David Hilbert (1862
– 1943): “Galileo no era idiota, solo un idiota puede pensar que la ciencia
necesita mártires, puede ser que se necesiten en religión, pero un resultado
cientifico, con el tiempo, se impone por sí solo”
Otra explicación es que los envidiosos colegas que lo denunciaron a la
Inquisición se unieron después de su muerte para menospreciar su obra. A eso
contribuyó el estilo mismo de Galileo, conocido por su claridad, su brevedad y
su precisión.
[Escriba aquí]
44
PIERRE DE FERMAT
(1601 - 1665)
Pierre de Fermat fue abogado y miembro DEL Parlamento
de Toulouse, su ciudad natal, al suroeste de Francia.
Hasta el día de su muerte cumplió con su trabajo de
funcionario público con esmero, seriedad e integridad.
Fermat desarrolló su genio matemático en su tiempo libre
y logró importantes resultados en varios campos de las
matemáticas, pero su mayor influencia se debe al llamado
“Ultimo Teorema de Fermat”, el más famoso de los
problemas matemáticos no resueltos.
En 1637, Fermat conjeturó que no existen números enteros que verifican la
ecuación xn
+ yn
= zn
cuando n es mayor que 2.
Para n = 2 existen infinitas soluciones, todos los llamados tripletes de Pitágoras
como son, por ejemplo (3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10),… pero para n mayor
que 2 no se han encontrado soluciones y nadie sabe si existe alguna.
Fermat escribió en el margen de una página de un libro: “He encontrado una
demostración realmente maravillosa de este teorema, pero el margen de esta
página es muy estrecho para escribirla aquí. “Nunca se encontró esa
demostración, pero Fermat era un gran matemático y un hombre muy serio; su
frase ha obsesionado a muchos matemáticos, tanto profesionales como
aficionados, durante más de 350 años.
El teorema ha sido demostrado para valores de n menores que 150 000 pero
todavía no existe ninguna demostración para cualquier valor de n. El 10 de
marzo de 1988 llegó a la noticia, publicada en casi todos los periódicos del
mundo, de que Yoichi Miyaoka, un especialista en teoría de números que
trabajaba en el Instituto Max – Plank en Bonn, Alemania, tenía una
demostración general del teorema de Fermat, pero a las pocas semanas se vio
que era otro espejismo que se venía a sumar a las centenares de falsas
demostraciones que se ha dado del teorema.
[Escriba aquí]
45
El “Ultimo Teorema de Fermat” es el teorema que tiene el mayor record de
demostraciones incorrectas publicadas; y de vez en cuando, pero con
regularidad, sigue apareciendo alguna. Martin Gardner, el conocido escritor de
curiosidades y entretenimientos matemáticos, en un artículo titulado Resuelve
el problema y hágase famoso, cuenta que el matemático alemán Edmund
Landau tiene una carta general, ya impresa, que dice:
Estimado/a Sr. / Sra.
Hemos recibido su demostración del Ultimo Teorema de Fermat, en la página…,
línea…, encontrará el primer error.
Y encargara a algún estudiante avanzado que encuentre el error.
Otro matemático tiene una carta ya preparada donde dice: “Tengo una
elegante refutación de su supuesta demostración pero esta pagina es
demasiado pequeña para escribirla aquí.”
Otro experto devuelve las supuestas demostraciones con una nota diciendo
que él no es competente para evaluarlas pero que fulano de tal sí lo es, y
manda el nombre y la dirección de otro iluso que cree tener una demostración
válida.
También dice Martin Gardner en el artículo mencionado:
“La mayoría de los matemáticos están convencidos de que el teorema de
Fermat es verdadero y que algún día se demostrará. Una minoría piensa que es
falso, pero éstos creen que el contra – ejemplo más simple involucra valores de
x, y, z que tienen millones de dígitos. Yo pertenezco a un tercer grupo singular
que cree y tiene la esperanza de que el teorema sea “indecidible”. El
matemático Kurt Godel, en una famosa publicación, mostró que la aritmética
contiene proposiciones cuya verdad o falsedad no se puede demostrar dentro
del sistema formal de la aritmética. Los matemáticos, con sus súper –
computadoras, lucharán eternamente con ese teorema, sin encontrar nunca un
contra – ejemplo, sin saber jamás si es verdadero o falso pero sin abandonar
nunca la batalla porque, como la montaña, está ahí."
[Escriba aquí]
46
16.- La Poesía Matemática
El Amor de un Matemático
Nuestro Amor fue elevado a la décima
potencia.
Contigo aprendí la Resistencia.
Pero nuestra Relación se convirtió en una
Ecuación.
Y para ser sincero.
Ni Pitágoras puede encontrar la Solución.
Y el que hasta ahora intento descifrar.
Estoy estudiando mucho para que la
Matemática
Me ayude.
Y antes de irse.
Tengo un recado para usted.
Mi Amor por ti es igual al Infinito.
Viviendo en forma Positiva
La Matemática forma parte de nuestras Vidas.
Pues añadimos Amistades.
Sustrae la Pregunta.
Multiplicamos nuestros Aprendizajes.
Y dividimos con todos nuestros Conocimientos.
Siendo que el Resultado de todo esto
Es un Sentido positivo de nuestras Vidas.
[Escriba aquí]
47
La Matemática del Amor
El Amor y la Variable de una Ecuación descubren.
Nuevos Resultados y se revelan.
Nuestras Diversidades.
Son cosas que la Vida nos proporciona.
Transmitiendo Respeto e Igualdad.
En nuestros Corazones.
La Fórmula
La Fórmula
Divide el cariño y el amor.
Multiplica la alegría.
Disminuye el dolor.
Los Intereses son pequeños.
La raíz tiene su valor.
El Porcentaje resulta nuestro gran Amor.
Se aplica la P.A. y elevo la P.G.
Pues al Final el Total gira nuestra Pasión.
[Escriba aquí]
48
Matemática de la Solidaridad
En el Silencio de la Soledad vivió como un solo Radical.
Todavía en la esperanza de encontrar su Factor su Raíz Perfecta,
No tenía voluntad de desistir.
Como si no hubiera encontrado la Solución para una Racionalización.
Meses pasaron.
La Esperanza no era proporcional a su búsqueda.
Y aquel pequeño Perímetro no había encontrado a nadie.
Fue envejeciendo y convirtiéndose en una Fracción sin Solución.
Y acabó muriendo de tristeza y de soledad.
Una incógnita sin Solución.
[Escriba aquí]
49
 “La Evolución es la Ley de la Vida. El Número es la Ley del Universo. La
Unidad es la Ley de Dios”. Pitágoras.
