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 ANÁLISIS DIMENSIONAL
                                  Introducción
1. Magnitudes físicas.
   Las propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenómenos naturales y que se pueden
   medir reciben el nombre de Magnitudes Físicas. Así por ejemplo tenemos la longitud, la
   masa, la velocidad, la temperatura, etc. Mientras que otras propiedades como el color, el
   sabor, la bondad, la belleza no son magnitudes físicas, ya que no se pueden medir.
   Entre las magnitudes físicas hay algunas que son independientes de las demás y se
   denominan "Magnitudes fundamentales" como la masa, la longitud, el tiempo, etc. Así como
   también existen magnitudes físicas, que dependen de las fundamentales para ser expresadas,
   las cuales se denominan "Magnitudes derivadas”, este es el caso de la velocidad, que se
   define mediante una relación entre la longitud y el tiempo.

2. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
   Es un conjunto de unidades de magnitudes fundamentales a partir del cual se debe expresar
   cualquier unidad de una magnitud derivada. Este fue un acuerdo común tomado por la mayor
   parte del mundo el 14 de octubre de 1960 en Francia.


            Nombre             Dimensión Unidad Básica Símbolo

            Longitud              L            metro           m

              Masa                M          kilogramo        kg

            Tiempo                T           segundo          s
          Temperatura
         termodinámica            Θ            kelvin          K

     Intensidad de corriente
                                   I           ampere          A
            eléctrica
                                              candela
      Intensidad luminosa         J                           cd
     Cantidad de sustancia
                                  N             mol           mol

3. FÓRMULA DIMENSIONAL
   La fórmula dimensional de una magnitud dada, es una fórmula que muestra que operaciones
   de multiplicación o división hay que efectuar con las magnitudes físicas fundamentales para
   obtener la magnitud derivada.

   Notación: sea X la magnitud física, entonces:

    [ X ] : se lee fórmula dimensional de la magnitud física X. Ejemplos:

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                       L
   Velocidad : [V ] =     = L.T −1
                       T
                         L.T −1
    Aceleracion : [ A] =        = L.T −2
                           T

4. DIMENSIÓN
   La dimensión indica las veces en que varía la magnitud física fundamental en una
   magnitud derivada.


    [ X ] = La .M b .T c .Θd .I e .J f .N g
   La fórmula dimensional está dada en función de siete magnitudes fundamentales. Así mismo
   los exponentes a, b, c, d, e, f y g se llaman dimensiones.

5. MAGNITUDES FÍSICAS DERIVADAS
   Son aquellas magnitudes que se expresan en función de las magnitudes físicas
   fundamentales.

   Desplazamiento lineal                    L
   Desplazamiento angular                   1
   Frecuencia                               T–1
   Energía cinética                         M.L2.T–2
   Energía potencial gravitatoria           M.L2.T–2
   Cantidad de carga eléctrica              I.T
   Peso específico                          M.L–2.T–2

6. REGLAS DIMENSIONALES
   a) Si el valor numérico de la magnitud X es igual al producto (cociente) de los valores
   numéricos de las magnitudes A y B, entonces la dimensión de X será igual al producto
   (cociente) de las dimensiones A y B

   Si: X =A.B         [X] = [A] . [B]
   Si: X = A         [X] = [A] . [B]–1
            B


   b) Si el valor numérico de la magnitud X es igual a la potencia “m” del valor numérico de la
   magnitud A, entonces la dimensión de X es igual a la potencia n/m de la dimensión de A.

   Si: X = An/m     [X] = [A]n/m
   Si: X = An       [X] = [A]n ; Si: X = A1/m      [X] =[A]1/m

   c) Si el valor numérico de la magnitud X es un coeficiente constante (número; ángulo en
   radianes; función trigonométrica, función logarítmica;......etc.) que es independiente de la
   dimensión de las magnitudes (unidades) fundamentales, entonces la dimensión de X es nula,
   y X es denominada “adimensional”.

   Si: X = número       [X] = 1
   Si: X = Senα         [X] = 1


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     Si: X = LogN         [X] = 1
     Si: X = constante numérica (adimensional)

7. ECUACIONES DIMENSIONALES
   Son aquellas ecuaciones que, expresadas en términos de magnitudes físicas, se verifican para
   un determinado conjunto de magnitudes o dimensiones.

     [ potencia ] = [ A][ fuerza ] = [ B][energia ]
     Donde al resolver la ecuación obtenemos:
     [ A] = L.T −1     y       [ B ] = T −1
8. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL
   En toda fórmula física que expresa la relación entre las diferentes magnitudes físicas, las
   dimensiones en el primer miembro y segundo miembro, deben ser iguales.
   Sea la fórmula física:
   A = B2            [A] = [B2]

     En general, todos los términos de una fórmula física son dimensionalmente iguales
     A = B2 + C       [A] = [B2] = [C]

     EJEMPLO 01: La posición de una partícula sobre el eje X está dada por:
                         1
     x = k1 + k2T + k3T 2
                         2
                                                   k 
     donde, x: distancia y T: tiempo. Determinar:  3 
                                                   k1.k2 
     Resolución
     Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional:

     [ x ] = [ k ]1 = [ k2T ] =  k3T 2  = L
                                  1
                                2
                                       
                                        
     Despejando tenemos:
     [ k1 ] = L
     [ k2T ] = L ⇒ [ k2 ] = L.T −1
     La fórmula dimensión de un número es igual a la unidad.
     1     2
      2 k3T  = L ⇒ [ k3 ] = L.T
                                    −2

            
                   k         L.T −2
     Finalmente:  3  =              −1
                                         = L−1.T −1
                   k1.k2  ( L).LT


9.   FÓRMULAS EMPÍRICAS
     Son aquellas formulas físicas que se obtienen a partir de datos obtenidos en el laboratorio o
     de la vida cotidiana.

     EJEMPLO 01: El periodo (T) de un péndulo simple depende de la longitud de la cuerda (l)
     y de la aceleración de la gravedad (g). La constante de proporción es K = 2π


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   Resolución
   Escribimos el periodo T en función de la longitud de la cuerda y de la aceleración de la
   gravedad, donde x e y son las dimensiones que queremos determinar:
    T = K .l x .g y …… (1)
   Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos:
   [T ] = [ K ][l ] [ g ]
                   x      y


   Reemplazando la fórmula dimensional:
   T = 1.( L) x .( LT −2 ) y
   A bases iguales le corresponden exponentes iguales:
    L0T 1 = Lx .Ly .T −2 y
    L0T 1 = Lx + y .T −2 y
   L: 0 = x + y            …….. (2)
   T: 1 = -2y        ……….. (3)
   Resolviendo las ecuaciones (2) y (3):
   x = ½ e y = -1/2
                                                               l
   Reemplazando en la ecuación (1) tenemos que:      T =K
                                                               g

10. FINES Y OBJETIVOS DEL ANÁLISIS ADIMENSIONAL
    a) Expresar las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales.
    b) Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas mediante el principio de homogeneidad
    dimensional.
    c) Determinar fórmulas físicas empíricas a partir de datos experimentales en el laboratorio.

11. PROBLEMAS RESUELTOS

   Problema 01: La posición de una partícula sobre el eje X está dada por:
                       1
   x = k1 + k2T + k3T 2
                       2
                                                 k 
   donde, x: distancia y T: tiempo. Determinar:  3 
                                                 k1.k2 
   Resolución
   Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional:

   [ x ] = [ k ]1 = [ k2T ] =  k3T 2  = L
                                1
                              2
                                     
                                      
   Despejando tenemos:
   [ k1 ] = L
    [ k2T ] = L⇒ [ k2 ] = L.T −1
   La fórmula dimensión de un número es igual a la unidad.
   1     2
    2 k3T  = L ⇒ [ k3 ] = L.T
                                  −2

          
                 k         L.T −2
   Finalmente:  3  =               = L−1.T −1
                 k1.k2  ( L).LT −1

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   Problema 02: La siguiente es una fórmula física correcta: Q = K . A. 2 gh donde; Q: caudal
   (m3/s), A: área; g: aceleración de la gravedad, h: altura. Determinar la fórmula dimensional
   de K.

   Resolución
   Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional:
   [Q ] = [ K ].[ A]. [ 2][ g ][ h]
   L3 .T −1 = [ K ] .L2 . 1.LT −2 .L
   L3 .T −1 = [ K ] .L2 .( L.T −1 )
   Despejando: [ K ] = 1
   Respuesta: K representa una cantidad sin dimensiones, es decir es un número.

   Problema 03: En la ecuación AB + BC + AC = P2, donde P representa a la presión, la
   fórmula dimensional del producto A.B.C es:

   Resolución
   Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional:
   [ AB] = [ BC] = [ AC] = P 2 
                             
   Despejando tenemos que:
   [ AB] = P 2  …(1)
            
   [ BC] = P 2 
                        …(2)

   [ AC] =  P 2 
                        …(3)
   Multiplicando miembro a miembro:
    A 2 .B2 .C2  =  P 6 
                  
   Sacando la raíz cuadrada a ambos miembros:
   [ A.B.C] =  P3  = ( M .L−1.T 2 )
                                        3
               
   Finalmente:
   [ A.B.C] =M 3 .L−3 .T 6
   Problema 04: Determine la fórmula dimensional de A en la siguiente fórmula física:
       F .T
   A=       − B ; donde, F: fuerza; T: tiempo; M: masa; V: velocidad
       M .V

   Resolución
   Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional:
           F .T  
   [ A] =         = B
           M .V  
                        
   Comparando los dos primeros términos:
                             [ F ].[T ]
   [ A] = 
            F .T 
           M .V   ⇒ [ A] =
                           [ M ].[V ]
   Reemplazando:

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          M .L.T −2 .(T ) M .L.T −1
   [ A] =                =           =1
          ( M ).L.T −1     M .L.T −1
   Respuesta: Vemos que A representa una cantidad sin dimensiones, es decir es un número.

                                       t3 b + h
   Problema 05: Si la ecuación V =       +       es dimensionalmente homogénea, en donde V
                                       a     c
                                                                           a.c
   = volumen, t = tiempo y h = altura, determine la fórmula dimensional de     .
                                                                            b

   Resolución
   Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional:
           t3   b + h 
   [ V] =   =         
          a   c 

                  b + h 
   Analizando:            ⇒ [ b + h ] = [b ] = [ h ] = L …(1)
                   c   
            t3           T3
   [ V ] =   ⇒ L3 =                   Despejando tenemos: [ a ] = L−3 .T 3   …(2)
           a             [a]

   Analizando:
           b + h
   [V] = 
                      L
          c  ⇒ L = [c ]
                  3
                                       Despejando tenemos: [ c ] = L−2         …(3)
               

                                            a.c  [ a ] .[ c ] ( L .T ).L
                                                                   −3  3  −2
   Reemplazando (1), (2) y (3) calculamos:   =               =
                                            b       [b]             L
                              −3     −2
                    a.c  ( L .T ).L
                                  3

   Finalmente:      b =               = L−6 .T 3
                               L

   Problema 06: El periodo (T) de un péndulo simple depende de la longitud de la cuerda (l) y
   de la aceleración de la gravedad (g).

   Resolución
   Escribimos el periodo T en función de la longitud de la cuerda y de la aceleración de la
   gravedad, donde x e y son las dimensiones que queremos determinar:
   T = K .l x .g y …… (1)
   Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos:
   [T ] = [ K ][l ] [ g ]
                   x        y


   Reemplazando la fórmula dimensional:
   T = 1.( L) x .( LT −2 ) y
   A bases iguales le corresponden exponentes iguales:



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    L0T 1 = Lx .Ly .T −2 y
    L0T 1 = Lx + y .T −2 y
   L: 0 = x + y            …….. (2)
   T: 1 = -2y        ……….. (3)
   Resolviendo las ecuaciones (2) y (3):
   x = ½ e y = -1/2
   Reemplazando en la ecuación (1) tenemos que:
               l
   T =K
               g


   Problema 07: La velocidad V de propagación de una onda mecánica, en una cuerda tensa,
   depende del módulo de la tensión T en la cuerda y de la densidad lineal de masa δ (masa/
   longitud). Determine la fórmula empírica para determinar la velocidad de propagación.




   Resolución
   Escribimos la velocidad en función de la tensión (fuerza) T y la densidad lineal δ:

   V = K .T .δ   x    y
                                 … (*)
   donde K representa una constante numérica, donde x e y son las dimensiones que queremos
   determinar.
           masa  M
   [δ ] =            = L = M .L
                                 −1

           longitud 
   Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos:
   [V ] = [ K ].[T ] .[δ ]
                       x     y



   Reemplazando la fórmula dimensional: L.T −1 = 1. ( M .L.T −2 ) . ( M .L−1 )
                                                                         x          y



   A bases iguales le corresponden exponentes iguales: M 0 .L.T −1 = ( M x .Lx .T −2 x ) . ( M y .L−1 y )

    M 0 .L1.T −1 = M x + y .Lx − y .T −2 x
   Base M: 0 = x + y              …(1)
   Base L: 1 = x – y              …(2)
   Base T: -1 = -2x ⇒ x = 2 …(3)
                              1


   Reemplazando en (1): 0 = x + y ⇒ 0 = 1 + y ⇒ y = − 1
                                           2          2
   Reemplazando en la ecuación inicial (*):
   V = K .T 1/ 2 .δ −1/ 2
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                                              T
                                 V = K.
   Finalmente obtenemos:
                                              δ
   Respuesta: La rapidez de la onda es directamente proporcional a la raíz cuadrada del módulo
   de la tensión en la cuerda.

   Problema 08: La velocidad V el sonido en un gas depende de la presión P y de la densidad
   D del mismo gas. Determine la fórmula física para determinar la velocidad del sonido en
   cualquier gas.

   Resolución
   Escribimos la velocidad V en función de la presión y de la densidad.
   V = P x .D y          …. (*)
   Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos:
   [V ] = [ P ] .[ D ]
               x       y



                                                  L.T −1 = ( M .L−1.T −2 ) . ( M .L3 )
                                                                          x              y
   Reemplazando la fórmula dimensional:
   A bases iguales le corresponden exponentes iguales:
    L.T −1 = ( M x .L− x .T −2 x ) . ( M y .L3 y )
    M 0 .L1.T −1 = M x + y .L− x +3 y .T −2 x
   Base M: 0 = x + y                     … (1)
   Base L: 1 = -x +3 y                   … (2)
   Base T: -1 = -2x ⇒ x =           1
                                    2    … (3)
   Reemplazando en (1): 0 = x + y ⇒ 0 = 1 + y ⇒ y = − 1
                                           2          2
   Reemplazando en la ecuación inicial (*):
   V = P1/ 2 .V −1/ 2
              P
   V=
              D
   Respuesta: La rapidez     del sonido es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la
   presión.

