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Pregrado Programa de
Contabilidad
SESIÓN 08:
Programación Lineal
Pregrado
Pregrado Programa de
Contabilidad
Marcos la
gráfica es la
siguiente
¿Cómo puedo
graficar
𝑥 + 𝑦 < 5?
¿Cómo lo
habrá
realizado?
Pregrado Programa de
Contabilidad
Gráfico de inecuaciones con una variable
Las desigualdades lineales con una variable
pueden ser graficadas de dos maneras:
• En la recta numérica
• En el plano cartesiano
Ejemplo 1
Graficar 𝑥 > 5
En el plano cartesiano
Debemos seguir los siguientes pasos:
 Pruebe un punto en cada una de las regiones
formada por la gráfica del paso anterior. Si el
punto satisface la desigualdad aplique
sombreado a toda la región para indicar que
todo punto de ésta satisface la condición.
 Sustituya el signo de desigualdad por un
signo igual y trace la gráfica de la ecuación
resultante. Use una línea discontinua para
“<” o “>” y una línea continua para “≤” o “≥”
La gráfica correspondiente 𝑥 = 5 es una recta
vertical (paralela al eje 𝑦).
Pregrado Programa de
Contabilidad
Los puntos que satisfacen la desigualdad están
a la derecha de la recta.
𝑥
𝑦
5
línea discontinua, ya
que la desigualdad
es “>”.
Ejemplo 2
Graficar 𝑥 ≤ −2
La gráfica correspondiente 𝑥 = −2 es una recta
vertical (paralela al eje 𝑦).
𝑥
𝑦
−2
línea continua, ya
que la desigualdad
es “≤”.
Los puntos que satisfacen la desigualdad están
a la izquierda de la recta.
Pregrado Programa de
Contabilidad
Los puntos que satisfacen la desigualdad están
sobre la recta.
Ejemplo 3
Graficar 𝑦 ≤ −3
La gráfica correspondiente 𝑦 = −3 es una recta
horizontal (paralela al eje 𝑥).
𝑥
𝑦
−3 línea continua, ya
que la desigualdad
es “≤”.
Ejemplo 4
Graficar 𝑦 > −2
La gráfica correspondiente 𝑦 = −3 es una recta
horizontal (paralela al eje 𝑥).
𝑥
𝑦
−2
línea continua, ya
que la desigualdad
es “>”.
Pregrado Programa de
Contabilidad
Gráfico de inecuaciones con dos variables
Las desigualdades lineales con dos variables se
grafican en el plano cartesiano de la siguiente
manera:
Ejemplo 1
Graficar 𝑥 + 𝑦 < 5
 Pruebe un punto que no pertenezca a la recta
[sugerencia: (0,0)]. Si el punto satisface la
desigualdad aplique sombreado a toda la
región para indicar que todo punto de ésta
satisface la condición.
 Sustituya el signo de desigualdad por un signo
igual y trace la gráfica de la ecuación resultante
por medio de la tabulación. Use una línea
discontinua para “<” o “>” y una línea continua
para “≤” o “≥”
𝒙 𝒚
𝟎 5
5 𝟎
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥
𝑦
5
línea discontinua, ya
que la desigualdad
es “>”.
5
Como el (0;0) no satisface la
desigualdad, la gráfica está formada
por el semiplano que se encuentra
debajo de la recta.
Pregrado Programa de
Contabilidad
Ejemplo 2
Graficar 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 12
𝒙 𝒚
𝟎 4
6 𝟎
2𝑥 + 3𝑦 = 12
𝑥
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línea continua, ya
que la desigualdad
es “≥”.
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Como el (0;0) no satisface la
desigualdad, la gráfica está
formada por el semiplano que
se encuentra arriba de la
recta.
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Graficar 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 12
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Como el (0;0) no satisface la
desigualdad, la gráfica está
formada por el semiplano que
se encuentra arriba de la
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Gráfico de sistemas de inecuaciones
Los sistemas de desigualdades lineales y no
lineales se grafican en el plano cartesiano de la
siguiente manera:
Ejemplo 1
Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones
 Esta región (acotada o no acotada) representa el
conjunto solución del sistema.
 Trace la gráfica de cada desigualdad en el mismo
plano cartesiano, utilizando los casos anteriores, y
sombrear la región que verifica cada desigualdad.
 Encontrar la intersección de todas las regiones en
el plano cartesiano.
 Se verifica si los puntos que se encuentran en la
intersección de las curvas pertenecen al conjunto
solución.