 “Todo en el Universos funciona tan perfecto, que es evidente que Dios en su
infinita bondad es un Matemático consumado”. S. Espartaco.
 “La Matemática: te recuerda la forma invisible del alma; da vida a sus
propios descubrimientos; despierta la mente y purifica el intelecto; arroja luz
sobre nuestras ideas intrínsecas y anula el olvido y la ignorancia”. Proclo
 “La Matemática es la puerta y la llave de la Ciencia”. Roger Bacón.
 “El Principal Propósito de todas las Investigaciones sobre el Mundo Exterior
debe ser el descubrir el Orden y la Armonía racionales que han sido
impuestas por Dios y que él nos ha revelado en el lenguaje de las
Matemáticas”. Johannes Kepler.
 “La Matemática es el maravilloso Instrumento creado por el Ingenio
Humano para el descubrimiento de la Verdad”. Laisant.
 “Dadme un punto de apoyo y moveré el Mundo”. Arquímedes.
 “La Matemática es la más simple, la más perfecta y la más antigua de las
Ciencias”. Hadamard.

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Revista Digital Matemática Mundomatic demetrio ccesa rayme 2017

  • 2. 1 Editorial Profesor Responsable de la Revista Digital Matemática MUNDOMATIC Demetrio Ccesa Rayme ccesa007@hotmail.com Equipo Pedagógico de la Revista Carmen Renee Sandoval La Puerta Rody Avalos Caquipoma Onar Aburto Ponce Shanna Yupanqui Pariona Sitios de Interés jsebastianbarranca.blogspot.com jsebastianbarranca.edu.pe
  • 3. 2 Índice Presentación 3 1. Fracciones I 4 2. Ángulos 5 3. Potenciación de un Numero Natural 10 4. Fracciones II 12 5. Chistes Matemáticos 15 6. El Mundo de las Matemáticas 17 7. Sucesiones 21 8. Números Decimales 24 9. Triángulos 29 10. Números Reales 33 11. Cripto Aritmética 35 12. Analogías Numéricas 36 13. Relaciones Graficas entre Números 38 14. Teoría de Números 40 15. Biografía de Matemáticos 42 16. La Poesía Matemática 46
  • 4. 3 Presentación La Revista Digital Matemática MUNDOMATIC nace de la Experiencias de la Practica Pedagógica en la Institución Educativa N° 1156 “José Sebastián Barranca Lovera” del ámbito de la Jurisdicción de la UGEL N°03. La Revista es el Instrumento (Digital o Impreso) con Orientación Pedagógica para el Estudiante que incluye Actividades de Aprendizaje que conforman el Área de Matemática. La Revista debe apoyar al Estudiante a estudiar los contenidos del Área de Matemática, a fin de mejorar el aprovechamiento de tiempo disponible y Maximizar sus Aprendizajes. Motivado y Convencido que es posible la Mejora de los Aprendizajes de la Matemática podemos afirmar que todo Maestro es un Creador e Innovador de sus Estrategias y que desarrollando sus Potencialidades llegara a convertirse en artífice de su Práctica Pedagógica. Aquí presentamos diversos Temas que están relacionados con la Matemática tanto en el aspecto Científico como en el Pedagógico. La mayor parte de los Artículos han sido escritos por los Docentes del Equipo de Trabajo a quienes agradecemos su colaboración y queremos que sirva de motivación para que otros también lo hagan. El Propósito de la Revista Digital Matemática MUNDOMATIC es servir de vía para que los Conocimientos Matemáticos lleguen a la Comunidad Educativa y sirva de motivación para que las Nuevas Generaciones cambien la forma de ver y hacer Matemática. Un agradecimiento especial al equipo del PEIN de la Municipalidad Metropolitana de Lima por Impulsar y contribuir con nuestra Propuesta de Innovación Pedagógica.
  • 5. 4 1.- Fracciones I Para adicionar o restar fracciones con diferente denominador. Se buscan fracciones equivalentes a las fracciones dadas, con igual denominador, es decir se convierten en fracciones homogéneas y luego se suman o se restan. Se dice que dos fracciones son heterogéneas cuando tienen distinto denominador. Para adicionar o restar fracciones con diferente denominador. Se buscan fracciones equivalentes a las fracciones dadas, con igual denominador, es decir se convierten en fracciones homogéneas y luego se suman o se restan. Ej.: Suma la siguiente fracción: + Solución: Problemas Propuestos 1. La mamá de Nataly compró dos retazos de la misma tela. Uno medía de metro y el otro de metro. ¿Cuántos metros de tela compró? Rta: 2. El papá de Vanessa compró los de una finca y vendió . ¿Qué parte le queda? Rta: 3. Karina recibió los de un pastel y Pedro los ¿Qué parte del pastel recibieron entre los dos? Rta: 8 5 12 7 8 7 6 5 9 5 45 20 Para realizar la suma de dos fracciones heterogéneas se multiplican: Primero: Multiplicar denominador por denominador 4x3. Segundo: Multiplicar cruzado 1x3 y 4x1. Tercero: Sumar las fracciones del numerador para obtener el resultado 3 + 4
  • 6. 5 4. Manuel vende un terreno de la siguiente manera: a Fidel le vende del terreno, a Luis le vende de terreno. ¿Qué cantidad de terreno vendió? Rta: 2.- Ángulos Para medir ángulos se necesita dos cosas:  Una unidad de medida.  Un aparato que reproduzca dicha unidad de medida. Sistema sexagesimal: Recibe este nombre porque cada unidad es sesenta veces mayor (o menor) que la siguiente inferior (o superior). La unidad de medida de ángulos del sistema sexagesimal es el grado (º). Así, un ángulo recto mide 90º. Cada grado se divide en 60 minutos (´) y, cada minuto, en 60 segundos (´´). El transportador de ángulos o semicírculo graduado. Es un semicírculo dividido en 180 partes iguales. Cada una de ellas es un grado (º). Las unidades que se usan para medir ángulos más pequeños que el grado son el minuto (1´) y el segundo (1´´). Sus equivalencias son 1º = 60´ y 1´ = 60´´. ¿Cómo usamos el transportador? a. Colocamos el transportador de manera que su centro coincida con el vértice del ángulo y uno de los lados del ángulo pase por 0º (0 grados). b. Mira en el transportador el número por el que pasa el otro lado del ángulo. Este número es la medida del ángulo en grados. Ej.: Vamos a medir el ángulo siguiente utilizando el transportador. 6 1 5 1 90º 0º guía mide ________
  • 7. 6 Problemas Propuestos 1. Mide los siguientes ángulos Mide: ________ Mide: ________ Mide: ________ Mide: ________ Este ángulo se puede representar en símbolos, como ángulos “AOB”. O también por una letra, ángulo “X”
  • 8. 7 2. Escribe verdadero "V" o falso "F" según corresponda: a. Un ángulo que mide 70º es agudo. ( ) b. Un ángulo que mide 98º es recto. ( ) c. Un ángulo que mide 180º es obtuso. ( ) d. Un ángulo que mide 90º es recto. ( ) e. Un ángulo que mide 15º es obtuso. ( ) f. Un ángulo que mide 90º es agudo. ( ) 3. Con la ayuda de tu transportador CONSTRUYE los siguientes ángulos. A) m∢ABC = 30° B) m∢DEF = 45° C) m∢GHI = 75° D) m∢JKL = 90° E) m∢MNO = 120° F) m∢PQR = 150° G) m∢STU = 180° H) m∢VWX = 170°
  • 9. 8 4. RESUELVE utilizando la propiedad del ángulo recto.
