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EJERCICIOS PROPUESTOS MAQUINAS HIDRÁULICAS
TURBOMÁQUINA“ HIDRÁULICA“: BOMBA“ ROTODINÁMICA“ CAP. 19
PRESENTADO POR:
FERNANDO FERNANDEZ JARABA
CARLOS PACHECO ESCORCIA
MAURICIO MACHADO CALDERON
JOSEPH SUAREZ MARTINEZ
ANTHONY ESCOBAR VARGAS
ZORAIDA POLO CHARRIS
PRESENTADO A:
ING. CRISTIAN ANTONIO PEDRAZA YEPES
UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE INGENIERIA
INGENIERIA MECANICA
VIII SEMESTRE
BARRANQUILLA, SEPTIEMBRE 03 DE 2012
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
2
19.1. Una bomba de agua que proporciona un caudal de 1200 m3
/h tiene una tubería de
aspiración de 400 mm y una de impulsión de 375 mm. El vacuómetro conectado en la tubería de
aspiración situado 80 mm por debajo del eje de la maquina marca una depresión de 2 m de
columna de agua y el manómetro situado 500 mm por encima del eje de la bomba marca una
sobrepresión de 12 m columna de agua. Calcular la altura útil que da la bomba.
Solución.
Con los datos del problema, tratándose de una bomba que está funcionando, es inmediato el
cálculo de la altura útil.
2 2
2
s E s E
s E
P P v v
H Z Z
g g
 
   
31200
0.3333 /
3600
Q m s 
2 2
4 (4)(0.3333)
3.0180 /
(0.375)
s
s
Q
v m s
D 
  
2 2
(3.0180)
0.4643
2 (2)(9.81)
sv
m
g
 
2 2
4 (4)(0.3333)
2.6526 /
(0.400)
E
E
Q
v m s
D 
  
2 2
(2.6526)
0.3586
2 (2)(9.81)
Ev
m
g
 
Sustituyendo las alturas dinamicas obtenidas, asi como los otros datos del problema, tenemos:
2 2
(12 2) (0.5 0.08) 14.686
2
S Ev v
H m
g

     
19.2. Una bomba centrifuga, en que no se consideran las pérdidas ni se tiene en cuenta el
estrechamiento del flujo producido por el espesor de los alabes, tiene las siguientes dimensiones:
D1 = 75 mm; D2 = 300 mm; b1 = b2 = ; β1 = °; β2 = 60°. La entrada en los alabes es radial
(caso ordinario de las bombas centrifugas). La bomba gira a 500 rpm. El fluido bombeado es agua.
Calcular: a)El caudal ; b) La altura que da la bomba ; c) El par transmitido por el rodete al fluido ; d)
La potencia de accionamiento.
Solución.
a)El caudal de una bomba en regumen permanente es el mismo en cualquier sección de la bomba.
La sección de entrada en los alabes del rodete es la superficie lateral de un cilindro, si no se tiene
en cuenta el espesor de los alabes, y la velocidad normal a dicha sección es la componente radial
C1m = C1 (entrada de la corriente radial). Es decir:
1 1 1mQ b DC
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
3
El espesor de los alabes se tendrían en cuenta por medio de un coeficiente de obstrucción a la
e trada 1 < 1, de manera que:
1 1 1 1mQ b DC 
E uestro aso 1 = 1. Asimismo a la salida:
2 2 2 2mQ b D C 
“i los ala es so afilados a la salida aso or al : 2 = 1
1
1 (0.075)(500)
1.964 /
60 60
D n
u m s
 
  
1 1 1 1tan45 1.964 /mC C u u m s    
Sustituyendo
3
1(0.50)(0.075)( ) 0.0231 / 23.11 /mQ C m s L s  
b) Si no hay perdidas Hr-int = 0
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
4
2 2 1 1 2 2u u u
u
u C u C u C
H H
g g

  
Ya que 1 0uC  (entrada en los alabes radial).
2 2 2 1 1 1m mQ b D C b DC   ( 2 1  )
Y 1 1
2 1
2 2
(50)(75)
(1.964) 0.4909 /
(50)(300)
m m
b D
C C m s
b d
  
2
2 1
1
(300)
(1.964) 7.854 /
(75)
D
u u m s
D
  
Además 2
2 2
2
(0.4909)
(7.854) 7.506 /
tan tan60
m
u
C
C u m s

    

Luego
(7.854)(7.506)
6.061
9.81
Hu H m  
C) El par transmitido por el rodete al fluido viene dado por.
2 2 1 1( ) (0.0231)(1000)(0.15)(7.506) 26.268u uM Q r C rC m N    
d) 1v h mn n n  
Deducimos que (0.0231)(1000)(9.81)(6.061) 1375.4 1.3754P Q gH W KW   
19.3. Entre el pozo de aspiración y el depósito de impulsión de una bomba de agua hay un
desnivel de 20m. La tubería de aspiración es de 300 mm de diámetro y de 6 m de longitud. Esta
provista de alcachofa, válvula de pie y de un codo de 90°. La tubería de impulsión es de 250 mm de
diámetro y de 140 m de longitud. Las tuberías de aspiración e impulsión son de hierro galvanizado.
La tubería de impulsión tiene una válvula de compuerta y dos codos de 90°. El caudal bombeado
es de 4800 l/min. El rendimiento hidráulico de la bomba = 70%. El rendimiento volumétrico = 1 y el
rendimiento mecánico = 85%. Todos los codos de las tuberías tienen una relación r/D = 0.25.
Calcular la potencia en el eje del motor eléctrico de accionamiento de esa bomba.
Solución.
(1000)(9.81)
16.487
(0.7)(1)(0.85)
a
h v m
Q gH QH
P QH
n n n
 
   34.8
0.08 /
60
Q m s 
Designaremos con subíndice a los valores correspondientes a la aspiración, y con subíndice i los
correspondientes a la impulsión.
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
5
2 2
4 (4)(0.08)
1.132 /
(0.300 )
a
a
Q
v m s
d 
   2 2
4 (4)(0.08)
1.630 /
(0.250 )
i
i
Q
v m s
d 
  
La velocidad de aspiración en las bombas se mantiene con frecuencia más baja que la de impulsión
para evitar la cavitación.
2
0.065
2
aV
m
g

2
0.135
2
iV
m
g

Para obtener H en este problema se ha de recurrir a la segunda expresión de la altura útil.
2
2
t
Z A ra ri
v
H z z H H
g
    
2 2
2 2
t iv v
g g
 20Z Az z m 
Calculo de las perdidas en la tubería de aspiración, Hra
2
' ''
2
a a
ra a a a
a
L v
H
d g
  
 
   
 
Donde '
a = 3.7 (alcachofa y válvula de pie) ; ''
a = 0.4 (codo90°, r/D=0.25)
5
6
(1.132)(0.300)
Re 3.372 10
1.007 10
a a
a
v d
x
v x 
  
( 2H Ov a 20°C = 1.007x10-6
m2
/s)
5
5
6
17 10
3.372 10
1.007 10a
k x
x
d x


 
(k para hierro galvanizado = 17x10-5
m)
Con los valores de Rea y k/da se lee en el diagrama de Moody 0.01844a 
Sustituyendo los diversos valores en la ecuación, tendremos:
2
6 (1.132)
3.7 0.4 0.01844 0.292
0.300 2(9.81)
raH m
 
    
 
Calculo de las perdidas en la tubería de impulsión, Hri
2
' ''
2
2
i i
ri i i i
i
L v
H
d g
  
 
   
 
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
6
Donde '
i =0.2 (válvula compuerta abierta)
''
i = 0.4 (codo 90°, r/D = 0.25)
5
6
(1.630)(0.250)
Re 4.046 10
1.007 10
i i
i
vd
x
v x 
  
5
17 10
0.000680
0.250i
k x
d

 
En el diagrama de Moody se lee 0.01887i 
Sustituyendo los diversos valores en la ecuación, tendremos:
140 1.630
0.2 2(0.4) 0.01887 1.566
0.250 2(9.81)
riH m
 
    
 
Sustituyendo el la ecuación.
20 0.292 1.566 0.135 21.993H m    
Finalmente la potencia en el eje del motor eléctrico de accionamiento será.
3(0.08)(1000)(9.81)(21.993)
29.009 10 29.009
(0.7)(1)(0.85)
aP x W KW  
19.4. Una bomba centrifuga radial de agua está diseñada para girar a 1450 rpm y para entrada
radial en los alabes del rodete. El caudal en el punto nominal (rendimiento óptimo) es 160000 l/h.
De esta bomba se conocen las siguientes características geométricas: relación de diámetros de
salida y entrada de los alabes: D2/D1 = 2. Diámetro exterior del rodete D2 = 300 mm. Ancho a la
salida del rodete: b2 = . A gulo de los ala es a la salida: β2 = 45°. Se sabe además que para
el punto de optimo rendimiento: rendimiento hidráulico: 80%, rendimiento volumétrico: 90%,
rendimiento mecánico: 85%. Se despreciara el espesor de los alabes. La bomba se ha diseñado
para que la componente radial de la velocidad absoluta sea constante a la entrada y salida de los
alabes. Las tuberías de aspiración e impulsión de la bomba son iguales y los ejes de las bridas de
entrada y salida de la bomba se hayan a la misma cota. El manómetro conectado a la entrada de la
bomba marca una presión absoluta de 305 torr cuando el caudal es el arriba indicado. Calcular:
A) angulo de entrada en los alabes; velocidades u2 y u1; velocidad C2; componente radial de la
velocidad absoluta a la entrada y salida de los alabes; angulo de los alabes a la entrada de la
corona directriz de que esta provista la bomba. B) altura de Euler y altura útil. C) potencia interna
de la bomba. D) potencia de accionamiento. E) alturas de presión y dinámica del rodete y grado
de reacción de la bomba. F) presión absoluta del agua a la salida de la bomba.
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
7
Solución.
a)El caudal de la bomba es 3160
0.0444 /
3600
Q m s 
El caudal bombeado por el rodete es:
e i
v
Q
Q q q
n
  
Además.
1 1 2
2 2
2.62 /
(0.3)(0.02)(0.9)
m m
v
Q Q
C C C m s
D b n 
    
2
2
(0.3)(1.450)
22.777 /
60 60
D n
u m s
 
   1 2
1
11.388 /
2
D
u u m s
D
 
1
1
1
arctan 12.96mC
u
   
2
2 2 2 2
2
20.157 /
tan
m
u m
C
C u u C m s

    
2 2
2 2 2 20.326 /m uC C C m s   2
2
2
arctan 7.41m
u
C
C
   
Para que no haya choque a la entrada de la corona directriz el alabe deberá estar construido con
este a gulo α2 a la entrada de la misma.
b)La altura de Euler o altura teorica se deduce de la siguiente ecucacion. Haciendo 1 1 0uu C 
2 2 1 1u u
u
u C u C
H
g

 2 2
46.799u
u
u C
H m
g
 
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
8
La altura útil será: (0.8)(46.799) 37.439h uH n H m  
c)
int( )( )i e i rP Q q q H H g   
(0.0444)(1000)(9.81)(37.439)
22.671
(0.9)(0.8)v h
Q g H
KW
n n
 
  
d)La potencia de accionamiento será:
22.671
26.672
0.85
a
m
Pi
P K
n
  
e)Altura dinámica del rodete:
2 2
2 1
20.708
2
d
C C
H m
g

 
Altura de presión del rodete: 26.091p u dH H H m  
Grado de reacción de la bomba: 100 55.75%p
u
H
H
   
f) La presión absoluta a la entrada de la bomba, teniendo en cuenta el enunciado del problema
será: 2
(0.305)(13600)(9.81) 40.692 /EP N m 
Ahora bien, siendo
2 2
0
2
S Ev v
g

 , por ser las tuberías de aspiración e impulsión de igual diámetro y
0S Ez z  , por estar los puntos S y E a la misma cota.
S EP P
H
g

 y 2
407.972 / 4.07972S EP P gH N m bar   
19.5. Una bomba funcionando a 2520 rpm y suministrando un caudal de 16 l/s proporciona una
altura útil de 26 m. De sus curvas características se deduce que en dicho punto de funcionamiento
el rendimiento total de la bomba es 81%. Determinar la potencia de accionamiento de la bomba
en estar condiciones.
(0.016)(1000)(9.81)(26)
5.038
0.81
a
tot
Q gH
P KW
n

  
19.6. Una bomba centrifuga de agua tiene las siguientes características: D1 = 150 mm; D2 = 450
mm; b1 = 40 mm; b2 = ; β1 = °; β2 = 30°; n=1500 rpm. Entrada en los alabes radial; nh=88%;
ntot=82%; despreciese el espesor de los alabes; nv=1. Calcular: a)Caudal; b)altura teorica o altura
de Euler; c)potencia hidráulica comunicada por el rodete al fluido; d) altura útil; e)altura hidráulica
perdida en la bomba; f) potencia de accionamiento de la bomba.
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
9
Solución.
a) 1 1 1mQ b DC 1 1 tan10mC u =
1
1
(0.15)(1500)
11.781 /
60 60
D n
u m s
 
   1 1 tan10 2.077 /mC u m s 
3
(0.04)(0.15)(2.077) 0.0392 /Q m s 
b) 2 2u
u
u C
H
g
 (entrada en los alabes radial)
2
2 1
1
450
(2.077) 35.43 /
150
D
u u m s
D
   2 2
2 2 2
2tan tan30
m m
u
C C
C u u

   
Por la ecuación de la continuidad:
1 1
2 1
2 2
(40)(150)
(2.077) 1.385 /
(20)(450)
m m
b D
C C m s
b D
   2
(1.385)
(35.43) 32.944 /
tan30
uC m s  
(35.43)(32.944)
118.690
9.81
uH m 
c) La potencia hidráulica comunicada por el rodete al fluido es la potencia interna:
(0.0392)(1000)(9.81)(118.690) 45.591i uP Q gH KW  
d) La altura útil es: (0.88)(118.690) 104.447h uH n H m  
e) La altura hidráulica perdida en la bomba es: int 14.243r uH H H m   
f) La potencia de accionamiento de la bomba será:
(0.0392)(1000)(9.81)(104.447)
48.927
0.82
a
tot
P
P KW
n
  
19.7. En una instalación de bomba centrifuga de agua la altura desde el pozo de aspiración hasta el
eje de la bomba es de 4m y desde el eje de la bomba hasta el nivel superior del depósito de
impulsión 56m. Las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm. La perdida de carga en la
tubería de aspiración asciende a 2m y en la tubería de impulsión (sin incluir las perdida a la salida
de la misma y entrada del depósito) a 7m. Las dimensiones del rodete son: D2 = 400mm; b2 =
; β = °. La o a gira a rp . La e trada e los ala es es radial. El re di ie to
hidráulico es 82%. Desprecie el influjo del espesor de los alabes. Calcular: a) Caudal; b) la presión
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
10
del agua junto a la brida de aspiración; c) la presión del agua junto a la brida de la tubería de
impulsión.
Solución.
La velocidad periférica del rodete a la salida es:
2
2
(0.4)(1450)
30.369 /
60 60
D n
u m s
 
  
Por la ecuación de continuidad el caudal es el mismo a la salida del rodete y en la tubería;
llamando tv a la velocidad del agua en la tubería, tendremos:
2
2 2 2
4
t
m t
d
Q D b C v

 
2 2
2
2 2
1 0.150
0.563
4 (0.4)(0.025)(4)
t
m t t t
d
C v v v
D b
   
Por el triangulo de velocidades a la salida: 2
2 2
2
30.369 0.974
tan
m
u t
C
C u v

   
La altura teórica o altura de Euler será:
2
2 2 2 22
2
94.0122 3.016
tan
u m
u t
u C u Cu
H v
g g g 
    
La altura útil será: (94.0122 3.016 )(0.82) 77.090 2.473u h t tH H n v v    
Por otra parte con la segunda expresión de la altura útil.
2 2 2
60 2 7 69
2 2 2
t t t
Z A ra ri
v v v
H z z H H
g g g
          
Donde tv - velocidad del agua en la tubería.
Igualanado las 2 expresiones para la altura útil, se obtiene: 2
48.524 158.723 0t tv v  
Resolviendo tenemos: 3.076 /tv m s y
2
0.482
2
tv
m
g

Sustituyendo, obtendremos:
2
69 69.482
2
tv
H m
g
  
a) El caudal será:
2
3
0.0544 / 55.4
4
t
t
d
Q v m s

   l/s
b) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre el pozo de aspiración y la entrada de la bomba:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
11
2 2
2 2
A A E E
A ra E
P v P v
z H z
g g g g 
     
2
0 0 0 2 4
2
E EP v
g g
     
6.482EP
m
g
  63.591 0.63591EP Pa bar   
c) Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre las secciones S y el nivel superior del depósito de
impulsión Z:
2 2
0 0
2 2
S S t
S ri Z
P v v
z H z
g g g
      
56 7 63SP
g
   Ya que S tv v
El mismo resultado se obtiene aplicando la misma ecuación de Bernoulli entre el pozo de
aspiración (punto A) y la salida de la bomba (punto S).
22
2 2
S SA A
A ra S
P vP v
z H H z
g g g g 
      
Suponiendo S Ez z , tendremos:
0 0 0 2 69.482 4 0.482SP
g
      
2 69.482 4 0.482 63SP
m
g
     
(63)(1000)(9.81) 618.030 6.18030SP Pa bar  
19.8. En la tubería de aspiración de 150 mm de una bomba centrifuga de agua hay los siguientes
elementos: un codo de 90°, cuya pérdida de carga equivale a la de 10m de tubería recta y otro
codo de 90°, cuya pérdida de carga equivale a la de 5m de tubería recta. La perdida de carga en la
alcachofa y válvula de pie es el triple de la altura de velocidad en la tubería de aspiración. La
longitud total de los trozos de tubería recta es 8m. El agua tiene una temperatura de 50°C y el
caudal de la bomba es 2500 l/min. La presión absoluta en la brida de aspiración de la bomba ha de
mantenerse 100 mbar por encima de la presión de saturación del vapor. La tubería es de fundición
asfaltada. La presión barométrica es 750 Torr. Estimar la altura máxima permisible del eje de la
bomba por encima del nivel de agua en el depósito de aspiración.
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
12
Solución.
PS (a t=50°C) = 0.12335 bar 2
3
(50 ) 988.20 /H O C Kg m  
min 0.12335 0.100 0.22335EP bar  
5 2
750 (750)(13.6)(9.81) 1.0006 10 /ambP Torr x N m  
32.5
0.04167 /
60
Q m s  2 2
4 (4)(0.04167)
2.358 /
(0.150)
E
E
Q
C m s
d 
  
