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1
Econometria
• Sesion 1
• Alejandro Fonseca R.
2
El Papel de la
Econometría en el
análisis económico
Capítulo 1
3
Utiliza Información:
1. Información de la
Teoría Económica.
2. Información de los
datos económicos.
El papel de Econometría
4
Relaciones Económicas :
federal
budget
Dow-Jones
Stock Index
trade
deficit Federal Reserve
Discount Rate
capital gains tax
rent
control
laws
short term
treasury bills
power of
labor unions
crime rate
inflation
unemployment
money supply
5
Teoría Económica
Datos Económicos
} Decisiones
Económicas
Uso de la información efectivamente:
*Econometría* ayuda a combinar
teoría económica y datos económicos.
Desiciones Económicas
6
Consumo, c,
es función del ingreso, i :
c = f(i)
Para el análisis
econométrico esta
función de consumo debe
especificarse mas
precisamente.
La Función de Consumo
7
demanda, qd, para un bien individual:
qd = f( p, pc, ps, i )
Oferta, qs, de un bien individual:
qs = f( p, pc, pf )
p = precio propio; pc = precio de los complementos;
ps = precio de los substitutos; i = ingreso
p = precio propio; pc = precio de los productos competitivos;
ps = precio de los substitutos; pf = precio de los insumos
Demanda
Oferta
8
Listar las variables en una relación
económica no es suficiente.
Para una política efectiva
debemos saber la cantidad de
cambio necesario para que un
instrumento de política traiga el
efecto deseado:
¿Cuánto ?
 ¿Por cuánto debe la Reserva Federal de EU
elevar las tasas de interés para prevenir la
inflación?
 ¿Por cuánto se debe incrementar el precio de
los boletos de partidos de soccer para aun
tener estadio lleno?
9
Para contestar la pregunta
de ¿Cuánto?
Necesitamos estimar parámetros
que son:
1. desconocidos
y
2. no observables
10
Promedio o comportamiento sistemático
de muchos individuos o muchas firmas.
No a solo individuo o una sola firma.
A la gente le interesa la tasa de
desempleo y no si un individuo en
particular obtiene o no trabajo.
El modelo Estadístico
11
El modelo Estadístico
Consumo Actual vs. Predecido:
Actual = parte sistemática + error aleatorio
La parte sistemática provee la predicción,
f(i), pero lo actual diferirá por un error
aleatorio, e.
Consumo, c, es función, f, del
ingreso, i, con error, e:
c = f(i) + e
12
c = f(i) + e
Se necesita definir f(i) de alguna
manera.
Para hacer del consumo, c,
una función lineal del ingreso, i :
f(i) = 1 + 2 i
El modelo estadístico se
convierte en:
c = 1 + 2 i + e
La Función Consumo
13
• La variable dependiente, y,
esta enfocada a estudiar
(predecir o explicar cambios en
la variable dependiente).
• Las Variables Explicatorias, X2 y
X3, ayudan a explicar cambios
observados en la variable
dependiente.
y = 1 + 2 X2 + 3 X3 + e
El Modelo Econométrico
14
Modelos estadísticos
Experimento no-controlado
(econometría) explicando consumo-y :
cuando precio, X2, e ingreso, X3,
varian al mismo tiempo.
Experimento controlado (ciencia
“pura”) explicando efectos en la
masa, y, fijando X1 al mantener
variando la temperatura, X2 u
alguna otra variable.
Controlados (experimentales)
vs.
No-controlados (observacionales)
15
Modelo Econométrico
• modelo económico
•variables económicas y parámetros.
• modelo estadístico
•proceso de muestreo con sus
parámetros.
• datos
•valores observados de las variables.
16
• Incertidumbre con respecto a un
resultado.
• Relaciones sugeridas por la teoría
económica.
• Supuestos e hipótesis a ser
especificadas.
• Proceso de muestreo incluyendo
la forma funcional.
• Obtención de datos para el
análisis.
La Práctica de la Econometría
17
• Regla de estimación con buenas
propiedades estadísticas.
• Ajuste y prueba de un modelo
utilizando un programa de
computación.
• Analizar y evaluar implicaciones
de los resultados.
• Problemas y sugerir enfoques para
investigación posterior.
La Práctica de la Econometría
18
El Modelo de
Regresión Lineal
Capítulo 3
19
1. Estimar una relación entre
variables económicas,
tal como y = f(x).
2. Predecir el valor de una
variable, y, basados en el
valor de otra variable, x.
Propósito del Análisis
de Regresión
20
Gastos Semanales en Comida
• y = dólares gastados cada
semana en artículos de
comida.
• x = ingreso semanal del
consumidor.
• La relación entre x, y el valor
esperado de y, dado x, puede
ser lineal:
E(y|x) = 1 + 2 x
21
f(y|x=480)
f(y|x=480)
y
y|x=480
Distribucion de Probabilidad f(y|x=480)
de Gastos en Comida si el ingreso dado es x=$480.