  • 10. 9 5. RESUELVE utilizando la propiedad del ángulo llano.
  • 11. 10 3.- Potenciación de un Numero Natural 1.- Potenciación en N.- Se llama potenciación a una multiplicación de factores iguales. Así tenemos: 2.-Propiedades de la potenciación.- Estudiamos las siguientes propiedades: a) Al exponente 1.- Todo número natural, elevado al exponente 1, es igual al mismo número. Ejemplos:  71 = 7  241 = ____  2341 = ____ b) Al exponente 0.-Todo número natural diferente de cero, elevado al exponente cero, es igual a la unidad. Ejemplos:  70 =1  230 = ___  450 = ___ b0 =1 1 4 veces 34 = ____x____x____x_____=____ Donde: 3 es la Base 4 es el exponente ____ es la potencia RECUERDA bn =b x b x b x…..x b=P Dónde: b= es igual a la base n es el exponente P es la potencia b1 =b
  • 12. 11 Actividades 1.-Desarrolla los ejercicios aplicando las propiedades. a) 26 = __ x__x__x__x__x __ = __ b) 63 = __ x__x__x = __ c) 262 = __ x__x = __ d) 2631 = _________________ e) 73 =___________________ f) 204 =__________________ g) 243 =__________________ h) 104 = __________________ i) 23 x 22 = _________________ j) 122 -82 =_________________ k) 2340 = __________________
  • 13. 12 4.- Fracciones II Las fracciones comunes se componen de: numerador, denominador y línea divisora entre ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción común el denominador "b" expresa la cantidad de partes iguales que representan la unidad, y el numerador "a" indica cuántas de ellas se toman Ejemplo: 1.-Señala los dibujos que representan una fracción. 2.-Observa el dibujo y responde: ¿En cuántas partes iguales hemos dividido el cuadrado? ______ ¿Cuántas partes hemos coloreado? ______ 2 9 a b
  • 14. 13 3.-Fracción de un número. Para calcular la fracción de un número tenemos que: Dividir el número por el denominador de la fracción. Multiplicar el resultado de la división por el numerador. Por ejemplo: ¿Cuánto es 1/3 de 18? Dividimos 18 en 3 grupos iguales y consideramos uno de ellos. Es decir 1/3 de 18 es igual a 6.
  • 15. 14 Actividades 1.-Resuelve los siguientes problemas: a) Tengo una bolsa de 42 canicas de colores muy bonitas, las tengo verdes, amarillas y azules. 1/7 de las canicas son verdes; azules son 4/7 y las restantes son amarillas. ¿Cuántas canicas tengo de cada color? Para ello vamos hacer 7 grupos iguales de canicas: Ahora colorea cada grupo del color que nos dice el problema: ¿Cuántos grupos has coloreado de verde?_______¿Cuántas canicas?________ ¿Cuántos grupos has coloreado de azul?_______¿Cuántas canicas?________ ¿Cuántos grupos has coloreado de amarillo?_______¿Cuántas canicas?________ b) Sofía tenía 12 dulces. Si regaló 3/4 de ellos a su hermana, ¿cuántos dulces le dio? c) En un taller han arreglado en una semana 70 coches. Dos séptimos de los coches tenían estropeados los frenos, tres quintos de los coches tenían rayada la pintura y el resto tenía alguna luna rota. ¿Cuántos coches tenían alguna luna rota? d) Esther tiene una colección de 68 postales de animales y flores. Si los animales son los 1/4 del total. ¿Cuántas postales de flores tiene? e) ¿Cuántos metros son los 3/4 de 52 kilómetros? 2.-Resuelve: a) b) c) d) e)
  • 16. 15 5.- Chistes Matemáticos El Maestro de Jaimito le pregunta al niño: - Jaimito, ¿cuánto es 2 por 2? - Empate. - ¿Y cuánto es 2 por 1? - ¡Una oferta! ¿Por qué se suicidó el libro de matemática? Porque tenía demasiados problemas. ¿Cuántos lados tienen un Círculo? Dos, el de dentro y el de fuera. El Profesor pregunta: - ¿Jaimito qué debo hacer para repartir 11 papas para 7 personas? - Puré de Papas, señor Profesor.
