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Profesor Jorge A Huarachi Chávez PhD.
j.huarachi@usat.edu.pe
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Curso Herramientas para la
toma de decisiones
SEMANA II SESION 3
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Contenido de la Sesión III
Introducción a la probabilidad
 Experimentos y el espacio de muestra
 Eventos y sus probabilidades
 Algunas relaciones básicas de probabilidad
 Teorema de Bayes

 Asignación de probabilidades a resultados
experimentales
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Incertidumbres
Los gerentes a menudo basan sus decisiones en un análisis
incertidumbres como las siguientes:
¿Cuáles son las posibilidades de que las ventas disminuyan
si aumentamos los precios?
¿Cuál es la probabilidad de un nuevo método de montaje
aumentará la productividad?
¿Cuáles son las probabilidades de que una nueva inversión
sea rentable?
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Probabilidad
La probabilidad es una medida numérica de la probabilidad
que ocurrirá un evento.
Los valores de probabilidad siempre se asignan en una escala
de 0 a 1.
Una probabilidad cercana a cero indica que un evento es bastante
poco probable que ocurra.
Una probabilidad cerca de uno indica que un evento es casi
seguro que ocurrirá.
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Probabilidad como medida numérica
de la probabilidad de ocurrencia
0 1
.
5
Aumento de la probabilidad de ocurrencia
Probabilidad:
El evento
es muy
Poco probable
que ocurra.
La ocurrencia
del evento es
tan probable como
es poco probable.
El evento
es casi
Cierto
ocurra
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Experimentos estadísticos
En las estadísticas, la noción de un experimento difiere
un poco de la de un experimento en el
ciencias físicas.
En los experimentos estadísticos, la probabilidad determina
Resultados.
A pesar de que el experimento se repite exactamente en
de la misma manera, un resultado completamente diferente puede
Ocurrir.
Por esta razón, los experimentos estadísticos son algunos-
llamados experimentos aleatorios.
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Un experimento y su espacio de muestra
Un experimento es cualquier proceso que genera
resultados definidos.
El espacio de muestra para un experimento es el conjunto de
todos los resultados experimentales.
Un resultado experimental también se denomina
Punto muestral.
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Un experimento y su espacio de muestra
Experimento
Lanzamiento de una moneda
Inspección de una pieza
Realizar una llamada de ventas
Rodar un Dado
Juega un partido de fútbol
Espacio de muestra
Cara, sello
Defectuoso, no defectuoso
Compra, no compra
1, 2, 3, 4, 5, 6
Ganar, perder, empate
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Asignación de probabilidades
 Requisitos básicos para la asignación de probabilidades
2. La suma de las probabilidades para todos los
los resultados deben ser iguales a 1.
P(E1) + P(E2) + . . . + P(En) = 1
Dónde:
n es el número de resultados experimentales
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Asignación de probabilidades
Método Clásico
Método de frecuencia relativa
Método subjetivo
Asignación de probabilidades basadas en la suposición
resultados igualmente probables
Asignación de probabilidades basadas en la experimentación
o datos históricos
Asignación de probabilidades basadas en el juicio
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Método Clásico
Si un experimento tiene n posibles resultados, el
método clásico asignaría una probabilidad de 1/n
a cada resultado.
Experimento: Rodando un dado
Espacio Muestra: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilidades: Cada punto muestral tiene un
1/6 chance de occurrir
 Ejemplo:Rodando un Dado
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Método de frecuencia relativa
Número de
Polishers Alquilados
Número
de días
0
1
2
3
4
4
6
18
10
2
Lucas Tool Rental desea asignar probabilidades
al número de pulidores de coches que alquila cada día.
Los registros de oficina muestran las siguientes frecuencias de
alquileres de los últimos 40 días.
 Ejemplo: Lucas Herramient de Renta Inc
www.usat.edu.pe
Cada asignación de probabilidad se da dividiendo
la frecuencia (número de días) por la frecuencia total
(número total de días).
Método de frecuencia relativa
4/40
Probabilidad
Número de
Polishers
Alquilados
Número
de días
0
1
2
3
4
4
6
18
10
2
40
.10
.15
.45
.25
.05
1.00
 Ejemplo: Lucas Tool Rental
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Método subjetivo
. Cuando las condiciones económicas y las circunstancias
cambian rápidamente podría ser probabilidades basadas
únicamente en datos históricos
 Podemos utilizar cualquier dato disponible, así como
 experiencia e intuición, pero en última instancia una
 probabilidad valor debe expresar nuestro grado de
 creencia de sobre losl resultados experimentales.
 Las mejores estimaciones de probabilidad a menudo
se obtienen combinando las estimaciones de la clásica
 o relativa frecuencia con la estimación subjetiva.

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Considere el caso en el que Tom y Judy Elsbernd sólo
hizo una oferta para comprar una casa. Dos resultados son
Posible:
E1 = su oferta es aceptada
E2 = su oferta es rechazada
Judy cree que la probabilidad de que su oferta sea
aceptada es de 0.8; por lo tanto, Judy establecería P(E1) =
0,8 y P(E2) = 0,2. Tom, sin embargo, cree que la
probabilidad de que su oferta sea aceptada es de 0,6; por lo
tanto, Tom establecería P(E1) = 0,6 y P(E2) = 0,4. Tenga en
cuenta que la estimación de probabilidad de Tom para E1
refleja un mayor pesimismo de que su oferta será aceptada.
Método subjetivo
 Ejemplo: Lucas Tool Rental
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Un evento es una colección de puntos de muestra.
La probabilidad de cualquier evento es igual a la suma de
las probabilidades de los puntos de muestra en el evento.
Si podemos identificar todos los puntos de muestra de un
experimentar y asignar una probabilidad a cada uno,
puede calcular la probabilidad de un evento.
Eventos y sus probabilidades
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Eventos y sus probabilidades
Evento E - Obtener un número par al rodar
el dado
E = {2, 4, 6}
P(E) = P(2) + P(4) + P(6)
= 1/6 + 1/6 + 1/6
= 3/6 = .5
 Ejemplo: Rodando un Dado