𝑥 − 𝑦 ≤ 2
𝑥 ≥ −2
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Primero graficar cada una de las inecuaciones
lineales
Solución
Pregrado Programa de
Contabilidad
𝒙 𝒚
𝟎 −2
2 𝟎
𝑥 − 𝑦 = 2
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𝑥
𝑦
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𝑥 = −2
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De (𝐼) y (𝐼𝐼), se tiene:
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De (𝐼) y (𝐼𝐼𝐼), se tiene:
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Interceptando las regiones anteriores,
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𝑥
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−2
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Graficar el sistemas de inecuaciones lineales
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Primero graficar cada una de las inecuaciones
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𝒙 𝒚
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𝑥
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Pregrado Programa de
Contabilidad
Programación Lineal (bidimensional)
Es un método de optimización cuya finalidad es maximizar o minimizar una función lineal con dos
variables, llamada función objetivo, sujeta a restricciones que están dadas por inecuaciones lineales.
Estructura
Maximizar o Minimizar: 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐
Sujeto a restricciones: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 ≷ 𝑐1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 ≷ 𝑐2
⋮
𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 ≷ 𝑐𝑛
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
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Función objetivo
Pregrado Programa de
Contabilidad
Pasos para resolver un problema de
programación lineal
Ejemplo 1
Resuelva el siguiente problema
 Evaluar la función objetivo en los vértices.
 Graficar la región factible y determinar las
coordenadas de los vértices (puntos extremos o
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𝑥 + 𝑦 ≤ 10
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 24
𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0
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Solución
Maximizar
Sujeto a:
𝑧 = 𝑓 𝑥; 𝑦 = 6𝑥 + 3𝑦
 La región factible (acotada o no acotada) es
convexa.
 Si hay una solución óptima, esta se encuentra en
un punto extremo de la región factible.
 Si hay infinitas soluciones óptimas, estas se
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incluyendo los puntos extremos.
Pregrado Programa de
Contabilidad
Determinar las coordenadas de los puntos
extremos
𝑥 = 6 ; 𝑦 = 4
𝒙 𝒚
𝟎 10
10 𝟎
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥
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10
10
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𝟎 8
12 𝟎
2𝑥 + 3𝑦 = 24
𝑥
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12
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𝑥 + 𝑦 = 10
2𝑥 + 3𝑦 = 24
… 𝐼
… 𝐼𝐼
Multiplicando a (𝐼) por −3 y sumando a (𝐼𝐼)
𝑥
𝑦
10
(6; 4)
10
8
12
Pregrado Programa de
Contabilidad
Evaluamos la función objetivo en los vértices
𝑥
𝑦
10
(6; 4)
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Pregrado Programa de
Contabilidad
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a)
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Resuelva el siguiente problema
Máx. : 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 1.5𝑦
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  • 1. Pregrado Programa de Contabilidad SESIÓN 08: Programación Lineal Pregrado
  • 2. Pregrado Programa de Contabilidad Marcos la gráfica es la siguiente ¿Cómo puedo graficar 𝑥 + 𝑦 < 5? ¿Cómo lo habrá realizado?
  • 3. Pregrado Programa de Contabilidad Gráfico de inecuaciones con una variable Las desigualdades lineales con una variable pueden ser graficadas de dos maneras: • En la recta numérica • En el plano cartesiano Ejemplo 1 Graficar 𝑥 > 5 En el plano cartesiano Debemos seguir los siguientes pasos:  Pruebe un punto en cada una de las regiones formada por la gráfica del paso anterior. Si el punto satisface la desigualdad aplique sombreado a toda la región para indicar que todo punto de ésta satisface la condición.  Sustituya el signo de desigualdad por un signo igual y trace la gráfica de la ecuación resultante. Use una línea discontinua para “<” o “>” y una línea continua para “≤” o “≥” La gráfica correspondiente 𝑥 = 5 es una recta vertical (paralela al eje 𝑦).
  • 4. Pregrado Programa de Contabilidad Los puntos que satisfacen la desigualdad están a la derecha de la recta. 𝑥 𝑦 5 línea discontinua, ya que la desigualdad es “>”. Ejemplo 2 Graficar 𝑥 ≤ −2 La gráfica correspondiente 𝑥 = −2 es una recta vertical (paralela al eje 𝑦). 𝑥 𝑦 −2 línea continua, ya que la desigualdad es “≤”. Los puntos que satisfacen la desigualdad están a la izquierda de la recta.