2 2
(2.358)
0.283
2 (2)(9.81)
EC
m
g
 
Ecuación de Bernoulli entre A y E (en presiones absolutas)
5 5
1000 10 10 5 8 0.22335 10
0 0 3 0.283 0.283 0.283
(988.20)(9.81) 0.150 (988.20)(9.81)
S
x x
H
  
         
 
6.8856 43.3933SH  
0.1
0.00066667
150
k
d
  6
(2.358)(0.150)
Re 636.151
0.556 10
Cd
v x 
  
En el diagrama de Moody se lee 0.0185 
(6.8856)(43.3933)(0.0185) 6.0828SH m 
Como comprobación se puede ahora calcular la altura útil H.
2 2
2
S E S E
S E
P P v v
H z z
g g
 
   
S Ev v S Ez z
63 ( 6.482) 69.482S EP P
H m
g

    
19.9. Se bombea gasolina desde un tanque hasta un depósito nodriza situado 50 m por encima
del tanque con un caudal de 80 L/min. Densidad relativa de 0.84. Viscosidad dinámica=0.8x10-3
Pas. La longitud total de la tubería de aspiración y de impulsión y longitud equivalente es de 70 m.
la tubería de acero soldado oxidado de 75 mm. Despréciense las perdidas secundarias. Calcular la
potencia en el eje motor eléctrico si el rendimiento total de la bomba es de 50%.
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
13
Solución.
Para encontrar la potencia en el eje motor eléctrico, se emplea la sgte ecuación
total
Q gH
Pa
n


3 3
3
2
0.08
1.33 10 /
60
(0.84)(1000) 840 /
2
gasolina
t
Z A ra ri
Q x m s
Kg m
v
H z z H H
g


 
 
    
Determinamos velocidades de aspiración y de impulsión.
3 3
2
(4)(1.33 10 / )
0.3018 /
(0.075 )
a
x m s
v m s
m

 
Teniendo en cuanta que tanto el tubo de aspiración e impulsión tienen el mismo diámetro. a iv v
2
3
2 2 2 2
4.64 10
2
2 2 2 2
a
a i i t
a i
v
x m
g
v v v v
v v
g g g g


    
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
14
Hallamos el numero de Reynolds.
3
3
(0.3018)(0.075)(840)
Re 23.76675 10
(0.8 10 )
a a
a
v d
x
x

 
  
Rugosidad sobre el diámetro.
4
30.4 10
5.33 10
0.075a
k x
x
d


 
Con los valores de Re y k/da, se lee en el diagrama de Moody 0.032a 
Ahora hallamos Hra.
0.032
0.075
a a
ra a
a
L L
H
d

 
   
 
Para las pérdidas de impulsión, será el siguiente valor.
0.032
0.075
i i
ri i
i
L L
H
d

 
   
 
Esto se debe a que a iv v y a id d
El valor de 50Z Az z m 
Reemplazando los valores obtenemos H.
3(0.032)(0.3018)
50 4.64 10
2(9.81)(0.075) 0.075
i aL L
H x  
   
 
Donde Li + La = 70m
3(0.032)(0.3018) 70
50 4.64 10
2(9.81)(0.075) 0.075
H x  
   
 
50.143H m
Por último determinamos la potencia.
3
(1.33 10 )(840)(9.81)(50.143)
0.5
a
x
P


1101868 1.1018aP W KW 
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
15
19.10 Un manómetro conectado a la entrada1 de una bomba centrífuga indica una altura de
presión de 5,5 m por debajo de la presión atmosférica. En este instante la bomba proporciona un
caudal de 4000 l/min. La tubería de aspiración es de 150mm de diámetro y 15 m de longitud y está
provista de válvula de pie y alcachofa y un codo. La pérdida en el codo es equivalente a
m. el coeficiente de pérdida de carga de la tubería es =0,025. Calcular la cota del punto en que
está conectado el vacuómetro.
DATOS
Q=
SOLUCIÓN
Este ejercicio se ubica entre el punto de succión y el punto donde está conectado el vacuómetro.
Para la figura 19-18 del libro, estos puntos son el a y el e.
Aplicando la ecuación de Bernoulli:
(1)
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
16
Es igual al término porque ambos puntos están ubicados en la misma tubería, y entonces
tienen el mismo diámetro.
El término es la altura de presión, y es igual a 5,5 m, según el enunciado del ejercicio.
Son las pérdidas por fricción en tubería más las pérdidas en el codo, en las válvulas de pie y
alcachofa.
Velocidad=
Despejando la altura geodésica en la ecuación (1), se tiene:
El término es cero, porque las velocidades son iguales, debido a que los dos puntos están
en la misma tubería, que tiene un solo diámetro.
El término es negativo escrito en esta forma, con el término delante de , porque
es mayor. Entonces, por eso se antepone el signo negativo, y la diferencia de altura queda:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
17
19.11. En una bomba que trabaja con agua fría el manómetro de impulsión situado 10 m por
encima del eje de la bomba marca una altura de presión de 80 m c. a. El vacuómetro situado a 50
cm por debajo del eje de la bomba marca una presión relativa de 200 Torr. Por la diferencia de
diámetros entre las tuberías de aspiración e impulsión se crea una altura dinámica de 1 / 2 m.
Calcular la altura útil de la bomba.
2 2
s s e e
s e
P V P V
Z H Z
g g 
     
e s
e s
P P
H Z Z
 
   
Conversiones
80 m.c.a. = 800 Kpa = 800000 pascal = 800000 N/m² = 800000 Kg/ms²
200 Torr = 26.664 Kpa = 26664 pascal = 26664 N/m² = 26664 Kg/ms²
Reemplazando en la formula:
800000 Kg/ms² = 81.3265 m
9800 Kg/m²s²
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
18
26664 Kg/ms² = 207208 m
9800 Kg/m²s²
H = 81.63 + 2.72 + 9.5 = 93.85 m
H = 93.85 m
19-12. Una bomba centrifuga cuyo coeficiente de cavitación es 11.0 , desarrolla una altura útil
de 90m, la presión barométrica es 1bar. La presión de saturación del liquido bombeado (d=1.4)
para ka temperatura de funcionamiento es 0.030bar. Las pérdidas de la tubería de aspiración a
1,5m. a) Calcular la altura máxima permisible a la que puede colocarse la bomba con respecto al
nivel del agua en el depósito de aspiración.
Solucion.
H
h

hH
g
PP
Hsmas ErA
SA



 
AP = Presión absoluta en el nivel superior del depósito de aspiración.
SP = Presión de saturación del vapor del líquido bombeado para temperatura de bombeo C.
ErAH  = Perdida de carga en la tubería de aspiración.
h = Caída de altura de presión en el interior de la bomba, cuyo valor suministra el fabricante.
mh
mh
Hh
9,9
11.0*90
*


 
Para hallar la altura permisible debemos primero convertir bares a la unidad deseada.
2
5
2
225
*
10
*
**
1
10
*1
sm
Kg
m
s
mKg
pascal
m
N
bar
pascal
bar 
Maquinas Hidráulicas.
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19
Ahora bien,
mHsmas
mHsmas
mmHsmas
hH
g
PP
Hsmas
sm
kg
sm
Kg
s
m
m
Kg
sm
Kg
sm
Kg
ErA
SA
5,1
4,11
9800
97000
5,19,9
8,9*1000
3000*100000
22
2
23
22
*
*
**






 
19.13. En una bomba centrifuga de agua las tuberías de aspiración y de impulsión son de 300 mm
de diámetro. La tubería de aspiración tiene 10 m de longitud y la de impulsión 150 m de longitud.
Ambas tuberías son de hierro galvanizado. En la tubería de aspiración hay una válvula de pie y un
codo, en la tubería de impulsión una válvula de compuerta. El caudal bombeado es de 6000l/min.
Y la diferencia de niveles entre los pozos de aspiración y el depósito de impulsión es de 10m. El
rendimiento de la bomba es del 65%.
Calcular:
1. La potencia de accionamiento.
Datos:
TA: Tubería de aspiración: Válvula de pie y un codo
Ti: Tubería de impulsión: Válvula de compuerta
DA, i: Diámetro de las tuberías de aspiración y de impulsión
DA, i = 300mm *
mm
m
1000
1
= 0.3 m
LA: Longitud de la tubería de aspiración = 10 m.
Li: Longitud de la tubería de impulsión = 150 m.
Material: HIERRO GALVANIZADO.
Q = Caudal Bombeado
Q= 6000l/min. = 6000
min
l
x
seg60
min1
= 100
s
l
Q = 100
s
l
∆A, i: Desnivel en los depósitos de aspiración y de impulsión
∆A, i = 10m
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
20
ηTOTAL: Eficiencia total de la bomba
ηTOTAL =65 %
PA: Potencia de accionamiento
PA = ?
Solución.
Para calcular la potencia de accionamiento empleamos la siguiente ecuación:
PA =
TOTAL
Q gH

Puesto que me relaciona las variables que tengo en el ejercicio.
PA =
TOTAL
Q gH

PA =
3
2
3
0.001
(100 / )( )(1000 )(9.8 / )
1
0.65
m kg
L s m s
L m
PA = 2 1
1507.6 / ( ) ( )Kg m s H m
s
 
PA = 1507.6 H
La potencia de accionamiento me queda en función de la altura piezométrica H. Esta se obtiene
gracias a la siguiente ecuación:
H =
2
( )
2
t
z a ra ri
v
Z Z H H
g
   
En donde:
( )z aZ Z : Desnivel en los depósitos de aspiración y de impulsión
( )z aZ Z = 10m.
raH : Perdidas por accesorios o aditamentos en la tubería de
aspiración
Donde:
2
' ''
2
a a
ra a a a
a
L v
H
d g
  
 
   
 
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
21
'
a : Coeficiente de pérdidas por accesorios (válvula de pie)
'
a = 6.1
''
a : Coeficiente de pérdidas por accesorios (un codo)
''
a = 0.4
Va : Velocidad en la tubería de aspiración
Esta es posible gracias a la siguiente ecuación:
Va; al reemplazarla con sus respectivos valores tenemos:
2
4
a
a
Q
V
d

 3
2
4 0.1 /
(0.3 )
a
m s
V
m

1.414 /aV m s
riH : Perdidas por accesorios y aditamentos en la tubería de impulsión
2
' ''
2
2
i i
ri i i i
i
L v
H
d g
  
 
   
 
En donde:
'
i : Coeficiente de pérdidas por accesorios (válvula de compuerta)
'
i = 0.2
i : Factor de fricción
Para conocer el i (factor de fricción), es necesario calcular el número de Reynold (Rea), y la
rugosidad relativa
ad
k
, una vez obtenido estos valores, obtenemos de manera grafica el factor de
fricción.
El número de reynold es posible gracias a la siguiente ecuación:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
22
Rea =
a
aa dv

.
En donde:
Va: Velocidad en la tubería de aspiración
da: diámetro en la tubería de aspiración
ν: vis osidad i e áti a del agua
VH2O a 20ºc = 1.007*10-6
s
m2
Rea = 2
6
1.414 (0.3 )
1.007*10
m
m
s
m
s

Rea = 4.212* 105
ad
k
; En donde:
K es una rugosidad promedio para los diferentes tubos y se obtiene de acuerdo al material, este es
posible ya que para nuestro problema el material es hierro galvanizado, dicho valor se encuentra
en este rango:
. ≤ k ≤ .
Por lo que asumimos un k = 17 * 10-5
m
Al reemplazarlo en la ecuación tenemos:
ad
k
=
m
m
3.0
10*17 5
ad
k
= 5.67* 10-4
A estos valores le corresponde un factor por fricción, el cual es:
i = 0.0226
Teniendo ya definido todos estos valores, procedemos a calcular las perdidas en cada una de las
tuberías:
Tubería de aspiración:
2
' ''
2
a a
ra a a a
a
L v
H
d g
  
 
   
 
Maquinas Hidráulicas.
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23
2
2
10 (1.414 / )
6.1 0.4 (0.0226)
0.3 2(9.8 /
ra
m m s
H
m m s
  
     
  
2 2
2
1.999396 /
(7.253
19.6 /
ra
m s
H
m s
  
   
  
0.739raH m
Tubería de impulsión
En esta tubería la velocidad es la misma que en la tubería de aspiración debido a que tiene el
mismo diámetro y el caudal bombeado es constante, de tal forma que:
Va = Vi = 1.414m/s
2
' ''
2
2
i i
ri i i i
i
L v
H
d g
  
 
   
 
2
2
150 (1.414 / )
0.2 (0.0226)
0.3 2(9.8 / )
ri
m m s
H
m m s
   
     
   
1.173riH m
Ahora procedemos a reemplazar todos estos valores en la ecuación siguiente:
H =
2
( )
2
t
z a ra ri
v
Z Z H H
g
   
H = 10m + 0.739m + 1.173m + 0.10201m
H = 12.01m
Ahora este valor lo reemplazamos en la ecuación de la potencia de accionamiento, y de esta forma
determinamos lo que nos están pidiendo:
PA = 1507.6 H
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
24
PA = 1507.6 (12.01) (W)
PA = 18.112 Kw.
19.14 Una bomba centrifuga proporciona un caudal de 1000L/min a 1000 rpm el diámetro del
rodete 600mm. Ancho de salida 10 mm, brida entrada – salida se crea un diferencia de presión 3
Bar , ; de=1m, de=ds; rendimiento manométrico 70 % entrada del rodete radial.
Hallar Altura efectiva, potencia útil,
 Primero determinamos la altura efectiva usando la ecuación de Bernoulli
Debido a ds=de entonces Vs=Ve = a cero, la presión de entrada es cero así nos queda:
Luego nos queda
 Para determinar la potencia utilizamos la ec.
Reemplazando nos queda:
Sabiendo que:
 Para determinar
Realizamos el triangulo de vela la salida:
1
2
60
D N
U

 =
Determinamos Hu
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
25
Luego utilizando la relación
2 2 1 1u u
u
u C u C
H
g


Pero como la entrada es radial entonces
2 2u
u
u C
H
g

Hallamos u
Determinamos el valor de C2 sabiendo que C2 es = a C2m
Entonces
Reemplazamos los valores:
Utilizando la relación de triángulos:
19.15 Una bomba centrifuga de agua proporciona una altura útil de 22 metros a una velocidad de
1.200 r.p.m. D1= 180 mm; D2= 300 mm. Entrada en los álabes del rodete, radial; Cm= constante en
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
26
todo el rodete; C2u= 25 m/s. Las perdidas perdidas hidráulicas en la bomba son iguales a 0.027 C2
2
m (C2 en m/s).
Calcular:
a) El rendimiento hidráulico.
b) Los á gulos ála es a la e trada a la salida β1 β2.
Datos de entrada:
H=22m Hr=0.027 C2
2
n= 1.200 r.p.m.
D1= 180 mm D2=300 mm
C2u=25 m/s Cm= constante
Consideraciones:
Dado que la entrada en los álabes es radial C1 = C1m
Desarrollo:
a) Para hallar el rendimiento hidráulico utilizamos la siguiente fórmula:
ηh = H/HU ; donde H= Hu – Hr-int ; H: altura útil Hu: altura de Euler
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
27
a) Ahora procedemos a calcular el rendimiento hidráulico
b) Ahora procedemos a hallar los ángulos de los álabes a
la entrada y a la salida
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
28
19.16 Una bomba positiva de corona directriz tiene una altura geométrica de aspiración de 2 m y
una de impulsión de 14m referidas al eje de la bomba. La velocidad del agua en la tubería de
impulsión es de 2 m/s y Cm es contante en todo el recorrido e igual a /s; β2=60o
.Se desprecian
las perdidas en el interior y7 fuera de la bomba. La entrada en los álabes es radial.
Calcular:
a) Velocidad periférica a la salida del rodete
b) Altura de presión a la salida del rodete.
c) Altura de la velocidad a la salida del rodete.
d) Angulo que deberá haber a la entrada de los alabes.
Análisis y datos de entrada:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
29
Los subíndices 1 y 2 indican aspiración e impulsión respectivamente.
Datos conocidos:
-Cm: 3 m/s y es constante.
-β2 = 60o
.
-V2= 2 m/s, velocidad de succión.
-La entrada en los alabes es radial por lo tanto C1u = 0.
-Se desprecian las perdidas en el interior y fuera de la bomba
Como se desprecian las perdidas dentro y fuera de la bomba la ecuación de Bernoulli está dada
por
Como los tanques son abiertos a la presión atmosférica, la presión es 0.
Se desprecia la fricción.
Despejando H:
Como la altura efectiva de la bomba es
, y las pérdidas son despreciables tenemos que
Según Euler , para bombas y como la entrada es radial C1u = 0.
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
30
Despejando:
C2u = -Ecuación 1
Analizando el triangulo de velocidades para la salida (2)
Analizando el triangulo formado por Cm2, w2 y .
Tenemos que
Despejando
-ECAUCION 2
Igualando y resolviendo las ecuaciones las ecuaciones 1 y 2 tenemos una formula cuadrática
Resolviendo la mediante formula cuadrática encontramos la velocidad periférica es:
a)
b) Para la altura de presión a la salida del rodete tenemos que analizar desde el pozo hasta la salida
de la bomba(nivel del eje de bomba)
Aplicando Bernoulli
-Como el tanque de suministro esta a la intemperie se va la presión de entrada
-Velocidad de entrada se desprecia pues el diámetro del tanque es mucho mayor que la tubería y
su velocidad es baja.
-como analizamos a nivel de eje de la bomba la altura 2 es 0.
Despejando
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
31
, a la salida del rodete es igual a C2 y la halamos mediante el triangulo de
velocidades
, analizando el triangulo formado por C2, C2u y Cm tenemos que
No tenemos
Reemplazando los valores obtenemos que
Teniendo este valor procedo a hallar por Pitágoras C2=12.17 m/s
Procedemos a reemplazar en la ecuación de Bernoulli ya encontrada
b) seria la altura de presión en el rodete.
c) El ángulo q deberían tener los ála es dire tri es a la e trada seria igual a β1 y se hallaría
mediante el triangulo de velocidades para 1
Como la entrada a los álabes es radial el triangulo queda reducido a
tenemos solo de este triangulo Cm, pero utilizando la ecuación de Euler tenemos q
, pero C1U es igual a cero entonces para poder hallar el valor de µ1 le
damos un valor a la componente periférica de la velocidad absoluta muy pequeño (que tienda a
cero) solo faltaría despejar y hallar µ1.
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
32
Despejando tenemos que
La magnitud de , te ie do este valor pro ede os a hallar β1 por trigonometría
.
19.17 Una bomba centrifuga que proporciona un caudal de 25 m3
/h sirve para elevar agua a una
altura de 25 m. La resistencia total de la tubería de aspiración y de impulsión es de 6 m. El
rendimiento total de la bomba es de 0.7, y el rendimiento del motor eléctrico de accionamiento es
de 0.95.
Calcular la potencia de la red.
Datos de entrada:






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33
Solución:
Se calcula primero la potencia interna de la bomba; la cual es función de la potencia de
accionamiento.