                                                                                             m
   Problema 09: ¿Cuál es la lectura correcta de la siguiente cantidad de física 1 kg .         ?
                                                                                             s
   A) kilogramo por metro sobre segundo.
   B) kilogramo por metro por segundo.
   C) kilogramo metro por segundo.
   D) kilogramo metro segundo.
   E) Ninguna anterior

   Resolución
   Norma del sistema internacional de unidades:
   Sea A y B unidad de magnitudes físicas.
   A.B: se lee, “AB”
    A
      : se lee, “A por B”
    B
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       m
   1 kg ., se lee, kilogramo metro por segundo.
       s
   Respuesta: C

                                                                                                         A
   Problema 10: Si las siguientes expresiones son dimensionalmente homogéneas P =                          +B ;
                                                                                                         x
                                                                        B
   Q = A. y + B , determine las fórmula dimensional de                    . Considere P: presión, A: trabajo
                                                                        y
   Resolución
   Analicemos a la fórmula: Q = A. y + B
   Principio de homogeneidad dimensional: [Q ] = [ A. y ] = [ B ]
            B
   [ A.] =     = M .L .T
                       2   −2

             y
                                                      B
   Respuesta: La      fórmula dimensional de            es M .L2 .T −2
                                                      y

   Problema 11: La ecuación E = E0 .Sen (α .x + β .t ) es dimensionalmente correcta. E:
                                                 F
   intensidad del campo eléctrico. E =             , donde F: es fuerza eléctrica y q: es la cantidad de
                                                 q
                                                                                                         β
   carga eléctrica, “x” la posición y “t” el tiempo. Determine la formula dimensional de                       .
                                                                                                         E0
   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ β .t ] = [ angulo] = 1
   [ β ] = T −1
           [ F ] = M .L.T −2 = M .L.T −3 .I −1
   [E] =
           [q]       I .T
                β        T −1
   Remplazando:   =                  = M −1 .L−1 .T 2 .I
                 E0  M .L.T −3 .I −1

   Respuesta: La fórmula dimensional             es M −1 .L−1 .T 2 .I

   Problema 12: La deformación lineal (en metros) de una viga de largo L, de área de la
   sección recta A y sometida a una fuerza de tracción F se expresa mediante la ecuación
       F .L
   ∂=       . Determine la fórmula dimensional de E.
       E. A

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
          [ F ] .[ L ]
   [∂ ] =
          [ E ] . [ A]
   Despejando tenemos:
         [ F ].[ L ] = ( M .L.T −2 ) ( L ) = M .L−1 .T −2
   [E] =
         [ ∂ ] . [ A]     ( L ) ( L2 )
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   Respuesta: La fórmula dimensional            es M .L−1 .T −2

   Problema 13: Cierto fenómeno físico puede ser escrito por la siguiente ecuación empírica
                   k
   P = m.v 2  a.t −  siendo m: masa, a: aceleración, t: tiempo, S: área. Determine la fórmula
                   S
   dimensional de “k”.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
            k                  k 
    a.t −  donde [ a.t ] =   ⇒ [ k ] = [ a.t.S ]
            S                  S 
   [ k ] = [ a.t.S ] = ( L.T ) (T ) ( L2 ) = L3 .T −1
                            −2




   Respuesta: La fórmula dimensional            es L3 .T −1

   Problema 14: La ecuación que describe el flujo de un fluido ideal está dada por la ecuación:
               ρ .B 2
   ρ .g . A +         + C = D , en donde D: energía por unidad de volumen, ρ : densidad, g:
                 2
                                                                        A
   aceleración de la gravedad. Determine la fórmula dimensional de .
                                                                        B
   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
                                    −2
             energia  M .L .T
                                 2

   [ D] =               =       3
                                       = M .L−1 .T −2
             volumen          L

                 ρ .B 2 
   [ ρ .g . A] =         = [ D]
                 2 
   Despejando tenemos que:
           D             M .L−1 .T −2
   [ A] =   =                            =L
           ρ .g  ( M .L )( L.T )
                             −3         −2


   Despejando tenemos que:
                                        0 ,5
     B2   D                   D
     =  ⇒              [ B] =  
     2  ρ                     ρ
                 0 ,5
           D       M .L−1 .T −2 
    [ B] =   =                   = ( L .T ) = L.T
                                          2  −2 0 , 5 −1

           ρ
                              −3
                     M .L         
   [ B ] = L.T −1


   Finalmente tenemos que:
    A        L
    B  = L.T −1 = T
    
                                                  A
   Respuesta: La fórmula dimensional de   es T.
                                                 B


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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)
   Problema 15: La energía radiante E que emite un cuerpo caliente de área A que se encuentra
   a una temperatura absoluta T en un intervalo de tiempo ∆t se determina con la ecuación
   E = ε .σ . A.T 4 .∆t , donde ε es una constante adimensional. ¿Cuál es la expresión dimensional
   de σ ?

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ E ] = [ε ].[σ ].[ A]. T 4  .[ ∆t ]
                            
   M .L2 .T −2 = 1.[σ ] .L2 .Θ4 .T
   Despejando tenemos que:
          M .L2 .T −2
   [σ ] = 2 4 = M .Θ−4 .T −3
           L .Θ .T
          M .L2 .T −2
   [σ ] = 2 4 = M .Θ−4 .T −3
           L .Θ .T
   Respuesta: La expresión dimensional σ es M .T .Θ
                                                −3  −4



   Problema 16: La representación mediante símbolos de la unidad joule por kilogramo kelvin,
   es:
                        J            J              J                1
   A) J .kg .K     B)     .K     C) .kg        D)             E)
                       kg           K             kg .K          J .kg .K

   Resolución
   Norma del sistema internacional de unidades:
   Sea A y B unidad de magnitudes físicas.
   A.B: se lee, “AB”
     A
       : se lee, “A por B”
    B
                                 J
   joule por kilogramo kelvin:
                               kg .K
   Respuesta: D

   Problema 17: El desplazamiento ∆r de una partícula en trayectoria rectilínea con
   aceleración constante “a” está dada por ∆r = k .a m .t n , donde “t” es el tiempo, “k” constante
   adimensional. Encontrar los valores de m y n. Dar como respuesta (m + n).

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ ∆r ] = [ k ] .  a m  .  t n 
                       
    L.T 0 = 1. ( L.T −2 ) . (T ) = Lm .T n − 2 m
                         m      n


   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   L: m = 1 …(1)
   M: 0 = n − 2m , entonces n = 2m …(2)
   reemplazando (1) en (2): n = 2
   Respuesta: ( m + n ) = 3



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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)
   Problema 18: Experimentalmente se obtiene que la potencia (P) de descarga del chorro de
   agua sale de una tubería es directamente proporcional al densidad (D) del agua, a su
   velocidad (V) y al área de la sección transversal (A) de dicha tubería. Determine el exponente
   que afecta a la velocidad.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: P = K .D x .V y . A z
   donde K es constante adimensional.
   [ P ] = [ K ].[ D ] .[V ] .[ A]
                      x     y      z



    M .L2 .T −3 = 1. ( M .L−3 ) . ( L.T −1 ) . ( L2 )
                                    x             y         z



    M 1 .L2 .T −3 = 1. ( M x .L−3 x ) . ( Ly .T − y ) . ( L2 z )
    M 1 .L2 .T −3 = M x .Ly − 3 x + 2 z .T − y
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   M: x = 1
   T: y = 3
   L: 2 = y − 3 x + 2 z
    2 = 3 − 3 (1) + 2 z
    z =1
   Respuesta: El         exponente que afecta a la velocidad es y = 3

                                     t3 b − h                                     a.b
   Problema 19: En la expresión: V = −        determine la fórmula dimensional de     , si
                                     a    c                                        c
   V: volumen t; tiempo y H: altura.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional. La fórmula dimensional de a es:
          t3            t3  T 3
   [V ] =   ⇒ [ a ] =   = 3
          a             V  L
     [ a ] = T 3 .L−3
   La fórmula dimensional de b es:
    b−h
        ⇒ [b ] = [ h ] = L
     c
   La fórmula dimensional de c es:
            [b − h ]                     [h] = L
   [V ] =                 ⇒     [c] =
              [c]                        [V ] L3
    [c ] = L−2
   Reemplazando en:
     a.b  [ a ] .[b ] (T .L ) . ( L )
                          3 −3

     c  = [c] =
                          L−2
                                        =T3


                                                                   a.b
   Respuesta: La fórmula dimensional                      de           es T 3
                                                                    c

   Problema 20: La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por:

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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)

   P = k .R a .ω b .D c , donde K es un numero, R el radio de la hélice, ω es la rapidez angular, y D
                                          a.b
   es la densidad del aire. Determine
                                           c
   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ P ] = [ k ].[ R ] .[ω ] .[ D ]
                    a         b    c



   M .L2 .T −3 = 1. ( L ) . (T −1 ) . ( M .L−3 )
                          a         b            c



    M 1 .L2 .T −3 = M c .La − 3 c .T − b
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   M: 1 = c … (1)
   T: −3 = −b ⇒ b = 3 …(2)
   L: 2 = a − 3c ⇒ a = 2 + 3c
    ⇒ a = 5 …(3)
   Reemplazando en:
    a.b ( 5 ) . ( 3 )
         =            = 15
     c         (1)
                   a.b
   Respuesta:          = 15
                    c

   Problema 21: La ley de Isaac Newton de la gravitación universal se expresa mediante la
                     m.M
   relación: F = G. 2 , donde F: es la fuerza gravitacional, m y M son las masas y r es la
                       r
   distancia entre ellas. ¿Cuál es la expresión dimensional de G?

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
                  [ m ] .[ M ]
   [ F ] = [G ] .
                     [r ]
                           2



          [ F ]. r 2  ( M .L.T −2 )( L2 )
                  =
   [G ] =                                   = M −1 .L3 .T −2
          [ m ] .[ M ]       M .M

   Respuesta:      [G ] = M −1 .L3 .T −2
   Problema 22: Experimentalmente se ha determinado que la fuerza de sustentación que actúa
   sobre el ala de un avión depende del área S del ala, de la densidad D del aire y la velocidad V
   del avión. Determine la dimensión de la velocidad.

   Resolución
   La formula empírica es: F = k .S a .Db .V c , donde k es un número.
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   F = k .S a .Db .V c
   [ F ] = [ k ].[ S ] .[ D ] .[V ]
                    a         b    c



    M .L.T −2 = 1. ( L2 ) . ( M .L−3 ) . ( L.T −1 )
                          a            b              c




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    M 1 .L1 .T −2 = M b .L2 a − 3b + c .T − c
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   M: 1 = b
   T: −2 = −c ⇒ c = 2
   L: 1 = 2a − 3b + c ⇒ 1 = 2a − 3 (1) + 2
    ⇒ a =1
   Respuesta: La dimensión de la velocidad es 2.

   Problema 23: La fuerza resistiva sobre un glóbulo rojo (esférico) en la sangre depende del
   radio R, de la velocidad V y la viscosidad η . Experimentalmente se ha demostrado que si R
   = 2 µ m , V = 7.107 m y η = 3.10 −3 kg .m−1 .s −1 . La fuerza resistiva es F = 252π .10−16 N .
   Determine la fórmula empírica que permite determinar el valor de la fuerza resistiva.

   Resolución
   La formula empírica es: F = k .R a .V b .η c , donde k es un número.
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ F ] = [ k ].[ R ] .[V ] .[η ]
                      a     b     c



    M .L.T −2 = 1. ( L ) . ( L.T −1 ) . ( M .L−1 .T −1 )
                         a           b                     c



    M 1 .L1 .T −2 = M c .La +b −c .T − b −c
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   M: 1 = c
   T: −2 = −b − c ⇒ − 2 = −b − 1
   ⇒ b =1
   L: 1 = a + b − c ⇒ 1 = a + 1 − 1
   ⇒ a =1
   La fórmula empírica es:
    F = k .R.V .η
   Reemplazando los datos en la formula empírica:
    252π .10−16 = k . ( 2.10 −6 ) . ( 7.10−7 ) . ( 3.10−3 )
   Despejando:
    k = 6π
   Respuesta: La fórmula          empírica es F = 6π .R.V .η

   Problema 24: Determine la fórmula dimensional de C en la siguiente fórmula física:
       m.v S ec60°
   C=
          F .H
   donde,      m: masa;  v: velocidad; F: fuerza;    H: altura

   Resolución
   En el proceso el valor del exponente se respeta: Sec600 = 2
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
          [ m].[v ] = ( M ) . ( L.T −1 ) = 1
                   2                        2

   [C ] =
          [ F ].[ H ] ( M .L.T −2 ) . ( L )
   [C ] = 1
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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)
   Respuesta: C        es una cantidad adimensional.

   Problema 25: Determine la fórmula dimensional de A.B.C en la siguiente fórmula física:
                        C
   Sen30° = A + B.t +       donde, t : tiempo
                        t
   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
                                        0,5

   [ Sen30°] = [ A] = [ B.t ] =  
                                 C
                                t 
                                 
   La fórmula dimensional de A es:
   [ Sen30°] = [ A] ⇒ [ A] = 1
   La fórmula dimensional de B es:
   [ Sen30°] = [ B.t ] ⇒ [ B ] = T −1
   La fórmula dimensional de C es:
                            0,5
                   C 
   [ Sen30°] = 1 =              ⇒   [C ] = [t ] = T
                   t 
   Reemplazando en:
   [ A.B.C ] = [ A].[ B ].[C ] = (1) . (T −1 ) . (T ) = 1
   Respuesta: [ A.B.C ] = 1


   Problema 26: Determine la fórmula dimensional de H en la siguiente formula física:
       D.g .h
   H=
          P
   donde, D: densidad g: gravedad      h: altura   P: presión

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
          [ D ] .[ g ] . [ h ]
   [H ] =
                [ P]
            ( M .L ) . ( L.T ) . ( L ) = 1
                  −3         −2

   [H ]   =
                   M .L−1 .T −2

   Respuesta: H        es una cantidad adimensional

   Problema 27: La expresión dimensional del producto de la masa por la velocidad es igual a
   la expresión dimensional de:
   A) Energía multiplicada por el tiempo.     B) Potencia multiplicada por el tiempo.
   C) Densidad multiplicada por la potencia.  D) Fuerza multiplicada por la velocidad.
   E) Fuerza multiplicada por el tiempo.

   Resolución
   La masa por la velocidad es el módulo de la cantidad de movimiento o impulso.
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   El impulso de define como el producto de la fuerza por el tiempo.


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    [ Im pulso] = [ fuerza ].[tiempo]
   Respuesta: E

   Problema 28: Determine la fórmula dimensional de B, en la siguiente expresión que
                                    T .P.Cos53°
   dimensionalmente homogénea: B =              +C
                                                      δ
   donde:        T = trabajo;         P = presión;        δ =densidad

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
          [T ].[ P ].[Cos53°] = C
   [ B] =                      [ ]
                   [δ ]
          [T ].[ P ].[Cos53°] = ( M .L2 .T −2 ) . ( M .L−1.T −2 )
   [ B] =
                   [δ ]                     M .L−3
        M 2 .L1.T −4
   [ B] =       −3
                     = M .L4 .T −4
          M .L
   Respuesta: [ B ] = M .L .T
                          4    −4




   Problema 29: En la ecuación X = A.Sen( B.t + φ ) + C.t 2 + D
   es dimensionalmente homogénea, donde, X: distancia, t: tiempo.
                                                   A.C
   Determine la fórmula dimensional de
                                                   B.D
   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ X ] = [ A].[ Sen( B.t + φ )] = [C ].[t ] = [ D ]
                                             2


   La fórmula dimensional de A es:
   [ X ] = [ A].[ Sen( B.t + φ )] ⇒ [ A] = [ X ] = L
   La fórmula dimensional de B es:
   Sen( B.t + φ ) ⇒ [ B.t ] = [φ ] = [ angulo] = 1
   [ B.t ] = 1 ⇒ [ B ] = T −1
   La fórmula dimensional de C es:
                              [X ] L
   [ X ] = C.t 2  ⇒ [C ] = 2 = 2 = L.T −2
                            t  T
                               
   La fórmula dimensional de D es:
   [ X ] = [ D] = 1
   Reemplazando en:
    A.C  [ A] .[C ] ( L ) . ( L.T )
                                   −2
                                           −1
    B.D  = [ B ].[ D ] = T −1 . 1 = L .T
                                       2

                           ( )()
                   A.C         −1
                   B.D  = L .T
                             2
   Respuesta:
                       


   Problema 30: Si las ecuaciones mostradas son dimensionalmente correctas, determine la

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   fórmula dimensional de “X”:                A + B = C + D, donde A.B = 6 (kg.m)2   y
                                                     F
   2A + 3H = 4C + 5E + X.F                    donde    = 4m .
                                                     C
   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
    [ A] = [ B ] = [C ] = [ D ] = M .L
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ 2 A] = [ 3H ] = [ 4C ] = [ 5E ] = [ X .F ]
   Reduciendo tenemos que:
   [ A] = [ H ] = [C ] = [ E ] = [ X .F ]
                                             1  F 
   Analizado:    [ C ] = [ X .F ]    ⇒       X  = C  = L
                                               

   [X ] = 
             C    −1
               =L
            F 

   Respuesta:      [ X ] = L−1

   Problema 31: Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determine la
   fórmula dimensional de “X”: X = ω . A.Cos (ω .t + δ ) ,
   donde, A: longitud,       t : tiempo.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ω.t ] = [δ ] = [ angulo] = 1
   [ω.t ] = 1  ⇒ [ω ] = T −1
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ X ] = [ω ].[ A].[Cos(ω.t + δ )]
   [ X ] = (T −1 ) . ( L ) . (1) = L.T −1
   Respuesta: [ X ] = L.T
                                  −1