  • 17. 16
  • 18. 17 La primera máquina sumadora la inventó el matemático francés Blaise Pascal en 1642. Era una máquina calculadora que podía sumar y restar conocido como el ábaco. Tenía unas ruedas, cada una de ellas mascada en su borde con las cifras 1 a 10. Popularmente utilizado por la Hada Mary en Tinkerbell. Cuando la rueda de la derecha que representaba las unidades, daba una vuelta completa, engranaba con la rueda situada a su izquierda, y que representaba las decenas, y se adelantaba una muesca. Si se introducían los números correctos no había posibilidad de error. Posteriormente, el matemático alemán Gotfried Whilelm Leibniz (1646-1716) ideó una máquina calculadora en 1693, mientras que la de Pascal solo podía sumar y restar, la de él, podía multiplicar y dividir. El mayor invento fue el de la calculadora de bolsillo, lejos la que más gente utiliza. En 1970, Texas Instruments sacó a la venta la primera calculadora fácilmente transportable, y a que no sabes algo? sólo pesaba poco más de un kilo y costaba 150 dólares. Si realizamos la multiplicación, por ejemplo en una Calculadora de 111111111 x 111111111 el resultado es 12345678987654321
  • 19. 18 ¿Existe la historia de las matemáticas? Pero… ¿Las matemáticas no han existido siempre? Todas estas interrogantes suelen surgir ¿Quién la invento? en la mente de cualquier ser humano, debido a que muchos en su mayoría desconocen de su origen y sus creadores. Ahora bien, es importante saber que la matemática no es una ciencia estancada que siempre ha existido, sino una, así como los investigadores que contribuyeron ciencia que ha tenido sus avances y retrocesos en la misma. Por ejemplo, pocas personas saben que un matemático llegó a ser papá, que una mujer tenía que hacerse pasar por hombre para poder publicar sus hallazgos, que ha habido matemáticos que se han robado descubrimientos de otros, y que hasta un matemático murió ahogado en agua por sus descubrimientos. ¡Así es! Los matemáticos son seres de carne y hueso, aquí están algunos de ellos y sus aportes a las que dedicaron su vida a las matemáticas, aquí están algunos de ellos y sus aportes a las matemáticas. Fue uno de los más grandes genios que las Matemáticas han dado. Era capaz de hacer mentalmente difíciles cálculos, algunos de los cuales requerían retener en la cabeza hasta 50 cifras. Una anécdota de Euler fue cuando el ejército ruso invadió Alemania en 1760 y saqueó una granja de su propiedad, la pérdida le fue inmediatamente remediada, y a ello se añadió un obsequio de cuatro mil florines, hecho por la emperatriz Isabel cuando se enteró del suceso Fue un excelente matemático (precursor del cálculo infinitesimal) que fue amigo e influyó en Newton. Se cuenta de Wallis que en una noche de insomnio llegó a calcular la raíz cuadrada de un número de 40 cifras, recordándolo y escribiéndolo al día siguiente.
  • 20. 19 Platón fue un reconocido filósofo griego, pero no se limitó solo a eso. También ayudó a contribuir en otros aspectos de la ciencia, como las matemáticas, y según se ha descubierto, también en la música. En la actualidad, se ha descubierto un código en los libros de Platón, al parecer es una serie de elementos que se repetían, pero que aparentemente guardaba una relación de significado. El estudio fue realizado por el doctor J. Kennedy y se basa en que Platón usó un patrón regular de caracteres y el resultado fue que dio una estructura musical a sus libros. Uno de sus libros más conocidos “La República” encierra este enigmático código. Pitágoras, dijo que los planetas y las estrellas creaban una música que no se podía escuchar. Platón hizo lo siguiente: ocultó las partituras en sus libros. Pero, ¿Cómo lo logró? El código se hizo así: Platón separó cada diálogo en 12 partes, y cada una de las partes pertenecía a una nota musical. Y, ¿Por qué decidió esconderlo? Muy sencillo. Esa idea tan revolucionaria, podía costarle la muerte. Creía que el universo estaba controlado por leyes matemáticas, y por aquel entonces, cualquiera que no demostrase respeto o creyera en dios era castigado. En definitiva, Platón fue un avanzado a su época.
  • 21. 20 ¡SI LOS MATEMÁTICOS DE LA HISTORIA CREARON CIENCIA! Según una popular leyenda en la que se dice, que no hay reconocimiento de la Matemática en los PREMIOS NOBEL, debido a que Alfred Nobel no quiso crear el premio en esta categoría por una supuesta rivalidad personal o incluso sentimental con Mittag Leffler, fue un matemático sueco de la historia, quien fundó el diario matemático Acta Mathematica en el año 1882, y también, reunió una biblioteca de textos matemáticos en su mansión en Djursholm, a las afueras de Estocolmo. La casa y su contenido fueron donados a la Academia de las Ciencias y renombrado como Instituto Mittag-Leffler. Se cuentan varias historias: La más conocida, dice que la esposa de Nobel tenía amoríos con Mittag-Leffler uno de los más distinguidos matemáticos en el tránsito del siglo XIX al XX y para vengarse, Nobel no incluyó dicha asignatura en los premios. Otra de las historias dice, que se llevaba mal con Mittag-Leffler quien tendría posibilidades de ganar el premio. Parece que ninguna de ellas es cierta pues Nobel, al escuchar todos los rumores que se decían, tuvo que reconocer los aportes al desarrollo técnico y científico que beneficiaran la humanidad, sin embargo, para él, las matemáticas no contribuía a este fin y era poco útiles en la vida diaria
  • 22. 21 7.- Sucesiones Sucesion.- Es un conjunto ordenado de números de acuerdo a una ley de formación. Dichos números son los términos de la sucesión. En efecto, si aumentamos dos unidades a cada uno de los números, obtendremos el siguiente. Por lo tanto: (1; 3; 5; 7; 9; . . . ) es una SUCESIÓN, donde los términos mantienen un orden y se les nombra del modo siguiente: 1: primer término 3: segundo término 5: tercer término 7: cuarto término, etc. Para resolver este problema, debemos encontrar la ley de formación, como se muestra a continuación: Por lo tanto el número que sigue deberá ser: 14 + 5; esto es 19. Arreglos Literales: Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Para encontrar el criterio de ordenamiento de las letras en un problema dado, es necesario conocer bien el abecedario, tener en cuenta la posición de cada letra y no se debe considerar las letras compuestas "CH" y LL". Este arreglo tiene cierto criterio de ordenamiento. En efecto, observemos lo siguiente: Por ejemplo, el siguiente conjunto ordenado de números: 1; 3; 5; 7; 9; . . . tiene una ley de formación. Ahora veamos otra sucesión: 5; 7; 10; 14; . . . ¿Podrías hallar el término que sigue? 5; 7; 10; 14; . . . +2 +3 +4 +5 Por ejemplo: ¿Qué letra sigue? A; C; F; J; . . .