.
Pi es la potencia que necesita la bomba del motor eléctrico para vencer todas las perdidas y así
poder realizar el trabajo.
19.18 Una bomba centrífuga, cuyo rendimiento total es 60% bombea 2000L/min de aceite creando
un incremento de presión efectiva de 2 bar.
Pasamos el caudal a
Convertimos el a Kilopascales
Reemplazamos valores en la fórmula de la potencia de accionamiento
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
34
19.20. Entre las bridas de entrada y salida de una bomba, se coloco un manómetro en U de
mercurio. De él se ha extraído el aire de manera que al funcionar el resto del tubo manométrico se
encuentre lleno de agua. La bomba da una caudal de agua de 300 m3/h. la tubería de aspiración es
de 250 mm y la de impulsión de 200 mm. El eje de la bomba es horizontal. Entre los ejes de la
tubería en la toma manométrica de aspiración e impulsión hay un desnivel de 35 cm. El
manómetro indica un incremento en la altura del mercurio de 20 cm (más elevada en la rama
unida al tubo de aspiración).
Calcular la potencia útil de la bomba
La potencia útil será la invertida en impulsar el caudal (Q) a la altura útil (H). Lo cual se resume en
la siguiente fórmula:
P Q gH
El valor H se halla a continuación despejando el término de la ecuación de Bernoulli de la siguiente
manera:
2 2
2 2
e e s s
e e
P v P v
Z H Z
g g g g 
 
      
 
Despejando H tenemos:
2 2
2 2
s s e e
s e
P v P v
H Z Z
g g g g 
    
         
    
Reorganizando la ecuación encontramos:
2 2
2
s e s e
s e
P P v v
H Z Z
g g
 
   
La altura manométrica igual a 20 cm que nos presentan en el ejercicio corresponde al siguiente
término de la ecuación:
s eP P
g

Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
35
El segundo término de la ecuación es igual al desnivel de 35 cm que se presenta entre los ejes de
las tuberías:
s eZ Z
En el último término de la ecuación se calculan las velocidades en base a los diámetros
entregados con de las tuberías y reemplazándolos en la siguiente ecuación:
V= Q/A ; A =
Luego reemplazando:
AS = A = = 0,031 m2
AE = A = = 0,049 m2
Se hallan las velocidades:
VE = Q / A1 V1= VE = 6122 m/h = 1,7 m/s
VS= Q / A2 V2 = VS = 9677 m/h = 2,68 m/s
Se sustituye todo los valores en H:
   
2 2
2
2.68 / 1.7 /
0.2 0.35
2(9.8 / )
m s m s
H m m
m s
 
   
 
 
H = 0,2 m + 0,35 m + 0,22 m
H= 0,77 m
Por últi o se halla la pote ia útil de la o a segú la e ua ió , del li ro Claudio Matai
de maquinas hidráulicas:
P Q gH
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
36
P = (300 m3
/h) (1000 Kg/m3
) (9,8 m/s2
) (0,77 m)
P = 2263800W = 2263,8 KW
19.21. Una bomba centrifuga de agua suministra un caudal de 50 m3
/h. La presión a la salida de la
bomba es de 2,6 bar. El vacuómetro de aspiración indica una depresión de 250 Torr. Las
diferencias de cotas entre los ejes de las secciones, donde se conectan las tomas manométricas, es
de 0,6 m. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son iguales. El rendimiento total
de la bomba es 62%. Calcular la potencia de accionamiento de esta bomba.
Datos de entrada:
Q = 50 m3
/h Pa = ?
P2 = 2,6 bar. Hm =?
P1 = 250 Torr
Z2 – Z1 = 0,6 m
η
3
1000 /Kg m 
D1 = D2
Tenemos la ecuación de potencia de accionamiento
1
aP
QgH

Para hallar la potencia de accionamiento necesitamos hallar la altura útil de la bomba o cabeza de
presión H.
Para hallarlo utilizamos la ecuación general de la energía:
2 2
1 1 2 2
1 2
( ) ( )
2 2
l r
P v P v
Z H h h Z
g g g g 
       
Despreciamos las perdidas menores hL y no hay energía retirada hR. Entonces la ecuación queda
reducida a:
2 2
1 1 2 2
1 2
( ) ( )
2 2
P v P v
Z H Z
g g g g 
     
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
37
Despejando tenemos:
2 2
2 1 2 1
2 1
( ) ( )
2 2
P P v v
H Z Z
g g g g 
     
La velocidad expresada en términos de Q es:
2
2
2 4
16Q
v
D
 
  
 
Cuando realizamos la diferencia entre velocidades 1 y 2:
2 2
2 2 2 4 2 4
2 1
2 1
16 16
( ) ( )
2 2 2 2
Q Q
v v D D
g g g g
 
   
   
     
   
   
   
Pero como sabemos que D1 = D2, entonces la diferencia de velocidades se hace cero.
La ecuación se reduce a:
2 1
2 1
P P
H Z Z
g g 
   
Ahora para resolver la ecuación necesitamos realizar una conversión de unidades:
2
2
2
1
100000
2.6 260000 ( / )
1
133
250 332250 ( / )
1
Pa
P bar Pa N m
bar
Pa
P Torr Pa N m
Torr
 
 
  
 
 
 
 
 
    
 
 
 
La presión 1 es negativa, porque es especificado que es una depresión medida por un vacuómetro.
3 31
(50 / ) 0.0138 /
3600
h
Q m h m s
s
 
   
 
Con esto ya podemos hallar la cabeza de presión:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
38
 
  
 
  
2
3 2
2
3 2
260000 ( 332250 /
0.6
1000 / 9.81 /
260000 (332250 /
0.6
1000 / 9.81 /
N m
H m
Kg m m s
N m
H m
Kg m m s
  
  
 
 
 
  
 
 
29.89 0.6
30.49
H m m
H m
 

Ahora podemos hallar la potencia de accionamiento:
1
aP
QgH
 
  
 
Reemplazando;
1
6657.54
0.62(1000)(0.0138)(9.81)(30.49)
Pa w
 
  
 
19.22. Una bomba se emplea para impulsar agua a 10°C entre dos depósitos, cuyo desnivel es de
20m. Las tuberías de aspiración y de impulsión, cuyas longitudes son de 4 y 25m respectivamente,
son de fundición de 300 y 250 mm respectivamente. Las perdidas secundarias pueden
despreciarse. El caudal bombeado es de 800m3
/h; ntot = 75%. Calcular: a) La altura efectiva de la
bomba; b) Potencia de accionamiento.
Agua a 10ºC
∆z = 20m
L de aspiración = 4m
L de impulsión = 25m
D de aspiración = 300mm
D de impulsión = 250mm
Q = 800m^3/h
η total = %
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
39
Buscamos en tablas los siguientes datos
=0.25mm
= . * ^-3
φ= . kg/ ^
Ahora calcularemos el numero de Reynolds y las perdidas por fricción en las tuberías con las
siguientes ecuaciones
Re Sv D
v

2
2
f
LV
h f
D g
 2
0.9
1.325
5.74
ln
3.7
f
E
D R

  
  
  
3 3
800 / 0.22 /Q m h m s 
Re 906513.6 4
8.33 10
E
x
D


Re 1087816.31 3
1 10
E
x
D


f = 0.012 hf =0.079
f2 = 0.02 hf2 = 2.05
Teniendo en cuenta que la energía de presión es cero y la energía cinética tiende a cero nuestra
ecuación queda de la siguiente forma
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
40
De
2 2
2 2
A A Z Z
A r ext Z
P v P v
z H H z
g g g g       
Quedaría que:
H = 20 + 0.079 + 2.05 = 22.129 m
Ahora calculamos la potencia útil
( )P Q gH W
3 3 2
(0.22 / )(999.7 / )(9.81 / )(22.129 ) 47.7445P m s Kg m m s m KW 
Y calculamos la potencia de accionamiento
tot
P
n
Pa

47.7445
63.6593
0.75
KW
Pa KW 
19.23. Una bomba centrífuga gira a 750 rpm. El desnivel geodésico entre los depósitos de
aspiración e impulsión, abiertos a la atmósfera, junto con todas las pérdidas de carga exteriores a
la bomba asciende a 15 m. El ángulo = 45°. La velocidad media del agua en las tuberías, así como
la velocidad meridional en el interior de la bomba, se mantiene constante e igual a 2 m/s. La
entrada de la corriente en los álabes es radial. El rendimiento manométrico de la bomba es 75%.
Ancho del rodete a la salida 15 mm. Calcular:
a) Diámetro exterior del rodete.
b) Altura dinámica del rodete que se ha de transformar en altura de presión en la caja
espiral.
c) Si el diámetro del rodete a la entrada es 0.4 el diámetro del rodete a la salida, calcular el
caudal y el ancho del rodete a la entrada.
d) .
e) Rendimiento de la bomba, si 0.9 y 1
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
41
Datos.
= 0.75
n= 750 rpm
= 45°
= 2 m/s
= 15 mm
15 m
Solución.
Primeramente, se realizan los triángulos de velocidades de la entrada y la salida, teniendo en
cuenta que es radial ( ):
A partir de la ecuación de Bernoulli, determinamos que:
x
750 rpm
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
42
 0, por estar abierto a la atmósfera.
 , por mantenerse constante.
Por lo tanto, comprobamos que:
Ahora, se calcula la altura útil:
Sabiendo que (1), se determina los valores de y con el segundo triángulo de
velocidades:
Donde
(2)
Reemplazando (2) en (1):
Aplicando fórmula general de la ecuación cuadrática:
Si se utiliza el signo positivo se tiene ; Si se utiliza el signo negativo se tiene
. Por lo cual, se utilizará la primera raíz.
Con el valor de , determinamos el diámetro externo:
Respuesta a)/: El valor del diámetro exterior del rodete es 383 mm.
Para determinar la altura dinámica , determinamos el valor de a partir del segundo triángulo
de velocidades:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
43
Respuesta b)/: La altura dinámica del rodete que se ha de transformar en altura de presión en la
caja espiral es 8.67 m.
El caudal se calcula de la siguiente manera:
Como el caudal en la entrada es el mismo que en la salida, tenemos que:
(3)
Para determinar el diámetro del rodete a la entrada, se tiene la siguiente relación:
Con este dato, procedemos a calcular la anchura del rodete a la entrada a partir de (3):
Respuesta c)/: Según las condiciones diametrales, el caudal es y el ancho de rodete
a la entrada es 0.0375 m.
El valor de , se obtiene a partir del primer triángulo de velocidades. Por lo que:
Respuesta d)/: El valor de es .
El rendimiento de la bomba, se determina a partir de:
Respuesta e)/: El rendimiento de la bomba es 67.5 %
19.24. Una bomba centrífuga de agua tiene as siguientes características: D1= 100 mm; D2/D1= 2;
b1= 20mm; = 15°; = 30°; n= 1500 rpm. Las tomas de presión en la aspiración e impulsión
tienen el mismo diámetro. El manómetro de aspiración marca una altura de presión relativa de -4
m c.a. El rendimiento total de la bomba es 65%, 96%; = 0.9. Supóngase la entrada en los
álabes radial. Calcular:
a) Triángulos de velocidad a la entrada y salida del rodete (los tres lados y los dos ángulos
característicos).
b) El caudal (supóngase rendimiento volumétrico igual a 1).
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
44
c) La potencia en el eje de la bomba.
d) La presión en bar del manómetro de impulsión.
Datos.
= 0.96
= 0.9
= 0.65
n= 1500 rpm
= 15°
= 30°
= 100 mm
= 2
= 20 mm
= -4 m c.a.
Solución.
Respuesta a)/: Primeramente, se realizan los triángulos de velocidades de la entrada y la
salida, teniendo en cuenta que es radial ( ):
Del primer triángulo de velocidad, determinamos :
Para este caso, y
Del segundo triángulo de velocidad, determinamos :
x
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
45
Para el caudal, teniendo en cuenta que el rendimiento volumétrico es igual a 1, se procede a
calcularlo así:
Respuesta b)/: El caudal es .
Para determinar la potencia del eje, se calcula como primera medida el rendimiento hidráulico:
Determinamos la altura útil H:
Determinamos la potencia interna:
Calculamos la potencia de accionamiento:
Respuesta c)/: La potencia del eje de la bomba es
Para hallar la presión en bar, se realizó una conversión de unidades a la presión en la aspiración:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
46
Respuesta d)/: La presión en bar del manómetro de impulsión es
19.25 El rodete de una bomba centrifuga de gasolina ( 0.7  ) de 3 escalonamientos tiene un
diámetro exterior de 370 mm y un ancho a la salida de 20 mm ; 2 45   . Por el espesor de los
álabes se reduce un 8 % el área circunferencial a la salida; m = 80 %.
Calcular:
A) Altura efectiva cuando la bomba gira a 900rpm, suministrando un caudal másico de
3.500kg/min;
B) Potencia de accionamiento en estas condiciones.
SOLUCION:
D2 = 0.37 m
b2 = 0.02 m
β2 = 45º
ni = 0.85
nm = 0.80
N= 900rpm
Q = 3500 Kg/min= 0.085 m3
/seg
Hallamos la velocidad meridional (C2m ):
2 2 2mQ D b c
Despejando tenemos:
C2m = . / . .
C2m = 3.44 m/seg
Luego hallamos la velocidad periférica a la salida del alabe (U2 ):
2
2
60
D n
u


Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
47
U2 = . / 60
U2 = 17.43 m/s
Luego del triangulo a la salida mostrado en la figura 18.2 tenemos:
2
2 2
2
m
u
c
C u
tg
 
C2u = 17.43 m/seg – 3.44 m/seg
C2u = 13.98 m/seg
Luego hallamos la altura de euler:
2 2 1 1 2 2
u
u uu c u c u u c
H
g g

 
Hu = (17.43 x 13.98) / (9.8) = 24.86 m
/h uH H 
H = 3 (0.8) x (24.86) = 61.36 m ; Bomba de 3 escalonamientos
El ejercicio nos plantea un rendimiento interno pero el volumétrico al trabajar con un liquido se
toma como 1 por lo cual el rendimiento interno es igual al rendimiento hidráulico.
Conociendo la altura podemos hallar la potencia de accionamiento:
1
a
m
Q gH
P