  • 5. Pregrado Programa de Contabilidad Los puntos que satisfacen la desigualdad están sobre la recta. Ejemplo 3 Graficar 𝑦 ≤ −3 La gráfica correspondiente 𝑦 = −3 es una recta horizontal (paralela al eje 𝑥). 𝑥 𝑦 −3 línea continua, ya que la desigualdad es “≤”. Ejemplo 4 Graficar 𝑦 > −2 La gráfica correspondiente 𝑦 = −3 es una recta horizontal (paralela al eje 𝑥). 𝑥 𝑦 −2 línea continua, ya que la desigualdad es “>”.
  • 6. Pregrado Programa de Contabilidad Gráfico de inecuaciones con dos variables Las desigualdades lineales con dos variables se grafican en el plano cartesiano de la siguiente manera: Ejemplo 1 Graficar 𝑥 + 𝑦 < 5  Pruebe un punto que no pertenezca a la recta [sugerencia: (0,0)]. Si el punto satisface la desigualdad aplique sombreado a toda la región para indicar que todo punto de ésta satisface la condición.  Sustituya el signo de desigualdad por un signo igual y trace la gráfica de la ecuación resultante por medio de la tabulación. Use una línea discontinua para “<” o “>” y una línea continua para “≤” o “≥” 𝒙 𝒚 𝟎 5 5 𝟎 𝑥 + 𝑦 = 5 𝑥 𝑦 5 línea discontinua, ya que la desigualdad es “>”. 5 Como el (0;0) no satisface la desigualdad, la gráfica está formada por el semiplano que se encuentra debajo de la recta.
  • 7. Pregrado Programa de Contabilidad Ejemplo 2 Graficar 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 𝒙 𝒚 𝟎 4 6 𝟎 2𝑥 + 3𝑦 = 12 𝑥 𝑦 6 línea continua, ya que la desigualdad es “≥”. 4 Como el (0;0) no satisface la desigualdad, la gráfica está formada por el semiplano que se encuentra arriba de la recta. Ejemplo 3 Graficar 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 𝒙 𝒚 𝟎 4 6 𝟎 2𝑥 + 3𝑦 = 12 𝑥 𝑦 6 línea continua, ya que la desigualdad es “≥”. 4 Como el (0;0) no satisface la desigualdad, la gráfica está formada por el semiplano que se encuentra arriba de la recta.
  • 8. Pregrado Programa de Contabilidad Gráfico de sistemas de inecuaciones Los sistemas de desigualdades lineales y no lineales se grafican en el plano cartesiano de la siguiente manera: Ejemplo 1 Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones  Esta región (acotada o no acotada) representa el conjunto solución del sistema.  Trace la gráfica de cada desigualdad en el mismo plano cartesiano, utilizando los casos anteriores, y sombrear la región que verifica cada desigualdad.  Encontrar la intersección de todas las regiones en el plano cartesiano.  Se verifica si los puntos que se encuentran en la intersección de las curvas pertenecen al conjunto solución. 𝑥 − 𝑦 ≤ 2 𝑥 ≥ −2 𝑦 ≤ 3 Primero graficar cada una de las inecuaciones lineales Solución
  • 9. Pregrado Programa de Contabilidad 𝒙 𝒚 𝟎 −2 2 𝟎 𝑥 − 𝑦 = 2 𝑥 𝑦 2 −2 𝑥 > −2 𝑥 𝑦 −2 𝑦 ≤ 3 𝑥 𝑦 3 A continuación, se determinan los puntos de intersección entre las rectas. 𝑥 − 𝑦 = 2 𝑥 = −2 𝑦 = 3 … 𝐼 … 𝐼𝐼 … (𝐼𝐼𝐼)
  • 10. Pregrado Programa de Contabilidad De (𝐼) y (𝐼𝐼), se tiene: 𝑥 = −2 ; 𝑦 = −4 De (𝐼) y (𝐼𝐼𝐼), se tiene: 𝑥 = 5 ; 𝑦 = 3 De (𝐼) y (𝐼𝐼𝐼), se tiene: 𝑥 = −2 ; 𝑦 = 3 Interceptando las regiones anteriores, ubicando los puntos de intersección 𝑥 𝑦 2 −2 3 −2 (−2; 3) (−2; 3) (−2; −4) Conjunto solución 𝑥 ≥ −2 → 𝑦 ≤ 3 ↙ 𝑥 − 𝑦 ≤ 2 ↗