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Algunas relaciones básicas de probabilidad
Hay algunas relaciones básicas de probabilidad que
se puede utilizar para calcular la probabilidad de un
evento sin conocimiento de todas las probabilidades
de los puntos de la muestra.
Complemento de un evento
Probabilidad condicional
Ley de Multiplicación
Ley de Adición
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Bradley ha invertido en dos acciones, Markley Oil
y Collins Mining. Bradley ha determinado que los
posibles resultados de estas inversiones tres meses
a partir de ahora son los siguientes.
Ganancia o pérdida de inversión
en 3 Meses (en $000)
Markley Oil Collins Mining
10
5
0
-20
8
-2
 Ejemplo: Bradley Investments

Algunas relaciones básicas de probabilidad
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Un analista hizo las siguientes estimaciones de
probabilidad.
Exper. Resultado Ganancia o
pérdida neta
Probabilidad
(10, 8)
(10, -2)
(5, 8)
(5, -2)
(0, 8)
(0, -2)
(-20, 8)
(-20, -2)
Ganancias $18000
Ganancia de $8,000
Ganancia de $13,000
Ganancia de $3,000
Ganancia de $8,000
Pérdida de $2,000
Pérdida de $12,000
Perdida de $22,000
.20
.08
.16
.26
.10
.12
.02
.06
 Ejemplo: Bradley Investments

Algunas relaciones básicas de probabilidad
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Diagrama de árbol
Ganancia 5
Ganar 8
Ganar 8
Ganar 10
Ganar 8
Ganar 8
Pierde 20
Pierde 2
Pierde 2
Pierde 2
Pierde 2
Equilibrio
Markley Oil
(Stage 1)
Collins Mining
(Stage 2)
Experimental
Outcomes
(10, 8) Ganar $18,000
(10, -2) Ganar $8,000
(5, 8) Ganar $13,000
(5, -2) Ganar $3,000
(0, 8) Ganar $8,000
(0, -2) Perdida $2,000
(-20, 8) Perdida$12,000
(-20, -2) Perdida$22,000
 Ejemplo: Bradley Investments

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Eventos y sus probabilidades
Evento M = Markley Oil Profitable
M = {(10, 8), (10, -2), (5, 8), (5, -2)}
P(M) = P(10, 8) + P(5, 8) + P(0, 8) + P(-20, 8)
= .20 + .08 + .16 + .26
= .70
 Ejemplo: Bradley Investments

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El complemento de A es denotado por . Ac
El complemento del evento A se define como el evento
que consiste en todos los puntos de muestra que no están en A.
Complemento de un evento
Evento A Ac
Muestra
Espacio S
Diagrama
Venn
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La unión de los eventos A y B se denota por A B
La unión de los eventos A y B es el evento que contiene
todos los puntos de muestra que están en A o B o ambos.
Unión de Dos Eventos
Muestra
Espacio S
Evento A Evento B
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Unión de Dos Eventos
Evento M = Markley Oil Profitable
Evento C = Collins Mining Profitable
M C = Markley Oil Profitable
or Collins Mining Profitable (o ambos)
M C = {(10, 8), (10, -2), (5, 8), (5, -2), (0, 8), (-20, 8)}
P(M C) = P(10, 8) + P(10, -2) + P(5, 8) + P(5, -2)
+ P(0, 8) + P(-20, 8)
= .20 + .08 + .16 + .26 + .10 + .02
= .82
 Ejemplo: Bradley Investments

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La intersección de los eventos A y B se denota por A 
La intersección de los eventos A y B es el conjunto de todos los
puntos de muestra que se encuentran en A y B.
Muestra
Espacio S
Evento A Evento B
Intersección de dos eventos
Intersección de A y B
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Intersección de dos eventos
Evento M = Markley Oil Profitable
Evento C = Collins Mining Profitable
M C = Markley Oil Profitable
y Collins Mining Profitable
M C = {(10, 8), (5, 8)}
P(M C) = P(10, 8) + P(5, 8)
= .20 + .16
= .36
 Ejemplo: Bradley Investments

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La ley de adición proporciona una manera de calcular la
probabilidad de que el evento A, o B, o tanto A como B ocurran.
Ley de Adición
La ley está escrita como:
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A  B
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Evento M = Markley Oil Profitable
Evento C = Collins Mining Profitable
M C = Markley Oil Profitable
o Collins Mining Profitable
Conocemos P(M) = .70, P(C) = .48, P(M C) = .36
Asi : P(M  C) = P(M) + P(C) - P(M  C)
= .70 + .48 - .36
= .82
Ley de Adición
(Este resultado es el mismo que el obtenido anteriormente
utilizando la definición de la probabilidad de un evento.)
 Ejemplo: Bradley Investments

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Eventos mutuamente excluyentes
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si el
eventos no tienen puntos de muestra en común.
Dos eventos son mutuamente excluyentes si, cuando un evento
ocurre, el otro no puede ocurrir.
Muestra
Espacio S
Evento A Evento B
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Eventos mutuamente exclusivos
Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, P(A  B = 0.
La ley adicional para eventos mutuamente excluyentes es:
P(A B) = P(A) + P(B)
No hay necesidad de
incluír “- P(A  B”
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La probabilidad de un evento dado que otro evento
ha ocurrido se denomina probabilidad condicional.
Una probabilidad condicional se calcula de la siguiente manera:
La probabilidad condicional de A dado B se denota
Por P(A|B).
Probabilidad condicional
( )
( | )
( )
P A B
P A B
P B