  • 23. 22 Entre "A" y "C" hay una letra intermedia; entre "C" y "F" hay dos letras intermedias; entre "F" y "J" hay tres letras intermedias. Por lo tanto entre "J" y la letra que sigue deben haber cuatro letras intermedias. Entonces la letra que sigue es: ______ Nota: Se puede resolver el problema anterior de otra manera, lo único que necesitamos saber es, la posición que ocupa cada letra del arreglo dado, en el abecedario. Ahora observa cómo se resuelve el problema anterior, pasando del arreglo literal a una "SUCESIÓN": Como verás, el número que sigue en la "sucesión" es 15, ahora sólo tenemos que buscar la letra que ocupa la posición número 15 en el abecedario y ésta es la letra "Ñ". A; C; F; J; . . . B DE GHI KLMN A 1 B C D E F G H I J K L M N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ñ 15 O P Q R S T U V W X Y Z 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Recuerda que no se consideran las letras compuestas "CH" y "LL" en arreglos literales. A; C; F; J; . . . 1; 3; 6; 10; . . . Posición en el abecedario +2 +3 +4 +5 Ñ 15 A; C; F; J B DE GHI
  • 24. 23 TAREA N° 01 I. Encontrar el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones: II. Encontrar la letra que sigue en cada uno de los siguientes arreglos literales: 1) 7; 10; 15; 22; . . . 2) 3; 9; 5; 15; 11; . . . 3) 2; 2; 4; 12; . . . 4) 64; 32; 16; . . . 5) 2; 4; 8; 14; . . . 6) 2; 3; 4; 7; 8; 11; . . . 7) 5; 3; 6; 4; 8; 6; 16; . . . 8) 1; 1; 2; 6; . . . 9) 2; 3; 4; 5; 8; 7; 16; . . . 10) 18; 16; 12; 6; . . . 11) 10; 12; 6; 8; 4; . . . 12) 3; 4; 8; 5; 9; 45; . . . 1) A; D; G; J; . . . 2) B; D; G; I; L; . . . 3) A; D; I; O; . . . 4) B; C; F; G; N; . . . 5) A; B; D; D; G; F; J; . . . 6) B; C; E; H; L; . . . C; F; J; M; P; . . . Rpta.: _______ ¡Ahora, hazlo tú! ¿Qué letra sigue en el siguiente arreglo literal? C; F; J; M; P; . . .
  • 25. 24 8.- Números Decimales 1. Escribe los siguientes números: Números decimales Lectura 0,04 2,144 45,009 9,64 69,079 2,18 0,003 7,86 25,789
  • 26. 25 2. Lee los siguientes números decimales: Lectura Número decimal Cinco enteros, cuatro centésimos. Ocho centésimos. Veintitrés enterosa, cinco milésimos. Tres enteros, cuarenta y cinco centésimos. Dos décimos. Cincuenta y tres enteros tres centésimos. Veinticuatro milésimos. Doscientos ocho enteros, cinco décimos. Treinta y cuatro enteros, tres milésimos.
  • 27. 26 3- Convierte a número decimal. 4- Convierte a fracción decimal: a) 0,2 = ______________ b) 0,31 = _______________ c) 2,7 = ______________ d) 0,036 = _______________ e) 13,8 = ______________ f) 0,136 = ________________ 5. Marca la respuesta correcta: A. El número decimal “cinco enteros veintisiete milésimos” es: a) 5,27 b) 5,027 c) 5,0027 d) N.A. B. El número decimal “Un entero nueve centésimos” a) 1,09 b) 1,9 c) 1,009 d) N.A. C. El número decimal de la fracción 10 87 es: a) 0,87 b) 8,7 c) 87,0 d) N.A.
  • 28. 27 5 100 1005 1000 0,22 0,005 0,5 2 100 22 10 0,02 1,005 5 10 0,05 22 100 0,2 2,25 1000 2 10 Ayúda m e a llega r ha sta el m olino, pinta ndo de un m ism o color ca da fracción con su respectivo decim a l. Re c ue rda : 6- Colorea:
  • 29. 28 Actividades 1. Escribe como se lee los decimales: 0,09 ....................................................................... 0,2 ........................................................................ 0,005 ........................................................................ 1,2 ........................................................................ 2-Convierte a números decimales:  1000 2 ...........................  10 15 ............................  100 32 ...........................  1000 122 ........................... 3- Convierto los números decimales a fracción decimal: 0,8 = ............................ 0,002 = ............................ 0,24 = ............................ 0,56 = ................................ 1,56 = ............................ 1,9 = ............................... 4- El decimal “nueve milésimos” corresponde a: a) 0,09 b) 0,009 c) 0,9 d) N.
  • 30. [Escriba aquí] 29 Triángulo ____________ sus tres lados son iguales. Triángulo ____________ sus tres lados son diferentes. Triángulo ____________ dos de sus lados son iguales. 9.- Triángulos Según la medida de sus lados pueden ser: 1- Mide los lados de cada triángulo y escribe sus nombres. A C B D lado vértice ángulo Recuerda: - + + = 180º - No tiene diagonales. altura
  • 31. [Escriba aquí] 30 Triángulo ____________ sus tres ángulos son agudos. Triángulo ____________ tieneunánguloobtuso. Triángulo ____________ tieneunángulorecto. Según la medida de sus ángulos pueden ser: 2- Mide los ángulos de cada triángulo y escribe a qué clase de triángulo corresponde. 3- Marca con un aspa (X) la clasificación de cada triángulo, según la medida de sus lados y ángulos.
  • 32. [Escriba aquí] 31 Áreas y Perímetros Parte I