22
f(y|x) f(y|x=480) f(y|x=800)
y
y|x=480 y|x=800
Distribución de Probabilidad de gastos en comida
dado los ingresos x=$480 y x=$800.
23
{
1
x
E(y|x)
E(y|x)
Gasto
Promedio
x (Ingreso)
E(y|x)=1+2x
2=
E(y|x)
x
El Modelo Económico: una relación lineal
entre gasto promedio en comida e ingreso.
24
.
.
xt
x1=480 x2=800
f(yt)
La función de densidad de probabilidad
para yt dados 2 niveles de ingreso, xt
Caso Homocedástico
ingreso
25
.
xt
x1 x2
f(yt)
La varianza de yt se incrementa
a medida que ingreso, xt , se incrementa.
Caso Heterocedástico
x3
.
.
ingreso
26
Supuestos del Modelo
de Regresión Lineal Simple
• 1. El valor promedio de y, dado x, esta
dado por la regresión lineal:
E(y) = 1 + 2x
• 2. Para cada valor de x, los valores de
y están distribuidos alrededor de su
media con varianza:
var(y) = 2
27
Supuestos del Modelo
de Regresión Lineal Simple
• 3. Los valores de y no están
correlacionados, tienen cero
covarianza y asi no relación
lineal:
cov(yi ,yj) = 0
• 4. La variable x debe tomar al
menos 2 valores diferentes, así
que x no es una constante.
28
• 5. (opcional)
Los valores de y están
normalmente distribuidos
alrededor de su media para
cada valor de x:
y ~ N [(1+2x),2 ]
Un supuesto mas que es
utilizado en la práctica
pero no requerido para los
mínimos cuadrados:
29
El término de Error
y es una variable aleatoria compuesta
de 2 partes:
I. Componente Sistemático:
E(y) = 1 + 2x
Esto es la media de y.
II. Componente Aleatorio: e = y - E(y)
= y - 1 - 2x
Esto se le llama el error aleatorio.
Juntos E(y) y e forman el modelo:
y = 1 + 2x + e
30
La relación entre y, e, ^ y
la verdadera línea de regresión.
.
.
.
.
y4
y1
y2
y3
x1 x2 x3 x4
}
}
{
{
e1
e2
e3
e4 E(y) = 1 + 2x
x
y
31
}
.
}
.
.
.
y4
y1
y2 y3
x1 x2 x3 x4
{
{
e1
e2
e3
e4
x
y
La relación entre y, e, ^ y
La línea de regresión ajustada.
y = b1 + b2x
^
.
.
.
.
y1
y2
y3
y4
^
^
^
^
^
^
^
^
32
{
{
.
.
.
.
.
y4
y1
y2 y3
x1 x2 x3 x4 x
y
La suma de residuos al cuadrado
de cualquier otra línea será mas grande.
y = b1 + b2x
^
.
.
.
y1
^
y3
^
y4
^ y = b1 + b2x
^* * *
*
e1
^*
e2
^*
y2
^*
e3
^*
*
e4
^*
*
{
{
33
f(.) f(e) f(y)
Función de Densidad de Probabilidad para e y y
0 1+2x
34
Los Supuestos del Término de Error
1. El valor de y, para cada valor de x, es
y = 1 + 2x + e
2. El valor promedio de el error aleatorio
“e” es:
E(e) = 0
3. La varianza del error aleatorio “e” es:
var(e) = 2 = var(y)
4. La covarianza entre cualquier par de
“e”s es:
cov(ei ,ej) = cov(yi ,yj) = 0
35
Los Supuestos del Término de Error
5. x debe tomar al menos dos
valores diferentes para que x no
sea una constante.
6. e esta normalmente distribuido
con media 0, var(e)=2 (opcional)
e ~ N(0,2)
36
Naturaleza no-observable
del Término de Error
1. Factores no especificados / variables
explicatorias, que no están en el
modelo, pueden estar en el término
de error.
2. Error de aproximación está en el
termino de error si la relación entre y
y x no es exactamente una relación
perfectamente lineal.
3. Estrictamente comportamiento
aleatorio no predecible que puede ser
único a esa observación, está en el
término de error.
37
• Población Valores de regresión
y t = 1 + 2x t + e t
• Población Línea de regresión:
E(y t|x t) = 1 + 2x t
• Muestra Valores de regresión:
y t = b1 + ^ b 2x t + e t
• Muestra Línea de regresión:
y t = b1 + b2x t
^
^
38
yt = 1 + 2xt + et
Minimizar la suma de las
desviaciones
al cuadrado de los errores :
S(1,2) = (yt - 1 - 2xt )2 (3.3.4)
t=1
T
et = yt - 1 - 2xt
39
Minimizar c.r. a 1 y 2:
S(1,2) = (yt - 1 - 2xt )2 (3.3.4)
t =1
T
= - 2 (yt - 1 - 2xt )
= - 2 xt(yt - 1 - 2xt )
S()
1
S()
2
Las 2 derivadas se igualan a cero y se resuelven estas 2
ecuaciones para las dos incognitas: 1 2
40
S(.)
S(.)
i
bi
.
.
.