   Problema 32: En un experimento de física, un estudiante desea encontrar la velocidad del
   aire “V” que genera un ventilador mecánico, la cual depende de la fuerza “F” del aire, la
   potencia “P” desarrollada por la persona que acciona el ventilador y la fuerza de rozamiento
   “K”, encontrando la siguiente ecuación: V = α .F .P + B.K
                                                  α
   Determine la fórmula dimensional
                                                  B2
   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [V ] = [α .F .P ] = [ B.K ]
   La fórmula dimensional de α es:
             [V ] =             L.T −1
   [α ] =
          [ F ].[ P ] ( M .L.T −2 ) . ( M .L2 .T −3 )

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             L.T −1
   [α ] = 2 3 −5 = M −2 .L−2 .T 4
          M .L .T
   La fórmula dimensional de B es:
                            [V ] = L.T −1
   [V ] = [ B.K ] ⇒ [ B ] =
                            [ K ] M .L.T −2
    [ B ] = M −1.T
   Reemplazando en:
    α  M .L .T
            −2 −2   4

    B2  =           = L−2 .T 2
     ( M .T )
              −1  2




                   α        −2
                    B 2  = L .T
                                  2
   Respuesta:
                    


   Problema 33: En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea
                2π t 2π x 
   y = A ⋅ Sen      +      , donde “A” es la amplitud (en metros), “t” es el tiempo (en
                J     K 
                                                                                         y
   segundos) y “x” es la posición (en metros). Determine la fórmula dimensional de
                                                                                       J ⋅K
   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
                         2π t 2π x  
   [ y ] = [ A] ⋅  Sen  +
                                   
                        J     K   
   [ y ] = [ A] ⋅1 = L
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
    2π t   2π x 
    J  =  K  = [ angulo ] = 1
                

   La fórmula dimensional de J es:
    2π t 
    J  = 1 ⇒ [ J ] = [ 2π t ] = T
         

   La fórmula dimensional de K es:
    2π x 
    K  = 1 ⇒ [ K ] = [ 2π x ] = L
         
   Reemplazando en:
     y           [ y]            L            −1
     J ⋅ K  = [ J ] .[ K ] = (T ) . ( L ) = T
           

                    y       −1
   Respuesta:      J ⋅K  =T
                        


   Problema 34: Si N = 5 m2, S se mide en segundos, y A representa la aceleración, entonces
   la relación dimensionalmente correcta es:
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              N                                       N            N
   A) A =                   B) A = N.S      C) A =        D) A =        E) A = N .S 2
              S                                      S2            S2

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ N ] = [ area ] = L2
   [ S ] = [tiempo] = T
   [ A] = [ aceleracion] = L.T −2
   La relación de A con N y S es:
   A = N a .S b ….(1)
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ A] = [ N ] . [ S ]
                 a      b



   L.T −2 = ( L2 ) . (T )
                   a      b



    L1.T −2 = L2 a .T b
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   L: 1 = 2a ⇒ a = 1    2
   T: −2 = b ⇒ b = −2
   Reemplazando en (1): A = N a .S b = N 2 .S −2
                                                1




        N
   A= 2
       S
   Respuesta: C


   Problema 35: En la siguiente fórmula física: W = k .m.C x , determine el valor de “x”, donde:
   k: número W : trabajo, m : masa C : velocidad

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
    [W ] = [ k ].[ m].[C ]
                              x



    M .L2 .T −2 = 1. ( M ) . ( L.T −1 )
                                        x



    L2 .T −2 = Lx .T − x
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
    x=2
   Respuesta: el valor de x es 2.


                                                                                  d 
   Problema 36: Determine el valor de “x” en la siguiente fórmula física: T x = K  
                                                                                  a
   donde, d: distancia a: aceleración    T: tiempo       K: número

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
                 [d ]
   [T ] = [ K ].
       x

                 [a]
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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)
               L
   T x = ( 1) .     = T −2
             L.T −2
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
    x=2
   Respuesta: el valor de x es 2.


   Problema 37: Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determine la
                                                  uk.nv.i
                                                      .
                                                                
   fórmula dimensional de “n”:
                                            P = kE        + 2π  ,       donde
                                                               
   P: presión,              v: volumen, u: energía,         i: intensidad de corriente eléctrica

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
    uk.nv.i 
         .

    E  = [ 2π ] = 1
            
                  uk.nv.i
                       .
                            
   [ P ] = [ k ]  E + 2π 
                 
                           
                             
   [ P ] = [ k ] = M .L−1.T −2
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
    k .v 
    u.n.i  = [ exp onente] = 1
          
                               [ k ] .[ v ]
   [u.n.i ] = [ k.v ] ⇒ [ n] =
                               [ u ] .[ i ]
         [ k ].[ v ] = ( M .L−1.T −2 ) . ( L3 ) = I −1
   [n] =
         [u ].[i ] ( M .L2 .T −2 ) .( I )
   Respuesta: [ n ] = I
                           −1




   Problema 38: Se tiene la siguiente ecuación homogénea, donde E es la energía, “e” es un
   número y “a” es la longitud, si:
                  x              −x
    E = R.e + S .ea              a
                                      , determine la fórmula dimensional de
                                                                            R.x 2
                                                                             S
   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
                   x             −x 
   [ E ] = [ R ]. e a  = [ S ].  e a 
                                 
   [ E ] = [ R ] = [ S ] = M .L2 .T −2 …(1)
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:


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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)

   x  x
    a  =  − a  = [ exp onente] = 1
      
   [ x ] = [ a ] = L …(2)
   Reemplazando (1) y (2) en:
     R.x 2  [ R ] .[ x ]
                              2

            =             = [ x ] = L2
                                  2
    
     S         [S ]

                      R.x 2 
                      S =L
                               2
   Respuesta:
                            


   Problema 39: La altura máxima H que alcanza una partícula, depende de la rapidez de
   lanzamiento vertical V y de la aceleración de la gravedad, y tiene la siguiente forma:
        V x .g y
    H=           . Determine (x-y)
           x
   Resolución
   El exponente es siempre adimensional: [ x ] = [ exp onente] = 1
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
         [V ] .[ g ]
                x         y

   [H ]=
             [ x]

    L=
       ( L.T ) .( L.T )
              −1 x            −2 y


                     1
    L1.T 0 = Lx + y .T − x − 2 y
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   L: 1 = x + y
   T: 0 = − x − 2 y
   Resolviendo las ecuaciones tenemos:
    x = 2 ∧ y = −1
   Respuesta:        ( x − y) = 3
   Problema 40: La aceleración centrípeta “ ac ” de una partícula, depende de la velocidad
   tangencial V y del radio de curvatura R de la trayectoria. Determine la dimensión que afecta
   a R.

   Resolución
   La formula empírica es: ac = k .V .R , donde k es un número.
                                    a  b

   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ ac ] = [ k ].[V ] .[ R ]
                      a           b



   L.T −2 = 1. ( L.T −1 ) . ( L )
                          a       b



    L1.T −2 = La +b .T − a
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”


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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)
   L: 1 = a + b …(1)
   T: −2 = − a ⇒ a = 2 …(2)
   Reemplazando (2) en (1): b = −1

   Respuesta: la dimensión             de R es −1


   Problema 41: El tiempo transcurrido “t” de caída libre depende de la altura “h” que
   desciende y de la aceleración de la gravedad “g”. Sabiendo que: t = 2 .h a .g b , determine (a-
   b).

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [t ] =  2  .[ h ] .[ g ]
                      a      b
           
   T = (1) . ( L ) . ( L.T −2 )
                      a           b



    L.0 T 1 = La +b .T −2b
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   L: 0 = a + b …(1)
   T: 1 = − 2b ⇒ b = − 1 …(2)
                           2

   Reemplazando (2) en (1):            a=+1
                                          2

   Respuesta:         ( a + b ) = +1
   Problema 42: El periodo de oscilación J de un péndulo simple, depende de la longitud Q de
   la cuerda y de la aceleración de la gravedad W, y tiene la siguiente forma: J = 2π .Q a .W b .
   Determine la fórmula empírica para determinar el periodo de oscilación:
   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ J ] = [ 2π ].[Q ] .[W ]
                          a      b



   T = (1) . ( L ) . ( L.T −2 )
                   a            b



    L.0 T 1 = La +b .T −2b
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   L: 0 = a + b …(1)
   T: 1 = − 2b ⇒ b = − 1 …(2)
                           2

   Reemplazando (2) en (1): a = + 1
                                  2
                           −1
    J = 2π .Q 2 .W
                  1
                            2



                                  Q
   Respuesta:         J = 2π .
                                  W


   Problema 43: La fórmula que determina el módulo de la fuerza centrípeta F que
   experimenta una partícula, depende de la masa “m”, de la rapidez angular ω y del radio de
   curvatura de la trayectoria R. Determinar los exponentes que deben tener las tres variables
   físicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta.


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   Resolución
   La fórmula empírica es: F = m .ω .R …(1)
                                  a  b  c

   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ F ] = [ m] .[ω ] .[ R ]
                a         b       c



   M .L.T −2 = ( M ) .(T −1 ) .( L )
                      a      b       c



    M 1 .L1 .T −2 = M a .Lc .T − b
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   M: 1 = a
   L: 1 = c
   T: −2 = − b ⇒ b = 2
   Reemplazando en (1):
    F = m.ω 2 .R
   Respuesta:       a =1 ∧ b = 2 ∧ c = 1

   Problema 44: La velocidad critica V a la cual el flujo de un líquido a través de un tubo se
   convierte en turbulento, depende de la viscosidad η , de la densidad del fluido δ , del
   diámetro D del tubo, de la constante adimensional R. Determine la fórmula empírica para
   calcular la velocidad en función de η , δ , D y R. La fórmula dimensional de la viscosidad es:
    M .L−1 .T −1
   Resolución
   Fórmula empírica: V = R.η .δ .D …(1)
                               a  b  c

   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [V ] = [ R ].[η ] .[δ ] .[ D ]
                      a       b       c



   L.T −1 = (1) .( M .L−1 .T −1 ) .( M .L−3 ) .( L )
                                 a           b       c



    M 0 .L1 .T −1 = M a+b .L− a −3b+c .T − a
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   M: 0 = a + b
   T: −1 = − a ⇒ a = 1
    ⇒ b = −1
   L: 1 = − a − 3b + c
   1 = − (1) − 3 ( −1) + c
   ⇒ c = −1
   Reemplazando en (1):
   V = R.η 1 .δ −1 .D −1
                      R.η
   Respuesta: V =
                     δ .D

   Problema 45: La fuerza de rozamiento en el interior de un fluido sobre una esfera en
   movimiento de depende de la viscosidad del liquido (n), el radio de la esfera (r) y la rapidez
   de la esfera (v): F = n a .r b .v c . La fórmula dimensional de la viscosidad es: M .L−1.T −1 .

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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)

   Determinar ( a + b + c )

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ F ] = [ n ] .[ r ] .[ v ]
                a      b      c



    M .L.T −2 = ( M .L−1.T −1 ) . ( L ) . ( L.T −1 )
                                 a       b             c



    M 1.L1.T −2 = M a .L− a +b + c .T − a − c
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   M: 1 = a
   T: −2 = − a − c ⇒ − 2 = −1 − c
    ⇒ c = +1
   L: 1 = − a + b + c ⇒ 1 = −1 + b + 1
   ⇒ b = +1
   Reemplazando en: ( a + b + c )
   Respuesta:      (a + b + c) = 3
   Problema 46: La presión “P” que ejerce el flujo de agua sobre una pared vertical viene dad
   por la siguiente fórmula empírica: P = λ.Q x .d y . A z donde, Q: caudal (m3/s) d: densidad
   del agua, A: área de la placa, λ : constante adimensional. Determine: x + y + z

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ P ] = [ λ ] . [ Q ] . [ d ] . [ A]
                     x      y        z



   M .L−1.T −2 = (1) . ( L3 .T −1 ) . ( M .L−3 ) . ( L2 )
                                       x        y         z



    M 1.L−1.T −2 = M y .L3 x −3 y + 2 z .T − x
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   M: 1 = y
   T: −2 = − x ⇒ x = 2
   L: −1 = 3x − 3 y + 2 z ⇒ − 1 = 3 ( 2 ) − 3 (1) + 2 z
   ⇒ z = −2
   Reemplazando en: P = λ.Q x .d y . A z
    P = λ .Q 2 .d . A−2
   Respuesta:      ( x + y + z) =1
   Problema 47: La presión que un fluido ejerce sobre una pared, depende de la velocidad V
   del fluido, de su densidad D y tiene la siguiente forma: P = 2.V a .Db . Determinar la fórmula
   física correcta.

   Resolución.
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ P ] =  2  .[V ] .[ D ]
                      a      b
            
    M .L−1 .T −2 = (1) . ( L.T −1 ) . ( M .L−3 )
                                     a             b



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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)

    M 1 .L−1 .T −2 = M b .La − 3b .T − a
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   M: 1 = b
   T: −2 = − a ⇒ a = 2
   Reemplazando en: P = 2.V a .Db
   Respuesta: P = 2 .V .D
                      2




   Problema 48: La energía por unidad de longitud (ψ ) de una cuerda vibrante, depende de un
   coeficiente 2π 2 , de la masa por unidad de longitud ( δ ), de la frecuencia ( f ) y de la
   amplitud del movimiento( A ). Determinar los exponentes que deben tener las tres variables
   físicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta.

   Resolución
   La fórmula empírica es: ψ = 2π .δ a . f b . Ac
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ψ ] = [ 2π ].[δ ] .[ f ] .[ A]
                        a         b       c



    M .L2 .T −2
                                      a
                        M 
                = (1) .   . (T −1 ) . ( L )
                                     b        c

        L                L 
    M 1 .L1 .T −2 = ( M .L−1 ) . (T −1 ) . ( L )
                                  a           b    c



    M 1 .L1 .T −2 = M a .L− a + c .T − b
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   M: 1 = a
   T: −2 = − b ⇒ b = 2
   L: 1 = − a + c ⇒ 1 = −1 + c
   ⇒ c=2
   La fórmula empírica es:ψ = 2π .δ . f 2 . A2

   Respuesta:        a =1 ∧ b = 2 ∧ c = 2

   Problema 49: La cantidad de calor Q que disipa un conductor cuando por el circula una
   corriente eléctrica, depende de la intensidad de corriente eléctrica I, del valor de la
   resistencia R y del intervalo de tiempo transcurrido “t”. Determinar los exponentes que
   deben tener las tres variables físicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta.
   [ R ] = M 1.L2 .T −3 .I −2
   Resolución
   La fórmula empírica es: Q = I a .R b .t c
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
    [ Q ] = [ I ] .[ R ] . [ t ]
                 a      b     c



    M .L2 .T −2 = ( I ) . ( M 1 .L2 .T −3 .I −2 ) . (T )
                        a                        b       c



    M 1 .L2 .T −2 .I 0 = M b .L2b .T −3b + c .I a − 2b
   ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales”
   M: 1 = b
   I: 0 = a − 2b ⇒ a = 2
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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)
   T: −2 = − 3b + c ⇒ c = 1
   La fórmula empírica es: Q = I 2 .R.t

   Respuesta:     a = 2 ∧ b =1 ∧ c =1

   Problema 50: Conociendo la fórmula física para determinar la cantidad de calor “Q” que
   gana o pierde un cuerpo: Q = m.Ce.∆T , donde “m” es la masa, Ce representa el calor
   especifico y ∆T es el cambio de la temperatura. Determine la fórmula dimensional del calor
   específico.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:

   Ce =
          Q
                ⇒ [Ce] =
                               [Q ]
        m.∆T                [ m].[ ∆T ]
              M .L2 .T −2
     [Ce] =                = L2 .T −2 .Θ −1
              ( M ) .( Θ )
   Respuesta:     [Ce] = L2 .T −2 .Θ−1