  • 33. [Escriba aquí] 32 Parte II 01. Un banderín tiene la forma de un triángulo cuya base mide 25 cm y su altura 30 cm. Hallar su área. SOLUCIÓN RESPUESTA 02. El área de un triángulo mide 540 m2 . Si su base mide 40 m. ¿Cuánto mide su altura? SOLUCIÓN RESPUESTA 03. Uno de los lados de un triángulo equilátero mide 12,8 m y la altura de dicho triángulo mide 10 m. Hallar su área. SOLUCIÓN RESPUESTA 04. El perímetro de un triángulo equilátero mide 36 cm y su altura la mitad de la base. Hallar su área. SOLUCIÓN RESPUESTA 05. El perímetro de un terreno de forma cuadrada mide 200 m. ¿Cuál es el área del terreno? SOLUCIÓN RESPUESTA
  • 34. [Escriba aquí] 33 10.- Números Reales 1. Une con flechas: A) 0,13  Decimal P. Puro B) 0,22  Decimal P. Mixto C) 0,567  Decimal Exacto D) 1,26  Decimal 2. Colocar verdadero o falso: 1) 3/8 = 0,375 ……………… ( ) 2) 5/9 = 0,425 ……………… ( ) 3) 4/20 = 0,2 ……………… ( ) 3. Colocar > o < según corresponda: 1) -62,508 ( ) -87,52 2) 015,36 ( ) 113,58 3) -6,3 ( ) 8,2 4) 51,36 ( ) 71,23 4. Coloca (V) ó (F) según convenga: A) 0,666……… D.P. Mixto …..… ( ) B) 2,1313………D.P. Puro .…..… ( ) C) 4,566………D. Exacto ……… ( ) 5. Qué clase de decimal forma: A) 4 2  D. Exacto B) 11 7  D. P. Puro C) 15 7  D. P. Mixto 6. Coloca (V) ó (F) según convenga: A) Periódico Puro = 0,26 ………… ( ) B) Decimal Exacto = 0,3 ……..… ( ) C) Decimal Exacto = 0,25 ……..… ( ) D) Periódico Mixto= 8,72 ………… ( ) 7. Resuelve y convierte a Decimal: A) 1,26 B) 0,713 8. Resuelve: y convierte a Decimal A) 0,13 B) 2,6 9. Resuelve: y convierte a Decimal A) 2,61 B) 31,72 10. Hallar la fracción generatriz de: a) 3,62 = b) 6,3 = c) 3,618 = 11.- Resolver la siguiente ecuación: 3 3 12  x A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12.-Resolver las siguiente ecuación 3 5 2 3 3 2     xx A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
  • 35. [Escriba aquí] 34 13.-Resolver las siguiente ecuación 3x + 1 = x + 13 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 14.-Resolver la siguiente inecuación: 2x + 3 > 3(x – 2) 15.-Resolver la siguiente inecuación: 4(x - 1) + 2  x + 5 16.-Determina el valor de w en: 39; 109; 58 ; 87 ; 77 ; 65 ; 98 ; w 17.-Qué número sigue en: 2 ; 7 ; 28 ; 31 ; 62 ; ____ 18. Completa la secuencia: 2 ; 6 ; 15 ; 31 ; 56 ; ____ 19.-Qué figura continúa? 20 ¿Qué figura continua? A B C D E A B C D E
  • 36. [Escriba aquí] 35 11.-Cripto Aritmética Lee y completa: En este capítulo vamos a desarrollar ejercicios con multiplicación y división. Bloque I Escribe la cifra que falta en las siguientes operaciones y dar como respuesta lo que se puede. 1. Hallar el multiplicando: Rpta.: __________ 2. Hallar el multiplicador: Rpta.: __________ 3. Indicar la mayor cifra: Rpta.: __________ 4. Indicar la menor cifra: Rpta.: __________ 5. Hallar la suma de cifras del multiplicando, si: Rpta.: __________ 6. Hallar la suma de todos las cifras halladas. Rpta.: __________ 7. Hallar la suma del multiplicando más el multiplicador de: Rpta.: __________
  • 37. [Escriba aquí] 36 12.-Analogías Numéricas Analogías Numéricas: Consiste en encontrar la relación de los números de forma horizontal y en otros casos en forma vertical. Ejemplo: Calcule el término desconocido en la siguiente analogía: 3 (34) 5 32 + 52 = 34 4 (20) 2 42 + 22 = 20 2 ( x ) 5 22 + 52 = x x = 29 01) 2 (32) 5 6 (36) 2 3 ( x ) 2 A) 10 B) 27 C) 9 D) 5 E) 12 02) 2 ( 7 ) 1 9 (29) 2 8 ( x ) 6 A) 20 B) 24 C) 25 D) 28 E) 30 03) 2 ( 3 ) 28 17 ( 5 ) 33 120 ( x ) 80 A) 5 B) 20 C) 10 D) 12 E) 15 04) 63 (9 ) 7 333 (9) 37 280 ( x ) 40 A) 12 B) 15 C) 6 D) 8 E) 7 05) 49 ( x ) 2 64 ( 4 ) 3 16 ( 2 ) 4 A) 2 B) 9 C) 5 D) 4 E) 7 06) 34 ( 1 ) 35 59 ( 0 ) 59 35 ( 4 ) 39 74 ( x ) 79 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 07) 24 (86) 35 43 (77) 61 22 ( x ) 31 A) 53 B) 9 C) 44 D) 52 E) 37
  • 38. [Escriba aquí] 37 Miscelánea Calcule el valor de “x” en las siguientes analogías: 01) 14 (9) 23 21 (14) 35 43 ( x ) 56 A) 12 B) 14 C) 18 D) 13 E) 16 02) 27 (59) 32 42 (73) 31 90 ( x ) 41 A) 132 B) 131 C) 138 D) 139 E) 142 03) 10 (17) 12 24 (14 ) 2 30 ( x ) 2 A) 32 B) 23 C) 17 D) 19 E) 22 04) 16 ( 4 ) 6 9 (49) 10 81 ( x ) 14 A) 16 B) 20 C) 25 D) 36 E) 42 05) 26 ( 6 ) 4 33 ( 8 ) 5 38 ( x ) 7 A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 3 06) 7 (43) 8 9 (55 ) 10 11 ( x ) 12 A) 51 B) 61 C) 67 D) 41 E) 81 07) 49 (13) 3 82 (12) 6 26 ( x ) 2 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 08) 23 ( 8 ) 9 21 ( x ) 27 17 (10 ) 23 A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 25
  • 39. [Escriba aquí] 38 13.-Relaciones Graficas entre Números Parte I 1. Determine el número que falta: 2. Basado en la indicación dada en la parte superior izquierda, complete la pirámide 3. Identifique la figura con el número apropiado: 4. Coloque los números que faltan: 5. Encuentre el número que falta: 7 3 3 8 5 6 21 24 ? a + b a b 29 16 6a + b 2 ÷ 5 = x 7 = - 10 = 11 3 4 8 1 63 3 5 7 2 72 3 ? 6 3 ? 3 12 60 360 ?
