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ECUACIONES
DIFERENCIALES
EXACTAS
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión el estudiante identifica y resuelve ecuaciones diferenciales exactas.”
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIONES
EDO
exacta
EDO no
exacta
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIONES
¿Cuál es su utilidad?
Las Ecuaciones diferenciales son muy útiles en ciencias como la Física, Química, Economía, Biología y más.
✓ Aplicaciones en Análisis de poblaciones.
✓ En elementos finitos para ingeniería.
Entre otras.
¿Qué es una ecuación diferencial
exacta?
Decimos que la ecuación diferencial
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
es exacta, si existe 𝑓(𝑥, 𝑦) de modo que
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
1CRITERIO DE EXACTITUD
La ecuación diferencial
𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
es exacta si, y solo si
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
1.2 SOLUCIÓN DE UNA ED EXACTA
1. Verificamos que la ED sea exacta, entonces existe 𝑓 𝑥, 𝑦 tal que
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁
2. Integramos esta igualdad con respecto a 𝑥(con respecto a 𝑦) y se obtiene
𝑓 𝑥, 𝑦 = ∫ 𝑀𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 , 𝑓 𝑥, 𝑦 = ∫ 𝑁𝑑𝑦 + ℎ 𝑥
3. Derivamos 𝑓 respecto a 𝑦 (respecto a 𝑥) y obtenemos
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁,
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 de donde podemos
despejar 𝑔′
𝑦 ó ℎ′
𝑥 .
4. Integramos 𝑔′
𝑦 ó ℎ′
𝑥 para hallar 𝑔(𝑦)(ó ℎ(𝑥)).
Obteniéndose la regla
𝐶 = ∫ 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + ∫ 𝑁 𝑥, 𝑦 − ∫
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑦
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo1. Resolver 3𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 3𝑦2
+ 𝑥2
+ 6𝑥𝑦 𝑦′
= 0
Solución. :
3𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 3𝑦2
𝑑𝑥 + 𝑥2
+ 6𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0
Comprobando la exactitud
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 2𝑥 + 6𝑦 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
Luego
𝐶 = න3𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 3𝑦2
𝑑𝑥 + ඲ 𝑥2
+ 6𝑥𝑦 − න2𝑥 + 6𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐶 = 𝑥3
+ 𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
+ න 𝑥2
+ 6𝑥𝑦 − 𝑥2
+ 6𝑥𝑦 𝑑𝑦
Así la solución es 𝐶 = 𝑥3
+ 𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 2. Resolver 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑥 + sin 𝑥 + cos 𝑦 𝑑𝑦 = 0; 𝑦 0 =
𝜋
2
Solución. :
2 FACTOR INTEGRANTE:
Si la ED no es exacta.
CASO 1. Si
1
𝑁
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑢 𝑥 es una función que depende exclusivamente
de 𝑥, entonces el factor integrante es 𝜇 𝑥, 𝑦 = 𝑒∫ 𝑢 𝑥 𝑑𝑥.
CASO 2. Si -
1
𝑀
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑣 𝑦 es una función que depende
exclusivamente de 𝑦, entonces el factor integrante es 𝜇 𝑥, 𝑦 = 𝑒∫ 𝑣(𝑦)𝑑𝑦
.
NOTA: Existe un caso donde el factor integrante depende de ambas variables, pero ese tema no se
desarrollará en esta sesión.
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 3. Resolver 1 − 𝑥2
𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2
𝑦 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0
Solución. :
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= −𝑥2
;
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦 − 3𝑥2
𝜇 𝑥 = 𝑒∫ 𝑢 𝑥
𝑢 𝑥 =
1
𝑁
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑢 𝑥 =
1
𝑥2(𝑦 − 𝑥)
2𝑥2
− 2𝑥𝑦 =
1
𝑥2 𝑦 − 𝑥
2𝑥 𝑥 − 𝑦 = −
2
𝑥
Así 𝜇 𝑥 = 𝑒−2 𝑙𝑛 𝑥
=
1
𝑥2, ahora multiplicamos a la ED por el factor integrante, resultando
1 − 𝑥2
𝑦
𝑥2 𝑑𝑦 + 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= −1 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝐶 = න𝑥−2
− 𝑦 𝑑𝑥 + ඲ 𝑦 − 𝑥 − න−1 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐶 = −
1
𝑥
− 𝑦𝑥 +
𝑦2
2
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 4. Resolver
𝑦
𝑥
𝑑𝑥 + 𝑦3
− 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑦 = 0
Solución. :
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Resolver 3𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 3𝑥2𝑦 + 6𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑥2 − 𝑥3 𝑑𝑦 = 0
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Resolver 3𝑥2
+ 2𝑦 sin(2𝑥) 𝑑𝑥 + 2 sin2
𝑥 + 3𝑦2
𝑑𝑦 = 0
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
3. Resolver 4𝑦𝑑𝑥 +
1
2
𝑥𝑦𝑑𝑦 = 𝑥𝑦2
𝑑𝑦
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
Resolver la ecuación 2𝑦. 𝑦′
+ 𝑥2
+ 𝑦2
= −2𝑥
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Saber identificar la
exactitud de una
ecuación
diferencial.
2. Recordar las
derivadas e
integrales parciales.
Gracias por tu
participación
Hemos visto la
importancia en la vida
cotidiana de las
ecuaciones
diferenciales.
Ésta sesión
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los
ejercicios indicados
y realiza la Tarea
de ésta sesión.
2. Consulta en el
FORO tus dudas.
Datos/Observaciones
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  • 2. LOGRO DE LA SESIÓN: “Al finalizar la sesión el estudiante identifica y resuelve ecuaciones diferenciales exactas.”