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Evento M = Markley Oil Profitable
Evento C = Collins Mining Profitable
Conocemos: P(M C) = .36, P(M) = .70
Asi
Probabilidad condicional
( ) .36
( | ) .5143
( ) .70
P C M
P C M
P M

  
= Collins Mining Profitable
dado Markley Oil Profitable
( | )
P C M
 Ejemplo: Bradley Investments

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Ley de Multiplicación
La ley de multiplicación proporciona una manera de calcular la
probabilidad de la intersección de dos eventos.
La ley está escrita como:
P(A B) = P(B)P(A|B)
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Evento M = Markley Oil Profitable
Evento C = Collins Mining Profitable
Conocemos: P(M) = .70, P(C|M) = .5143
Ley de Multiplicación
M C = Markley Oil Profitable
y Collins Mining Profitable
Asi: P(M  C) = P(M)P(M|C)
= (.70)(.5143)
= .36
(Este resultado es el mismo que el obtenido anteriormente
utilizando la definición de la probabilidad de un evento.)
 Ejemplo: Bradley Investments

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Tabla de probabilidad conjunta
Collins Mining
Profitable (C) Not Profitable (Cc)
Markley Oil
Profitable (M)
Not Profitable (Mc)
Total .48 .52
Total
.70
.30
1.00
.36 .34
.12 .18
Probabilidades conjuntas
(aparecer en el cuerpo
de la mesa) Probabilidades marginales
(aparecen en los márgenes
de la mesa)
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Eventos independientes
Si la probabilidad del evento A no cambia
existencia del evento B, diríamos que los acontecimientos A
y B son independientes.
Dos eventos A y B son independientes si:
P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B)
o
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La ley de multiplicación también se puede utilizar como una prueba
para ver si dos eventos son independientes.
La ley está escrita como:
P(A B) = P(A)P(B)
Ley de Multiplicación
para Eventos Independientes
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Evento M = Markley Oil Profitable
Evento C = Collins Mining Profitable
Conocemos: P(M  C) = .36, P(M) = .70, P(C) = .48
Pero P(M)P(C) = (.70)(.48) = .34, not .36
Son eventos M and C independentes?
Es P(M  C) = P(M)P(C) ?
Entonces: M y C no son independentes.
 Ejemplo: Bradley Investments

Ley de Multiplicación
para Eventos Independientes
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No confunda la noción de mutuamente excluyente
eventos con el de eventos independientes.
Dos eventos con probabilidades distintas de cero no pueden
mutuamente excluyentes e independientes.
Si se sabe que ocurre un evento mutuamente excluyente,
el otro no puede ocurrir.; por lo tanto, la probabilidad de que la
otros eventos que ocurren se reducen a cero (y
son, por lo tanto, dependientes).
Exclusividad mutua e independencia
Dos eventos que no son mutuamente excluyentes, podrían
o podría no ser independiente.
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Teorema de Bayes
Nueva
Informacion
Applicacion
of Bayes’
Theorema
Posteriores
Probabilities
Previas
Probabilidades
 A menudo comenzamos el análisis de probabilidad con
 probabilidades previas.

 A continuación, a partir de una muestra, informe especial o un
 producto prueba obtenemos información adicional.

 Dada esta información, calculamos probabilidades posteriores.
 El teorema de Bayes proporciona los medios para revisar
 el probabilidades previas.

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Podemos aplicar el teorema de Bayes a una fabricación
empresa que recibe envíos de piezas de dos
diferentes proveedores. Deje que A1 denote el evento que una
parte es del proveedor 1 y A2 denotan el evento de que una
parte es del proveedor 2.
Actualmente, el 65% de las piezas compradas por el son del
proveedor 1, y el 35% restante son del proveedor 2.
Por lo tanto, si se selecciona una pieza en al azar, asignaríamos
las probabilidades anteriores P(A1)
= 0.65 y P(A2) = 0.35.
Teorema de Bayes
 Ejemplo: Calidad de las piezas compradas
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La calidad de las piezas compradas varía
fuente de suministro. Dejaremos que G denote el evento que un
parte es buena y B denotan el evento de que una parte es mala.
Sobre la base de los datos históricos, las probabilidades
condicionales
de recibir partes buenas y malas de los dos
proveedores son:
P(G | Al) = 0.98 y P(B | A1) = 0.02
P(G | A2) = 0.95 y P(B | A2) = 0.05
Teorema de Bayes
 Ejemplo: Calidad de las piezas compradas
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Toma de decisiones con probabilidades
• Enfoque de valor esperado
• Si se dispone de información probabilística sobre los
estados de la naturaleza, se puede utilizar el enfoque
del valor esperado (EV).
–Aquí se calcula la rentabilidad prevista para cada
decisión sumando los productos de la recompensa en
cada estado de la naturaleza y la probabilidad de que se
produzca el estado respectivo de la naturaleza.
–Se elige la decisión de obtener el mejor rendimiento
esperado.
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• El valor esperado de una alternativa de decisión es la
suma de los pagos ponderados para la alternativa de
decisión.
• El valor esperado (EV) de la alternativa de decisión di
se define como:
•
where: N = el número de estados de la naturaleza
P(sj ) = la probabilidad de estado de la
naturaleza sj
Vij = la recompensa correspondiente a la
decisión alternativa di y estado de la naturaleza sj
Valor esperado de una alternativa de decisión
EV( ) ( )
d P s V
i j ij
j
N