  • 40. [Escriba aquí] 39 Parte II Ejercicios Propuestos de Relaciones Graficas 1. En la Figura, Falta el Número: A) 20 B) 25 C) 30 D) 36 E) 40 2. En la siguiente figura; hallar: A)7 B) 36 C) 30 D) 29 E) 32 3. Indicar el número que falta: a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 32 4. Hallar el número que falta: a) 15 b) 12 c) d) 18 e) 9 5. ¿Qué figura continua? A) B) C) D) E) 2 3 5 4 14 7 1 3 5 16 2 7 8 9 ? 3 3 7 8 3 3 2 2 2 2 10 7 4 4 x ? 4 5 9 1 3 ? 11 81 9 2 12 49 7 5 13 y 6 x
  • 41. [Escriba aquí] 40 14.- Teoría de Números LA CRIPTOGRAFIA Actualmente, los Números Primos y la Criptografía tienen una relación muy estrecha, por esa razón Vamos a dar unas pinceladas a este apasionante Tema. Desde el Antiguo Egipto a la Era Digital, el Hombre siempre ha tenido la necesidad de guardar secretos. Armas de Militares, Espias o Diplomáticos, el hombre ha hecho gala a lo largo de la Historia de su ingenio para garantizar el secreto de sus Comunicaciones. Siempre que dos personas se tenían que comunicar han necesitado de técnicas para que tercera persona que interceptase el mensaje no consiguiese saber de qué se estaba hablando. A la codificación de estos mensajes para hacerlos secretos se le denomina criptografía (del griego kryptos, escondido, y graphein, escribir) La Criptografía fue considerada un Arte hasta que Shannon publico en 1949 la Teoria de las Comunicaciones Secretas. Desde este momento empezó a considerarse una Ciencia Aplicada, debido a la relación con otras Ciencias y ramas de las Matematicas, como La Escritura, la Informática, la Teoría de Números o la Complejidad Computacional. Ahora bien, esta Ciencia existe por el hecho de que hay gente que trata siempre de descrifrar esos mensajes secretos, de lo contrario no tendría sentido. A la ciencia de descrifar los Códigos Secretos denomina Criptoanálisis. Al conjunto de ambas, cifrado y descrifrado. Se le denomina Criptología. CRIPTOLOGÍA = CRIPTOGRAFÍA + CRIPTOANALISIS Los Numeros Amigos Se denomina de esta forma a dos números enteros positivos tales que la suma de los divisores del uno sea igual al otro, y viceversa (al 1 se le considera divisor propio, pero no al mismo número) Los Números Amigos ya eran conocidos por los Pitagóricos, a los que les atribuían propiedades misticas, Un ejemplo es el par (220, 284), donde los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10,11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284. Mientras que los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220. Otros pares de Números Amigos son: (6232, 6368) y (17296, 18416)
  • 42. [Escriba aquí] 41 Los Números Amigos fueron ampliamente estudiados durante muchos años, entre otros por dos genios: el racionalista René Descartes y el matemático suizo Leonhard Euler. Los Números Perfectos Con este término se denomina a aquel número que es amigo de sí mismo. Es decir, aquel número entero que es igual a la suma de sus divisores (sin contarse a sí mismo) Por ejemplo, el número 6 es perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128 El matematico griego Euclides descubrió una formula para calcular estos primeros cuatro números. El quinto numero perfecto consta de 8 digitos: 33.550.336; el siguiente consta de 10 digitos: 8.589.869.056. No se conoce la existencia de números perfectos impares, y no se puede demostrar su existencia de forma Matemática.
  • 43. [Escriba aquí] 42 15.- Biografía de Matemáticos LEONARDO DE PISA (1170 -1250) Leonardo de Pisa, también apodado Fibonacci (hijo de Bonacci), vivió y estudió en Argelia, donde su padre era representante comercial de la prospera ciudad italiana de Pisa; ya adulto recorrió otros países árabes por asuntos comerciales pero también se interesó por la Cultura Árabe y principalmente por su desarrollo Matemático. En 1202 se publicó su Obra principal: Liber Abaci, o sea, Libro sobre el ábaco, donde expone los conocimientos Matemáticos del Mundo Árabe, con ese Libro se inició el Renacimiento Matemático del Mundo Occidental. En esa obra Fibonacci mostraba, entre otras cosas, las ventajas del Sistema de Numeración indoarábico que todo el mundo usa hoy sin dificultades. Decía Fibonacci: “la Raza Latina no puede carecer por más tiempo de tan importante conocimiento”; la “Raza Latina” utilizaba entonces el sistema romano de numeración. Empezó entonces una larga y dura batalla entre los “abacistas” que defendían el Sistema Romano y los “algoristas”, partidarios del nuevo Método. Es cierto que los nuevos números presentaban algunas dificultades: - No había todavía acuerdo sobre su Escritura - El Cero era completamente desconocido y fue difícil habituarse a esa nueva entidad, - Se argumentaba que era fácil falsificar los números arábigos: El 0 se transformaba que era fácilmente en 6 o en 9, el 1 en 4 ó7; esa fue la explicación dada por el Concejo de la Ciudad de Florencia en 1299 para prohibir el uso de los nuevos entes en las transferencias financieras. Hubo que esperar hasta principios del Siglo XVI, unos 300 años después de la publicación del Libro de Fibonacci, para que el Nuevo Sistema se hiciera Universal. Fibonacci es también conocido por la Sucesión que lleva su nombre: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…. Donde cualquier término de la Sucesión es igual a la suma de los dos anteriores. También se conservan informaciones sobre la participación de Leonardo de Pisa en competencias públicas de problemas de matemáticas, según era la costumbre en la Italia del siglo XIII. En una de esas competencias, en 1225, el Emperador Romano Federico II fue a Pisa con un equipo de matemáticas para desafiar públicamente a Fibonacci.
  • 44. [Escriba aquí] 43 GALILEO GALILEI (1564 - 1642) El Creador de la Ciencia Moderna y su primer Filosofo, Galileo Galilei, nació en Pisa, Italia. Su Padre, un noble Florentino, quería que se dedicara al Comercio y que restaurara la fortuna de la Familia, pero al ver las cualidades intelectuales de su hijo, aceptó que estudiara Medicina. Sin embargo, al joven Galileo le atraían las Ciencias y las Matematicas; su Padre aceptó que abandonara la Medicina. La decisión no fue facil, dado el bajo prestigio de estas actividades humanas en aquel entonces ( el salario de un Profesor de Medicina equivalia a unos $2 000, el de un Profesor de Matematicas a unos $60) Galileo tuvo una Carrera Cientifica impresionante. Aportó contribuciones originales y muy valiosas en Astronomia y en Matematicas. Fue el primero en distinguir claramente entre las cualidades de los objetos que son “medibles” y las de los que no lo son; con eso eliminó el concepto aristotélico del Mundo (los objetos tenían cualidades escondidas) que dominaba la manera de pensar de su Epoca. Es curioso que la Historia haya tardado tanto en reconocer la importancia del aporte de Galileo a la Ciencia. Una razón podría ser su retractación del Movimiento de la Tierra ante los Tribunales de la Inquisión en 1633, cuando tenía 70 años de edad; eso habría provocado el alejamiento y la critica de muchos de sus Contemporanéos. Refiriendose a esas criticas dijo el gran matematico alemán David Hilbert (1862 – 1943): “Galileo no era idiota, solo un idiota puede pensar que la ciencia necesita mártires, puede ser que se necesiten en religión, pero un resultado cientifico, con el tiempo, se impone por sí solo” Otra explicación es que los envidiosos colegas que lo denunciaron a la Inquisición se unieron después de su muerte para menospreciar su obra. A eso contribuyó el estilo mismo de Galileo, conocido por su claridad, su brevedad y su precisión.