                                                                               q
   Problema 51: La intensidad de corriente eléctrica “i” se define como: i =      , donde “q” es
                                                                              ∆t
   la cantidad de carga eléctrica que atraviesa la sección recta de un conductor en un intervalo
   de tiempo ∆t . Determine la fórmula dimensional de la carga eléctrica.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   q = i.∆t ⇒ [ q ] = [i ] .[ ∆t ]
   Respuesta:     [ q ] = I .T
   Problema 52: La diferencia de potencial ∆V se define como la cantidad de trabajo W hecho
                                                                                   W
   por el agente externo por cada unidad de cantidad de carga eléctrica q . Si ∆V = ,
                                                                                   q
   determine la fórmula dimensional del potencial eléctrico.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
            [W ] = M .L2 .T −2 = M .L2 .T −3 .I −1
   [ ∆V ] =
             [q]      I .T
   Respuesta:     [ ∆V ] = M .L2 .T −3 .I −1
   Problema 53: La diferencia de potencial ∆V entre los extremos de una resistencia R es
   directamente proporcional a la intensidad de corriente eléctrica i que la atraviesa. Si
   ∆V = i.R , determine la fórmula dimensional de la resistencia eléctrica.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:

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          [ ∆V ] = M .L2 .T −3 .I −1 = M .L2 .T −3 .I −2
   [ R] =
            [i ]          I
   Respuesta: [ R ] = M .L .T .I
                             2    −3 −2




                                                                                              Q
   Problema 54: La capacidad eléctrica “C” de un cuerpo conductor se define como: C =
                                                                                              ∆V
   donde Q es la cantidad de carga que recibe el cuerpo y ∆V es el cambio de potencial
   eléctrico. Determine la fórmula dimensional de la capacidad eléctrica.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
           [Q ] =     I .T
   [C ] =                       = M −1 .L−2 .T 4 .I 2
          [ ∆V ] M .L .T .I
                     2    −3 −1




   Respuesta: [C ] = M −1 .L−2 .T 4 .I 2

   Problema 55: La fuerza F que actúa sobre un alambre recto de largo L, por el cual circula
   una corriente eléctrica i, dentro de un campo magnético de intensidad B es: F = i.L.B
   Determine la fórmula dimensional de la intensidad del campo magnético.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:

   B=
        F
            ⇒ [ B] =
                        [F ]
       i.L            [i ] .[ L ]
        M .L.T −2
   [ B] =          = M .T −2 .I −1
           I .L
   Respuesta: [ B ] = M .T .I
                           −2 −1




   Problema 56: El flujo magnético φ se define como el producto de la intensidad del campo
   magnético B, por el área A y por el coseno del ángulo. φ = B. A.Cosθ
   Determine la fórmula dimensional del flujo magnético.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [φ ] = [ B ].[ A].[Cosθ ]
   [φ ] = ( M .T −2 .I −1 ) . ( L2 ) . (1)
   Respuesta: [φ ] = M .L .T .I
                                   2    −2 −1




   Problema 57: Si la longitud final de una barra al dilatarse está dada por la fórmula:
   L f = L0 (1 + α .∆T ) donde L0 es la longitud inicial de la barra, α representa el coeficiente de
   dilatación lineal y ∆T la variación de la temperatura. Determine la fórmula dimensional del
   coeficiente de dilatación lineal.

   Resolución

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   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [1] = [α .∆T ] = [ numero] = 1
   [α ].[ ∆T ] = 1 ⇒ [α ].Θ = 1
   Respuesta: [α ] = Θ
                       −1




   Problema 58: El incremento de la entropía de un gas se calcula con la siguiente fórmula:
         ∆Q
    ∆S =      donde ∆Q es la cantidad de calor absorbido por el gas a la temperatura absoluta
          T
   T. Determine la fórmula dimensional de la entropía.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
            [ ∆Q ] ⇒ ∆S = M .L2 .T −2
   [ ∆S ] =             [ ]
              [T ]                Θ
   Respuesta:          [ ∆S ] = M .L2 .T −2 .Θ−1
   Problema 59: La energía cinética promedio de una molécula monoatómica de un gas se
                                 3
   determina con la fórmula: E = K .T donde K representa a la constante de Boltzmann y T la
                                 2
   temperatura absoluta. Determine la fórmula dimensional de K.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
           3                      [E]
   [ E ] =   [ K ].[T ] ⇒ [ K ] =
           2                      [T ]
        M .L2 .T −2
   [K ] =
            Θ
   Respuesta: [ K ] = M .L .T .Θ
                          2  −2  −1




   Problema 60: Se muestra la ecuación de estado termodinámico de un gas ideal: P.V = n.R.T
   donde P es la presión, V el volumen, “n” cantidad de sustancia, R la constante universal de
   los gases y T la temperatura absoluta.

   Resolución
   Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:
   [ P ].[V ] = [ n].[ R ].[T ]
   ( M .L  −1
                .T −2 ) . ( L3 ) = ( N ) .[ R ] . ( Θ )
            ( M .L    −1
                           .T −2 ) . ( L3 )
   [ R]   =                                   = M .L2 .T −2 .N −1 .Θ −1
                        N .Θ
   Respuesta:          [ R ] = M .L2 .T −2 .Θ−1 .N −1



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PROBLEMAS PROPUESTOS DE DIMENSIONES

Principio de homogeneidad dimensional

1. En la ecuación AB + BC + AC = Q2, donde Q es caudal, la fórmula dimensional del producto
   A.B.C es:

2. La siguiente es una fórmula física correcta: Q = K . A. 2 gh , donde; Q: caudal (m3/s), A : área;
   g : aceleración de la gravedad, h: altura. Determinar la fórmula dimensional de K.

                                                                            1       1
3. La posición de una partícula sobre el eje X está dada por: x = k0 + k1T + k2T 2 + k3T 3
                                                                            2       6
                                                  k .k 
   donde, x: distancia y T: tiempo. Determinar:  0 2 
                                                  k1.k3 

4. La posición de una partícula en el eje X está dada por:
                 1        1         1
   x = k1 + k2T + k3T 2 + k4T 3 + k5T 4
                 2        6        24
                                                           k .k .k 
   donde; x se mide en metros y T en segundos. Determine:  1 3 5 
                                                           k2 .k4 

                                                                                 F .T
5. Determine la fórmula dimensional de A en la siguiente fórmula física: A =          − B ;
                                                                                 M .V
   donde, F: fuerza; T: tiempo; M: masa; V: velocidad

                                                                                 m.v 3 3
6. Determine la fórmula dimensional de B en la siguiente fórmula física: B =          + R ;
                                                                                 F.A
   donde, m: masa; v: velocidad; F: fuerza; A: área

                                                                                 m.v S ec60°
7. Determine la fórmula dimensional de C en la siguiente fórmula física: C =
                                                                                  F .H
   donde,     m: masa;                v: velocidad;          F: fuerza;           H: altura


8. Determine la fórmula dimensional de D en la siguiente fórmula física: D = 2hg . A − 3 N
   donde:    h: altura;                 g: aceleración,                 A: área

                                                                                   W
9. Determine la fórmula dimensional de “E”, en la siguiente fórmula : E =
                                                                                   m
   donde;      W: trabajo       m: masa

10. La fuerza F de atracción entre dos masas es directamente proporcional al producto de las
    masas ( m1 y m2) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia “d”, como indica la
                              mm
    siguiente fórmula: F = K 1⋅ 2 2 . Determine la fórmula dimensional de la constante de
                               d


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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)
   gravitación K.

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11. Determine la fórmula dimensional de “Z”, en la siguiente fórmula :             Z =
                                                                                           v. t
   donde,     B : volumen       t : tiempo     v : velocidad


                              A+ x      P +U
12. En la siguiente fórmula: R =    +        ; determine la fórmula dimensional de
                               y          x
   “R” donde, A : aceleración  U : fuerza

                                                                                                       c.t 2
13. Determine la fórmula dimensional de a.b.c en la siguiente fórmula física: d = a + b.t +
                                                                                                        2
   donde,      d : distancia      t : tiempo


14. Determine la fórmula dimensional de A.B.C en la siguiente fórmula física:
                       C
    Sen30° = A + B.t +     donde, t : tiempo
                        t

                                                                                         D. g . h
15. Determine la fórmula dimensional de H en la siguiente formula física: H =
                                                                                           P
   donde, D: densidad     g: gravedad            h: altura     P: presión

                                                                                         X .V . A
16. Determine la fórmula dimensional de K en la siguiente fórmula física: K =
                                                                                            E
   donde;     X: distancia,       V: velocidad,      A: aceleración         E: energía

17. La expresión dimensional del producto de la masa por la velocidad es igual a la expresión
    dimensional de:
    A) Energía multiplicada por el tiempo.       B) Potencia multiplicada por el tiempo.
    C) Densidad multiplicada por la potencia.    D) Fuerza multiplicada por la velocidad.
    E) Fuerza multiplicada por el tiempo.

18. Determine la fórmula dimensional de B, en la siguiente expresión que dimensionalmente
                    T .P.Cos53°
    homogénea: B =              +C
                            δ
   donde:      T = trabajo;       P = presión;       δ =densidad

19. En la ecuación X = A.Sen( B.t + φ ) + C.t 2 + D          es dimensionalmente homogénea,
                                                                                  A.C
   donde,     X: distancia,     t: tiempo.   Determine la fórmula dimensional de
                                                                                  B.D


20. La ecuación que permite calcular el gasto o caudal que circula por un orificio de un deposito
    es: Q = C. A. 2 gh , determine la fórmula dimensional de “C” siendo:


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                                                  litros 
   g: aceleración de la gravedad;      Q: caudal          ;     A: área;    h: altura
                                                  segundo 

21. Si las ecuaciones mostradas son dimensionalmente correctas, determine la fórmula
    dimensional de “X”: A + B = C + D, donde A.B = 6 (kg.m)2            y
                                             F
    2A + 3H = 4C + 5E + X.F           donde    = 4m .
                                             C
22. En la siguiente expresión física dimensionalmente correcta: V = V0 + a.t , donde “V” se mide
                                                                    V
    en m/s , “a” en m/s2 y “t” en segundos. Entonces las unidades de 0 son:
                                                                     a

23. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determine la fórmula dimensional
    de “X”: X = ω . A.Cos (ω .t + δ ) , donde, A: longitud,     t : tiempo.

24. En la siguiente fórmula física: A = Sen ( 30°+B. t ) + Cos ( 60°+C ) , determine la fórmula
    dimensional de A.B.C, donde, t : tiempo

                                                                          2π t 2π x 
25. En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea y = A ⋅ Sen           +      , donde “A”
                                                                          J      K 
    es la amplitud (en metros), “t” es el tiempo (en segundos) y “x” es la posición (en metros).
                                               y
    Determine la fórmula dimensional de
                                             J ⋅K

26. En cierto planeta la fuerza F de atracción entre dos masas es directamente proporcional al
    producto de las masas ( m1 y m2) e inversamente proporcional al cubo de la distancia “d”,
                                               mm
    como indica la siguiente fórmula: F = K 1⋅ 3 2 . Determine la fórmula dimensional de la
                                                d
    constante de gravitación K.

27. La fuerza F de repulsión, entre dos cargas eléctricas del mismo signo, es directamente
    proporcional al producto de las cargas (q1 y q2) en inversamente proporcional al cuadrado de
                                                                qq
    la distancia “d”, como indica la siguiente fórmula: F = K 1⋅ 2 2 . Determine la fórmula
                                                                 d
    dimensional de K.

   PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES

28. Si N = 5 m2, S se mide en segundos, y A representa la aceleración, entonces la relación
    dimensionalmente correcta es:
            N                                N             N
    A) A =            B) A = N.S C) A = 2         D) A = 2        E) A = N .S 2
            S                               S              S

29. En la siguiente fórmula física: W = m C x ,determine el valor de “x”, donde:
    W : trabajo, m : masa C : velocidad




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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)

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30. Halla el valor de “x” en la siguiente fórmula física:     T x = K.   . Donde,
                                                                        a
   d: distancia        a: aceleración    T : tiempo     K: número

31. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determine la fórmula dimensional
                   uk.nv.i
                       .
                                 
   de “n”:
             P = kE        + 2π  ,           donde
                                
   P: presión,            v: volumen, u: energía,      i: intensidad de corriente eléctrica


32. Se tiene la siguiente ecuación homogénea, donde E es la energía y a es la longitud, si:
                  x         −x
    E = R.e + S .ea         a
                                 , determine la fórmula dimensional de
                                                                         R.x 2
                                                                          S


   FÓRMULAS EMPÍRICAS

33. La velocidad V de propagación de una onda mecánica, en una cuerda tensa, depende del
    módulo de la tensión T en la cuerda y de la densidad lineal de masa δ (masa/ longitud).
    Determine la fórmula empírica para determinar la velocidad de propagación.


34. La altura máxima H que alcanza una partícula, depende de la rapidez de lanzamiento vertical
                                                                          V x .g y
    V y de la aceleración de la gravedad, y tiene la siguiente forma: H =          . Determine (x+y)
                                                                             x

35. La aceleración centrípeta “a” de una partícula, depende de la velocidad tangencial V y del
    radio de curvatura R de la trayectoria. Determine el exponente que afecta a R.


36. La velocidad V del sonido en un gas depende de la presión P y de la densidad del mismo gas,
    y tiene la siguiente forma: V = K.Px.Dy, donde K es una constante numérica. Determine la
    fórmula física para determinar la velocidad del sonido en cualquier gas.

37. El tiempo “t” de caída libre depende de la altura “h” que desciende y de la aceleración de la
    gravedad “g”. Sabiendo que: t = 2 hx.gy, determine (x – y).

38. El periodo de oscilación J de un péndulo simple, depende de la longitud Q de la cuerda y de
    la aceleración de la gravedad W, y tiene la siguiente forma: J = 2π.Qx.Wy. Determine la
    fórmula empírica para determinar el periodo de oscilación:

39. La fórmula que determina el módulo de la fuerza centrípeta F que experimenta una partícula,
    depende de la masa “m”, de la rapidez angular ω y del radio de curvatura de la trayectoria R.
    Determinar los exponentes que deben tener las tres variables físicas para establecer una
    igualdad dimensionalmente correcta.


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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)
40. La velocidad critica V a la cual el flujo de un líquido a través de un tubo se convierte en
    turbulento, depende de la viscosidad η , de la densidad del fluido δ , del diámetro D del
    tubo, de la constante adimensional R. Determine la fórmula empírica para calcular la
    velocidad en función de η , δ , D y R. La fórmula dimensional de la viscosidad es: ML-1T-1

41. La fuerza de rozamiento en el interior de un fluido sobre una esfera en movimiento de
    depende de la viscosidad del liquido (n), el radio de la esfera (r) y la rapidez de la esfera (v):
    F = nxryvz. La fórmula dimensional de la viscosidad es: ML-1T-1. Determinar (x+y+z)

42. La presión que un fluido ejerce sobre una pared, depende de la velocidad V del fluido, de su
    densidad D y tiene la siguiente forma: P = 2 Vx Dy. Determinar la fórmula física correcta.

43. La presión “P” que ejerce el flujo de agua sobre una pared vertical viene dad por la siguiente
    fórmula empírica: P = λ .Q x .d y . Az donde, Q: caudal (m3/s) d: densidad del agua, A: área
   de la placa,   λ : constante adimensional. Determine:   x+ y+ z

44. En un experimento de física, un cachimbo desea encontrar la velocidad del aire “V” que
    genera un ventilador mecánico, la cual depende de la fuerza “F” del aire, la potencia “P”
    desarrollada por la persona que acciona el ventilador y la fuerza de rozamiento “K”,
    encontrando la siguiente ecuación: V = α .F .P + B.K . Determine la fórmula dimensional de
    α
    B2

45. Experimentalmente se ha determinado que la fuerza de sustentación F que actúa sobre el ala
    del avión, depende del área S del ala, de la densidad D del aire y de la velocidad V del avión.
    Determine el exponente de la velocidad en la fórmula empírica.

46. La cantidad de calor Q que disipa un conductor cuando por el circula una corriente eléctrica,
    depende de la intensidad de corriente eléctrica I, del valor de la resistencia R y del intervalo
    de tiempo transcurrido “t”. Determinar los exponentes que deben tener las tres variables
    físicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta.

47. En la ecuación AB + BC + AC = P2, donde P es la presión, la fórmula dimensional del
    producto A.B.C es:

48. La energía por unidad de longitud (ψ) de una cuerda vibrante depende de un coeficiente 2π2,
    de la masa por unidad de longitud (δ), de la frecuencia (f) y de la amplitud del
    movimiento(A). Determinar los exponentes que deben tener las tres variables físicas para
    establecer una igualdad dimensionalmente correcta.

49. La cantidad de energía E y la cantidad de movimiento P, están relacionadas por la ecuación:
    E2 = AP2 + BC2, donde C es la rapidez de la luz en el vacío. Entonces las dimensiones de A y
    B son respectivamente.