Pa = (680 x 0.085 x 9.8 x 61.367) / (0.80 x 0.85)
Pa = 51.649 Kw.
19.26 En este problema se desprecian las pérdidas. Una bomba centrífuga de agua tiene las
siguientes características: n=500rpm, D1=100mm, D2=400mm. Área útil del rodete a la
entrada=200cm2
. Área útil del rodete a la salida=500cm2
. Β1=45o
, Β2=60o
. Entrada en los álabes del
rodete radial. Calcular w1, w2 y la potencia de la bomba.
Datos:
n=500rpm Ae=200cm2
w1=?
D1=100mm As=500cm2
w2=?
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
48
D2=400mm β1=45o
, β2=60o
P=?
Solución. Como conocemos el número de revoluciones de la bomba y a la vez el ángulo a la
entrada procedemos a hallar la velocidad periférica en el punto 1, por lo que tendríamos:
El triangulo de velocidades a la entrada esta dado por:
Aplicando las relaciones trigonométricas podemos obtener
tanto el valor de la velocidad relativa a la entrada w1, como
el valor de C1m o C1.
Despejando la ecuación (1) tendríamos
Despejando la ecuación (2) tendríamos
Por la ecuación de continuidad asumimos que:
Ahora para la salida tenemos que , y despejando
Procedemos a hallar la velocidad periférica en la salida
C1= C1m
w1
β1
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
49
Y el triangulo de velocidades en la salida será
Para el triangulo azul aplicando las respectivas
relaciones trigonométricas obtendremos el valor de
w2 y obtener el valor de - C2u2.
Despejando w2 de la ecuación (3) tenemos
DespejandoC2u2 de la ecuación (4) tenemos
Sabemos que , pero debido a que las pérdidas se despreciaran en este problema,
tenemos que . Si utilizamos la primera forma de la ecuación de Euler, obtendríamos:
Pero debido a que la entrada en los alabes es radial, , entonces:
Y la potencia de la bomba estaría dada por la siguiente expresión
19.27 Una bomba de agua da un caudal de . Aspira en carga de un depósito abierto por
una tubería de estando el eje de la bomba por debajo del nivel de agua en el
depósito. Despréciense las pérdidas en la bomba y en las tuberías. La potencia de la bomba es de
.
C2m
w2
β2
C2
C2u2
u2
-
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
50
Calcular:
1) La lectura de un manómetro situado en la brida de espiración por debajo del nivel del
depósito.
2) La lectura de otro manómetro situado en la tubería de impulsión por encima del nivel de
agua en el depósito.
SOLUCIÓN
Para empezar el desarrollo de nuestro ejercicio empezamos realizando las siguientes
conversiones:
Sea
Sea
1) Iniciaremos el análisis escogiendo los puntos en donde conocemos la mayor información sobre
presión, velocidad y elevación. Siendo así analizaremos primero la superficie del recipiente y la
sección de entrada a la bomba, en donde se encuentra ubicado el primer manómetro. Los puntos
se ilustran a continuación:
La ecuación de Bernoulli entre las secciones analizadas será:
Teniendo en cuenta que en el enunciado me indican que desprecie las pérdidas en la bomba y en
las tuberías , además de que en este tramo analizado no hay energía removida por un
dispositivo mecánico como por ejemplo un motor de fluido y tampoco hay energía agregada
mediante un dispositivo mecánico (bomba) :
Conociendo que , luego entonces este término desaparece de la ecuación y así
mismo se cancelan algunos términos como:
5m
m
20m
Eje de Referencia
BombaDepósito Abierto
Manómetro
1
Manómetro
2
A
B
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
51
, ya que =0 La superficie del recipiente está expuesta a la atmósfera (depósito
abierto).
, ya que =0 (Aproximadamente) El área superficial del recipiente es grande en
comparación a la de la entrada de la tubería.
=0 Se ubica sobre el eje que hemos tomado como referencia.
Luego la expresión se reduce a:
Puesto que tiene un valor dado de y que el diámetro de la tubería es de ,
entonces podemos calcular la velocidad que lleva el fluido en el punto B.
Al despejar de la ecuación:
Reemplazando los valores correspondientes:
Finalmente
Esta es la presión que registra el manómetro ubicado en la brida de aspiración 5m por debajo del
nivel de agua del depósito. El signo negativo indica que se trata de un vacuómetro.
2) Para la segunda parte del análisis escogeremos la sección de entrada a la bomba en donde se
ubica el primer manómetro y la sección en donde se encuentra ubicado el segundo manómetro.
Los puntos se ilustran a continuación:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
52
Ahora nuevamente escribiendo la ecuación de Bernoulli entre las secciones analizadas tenemos:
Teniendo en cuenta que en el enunciado me indican que desprecie las pérdidas en la bomba y en
las tuberías , además de que en este tramo analizado no hay energía removida por un
dispositivo mecánico como por ejemplo un motor de fluido, pero SI hay energía agregada
mediante un dispositivo mecánico, en este caso la bomba :
Conociendo que , luego entonces este término se conserva en la ecuación bajo
la notación de y así mismo se cancelan algunos términos como:
=0 Se ubica sobre el eje que hemos tomado como referencia.
y se cancelan El tamaño de la tubería es el mismo en la sección B y en la sección
C. La rapidez de flujo de volumen en cada punto es también la misma. Entonces, puesto que
, podemos concluir que .
Luego la expresión se reduce a:
B
5m
m
20m
Eje de Referencia
BombaDepósito Abierto
Manómetro 1
Manómetro 2C
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
53
Puesto que en el ejercicio nos indican que la bomba tiene una potencia de , y manejando el
concepto de que la potencia útil o la potencia añadida al fluido por la bomba es igual a:
En donde:
es el peso específico del fluido que fluye por la bomba y Q es la rapidez de flujo de volúmen del
fluido (caudal); de esta ecuación despejamos que es la energía añadida o agregada al fluido
mediante la bomba.
Así:
Finalmente al despejar de la ecuación de Bernoulli reducida tenemos:
Al remplazar los valores correspondientes obtenemos:
19.28. En este problema se despreciaran las pérdidas. Una bomba centrifuga que produce un
caudal de agua de 300m3
/h tiene las siguientes características: D1= 150mm; D2/D1= 3; b1= 40mm;
b2/b1= / ; β1= º; β2= 40º. Entrada radial.
Calcular:
a) rpm
b) Altura de la bomba
c) Par
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
54
d) Potencia
e) Incremento de presión que se produce en el rodete
Solución
Datos:
Pérdidas: Hr-int.= 0
Caudal: Q= 300m3
/h
Diámetro 1: D1= 150mm
Diámetro 2: D2= 3 D1
Arista de entrada: b1= 40mm
Arista de salida: b2/b1= ½ → 2= 20mm
Solución.
El caudal en una bomba en régimen permanente es el mismo en cualquier sección de la bomba.
Entonces se tiene que:
 1cDbQ m111
Como la entrada es radial, se tendrá que el triangulo de velocidades a la entrada estará dado por:
Donde:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
55
m150
mm1000
m1
mm150D
m040
mm1000
m1
mm40b
s
m0830
s3600
h1
h
m
300Q
60
entradalaaabsolutaVelocidadcc
1
1
3
3
1
m11
.
.
.









Despejando de (1) a c1m:
  
s
m404c
s
m404
m150m040
s
m0830
Db
Q
c
m1
3
11
m1
.
.
..
.







Aplicando trigonometría en el triangulo de velocidades de entrada, se obtiene que:
)(2
u
c
u
c
Tan
1
m1
1
1
1 
Despejando u1 de (2):
s
m542
731
s
m404
Tan
c
u
1
m1
1 .
.
.



Pero como u1, según el Claudio Mataix Pág. 362, es igual a:
)(3wru 11 
m0750
2
m150
2
D
rr2D 1
111 .
.

Despejando w de (3):
s
rad8733s8733
m0750
s
m542
r
u
w 1
1
1
..
.
.



 
Como la velocidad angular w está dada por: (Pág. 361 Claudio Mataix)
)(4
2
w60
n
60
n2
w




Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
56
Reemplazando valores en la ecuación (4):
 
)(.
.
.
arpm43323n
rpm43323
2
s
rad873360
n




Ahora, de la ecuación (19-4) del Claudio Mataix Pág. 386, se tiene que la expresión para el cálculo
de la altura es:
)(.int 5HHH ru 
En donde Hu es la altura que el rodete imparte al fluido y Hr-int. equivale a las perdidas hidráulicas
en función de la altura.
Como en este caso especifico, las pérdidas se desprecian, la ecuación (5), se reescribe como:
)(
.int
6HH
HHH
u
ru

 
Donde según la ecuación (19-3) del Claudio Mataix Pág.385, Hu esta definida como:
)(7
g
cu
H
g
cucu
H
u22
u
u11u22
u



Ya que c1u=0 (Entrada radial).
Por otra parte, como el caudal no varía igualamos las condiciones en la entrada y a la salida, se
puede deducir que:
m222m111 cDbcDbQ 
Despejando c2m:
  
   s
m932
s
m404
m1503m020
m150m040
c
Db
Db
c m1
22
11
m2 ..
..
..




Ahora, para cálculo de u2:
 
s
m627
60
rpm43233m1503
60
nD
u 2
2 .
..).(





Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
57
Al construir el triangulo de velocidades que corresponden a la salida de la bomba, obtenemos por
trigonometría lo siguiente:
s
m134c
s
m134
840
s
m932
s
m627c
Tan
c
uc
Tan
c
cu
cu
c
Tan
u2
u2
2
m2
2u2
2
m2
u22
u22
m2
2
.
.
.
.
.








Reemplazando el valor de c2u en la ecuación (7), se tiene que:
    bm213
s
m819
s
m134
s
m627
H
2
u .
.
..







El par transmitido por el rodete al fluido esta descrito por la ecuación (18-5) del Claudio Mataix en
la Pág. 361:
 u11u22 crcrQM 
Como el fluido con el que trabaja la bomba es agua, el =1000kg/m3
. Reescribiendo todas las
variables por sus respectivos valores, resulta:
 
)(.
...
cNm717M
s
m134m02250
m
kg1000
s
m0830M 3
3













 
La potencia útil es la invertida en impulsar el caudal útil Q a la altura útil H. Luego, esto lleva según
Claudio Mataix (Pág. 381) a que la potencia está definida por:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
58
   
 dkw612P
w682613P
m213
s
m819
m
kg1000
s
m0830P
gHQP
23
3
.
.
...













El incremento de presión creado por el rodete si la bomba está llena de agua será (Claudio Mataix,
Pág. 383):
 
 ekPa5031p
Pa131490p
m213
s
m819
m
kg1000p
gHp
23
agua
.
.
..






 







19.29 UNA BOMBA CENTRIFUGA DE AGUA QUE GIRA A 1000 RPM, TIENE LAS SIGUIENTES
DIMENSIONES:
(Datos de Entrada)
D1= 180 mm
b1 = 30 mm b2 = 20 mm
β1 = 20o
β2 = 30o
Eficiencias
ηH =81 % (hidráulica) ηm = 95 % (mecánica) ηmotor eléctrico = 0.85
Diámetro tubería de entrada: 220 mm
Diámetro tubería de salida: 200 mm
Entrada a los alabes radial, las bridas de entrada y salida se encuentran a la misma cota. El desnivel
entre el depósito de aspiración abierto a la atmosfera y la brida de aspiración asciende a 1,2 m.
Calcular:
a) Los triángulos de velocidad a la entrada y la salida del rodete. (c, u, w, cu, cm, α .
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
59
b) Caudal Q
c) Altura de Euler Hu
d) Altura de Presión a la entrada de la bomba
e) Energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento de la bomba.
f) Altura de presión a la salida de la bomba.
Solución:
ESQUEMA DEL SISTEMA DE BOMBA
a) Triángulos de Velocidad
A la entrada del alabe
Se considera que el fluido agua entra a los alabes en forma radial, por lo tanto el triangulo de
velocidad a la entrada queda representado de la siguiente forma:
C1u = 0, La razón de que c1u sea cero, es porque la entrada del fluido al álabe es radial, por lo que
c1 se hace igual a c1m o la velocidad meridional, así c1 = c1m.
A la salida del álabe el triángulo de velocidades que representado así:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
60
Calculo de las velocidades y ángulos de entrada y salida
a) Considerando el triangulo de velocidades a la entrada
Se determina u1
u1 =
Con
D1 = 180 mm β = o
N = 1000 rpm
u1 =
u1 = 9424.8
Se determina c1m
c1m = u ta β
c1m = (9424.8 ) tan 20o
c1m = 3430. 3
Esta velocidad es igual a c1
C1 = 3430. 3
C1u = 0
Se determina w1
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
61
w1 =
w1 =
w1 = 10029.6
b) Para determinar el caudal Q
Q = b1 D1 c1m
Q = (30 mm) (180 mm) (3430.3
Q = 58.2 x 106
Se determina u2
u2 =
Con
D2 = 360 mm
N = 1000 rpm
u2 =
u2 = 18849.6
Para hallar c2m, por conservación de caudal y sin pérdidas volumétricas se usa la ecuación:
Q = b2 D2 c2m
Despejando c2m
c2m =
Con Q = 58.2 x 106
b2 = 20 mm
D2 = 360 mm
c2m =
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
62
c2m = 2572.7
Del triángulo de velocidades a la salida se determina: c2u
Considerando la figura
ta β =
Despejando c2m se obtiene:
C2u =
Reemplazando los datos
C2u =
C2u = 14393.2
Se determina w2
De la figura
w2 =
w2 =
Para determinar c2 se utiliza el teorema de Pitágoras y del triangulo de velocidades a la salida:
c2 =
c2 = 45587.9
Para deter i ar el á gulo α, de la figura:
Ta α =
Despeja do α
α = ar ta
α = ar ta
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
63
α = . o
c) Altura de Euler
Se usa la ecuación:
Hu =
Reemplazando los valores
Hu =
Hu = 27656 mm
Hu = 27.6 m
d) Altura de presión a la entrada de la bomba
Para hallar la altura de presión a la entrada de la bomba se aplicación ecuación de la energía entre
los puntos A y E del sistema
Se despeja la altura de presión
Ze= 0 A la misma altura
= perdidas a la entrada
Se determina hallando la altura útil y restándola de la altura de Euler o altura teórica.
Altura Útil H
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
64
De la ecuación de la eficiencia hidráulica:
ηH =
De los datos de entrada
La eficien ia hidráuli a ηH =81 %
Despejando la altura útil H
H = ηHHu
H = (0.81)(27.6 m)
H = 22.4 m
La altura de pérdidas se expresa:
Hpe = Hu – H
Hpe = 27.6 -22.4
Hpe = 5.2 m
Se halla la velocidad a la entrada de la bomba Ve
De la ecuación de caudal
Q = VA = V
Despejando la velocidad V
V =
Reemplazando el Caudal y el diámetro.
Q = 58.2 x 106
= 0.0582
de= 220 mm = 0.22m
Ve= 1531.04
Reemplazando la velocidad
= 119,5 mm = 0.119 m
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
65
-5.2m – 0.119m – 0
- 5.319 m
e) La energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento de la bomba
Se halla la potencia útil
Pútil = QρgH
Pútil = (0.0582 (1000
Pútil = 12. 8 kW
Ahora se determina la potencia de accionamiento Pa
Es fu ió de la pote ia útil la efi ie ia total ηt
Pa = =
Pa = 16.6 kW
Se determina la potencia suministrada por el motor eléctrico, con la eficiencia del motor eléctrico
ηmotor eléctrico= 0.85
Pmotor =
Pmotor =
La energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento se determina con
Eeléctrica = Potencia motor x tiempo de funcionamiento
Eeléctrica = Pmotor x t = (19.5 kW x 6 h)
Eeléctrica = 117 kW
f) Altura de presión a la salida de la bomba
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
66
Aplicando ecuación de la energía en los puntos E y S
+ Hútil=
Pero
Ze = Zs = 0
Despejando la altura de presión a la salida
La velocidad Vs se determina con el caudal Q
Con diámetro de salida ds = 200 mm
Q = VA = V
Despejando la velocidad V
V =
Reemplazando el Caudal y el diámetro.
Q = 58.2 x 106
= 0.0582
de= 200 mm = 0.2m
Ve= 1852.6
Reemplazando la velocidad
= 175 mm = 0.175 m
Reemplazando
= 22.4 m – 5.319 m + 0.119 m – 0.175 m
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
67
= 17.02 m
19.30 Una bomba centrifuga que aspira directamente de la atmosfera ( = 740 torr) da un
caudal Q = 555 con una altura efectiva H= 13.5 m, girando a 750 rpm, el es 3.33
m, la temperatura del agua es 20 , las pérdidas de la aspiración ascienden a 0.54m.
 Altura geodésica máxima de aspiración de la bomba
 Numero especifico de revoluciones
DATOS
Bomba centrifuga
Q= 555
H= 13.5 m
n = 730 rpm
= 3.33 m
= 20
= 740 torr
Perdidas en tubo de aspiración= 0.54 m
=?
Altura geodésica de la bomba =?
= (velocidad especifica)
Conversiones:
Q= 550 * = 0.55
= 998
Luego hallamos la potencia. (P):
P= Q (W)
P= (0.55 ) (998 )(0.98 )(13.5m)
P=7262 W = 7.262 Kw
Luego reemplazamos estos valores en la ecuación de la velocidad especifica
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
68
= = =75.8
Ahora procedemos a calcular la altura geodésica de la bomba:
= - -
-
= -3.33m-0.54m
=-3.87m
0 la entrada de la bomba está por debajo del nivel de la carga.
19.31. Una bomba centrifuga bombea gasolina de densidad relativa 0.7 a razón de 200 m3
/h. Un
manómetro diferencial mide una diferencia de presiones entre la entrada y la salida de la bomba
de 4,5 bares, el rendimiento total de la bomba es de 60%. Las tuberías de aspiración y de
impulsión tienen el mismo diámetro y los ejes de las secciones en que está conectado el
manómetro tienen la misma cota.
Calcular:
a) la altura útil de la bomba;
b) la potencia de accionamiento.
Solución.
s
m
s
h
h
m
h
mQ
333
5556.0
3600
1
200200 
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
69
aguarelabs
agua
abs
relaguarel
m
kg 


  31000;7.0
33 70010007.0
m
kg
m
kg
abs  
Pa
bar
Pa
barbarP 450000
1
10
5.45.4
5

kPaPPP ES 450
Analizando
 



 extr
ES
ES
ES
H
g
VV
ZZ
g
PP
H
2
22

En esta expresión tenemos que :
- debido a q los ejes están al misma altura entonces ZS-ZE = 0
- como la velocidad es 2
4
D
Q

;dependen de Q y de D y DS= DE entonces
VS= VE y esa expresión se hace igual cero
- por último debido los datos del ejercicio se debe suponer q no hay perdidas en el sistema
 
mH
s
m
m
kg
kPa
g
PP
H ES
597.65
8.9700
450
23










Ahora para calcular la potencia de accionamiento
    
kWWP
m
s
m
m
kg
s
mP
gHQP
002.2589.25002
6.658.970005556.0 23
2






 
Sabemos q Tot 60% entonces
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
70
kWP
kWP
P
P
P
acc
Tot
acc
acc
Tot
671.41
6.0
002.25




19-32. Una bomba centrífuga de agua gira a 1490 rpm y absorbe una potencia de 300 kW; d2= 500
mm; b2= 25 mm; = 45°. La entrada en los álabes es radial. El rendimiento total se supondrá igual
a 1. Calcular el caudal.
Para resolver este ejercicio, realizamos el triángulo de velocidades en la salida:
Con ello determinamos que .
Si el rendimiento total es 1, tenemos que ; y . Por lo cual:
Reemplazando los valores conocidos:
x
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
71
Aplicando fórmula general de la ecuación cuadrática:
Si se utiliza el signo positivo se tiene ; Si se utiliza el signo negativo se tiene
. Por lo cual, se utilizará la primera raíz.
Con el valor ya obtenido de , determinamos el caudal:
19.33. El eje de una bomba centrifuga de agua se encuentra 3,5 m por encima del nivel del pozo
de aspiración. La altura efectiva que da la bomba para caudal 0 es 21,4m se abre la válvula de
impulsión sin cebar la bomba.
Estimar la altura que se elevara el agua en la tubería de aspiración
Solución
Hs = 3,5m
Q = 0
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
72
H = 21,4
La altura a la que se eleva la el agua en la tubería de aspiración la podemos estimar dependiendo
de la densidad del fluido. De acuerdo con esto
Y es igual para la bomba en los dos casos, así que lo hallamos utilizando la ecuación anterior
pero con la densidad del aire, de esta forma:
Para
Ahora tengo todos los datos para calcular H con
Así quela altura que se elevara el agua en la tubería de aspiración
19.34. En este problema se despreciaran las perdidas. Una bomba centrifuga de agua cuyo
diámetro exterior es de 200 cm y su velocidad periférica a la salida de rodete es de 10 m/s da un
audal de L/ i . La e trada e los ala es es radial. ηm = 92%; C2m = /s; β2 = 30°. Calcular
el momento motor del grupo.
Solución.
D2 = 200 cm ηm = 92%
u2 = 10 m C2m = 1.5 m/s
Q = 3000 L/min β2 = 30°
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
73
Realizamos el triangulo de velocidades para la salida de la bomba para hallar el valor de C2u2.
2 2 2uC x u  ; donde 2 2cosx w  y 2
2
2s
mC
w
en

2 2
2 2 2 2 2
2 2
cos
tan
m m
u
C C
C u u
sen

 
    