  • 45. [Escriba aquí] 44 PIERRE DE FERMAT (1601 - 1665) Pierre de Fermat fue abogado y miembro DEL Parlamento de Toulouse, su ciudad natal, al suroeste de Francia. Hasta el día de su muerte cumplió con su trabajo de funcionario público con esmero, seriedad e integridad. Fermat desarrolló su genio matemático en su tiempo libre y logró importantes resultados en varios campos de las matemáticas, pero su mayor influencia se debe al llamado “Ultimo Teorema de Fermat”, el más famoso de los problemas matemáticos no resueltos. En 1637, Fermat conjeturó que no existen números enteros que verifican la ecuación xn + yn = zn cuando n es mayor que 2. Para n = 2 existen infinitas soluciones, todos los llamados tripletes de Pitágoras como son, por ejemplo (3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10),… pero para n mayor que 2 no se han encontrado soluciones y nadie sabe si existe alguna. Fermat escribió en el margen de una página de un libro: “He encontrado una demostración realmente maravillosa de este teorema, pero el margen de esta página es muy estrecho para escribirla aquí. “Nunca se encontró esa demostración, pero Fermat era un gran matemático y un hombre muy serio; su frase ha obsesionado a muchos matemáticos, tanto profesionales como aficionados, durante más de 350 años. El teorema ha sido demostrado para valores de n menores que 150 000 pero todavía no existe ninguna demostración para cualquier valor de n. El 10 de marzo de 1988 llegó a la noticia, publicada en casi todos los periódicos del mundo, de que Yoichi Miyaoka, un especialista en teoría de números que trabajaba en el Instituto Max – Plank en Bonn, Alemania, tenía una demostración general del teorema de Fermat, pero a las pocas semanas se vio que era otro espejismo que se venía a sumar a las centenares de falsas demostraciones que se ha dado del teorema.
  • 46. [Escriba aquí] 45 El “Ultimo Teorema de Fermat” es el teorema que tiene el mayor record de demostraciones incorrectas publicadas; y de vez en cuando, pero con regularidad, sigue apareciendo alguna. Martin Gardner, el conocido escritor de curiosidades y entretenimientos matemáticos, en un artículo titulado Resuelve el problema y hágase famoso, cuenta que el matemático alemán Edmund Landau tiene una carta general, ya impresa, que dice: Estimado/a Sr. / Sra. Hemos recibido su demostración del Ultimo Teorema de Fermat, en la página…, línea…, encontrará el primer error. Y encargara a algún estudiante avanzado que encuentre el error. Otro matemático tiene una carta ya preparada donde dice: “Tengo una elegante refutación de su supuesta demostración pero esta pagina es demasiado pequeña para escribirla aquí.” Otro experto devuelve las supuestas demostraciones con una nota diciendo que él no es competente para evaluarlas pero que fulano de tal sí lo es, y manda el nombre y la dirección de otro iluso que cree tener una demostración válida. También dice Martin Gardner en el artículo mencionado: “La mayoría de los matemáticos están convencidos de que el teorema de Fermat es verdadero y que algún día se demostrará. Una minoría piensa que es falso, pero éstos creen que el contra – ejemplo más simple involucra valores de x, y, z que tienen millones de dígitos. Yo pertenezco a un tercer grupo singular que cree y tiene la esperanza de que el teorema sea “indecidible”. El matemático Kurt Godel, en una famosa publicación, mostró que la aritmética contiene proposiciones cuya verdad o falsedad no se puede demostrar dentro del sistema formal de la aritmética. Los matemáticos, con sus súper – computadoras, lucharán eternamente con ese teorema, sin encontrar nunca un contra – ejemplo, sin saber jamás si es verdadero o falso pero sin abandonar nunca la batalla porque, como la montaña, está ahí."
  • 47. [Escriba aquí] 46 16.- La Poesía Matemática El Amor de un Matemático Nuestro Amor fue elevado a la décima potencia. Contigo aprendí la Resistencia. Pero nuestra Relación se convirtió en una Ecuación. Y para ser sincero. Ni Pitágoras puede encontrar la Solución. Y el que hasta ahora intento descifrar. Estoy estudiando mucho para que la Matemática Me ayude. Y antes de irse. Tengo un recado para usted. Mi Amor por ti es igual al Infinito. Viviendo en forma Positiva La Matemática forma parte de nuestras Vidas. Pues añadimos Amistades. Sustrae la Pregunta. Multiplicamos nuestros Aprendizajes. Y dividimos con todos nuestros Conocimientos. Siendo que el Resultado de todo esto Es un Sentido positivo de nuestras Vidas.
  • 48. [Escriba aquí] 47 La Matemática del Amor El Amor y la Variable de una Ecuación descubren. Nuevos Resultados y se revelan. Nuestras Diversidades. Son cosas que la Vida nos proporciona. Transmitiendo Respeto e Igualdad. En nuestros Corazones. La Fórmula La Fórmula Divide el cariño y el amor. Multiplica la alegría. Disminuye el dolor. Los Intereses son pequeños. La raíz tiene su valor. El Porcentaje resulta nuestro gran Amor. Se aplica la P.A. y elevo la P.G. Pues al Final el Total gira nuestra Pasión.
  • 49. [Escriba aquí] 48 Matemática de la Solidaridad En el Silencio de la Soledad vivió como un solo Radical. Todavía en la esperanza de encontrar su Factor su Raíz Perfecta, No tenía voluntad de desistir. Como si no hubiera encontrado la Solución para una Racionalización. Meses pasaron. La Esperanza no era proporcional a su búsqueda. Y aquel pequeño Perímetro no había encontrado a nadie. Fue envejeciendo y convirtiéndose en una Fracción sin Solución. Y acabó muriendo de tristeza y de soledad. Una incógnita sin Solución.
  • 50. [Escriba aquí] 49  “La Evolución es la Ley de la Vida. El Número es la Ley del Universo. La Unidad es la Ley de Dios”. Pitágoras.  “Todo en el Universos funciona tan perfecto, que es evidente que Dios en su infinita bondad es un Matemático consumado”. S. Espartaco.  “La Matemática: te recuerda la forma invisible del alma; da vida a sus propios descubrimientos; despierta la mente y purifica el intelecto; arroja luz sobre nuestras ideas intrínsecas y anula el olvido y la ignorancia”. Proclo  “La Matemática es la puerta y la llave de la Ciencia”. Roger Bacón.  “El Principal Propósito de todas las Investigaciones sobre el Mundo Exterior debe ser el descubrir el Orden y la Armonía racionales que han sido impuestas por Dios y que él nos ha revelado en el lenguaje de las Matemáticas”. Johannes Kepler.  “La Matemática es el maravilloso Instrumento creado por el Ingenio Humano para el descubrimiento de la Verdad”. Laisant.  “Dadme un punto de apoyo y moveré el Mundo”. Arquímedes.  “La Matemática es la más simple, la más perfecta y la más antigua de las Ciencias”. Hadamard.