50. La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula:
    P = kRxWyDz, donde: K es un número, R es el radio del hélice, W es la rapidez angular y D
    es la densidad del aire. Determinar: x, y , z.



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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)
51. La velocidad crítica V a la cual el flujo de un líquido a través de un tubo se convierte en
                                           [ ]        −1   −1
   turbulento, depende de la viscosidad n = ML T , de la densidad del fluido δ, del
   diámetro del tubo D y de una constante adimensional R. Determinar la formula empírica de
   la velocidad en función de n, δ y D.

52. La posición en el eje “x” de una partícula en función del tiempo “t” esta dado por:
    X (t ) = at 2 + bt 4 , donde X se mide en metros “t” en segundos. Determinar las unidades de:
    [ a.b]

53. En un sistema de unidades las tres magnitudes fundamentales son la velocidad de la luz C, la
                                                                                   kg .m 2
    constante de Planck “h” y la masa de protón “m”. Sabiendo que h = 6, 63 x10−34         . ¿De
                                                                                      s
    qué manera deben combinarse estas magnitudes para que tengan la fórmula dimensional de la
    longitud?

                                                         3v3aFy xF
54. Se tiene la ecuación de cierto fenómeno físico: V =           −
                                                        Sen( zay ) 3
   donde, V es la velocidad, “a” la aceleración y F la fuerza. Determine la fórmula dimensional
   de x, y, z respectivamente.

55. Conociendo la ecuación cinemática para determinar la posición de una partícula en el eje X :
    X (t ) = A + Bt + Ct 2 , donde X se mide en metros y “t” en segundos.
    Escoja entre las expresiones F, G y H, la que es dimensional mente correcta:
          A2 B           C2 A           B2 C
    F=       − ; G=           + ; H=       +
           C 4            B 3           A 5

                                                                                      m.v 2
56. En la siguiente ecuación, determine la fórmula dimensional de C. Sen(ωt + π ) =          ,
                                                                                      C.T .E
   donde: V representa la velocidad, “m” la masa, E la energía, T la temperatura.


57. La siguiente expresión representa la ecuación de estado de los gases reales.
            n   V
                 2
                        
     P + a     − b  = R.T , donde P representa la presión, V al volumen y “n” la cantidad
    
           V    n
                       
    de sustancia. Determine las unidades de “a” y “b” respectivamente.



58. La ecuación   V = A.Sen( Bt ) + Ct sen 30°es dimensionalmente homogénea, en donde V:
                                                                A.B
   velocidad y t: tiempo. Determine la expresión dimensional de     .
                                                                 C




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DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)
59. La energía radiada (H) por un cuerpo a temperatura T es expresada mediante,
     H = σ AT γ , donde, σ = 5, 67.10−8 W 4 , A: área, T: temperatura absoluta. Determine el
                                         m2 K
    valor de γ

60. Respecto a la siguiente ecuación dimensional correcta: A = P + XV 2 , donde, P : presión, V:
    velocidad. Determine las unidades de X en el S.I.

61. La fuerza resistiva F sobre un glóbulo rojo de forma esférica en la sangre, depende del radio
    R, de la velocidad V y de la viscosidad η      . Sabiendo que η= 0,003 kg.m-1s-1 , determinar
    la expresión para determinar la fuerza resistiva: F = 6πVxηyRz


62. La energía U almacenada en sistema depende de la capacitancia C y de la diferencia de
                                                                   1
    potencial V. Determinar los valores de x e y, sabiendo que: U = .C y .V x
                                                                   x



FUENTES DE INFORMACIÓN Y BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL:
http://grups.es/didactika/yahoo.com
www.didactika.com
http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com
walter_perez_terrel@hotmail.com
wperezterrel@gmail.com
walter_perez_terrel@yahoo.com