1
EV( ) ( )
d P s V
i j ij
j
N



1
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Enfoque de valor esperado
Calcule el valor esperado para cada
decisión. El árbol de decisión de la siguiente
diapositiva puede ayudar en este cálculo.
Aquí d1, d2 y d3 representan las alternativas
de decisión de construir un complejo
pequeño, mediano y grande, mientras que s1
y s2 representan los estados de la naturaleza
de fuerte demanda y demanda débil.
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Los árboles de decisión
 Un árbol de decisión es una representación
cronológica del problema de decisión.
 Cada árbol de decisiones tiene dos tipos de nodos;
los nodos redondos corresponden a los estados de la
naturaleza, mientras que los nodos cuadrados
corresponden a las alternativas de decisión.
 Las ramas que salen de cada nodo redondo
representan los diferentes estados de la naturaleza,
mientras que las ramas que salen de cada nodo
cuadrado representan las diferentes alternativas de
decisión.
 Al final de cada extremidad de un árbol están los
pagos obtenidos de la serie de ramas que componen
esa extremidad.
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Árbol de decisión
1
.8
.2
.8
.2
.8
.2
d1
d2
d3
s1
s1
s1
s2
s2
s2
Pagos
$8 mil
$7 mil
$14 mil
$5 mil
$20 mil
-$9 mil
2
3
4
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Valor Esperado (VE) para cada decisión
Elija la alternativa de decisión con el EV más
grande. Construir el gran complejo.
3
d1
d2
d3
VE = .8( 8 mil) + .2(7 mil) = $7.8 mil
VE = .8( 14 mil) + .2(5 mil) = $12.2 mil
VE = .8(20 mil) + .2(-9 mil) = $14.2 mil
Pequeño
Medio
Grande
2
1
4
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Valor esperado de la información perfecta
• Frecuentemente se dispone de información que
puede mejorar las estimaciones de probabilidad para
los estados de la naturaleza.
• El valor esperado de la información perfecta (EVPI)
es el aumento del beneficio esperado que resultaría
si se supiera con certeza qué estado de la naturaleza
se produciría.
• El EVPI proporciona un límite superior sobre el valor
esperado de cualquier información de muestra o
encuesta.
•
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Valor esperado de la información perfecta
• EVPI Calculation
–Paso 1:
Determinar el retorno óptimo correspondiente a cada
estado de la naturaleza.
Paso 2:
Calcular el valor esperado de estos retornos óptimos.
–Step 3:
Restar el EV de la decisión óptima del importe
determinado en el paso (2). Este EV se podría considerar
como el VALOR ESPERADO SIN INFORMACION PERFECTA
EVwoPI
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 Valor esperado con información perfecta (EVwPI)

 Valor esperado sin información perfecta (EVwoPI)

 Valor esperado de la información perfecta (EVPI)

Valor esperado de la información perfecta
EVWPI = .8(20 mil) + .2(7 mil) = $17.4 mil
EVwoPI = .8(20 mil) + .2(-9 mil) = $14.2 mil
EVPI = |EVwPI – EVwoPI| = |17.4 – 14.2| = $3.2 mil
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Análisis de riesgos
• Análisis de riesgos ayuda al responsable de la toma
de decisiones a reconocer la diferencia entre:
–El valor esperado de una alternativa de decisión,
y la recompensa que en realidad podría ocurrir
–El perfil de riesgo para una alternativa de
decisión muestra los posibles pagos para la
alternativa de decisión junto con sus
probabilidades asociadas.
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El perfil de riesgo para la alternativa de decisión del
complejo grande.
• La probabilidad de 0.8 para la respuesta
de $20 millones y la probabilidad de 0.2
para la respuesta de $9 millones
constituyen el perfil de riesgo para la
alternativa de decisión del complejo
grande.
54
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Perfil de riesgo
• Gran alternativa de decisión compleja
•
.20
.40
.60
.80
1.00
-10 -5 0 5 10 15 20
Probability
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Análisis de sensibilidad
• Análisis de sensibilidad puede utilizarse para
determinar cómo los cambios en los siguientes
entradas afectan a la alternativa de decisión
recomendada:
–Probabilidades para los estados de la naturaleza
–Valores de los pagos
–Si un pequeño cambio en el valor de una de las
entradas provoca un cambio en la alternativa de
decisión recomendada, se debe tener un esfuerzo
y un cuidado adicionales en la estimación del
valor de entrada.
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End of Chapter 4
www.usat.edu.pe
58
• El teorema de Bayes proporciona un medio para combinar
probabilidades previas determinadas de manera subjetiva
con probabilidades obtenidas por otros medios para
obtener probabilidades revisadas o posteriores.
• Se dice que una variables es aleatoria cuando no se sabe
con certeza el valor que tomará, sino solo los valores que
puede tomar y la probabilidad de que tome esos valores
• Distribución de Probabilidad es el conjunto de valores que
puede tomar una determinada variable aleatoria y sus
respectivas probabilidades.
• El criterio del valor monetario esperado adopta la accion
que tiene el mayor valor monetario esperado; es decir, dada
una eleccion entre acciones alternativas, el criterio del
VME dicta la eleccion de la accion cuyo VME es mayor
www.usat.edu.pe
59
• Anderson, D., Sweeney, D., & Williams, T. (2011). Métodos
cuantitativos para los negocios. México: Cengage Learning
Editores.
• Eppen, G., Gould, F., Schmidt, C., Moore, J., & Weatherford, L.
(2000). Investigación de operaciones en la ciencia
administrativa (Quinta Edición ed.). México: Prentice-Hall.
• Howard J. Weiss (2005) POM - QM FOR WINDOWS Versión 3
Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey,
07458.
Referencia : Autores de libros
www.usat.edu.pe
60
• Revisar el Cap. VI del Manual
POM-QM análisis de Decisión
con información perfecta con
probabilidades Ejemplo 1
Toma de decisión
• Resolver Ejercicios de Tarea II
Actividades para la siguiente sesión:
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Sesion 3 semana ii 3 analisis de decision con probabilidad