2 2
1.5
10 7.4 /
tan30
uC m s  
Para hallar el momento motor, dividimos la potencia de accionamiento entre la velocidad angular,
donde la potencia se calculara de esta forma:
m
Q gH
P
n


Calculamos H, teniendo en cuenta que la entrada es radial entonces 1 1 1 0uu C 
2 2 2 1 1 1 (10)(7.4)
7.55
9.8
u uu C u C
H m
g

  
3
31 1min
3000 0.05 /
min 1000 60
L m
Q m s
L s
   
Reemplazando los valores y considerando la densidad del agua 1000Kg/m3
.
(0.05)(1000)(9.8)(7.55)
4021.2
0.92
P W 
Y la velocidad angular es:
2 2r w u 22
2 2
2 (2)(10)
10 /
2
uu
w rad s
r D
   
El momento polar será:
4021.2
402.12
10 /
P W
M Nm
w rad s
  
19.35. Una bomba centrifuga proporciona una altura util de 40 m con un rendimiento
hidraúlico de 80%. Las tuberias de aspiracion e impulsion son de 150 mm.
; ; Las perdidas en las tuberias de
aspiración e impulsión (incluyendo las perdidas secundarias) .
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
74
Calcular:
a) El caudal de la bomba;
b) La diferencia de cotas entre los niveles de los depósitos de aspiración e impulsión,
si ambos están abiertos a la atmosfera.
Solución:
a) Inicialmente estableceremos el triangulo de velocidades de la siguiente manera:
ZA
Zz
Eje de Referencia
BombaDepósito Abierto
Manómetro 1
Manómetro 2
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
75
Calculemos la velocidad periférica del rodete:
Por continuidad tenemos que el mismo caudal que sale por el rodete es el mismo de la
tubería teniendo en cuenta que despreciamos los espesores de los alabes de los rodetes
por lo tanto tenemos que:
Con la ayuda del triangulo de velocidades a la salida dibujado anteriormente tenemos
que:
Asumimos que la entrada de los alabes es radial como lo es normalmente en las bombas
centrifugas y despreciamos los espesores de los alabes y tenemos:
y
Teniendo en cuenta esto calculemos la altura de Euler así:
Como el enunciado nos da la altura útil H=40m remplazando tenemos que:
Despejando tenemos que:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
76
Teniendo el valor de la velocidad en la tubería podemos calcular el caudal remplazando
tenemos que:
Respuesta a):
b) Ahora para calcular la diferencia de cotas entre los niveles de los depósitos de
aspiración e impulsión, si ambos están abiertos a la atmosfera usamos la segunda
expresión de la altura útil así:
Como ambos depósitos están abiertos a la atmosfera tenemos que la altura de presión es
nula; y como ya están incluidas las perdidas primarias y secundarias podemos suprimir el
valor de las pérdidas de tubería; teniendo estas consideraciones la ecuación de altura
útil quedaría así:
Remplazando los valores de H y dados en el enunciado tendríamos:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
77
Respuesta b):
19.36 Una bomba centrifuga que tiene un rodete de 300 mm de diámetro gira a una velocidad de
1490 rpm si β2 = 30, C2M = 2 m /s, la velocidad de los alabes es radial
U1C1U = 0
N = 1500 RPM
D = 0.3 mts
C2M = 2 mts / seg
β2 = 30
 Determinar el triangulo de velocidades a la salida
 La altura teórica de Euler
Desarrollando para el primer punto:
1
2
60
D N
u


2
0.3 1500
60
u
  
 u2 = 23.56 mts/seg
Del triangulo se deduce por trigonometría determinando el valor de X
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
78
Ahora, la distancia C2U2 es la resta de X – U2, entonces
U2 – C2U2 = 23.56 – 3.46 = 19.99 mts/seg
Hallo el valor de W2 y C2 por medio de la ecuación de Pitágoras
C2 = =
W2 =
Y el á gulo ά lo deter i a os edia te:
2
2
tan m
u
C
C
  Entonces
1 2
tan 5.68
20.1
 
 
Para desarrollar el segundo punto hacemos a u1C1u= 0 ya que se sabe que los alabes radiales a la
entrada son radiales, de esto nos queda que:
2 2 1 1u u
u
u C u C
H
g


2 2u
u
u C
H
g

19.37 Una bomba centrifuga en la que se desprecian las perdidas, tiene las siguientes
dimensiones: d1= 100mm, d2= 300mm, b1= 50mm y b2= 20mm. La bomba da un caudal de agua
de 175m3
/h y una altura efectiva de 12m a 1000 rpm.
Calcular
a. La forma de los alabes o sea β1 β2.
b. La potencia de accionamiento.
Solución
a. Por ser e trifuga α1= 90°; C1ω=
Entonces los triángulos de velocidades son:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
79
ω1
β
α = °;
C1= C1m
µ1 C2ω
ω2
C2m
βα2
µ2
Sabemos que:
β1= Ar ta
Calculamos entonces C1 y µ1
Donde;
µ1 = = 5.2359 m/s
Ahora como sabemos que
Q=
Conocemos el valor de Q
Q= 175 m3
/h x 1h/3600s =0.0486 m3
/s
Ahora calculamos C1m despejando de la ecuación de Q
Entonces;
C1m = = = 3.09m/s
Entonces como ya tenemos los valores de C1m y µ1 pro ede os a ree plazar e la e ua ió de β1
β1 = Arctan
β1 = 30°,54
Y
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
80
Ahora de acuerdo con el segundo triangulo se puede deducir como se puede realizar el calculo del
á gulo β2
β2 = Arctan
Calculamos entonces C2m ta ié el valor de
C2m = = = 2.5783m/s
De la formula siguiente tenemos que:
H = Hµ- Hr-int
Pero como sabemos por el enunciado que despreciamos las perdidas, entonces el segundo
termino de la ecuación se hace 0.
Entonces;
H = Hµ = ; C1ω= 0
Entonces;
H =
Despejamos C2µ2
C2ω=
Como no conocemos el valor de µ2procedemos a calcularlo
µ2 =
µ2 = = 15.7079m/s
Ahora como y sabemos que g = 9.8m/s2
y H=12m, entonces reemplazamos los valores ya
conocidos en la ecuación de C2µ2
C2ω= = 7.4866m/s
Co o ie do a estos valores esta os e apa idad de o o er el valor de edia te la siguie te
ecuación:
Y = µ2 - C2ω
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
81
Reemplazamos;
Y =15.7079m/s - 7.4866m/s
Y = 8.2212m/s
Ahora simplemente reemplazamos en la ecuación enunciada anteriormente para calcular el valor
de β2
β2 = Arctan
β2 = 17°,41
b) Sabemos que la potencia de accionamiento está definida por la siguiente ecuación:
Pa= QƍgH
Pa = (0.0486m3
/s) (1000kg/m3
) (9.8m/s2
)(12m)
Pa= 5715.36 (Kg) (m2
)/ s3
Pa = 5, 71536 Kw
19.38. U a o a e trifuga o ea u audal de sal uera = . de 3
/h. Un
manometro diferencial colocado entre las tuberías de aspiración e impulsión marca 4.5 bar. La
tubería de aspiración es de 150 mm y la de impulsión de 125 mm. La diferencia de cotas entre los
ejes de las dos secciones a que están conectadas las tomas manométricas es de 1 m. Calcular: a)
La altura efectiva de la bomba; b) La potencia de accionamiento si el rendimiento total de la
bomba es de 60%
Datos:
Q =
Por ecuación de Bernoulli tenemos que:
Por ecuación de continuidad: , pero necesitamos
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
82
Para la impulsión tenemos que:
H = 379.20m
b)
, pero
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
83
19.39 Calcular la altura teórica Hu alcanzada por una bomba centrifuga a la cual se le conocen los
siguientes datos:
C1= 4 m/s,C2= 24 m/s; D1= 150 mm,D2= 150 mm; , ; n=1450rpm
Desarrollo:
La altura teórica se calcula a partir de la ecuación de Euler de las bombas (Ecu 19-3. Mataix) donde
son despreciadas las perdidas internas de la bomba
Donde U2, C2u, U1, C1u son componentes del triangulo de velocidades de entrada y salida de los
alabes de un rodete de una bomba.
Luego por los triángulos de velocidades tenemos:
u1 = velocidad absoluta del alabe a la entrada, u2 = velocidad absoluta del alabe a la salida
C1=velocidad absoluta del fluido a la entrada, C2=velocidad absoluta del fluido a la salida
α 1 = ángulo que forman U1, α2 = ángulo que forman U2,C2.
Remplazando y despejando los valores conocidos tenemos:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
84
Para las velocidades U1, U2
Hallamos w a partir de n.
Volviendo a U1, U2
Teniendo todos los términos remplazamos en la ecuación 19.3 del mataix correspondiente a la
altura teorica.
   
2
2 2
2
26.572 / (23.475 / ) 11.388 / (1.0352 /
9.8 /
612.01 /
62.4
9.8 /
u
u
m s m s m s m s
H
m s
m s
H m
m s


 
19.40. Una bomba centrifuga suministra un caudal de agua Q=100m3
/h. Los diámetros de las
tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm y el desnivel entre los depósitos de aspiración e
impulsión abiertos a la atmosfera, es de 32 m. La potencia en el eje de la bomba es de 14 Kw. El
coeficiente total de pérdidas (sec 11.4) C=10.5. Calcular el rendimiento total de la bomba.
Datos
Q=100m3
/h
Dasp=Dimp=150mm
∆Z=32m
Pa=14 Kw
C=10.5
Nt=?
A través de la ecuación de Bernoulli hallamos la altura útil (H):
H= + (Z2 - Z1) + + hL
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
85
Pero sabemos que el delta de presión se anula debido a que los tanques de aspiración e impulsión
están abiertos a la atmosfera y por tanto las presiones son iguales. Por otra parte las velocidades
a la entrada y a la salida al restarse se anulan ya que los diámetros de las tuberías son iguales:
H= (Z2 - Z1) + hL
El valor ∆) os los e trega el e u iado del ejer i io hL corresponde a las pérdidas totales que
las podemos hallar a partir de:
hL =
Donde C es el coeficiente total de perdidas
V es la velocidad, la cual se mantiene constante
g es la gravedad.
Para el cálculo de la velocidad recurrimos a la siguiente fórmula de la cual no desconocemos
ningún término:
V= V= = 5658.8* = 1.572
Ahora conociendo todos los valores para el cálculo de hL tenemos que:
hL = hL=3.3m
Reemplazando
H=32 + 3.3
H=35.3m
Habiendo obtenido todos estos valores procedemos a calcular la potencia útil:
P=Q* *g*H P=100 *1000 *9.8 *35.3m*
P=9609.4W* P=9.6Kw
Por último hallamos el rendimiento total de la bomba en donde se relaciona la potencia útil con la
potencia de accionamiento:
Nt= Nt=
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
86
Nt=0.69.
19.41 Calcular las dos características principales de un rodete (diámetro exterior y ángulo de los
álabes a la salida del rodete). Si girando a , desarrolla una altura manométrica de ,
proporcionando un caudal de . Supóngase:
a)
b) Pérdida total en la bomba:
c) Área para el flujo a la salida del rodete:
d) Entrada Radial de la corriente en el rodete.
Datos:
Comenzamos diciendo que:
Por otra parte como:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
87
Y como:
Reemplazando:
Se sabe que la altura teórica de la bomba está dada por:
Sin embargo debido a que la entrada del rodete es axial tenemos que:
Con lo que:
Donde:
Luego la ecuación queda:
Dado que:
Los datos en rojo constituyen el área de salida del rodete que según los datos de entrada es igual
a:
Reemplazando, tenemos:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
88
Despejando:
Se construye el triángulo de velocidades a la salida del rodete como se muestra en la figura:
Vemos que al formar un triángulo rectángulo se debe cumplir que:
Remplazando tenemos que:
Remplazando los valores, tenemos que:
Resolviendo queda:
Ordenando la ecuación queda:
La iteración muestra el siguiente resultado:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
89
Diámetro 0
0,25567 -0,00076008
0,25568 -0,00067973
0,25569 -0,00059936
0,2557 -0,00051898
0,25571 -0,00043858
0,25572 -0,00035817
0,25573 -0,00027774
0,25574 -0,00019729
0,25575 -0,00011684
0,25576 -3,6361E-05
0,25577 4,4128E-05
0,25578 0,00012463
0,25579 0,00020515
0,2558 0,00028569
0,25581 0,00036624
0,25582 0,00044681
0,25583 0,00052739
Vemos que la mejor aproximación al diámetro exterior es:
2 0.25577D m
Reemplazando este valor obtenemos las velocidades:
Si analizamos la otra mitad del triángulo tenemos que:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
90
Sabiendo que:
Reemplazando tenemos que:
2 29.2  
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
91
19.42 En este problema se despreciaran las perdidas. Una bomba centrifuga tiene las siguientes
características: ; ; ; ; .
La entrada en los álabes del rodete es radial.
Cal ular: a β ; Altura que da la bomba; c) Altura de velocidad del agua a la salida del rodete
Solución.
19.43 Una bomba centrifuga para alimentación de una caldera de vapor que desarrolla una
alturas efectiva de 80 m bombea agua a 90 desde el depósito de aspiración abierto a la
atmosfera, hasta la caldera, la perdida de carga de la tubería de aspiración es de 0.5m, la presión
1
mcc 11 
1u
1
2C 2
22uC 2u
2
mC2
2
sm
mrpmND
u /24.5
60
)1.0)(1000(
60
1 

º97.15
/24.5
/5.1
tantan
1
1
1 












sm
sm
Arc
u
C
Arc m

sm
mm
smmm
u
D
u
D
u
w
wD
u
/48.10
100
)/24.5)(250(
22
;
2
2
2
2
1
11
1


sm
sm
sm
C
uC
Cu
C
Tan m
u
u
m
/38.7
º30tan
/5.1
/48.10
tan
;
2
2
222
222
2
2 




sm
sen
sm
sen
C
C
sm
sm
Arc
C
C
Arc
C
C
m
sm
smsm
g
Cu
H
m
u
m
u
m
u
/53.7
º49.11
/5.1
º49.11
/38.7
/5.1
tantan;tan
89.7
/8.9
)/38.7)(/48.10(
2
2
2
22
2
2
22
2
2
2
222

















Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
92
atmosférica es de 725 torr. El caudal es de 0,25 /s, el diámetro de la tubería es de 400 mm y el
coeficiente de cavitación es de 0,1.
a. A qué altura geodésica mas se podrá poner colocar la bomba.
b. Esquema de la instalación con indicación de la cota del eje de la bomba con respecto al nivel
superior del pozo.
c. si la presión de la caldera es de 8.2 bar y el eje de la bomba se encuentra debajo del nivel del
agua en la caldera ¿cuáles son las pérdidas totales en la impulsión de la bomba?
Solución. A)
=
:
Presión absoluta en el nivel superior de aspiración.
Presión de saturación del vapor a una temperatura dada.
= Perdida de carga en tubería de aspiración.
=caída de altura de presión en el interior de la bomba.
H= 80m
a 90 =0,7011 bar = 70110 Pa y a 90 =965,3 /Kg
=0,5 m
= =725 torr =96425 Pa
Q= 0, 25 /s
D= 0, 4 m
=
Ahora aplicamos el teorema de Bernoulli para encontrar la otra altura que va desde el nivel del
tanque donde se está aspirando hasta la caldera.
Asumimos que DE = DS por ende vE = vS
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
93
Entonces nos queda:
; Tomando el punto de referencia desde el nivel h20 de
aspiración
donde Zs es la altura geodésica maxima
Solución. B)
19.44 Una bomba centrifuga tiene las siguientes características: d2=250mm ; d1=150mm;
b1=15mm; =45; cm=constante en todo el rodete; caudal 1500 l/min ; n=1000rpm
Calcular
a) Angulo de los alabes del rodete de la entrada
b) Angulo de los alabes de la corona directriz
Solución
Consideraciones
Si cm es constante en todo el rodete, podemos decir que c1m=c2m
Datos
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
94
d2=250mm
d1=150mm
b1=15mm
=45
Q=1500 l/min =0.025m3
/s
n=1000rpm
Tenemos que
Q= πb1d1c1m
Despejandoc1m
c1m=
c1m=
c1m=3.53m/s
Haciendo el triangulo de velocidades para la salida del rodete
Tenemos que
c2m= w*sen = c1m
Con esto podemos concluir que
b) el triangulo de velocidades para la entrada del rodete tenemos
c1u= u1 - –
Donde
u1 es la velocidad tangencial o periférica del rodete
u1= = 7.85m/s
c1u= u1 - –
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
95
c1u=7.85 – = 4.32
Entonces
c1= c1u
2
+ c1m
2
) = 5.57m/s
El ángulo que se forma entre el vector de la velocidad absoluta y la velocidad periférica es
= = 39.25
El ángulo de corona directriz es aquel ángulo que se forma entre el vector tangente del alabe w y
el brazo del momento flector de c1
W C1
U1
α
l
Entonces el ángulo de la corona directriz es la sumatoria del ángulo (ángulo de los alabe del
rodete el á gulo α
Ángulo de la corona directriz= 45+39.29=84.29
19.45. Un grupo moto-bomba de agua tiene las siguientes características: caudal 2000 ;
diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión iguales; entre los ejes de las tuberías de
aspiración e impulsión hay un desnivel de 1 m; presión en la impulsión de 15 bar; temperatura del
agua bombeada 60°C; depresión en la aspiración 200 mbar; rendimiento global del grupo 68%;
rendimiento total de la bomba 80%. Calcular:
a) Potencia absorbida por la red.
b) Potencia de accionamiento de la bomba.
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
96
Datos.
= 0.68
= 0.80
Q= 2000 m3
/s
= 1 m
= 20 mm
= 15 bar.
= 200 mbar.
Solución.
Para este ejercicio, la densidad del agua será igual a 983.2 kg/ m3
y no 1000 kg/ m3
, debido a
que se encuentra a 60°C. Además, se realizó una serie de conversiones de unidades en las
presiones y el caudal para facilitar los cálculos:
Para determinar la potencia útil, se calculó la altura útil mediante la ecuación de Bernoulli:
Donde el valor se desprecia por ser muy pequeño. Por lo que H será:
El valor de la potencia útil será:
El valor de la potencia absorbida por la red será entonces:
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
97
Respuesta a)/: La potencia absorbida por la red es 1249.7 kW.
El valor de la potencia accionamiento de la bomba será:
Respuesta b)/: La potencia accionamiento de la bomba es 1062.25 kW.
Maquinas Hidráulicas.
Ingeniería Mecánica.
98
BIBLIOGRAFIA.
 Ejercicios Capitulo 19; 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 28, 29, 30,
31, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43. (Grupo Kevin Campo Rodríguez).
 Ejercicios Capitulo 19; 23, 24, 32, 33, 35, 44, 45. (Grupo Stephanie Vargas).
 Ejercicios Capitulo 19; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. (Ejercicios Propuestos Libro Claudio Mataix).