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  • 1. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) ANÁLISIS DIMENSIONAL Introducción 1. Magnitudes físicas. Las propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenómenos naturales y que se pueden medir reciben el nombre de Magnitudes Físicas. Así por ejemplo tenemos la longitud, la masa, la velocidad, la temperatura, etc. Mientras que otras propiedades como el color, el sabor, la bondad, la belleza no son magnitudes físicas, ya que no se pueden medir. Entre las magnitudes físicas hay algunas que son independientes de las demás y se denominan "Magnitudes fundamentales" como la masa, la longitud, el tiempo, etc. Así como también existen magnitudes físicas, que dependen de las fundamentales para ser expresadas, las cuales se denominan "Magnitudes derivadas”, este es el caso de la velocidad, que se define mediante una relación entre la longitud y el tiempo. 2. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) Es un conjunto de unidades de magnitudes fundamentales a partir del cual se debe expresar cualquier unidad de una magnitud derivada. Este fue un acuerdo común tomado por la mayor parte del mundo el 14 de octubre de 1960 en Francia. Nombre Dimensión Unidad Básica Símbolo Longitud L metro m Masa M kilogramo kg Tiempo T segundo s Temperatura termodinámica Θ kelvin K Intensidad de corriente I ampere A eléctrica candela Intensidad luminosa J cd Cantidad de sustancia N mol mol 3. FÓRMULA DIMENSIONAL La fórmula dimensional de una magnitud dada, es una fórmula que muestra que operaciones de multiplicación o división hay que efectuar con las magnitudes físicas fundamentales para obtener la magnitud derivada. Notación: sea X la magnitud física, entonces: [ X ] : se lee fórmula dimensional de la magnitud física X. Ejemplos: Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 1
  • 2. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) L Velocidad : [V ] = = L.T −1 T L.T −1 Aceleracion : [ A] = = L.T −2 T 4. DIMENSIÓN La dimensión indica las veces en que varía la magnitud física fundamental en una magnitud derivada. [ X ] = La .M b .T c .Θd .I e .J f .N g La fórmula dimensional está dada en función de siete magnitudes fundamentales. Así mismo los exponentes a, b, c, d, e, f y g se llaman dimensiones. 5. MAGNITUDES FÍSICAS DERIVADAS Son aquellas magnitudes que se expresan en función de las magnitudes físicas fundamentales. Desplazamiento lineal L Desplazamiento angular 1 Frecuencia T–1 Energía cinética M.L2.T–2 Energía potencial gravitatoria M.L2.T–2 Cantidad de carga eléctrica I.T Peso específico M.L–2.T–2 6. REGLAS DIMENSIONALES a) Si el valor numérico de la magnitud X es igual al producto (cociente) de los valores numéricos de las magnitudes A y B, entonces la dimensión de X será igual al producto (cociente) de las dimensiones A y B Si: X =A.B [X] = [A] . [B] Si: X = A [X] = [A] . [B]–1 B b) Si el valor numérico de la magnitud X es igual a la potencia “m” del valor numérico de la magnitud A, entonces la dimensión de X es igual a la potencia n/m de la dimensión de A. Si: X = An/m [X] = [A]n/m Si: X = An [X] = [A]n ; Si: X = A1/m [X] =[A]1/m c) Si el valor numérico de la magnitud X es un coeficiente constante (número; ángulo en radianes; función trigonométrica, función logarítmica;......etc.) que es independiente de la dimensión de las magnitudes (unidades) fundamentales, entonces la dimensión de X es nula, y X es denominada “adimensional”. Si: X = número [X] = 1 Si: X = Senα [X] = 1 Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 2
  • 3. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) Si: X = LogN [X] = 1 Si: X = constante numérica (adimensional) 7. ECUACIONES DIMENSIONALES Son aquellas ecuaciones que, expresadas en términos de magnitudes físicas, se verifican para un determinado conjunto de magnitudes o dimensiones. [ potencia ] = [ A][ fuerza ] = [ B][energia ] Donde al resolver la ecuación obtenemos: [ A] = L.T −1 y [ B ] = T −1 8. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL En toda fórmula física que expresa la relación entre las diferentes magnitudes físicas, las dimensiones en el primer miembro y segundo miembro, deben ser iguales. Sea la fórmula física: A = B2 [A] = [B2] En general, todos los términos de una fórmula física son dimensionalmente iguales A = B2 + C [A] = [B2] = [C] EJEMPLO 01: La posición de una partícula sobre el eje X está dada por: 1 x = k1 + k2T + k3T 2 2  k  donde, x: distancia y T: tiempo. Determinar:  3   k1.k2  Resolución Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional: [ x ] = [ k ]1 = [ k2T ] =  k3T 2  = L 1 2    Despejando tenemos: [ k1 ] = L [ k2T ] = L ⇒ [ k2 ] = L.T −1 La fórmula dimensión de un número es igual a la unidad. 1 2  2 k3T  = L ⇒ [ k3 ] = L.T −2    k  L.T −2 Finalmente:  3  = −1 = L−1.T −1  k1.k2  ( L).LT 9. FÓRMULAS EMPÍRICAS Son aquellas formulas físicas que se obtienen a partir de datos obtenidos en el laboratorio o de la vida cotidiana. EJEMPLO 01: El periodo (T) de un péndulo simple depende de la longitud de la cuerda (l) y de la aceleración de la gravedad (g). La constante de proporción es K = 2π Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 3
  • 4. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) Resolución Escribimos el periodo T en función de la longitud de la cuerda y de la aceleración de la gravedad, donde x e y son las dimensiones que queremos determinar: T = K .l x .g y …… (1) Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos: [T ] = [ K ][l ] [ g ] x y Reemplazando la fórmula dimensional: T = 1.( L) x .( LT −2 ) y A bases iguales le corresponden exponentes iguales: L0T 1 = Lx .Ly .T −2 y L0T 1 = Lx + y .T −2 y L: 0 = x + y …….. (2) T: 1 = -2y ……….. (3) Resolviendo las ecuaciones (2) y (3): x = ½ e y = -1/2 l Reemplazando en la ecuación (1) tenemos que: T =K g 10. FINES Y OBJETIVOS DEL ANÁLISIS ADIMENSIONAL a) Expresar las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales. b) Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas mediante el principio de homogeneidad dimensional. c) Determinar fórmulas físicas empíricas a partir de datos experimentales en el laboratorio. 11. PROBLEMAS RESUELTOS Problema 01: La posición de una partícula sobre el eje X está dada por: 1 x = k1 + k2T + k3T 2 2  k  donde, x: distancia y T: tiempo. Determinar:  3   k1.k2  Resolución Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional: [ x ] = [ k ]1 = [ k2T ] =  k3T 2  = L 1 2    Despejando tenemos: [ k1 ] = L [ k2T ] = L⇒ [ k2 ] = L.T −1 La fórmula dimensión de un número es igual a la unidad. 1 2  2 k3T  = L ⇒ [ k3 ] = L.T −2    k  L.T −2 Finalmente:  3  = = L−1.T −1  k1.k2  ( L).LT −1 Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 4
  • 5. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) Problema 02: La siguiente es una fórmula física correcta: Q = K . A. 2 gh donde; Q: caudal (m3/s), A: área; g: aceleración de la gravedad, h: altura. Determinar la fórmula dimensional de K. Resolución Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional: [Q ] = [ K ].[ A]. [ 2][ g ][ h] L3 .T −1 = [ K ] .L2 . 1.LT −2 .L L3 .T −1 = [ K ] .L2 .( L.T −1 ) Despejando: [ K ] = 1 Respuesta: K representa una cantidad sin dimensiones, es decir es un número. Problema 03: En la ecuación AB + BC + AC = P2, donde P representa a la presión, la fórmula dimensional del producto A.B.C es: Resolución Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional: [ AB] = [ BC] = [ AC] = P 2    Despejando tenemos que: [ AB] = P 2  …(1)   [ BC] = P 2    …(2) [ AC] =  P 2    …(3) Multiplicando miembro a miembro:  A 2 .B2 .C2  =  P 6      Sacando la raíz cuadrada a ambos miembros: [ A.B.C] =  P3  = ( M .L−1.T 2 ) 3   Finalmente: [ A.B.C] =M 3 .L−3 .T 6 Problema 04: Determine la fórmula dimensional de A en la siguiente fórmula física: F .T A= − B ; donde, F: fuerza; T: tiempo; M: masa; V: velocidad M .V Resolución Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional:  F .T   [ A] =  = B  M .V     Comparando los dos primeros términos: [ F ].[T ] [ A] =  F .T   M .V  ⇒ [ A] =   [ M ].[V ] Reemplazando: Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 5
  • 6. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) M .L.T −2 .(T ) M .L.T −1 [ A] = = =1 ( M ).L.T −1 M .L.T −1 Respuesta: Vemos que A representa una cantidad sin dimensiones, es decir es un número. t3 b + h Problema 05: Si la ecuación V = + es dimensionalmente homogénea, en donde V a c a.c = volumen, t = tiempo y h = altura, determine la fórmula dimensional de . b Resolución Aplicamos el principio de homogeneidad dimensional:  t3   b + h  [ V] =   =   a   c  b + h  Analizando:  ⇒ [ b + h ] = [b ] = [ h ] = L …(1)  c    t3  T3 [ V ] =   ⇒ L3 = Despejando tenemos: [ a ] = L−3 .T 3 …(2) a  [a] Analizando: b + h [V] =  L  c  ⇒ L = [c ] 3 Despejando tenemos: [ c ] = L−2 …(3)    a.c  [ a ] .[ c ] ( L .T ).L −3 3 −2 Reemplazando (1), (2) y (3) calculamos:   = =  b  [b] L −3 −2  a.c  ( L .T ).L 3 Finalmente:  b = = L−6 .T 3   L Problema 06: El periodo (T) de un péndulo simple depende de la longitud de la cuerda (l) y de la aceleración de la gravedad (g). Resolución Escribimos el periodo T en función de la longitud de la cuerda y de la aceleración de la gravedad, donde x e y son las dimensiones que queremos determinar: T = K .l x .g y …… (1) Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos: [T ] = [ K ][l ] [ g ] x y Reemplazando la fórmula dimensional: T = 1.( L) x .( LT −2 ) y A bases iguales le corresponden exponentes iguales: Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 6
  • 7. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) L0T 1 = Lx .Ly .T −2 y L0T 1 = Lx + y .T −2 y L: 0 = x + y …….. (2) T: 1 = -2y ……….. (3) Resolviendo las ecuaciones (2) y (3): x = ½ e y = -1/2 Reemplazando en la ecuación (1) tenemos que: l T =K g Problema 07: La velocidad V de propagación de una onda mecánica, en una cuerda tensa, depende del módulo de la tensión T en la cuerda y de la densidad lineal de masa δ (masa/ longitud). Determine la fórmula empírica para determinar la velocidad de propagación. Resolución Escribimos la velocidad en función de la tensión (fuerza) T y la densidad lineal δ: V = K .T .δ x y … (*) donde K representa una constante numérica, donde x e y son las dimensiones que queremos determinar.  masa  M [δ ] =   = L = M .L −1  longitud  Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos: [V ] = [ K ].[T ] .[δ ] x y Reemplazando la fórmula dimensional: L.T −1 = 1. ( M .L.T −2 ) . ( M .L−1 ) x y A bases iguales le corresponden exponentes iguales: M 0 .L.T −1 = ( M x .Lx .T −2 x ) . ( M y .L−1 y ) M 0 .L1.T −1 = M x + y .Lx − y .T −2 x Base M: 0 = x + y …(1) Base L: 1 = x – y …(2) Base T: -1 = -2x ⇒ x = 2 …(3) 1 Reemplazando en (1): 0 = x + y ⇒ 0 = 1 + y ⇒ y = − 1 2 2 Reemplazando en la ecuación inicial (*): V = K .T 1/ 2 .δ −1/ 2 Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 7
  • 8. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) T V = K. Finalmente obtenemos: δ Respuesta: La rapidez de la onda es directamente proporcional a la raíz cuadrada del módulo de la tensión en la cuerda. Problema 08: La velocidad V el sonido en un gas depende de la presión P y de la densidad D del mismo gas. Determine la fórmula física para determinar la velocidad del sonido en cualquier gas. Resolución Escribimos la velocidad V en función de la presión y de la densidad. V = P x .D y …. (*) Aplicando el principio de homogeneidad dimensional tenemos: [V ] = [ P ] .[ D ] x y L.T −1 = ( M .L−1.T −2 ) . ( M .L3 ) x y Reemplazando la fórmula dimensional: A bases iguales le corresponden exponentes iguales: L.T −1 = ( M x .L− x .T −2 x ) . ( M y .L3 y ) M 0 .L1.T −1 = M x + y .L− x +3 y .T −2 x Base M: 0 = x + y … (1) Base L: 1 = -x +3 y … (2) Base T: -1 = -2x ⇒ x = 1 2 … (3) Reemplazando en (1): 0 = x + y ⇒ 0 = 1 + y ⇒ y = − 1 2 2 Reemplazando en la ecuación inicial (*): V = P1/ 2 .V −1/ 2 P V= D Respuesta: La rapidez del sonido es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la presión. m Problema 09: ¿Cuál es la lectura correcta de la siguiente cantidad de física 1 kg . ? s A) kilogramo por metro sobre segundo. B) kilogramo por metro por segundo. C) kilogramo metro por segundo. D) kilogramo metro segundo. E) Ninguna anterior Resolución Norma del sistema internacional de unidades: Sea A y B unidad de magnitudes físicas. A.B: se lee, “AB” A : se lee, “A por B” B Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 8
  • 9. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) m 1 kg ., se lee, kilogramo metro por segundo. s Respuesta: C A Problema 10: Si las siguientes expresiones son dimensionalmente homogéneas P = +B ; x B Q = A. y + B , determine las fórmula dimensional de . Considere P: presión, A: trabajo y Resolución Analicemos a la fórmula: Q = A. y + B Principio de homogeneidad dimensional: [Q ] = [ A. y ] = [ B ] B [ A.] =   = M .L .T 2 −2  y B Respuesta: La fórmula dimensional de es M .L2 .T −2 y Problema 11: La ecuación E = E0 .Sen (α .x + β .t ) es dimensionalmente correcta. E: F intensidad del campo eléctrico. E = , donde F: es fuerza eléctrica y q: es la cantidad de q β carga eléctrica, “x” la posición y “t” el tiempo. Determine la formula dimensional de . E0 Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ β .t ] = [ angulo] = 1 [ β ] = T −1 [ F ] = M .L.T −2 = M .L.T −3 .I −1 [E] = [q] I .T β  T −1 Remplazando:   = = M −1 .L−1 .T 2 .I  E0  M .L.T −3 .I −1 Respuesta: La fórmula dimensional es M −1 .L−1 .T 2 .I Problema 12: La deformación lineal (en metros) de una viga de largo L, de área de la sección recta A y sometida a una fuerza de tracción F se expresa mediante la ecuación F .L ∂= . Determine la fórmula dimensional de E. E. A Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ F ] .[ L ] [∂ ] = [ E ] . [ A] Despejando tenemos: [ F ].[ L ] = ( M .L.T −2 ) ( L ) = M .L−1 .T −2 [E] = [ ∂ ] . [ A] ( L ) ( L2 ) Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 9
  • 10. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) Respuesta: La fórmula dimensional es M .L−1 .T −2 Problema 13: Cierto fenómeno físico puede ser escrito por la siguiente ecuación empírica  k P = m.v 2  a.t −  siendo m: masa, a: aceleración, t: tiempo, S: área. Determine la fórmula  S dimensional de “k”. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:  k k   a.t −  donde [ a.t ] =   ⇒ [ k ] = [ a.t.S ]  S S  [ k ] = [ a.t.S ] = ( L.T ) (T ) ( L2 ) = L3 .T −1 −2 Respuesta: La fórmula dimensional es L3 .T −1 Problema 14: La ecuación que describe el flujo de un fluido ideal está dada por la ecuación: ρ .B 2 ρ .g . A + + C = D , en donde D: energía por unidad de volumen, ρ : densidad, g: 2 A aceleración de la gravedad. Determine la fórmula dimensional de . B Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: −2  energia  M .L .T 2 [ D] =   = 3 = M .L−1 .T −2  volumen  L  ρ .B 2  [ ρ .g . A] =   = [ D]  2  Despejando tenemos que:  D  M .L−1 .T −2 [ A] =   = =L  ρ .g  ( M .L )( L.T ) −3 −2 Despejando tenemos que: 0 ,5  B2   D  D  =  ⇒ [ B] =    2  ρ ρ 0 ,5 D  M .L−1 .T −2  [ B] =   =   = ( L .T ) = L.T 2 −2 0 , 5 −1 ρ −3  M .L  [ B ] = L.T −1 Finalmente tenemos que:  A L  B  = L.T −1 = T    A Respuesta: La fórmula dimensional de   es T. B Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 10
  • 11. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) Problema 15: La energía radiante E que emite un cuerpo caliente de área A que se encuentra a una temperatura absoluta T en un intervalo de tiempo ∆t se determina con la ecuación E = ε .σ . A.T 4 .∆t , donde ε es una constante adimensional. ¿Cuál es la expresión dimensional de σ ? Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ E ] = [ε ].[σ ].[ A]. T 4  .[ ∆t ]   M .L2 .T −2 = 1.[σ ] .L2 .Θ4 .T Despejando tenemos que: M .L2 .T −2 [σ ] = 2 4 = M .Θ−4 .T −3 L .Θ .T M .L2 .T −2 [σ ] = 2 4 = M .Θ−4 .T −3 L .Θ .T Respuesta: La expresión dimensional σ es M .T .Θ −3 −4 Problema 16: La representación mediante símbolos de la unidad joule por kilogramo kelvin, es: J J J 1 A) J .kg .K B) .K C) .kg D) E) kg K kg .K J .kg .K Resolución Norma del sistema internacional de unidades: Sea A y B unidad de magnitudes físicas. A.B: se lee, “AB” A : se lee, “A por B” B J joule por kilogramo kelvin: kg .K Respuesta: D Problema 17: El desplazamiento ∆r de una partícula en trayectoria rectilínea con aceleración constante “a” está dada por ∆r = k .a m .t n , donde “t” es el tiempo, “k” constante adimensional. Encontrar los valores de m y n. Dar como respuesta (m + n). Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ ∆r ] = [ k ] .  a m  .  t n      L.T 0 = 1. ( L.T −2 ) . (T ) = Lm .T n − 2 m m n ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” L: m = 1 …(1) M: 0 = n − 2m , entonces n = 2m …(2) reemplazando (1) en (2): n = 2 Respuesta: ( m + n ) = 3 Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 11
  • 12. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) Problema 18: Experimentalmente se obtiene que la potencia (P) de descarga del chorro de agua sale de una tubería es directamente proporcional al densidad (D) del agua, a su velocidad (V) y al área de la sección transversal (A) de dicha tubería. Determine el exponente que afecta a la velocidad. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: P = K .D x .V y . A z donde K es constante adimensional. [ P ] = [ K ].[ D ] .[V ] .[ A] x y z M .L2 .T −3 = 1. ( M .L−3 ) . ( L.T −1 ) . ( L2 ) x y z M 1 .L2 .T −3 = 1. ( M x .L−3 x ) . ( Ly .T − y ) . ( L2 z ) M 1 .L2 .T −3 = M x .Ly − 3 x + 2 z .T − y ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” M: x = 1 T: y = 3 L: 2 = y − 3 x + 2 z 2 = 3 − 3 (1) + 2 z z =1 Respuesta: El exponente que afecta a la velocidad es y = 3 t3 b − h a.b Problema 19: En la expresión: V = − determine la fórmula dimensional de , si a c c V: volumen t; tiempo y H: altura. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional. La fórmula dimensional de a es: t3  t3  T 3 [V ] =   ⇒ [ a ] =   = 3 a V  L [ a ] = T 3 .L−3 La fórmula dimensional de b es: b−h ⇒ [b ] = [ h ] = L c La fórmula dimensional de c es: [b − h ] [h] = L [V ] = ⇒ [c] = [c] [V ] L3 [c ] = L−2 Reemplazando en:  a.b  [ a ] .[b ] (T .L ) . ( L ) 3 −3  c  = [c] =   L−2 =T3 a.b Respuesta: La fórmula dimensional de es T 3 c Problema 20: La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por: Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 12