  • 1. www.usat.edu.pe www.usat.edu.pe Profesor Jorge A Huarachi Chávez PhD. j.huarachi@usat.edu.pe markaslayku9@Gmail.com Curso Herramientas para la toma de decisiones SEMANA II SESION 3
  • 2. www.usat.edu.pe Contenido de la Sesión III Introducción a la probabilidad  Experimentos y el espacio de muestra  Eventos y sus probabilidades  Algunas relaciones básicas de probabilidad  Teorema de Bayes   Asignación de probabilidades a resultados experimentales
  • 3. www.usat.edu.pe Incertidumbres Los gerentes a menudo basan sus decisiones en un análisis incertidumbres como las siguientes: ¿Cuáles son las posibilidades de que las ventas disminuyan si aumentamos los precios? ¿Cuál es la probabilidad de un nuevo método de montaje aumentará la productividad? ¿Cuáles son las probabilidades de que una nueva inversión sea rentable?
  • 4. www.usat.edu.pe Probabilidad La probabilidad es una medida numérica de la probabilidad que ocurrirá un evento. Los valores de probabilidad siempre se asignan en una escala de 0 a 1. Una probabilidad cercana a cero indica que un evento es bastante poco probable que ocurra. Una probabilidad cerca de uno indica que un evento es casi seguro que ocurrirá.
  • 5. www.usat.edu.pe Probabilidad como medida numérica de la probabilidad de ocurrencia 0 1 . 5 Aumento de la probabilidad de ocurrencia Probabilidad: El evento es muy Poco probable que ocurra. La ocurrencia del evento es tan probable como es poco probable. El evento es casi Cierto ocurra
  • 6. www.usat.edu.pe Experimentos estadísticos En las estadísticas, la noción de un experimento difiere un poco de la de un experimento en el ciencias físicas. En los experimentos estadísticos, la probabilidad determina Resultados. A pesar de que el experimento se repite exactamente en de la misma manera, un resultado completamente diferente puede Ocurrir. Por esta razón, los experimentos estadísticos son algunos- llamados experimentos aleatorios.
  • 7. www.usat.edu.pe Un experimento y su espacio de muestra Un experimento es cualquier proceso que genera resultados definidos. El espacio de muestra para un experimento es el conjunto de todos los resultados experimentales. Un resultado experimental también se denomina Punto muestral.
  • 8. www.usat.edu.pe Un experimento y su espacio de muestra Experimento Lanzamiento de una moneda Inspección de una pieza Realizar una llamada de ventas Rodar un Dado Juega un partido de fútbol Espacio de muestra Cara, sello Defectuoso, no defectuoso Compra, no compra 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ganar, perder, empate
  • 9. www.usat.edu.pe Asignación de probabilidades  Requisitos básicos para la asignación de probabilidades 2. La suma de las probabilidades para todos los los resultados deben ser iguales a 1. P(E1) + P(E2) + . . . + P(En) = 1 Dónde: n es el número de resultados experimentales
  • 10. www.usat.edu.pe Asignación de probabilidades Método Clásico Método de frecuencia relativa Método subjetivo Asignación de probabilidades basadas en la suposición resultados igualmente probables Asignación de probabilidades basadas en la experimentación o datos históricos Asignación de probabilidades basadas en el juicio
  • 11. www.usat.edu.pe Método Clásico Si un experimento tiene n posibles resultados, el método clásico asignaría una probabilidad de 1/n a cada resultado. Experimento: Rodando un dado Espacio Muestra: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidades: Cada punto muestral tiene un 1/6 chance de occurrir  Ejemplo:Rodando un Dado
  • 12. www.usat.edu.pe Método de frecuencia relativa Número de Polishers Alquilados Número de días 0 1 2 3 4 4 6 18 10 2 Lucas Tool Rental desea asignar probabilidades al número de pulidores de coches que alquila cada día. Los registros de oficina muestran las siguientes frecuencias de alquileres de los últimos 40 días.  Ejemplo: Lucas Herramient de Renta Inc
  • 13. www.usat.edu.pe Cada asignación de probabilidad se da dividiendo la frecuencia (número de días) por la frecuencia total (número total de días). Método de frecuencia relativa 4/40 Probabilidad Número de Polishers Alquilados Número de días 0 1 2 3 4 4 6 18 10 2 40 .10 .15 .45 .25 .05 1.00  Ejemplo: Lucas Tool Rental
  • 14. www.usat.edu.pe Método subjetivo . Cuando las condiciones económicas y las circunstancias cambian rápidamente podría ser probabilidades basadas únicamente en datos históricos  Podemos utilizar cualquier dato disponible, así como  experiencia e intuición, pero en última instancia una  probabilidad valor debe expresar nuestro grado de  creencia de sobre losl resultados experimentales.  Las mejores estimaciones de probabilidad a menudo se obtienen combinando las estimaciones de la clásica  o relativa frecuencia con la estimación subjetiva. 
  • 15. www.usat.edu.pe Considere el caso en el que Tom y Judy Elsbernd sólo hizo una oferta para comprar una casa. Dos resultados son Posible: E1 = su oferta es aceptada E2 = su oferta es rechazada Judy cree que la probabilidad de que su oferta sea aceptada es de 0.8; por lo tanto, Judy establecería P(E1) = 0,8 y P(E2) = 0,2. Tom, sin embargo, cree que la probabilidad de que su oferta sea aceptada es de 0,6; por lo tanto, Tom establecería P(E1) = 0,6 y P(E2) = 0,4. Tenga en cuenta que la estimación de probabilidad de Tom para E1 refleja un mayor pesimismo de que su oferta será aceptada. Método subjetivo  Ejemplo: Lucas Tool Rental