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Solucionario capitulo-19-bombas.-claudio-mataix

  • 1. EJERCICIOS PROPUESTOS MAQUINAS HIDRÁULICAS TURBOMÁQUINA“ HIDRÁULICA“: BOMBA“ ROTODINÁMICA“ CAP. 19 PRESENTADO POR: FERNANDO FERNANDEZ JARABA CARLOS PACHECO ESCORCIA MAURICIO MACHADO CALDERON JOSEPH SUAREZ MARTINEZ ANTHONY ESCOBAR VARGAS ZORAIDA POLO CHARRIS PRESENTADO A: ING. CRISTIAN ANTONIO PEDRAZA YEPES UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA MECANICA VIII SEMESTRE BARRANQUILLA, SEPTIEMBRE 03 DE 2012
  • 2. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 2 19.1. Una bomba de agua que proporciona un caudal de 1200 m3 /h tiene una tubería de aspiración de 400 mm y una de impulsión de 375 mm. El vacuómetro conectado en la tubería de aspiración situado 80 mm por debajo del eje de la maquina marca una depresión de 2 m de columna de agua y el manómetro situado 500 mm por encima del eje de la bomba marca una sobrepresión de 12 m columna de agua. Calcular la altura útil que da la bomba. Solución. Con los datos del problema, tratándose de una bomba que está funcionando, es inmediato el cálculo de la altura útil. 2 2 2 s E s E s E P P v v H Z Z g g       31200 0.3333 / 3600 Q m s  2 2 4 (4)(0.3333) 3.0180 / (0.375) s s Q v m s D     2 2 (3.0180) 0.4643 2 (2)(9.81) sv m g   2 2 4 (4)(0.3333) 2.6526 / (0.400) E E Q v m s D     2 2 (2.6526) 0.3586 2 (2)(9.81) Ev m g   Sustituyendo las alturas dinamicas obtenidas, asi como los otros datos del problema, tenemos: 2 2 (12 2) (0.5 0.08) 14.686 2 S Ev v H m g        19.2. Una bomba centrifuga, en que no se consideran las pérdidas ni se tiene en cuenta el estrechamiento del flujo producido por el espesor de los alabes, tiene las siguientes dimensiones: D1 = 75 mm; D2 = 300 mm; b1 = b2 = ; β1 = °; β2 = 60°. La entrada en los alabes es radial (caso ordinario de las bombas centrifugas). La bomba gira a 500 rpm. El fluido bombeado es agua. Calcular: a)El caudal ; b) La altura que da la bomba ; c) El par transmitido por el rodete al fluido ; d) La potencia de accionamiento. Solución. a)El caudal de una bomba en regumen permanente es el mismo en cualquier sección de la bomba. La sección de entrada en los alabes del rodete es la superficie lateral de un cilindro, si no se tiene en cuenta el espesor de los alabes, y la velocidad normal a dicha sección es la componente radial C1m = C1 (entrada de la corriente radial). Es decir: 1 1 1mQ b DC
  • 3. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 3 El espesor de los alabes se tendrían en cuenta por medio de un coeficiente de obstrucción a la e trada 1 < 1, de manera que: 1 1 1 1mQ b DC  E uestro aso 1 = 1. Asimismo a la salida: 2 2 2 2mQ b D C  “i los ala es so afilados a la salida aso or al : 2 = 1 1 1 (0.075)(500) 1.964 / 60 60 D n u m s      1 1 1 1tan45 1.964 /mC C u u m s     Sustituyendo 3 1(0.50)(0.075)( ) 0.0231 / 23.11 /mQ C m s L s   b) Si no hay perdidas Hr-int = 0
  • 4. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 4 2 2 1 1 2 2u u u u u C u C u C H H g g     Ya que 1 0uC  (entrada en los alabes radial). 2 2 2 1 1 1m mQ b D C b DC   ( 2 1  ) Y 1 1 2 1 2 2 (50)(75) (1.964) 0.4909 / (50)(300) m m b D C C m s b d    2 2 1 1 (300) (1.964) 7.854 / (75) D u u m s D    Además 2 2 2 2 (0.4909) (7.854) 7.506 / tan tan60 m u C C u m s        Luego (7.854)(7.506) 6.061 9.81 Hu H m   C) El par transmitido por el rodete al fluido viene dado por. 2 2 1 1( ) (0.0231)(1000)(0.15)(7.506) 26.268u uM Q r C rC m N     d) 1v h mn n n   Deducimos que (0.0231)(1000)(9.81)(6.061) 1375.4 1.3754P Q gH W KW    19.3. Entre el pozo de aspiración y el depósito de impulsión de una bomba de agua hay un desnivel de 20m. La tubería de aspiración es de 300 mm de diámetro y de 6 m de longitud. Esta provista de alcachofa, válvula de pie y de un codo de 90°. La tubería de impulsión es de 250 mm de diámetro y de 140 m de longitud. Las tuberías de aspiración e impulsión son de hierro galvanizado. La tubería de impulsión tiene una válvula de compuerta y dos codos de 90°. El caudal bombeado es de 4800 l/min. El rendimiento hidráulico de la bomba = 70%. El rendimiento volumétrico = 1 y el rendimiento mecánico = 85%. Todos los codos de las tuberías tienen una relación r/D = 0.25. Calcular la potencia en el eje del motor eléctrico de accionamiento de esa bomba. Solución. (1000)(9.81) 16.487 (0.7)(1)(0.85) a h v m Q gH QH P QH n n n      34.8 0.08 / 60 Q m s  Designaremos con subíndice a los valores correspondientes a la aspiración, y con subíndice i los correspondientes a la impulsión.
  • 5. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 5 2 2 4 (4)(0.08) 1.132 / (0.300 ) a a Q v m s d     2 2 4 (4)(0.08) 1.630 / (0.250 ) i i Q v m s d     La velocidad de aspiración en las bombas se mantiene con frecuencia más baja que la de impulsión para evitar la cavitación. 2 0.065 2 aV m g  2 0.135 2 iV m g  Para obtener H en este problema se ha de recurrir a la segunda expresión de la altura útil. 2 2 t Z A ra ri v H z z H H g      2 2 2 2 t iv v g g  20Z Az z m  Calculo de las perdidas en la tubería de aspiración, Hra 2 ' '' 2 a a ra a a a a L v H d g            Donde ' a = 3.7 (alcachofa y válvula de pie) ; '' a = 0.4 (codo90°, r/D=0.25) 5 6 (1.132)(0.300) Re 3.372 10 1.007 10 a a a v d x v x     ( 2H Ov a 20°C = 1.007x10-6 m2 /s) 5 5 6 17 10 3.372 10 1.007 10a k x x d x     (k para hierro galvanizado = 17x10-5 m) Con los valores de Rea y k/da se lee en el diagrama de Moody 0.01844a  Sustituyendo los diversos valores en la ecuación, tendremos: 2 6 (1.132) 3.7 0.4 0.01844 0.292 0.300 2(9.81) raH m          Calculo de las perdidas en la tubería de impulsión, Hri 2 ' '' 2 2 i i ri i i i i L v H d g           
  • 6. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 6 Donde ' i =0.2 (válvula compuerta abierta) '' i = 0.4 (codo 90°, r/D = 0.25) 5 6 (1.630)(0.250) Re 4.046 10 1.007 10 i i i vd x v x     5 17 10 0.000680 0.250i k x d    En el diagrama de Moody se lee 0.01887i  Sustituyendo los diversos valores en la ecuación, tendremos: 140 1.630 0.2 2(0.4) 0.01887 1.566 0.250 2(9.81) riH m          Sustituyendo el la ecuación. 20 0.292 1.566 0.135 21.993H m     Finalmente la potencia en el eje del motor eléctrico de accionamiento será. 3(0.08)(1000)(9.81)(21.993) 29.009 10 29.009 (0.7)(1)(0.85) aP x W KW   19.4. Una bomba centrifuga radial de agua está diseñada para girar a 1450 rpm y para entrada radial en los alabes del rodete. El caudal en el punto nominal (rendimiento óptimo) es 160000 l/h. De esta bomba se conocen las siguientes características geométricas: relación de diámetros de salida y entrada de los alabes: D2/D1 = 2. Diámetro exterior del rodete D2 = 300 mm. Ancho a la salida del rodete: b2 = . A gulo de los ala es a la salida: β2 = 45°. Se sabe además que para el punto de optimo rendimiento: rendimiento hidráulico: 80%, rendimiento volumétrico: 90%, rendimiento mecánico: 85%. Se despreciara el espesor de los alabes. La bomba se ha diseñado para que la componente radial de la velocidad absoluta sea constante a la entrada y salida de los alabes. Las tuberías de aspiración e impulsión de la bomba son iguales y los ejes de las bridas de entrada y salida de la bomba se hayan a la misma cota. El manómetro conectado a la entrada de la bomba marca una presión absoluta de 305 torr cuando el caudal es el arriba indicado. Calcular: A) angulo de entrada en los alabes; velocidades u2 y u1; velocidad C2; componente radial de la velocidad absoluta a la entrada y salida de los alabes; angulo de los alabes a la entrada de la corona directriz de que esta provista la bomba. B) altura de Euler y altura útil. C) potencia interna de la bomba. D) potencia de accionamiento. E) alturas de presión y dinámica del rodete y grado de reacción de la bomba. F) presión absoluta del agua a la salida de la bomba.
  • 7. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 7 Solución. a)El caudal de la bomba es 3160 0.0444 / 3600 Q m s  El caudal bombeado por el rodete es: e i v Q Q q q n    Además. 1 1 2 2 2 2.62 / (0.3)(0.02)(0.9) m m v Q Q C C C m s D b n       2 2 (0.3)(1.450) 22.777 / 60 60 D n u m s      1 2 1 11.388 / 2 D u u m s D   1 1 1 arctan 12.96mC u     2 2 2 2 2 2 20.157 / tan m u m C C u u C m s       2 2 2 2 2 20.326 /m uC C C m s   2 2 2 arctan 7.41m u C C     Para que no haya choque a la entrada de la corona directriz el alabe deberá estar construido con este a gulo α2 a la entrada de la misma. b)La altura de Euler o altura teorica se deduce de la siguiente ecucacion. Haciendo 1 1 0uu C  2 2 1 1u u u u C u C H g   2 2 46.799u u u C H m g  
  • 8. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 8 La altura útil será: (0.8)(46.799) 37.439h uH n H m   c) int( )( )i e i rP Q q q H H g    (0.0444)(1000)(9.81)(37.439) 22.671 (0.9)(0.8)v h Q g H KW n n      d)La potencia de accionamiento será: 22.671 26.672 0.85 a m Pi P K n    e)Altura dinámica del rodete: 2 2 2 1 20.708 2 d C C H m g    Altura de presión del rodete: 26.091p u dH H H m   Grado de reacción de la bomba: 100 55.75%p u H H     f) La presión absoluta a la entrada de la bomba, teniendo en cuenta el enunciado del problema será: 2 (0.305)(13600)(9.81) 40.692 /EP N m  Ahora bien, siendo 2 2 0 2 S Ev v g   , por ser las tuberías de aspiración e impulsión de igual diámetro y 0S Ez z  , por estar los puntos S y E a la misma cota. S EP P H g   y 2 407.972 / 4.07972S EP P gH N m bar    19.5. Una bomba funcionando a 2520 rpm y suministrando un caudal de 16 l/s proporciona una altura útil de 26 m. De sus curvas características se deduce que en dicho punto de funcionamiento el rendimiento total de la bomba es 81%. Determinar la potencia de accionamiento de la bomba en estar condiciones. (0.016)(1000)(9.81)(26) 5.038 0.81 a tot Q gH P KW n     19.6. Una bomba centrifuga de agua tiene las siguientes características: D1 = 150 mm; D2 = 450 mm; b1 = 40 mm; b2 = ; β1 = °; β2 = 30°; n=1500 rpm. Entrada en los alabes radial; nh=88%; ntot=82%; despreciese el espesor de los alabes; nv=1. Calcular: a)Caudal; b)altura teorica o altura de Euler; c)potencia hidráulica comunicada por el rodete al fluido; d) altura útil; e)altura hidráulica perdida en la bomba; f) potencia de accionamiento de la bomba.
  • 9. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 9 Solución. a) 1 1 1mQ b DC 1 1 tan10mC u = 1 1 (0.15)(1500) 11.781 / 60 60 D n u m s      1 1 tan10 2.077 /mC u m s  3 (0.04)(0.15)(2.077) 0.0392 /Q m s  b) 2 2u u u C H g  (entrada en los alabes radial) 2 2 1 1 450 (2.077) 35.43 / 150 D u u m s D    2 2 2 2 2 2tan tan30 m m u C C C u u      Por la ecuación de la continuidad: 1 1 2 1 2 2 (40)(150) (2.077) 1.385 / (20)(450) m m b D C C m s b D    2 (1.385) (35.43) 32.944 / tan30 uC m s   (35.43)(32.944) 118.690 9.81 uH m  c) La potencia hidráulica comunicada por el rodete al fluido es la potencia interna: (0.0392)(1000)(9.81)(118.690) 45.591i uP Q gH KW   d) La altura útil es: (0.88)(118.690) 104.447h uH n H m   e) La altura hidráulica perdida en la bomba es: int 14.243r uH H H m    f) La potencia de accionamiento de la bomba será: (0.0392)(1000)(9.81)(104.447) 48.927 0.82 a tot P P KW n    19.7. En una instalación de bomba centrifuga de agua la altura desde el pozo de aspiración hasta el eje de la bomba es de 4m y desde el eje de la bomba hasta el nivel superior del depósito de impulsión 56m. Las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm. La perdida de carga en la tubería de aspiración asciende a 2m y en la tubería de impulsión (sin incluir las perdida a la salida de la misma y entrada del depósito) a 7m. Las dimensiones del rodete son: D2 = 400mm; b2 = ; β = °. La o a gira a rp . La e trada e los ala es es radial. El re di ie to hidráulico es 82%. Desprecie el influjo del espesor de los alabes. Calcular: a) Caudal; b) la presión
  • 10. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 10 del agua junto a la brida de aspiración; c) la presión del agua junto a la brida de la tubería de impulsión. Solución. La velocidad periférica del rodete a la salida es: 2 2 (0.4)(1450) 30.369 / 60 60 D n u m s      Por la ecuación de continuidad el caudal es el mismo a la salida del rodete y en la tubería; llamando tv a la velocidad del agua en la tubería, tendremos: 2 2 2 2 4 t m t d Q D b C v    2 2 2 2 2 1 0.150 0.563 4 (0.4)(0.025)(4) t m t t t d C v v v D b     Por el triangulo de velocidades a la salida: 2 2 2 2 30.369 0.974 tan m u t C C u v      La altura teórica o altura de Euler será: 2 2 2 2 22 2 94.0122 3.016 tan u m u t u C u Cu H v g g g       La altura útil será: (94.0122 3.016 )(0.82) 77.090 2.473u h t tH H n v v     Por otra parte con la segunda expresión de la altura útil. 2 2 2 60 2 7 69 2 2 2 t t t Z A ra ri v v v H z z H H g g g            Donde tv - velocidad del agua en la tubería. Igualanado las 2 expresiones para la altura útil, se obtiene: 2 48.524 158.723 0t tv v   Resolviendo tenemos: 3.076 /tv m s y 2 0.482 2 tv m g  Sustituyendo, obtendremos: 2 69 69.482 2 tv H m g    a) El caudal será: 2 3 0.0544 / 55.4 4 t t d Q v m s     l/s b) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre el pozo de aspiración y la entrada de la bomba:
  • 11. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 11 2 2 2 2 A A E E A ra E P v P v z H z g g g g        2 0 0 0 2 4 2 E EP v g g       6.482EP m g   63.591 0.63591EP Pa bar    c) Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre las secciones S y el nivel superior del depósito de impulsión Z: 2 2 0 0 2 2 S S t S ri Z P v v z H z g g g        56 7 63SP g    Ya que S tv v El mismo resultado se obtiene aplicando la misma ecuación de Bernoulli entre el pozo de aspiración (punto A) y la salida de la bomba (punto S). 22 2 2 S SA A A ra S P vP v z H H z g g g g         Suponiendo S Ez z , tendremos: 0 0 0 2 69.482 4 0.482SP g        2 69.482 4 0.482 63SP m g       (63)(1000)(9.81) 618.030 6.18030SP Pa bar   19.8. En la tubería de aspiración de 150 mm de una bomba centrifuga de agua hay los siguientes elementos: un codo de 90°, cuya pérdida de carga equivale a la de 10m de tubería recta y otro codo de 90°, cuya pérdida de carga equivale a la de 5m de tubería recta. La perdida de carga en la alcachofa y válvula de pie es el triple de la altura de velocidad en la tubería de aspiración. La longitud total de los trozos de tubería recta es 8m. El agua tiene una temperatura de 50°C y el caudal de la bomba es 2500 l/min. La presión absoluta en la brida de aspiración de la bomba ha de mantenerse 100 mbar por encima de la presión de saturación del vapor. La tubería es de fundición asfaltada. La presión barométrica es 750 Torr. Estimar la altura máxima permisible del eje de la bomba por encima del nivel de agua en el depósito de aspiración.
  • 12. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 12 Solución. PS (a t=50°C) = 0.12335 bar 2 3 (50 ) 988.20 /H O C Kg m   min 0.12335 0.100 0.22335EP bar   5 2 750 (750)(13.6)(9.81) 1.0006 10 /ambP Torr x N m   32.5 0.04167 / 60 Q m s  2 2 4 (4)(0.04167) 2.358 / (0.150) E E Q C m s d     2 2 (2.358) 0.283 2 (2)(9.81) EC m g   Ecuación de Bernoulli entre A y E (en presiones absolutas) 5 5 1000 10 10 5 8 0.22335 10 0 0 3 0.283 0.283 0.283 (988.20)(9.81) 0.150 (988.20)(9.81) S x x H                6.8856 43.3933SH   0.1 0.00066667 150 k d   6 (2.358)(0.150) Re 636.151 0.556 10 Cd v x     En el diagrama de Moody se lee 0.0185  (6.8856)(43.3933)(0.0185) 6.0828SH m  Como comprobación se puede ahora calcular la altura útil H. 2 2 2 S E S E S E P P v v H z z g g       S Ev v S Ez z 63 ( 6.482) 69.482S EP P H m g       19.9. Se bombea gasolina desde un tanque hasta un depósito nodriza situado 50 m por encima del tanque con un caudal de 80 L/min. Densidad relativa de 0.84. Viscosidad dinámica=0.8x10-3 Pas. La longitud total de la tubería de aspiración y de impulsión y longitud equivalente es de 70 m. la tubería de acero soldado oxidado de 75 mm. Despréciense las perdidas secundarias. Calcular la potencia en el eje motor eléctrico si el rendimiento total de la bomba es de 50%.
  • 13. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 13 Solución. Para encontrar la potencia en el eje motor eléctrico, se emplea la sgte ecuación total Q gH Pa n   3 3 3 2 0.08 1.33 10 / 60 (0.84)(1000) 840 / 2 gasolina t Z A ra ri Q x m s Kg m v H z z H H g            Determinamos velocidades de aspiración y de impulsión. 3 3 2 (4)(1.33 10 / ) 0.3018 / (0.075 ) a x m s v m s m    Teniendo en cuanta que tanto el tubo de aspiración e impulsión tienen el mismo diámetro. a iv v 2 3 2 2 2 2 4.64 10 2 2 2 2 2 a a i i t a i v x m g v v v v v v g g g g       