Minimizar c.r. a 1 y 2:
S() = (yt - 1 - 2xt )2
t =1
T
S(.)
i
< 0
S(.)
i
> 0
S(.)
i
= 0
41
Para minimizar S(.), se igualan a cero
las 2 derivadas para obtener:
= - 2 (yt - b1 - b2xt ) = 0
= - 2 xt(yt - b1 - b2xt) = 0
S()
1
S()
2
Cuando estos dos términos son iguales a cero, 1 y 2
se convierten en b1 y b2 por que ya no mas representan
cualquier valor de 1 y 2, pero los valores especiales
que corresponden a el mínimo de S() .
42
- 2 (yt - b1 - b2xt ) = 0
- 2 xt(yt - b1 - b2xt ) = 0
yt - Tb1 - b2 xt = 0
xtyt - b1  xt - b2 xt = 0
2
Tb1 + b2 xt = yt
b1  xt + b2 xt = xtyt
2
43
Resolvemos para b1 y b2 utilizando definiciones
de x media y y media
Tb1 + b2 xt = yt
b1  xt + b2 xt = xtyt
2
T xtyt - xt yt
T xt - (xt)
2 2
b2 =
b1 = y - b2 x
44
Elasticidades
cambio porcentual en y
cambio porcentual en x
 = =
x/x
y/y
=
y x
x y
Utilizando cálculo, podemos obtener la
elasticidad en cualquier punto:
 = lim =
y x
x y
y x
x y
x0
45
E(y) = 1 + 2 x
E(y)
x
= 2
Aplicando elasticidades
E(y)
x
= 2
=
E(y)
x
E(y)
x
46
Estimando elasticidades
y
x
= b2
=
y
x
y
x
^
yt = b1 + b2 xt = 4 + 1.5 xt
^
x = 8 = promedio de años de experiencia
y = $10 = tasa salarial promedio
= 1.5 = 1.2
8
10
= b2

y
x
^
47
Predicción
yt = 4 + 1.5 xt
^
Ecuación de regresión estimada:
xt = años de experiencia
yt = tasa salarial predecida
^
Si xt = 2 años, entonces yt = $7.00 por hora.
^
Si xt = 3 años, entonces yt = $8.50 por hora.
^
48
Modelos log-log
ln(y) = 1 + 2 ln(x)
ln(y)
x
ln(x)
x
= 2
y
x
= 2
1
y
x
x
1
x
49
y
x
= 2
1
y
x
x
1
x
= 2
y
x
x
y
elasticidad de y con respecto a x:
= 2
y
x
x
y
 =
50
Propiedades de los
Estimadores de
Mínimos Cuadrados
Capítulo 4
51
yt = Gastos semanales en comida
Modelo Simple de Regresión Lineal
yt = 1 + 2 xt + t
xt = Ingreso Semanal
Para un nivel dado de xt, el nivel
esperado de gastos en comida
será:
E(yt|xt) = 1 + 2 xt
52
1. yt = 1 + 2x t +  t
2. E( t) = 0 <=> E(yt) = 1 + 2x t
3. var( t) = 2 = var(yt)
4. cov( i, j) = cov(yi,yj) = 0
5. x t no es constante para cada observación
6.  t~N(0,2) <=> yt~N(1+ 2x t,2)
Supuestos del modelo Simple
de Regresión Lineal
53
Los parámetros de la población 1 y 2 son
constantes desconocidas de la población.
Las fórmulas que producen las estimaciones
muestrales b1 y b2 son llamadas los estimadores de 1 y 2.
Cuando b1 y b2 son usadas para representar las
fórmulas mas que los valores específicos, son
llamados los estimadores de 1 y 2 las cuales son
variables aleatorias por que son diferentes de
muestra en muestra.
54
• Si los estimadores de mínimos cuadrados
b0 y b1 son variables aleatorias,
entonces¿cuáles son sus medias,
varianzas, covarianzas y distribuciones de
probabilidad?
• Compararemos las propiedades de
estimadores alternos a las propiedades de
las de los estimadores de MCO.
Los estimadores son Variables
aleatorias (las estimaciones no)
55
Los Valores Esperados de b1 y b2
Las fórmulas de los estimadores de MCO
en el caso de la regresión simple:
b2 =
Txtyt - xt yt
Txt -(xt)
2 2
b1 = y - b2x
donde y = yt / T y x = xt / T
(3.3.8a)
(3.3.8b)
56
Substituyendo en yt = 1 + 2xt + t
para obtener:
b2 = 2 +
Txtt - xt t
Txt -(xt)
2 2
La media de b2 es:
Eb2 = 2 +
TxtEt - xt Et
Txt -(xt)
2 2
Puesto que Et = 0, entonces Eb2 = 2 .
57
El resultado Eb2 = 2
significa que la distribución de
b2 está centrada en 2.
Puesto que la distribución de b2
esta centrada en 2 ,decimos que
b2 es un estimador
insesgado de 2.
Un Estimador Insesgado
58
El resultado de insesgamiento anterior
supone que estamos usando el modelo
correcto.