  • 16. www.usat.edu.pe Un evento es una colección de puntos de muestra. La probabilidad de cualquier evento es igual a la suma de las probabilidades de los puntos de muestra en el evento. Si podemos identificar todos los puntos de muestra de un experimentar y asignar una probabilidad a cada uno, puede calcular la probabilidad de un evento. Eventos y sus probabilidades
  • 17. www.usat.edu.pe Eventos y sus probabilidades Evento E - Obtener un número par al rodar el dado E = {2, 4, 6} P(E) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = .5  Ejemplo: Rodando un Dado 
  • 18. www.usat.edu.pe Algunas relaciones básicas de probabilidad Hay algunas relaciones básicas de probabilidad que se puede utilizar para calcular la probabilidad de un evento sin conocimiento de todas las probabilidades de los puntos de la muestra. Complemento de un evento Probabilidad condicional Ley de Multiplicación Ley de Adición
  • 19. www.usat.edu.pe Bradley ha invertido en dos acciones, Markley Oil y Collins Mining. Bradley ha determinado que los posibles resultados de estas inversiones tres meses a partir de ahora son los siguientes. Ganancia o pérdida de inversión en 3 Meses (en $000) Markley Oil Collins Mining 10 5 0 -20 8 -2  Ejemplo: Bradley Investments  Algunas relaciones básicas de probabilidad
  • 20. www.usat.edu.pe Un analista hizo las siguientes estimaciones de probabilidad. Exper. Resultado Ganancia o pérdida neta Probabilidad (10, 8) (10, -2) (5, 8) (5, -2) (0, 8) (0, -2) (-20, 8) (-20, -2) Ganancias $18000 Ganancia de $8,000 Ganancia de $13,000 Ganancia de $3,000 Ganancia de $8,000 Pérdida de $2,000 Pérdida de $12,000 Perdida de $22,000 .20 .08 .16 .26 .10 .12 .02 .06  Ejemplo: Bradley Investments  Algunas relaciones básicas de probabilidad
  • 21. www.usat.edu.pe Diagrama de árbol Ganancia 5 Ganar 8 Ganar 8 Ganar 10 Ganar 8 Ganar 8 Pierde 20 Pierde 2 Pierde 2 Pierde 2 Pierde 2 Equilibrio Markley Oil (Stage 1) Collins Mining (Stage 2) Experimental Outcomes (10, 8) Ganar $18,000 (10, -2) Ganar $8,000 (5, 8) Ganar $13,000 (5, -2) Ganar $3,000 (0, 8) Ganar $8,000 (0, -2) Perdida $2,000 (-20, 8) Perdida$12,000 (-20, -2) Perdida$22,000  Ejemplo: Bradley Investments 
  • 22. www.usat.edu.pe Eventos y sus probabilidades Evento M = Markley Oil Profitable M = {(10, 8), (10, -2), (5, 8), (5, -2)} P(M) = P(10, 8) + P(5, 8) + P(0, 8) + P(-20, 8) = .20 + .08 + .16 + .26 = .70  Ejemplo: Bradley Investments 
  • 23. www.usat.edu.pe El complemento de A es denotado por . Ac El complemento del evento A se define como el evento que consiste en todos los puntos de muestra que no están en A. Complemento de un evento Evento A Ac Muestra Espacio S Diagrama Venn
  • 24. www.usat.edu.pe La unión de los eventos A y B se denota por A B La unión de los eventos A y B es el evento que contiene todos los puntos de muestra que están en A o B o ambos. Unión de Dos Eventos Muestra Espacio S Evento A Evento B
  • 25. www.usat.edu.pe Unión de Dos Eventos Evento M = Markley Oil Profitable Evento C = Collins Mining Profitable M C = Markley Oil Profitable or Collins Mining Profitable (o ambos) M C = {(10, 8), (10, -2), (5, 8), (5, -2), (0, 8), (-20, 8)} P(M C) = P(10, 8) + P(10, -2) + P(5, 8) + P(5, -2) + P(0, 8) + P(-20, 8) = .20 + .08 + .16 + .26 + .10 + .02 = .82  Ejemplo: Bradley Investments 
  • 26. www.usat.edu.pe La intersección de los eventos A y B se denota por A  La intersección de los eventos A y B es el conjunto de todos los puntos de muestra que se encuentran en A y B. Muestra Espacio S Evento A Evento B Intersección de dos eventos Intersección de A y B
  • 27. www.usat.edu.pe Intersección de dos eventos Evento M = Markley Oil Profitable Evento C = Collins Mining Profitable M C = Markley Oil Profitable y Collins Mining Profitable M C = {(10, 8), (5, 8)} P(M C) = P(10, 8) + P(5, 8) = .20 + .16 = .36  Ejemplo: Bradley Investments 
  • 28. www.usat.edu.pe La ley de adición proporciona una manera de calcular la probabilidad de que el evento A, o B, o tanto A como B ocurran. Ley de Adición La ley está escrita como: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A  B
  • 29. www.usat.edu.pe Evento M = Markley Oil Profitable Evento C = Collins Mining Profitable M C = Markley Oil Profitable o Collins Mining Profitable Conocemos P(M) = .70, P(C) = .48, P(M C) = .36 Asi : P(M  C) = P(M) + P(C) - P(M  C) = .70 + .48 - .36 = .82 Ley de Adición (Este resultado es el mismo que el obtenido anteriormente utilizando la definición de la probabilidad de un evento.)  Ejemplo: Bradley Investments 
  • 30. www.usat.edu.pe Eventos mutuamente excluyentes Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si el eventos no tienen puntos de muestra en común. Dos eventos son mutuamente excluyentes si, cuando un evento ocurre, el otro no puede ocurrir. Muestra Espacio S Evento A Evento B
  • 31. www.usat.edu.pe Eventos mutuamente exclusivos Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, P(A  B = 0. La ley adicional para eventos mutuamente excluyentes es: P(A B) = P(A) + P(B) No hay necesidad de incluír “- P(A  B”
  • 32. www.usat.edu.pe La probabilidad de un evento dado que otro evento ha ocurrido se denomina probabilidad condicional. Una probabilidad condicional se calcula de la siguiente manera: La probabilidad condicional de A dado B se denota Por P(A|B). Probabilidad condicional ( ) ( | ) ( ) P A B P A B P B  