  • 14. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 14 Hallamos el numero de Reynolds. 3 3 (0.3018)(0.075)(840) Re 23.76675 10 (0.8 10 ) a a a v d x x       Rugosidad sobre el diámetro. 4 30.4 10 5.33 10 0.075a k x x d     Con los valores de Re y k/da, se lee en el diagrama de Moody 0.032a  Ahora hallamos Hra. 0.032 0.075 a a ra a a L L H d          Para las pérdidas de impulsión, será el siguiente valor. 0.032 0.075 i i ri i i L L H d          Esto se debe a que a iv v y a id d El valor de 50Z Az z m  Reemplazando los valores obtenemos H. 3(0.032)(0.3018) 50 4.64 10 2(9.81)(0.075) 0.075 i aL L H x         Donde Li + La = 70m 3(0.032)(0.3018) 70 50 4.64 10 2(9.81)(0.075) 0.075 H x         50.143H m Por último determinamos la potencia. 3 (1.33 10 )(840)(9.81)(50.143) 0.5 a x P   1101868 1.1018aP W KW 
  • 15. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 15 19.10 Un manómetro conectado a la entrada1 de una bomba centrífuga indica una altura de presión de 5,5 m por debajo de la presión atmosférica. En este instante la bomba proporciona un caudal de 4000 l/min. La tubería de aspiración es de 150mm de diámetro y 15 m de longitud y está provista de válvula de pie y alcachofa y un codo. La pérdida en el codo es equivalente a m. el coeficiente de pérdida de carga de la tubería es =0,025. Calcular la cota del punto en que está conectado el vacuómetro. DATOS Q= SOLUCIÓN Este ejercicio se ubica entre el punto de succión y el punto donde está conectado el vacuómetro. Para la figura 19-18 del libro, estos puntos son el a y el e. Aplicando la ecuación de Bernoulli: (1)
  • 16. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 16 Es igual al término porque ambos puntos están ubicados en la misma tubería, y entonces tienen el mismo diámetro. El término es la altura de presión, y es igual a 5,5 m, según el enunciado del ejercicio. Son las pérdidas por fricción en tubería más las pérdidas en el codo, en las válvulas de pie y alcachofa. Velocidad= Despejando la altura geodésica en la ecuación (1), se tiene: El término es cero, porque las velocidades son iguales, debido a que los dos puntos están en la misma tubería, que tiene un solo diámetro. El término es negativo escrito en esta forma, con el término delante de , porque es mayor. Entonces, por eso se antepone el signo negativo, y la diferencia de altura queda:
  • 17. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 17 19.11. En una bomba que trabaja con agua fría el manómetro de impulsión situado 10 m por encima del eje de la bomba marca una altura de presión de 80 m c. a. El vacuómetro situado a 50 cm por debajo del eje de la bomba marca una presión relativa de 200 Torr. Por la diferencia de diámetros entre las tuberías de aspiración e impulsión se crea una altura dinámica de 1 / 2 m. Calcular la altura útil de la bomba. 2 2 s s e e s e P V P V Z H Z g g        e s e s P P H Z Z       Conversiones 80 m.c.a. = 800 Kpa = 800000 pascal = 800000 N/m² = 800000 Kg/ms² 200 Torr = 26.664 Kpa = 26664 pascal = 26664 N/m² = 26664 Kg/ms² Reemplazando en la formula: 800000 Kg/ms² = 81.3265 m 9800 Kg/m²s²
  • 18. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 18 26664 Kg/ms² = 207208 m 9800 Kg/m²s² H = 81.63 + 2.72 + 9.5 = 93.85 m H = 93.85 m 19-12. Una bomba centrifuga cuyo coeficiente de cavitación es 11.0 , desarrolla una altura útil de 90m, la presión barométrica es 1bar. La presión de saturación del liquido bombeado (d=1.4) para ka temperatura de funcionamiento es 0.030bar. Las pérdidas de la tubería de aspiración a 1,5m. a) Calcular la altura máxima permisible a la que puede colocarse la bomba con respecto al nivel del agua en el depósito de aspiración. Solucion. H h  hH g PP Hsmas ErA SA      AP = Presión absoluta en el nivel superior del depósito de aspiración. SP = Presión de saturación del vapor del líquido bombeado para temperatura de bombeo C. ErAH  = Perdida de carga en la tubería de aspiración. h = Caída de altura de presión en el interior de la bomba, cuyo valor suministra el fabricante. mh mh Hh 9,9 11.0*90 *     Para hallar la altura permisible debemos primero convertir bares a la unidad deseada. 2 5 2 225 * 10 * ** 1 10 *1 sm Kg m s mKg pascal m N bar pascal bar 
  • 19. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 19 Ahora bien, mHsmas mHsmas mmHsmas hH g PP Hsmas sm kg sm Kg s m m Kg sm Kg sm Kg ErA SA 5,1 4,11 9800 97000 5,19,9 8,9*1000 3000*100000 22 2 23 22 * * **         19.13. En una bomba centrifuga de agua las tuberías de aspiración y de impulsión son de 300 mm de diámetro. La tubería de aspiración tiene 10 m de longitud y la de impulsión 150 m de longitud. Ambas tuberías son de hierro galvanizado. En la tubería de aspiración hay una válvula de pie y un codo, en la tubería de impulsión una válvula de compuerta. El caudal bombeado es de 6000l/min. Y la diferencia de niveles entre los pozos de aspiración y el depósito de impulsión es de 10m. El rendimiento de la bomba es del 65%. Calcular: 1. La potencia de accionamiento. Datos: TA: Tubería de aspiración: Válvula de pie y un codo Ti: Tubería de impulsión: Válvula de compuerta DA, i: Diámetro de las tuberías de aspiración y de impulsión DA, i = 300mm * mm m 1000 1 = 0.3 m LA: Longitud de la tubería de aspiración = 10 m. Li: Longitud de la tubería de impulsión = 150 m. Material: HIERRO GALVANIZADO. Q = Caudal Bombeado Q= 6000l/min. = 6000 min l x seg60 min1 = 100 s l Q = 100 s l ∆A, i: Desnivel en los depósitos de aspiración y de impulsión ∆A, i = 10m
  • 20. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 20 ηTOTAL: Eficiencia total de la bomba ηTOTAL =65 % PA: Potencia de accionamiento PA = ? Solución. Para calcular la potencia de accionamiento empleamos la siguiente ecuación: PA = TOTAL Q gH  Puesto que me relaciona las variables que tengo en el ejercicio. PA = TOTAL Q gH  PA = 3 2 3 0.001 (100 / )( )(1000 )(9.8 / ) 1 0.65 m kg L s m s L m PA = 2 1 1507.6 / ( ) ( )Kg m s H m s   PA = 1507.6 H La potencia de accionamiento me queda en función de la altura piezométrica H. Esta se obtiene gracias a la siguiente ecuación: H = 2 ( ) 2 t z a ra ri v Z Z H H g     En donde: ( )z aZ Z : Desnivel en los depósitos de aspiración y de impulsión ( )z aZ Z = 10m. raH : Perdidas por accesorios o aditamentos en la tubería de aspiración Donde: 2 ' '' 2 a a ra a a a a L v H d g           
  • 21. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 21 ' a : Coeficiente de pérdidas por accesorios (válvula de pie) ' a = 6.1 '' a : Coeficiente de pérdidas por accesorios (un codo) '' a = 0.4 Va : Velocidad en la tubería de aspiración Esta es posible gracias a la siguiente ecuación: Va; al reemplazarla con sus respectivos valores tenemos: 2 4 a a Q V d   3 2 4 0.1 / (0.3 ) a m s V m  1.414 /aV m s riH : Perdidas por accesorios y aditamentos en la tubería de impulsión 2 ' '' 2 2 i i ri i i i i L v H d g            En donde: ' i : Coeficiente de pérdidas por accesorios (válvula de compuerta) ' i = 0.2 i : Factor de fricción Para conocer el i (factor de fricción), es necesario calcular el número de Reynold (Rea), y la rugosidad relativa ad k , una vez obtenido estos valores, obtenemos de manera grafica el factor de fricción. El número de reynold es posible gracias a la siguiente ecuación:
  • 22. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 22 Rea = a aa dv  . En donde: Va: Velocidad en la tubería de aspiración da: diámetro en la tubería de aspiración ν: vis osidad i e áti a del agua VH2O a 20ºc = 1.007*10-6 s m2 Rea = 2 6 1.414 (0.3 ) 1.007*10 m m s m s  Rea = 4.212* 105 ad k ; En donde: K es una rugosidad promedio para los diferentes tubos y se obtiene de acuerdo al material, este es posible ya que para nuestro problema el material es hierro galvanizado, dicho valor se encuentra en este rango: . ≤ k ≤ . Por lo que asumimos un k = 17 * 10-5 m Al reemplazarlo en la ecuación tenemos: ad k = m m 3.0 10*17 5 ad k = 5.67* 10-4 A estos valores le corresponde un factor por fricción, el cual es: i = 0.0226 Teniendo ya definido todos estos valores, procedemos a calcular las perdidas en cada una de las tuberías: Tubería de aspiración: 2 ' '' 2 a a ra a a a a L v H d g           
  • 23. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 23 2 2 10 (1.414 / ) 6.1 0.4 (0.0226) 0.3 2(9.8 / ra m m s H m m s             2 2 2 1.999396 / (7.253 19.6 / ra m s H m s           0.739raH m Tubería de impulsión En esta tubería la velocidad es la misma que en la tubería de aspiración debido a que tiene el mismo diámetro y el caudal bombeado es constante, de tal forma que: Va = Vi = 1.414m/s 2 ' '' 2 2 i i ri i i i i L v H d g            2 2 150 (1.414 / ) 0.2 (0.0226) 0.3 2(9.8 / ) ri m m s H m m s               1.173riH m Ahora procedemos a reemplazar todos estos valores en la ecuación siguiente: H = 2 ( ) 2 t z a ra ri v Z Z H H g     H = 10m + 0.739m + 1.173m + 0.10201m H = 12.01m Ahora este valor lo reemplazamos en la ecuación de la potencia de accionamiento, y de esta forma determinamos lo que nos están pidiendo: PA = 1507.6 H
  • 24. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 24 PA = 1507.6 (12.01) (W) PA = 18.112 Kw. 19.14 Una bomba centrifuga proporciona un caudal de 1000L/min a 1000 rpm el diámetro del rodete 600mm. Ancho de salida 10 mm, brida entrada – salida se crea un diferencia de presión 3 Bar , ; de=1m, de=ds; rendimiento manométrico 70 % entrada del rodete radial. Hallar Altura efectiva, potencia útil,  Primero determinamos la altura efectiva usando la ecuación de Bernoulli Debido a ds=de entonces Vs=Ve = a cero, la presión de entrada es cero así nos queda: Luego nos queda  Para determinar la potencia utilizamos la ec. Reemplazando nos queda: Sabiendo que:  Para determinar Realizamos el triangulo de vela la salida: 1 2 60 D N U   = Determinamos Hu
  • 25. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 25 Luego utilizando la relación 2 2 1 1u u u u C u C H g   Pero como la entrada es radial entonces 2 2u u u C H g  Hallamos u Determinamos el valor de C2 sabiendo que C2 es = a C2m Entonces Reemplazamos los valores: Utilizando la relación de triángulos: 19.15 Una bomba centrifuga de agua proporciona una altura útil de 22 metros a una velocidad de 1.200 r.p.m. D1= 180 mm; D2= 300 mm. Entrada en los álabes del rodete, radial; Cm= constante en
  • 26. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 26 todo el rodete; C2u= 25 m/s. Las perdidas perdidas hidráulicas en la bomba son iguales a 0.027 C2 2 m (C2 en m/s). Calcular: a) El rendimiento hidráulico. b) Los á gulos ála es a la e trada a la salida β1 β2. Datos de entrada: H=22m Hr=0.027 C2 2 n= 1.200 r.p.m. D1= 180 mm D2=300 mm C2u=25 m/s Cm= constante Consideraciones: Dado que la entrada en los álabes es radial C1 = C1m Desarrollo: a) Para hallar el rendimiento hidráulico utilizamos la siguiente fórmula: ηh = H/HU ; donde H= Hu – Hr-int ; H: altura útil Hu: altura de Euler
  • 27. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 27 a) Ahora procedemos a calcular el rendimiento hidráulico b) Ahora procedemos a hallar los ángulos de los álabes a la entrada y a la salida
  • 28. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 28 19.16 Una bomba positiva de corona directriz tiene una altura geométrica de aspiración de 2 m y una de impulsión de 14m referidas al eje de la bomba. La velocidad del agua en la tubería de impulsión es de 2 m/s y Cm es contante en todo el recorrido e igual a /s; β2=60o .Se desprecian las perdidas en el interior y7 fuera de la bomba. La entrada en los álabes es radial. Calcular: a) Velocidad periférica a la salida del rodete b) Altura de presión a la salida del rodete. c) Altura de la velocidad a la salida del rodete. d) Angulo que deberá haber a la entrada de los alabes. Análisis y datos de entrada:
  • 29. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 29 Los subíndices 1 y 2 indican aspiración e impulsión respectivamente. Datos conocidos: -Cm: 3 m/s y es constante. -β2 = 60o . -V2= 2 m/s, velocidad de succión. -La entrada en los alabes es radial por lo tanto C1u = 0. -Se desprecian las perdidas en el interior y fuera de la bomba Como se desprecian las perdidas dentro y fuera de la bomba la ecuación de Bernoulli está dada por Como los tanques son abiertos a la presión atmosférica, la presión es 0. Se desprecia la fricción. Despejando H: Como la altura efectiva de la bomba es , y las pérdidas son despreciables tenemos que Según Euler , para bombas y como la entrada es radial C1u = 0.
  • 30. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 30 Despejando: C2u = -Ecuación 1 Analizando el triangulo de velocidades para la salida (2) Analizando el triangulo formado por Cm2, w2 y . Tenemos que Despejando -ECAUCION 2 Igualando y resolviendo las ecuaciones las ecuaciones 1 y 2 tenemos una formula cuadrática Resolviendo la mediante formula cuadrática encontramos la velocidad periférica es: a) b) Para la altura de presión a la salida del rodete tenemos que analizar desde el pozo hasta la salida de la bomba(nivel del eje de bomba) Aplicando Bernoulli -Como el tanque de suministro esta a la intemperie se va la presión de entrada -Velocidad de entrada se desprecia pues el diámetro del tanque es mucho mayor que la tubería y su velocidad es baja. -como analizamos a nivel de eje de la bomba la altura 2 es 0. Despejando
  • 31. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 31 , a la salida del rodete es igual a C2 y la halamos mediante el triangulo de velocidades , analizando el triangulo formado por C2, C2u y Cm tenemos que No tenemos Reemplazando los valores obtenemos que Teniendo este valor procedo a hallar por Pitágoras C2=12.17 m/s Procedemos a reemplazar en la ecuación de Bernoulli ya encontrada b) seria la altura de presión en el rodete. c) El ángulo q deberían tener los ála es dire tri es a la e trada seria igual a β1 y se hallaría mediante el triangulo de velocidades para 1 Como la entrada a los álabes es radial el triangulo queda reducido a tenemos solo de este triangulo Cm, pero utilizando la ecuación de Euler tenemos q , pero C1U es igual a cero entonces para poder hallar el valor de µ1 le damos un valor a la componente periférica de la velocidad absoluta muy pequeño (que tienda a cero) solo faltaría despejar y hallar µ1.
  • 32. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 32 Despejando tenemos que La magnitud de , te ie do este valor pro ede os a hallar β1 por trigonometría . 19.17 Una bomba centrifuga que proporciona un caudal de 25 m3 /h sirve para elevar agua a una altura de 25 m. La resistencia total de la tubería de aspiración y de impulsión es de 6 m. El rendimiento total de la bomba es de 0.7, y el rendimiento del motor eléctrico de accionamiento es de 0.95. Calcular la potencia de la red. Datos de entrada:      
  • 33. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 33 Solución: Se calcula primero la potencia interna de la bomba; la cual es función de la potencia de accionamiento.  . Pi es la potencia que necesita la bomba del motor eléctrico para vencer todas las perdidas y así poder realizar el trabajo. 19.18 Una bomba centrífuga, cuyo rendimiento total es 60% bombea 2000L/min de aceite creando un incremento de presión efectiva de 2 bar. Pasamos el caudal a Convertimos el a Kilopascales Reemplazamos valores en la fórmula de la potencia de accionamiento
  • 34. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 34 19.20. Entre las bridas de entrada y salida de una bomba, se coloco un manómetro en U de mercurio. De él se ha extraído el aire de manera que al funcionar el resto del tubo manométrico se encuentre lleno de agua. La bomba da una caudal de agua de 300 m3/h. la tubería de aspiración es de 250 mm y la de impulsión de 200 mm. El eje de la bomba es horizontal. Entre los ejes de la tubería en la toma manométrica de aspiración e impulsión hay un desnivel de 35 cm. El manómetro indica un incremento en la altura del mercurio de 20 cm (más elevada en la rama unida al tubo de aspiración). Calcular la potencia útil de la bomba La potencia útil será la invertida en impulsar el caudal (Q) a la altura útil (H). Lo cual se resume en la siguiente fórmula: P Q gH El valor H se halla a continuación despejando el término de la ecuación de Bernoulli de la siguiente manera: 2 2 2 2 e e s s e e P v P v Z H Z g g g g             Despejando H tenemos: 2 2 2 2 s s e e s e P v P v H Z Z g g g g                      Reorganizando la ecuación encontramos: 2 2 2 s e s e s e P P v v H Z Z g g       La altura manométrica igual a 20 cm que nos presentan en el ejercicio corresponde al siguiente término de la ecuación: s eP P g 