Especificación del modelo
equivocado
Si el modelo es la forma equivocada,
o excluye variables importantes,
entonces Et = 0, entonces Eb2 = 2 .
59
Estimador Insesgado del Intercepto
De una manera similar, para el estimador
b1del intercepto o término constante
puede mostrarse que es un estimador
insesgado de 1 cuando el modelo esta
correctamente especificado.
Eb1 = 1
60
b2 =
Txtyt  xt yt
Txt (xt)
2 2 (3.3.8a)
(4.2.6)
Expresiones equivalentes para b2:
Multiplicando y expandiendo
todo por T:
b2 =
(xt  x )yt  y )
xt  x )2
61
Varianza de b2
Dado que ambos yt y t tienen
varianza 2,la varianza del
estimador de b2 es:
b2 es una función de los valores de yt
pero var(b2) no implica a yt
directamente.
xt  x
2
2
var(b2) =
62
Varianza de b1
xt  x2
var(b1) = 2
xt
2
la varianza del estimador b1 es:
b1 = y  b2x
Dado
63
Covarianza de b1 y b2
xt  x2
cov(b1,b2) = 2
x
Si x = 0, la pendiente puede cambiar
sin afectar la varianza.
64
¿Qué factores determinan
la varianza y covarianza?
1. 2: incertidumbre acerca de los valores de
yt e incertidumbre acerca de la relación
entre b1, b2 .
2. A más dispersión de los valores de xt mas
confianza tenemos en b1, b2, etc.
3. A más grande el tamaño de la muestra, T,
mas pequeñas son las varianzas y
covarianzas.
4. La varianza de b1 es mas pequeña cuando
los valores al cuadrado de xt están mas
lejos de cero en cualquier dirección.
65
Teorema de Gauss-Markov
Bajo los primeros cinco supuestos del
modelo de regresión lineal, los
estimadores de MCO b1 y b2 tienen la
varianza más pequeña de todos los
estimadores lineales e insesgados de 1 y
2.
Esto significa que b1 y b2 son los mejores
estimadores lineales insesgados MELI
(the Best Linear Unbiased Estimators
BLUE) of 1 and 2.
66
Implicaciones de Gauss-Markov
1. b1 and b2 son “mejores” dentro de la
clase de estimadores lineales e
insesgados.
2. “Mejor” significa la varianza mas
pequeña dentro de la clase de
lineales/insesgados.
3. Todos los primeros cinco supuestos
deben mantenerse para satisfacer
Gauss-Markov.
67
Implicaciones de Gauss-Markov
4. Gauss-Markov no requiere el
supuesto 6: normalidad.
5. G-Markov no se basa en el principio
de MCO pero en b1 y b2.
68
Implicaciones G-Markov (continua)
6. Si no nos satisface con restringir
nuestra estimación a la clase de
estimadores lineales insesgados,
debemos ignorar el teorema Gauss-
Markov y utilizar algún otro estimador
no lineal o sesgado.
(Nota: un estimador sesgado o no
lineal podría tener varianza mas
pequeña que aquellos que satisfacen
Gauss-Markov.)
69
Implicaciones G-Markov (continua)
7. Gauss-Markov aplica a los
estimadores b1 y b2 y no a
estimaciones con valores muestrales
particulares
de b1 y b2.
70
Distribución de Probabilidad
de los estimadores de mínimos
cuadrados ordinarios MCO
b2 ~ N 2 ,
xt  x
2
2
b1 ~ N 1 ,xt  x2
2 xt
2
71
yt y t Distribuidas normalmente
El estimador de MCO de 2 puede ser
expresado como una combinación
lineal de yt’s:
b2 = wt yt
b1 = y  b2x xt  x
2
donde wt =
xt  x
Esto significa que b1 y b2 son normales
puesto que combinaciones lineales de
normales son normales.
72
Distribuidas normalmente
bajo el teorema del límite central
Si los primeros supuestos Gauss-
Markov se mantienen, y el tamaño de
la muestra, T,es suficientemente
grande, entonces los estimadores de
MCO, b1 y b2, tienen una distribución
que se aproxima a la normal con
gran precisión cuanto más grande es
la muestra,T.
73
Consistencia
Queremos que nuestros
estimadores, b1 y b2, se colapsen en
los valores reales de la población, 1
y 2, a medida que el tamaño de la
muestra, T, va hacia el infinito.
74
Consistencia
Una manera de lograr esta
consistencia es que las varianzas de
b1 y b2 vayan a cero a medida que T va
al infinito.
Puesto que las fórmulas para las
varianzas de los estimadores de
MCO b1 y b2 muestran que sus
varianzas de hecho van a cero,
entonces b1 y b2, son estimadores
consistentes de 1 y 2.
75
Estimando la varianza
del término de error, 2
et = yt b1  b2 xt
^
et
^
t =1
T
2
T2

=

es un estimador insesgado de 2
^
^
76
La predicción de MC, yo
^
Dado un valor de una variable
explicatoria Xo, queremos predecir
un valor de la variable
dependiente, yo.
La predicción es:
yo = b1 + b2 xo (4.7.2)
^
77
Nota: El libro de texto utiliza el
símbolo mostrado
para marcar secciones con
material avanzado:
“Skippy”

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  • 1. 1 Econometria • Sesion 1 • Alejandro Fonseca R.
  • 2. 2 El Papel de la Econometría en el análisis económico Capítulo 1
  • 3. 3 Utiliza Información: 1. Información de la Teoría Económica. 2. Información de los datos económicos. El papel de Econometría
  • 4. 4 Relaciones Económicas : federal budget Dow-Jones Stock Index trade deficit Federal Reserve Discount Rate capital gains tax rent control laws short term treasury bills power of labor unions crime rate inflation unemployment money supply
  • 5. 5 Teoría Económica Datos Económicos } Decisiones Económicas Uso de la información efectivamente: *Econometría* ayuda a combinar teoría económica y datos económicos. Desiciones Económicas
  • 6. 6 Consumo, c, es función del ingreso, i : c = f(i) Para el análisis econométrico esta función de consumo debe especificarse mas precisamente. La Función de Consumo
  • 7. 7 demanda, qd, para un bien individual: qd = f( p, pc, ps, i ) Oferta, qs, de un bien individual: qs = f( p, pc, pf ) p = precio propio; pc = precio de los complementos; ps = precio de los substitutos; i = ingreso p = precio propio; pc = precio de los productos competitivos; ps = precio de los substitutos; pf = precio de los insumos Demanda Oferta
  • 8. 8 Listar las variables en una relación económica no es suficiente. Para una política efectiva debemos saber la cantidad de cambio necesario para que un instrumento de política traiga el efecto deseado: ¿Cuánto ?  ¿Por cuánto debe la Reserva Federal de EU elevar las tasas de interés para prevenir la inflación?  ¿Por cuánto se debe incrementar el precio de los boletos de partidos de soccer para aun tener estadio lleno?
  • 9. 9 Para contestar la pregunta de ¿Cuánto? Necesitamos estimar parámetros que son: 1. desconocidos y 2. no observables
  • 10. 10 Promedio o comportamiento sistemático de muchos individuos o muchas firmas. No a solo individuo o una sola firma. A la gente le interesa la tasa de desempleo y no si un individuo en particular obtiene o no trabajo. El modelo Estadístico
  • 11. 11 El modelo Estadístico Consumo Actual vs. Predecido: Actual = parte sistemática + error aleatorio La parte sistemática provee la predicción, f(i), pero lo actual diferirá por un error aleatorio, e. Consumo, c, es función, f, del ingreso, i, con error, e: c = f(i) + e
  • 12. 12 c = f(i) + e Se necesita definir f(i) de alguna manera. Para hacer del consumo, c, una función lineal del ingreso, i : f(i) = 1 + 2 i El modelo estadístico se convierte en: c = 1 + 2 i + e La Función Consumo
  • 13. 13 • La variable dependiente, y, esta enfocada a estudiar (predecir o explicar cambios en la variable dependiente). • Las Variables Explicatorias, X2 y X3, ayudan a explicar cambios observados en la variable dependiente. y = 1 + 2 X2 + 3 X3 + e El Modelo Econométrico
  • 14. 14 Modelos estadísticos Experimento no-controlado (econometría) explicando consumo-y : cuando precio, X2, e ingreso, X3, varian al mismo tiempo. Experimento controlado (ciencia “pura”) explicando efectos en la masa, y, fijando X1 al mantener variando la temperatura, X2 u alguna otra variable. Controlados (experimentales) vs. No-controlados (observacionales)
  • 15. 15 Modelo Econométrico • modelo económico •variables económicas y parámetros. • modelo estadístico •proceso de muestreo con sus parámetros. • datos •valores observados de las variables.
  • 16. 16 • Incertidumbre con respecto a un resultado. • Relaciones sugeridas por la teoría económica. • Supuestos e hipótesis a ser especificadas. • Proceso de muestreo incluyendo la forma funcional. • Obtención de datos para el análisis. La Práctica de la Econometría
  • 17. 17 • Regla de estimación con buenas propiedades estadísticas. • Ajuste y prueba de un modelo utilizando un programa de computación. • Analizar y evaluar implicaciones de los resultados. • Problemas y sugerir enfoques para investigación posterior. La Práctica de la Econometría
  • 18. 18 El Modelo de Regresión Lineal Capítulo 3
  • 19. 19 1. Estimar una relación entre variables económicas, tal como y = f(x). 2. Predecir el valor de una variable, y, basados en el valor de otra variable, x. Propósito del Análisis de Regresión
  • 20. 20 Gastos Semanales en Comida • y = dólares gastados cada semana en artículos de comida. • x = ingreso semanal del consumidor. • La relación entre x, y el valor esperado de y, dado x, puede ser lineal: E(y|x) = 1 + 2 x
  • 21. 21 f(y|x=480) f(y|x=480) y y|x=480 Distribucion de Probabilidad f(y|x=480) de Gastos en Comida si el ingreso dado es x=$480.
  • 22. 22 f(y|x) f(y|x=480) f(y|x=800) y y|x=480 y|x=800 Distribución de Probabilidad de gastos en comida dado los ingresos x=$480 y x=$800.
  • 23. 23 { 1 x E(y|x) E(y|x) Gasto Promedio x (Ingreso) E(y|x)=1+2x 2= E(y|x) x El Modelo Económico: una relación lineal entre gasto promedio en comida e ingreso.
  • 24. 24 . . xt x1=480 x2=800 f(yt) La función de densidad de probabilidad para yt dados 2 niveles de ingreso, xt Caso Homocedástico ingreso
  • 25. 25 . xt x1 x2 f(yt) La varianza de yt se incrementa a medida que ingreso, xt , se incrementa. Caso Heterocedástico x3 . . ingreso
  • 26. 26 Supuestos del Modelo de Regresión Lineal Simple • 1. El valor promedio de y, dado x, esta dado por la regresión lineal: E(y) = 1 + 2x • 2. Para cada valor de x, los valores de y están distribuidos alrededor de su media con varianza: var(y) = 2
  • 27. 27 Supuestos del Modelo de Regresión Lineal Simple • 3. Los valores de y no están correlacionados, tienen cero covarianza y asi no relación lineal: cov(yi ,yj) = 0 • 4. La variable x debe tomar al menos 2 valores diferentes, así que x no es una constante.
  • 28. 28 • 5. (opcional) Los valores de y están normalmente distribuidos alrededor de su media para cada valor de x: y ~ N [(1+2x),2 ] Un supuesto mas que es utilizado en la práctica pero no requerido para los mínimos cuadrados:
  • 29. 29 El término de Error y es una variable aleatoria compuesta de 2 partes: I. Componente Sistemático: E(y) = 1 + 2x Esto es la media de y. II. Componente Aleatorio: e = y - E(y) = y - 1 - 2x Esto se le llama el error aleatorio. Juntos E(y) y e forman el modelo: y = 1 + 2x + e
  • 30. 30 La relación entre y, e, ^ y la verdadera línea de regresión. . . . . y4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 } } { { e1 e2 e3 e4 E(y) = 1 + 2x x y
  • 31. 31 } . } . . . y4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 { { e1 e2 e3 e4 x y La relación entre y, e, ^ y La línea de regresión ajustada. y = b1 + b2x ^ . . . . y1 y2 y3 y4 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
  • 32. 32 { { . . . . . y4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 x y La suma de residuos al cuadrado de cualquier otra línea será mas grande. y = b1 + b2x ^ . . . y1 ^ y3 ^ y4 ^ y = b1 + b2x ^* * * * e1 ^* e2 ^* y2 ^* e3 ^* * e4 ^* * { {
  • 33. 33 f(.) f(e) f(y) Función de Densidad de Probabilidad para e y y 0 1+2x
  • 34. 34 Los Supuestos del Término de Error 1. El valor de y, para cada valor de x, es y = 1 + 2x + e 2. El valor promedio de el error aleatorio “e” es: E(e) = 0 3. La varianza del error aleatorio “e” es: var(e) = 2 = var(y) 4. La covarianza entre cualquier par de “e”s es: cov(ei ,ej) = cov(yi ,yj) = 0
  • 35. 35 Los Supuestos del Término de Error 5. x debe tomar al menos dos valores diferentes para que x no sea una constante. 6. e esta normalmente distribuido con media 0, var(e)=2 (opcional) e ~ N(0,2)
  • 36. 36 Naturaleza no-observable del Término de Error 1. Factores no especificados / variables explicatorias, que no están en el modelo, pueden estar en el término de error. 2. Error de aproximación está en el termino de error si la relación entre y y x no es exactamente una relación perfectamente lineal. 3. Estrictamente comportamiento aleatorio no predecible que puede ser único a esa observación, está en el término de error.
  • 37. 37 • Población Valores de regresión y t = 1 + 2x t + e t • Población Línea de regresión: E(y t|x t) = 1 + 2x t • Muestra Valores de regresión: y t = b1 + ^ b 2x t + e t • Muestra Línea de regresión: y t = b1 + b2x t ^ ^
  • 38. 38 yt = 1 + 2xt + et Minimizar la suma de las desviaciones al cuadrado de los errores : S(1,2) = (yt - 1 - 2xt )2 (3.3.4) t=1 T et = yt - 1 - 2xt
  • 39. 39 Minimizar c.r. a 1 y 2: S(1,2) = (yt - 1 - 2xt )2 (3.3.4) t =1 T = - 2 (yt - 1 - 2xt ) = - 2 xt(yt - 1 - 2xt ) S() 1 S() 2 Las 2 derivadas se igualan a cero y se resuelven estas 2 ecuaciones para las dos incognitas: 1 2
  • 40. 40 S(.) S(.) i bi . . . Minimizar c.r. a 1 y 2: S() = (yt - 1 - 2xt )2 t =1 T S(.) i < 0 S(.) i > 0 S(.) i = 0
  • 41. 41 Para minimizar S(.), se igualan a cero las 2 derivadas para obtener: = - 2 (yt - b1 - b2xt ) = 0 = - 2 xt(yt - b1 - b2xt) = 0 S() 1 S() 2 Cuando estos dos términos son iguales a cero, 1 y 2 se convierten en b1 y b2 por que ya no mas representan cualquier valor de 1 y 2, pero los valores especiales que corresponden a el mínimo de S() .