  • 33. www.usat.edu.pe Evento M = Markley Oil Profitable Evento C = Collins Mining Profitable Conocemos: P(M C) = .36, P(M) = .70 Asi Probabilidad condicional ( ) .36 ( | ) .5143 ( ) .70 P C M P C M P M     = Collins Mining Profitable dado Markley Oil Profitable ( | ) P C M  Ejemplo: Bradley Investments 
  • 34. www.usat.edu.pe Ley de Multiplicación La ley de multiplicación proporciona una manera de calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos. La ley está escrita como: P(A B) = P(B)P(A|B)
  • 35. www.usat.edu.pe Evento M = Markley Oil Profitable Evento C = Collins Mining Profitable Conocemos: P(M) = .70, P(C|M) = .5143 Ley de Multiplicación M C = Markley Oil Profitable y Collins Mining Profitable Asi: P(M  C) = P(M)P(M|C) = (.70)(.5143) = .36 (Este resultado es el mismo que el obtenido anteriormente utilizando la definición de la probabilidad de un evento.)  Ejemplo: Bradley Investments 
  • 36. www.usat.edu.pe Tabla de probabilidad conjunta Collins Mining Profitable (C) Not Profitable (Cc) Markley Oil Profitable (M) Not Profitable (Mc) Total .48 .52 Total .70 .30 1.00 .36 .34 .12 .18 Probabilidades conjuntas (aparecer en el cuerpo de la mesa) Probabilidades marginales (aparecen en los márgenes de la mesa)
  • 37. www.usat.edu.pe Eventos independientes Si la probabilidad del evento A no cambia existencia del evento B, diríamos que los acontecimientos A y B son independientes. Dos eventos A y B son independientes si: P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) o
  • 38. www.usat.edu.pe La ley de multiplicación también se puede utilizar como una prueba para ver si dos eventos son independientes. La ley está escrita como: P(A B) = P(A)P(B) Ley de Multiplicación para Eventos Independientes
  • 39. www.usat.edu.pe Evento M = Markley Oil Profitable Evento C = Collins Mining Profitable Conocemos: P(M  C) = .36, P(M) = .70, P(C) = .48 Pero P(M)P(C) = (.70)(.48) = .34, not .36 Son eventos M and C independentes? Es P(M  C) = P(M)P(C) ? Entonces: M y C no son independentes.  Ejemplo: Bradley Investments  Ley de Multiplicación para Eventos Independientes
  • 40. www.usat.edu.pe No confunda la noción de mutuamente excluyente eventos con el de eventos independientes. Dos eventos con probabilidades distintas de cero no pueden mutuamente excluyentes e independientes. Si se sabe que ocurre un evento mutuamente excluyente, el otro no puede ocurrir.; por lo tanto, la probabilidad de que la otros eventos que ocurren se reducen a cero (y son, por lo tanto, dependientes). Exclusividad mutua e independencia Dos eventos que no son mutuamente excluyentes, podrían o podría no ser independiente.
  • 41. www.usat.edu.pe Teorema de Bayes Nueva Informacion Applicacion of Bayes’ Theorema Posteriores Probabilities Previas Probabilidades  A menudo comenzamos el análisis de probabilidad con  probabilidades previas.   A continuación, a partir de una muestra, informe especial o un  producto prueba obtenemos información adicional.   Dada esta información, calculamos probabilidades posteriores.  El teorema de Bayes proporciona los medios para revisar  el probabilidades previas. 
  • 42. www.usat.edu.pe Podemos aplicar el teorema de Bayes a una fabricación empresa que recibe envíos de piezas de dos diferentes proveedores. Deje que A1 denote el evento que una parte es del proveedor 1 y A2 denotan el evento de que una parte es del proveedor 2. Actualmente, el 65% de las piezas compradas por el son del proveedor 1, y el 35% restante son del proveedor 2. Por lo tanto, si se selecciona una pieza en al azar, asignaríamos las probabilidades anteriores P(A1) = 0.65 y P(A2) = 0.35. Teorema de Bayes  Ejemplo: Calidad de las piezas compradas
  • 43. www.usat.edu.pe La calidad de las piezas compradas varía fuente de suministro. Dejaremos que G denote el evento que un parte es buena y B denotan el evento de que una parte es mala. Sobre la base de los datos históricos, las probabilidades condicionales de recibir partes buenas y malas de los dos proveedores son: P(G | Al) = 0.98 y P(B | A1) = 0.02 P(G | A2) = 0.95 y P(B | A2) = 0.05 Teorema de Bayes  Ejemplo: Calidad de las piezas compradas
  • 44. www.usat.edu.pe Toma de decisiones con probabilidades • Enfoque de valor esperado • Si se dispone de información probabilística sobre los estados de la naturaleza, se puede utilizar el enfoque del valor esperado (EV). –Aquí se calcula la rentabilidad prevista para cada decisión sumando los productos de la recompensa en cada estado de la naturaleza y la probabilidad de que se produzca el estado respectivo de la naturaleza. –Se elige la decisión de obtener el mejor rendimiento esperado.
  • 45. www.usat.edu.pe • El valor esperado de una alternativa de decisión es la suma de los pagos ponderados para la alternativa de decisión. • El valor esperado (EV) de la alternativa de decisión di se define como: • where: N = el número de estados de la naturaleza P(sj ) = la probabilidad de estado de la naturaleza sj Vij = la recompensa correspondiente a la decisión alternativa di y estado de la naturaleza sj Valor esperado de una alternativa de decisión EV( ) ( ) d P s V i j ij j N    1 EV( ) ( ) d P s V i j ij j N    1