  • 3. ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIONES EDO exacta EDO no exacta
  • 4. ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIONES ¿Cuál es su utilidad? Las Ecuaciones diferenciales son muy útiles en ciencias como la Física, Química, Economía, Biología y más. ✓ Aplicaciones en Análisis de poblaciones. ✓ En elementos finitos para ingeniería. Entre otras.
  • 5. ¿Qué es una ecuación diferencial exacta? Decimos que la ecuación diferencial 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 es exacta, si existe 𝑓(𝑥, 𝑦) de modo que 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑀 𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑁 ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
  • 6. 1CRITERIO DE EXACTITUD La ecuación diferencial 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 es exacta si, y solo si 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
  • 7. 1.2 SOLUCIÓN DE UNA ED EXACTA 1. Verificamos que la ED sea exacta, entonces existe 𝑓 𝑥, 𝑦 tal que 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑀, 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑁 2. Integramos esta igualdad con respecto a 𝑥(con respecto a 𝑦) y se obtiene 𝑓 𝑥, 𝑦 = ∫ 𝑀𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 , 𝑓 𝑥, 𝑦 = ∫ 𝑁𝑑𝑦 + ℎ 𝑥 3. Derivamos 𝑓 respecto a 𝑦 (respecto a 𝑥) y obtenemos 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑁, 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑀 de donde podemos despejar 𝑔′ 𝑦 ó ℎ′ 𝑥 . 4. Integramos 𝑔′ 𝑦 ó ℎ′ 𝑥 para hallar 𝑔(𝑦)(ó ℎ(𝑥)). Obteniéndose la regla 𝐶 = ∫ 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + ∫ 𝑁 𝑥, 𝑦 − ∫ 𝜕𝑀 𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
  • 8. Ejemplo1. Resolver 3𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 + 𝑥2 + 6𝑥𝑦 𝑦′ = 0 Solución. : 3𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥2 + 6𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0 Comprobando la exactitud 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 2𝑥 + 6𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Luego 𝐶 = න3𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 𝑑𝑥 + ඲ 𝑥2 + 6𝑥𝑦 − න2𝑥 + 6𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐶 = 𝑥3 + 𝑥2 𝑦 + 3𝑥𝑦2 + න 𝑥2 + 6𝑥𝑦 − 𝑥2 + 6𝑥𝑦 𝑑𝑦 Así la solución es 𝐶 = 𝑥3 + 𝑥2 𝑦 + 3𝑥𝑦2 ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
  • 9. Ejemplo 2. Resolver 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑥 + sin 𝑥 + cos 𝑦 𝑑𝑦 = 0; 𝑦 0 = 𝜋 2 Solución. :
  • 10. 2 FACTOR INTEGRANTE: Si la ED no es exacta. CASO 1. Si 1 𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 𝑢 𝑥 es una función que depende exclusivamente de 𝑥, entonces el factor integrante es 𝜇 𝑥, 𝑦 = 𝑒∫ 𝑢 𝑥 𝑑𝑥. CASO 2. Si - 1 𝑀 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 𝑣 𝑦 es una función que depende exclusivamente de 𝑦, entonces el factor integrante es 𝜇 𝑥, 𝑦 = 𝑒∫ 𝑣(𝑦)𝑑𝑦 . NOTA: Existe un caso donde el factor integrante depende de ambas variables, pero ese tema no se desarrollará en esta sesión. ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
  • 11. Ejemplo 3. Resolver 1 − 𝑥2 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0 Solución. : 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = −𝑥2 ; 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 𝜇 𝑥 = 𝑒∫ 𝑢 𝑥 𝑢 𝑥 = 1 𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝑢 𝑥 = 1 𝑥2(𝑦 − 𝑥) 2𝑥2 − 2𝑥𝑦 = 1 𝑥2 𝑦 − 𝑥 2𝑥 𝑥 − 𝑦 = − 2 𝑥 Así 𝜇 𝑥 = 𝑒−2 𝑙𝑛 𝑥 = 1 𝑥2, ahora multiplicamos a la ED por el factor integrante, resultando 1 − 𝑥2 𝑦 𝑥2 𝑑𝑦 + 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = −1 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝐶 = න𝑥−2 − 𝑦 𝑑𝑥 + ඲ 𝑦 − 𝑥 − න−1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐶 = − 1 𝑥 − 𝑦𝑥 + 𝑦2 2 ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
  • 12. Ejemplo 4. Resolver 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦3 − 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑦 = 0 Solución. : ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
  • 13. EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Resolver 3𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 3𝑥2𝑦 + 6𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑥2 − 𝑥3 𝑑𝑦 = 0 ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN
  • 14. EJERCICIOS EXPLICATIVOS 2. Resolver 3𝑥2 + 2𝑦 sin(2𝑥) 𝑑𝑥 + 2 sin2 𝑥 + 3𝑦2 𝑑𝑦 = 0 ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN
  • 15. EJERCICIOS EXPLICATIVOS 3. Resolver 4𝑦𝑑𝑥 + 1 2 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 𝑥𝑦2 𝑑𝑦 ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN
  • 16. LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
  • 17. Resolver la ecuación 2𝑦. 𝑦′ + 𝑥2 + 𝑦2 = −2𝑥 EJERCICIO RETO
  • 18. Datos/Observaciones 3 FINALMENTE IMPORTANTE 1. Saber identificar la exactitud de una ecuación diferencial. 2. Recordar las derivadas e integrales parciales. Gracias por tu participación Hemos visto la importancia en la vida cotidiana de las ecuaciones diferenciales. Ésta sesión quedará grabada PARA TI 1. Revisa los ejercicios indicados y realiza la Tarea de ésta sesión. 2. Consulta en el FORO tus dudas.