  • 42. 42 - 2 (yt - b1 - b2xt ) = 0 - 2 xt(yt - b1 - b2xt ) = 0 yt - Tb1 - b2 xt = 0 xtyt - b1  xt - b2 xt = 0 2 Tb1 + b2 xt = yt b1  xt + b2 xt = xtyt 2
  • 43. 43 Resolvemos para b1 y b2 utilizando definiciones de x media y y media Tb1 + b2 xt = yt b1  xt + b2 xt = xtyt 2 T xtyt - xt yt T xt - (xt) 2 2 b2 = b1 = y - b2 x
  • 44. 44 Elasticidades cambio porcentual en y cambio porcentual en x  = = x/x y/y = y x x y Utilizando cálculo, podemos obtener la elasticidad en cualquier punto:  = lim = y x x y y x x y x0
  • 45. 45 E(y) = 1 + 2 x E(y) x = 2 Aplicando elasticidades E(y) x = 2 = E(y) x E(y) x
  • 46. 46 Estimando elasticidades y x = b2 = y x y x ^ yt = b1 + b2 xt = 4 + 1.5 xt ^ x = 8 = promedio de años de experiencia y = $10 = tasa salarial promedio = 1.5 = 1.2 8 10 = b2  y x ^
  • 47. 47 Predicción yt = 4 + 1.5 xt ^ Ecuación de regresión estimada: xt = años de experiencia yt = tasa salarial predecida ^ Si xt = 2 años, entonces yt = $7.00 por hora. ^ Si xt = 3 años, entonces yt = $8.50 por hora. ^
  • 48. 48 Modelos log-log ln(y) = 1 + 2 ln(x) ln(y) x ln(x) x = 2 y x = 2 1 y x x 1 x
  • 49. 49 y x = 2 1 y x x 1 x = 2 y x x y elasticidad de y con respecto a x: = 2 y x x y  =
  • 50. 50 Propiedades de los Estimadores de Mínimos Cuadrados Capítulo 4
  • 51. 51 yt = Gastos semanales en comida Modelo Simple de Regresión Lineal yt = 1 + 2 xt + t xt = Ingreso Semanal Para un nivel dado de xt, el nivel esperado de gastos en comida será: E(yt|xt) = 1 + 2 xt
  • 52. 52 1. yt = 1 + 2x t +  t 2. E( t) = 0 <=> E(yt) = 1 + 2x t 3. var( t) = 2 = var(yt) 4. cov( i, j) = cov(yi,yj) = 0 5. x t no es constante para cada observación 6.  t~N(0,2) <=> yt~N(1+ 2x t,2) Supuestos del modelo Simple de Regresión Lineal
  • 53. 53 Los parámetros de la población 1 y 2 son constantes desconocidas de la población. Las fórmulas que producen las estimaciones muestrales b1 y b2 son llamadas los estimadores de 1 y 2. Cuando b1 y b2 son usadas para representar las fórmulas mas que los valores específicos, son llamados los estimadores de 1 y 2 las cuales son variables aleatorias por que son diferentes de muestra en muestra.
  • 54. 54 • Si los estimadores de mínimos cuadrados b0 y b1 son variables aleatorias, entonces¿cuáles son sus medias, varianzas, covarianzas y distribuciones de probabilidad? • Compararemos las propiedades de estimadores alternos a las propiedades de las de los estimadores de MCO. Los estimadores son Variables aleatorias (las estimaciones no)
  • 55. 55 Los Valores Esperados de b1 y b2 Las fórmulas de los estimadores de MCO en el caso de la regresión simple: b2 = Txtyt - xt yt Txt -(xt) 2 2 b1 = y - b2x donde y = yt / T y x = xt / T (3.3.8a) (3.3.8b)
  • 56. 56 Substituyendo en yt = 1 + 2xt + t para obtener: b2 = 2 + Txtt - xt t Txt -(xt) 2 2 La media de b2 es: Eb2 = 2 + TxtEt - xt Et Txt -(xt) 2 2 Puesto que Et = 0, entonces Eb2 = 2 .
  • 57. 57 El resultado Eb2 = 2 significa que la distribución de b2 está centrada en 2. Puesto que la distribución de b2 esta centrada en 2 ,decimos que b2 es un estimador insesgado de 2. Un Estimador Insesgado
  • 58. 58 El resultado de insesgamiento anterior supone que estamos usando el modelo correcto. Especificación del modelo equivocado Si el modelo es la forma equivocada, o excluye variables importantes, entonces Et = 0, entonces Eb2 = 2 .