  • 46. www.usat.edu.pe Enfoque de valor esperado Calcule el valor esperado para cada decisión. El árbol de decisión de la siguiente diapositiva puede ayudar en este cálculo. Aquí d1, d2 y d3 representan las alternativas de decisión de construir un complejo pequeño, mediano y grande, mientras que s1 y s2 representan los estados de la naturaleza de fuerte demanda y demanda débil.
  • 47. www.usat.edu.pe Los árboles de decisión  Un árbol de decisión es una representación cronológica del problema de decisión.  Cada árbol de decisiones tiene dos tipos de nodos; los nodos redondos corresponden a los estados de la naturaleza, mientras que los nodos cuadrados corresponden a las alternativas de decisión.  Las ramas que salen de cada nodo redondo representan los diferentes estados de la naturaleza, mientras que las ramas que salen de cada nodo cuadrado representan las diferentes alternativas de decisión.  Al final de cada extremidad de un árbol están los pagos obtenidos de la serie de ramas que componen esa extremidad.
  • 49. www.usat.edu.pe Valor Esperado (VE) para cada decisión Elija la alternativa de decisión con el EV más grande. Construir el gran complejo. 3 d1 d2 d3 VE = .8( 8 mil) + .2(7 mil) = $7.8 mil VE = .8( 14 mil) + .2(5 mil) = $12.2 mil VE = .8(20 mil) + .2(-9 mil) = $14.2 mil Pequeño Medio Grande 2 1 4
  • 50. www.usat.edu.pe Valor esperado de la información perfecta • Frecuentemente se dispone de información que puede mejorar las estimaciones de probabilidad para los estados de la naturaleza. • El valor esperado de la información perfecta (EVPI) es el aumento del beneficio esperado que resultaría si se supiera con certeza qué estado de la naturaleza se produciría. • El EVPI proporciona un límite superior sobre el valor esperado de cualquier información de muestra o encuesta. •
  • 51. www.usat.edu.pe Valor esperado de la información perfecta • EVPI Calculation –Paso 1: Determinar el retorno óptimo correspondiente a cada estado de la naturaleza. Paso 2: Calcular el valor esperado de estos retornos óptimos. –Step 3: Restar el EV de la decisión óptima del importe determinado en el paso (2). Este EV se podría considerar como el VALOR ESPERADO SIN INFORMACION PERFECTA EVwoPI
  • 52. www.usat.edu.pe  Valor esperado con información perfecta (EVwPI)   Valor esperado sin información perfecta (EVwoPI)   Valor esperado de la información perfecta (EVPI)  Valor esperado de la información perfecta EVWPI = .8(20 mil) + .2(7 mil) = $17.4 mil EVwoPI = .8(20 mil) + .2(-9 mil) = $14.2 mil EVPI = |EVwPI – EVwoPI| = |17.4 – 14.2| = $3.2 mil
  • 53. www.usat.edu.pe Análisis de riesgos • Análisis de riesgos ayuda al responsable de la toma de decisiones a reconocer la diferencia entre: –El valor esperado de una alternativa de decisión, y la recompensa que en realidad podría ocurrir –El perfil de riesgo para una alternativa de decisión muestra los posibles pagos para la alternativa de decisión junto con sus probabilidades asociadas.
  • 54. www.usat.edu.pe El perfil de riesgo para la alternativa de decisión del complejo grande. • La probabilidad de 0.8 para la respuesta de $20 millones y la probabilidad de 0.2 para la respuesta de $9 millones constituyen el perfil de riesgo para la alternativa de decisión del complejo grande. 54
  • 55. www.usat.edu.pe Perfil de riesgo • Gran alternativa de decisión compleja • .20 .40 .60 .80 1.00 -10 -5 0 5 10 15 20 Probability
  • 56. www.usat.edu.pe Análisis de sensibilidad • Análisis de sensibilidad puede utilizarse para determinar cómo los cambios en los siguientes entradas afectan a la alternativa de decisión recomendada: –Probabilidades para los estados de la naturaleza –Valores de los pagos –Si un pequeño cambio en el valor de una de las entradas provoca un cambio en la alternativa de decisión recomendada, se debe tener un esfuerzo y un cuidado adicionales en la estimación del valor de entrada.
  • 58. www.usat.edu.pe 58 • El teorema de Bayes proporciona un medio para combinar probabilidades previas determinadas de manera subjetiva con probabilidades obtenidas por otros medios para obtener probabilidades revisadas o posteriores. • Se dice que una variables es aleatoria cuando no se sabe con certeza el valor que tomará, sino solo los valores que puede tomar y la probabilidad de que tome esos valores • Distribución de Probabilidad es el conjunto de valores que puede tomar una determinada variable aleatoria y sus respectivas probabilidades. • El criterio del valor monetario esperado adopta la accion que tiene el mayor valor monetario esperado; es decir, dada una eleccion entre acciones alternativas, el criterio del VME dicta la eleccion de la accion cuyo VME es mayor
  • 59. www.usat.edu.pe 59 • Anderson, D., Sweeney, D., & Williams, T. (2011). Métodos cuantitativos para los negocios. México: Cengage Learning Editores. • Eppen, G., Gould, F., Schmidt, C., Moore, J., & Weatherford, L. (2000). Investigación de operaciones en la ciencia administrativa (Quinta Edición ed.). México: Prentice-Hall. • Howard J. Weiss (2005) POM - QM FOR WINDOWS Versión 3 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 07458. Referencia : Autores de libros
  • 60. www.usat.edu.pe 60 • Revisar el Cap. VI del Manual POM-QM análisis de Decisión con información perfecta con probabilidades Ejemplo 1 Toma de decisión • Resolver Ejercicios de Tarea II Actividades para la siguiente sesión: