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REPÚBLICA BOLIVARIANA DEVENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA
LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA,
CIENCIAYTECNOLOGÍA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓNVALENCIA
SISTEMA DE COORDENADAS
Autor: Freddy Alcalá
C.I 20316623
Valencia, Abril de 2019
Introducción
En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de
tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos,
estereotiparlos, etc., para tener una referencia sobre ellos. Así cuando se tenga la
necesidad de buscarlos, su localización sea la inmediata posible. En matemáticas,
ha sido útil crear sistemas de referencia que nos permiten distinguir los puntos que
forman un eje o un plano con características únicas para cada uno de ellos. A estos
sistemas de referencia se les conocen como sistemas de coordenadas.
Geometría espacial o geometría de los cuerpos sólidos
Es la rama de la geometría que se encarga del estudio de las
figuras geométricas voluminosas que ocupan un lugar en el
espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras
geométricas en el espacio tridimensional
Ejemplos
Ejemplos
Coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares
Son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la
representación gráfica de una relación matemática (funciones matemáticas y ecuaciones
de geometría analítica), o del movimiento o posición en física
Ejemplo
• Sistemas de coordenadas
Es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar
unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. El orden en que se
escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su
posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras,
como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de
coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los
problemas geométricos de forma "numérica".
Eje de coordenadas
• Sistemas de coordenadas Unidimensional
Es básicamente una línea en la que las magnitudes son mostradas como
puntos marcados separados uniformemente entre sí. Sobre esta recta,
comúnmente llamada recta numérica, se representa el conjunto de los
números reales, siendo cero su origen o punto central y hacia la derecha e
izquierda se encuentran los límites infinitos negativos – y positivos +
respectivamente.
Ejemplo
• Sistemas de coordenadas Bidimensional
Es un sistema de coordenadas formado por dos rectas perpendiculares entre sí
que se cortan en un punto de origen. El sistema de referencia bidimensional
más usado es el plano cartesiano, en el que las rectas son llamadas ejes. Al eje
horizontal o eje x se lo denomina de las abscisas mientras que al eje vertical o
eje y se lo conoce como el de las ordenadas
Ejemplo
• Distancia entre dos puntos.
Es la longitud del segmento de la recta que los une, expresado
numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la
geometría no euclidiana, el camino más corto entre dos puntos es un
segmento recto con curvatura llamada geodésica.
EJEMPLO
• División de un segmento en una razón dada.
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la
recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB,
están en la relación r:
Ejemplo
• Punto medio de un segmento.
Es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera otros dos
puntos o extremos de un segmento, si es un segmento, el punto medio es el
que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y
equidista de los extremos del segmento.
1. Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los dados
puntos A(-1, 3) y B(6, 5).
xc
=
xa
+
xb
=
-1 + 6
=
5
= 2.5
2 2 2
yc
=
ya
+
yb
=
3 + 5
=
8
= 4
2 2 2
1. Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los dados
puntos A(-1, 3, 1) y B(6, 5, -3).
xc
=
xa
+
xb
=
-1 + 6
=
5
= 2.5
2 2 2
yc
=
ya
+
yb
=
3 + 5
=
8
= 4
2 2 2
zc
=
za
+
zb
= 1 + (-3) = -2 = -1
• Pendiente de un segmento.
Es la pendiente de la ecuación de una recta (o coeficiente angular) como caso
particular de la tangente a una curva, en cuyo caso representa la derivada de la
función en el punto considerado, y es un parámetro relevante,
1. La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:
2. La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente,
ya que la división por 0 no está definida.
Rectas paralelas y perpendiculares
Cuando rectas en un plano son paralelas (es decir, nunca se cruzan), tienen la
misma pendiente. Cuando rectas son perpendiculares (es decir, se cruzan
formando un ángulo de 90°), sus pendientes son recíprocas opuestas una de la
otra.
EJEMPLO
EJEMPLO
Recta perpendicular a cada una de dos recta dada
Si son perpendiculares, el producto de las pendientes será −1. Por ejemplo, .
Encontrar la pendiente de la recta perpendicular a la recta y = 2x – 6. La recta
dada se escribe como y = mx + b, con m = 2 y b = -6.
EJEMPLO
Recta en el espacio 3D
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Superficie
Es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un
espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se
parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de
una superficie esta se aproxima lo suficiente por el plano tangente a la
superficie en dicho punto.
EJEMPLO
Superficie cilíndrica
Conclusión
La utilidad de los sistemas coordenados es especial en la Geografía, laTopografía y en la Aeronáutica,
principalmente a través de la utilización de mapas y en radares. Por ejemplo, se puede determinar la posición
de algún objeto, utilizando un sistema coordenado teniendo el eje y , hacia el Norte y el eje x , hacia el Este.
Esto define las coordenadas de un punto, que puede ser una casa, una ciudad, un avión, una montaña, etc. Los
sistemas coordenados también sirven para conocer el punto en que se encuentran dos móviles que se
desplazan en direcciones distintas a una misma velocidad. O bien conocer la distancia de dos objetos si están
inmóviles. Los sistemas coordenados son esenciales para realizar mapas precisos, pero hay algunas sutilezas.
Por ejemplo, la superficie esférica aproximada de laTierra no se puede representar sobre un mapa plano sin
que haya distorsión.A unas cuantas decenas de kilómetros, el problema es muy poco notorio, pero a una
escala de cientos o miles de kilómetros, la distorsión aparece necesariamente. Se puede hacer una variedad de
representaciones aproximadas y cada una implica un tipo algo diferente en la distorsión de forma, área o
distancia.Tanto la figura como la escala pueden tener consecuencias importantes en procesos de Ingeniería.
Por ejemplo, las conexiones triangulares maximizan la rigidez, las superficies lisas disminuyen la turbulencia y
los recipientes esféricos minimizan el área de la superficie para cualquier volumen o masa dada. Cambiar el
tamaño de objetos manteniendo la misma forma puede tener efectos profundos debido a la geometría de la
escala: el área varía como el cuadrado de las dimensiones lineales, y el volumen lo hace como el cubo.
Bibliografía
• https://www.ecured.cu/Distancia_entre_dos_puntos
• https://www.sectormatematica.cl/contenidos/distancia.htm
• www.profesorenlinea.cl/geometria/Distancia_entre_dos_puntos.html
• https://www.youtube.com/watch?v=aaSrjfMyq1Y
• https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
• https://tareasuniversitarias.com › Matemáticas
• www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/coordenadas-cartesianas.html
• matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S1.html
• https://es.slideshare.net/orckas/coordenadas-rectangulares-y-polares
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  • 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DEVENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA, CIENCIAYTECNOLOGÍA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓNVALENCIA SISTEMA DE COORDENADAS Autor: Freddy Alcalá C.I 20316623 Valencia, Abril de 2019
  • 2. Introducción En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc., para tener una referencia sobre ellos. Así cuando se tenga la necesidad de buscarlos, su localización sea la inmediata posible. En matemáticas, ha sido útil crear sistemas de referencia que nos permiten distinguir los puntos que forman un eje o un plano con características únicas para cada uno de ellos. A estos sistemas de referencia se les conocen como sistemas de coordenadas.
  • 3. Geometría espacial o geometría de los cuerpos sólidos Es la rama de la geometría que se encarga del estudio de las figuras geométricas voluminosas que ocupan un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional
  • 6. Coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares Son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una relación matemática (funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica), o del movimiento o posición en física
  • 8. • Sistemas de coordenadas Es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".
  • 10. • Sistemas de coordenadas Unidimensional Es básicamente una línea en la que las magnitudes son mostradas como puntos marcados separados uniformemente entre sí. Sobre esta recta, comúnmente llamada recta numérica, se representa el conjunto de los números reales, siendo cero su origen o punto central y hacia la derecha e izquierda se encuentran los límites infinitos negativos – y positivos + respectivamente.
  • 12. • Sistemas de coordenadas Bidimensional Es un sistema de coordenadas formado por dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto de origen. El sistema de referencia bidimensional más usado es el plano cartesiano, en el que las rectas son llamadas ejes. Al eje horizontal o eje x se lo denomina de las abscisas mientras que al eje vertical o eje y se lo conoce como el de las ordenadas
  • 14. • Distancia entre dos puntos. Es la longitud del segmento de la recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el camino más corto entre dos puntos es un segmento recto con curvatura llamada geodésica.
  • 16. • División de un segmento en una razón dada. Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:
  • 18. • Punto medio de un segmento. Es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera otros dos puntos o extremos de un segmento, si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento.
  • 19. 1. Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los dados puntos A(-1, 3) y B(6, 5). xc = xa + xb = -1 + 6 = 5 = 2.5 2 2 2 yc = ya + yb = 3 + 5 = 8 = 4 2 2 2 1. Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los dados puntos A(-1, 3, 1) y B(6, 5, -3). xc = xa + xb = -1 + 6 = 5 = 2.5 2 2 2 yc = ya + yb = 3 + 5 = 8 = 4 2 2 2 zc = za + zb = 1 + (-3) = -2 = -1
  • 20. • Pendiente de un segmento. Es la pendiente de la ecuación de una recta (o coeficiente angular) como caso particular de la tangente a una curva, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante,
  • 21. 1. La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es: 2. La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la división por 0 no está definida.
  • 22. Rectas paralelas y perpendiculares Cuando rectas en un plano son paralelas (es decir, nunca se cruzan), tienen la misma pendiente. Cuando rectas son perpendiculares (es decir, se cruzan formando un ángulo de 90°), sus pendientes son recíprocas opuestas una de la otra.
  • 25. Recta perpendicular a cada una de dos recta dada Si son perpendiculares, el producto de las pendientes será −1. Por ejemplo, . Encontrar la pendiente de la recta perpendicular a la recta y = 2x – 6. La recta dada se escribe como y = mx + b, con m = 2 y b = -6.
  • 27. Recta en el espacio 3D
  • 28. Plano en el espacio
  • 29. Superficie Es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima lo suficiente por el plano tangente a la superficie en dicho punto.
  • 32. Conclusión La utilidad de los sistemas coordenados es especial en la Geografía, laTopografía y en la Aeronáutica, principalmente a través de la utilización de mapas y en radares. Por ejemplo, se puede determinar la posición de algún objeto, utilizando un sistema coordenado teniendo el eje y , hacia el Norte y el eje x , hacia el Este. Esto define las coordenadas de un punto, que puede ser una casa, una ciudad, un avión, una montaña, etc. Los sistemas coordenados también sirven para conocer el punto en que se encuentran dos móviles que se desplazan en direcciones distintas a una misma velocidad. O bien conocer la distancia de dos objetos si están inmóviles. Los sistemas coordenados son esenciales para realizar mapas precisos, pero hay algunas sutilezas. Por ejemplo, la superficie esférica aproximada de laTierra no se puede representar sobre un mapa plano sin que haya distorsión.A unas cuantas decenas de kilómetros, el problema es muy poco notorio, pero a una escala de cientos o miles de kilómetros, la distorsión aparece necesariamente. Se puede hacer una variedad de representaciones aproximadas y cada una implica un tipo algo diferente en la distorsión de forma, área o distancia.Tanto la figura como la escala pueden tener consecuencias importantes en procesos de Ingeniería. Por ejemplo, las conexiones triangulares maximizan la rigidez, las superficies lisas disminuyen la turbulencia y los recipientes esféricos minimizan el área de la superficie para cualquier volumen o masa dada. Cambiar el tamaño de objetos manteniendo la misma forma puede tener efectos profundos debido a la geometría de la escala: el área varía como el cuadrado de las dimensiones lineales, y el volumen lo hace como el cubo.
  • 33. Bibliografía • https://www.ecured.cu/Distancia_entre_dos_puntos • https://www.sectormatematica.cl/contenidos/distancia.htm • www.profesorenlinea.cl/geometria/Distancia_entre_dos_puntos.html • https://www.youtube.com/watch?v=aaSrjfMyq1Y • https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas • https://tareasuniversitarias.com › Matemáticas • www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/coordenadas-cartesianas.html • matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S1.html • https://es.slideshare.net/orckas/coordenadas-rectangulares-y-polares