  • 13. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) P = k .R a .ω b .D c , donde K es un numero, R el radio de la hélice, ω es la rapidez angular, y D a.b es la densidad del aire. Determine c Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ P ] = [ k ].[ R ] .[ω ] .[ D ] a b c M .L2 .T −3 = 1. ( L ) . (T −1 ) . ( M .L−3 ) a b c M 1 .L2 .T −3 = M c .La − 3 c .T − b ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” M: 1 = c … (1) T: −3 = −b ⇒ b = 3 …(2) L: 2 = a − 3c ⇒ a = 2 + 3c ⇒ a = 5 …(3) Reemplazando en: a.b ( 5 ) . ( 3 ) = = 15 c (1) a.b Respuesta: = 15 c Problema 21: La ley de Isaac Newton de la gravitación universal se expresa mediante la m.M relación: F = G. 2 , donde F: es la fuerza gravitacional, m y M son las masas y r es la r distancia entre ellas. ¿Cuál es la expresión dimensional de G? Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ m ] .[ M ] [ F ] = [G ] . [r ] 2 [ F ]. r 2  ( M .L.T −2 )( L2 )  = [G ] = = M −1 .L3 .T −2 [ m ] .[ M ] M .M Respuesta: [G ] = M −1 .L3 .T −2 Problema 22: Experimentalmente se ha determinado que la fuerza de sustentación que actúa sobre el ala de un avión depende del área S del ala, de la densidad D del aire y la velocidad V del avión. Determine la dimensión de la velocidad. Resolución La formula empírica es: F = k .S a .Db .V c , donde k es un número. Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: F = k .S a .Db .V c [ F ] = [ k ].[ S ] .[ D ] .[V ] a b c M .L.T −2 = 1. ( L2 ) . ( M .L−3 ) . ( L.T −1 ) a b c Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 13
  • 14. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) M 1 .L1 .T −2 = M b .L2 a − 3b + c .T − c ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” M: 1 = b T: −2 = −c ⇒ c = 2 L: 1 = 2a − 3b + c ⇒ 1 = 2a − 3 (1) + 2 ⇒ a =1 Respuesta: La dimensión de la velocidad es 2. Problema 23: La fuerza resistiva sobre un glóbulo rojo (esférico) en la sangre depende del radio R, de la velocidad V y la viscosidad η . Experimentalmente se ha demostrado que si R = 2 µ m , V = 7.107 m y η = 3.10 −3 kg .m−1 .s −1 . La fuerza resistiva es F = 252π .10−16 N . Determine la fórmula empírica que permite determinar el valor de la fuerza resistiva. Resolución La formula empírica es: F = k .R a .V b .η c , donde k es un número. Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ F ] = [ k ].[ R ] .[V ] .[η ] a b c M .L.T −2 = 1. ( L ) . ( L.T −1 ) . ( M .L−1 .T −1 ) a b c M 1 .L1 .T −2 = M c .La +b −c .T − b −c ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” M: 1 = c T: −2 = −b − c ⇒ − 2 = −b − 1 ⇒ b =1 L: 1 = a + b − c ⇒ 1 = a + 1 − 1 ⇒ a =1 La fórmula empírica es: F = k .R.V .η Reemplazando los datos en la formula empírica: 252π .10−16 = k . ( 2.10 −6 ) . ( 7.10−7 ) . ( 3.10−3 ) Despejando: k = 6π Respuesta: La fórmula empírica es F = 6π .R.V .η Problema 24: Determine la fórmula dimensional de C en la siguiente fórmula física: m.v S ec60° C= F .H donde, m: masa; v: velocidad; F: fuerza; H: altura Resolución En el proceso el valor del exponente se respeta: Sec600 = 2 Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ m].[v ] = ( M ) . ( L.T −1 ) = 1 2 2 [C ] = [ F ].[ H ] ( M .L.T −2 ) . ( L ) [C ] = 1 Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 14
  • 15. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) Respuesta: C es una cantidad adimensional. Problema 25: Determine la fórmula dimensional de A.B.C en la siguiente fórmula física: C Sen30° = A + B.t + donde, t : tiempo t Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: 0,5 [ Sen30°] = [ A] = [ B.t ] =   C t    La fórmula dimensional de A es: [ Sen30°] = [ A] ⇒ [ A] = 1 La fórmula dimensional de B es: [ Sen30°] = [ B.t ] ⇒ [ B ] = T −1 La fórmula dimensional de C es: 0,5 C  [ Sen30°] = 1 =   ⇒ [C ] = [t ] = T t  Reemplazando en: [ A.B.C ] = [ A].[ B ].[C ] = (1) . (T −1 ) . (T ) = 1 Respuesta: [ A.B.C ] = 1 Problema 26: Determine la fórmula dimensional de H en la siguiente formula física: D.g .h H= P donde, D: densidad g: gravedad h: altura P: presión Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ D ] .[ g ] . [ h ] [H ] = [ P] ( M .L ) . ( L.T ) . ( L ) = 1 −3 −2 [H ] = M .L−1 .T −2 Respuesta: H es una cantidad adimensional Problema 27: La expresión dimensional del producto de la masa por la velocidad es igual a la expresión dimensional de: A) Energía multiplicada por el tiempo. B) Potencia multiplicada por el tiempo. C) Densidad multiplicada por la potencia. D) Fuerza multiplicada por la velocidad. E) Fuerza multiplicada por el tiempo. Resolución La masa por la velocidad es el módulo de la cantidad de movimiento o impulso. Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: El impulso de define como el producto de la fuerza por el tiempo. Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 15
  • 16. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) [ Im pulso] = [ fuerza ].[tiempo] Respuesta: E Problema 28: Determine la fórmula dimensional de B, en la siguiente expresión que T .P.Cos53° dimensionalmente homogénea: B = +C δ donde: T = trabajo; P = presión; δ =densidad Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [T ].[ P ].[Cos53°] = C [ B] = [ ] [δ ] [T ].[ P ].[Cos53°] = ( M .L2 .T −2 ) . ( M .L−1.T −2 ) [ B] = [δ ] M .L−3 M 2 .L1.T −4 [ B] = −3 = M .L4 .T −4 M .L Respuesta: [ B ] = M .L .T 4 −4 Problema 29: En la ecuación X = A.Sen( B.t + φ ) + C.t 2 + D es dimensionalmente homogénea, donde, X: distancia, t: tiempo. A.C Determine la fórmula dimensional de B.D Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ X ] = [ A].[ Sen( B.t + φ )] = [C ].[t ] = [ D ] 2 La fórmula dimensional de A es: [ X ] = [ A].[ Sen( B.t + φ )] ⇒ [ A] = [ X ] = L La fórmula dimensional de B es: Sen( B.t + φ ) ⇒ [ B.t ] = [φ ] = [ angulo] = 1 [ B.t ] = 1 ⇒ [ B ] = T −1 La fórmula dimensional de C es: [X ] L [ X ] = C.t 2  ⇒ [C ] = 2 = 2 = L.T −2   t  T   La fórmula dimensional de D es: [ X ] = [ D] = 1 Reemplazando en:  A.C  [ A] .[C ] ( L ) . ( L.T ) −2 −1  B.D  = [ B ].[ D ] = T −1 . 1 = L .T 2   ( )()  A.C  −1  B.D  = L .T 2 Respuesta:   Problema 30: Si las ecuaciones mostradas son dimensionalmente correctas, determine la Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 16
  • 17. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) fórmula dimensional de “X”: A + B = C + D, donde A.B = 6 (kg.m)2 y F 2A + 3H = 4C + 5E + X.F donde = 4m . C Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ A] = [ B ] = [C ] = [ D ] = M .L Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ 2 A] = [ 3H ] = [ 4C ] = [ 5E ] = [ X .F ] Reduciendo tenemos que: [ A] = [ H ] = [C ] = [ E ] = [ X .F ]  1  F  Analizado: [ C ] = [ X .F ] ⇒  X  = C  = L     [X ] =  C −1   =L F  Respuesta: [ X ] = L−1 Problema 31: Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determine la fórmula dimensional de “X”: X = ω . A.Cos (ω .t + δ ) , donde, A: longitud, t : tiempo. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ω.t ] = [δ ] = [ angulo] = 1 [ω.t ] = 1 ⇒ [ω ] = T −1 Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ X ] = [ω ].[ A].[Cos(ω.t + δ )] [ X ] = (T −1 ) . ( L ) . (1) = L.T −1 Respuesta: [ X ] = L.T −1 Problema 32: En un experimento de física, un estudiante desea encontrar la velocidad del aire “V” que genera un ventilador mecánico, la cual depende de la fuerza “F” del aire, la potencia “P” desarrollada por la persona que acciona el ventilador y la fuerza de rozamiento “K”, encontrando la siguiente ecuación: V = α .F .P + B.K α Determine la fórmula dimensional B2 Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [V ] = [α .F .P ] = [ B.K ] La fórmula dimensional de α es: [V ] = L.T −1 [α ] = [ F ].[ P ] ( M .L.T −2 ) . ( M .L2 .T −3 ) Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 17
  • 18. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) L.T −1 [α ] = 2 3 −5 = M −2 .L−2 .T 4 M .L .T La fórmula dimensional de B es: [V ] = L.T −1 [V ] = [ B.K ] ⇒ [ B ] = [ K ] M .L.T −2 [ B ] = M −1.T Reemplazando en:  α  M .L .T −2 −2 4  B2  = = L−2 .T 2   ( M .T ) −1 2 α  −2  B 2  = L .T 2 Respuesta:   Problema 33: En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea  2π t 2π x  y = A ⋅ Sen  +  , donde “A” es la amplitud (en metros), “t” es el tiempo (en  J K  y segundos) y “x” es la posición (en metros). Determine la fórmula dimensional de J ⋅K Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:  2π t 2π x   [ y ] = [ A] ⋅  Sen  +     J K   [ y ] = [ A] ⋅1 = L Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:  2π t   2π x   J  =  K  = [ angulo ] = 1     La fórmula dimensional de J es:  2π t   J  = 1 ⇒ [ J ] = [ 2π t ] = T   La fórmula dimensional de K es:  2π x   K  = 1 ⇒ [ K ] = [ 2π x ] = L   Reemplazando en:  y  [ y] L −1  J ⋅ K  = [ J ] .[ K ] = (T ) . ( L ) = T    y  −1 Respuesta: J ⋅K  =T   Problema 34: Si N = 5 m2, S se mide en segundos, y A representa la aceleración, entonces la relación dimensionalmente correcta es: Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 18
  • 19. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) N N N A) A = B) A = N.S C) A = D) A = E) A = N .S 2 S S2 S2 Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ N ] = [ area ] = L2 [ S ] = [tiempo] = T [ A] = [ aceleracion] = L.T −2 La relación de A con N y S es: A = N a .S b ….(1) Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ A] = [ N ] . [ S ] a b L.T −2 = ( L2 ) . (T ) a b L1.T −2 = L2 a .T b ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” L: 1 = 2a ⇒ a = 1 2 T: −2 = b ⇒ b = −2 Reemplazando en (1): A = N a .S b = N 2 .S −2 1 N A= 2 S Respuesta: C Problema 35: En la siguiente fórmula física: W = k .m.C x , determine el valor de “x”, donde: k: número W : trabajo, m : masa C : velocidad Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [W ] = [ k ].[ m].[C ] x M .L2 .T −2 = 1. ( M ) . ( L.T −1 ) x L2 .T −2 = Lx .T − x ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” x=2 Respuesta: el valor de x es 2. d  Problema 36: Determine el valor de “x” en la siguiente fórmula física: T x = K   a donde, d: distancia a: aceleración T: tiempo K: número Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [d ] [T ] = [ K ]. x [a] Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 19
  • 20. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) L T x = ( 1) . = T −2 L.T −2 ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” x=2 Respuesta: el valor de x es 2. Problema 37: Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determine la  uk.nv.i .  fórmula dimensional de “n”: P = kE + 2π  , donde   P: presión, v: volumen, u: energía, i: intensidad de corriente eléctrica Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:  uk.nv.i  .  E  = [ 2π ] = 1    uk.nv.i .  [ P ] = [ k ]  E + 2π      [ P ] = [ k ] = M .L−1.T −2 Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:  k .v   u.n.i  = [ exp onente] = 1   [ k ] .[ v ] [u.n.i ] = [ k.v ] ⇒ [ n] = [ u ] .[ i ] [ k ].[ v ] = ( M .L−1.T −2 ) . ( L3 ) = I −1 [n] = [u ].[i ] ( M .L2 .T −2 ) .( I ) Respuesta: [ n ] = I −1 Problema 38: Se tiene la siguiente ecuación homogénea, donde E es la energía, “e” es un número y “a” es la longitud, si: x −x E = R.e + S .ea a , determine la fórmula dimensional de R.x 2 S Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional:  x  −x  [ E ] = [ R ]. e a  = [ S ].  e a      [ E ] = [ R ] = [ S ] = M .L2 .T −2 …(1) Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 20
  • 21. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) x  x  a  =  − a  = [ exp onente] = 1     [ x ] = [ a ] = L …(2) Reemplazando (1) y (2) en:  R.x 2  [ R ] .[ x ] 2 = = [ x ] = L2 2   S  [S ]  R.x 2   S =L 2 Respuesta:   Problema 39: La altura máxima H que alcanza una partícula, depende de la rapidez de lanzamiento vertical V y de la aceleración de la gravedad, y tiene la siguiente forma: V x .g y H= . Determine (x-y) x Resolución El exponente es siempre adimensional: [ x ] = [ exp onente] = 1 Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [V ] .[ g ] x y [H ]= [ x] L= ( L.T ) .( L.T ) −1 x −2 y 1 L1.T 0 = Lx + y .T − x − 2 y ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” L: 1 = x + y T: 0 = − x − 2 y Resolviendo las ecuaciones tenemos: x = 2 ∧ y = −1 Respuesta: ( x − y) = 3 Problema 40: La aceleración centrípeta “ ac ” de una partícula, depende de la velocidad tangencial V y del radio de curvatura R de la trayectoria. Determine la dimensión que afecta a R. Resolución La formula empírica es: ac = k .V .R , donde k es un número. a b Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ ac ] = [ k ].[V ] .[ R ] a b L.T −2 = 1. ( L.T −1 ) . ( L ) a b L1.T −2 = La +b .T − a ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 21
  • 22. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) L: 1 = a + b …(1) T: −2 = − a ⇒ a = 2 …(2) Reemplazando (2) en (1): b = −1 Respuesta: la dimensión de R es −1 Problema 41: El tiempo transcurrido “t” de caída libre depende de la altura “h” que desciende y de la aceleración de la gravedad “g”. Sabiendo que: t = 2 .h a .g b , determine (a- b). Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [t ] =  2  .[ h ] .[ g ] a b   T = (1) . ( L ) . ( L.T −2 ) a b L.0 T 1 = La +b .T −2b ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” L: 0 = a + b …(1) T: 1 = − 2b ⇒ b = − 1 …(2) 2 Reemplazando (2) en (1): a=+1 2 Respuesta: ( a + b ) = +1 Problema 42: El periodo de oscilación J de un péndulo simple, depende de la longitud Q de la cuerda y de la aceleración de la gravedad W, y tiene la siguiente forma: J = 2π .Q a .W b . Determine la fórmula empírica para determinar el periodo de oscilación: Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ J ] = [ 2π ].[Q ] .[W ] a b T = (1) . ( L ) . ( L.T −2 ) a b L.0 T 1 = La +b .T −2b ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” L: 0 = a + b …(1) T: 1 = − 2b ⇒ b = − 1 …(2) 2 Reemplazando (2) en (1): a = + 1 2 −1 J = 2π .Q 2 .W 1 2 Q Respuesta: J = 2π . W Problema 43: La fórmula que determina el módulo de la fuerza centrípeta F que experimenta una partícula, depende de la masa “m”, de la rapidez angular ω y del radio de curvatura de la trayectoria R. Determinar los exponentes que deben tener las tres variables físicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta. Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 22
  • 23. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) Resolución La fórmula empírica es: F = m .ω .R …(1) a b c Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ F ] = [ m] .[ω ] .[ R ] a b c M .L.T −2 = ( M ) .(T −1 ) .( L ) a b c M 1 .L1 .T −2 = M a .Lc .T − b ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” M: 1 = a L: 1 = c T: −2 = − b ⇒ b = 2 Reemplazando en (1): F = m.ω 2 .R Respuesta: a =1 ∧ b = 2 ∧ c = 1 Problema 44: La velocidad critica V a la cual el flujo de un líquido a través de un tubo se convierte en turbulento, depende de la viscosidad η , de la densidad del fluido δ , del diámetro D del tubo, de la constante adimensional R. Determine la fórmula empírica para calcular la velocidad en función de η , δ , D y R. La fórmula dimensional de la viscosidad es: M .L−1 .T −1 Resolución Fórmula empírica: V = R.η .δ .D …(1) a b c Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [V ] = [ R ].[η ] .[δ ] .[ D ] a b c L.T −1 = (1) .( M .L−1 .T −1 ) .( M .L−3 ) .( L ) a b c M 0 .L1 .T −1 = M a+b .L− a −3b+c .T − a ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” M: 0 = a + b T: −1 = − a ⇒ a = 1 ⇒ b = −1 L: 1 = − a − 3b + c 1 = − (1) − 3 ( −1) + c ⇒ c = −1 Reemplazando en (1): V = R.η 1 .δ −1 .D −1 R.η Respuesta: V = δ .D Problema 45: La fuerza de rozamiento en el interior de un fluido sobre una esfera en movimiento de depende de la viscosidad del liquido (n), el radio de la esfera (r) y la rapidez de la esfera (v): F = n a .r b .v c . La fórmula dimensional de la viscosidad es: M .L−1.T −1 . Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 23
  • 24. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) Determinar ( a + b + c ) Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ F ] = [ n ] .[ r ] .[ v ] a b c M .L.T −2 = ( M .L−1.T −1 ) . ( L ) . ( L.T −1 ) a b c M 1.L1.T −2 = M a .L− a +b + c .T − a − c ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” M: 1 = a T: −2 = − a − c ⇒ − 2 = −1 − c ⇒ c = +1 L: 1 = − a + b + c ⇒ 1 = −1 + b + 1 ⇒ b = +1 Reemplazando en: ( a + b + c ) Respuesta: (a + b + c) = 3 Problema 46: La presión “P” que ejerce el flujo de agua sobre una pared vertical viene dad por la siguiente fórmula empírica: P = λ.Q x .d y . A z donde, Q: caudal (m3/s) d: densidad del agua, A: área de la placa, λ : constante adimensional. Determine: x + y + z Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ P ] = [ λ ] . [ Q ] . [ d ] . [ A] x y z M .L−1.T −2 = (1) . ( L3 .T −1 ) . ( M .L−3 ) . ( L2 ) x y z M 1.L−1.T −2 = M y .L3 x −3 y + 2 z .T − x ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” M: 1 = y T: −2 = − x ⇒ x = 2 L: −1 = 3x − 3 y + 2 z ⇒ − 1 = 3 ( 2 ) − 3 (1) + 2 z ⇒ z = −2 Reemplazando en: P = λ.Q x .d y . A z P = λ .Q 2 .d . A−2 Respuesta: ( x + y + z) =1 Problema 47: La presión que un fluido ejerce sobre una pared, depende de la velocidad V del fluido, de su densidad D y tiene la siguiente forma: P = 2.V a .Db . Determinar la fórmula física correcta. Resolución. Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ P ] =  2  .[V ] .[ D ] a b   M .L−1 .T −2 = (1) . ( L.T −1 ) . ( M .L−3 ) a b Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 24
  • 25. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) M 1 .L−1 .T −2 = M b .La − 3b .T − a ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” M: 1 = b T: −2 = − a ⇒ a = 2 Reemplazando en: P = 2.V a .Db Respuesta: P = 2 .V .D 2 Problema 48: La energía por unidad de longitud (ψ ) de una cuerda vibrante, depende de un coeficiente 2π 2 , de la masa por unidad de longitud ( δ ), de la frecuencia ( f ) y de la amplitud del movimiento( A ). Determinar los exponentes que deben tener las tres variables físicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta. Resolución La fórmula empírica es: ψ = 2π .δ a . f b . Ac Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ψ ] = [ 2π ].[δ ] .[ f ] .[ A] a b c M .L2 .T −2 a M  = (1) .   . (T −1 ) . ( L ) b c L  L  M 1 .L1 .T −2 = ( M .L−1 ) . (T −1 ) . ( L ) a b c M 1 .L1 .T −2 = M a .L− a + c .T − b ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” M: 1 = a T: −2 = − b ⇒ b = 2 L: 1 = − a + c ⇒ 1 = −1 + c ⇒ c=2 La fórmula empírica es:ψ = 2π .δ . f 2 . A2 Respuesta: a =1 ∧ b = 2 ∧ c = 2 Problema 49: La cantidad de calor Q que disipa un conductor cuando por el circula una corriente eléctrica, depende de la intensidad de corriente eléctrica I, del valor de la resistencia R y del intervalo de tiempo transcurrido “t”. Determinar los exponentes que deben tener las tres variables físicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta. [ R ] = M 1.L2 .T −3 .I −2 Resolución La fórmula empírica es: Q = I a .R b .t c Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ Q ] = [ I ] .[ R ] . [ t ] a b c M .L2 .T −2 = ( I ) . ( M 1 .L2 .T −3 .I −2 ) . (T ) a b c M 1 .L2 .T −2 .I 0 = M b .L2b .T −3b + c .I a − 2b ”A bases iguales le corresponden exponentes iguales” M: 1 = b I: 0 = a − 2b ⇒ a = 2 Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 25
  • 26. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) T: −2 = − 3b + c ⇒ c = 1 La fórmula empírica es: Q = I 2 .R.t Respuesta: a = 2 ∧ b =1 ∧ c =1 Problema 50: Conociendo la fórmula física para determinar la cantidad de calor “Q” que gana o pierde un cuerpo: Q = m.Ce.∆T , donde “m” es la masa, Ce representa el calor especifico y ∆T es el cambio de la temperatura. Determine la fórmula dimensional del calor específico. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: Ce = Q ⇒ [Ce] = [Q ] m.∆T [ m].[ ∆T ] M .L2 .T −2 [Ce] = = L2 .T −2 .Θ −1 ( M ) .( Θ ) Respuesta: [Ce] = L2 .T −2 .Θ−1 q Problema 51: La intensidad de corriente eléctrica “i” se define como: i = , donde “q” es ∆t la cantidad de carga eléctrica que atraviesa la sección recta de un conductor en un intervalo de tiempo ∆t . Determine la fórmula dimensional de la carga eléctrica. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: q = i.∆t ⇒ [ q ] = [i ] .[ ∆t ] Respuesta: [ q ] = I .T Problema 52: La diferencia de potencial ∆V se define como la cantidad de trabajo W hecho W por el agente externo por cada unidad de cantidad de carga eléctrica q . Si ∆V = , q determine la fórmula dimensional del potencial eléctrico. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [W ] = M .L2 .T −2 = M .L2 .T −3 .I −1 [ ∆V ] = [q] I .T Respuesta: [ ∆V ] = M .L2 .T −3 .I −1 Problema 53: La diferencia de potencial ∆V entre los extremos de una resistencia R es directamente proporcional a la intensidad de corriente eléctrica i que la atraviesa. Si ∆V = i.R , determine la fórmula dimensional de la resistencia eléctrica. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 26
  • 27. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) [ ∆V ] = M .L2 .T −3 .I −1 = M .L2 .T −3 .I −2 [ R] = [i ] I Respuesta: [ R ] = M .L .T .I 2 −3 −2 Q Problema 54: La capacidad eléctrica “C” de un cuerpo conductor se define como: C = ∆V donde Q es la cantidad de carga que recibe el cuerpo y ∆V es el cambio de potencial eléctrico. Determine la fórmula dimensional de la capacidad eléctrica. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [Q ] = I .T [C ] = = M −1 .L−2 .T 4 .I 2 [ ∆V ] M .L .T .I 2 −3 −1 Respuesta: [C ] = M −1 .L−2 .T 4 .I 2 Problema 55: La fuerza F que actúa sobre un alambre recto de largo L, por el cual circula una corriente eléctrica i, dentro de un campo magnético de intensidad B es: F = i.L.B Determine la fórmula dimensional de la intensidad del campo magnético. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: B= F ⇒ [ B] = [F ] i.L [i ] .[ L ] M .L.T −2 [ B] = = M .T −2 .I −1 I .L Respuesta: [ B ] = M .T .I −2 −1 Problema 56: El flujo magnético φ se define como el producto de la intensidad del campo magnético B, por el área A y por el coseno del ángulo. φ = B. A.Cosθ Determine la fórmula dimensional del flujo magnético. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [φ ] = [ B ].[ A].[Cosθ ] [φ ] = ( M .T −2 .I −1 ) . ( L2 ) . (1) Respuesta: [φ ] = M .L .T .I 2 −2 −1 Problema 57: Si la longitud final de una barra al dilatarse está dada por la fórmula: L f = L0 (1 + α .∆T ) donde L0 es la longitud inicial de la barra, α representa el coeficiente de dilatación lineal y ∆T la variación de la temperatura. Determine la fórmula dimensional del coeficiente de dilatación lineal. Resolución Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 27
  • 28. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [1] = [α .∆T ] = [ numero] = 1 [α ].[ ∆T ] = 1 ⇒ [α ].Θ = 1 Respuesta: [α ] = Θ −1 Problema 58: El incremento de la entropía de un gas se calcula con la siguiente fórmula: ∆Q ∆S = donde ∆Q es la cantidad de calor absorbido por el gas a la temperatura absoluta T T. Determine la fórmula dimensional de la entropía. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ ∆Q ] ⇒ ∆S = M .L2 .T −2 [ ∆S ] = [ ] [T ] Θ Respuesta: [ ∆S ] = M .L2 .T −2 .Θ−1 Problema 59: La energía cinética promedio de una molécula monoatómica de un gas se 3 determina con la fórmula: E = K .T donde K representa a la constante de Boltzmann y T la 2 temperatura absoluta. Determine la fórmula dimensional de K. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: 3 [E] [ E ] =   [ K ].[T ] ⇒ [ K ] = 2 [T ] M .L2 .T −2 [K ] = Θ Respuesta: [ K ] = M .L .T .Θ 2 −2 −1 Problema 60: Se muestra la ecuación de estado termodinámico de un gas ideal: P.V = n.R.T donde P es la presión, V el volumen, “n” cantidad de sustancia, R la constante universal de los gases y T la temperatura absoluta. Resolución Aplicación del principio de homogeneidad dimensional: [ P ].[V ] = [ n].[ R ].[T ] ( M .L −1 .T −2 ) . ( L3 ) = ( N ) .[ R ] . ( Θ ) ( M .L −1 .T −2 ) . ( L3 ) [ R] = = M .L2 .T −2 .N −1 .Θ −1 N .Θ Respuesta: [ R ] = M .L2 .T −2 .Θ−1 .N −1 Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 28
  • 29. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 29
  • 30. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) PROBLEMAS PROPUESTOS DE DIMENSIONES Principio de homogeneidad dimensional 1. En la ecuación AB + BC + AC = Q2, donde Q es caudal, la fórmula dimensional del producto A.B.C es: 2. La siguiente es una fórmula física correcta: Q = K . A. 2 gh , donde; Q: caudal (m3/s), A : área; g : aceleración de la gravedad, h: altura. Determinar la fórmula dimensional de K. 1 1 3. La posición de una partícula sobre el eje X está dada por: x = k0 + k1T + k2T 2 + k3T 3 2 6  k .k  donde, x: distancia y T: tiempo. Determinar:  0 2   k1.k3  4. La posición de una partícula en el eje X está dada por: 1 1 1 x = k1 + k2T + k3T 2 + k4T 3 + k5T 4 2 6 24  k .k .k  donde; x se mide en metros y T en segundos. Determine:  1 3 5   k2 .k4  F .T 5. Determine la fórmula dimensional de A en la siguiente fórmula física: A = − B ; M .V donde, F: fuerza; T: tiempo; M: masa; V: velocidad m.v 3 3 6. Determine la fórmula dimensional de B en la siguiente fórmula física: B = + R ; F.A donde, m: masa; v: velocidad; F: fuerza; A: área m.v S ec60° 7. Determine la fórmula dimensional de C en la siguiente fórmula física: C = F .H donde, m: masa; v: velocidad; F: fuerza; H: altura 8. Determine la fórmula dimensional de D en la siguiente fórmula física: D = 2hg . A − 3 N donde: h: altura; g: aceleración, A: área W 9. Determine la fórmula dimensional de “E”, en la siguiente fórmula : E = m donde; W: trabajo m: masa 10. La fuerza F de atracción entre dos masas es directamente proporcional al producto de las masas ( m1 y m2) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia “d”, como indica la mm siguiente fórmula: F = K 1⋅ 2 2 . Determine la fórmula dimensional de la constante de d Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 30
  • 31. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) gravitación K. B+H 11. Determine la fórmula dimensional de “Z”, en la siguiente fórmula : Z = v. t donde, B : volumen t : tiempo v : velocidad A+ x P +U 12. En la siguiente fórmula: R = + ; determine la fórmula dimensional de y x “R” donde, A : aceleración U : fuerza c.t 2 13. Determine la fórmula dimensional de a.b.c en la siguiente fórmula física: d = a + b.t + 2 donde, d : distancia t : tiempo 14. Determine la fórmula dimensional de A.B.C en la siguiente fórmula física: C Sen30° = A + B.t + donde, t : tiempo t D. g . h 15. Determine la fórmula dimensional de H en la siguiente formula física: H = P donde, D: densidad g: gravedad h: altura P: presión X .V . A 16. Determine la fórmula dimensional de K en la siguiente fórmula física: K = E donde; X: distancia, V: velocidad, A: aceleración E: energía 17. La expresión dimensional del producto de la masa por la velocidad es igual a la expresión dimensional de: A) Energía multiplicada por el tiempo. B) Potencia multiplicada por el tiempo. C) Densidad multiplicada por la potencia. D) Fuerza multiplicada por la velocidad. E) Fuerza multiplicada por el tiempo. 18. Determine la fórmula dimensional de B, en la siguiente expresión que dimensionalmente T .P.Cos53° homogénea: B = +C δ donde: T = trabajo; P = presión; δ =densidad 19. En la ecuación X = A.Sen( B.t + φ ) + C.t 2 + D es dimensionalmente homogénea, A.C donde, X: distancia, t: tiempo. Determine la fórmula dimensional de B.D 20. La ecuación que permite calcular el gasto o caudal que circula por un orificio de un deposito es: Q = C. A. 2 gh , determine la fórmula dimensional de “C” siendo: Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 31
  • 32. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad)  litros  g: aceleración de la gravedad; Q: caudal  ; A: área; h: altura  segundo  21. Si las ecuaciones mostradas son dimensionalmente correctas, determine la fórmula dimensional de “X”: A + B = C + D, donde A.B = 6 (kg.m)2 y F 2A + 3H = 4C + 5E + X.F donde = 4m . C 22. En la siguiente expresión física dimensionalmente correcta: V = V0 + a.t , donde “V” se mide V en m/s , “a” en m/s2 y “t” en segundos. Entonces las unidades de 0 son: a 23. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determine la fórmula dimensional de “X”: X = ω . A.Cos (ω .t + δ ) , donde, A: longitud, t : tiempo. 24. En la siguiente fórmula física: A = Sen ( 30°+B. t ) + Cos ( 60°+C ) , determine la fórmula dimensional de A.B.C, donde, t : tiempo  2π t 2π x  25. En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea y = A ⋅ Sen  +  , donde “A”  J K  es la amplitud (en metros), “t” es el tiempo (en segundos) y “x” es la posición (en metros). y Determine la fórmula dimensional de J ⋅K 26. En cierto planeta la fuerza F de atracción entre dos masas es directamente proporcional al producto de las masas ( m1 y m2) e inversamente proporcional al cubo de la distancia “d”, mm como indica la siguiente fórmula: F = K 1⋅ 3 2 . Determine la fórmula dimensional de la d constante de gravitación K. 27. La fuerza F de repulsión, entre dos cargas eléctricas del mismo signo, es directamente proporcional al producto de las cargas (q1 y q2) en inversamente proporcional al cuadrado de qq la distancia “d”, como indica la siguiente fórmula: F = K 1⋅ 2 2 . Determine la fórmula d dimensional de K. PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES 28. Si N = 5 m2, S se mide en segundos, y A representa la aceleración, entonces la relación dimensionalmente correcta es: N N N A) A = B) A = N.S C) A = 2 D) A = 2 E) A = N .S 2 S S S 29. En la siguiente fórmula física: W = m C x ,determine el valor de “x”, donde: W : trabajo, m : masa C : velocidad Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 32
  • 33. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) d 30. Halla el valor de “x” en la siguiente fórmula física: T x = K.   . Donde,  a d: distancia a: aceleración T : tiempo K: número 31. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determine la fórmula dimensional  uk.nv.i .  de “n”: P = kE + 2π  , donde   P: presión, v: volumen, u: energía, i: intensidad de corriente eléctrica 32. Se tiene la siguiente ecuación homogénea, donde E es la energía y a es la longitud, si: x −x E = R.e + S .ea a , determine la fórmula dimensional de R.x 2 S FÓRMULAS EMPÍRICAS 33. La velocidad V de propagación de una onda mecánica, en una cuerda tensa, depende del módulo de la tensión T en la cuerda y de la densidad lineal de masa δ (masa/ longitud). Determine la fórmula empírica para determinar la velocidad de propagación. 34. La altura máxima H que alcanza una partícula, depende de la rapidez de lanzamiento vertical V x .g y V y de la aceleración de la gravedad, y tiene la siguiente forma: H = . Determine (x+y) x 35. La aceleración centrípeta “a” de una partícula, depende de la velocidad tangencial V y del radio de curvatura R de la trayectoria. Determine el exponente que afecta a R. 36. La velocidad V del sonido en un gas depende de la presión P y de la densidad del mismo gas, y tiene la siguiente forma: V = K.Px.Dy, donde K es una constante numérica. Determine la fórmula física para determinar la velocidad del sonido en cualquier gas. 37. El tiempo “t” de caída libre depende de la altura “h” que desciende y de la aceleración de la gravedad “g”. Sabiendo que: t = 2 hx.gy, determine (x – y). 38. El periodo de oscilación J de un péndulo simple, depende de la longitud Q de la cuerda y de la aceleración de la gravedad W, y tiene la siguiente forma: J = 2π.Qx.Wy. Determine la fórmula empírica para determinar el periodo de oscilación: 39. La fórmula que determina el módulo de la fuerza centrípeta F que experimenta una partícula, depende de la masa “m”, de la rapidez angular ω y del radio de curvatura de la trayectoria R. Determinar los exponentes que deben tener las tres variables físicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta. Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 33
  • 34. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) 40. La velocidad critica V a la cual el flujo de un líquido a través de un tubo se convierte en turbulento, depende de la viscosidad η , de la densidad del fluido δ , del diámetro D del tubo, de la constante adimensional R. Determine la fórmula empírica para calcular la velocidad en función de η , δ , D y R. La fórmula dimensional de la viscosidad es: ML-1T-1 41. La fuerza de rozamiento en el interior de un fluido sobre una esfera en movimiento de depende de la viscosidad del liquido (n), el radio de la esfera (r) y la rapidez de la esfera (v): F = nxryvz. La fórmula dimensional de la viscosidad es: ML-1T-1. Determinar (x+y+z) 42. La presión que un fluido ejerce sobre una pared, depende de la velocidad V del fluido, de su densidad D y tiene la siguiente forma: P = 2 Vx Dy. Determinar la fórmula física correcta. 43. La presión “P” que ejerce el flujo de agua sobre una pared vertical viene dad por la siguiente fórmula empírica: P = λ .Q x .d y . Az donde, Q: caudal (m3/s) d: densidad del agua, A: área de la placa, λ : constante adimensional. Determine: x+ y+ z 44. En un experimento de física, un cachimbo desea encontrar la velocidad del aire “V” que genera un ventilador mecánico, la cual depende de la fuerza “F” del aire, la potencia “P” desarrollada por la persona que acciona el ventilador y la fuerza de rozamiento “K”, encontrando la siguiente ecuación: V = α .F .P + B.K . Determine la fórmula dimensional de α B2 45. Experimentalmente se ha determinado que la fuerza de sustentación F que actúa sobre el ala del avión, depende del área S del ala, de la densidad D del aire y de la velocidad V del avión. Determine el exponente de la velocidad en la fórmula empírica. 46. La cantidad de calor Q que disipa un conductor cuando por el circula una corriente eléctrica, depende de la intensidad de corriente eléctrica I, del valor de la resistencia R y del intervalo de tiempo transcurrido “t”. Determinar los exponentes que deben tener las tres variables físicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta. 47. En la ecuación AB + BC + AC = P2, donde P es la presión, la fórmula dimensional del producto A.B.C es: 48. La energía por unidad de longitud (ψ) de una cuerda vibrante depende de un coeficiente 2π2, de la masa por unidad de longitud (δ), de la frecuencia (f) y de la amplitud del movimiento(A). Determinar los exponentes que deben tener las tres variables físicas para establecer una igualdad dimensionalmente correcta. 49. La cantidad de energía E y la cantidad de movimiento P, están relacionadas por la ecuación: E2 = AP2 + BC2, donde C es la rapidez de la luz en el vacío. Entonces las dimensiones de A y B son respectivamente. 50. La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula: P = kRxWyDz, donde: K es un número, R es el radio del hélice, W es la rapidez angular y D es la densidad del aire. Determinar: x, y , z. Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 34
  • 35. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) 51. La velocidad crítica V a la cual el flujo de un líquido a través de un tubo se convierte en [ ] −1 −1 turbulento, depende de la viscosidad n = ML T , de la densidad del fluido δ, del diámetro del tubo D y de una constante adimensional R. Determinar la formula empírica de la velocidad en función de n, δ y D. 52. La posición en el eje “x” de una partícula en función del tiempo “t” esta dado por: X (t ) = at 2 + bt 4 , donde X se mide en metros “t” en segundos. Determinar las unidades de: [ a.b] 53. En un sistema de unidades las tres magnitudes fundamentales son la velocidad de la luz C, la kg .m 2 constante de Planck “h” y la masa de protón “m”. Sabiendo que h = 6, 63 x10−34 . ¿De s qué manera deben combinarse estas magnitudes para que tengan la fórmula dimensional de la longitud? 3v3aFy xF 54. Se tiene la ecuación de cierto fenómeno físico: V = − Sen( zay ) 3 donde, V es la velocidad, “a” la aceleración y F la fuerza. Determine la fórmula dimensional de x, y, z respectivamente. 55. Conociendo la ecuación cinemática para determinar la posición de una partícula en el eje X : X (t ) = A + Bt + Ct 2 , donde X se mide en metros y “t” en segundos. Escoja entre las expresiones F, G y H, la que es dimensional mente correcta: A2 B C2 A B2 C F= − ; G= + ; H= + C 4 B 3 A 5 m.v 2 56. En la siguiente ecuación, determine la fórmula dimensional de C. Sen(ωt + π ) = , C.T .E donde: V representa la velocidad, “m” la masa, E la energía, T la temperatura. 57. La siguiente expresión representa la ecuación de estado de los gases reales.   n   V 2   P + a     − b  = R.T , donde P representa la presión, V al volumen y “n” la cantidad   V    n   de sustancia. Determine las unidades de “a” y “b” respectivamente. 58. La ecuación V = A.Sen( Bt ) + Ct sen 30°es dimensionalmente homogénea, en donde V: A.B velocidad y t: tiempo. Determine la expresión dimensional de . C Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 35
  • 36. DIMENSIONES (Coquito va a la Universidad) 59. La energía radiada (H) por un cuerpo a temperatura T es expresada mediante, H = σ AT γ , donde, σ = 5, 67.10−8 W 4 , A: área, T: temperatura absoluta. Determine el m2 K valor de γ 60. Respecto a la siguiente ecuación dimensional correcta: A = P + XV 2 , donde, P : presión, V: velocidad. Determine las unidades de X en el S.I. 61. La fuerza resistiva F sobre un glóbulo rojo de forma esférica en la sangre, depende del radio R, de la velocidad V y de la viscosidad η . Sabiendo que η= 0,003 kg.m-1s-1 , determinar la expresión para determinar la fuerza resistiva: F = 6πVxηyRz 62. La energía U almacenada en sistema depende de la capacitancia C y de la diferencia de 1 potencial V. Determinar los valores de x e y, sabiendo que: U = .C y .V x x FUENTES DE INFORMACIÓN Y BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL: http://grups.es/didactika/yahoo.com www.didactika.com http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com walter_perez_terrel@hotmail.com wperezterrel@gmail.com walter_perez_terrel@yahoo.com Lic. WALTER PEREZ TERREL/ 997089931/ walter_perez_terrel@hotmail.com Página 36