  • 11. Pregrado Programa de Contabilidad Graficar el sistemas de inecuaciones lineales 5𝑥 + 𝑦 ≥ 10 4𝑥 − 𝑦 ≥ 8 Ejemplo 2 Primero graficar cada una de las inecuaciones lineales Solución 𝒙 𝒚 𝟎 10 2 𝟎 5𝑥 + 𝑦 = 10 𝑥 𝑦 2 10 𝒙 𝒚 𝟎 −8 2 𝟎 4𝑥 − 𝑦 = 8 𝑥 𝑦 2 −8 A continuación, se determinan los puntos de intersección entre las dos rectas. 5𝑥 + 𝑦 = 10 4𝑥 − 𝑦 = 8 … 𝐼 … 𝐼𝐼
  • 12. Pregrado Programa de Contabilidad Sumando (𝐼) y (𝐼𝐼) 𝑥 𝑦 2 −8 9𝑥 = 18 𝑥 = 2 → 𝑦 = 2 Interceptando las regiones anteriores, ubicando los puntos de intersección 10 Conjunto solución 5𝑥 + 𝑦 ≥ 10 ↘ ↗ 𝑥 − 𝑦 ≤ 2
  • 13. Pregrado Programa de Contabilidad Programación Lineal (bidimensional) Es un método de optimización cuya finalidad es maximizar o minimizar una función lineal con dos variables, llamada función objetivo, sujeta a restricciones que están dadas por inecuaciones lineales. Estructura Maximizar o Minimizar: 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 Sujeto a restricciones: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 ≷ 𝑐1 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 ≷ 𝑐2 ⋮ 𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 ≷ 𝑐𝑛 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 Condición de no negatividad Su gráfica es la región factible Función objetivo
  • 14. Pregrado Programa de Contabilidad Pasos para resolver un problema de programación lineal Ejemplo 1 Resuelva el siguiente problema  Evaluar la función objetivo en los vértices.  Graficar la región factible y determinar las coordenadas de los vértices (puntos extremos o puntos frontera) los cuales son finita. 𝑥 + 𝑦 ≤ 10 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 24 𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0 Graficar la región factible Solución Maximizar Sujeto a: 𝑧 = 𝑓 𝑥; 𝑦 = 6𝑥 + 3𝑦  La región factible (acotada o no acotada) es convexa.  Si hay una solución óptima, esta se encuentra en un punto extremo de la región factible.  Si hay infinitas soluciones óptimas, estas se encuentran en un lado de la región factible incluyendo los puntos extremos.
  • 15. Pregrado Programa de Contabilidad Determinar las coordenadas de los puntos extremos 𝑥 = 6 ; 𝑦 = 4 𝒙 𝒚 𝟎 10 10 𝟎 𝑥 + 𝑦 = 10 𝑥 𝑦 10 10 𝒙 𝒚 𝟎 8 12 𝟎 2𝑥 + 3𝑦 = 24 𝑥 𝑦 12 8 𝑥 + 𝑦 = 10 2𝑥 + 3𝑦 = 24 … 𝐼 … 𝐼𝐼 Multiplicando a (𝐼) por −3 y sumando a (𝐼𝐼) 𝑥 𝑦 10 (6; 4) 10 8 12
  • 16. Pregrado Programa de Contabilidad Evaluamos la función objetivo en los vértices 𝑥 𝑦 10 (6; 4) (10; 0) (0; 8) 12 (0; 0) En 0; 0 → 𝑓 0; 0 = 6 0 + 3 0 = 0 En 0; 8 → 𝑓 0; 8 = 6 0 + 3 8 = 24 En 6; 4 → 𝑓 6; 4 = 6 6 + 3 4 = 48 En 10; 0 → 𝑓 10; 0 = 6 10 + 3 0 = 60 ∴ Máx. : 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑓 10; 0 = 60 Solución óptima Valor óptimo Región factible
  • 17. Pregrado Programa de Contabilidad Demostramos lo aprendido Hallar la región determinada por: a) b) Resuelva el siguiente problema Máx. : 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 1.5𝑦 s.a. 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 2 𝑥 − 2𝑦 ≤ 1 𝑥 ≤ 0 𝑥 + 𝑦 ≥ 2 𝑥 + 𝑦 ≤ 5 𝑦 ≤ 4𝑥 4𝑦 ≥ 𝑥 2𝑥 + 2𝑦 ≤ 160 𝑥 + 2𝑦 ≤ 120 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 280 𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0