  • 59. 59 Estimador Insesgado del Intercepto De una manera similar, para el estimador b1del intercepto o término constante puede mostrarse que es un estimador insesgado de 1 cuando el modelo esta correctamente especificado. Eb1 = 1
  • 60. 60 b2 = Txtyt  xt yt Txt (xt) 2 2 (3.3.8a) (4.2.6) Expresiones equivalentes para b2: Multiplicando y expandiendo todo por T: b2 = (xt  x )yt  y ) xt  x )2
  • 61. 61 Varianza de b2 Dado que ambos yt y t tienen varianza 2,la varianza del estimador de b2 es: b2 es una función de los valores de yt pero var(b2) no implica a yt directamente. xt  x 2 2 var(b2) =
  • 62. 62 Varianza de b1 xt  x2 var(b1) = 2 xt 2 la varianza del estimador b1 es: b1 = y  b2x Dado
  • 63. 63 Covarianza de b1 y b2 xt  x2 cov(b1,b2) = 2 x Si x = 0, la pendiente puede cambiar sin afectar la varianza.
  • 64. 64 ¿Qué factores determinan la varianza y covarianza? 1. 2: incertidumbre acerca de los valores de yt e incertidumbre acerca de la relación entre b1, b2 . 2. A más dispersión de los valores de xt mas confianza tenemos en b1, b2, etc. 3. A más grande el tamaño de la muestra, T, mas pequeñas son las varianzas y covarianzas. 4. La varianza de b1 es mas pequeña cuando los valores al cuadrado de xt están mas lejos de cero en cualquier dirección.
  • 65. 65 Teorema de Gauss-Markov Bajo los primeros cinco supuestos del modelo de regresión lineal, los estimadores de MCO b1 y b2 tienen la varianza más pequeña de todos los estimadores lineales e insesgados de 1 y 2. Esto significa que b1 y b2 son los mejores estimadores lineales insesgados MELI (the Best Linear Unbiased Estimators BLUE) of 1 and 2.
  • 66. 66 Implicaciones de Gauss-Markov 1. b1 and b2 son “mejores” dentro de la clase de estimadores lineales e insesgados. 2. “Mejor” significa la varianza mas pequeña dentro de la clase de lineales/insesgados. 3. Todos los primeros cinco supuestos deben mantenerse para satisfacer Gauss-Markov.
  • 67. 67 Implicaciones de Gauss-Markov 4. Gauss-Markov no requiere el supuesto 6: normalidad. 5. G-Markov no se basa en el principio de MCO pero en b1 y b2.
  • 68. 68 Implicaciones G-Markov (continua) 6. Si no nos satisface con restringir nuestra estimación a la clase de estimadores lineales insesgados, debemos ignorar el teorema Gauss- Markov y utilizar algún otro estimador no lineal o sesgado. (Nota: un estimador sesgado o no lineal podría tener varianza mas pequeña que aquellos que satisfacen Gauss-Markov.)
  • 69. 69 Implicaciones G-Markov (continua) 7. Gauss-Markov aplica a los estimadores b1 y b2 y no a estimaciones con valores muestrales particulares de b1 y b2.
  • 70. 70 Distribución de Probabilidad de los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios MCO b2 ~ N 2 , xt  x 2 2 b1 ~ N 1 ,xt  x2 2 xt 2
  • 71. 71 yt y t Distribuidas normalmente El estimador de MCO de 2 puede ser expresado como una combinación lineal de yt’s: b2 = wt yt b1 = y  b2x xt  x 2 donde wt = xt  x Esto significa que b1 y b2 son normales puesto que combinaciones lineales de normales son normales.
  • 72. 72 Distribuidas normalmente bajo el teorema del límite central Si los primeros supuestos Gauss- Markov se mantienen, y el tamaño de la muestra, T,es suficientemente grande, entonces los estimadores de MCO, b1 y b2, tienen una distribución que se aproxima a la normal con gran precisión cuanto más grande es la muestra,T.
  • 73. 73 Consistencia Queremos que nuestros estimadores, b1 y b2, se colapsen en los valores reales de la población, 1 y 2, a medida que el tamaño de la muestra, T, va hacia el infinito.
  • 74. 74 Consistencia Una manera de lograr esta consistencia es que las varianzas de b1 y b2 vayan a cero a medida que T va al infinito. Puesto que las fórmulas para las varianzas de los estimadores de MCO b1 y b2 muestran que sus varianzas de hecho van a cero, entonces b1 y b2, son estimadores consistentes de 1 y 2.
  • 75. 75 Estimando la varianza del término de error, 2 et = yt b1  b2 xt ^ et ^ t =1 T 2 T2  =  es un estimador insesgado de 2 ^ ^
  • 76. 76 La predicción de MC, yo ^ Dado un valor de una variable explicatoria Xo, queremos predecir un valor de la variable dependiente, yo. La predicción es: yo = b1 + b2 xo (4.7.2) ^
  • 77. 77 Nota: El libro de texto utiliza el símbolo mostrado para marcar secciones con material avanzado: “Skippy”