  • 35. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 35 El segundo término de la ecuación es igual al desnivel de 35 cm que se presenta entre los ejes de las tuberías: s eZ Z En el último término de la ecuación se calculan las velocidades en base a los diámetros entregados con de las tuberías y reemplazándolos en la siguiente ecuación: V= Q/A ; A = Luego reemplazando: AS = A = = 0,031 m2 AE = A = = 0,049 m2 Se hallan las velocidades: VE = Q / A1 V1= VE = 6122 m/h = 1,7 m/s VS= Q / A2 V2 = VS = 9677 m/h = 2,68 m/s Se sustituye todo los valores en H:     2 2 2 2.68 / 1.7 / 0.2 0.35 2(9.8 / ) m s m s H m m m s           H = 0,2 m + 0,35 m + 0,22 m H= 0,77 m Por últi o se halla la pote ia útil de la o a segú la e ua ió , del li ro Claudio Matai de maquinas hidráulicas: P Q gH
  • 36. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 36 P = (300 m3 /h) (1000 Kg/m3 ) (9,8 m/s2 ) (0,77 m) P = 2263800W = 2263,8 KW 19.21. Una bomba centrifuga de agua suministra un caudal de 50 m3 /h. La presión a la salida de la bomba es de 2,6 bar. El vacuómetro de aspiración indica una depresión de 250 Torr. Las diferencias de cotas entre los ejes de las secciones, donde se conectan las tomas manométricas, es de 0,6 m. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son iguales. El rendimiento total de la bomba es 62%. Calcular la potencia de accionamiento de esta bomba. Datos de entrada: Q = 50 m3 /h Pa = ? P2 = 2,6 bar. Hm =? P1 = 250 Torr Z2 – Z1 = 0,6 m η 3 1000 /Kg m  D1 = D2 Tenemos la ecuación de potencia de accionamiento 1 aP QgH  Para hallar la potencia de accionamiento necesitamos hallar la altura útil de la bomba o cabeza de presión H. Para hallarlo utilizamos la ecuación general de la energía: 2 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 2 l r P v P v Z H h h Z g g g g          Despreciamos las perdidas menores hL y no hay energía retirada hR. Entonces la ecuación queda reducida a: 2 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 2 P v P v Z H Z g g g g       
  • 37. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 37 Despejando tenemos: 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 P P v v H Z Z g g g g        La velocidad expresada en términos de Q es: 2 2 2 4 16Q v D        Cuando realizamos la diferencia entre velocidades 1 y 2: 2 2 2 2 2 4 2 4 2 1 2 1 16 16 ( ) ( ) 2 2 2 2 Q Q v v D D g g g g                             Pero como sabemos que D1 = D2, entonces la diferencia de velocidades se hace cero. La ecuación se reduce a: 2 1 2 1 P P H Z Z g g      Ahora para resolver la ecuación necesitamos realizar una conversión de unidades: 2 2 2 1 100000 2.6 260000 ( / ) 1 133 250 332250 ( / ) 1 Pa P bar Pa N m bar Pa P Torr Pa N m Torr                             La presión 1 es negativa, porque es especificado que es una depresión medida por un vacuómetro. 3 31 (50 / ) 0.0138 / 3600 h Q m h m s s         Con esto ya podemos hallar la cabeza de presión:
  • 38. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 38           2 3 2 2 3 2 260000 ( 332250 / 0.6 1000 / 9.81 / 260000 (332250 / 0.6 1000 / 9.81 / N m H m Kg m m s N m H m Kg m m s                    29.89 0.6 30.49 H m m H m    Ahora podemos hallar la potencia de accionamiento: 1 aP QgH        Reemplazando; 1 6657.54 0.62(1000)(0.0138)(9.81)(30.49) Pa w        19.22. Una bomba se emplea para impulsar agua a 10°C entre dos depósitos, cuyo desnivel es de 20m. Las tuberías de aspiración y de impulsión, cuyas longitudes son de 4 y 25m respectivamente, son de fundición de 300 y 250 mm respectivamente. Las perdidas secundarias pueden despreciarse. El caudal bombeado es de 800m3 /h; ntot = 75%. Calcular: a) La altura efectiva de la bomba; b) Potencia de accionamiento. Agua a 10ºC ∆z = 20m L de aspiración = 4m L de impulsión = 25m D de aspiración = 300mm D de impulsión = 250mm Q = 800m^3/h η total = %
  • 39. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 39 Buscamos en tablas los siguientes datos =0.25mm = . * ^-3 φ= . kg/ ^ Ahora calcularemos el numero de Reynolds y las perdidas por fricción en las tuberías con las siguientes ecuaciones Re Sv D v  2 2 f LV h f D g  2 0.9 1.325 5.74 ln 3.7 f E D R           3 3 800 / 0.22 /Q m h m s  Re 906513.6 4 8.33 10 E x D   Re 1087816.31 3 1 10 E x D   f = 0.012 hf =0.079 f2 = 0.02 hf2 = 2.05 Teniendo en cuenta que la energía de presión es cero y la energía cinética tiende a cero nuestra ecuación queda de la siguiente forma
  • 40. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 40 De 2 2 2 2 A A Z Z A r ext Z P v P v z H H z g g g g        Quedaría que: H = 20 + 0.079 + 2.05 = 22.129 m Ahora calculamos la potencia útil ( )P Q gH W 3 3 2 (0.22 / )(999.7 / )(9.81 / )(22.129 ) 47.7445P m s Kg m m s m KW  Y calculamos la potencia de accionamiento tot P n Pa  47.7445 63.6593 0.75 KW Pa KW  19.23. Una bomba centrífuga gira a 750 rpm. El desnivel geodésico entre los depósitos de aspiración e impulsión, abiertos a la atmósfera, junto con todas las pérdidas de carga exteriores a la bomba asciende a 15 m. El ángulo = 45°. La velocidad media del agua en las tuberías, así como la velocidad meridional en el interior de la bomba, se mantiene constante e igual a 2 m/s. La entrada de la corriente en los álabes es radial. El rendimiento manométrico de la bomba es 75%. Ancho del rodete a la salida 15 mm. Calcular: a) Diámetro exterior del rodete. b) Altura dinámica del rodete que se ha de transformar en altura de presión en la caja espiral. c) Si el diámetro del rodete a la entrada es 0.4 el diámetro del rodete a la salida, calcular el caudal y el ancho del rodete a la entrada. d) . e) Rendimiento de la bomba, si 0.9 y 1
  • 41. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 41 Datos. = 0.75 n= 750 rpm = 45° = 2 m/s = 15 mm 15 m Solución. Primeramente, se realizan los triángulos de velocidades de la entrada y la salida, teniendo en cuenta que es radial ( ): A partir de la ecuación de Bernoulli, determinamos que: x 750 rpm
  • 42. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 42  0, por estar abierto a la atmósfera.  , por mantenerse constante. Por lo tanto, comprobamos que: Ahora, se calcula la altura útil: Sabiendo que (1), se determina los valores de y con el segundo triángulo de velocidades: Donde (2) Reemplazando (2) en (1): Aplicando fórmula general de la ecuación cuadrática: Si se utiliza el signo positivo se tiene ; Si se utiliza el signo negativo se tiene . Por lo cual, se utilizará la primera raíz. Con el valor de , determinamos el diámetro externo: Respuesta a)/: El valor del diámetro exterior del rodete es 383 mm. Para determinar la altura dinámica , determinamos el valor de a partir del segundo triángulo de velocidades:
  • 43. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 43 Respuesta b)/: La altura dinámica del rodete que se ha de transformar en altura de presión en la caja espiral es 8.67 m. El caudal se calcula de la siguiente manera: Como el caudal en la entrada es el mismo que en la salida, tenemos que: (3) Para determinar el diámetro del rodete a la entrada, se tiene la siguiente relación: Con este dato, procedemos a calcular la anchura del rodete a la entrada a partir de (3): Respuesta c)/: Según las condiciones diametrales, el caudal es y el ancho de rodete a la entrada es 0.0375 m. El valor de , se obtiene a partir del primer triángulo de velocidades. Por lo que: Respuesta d)/: El valor de es . El rendimiento de la bomba, se determina a partir de: Respuesta e)/: El rendimiento de la bomba es 67.5 % 19.24. Una bomba centrífuga de agua tiene as siguientes características: D1= 100 mm; D2/D1= 2; b1= 20mm; = 15°; = 30°; n= 1500 rpm. Las tomas de presión en la aspiración e impulsión tienen el mismo diámetro. El manómetro de aspiración marca una altura de presión relativa de -4 m c.a. El rendimiento total de la bomba es 65%, 96%; = 0.9. Supóngase la entrada en los álabes radial. Calcular: a) Triángulos de velocidad a la entrada y salida del rodete (los tres lados y los dos ángulos característicos). b) El caudal (supóngase rendimiento volumétrico igual a 1).
  • 44. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 44 c) La potencia en el eje de la bomba. d) La presión en bar del manómetro de impulsión. Datos. = 0.96 = 0.9 = 0.65 n= 1500 rpm = 15° = 30° = 100 mm = 2 = 20 mm = -4 m c.a. Solución. Respuesta a)/: Primeramente, se realizan los triángulos de velocidades de la entrada y la salida, teniendo en cuenta que es radial ( ): Del primer triángulo de velocidad, determinamos : Para este caso, y Del segundo triángulo de velocidad, determinamos : x
  • 45. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 45 Para el caudal, teniendo en cuenta que el rendimiento volumétrico es igual a 1, se procede a calcularlo así: Respuesta b)/: El caudal es . Para determinar la potencia del eje, se calcula como primera medida el rendimiento hidráulico: Determinamos la altura útil H: Determinamos la potencia interna: Calculamos la potencia de accionamiento: Respuesta c)/: La potencia del eje de la bomba es Para hallar la presión en bar, se realizó una conversión de unidades a la presión en la aspiración:
  • 46. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 46 Respuesta d)/: La presión en bar del manómetro de impulsión es 19.25 El rodete de una bomba centrifuga de gasolina ( 0.7  ) de 3 escalonamientos tiene un diámetro exterior de 370 mm y un ancho a la salida de 20 mm ; 2 45   . Por el espesor de los álabes se reduce un 8 % el área circunferencial a la salida; m = 80 %. Calcular: A) Altura efectiva cuando la bomba gira a 900rpm, suministrando un caudal másico de 3.500kg/min; B) Potencia de accionamiento en estas condiciones. SOLUCION: D2 = 0.37 m b2 = 0.02 m β2 = 45º ni = 0.85 nm = 0.80 N= 900rpm Q = 3500 Kg/min= 0.085 m3 /seg Hallamos la velocidad meridional (C2m ): 2 2 2mQ D b c Despejando tenemos: C2m = . / . . C2m = 3.44 m/seg Luego hallamos la velocidad periférica a la salida del alabe (U2 ): 2 2 60 D n u  
  • 47. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 47 U2 = . / 60 U2 = 17.43 m/s Luego del triangulo a la salida mostrado en la figura 18.2 tenemos: 2 2 2 2 m u c C u tg   C2u = 17.43 m/seg – 3.44 m/seg C2u = 13.98 m/seg Luego hallamos la altura de euler: 2 2 1 1 2 2 u u uu c u c u u c H g g    Hu = (17.43 x 13.98) / (9.8) = 24.86 m /h uH H  H = 3 (0.8) x (24.86) = 61.36 m ; Bomba de 3 escalonamientos El ejercicio nos plantea un rendimiento interno pero el volumétrico al trabajar con un liquido se toma como 1 por lo cual el rendimiento interno es igual al rendimiento hidráulico. Conociendo la altura podemos hallar la potencia de accionamiento: 1 a m Q gH P    Pa = (680 x 0.085 x 9.8 x 61.367) / (0.80 x 0.85) Pa = 51.649 Kw. 19.26 En este problema se desprecian las pérdidas. Una bomba centrífuga de agua tiene las siguientes características: n=500rpm, D1=100mm, D2=400mm. Área útil del rodete a la entrada=200cm2 . Área útil del rodete a la salida=500cm2 . Β1=45o , Β2=60o . Entrada en los álabes del rodete radial. Calcular w1, w2 y la potencia de la bomba. Datos: n=500rpm Ae=200cm2 w1=? D1=100mm As=500cm2 w2=?
  • 48. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 48 D2=400mm β1=45o , β2=60o P=? Solución. Como conocemos el número de revoluciones de la bomba y a la vez el ángulo a la entrada procedemos a hallar la velocidad periférica en el punto 1, por lo que tendríamos: El triangulo de velocidades a la entrada esta dado por: Aplicando las relaciones trigonométricas podemos obtener tanto el valor de la velocidad relativa a la entrada w1, como el valor de C1m o C1. Despejando la ecuación (1) tendríamos Despejando la ecuación (2) tendríamos Por la ecuación de continuidad asumimos que: Ahora para la salida tenemos que , y despejando Procedemos a hallar la velocidad periférica en la salida C1= C1m w1 β1
  • 49. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 49 Y el triangulo de velocidades en la salida será Para el triangulo azul aplicando las respectivas relaciones trigonométricas obtendremos el valor de w2 y obtener el valor de - C2u2. Despejando w2 de la ecuación (3) tenemos DespejandoC2u2 de la ecuación (4) tenemos Sabemos que , pero debido a que las pérdidas se despreciaran en este problema, tenemos que . Si utilizamos la primera forma de la ecuación de Euler, obtendríamos: Pero debido a que la entrada en los alabes es radial, , entonces: Y la potencia de la bomba estaría dada por la siguiente expresión 19.27 Una bomba de agua da un caudal de . Aspira en carga de un depósito abierto por una tubería de estando el eje de la bomba por debajo del nivel de agua en el depósito. Despréciense las pérdidas en la bomba y en las tuberías. La potencia de la bomba es de . C2m w2 β2 C2 C2u2 u2 -
  • 50. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 50 Calcular: 1) La lectura de un manómetro situado en la brida de espiración por debajo del nivel del depósito. 2) La lectura de otro manómetro situado en la tubería de impulsión por encima del nivel de agua en el depósito. SOLUCIÓN Para empezar el desarrollo de nuestro ejercicio empezamos realizando las siguientes conversiones: Sea Sea 1) Iniciaremos el análisis escogiendo los puntos en donde conocemos la mayor información sobre presión, velocidad y elevación. Siendo así analizaremos primero la superficie del recipiente y la sección de entrada a la bomba, en donde se encuentra ubicado el primer manómetro. Los puntos se ilustran a continuación: La ecuación de Bernoulli entre las secciones analizadas será: Teniendo en cuenta que en el enunciado me indican que desprecie las pérdidas en la bomba y en las tuberías , además de que en este tramo analizado no hay energía removida por un dispositivo mecánico como por ejemplo un motor de fluido y tampoco hay energía agregada mediante un dispositivo mecánico (bomba) : Conociendo que , luego entonces este término desaparece de la ecuación y así mismo se cancelan algunos términos como: 5m m 20m Eje de Referencia BombaDepósito Abierto Manómetro 1 Manómetro 2 A B
  • 51. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 51 , ya que =0 La superficie del recipiente está expuesta a la atmósfera (depósito abierto). , ya que =0 (Aproximadamente) El área superficial del recipiente es grande en comparación a la de la entrada de la tubería. =0 Se ubica sobre el eje que hemos tomado como referencia. Luego la expresión se reduce a: Puesto que tiene un valor dado de y que el diámetro de la tubería es de , entonces podemos calcular la velocidad que lleva el fluido en el punto B. Al despejar de la ecuación: Reemplazando los valores correspondientes: Finalmente Esta es la presión que registra el manómetro ubicado en la brida de aspiración 5m por debajo del nivel de agua del depósito. El signo negativo indica que se trata de un vacuómetro. 2) Para la segunda parte del análisis escogeremos la sección de entrada a la bomba en donde se ubica el primer manómetro y la sección en donde se encuentra ubicado el segundo manómetro. Los puntos se ilustran a continuación:
  • 52. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 52 Ahora nuevamente escribiendo la ecuación de Bernoulli entre las secciones analizadas tenemos: Teniendo en cuenta que en el enunciado me indican que desprecie las pérdidas en la bomba y en las tuberías , además de que en este tramo analizado no hay energía removida por un dispositivo mecánico como por ejemplo un motor de fluido, pero SI hay energía agregada mediante un dispositivo mecánico, en este caso la bomba : Conociendo que , luego entonces este término se conserva en la ecuación bajo la notación de y así mismo se cancelan algunos términos como: =0 Se ubica sobre el eje que hemos tomado como referencia. y se cancelan El tamaño de la tubería es el mismo en la sección B y en la sección C. La rapidez de flujo de volumen en cada punto es también la misma. Entonces, puesto que , podemos concluir que . Luego la expresión se reduce a: B 5m m 20m Eje de Referencia BombaDepósito Abierto Manómetro 1 Manómetro 2C
  • 53. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 53 Puesto que en el ejercicio nos indican que la bomba tiene una potencia de , y manejando el concepto de que la potencia útil o la potencia añadida al fluido por la bomba es igual a: En donde: es el peso específico del fluido que fluye por la bomba y Q es la rapidez de flujo de volúmen del fluido (caudal); de esta ecuación despejamos que es la energía añadida o agregada al fluido mediante la bomba. Así: Finalmente al despejar de la ecuación de Bernoulli reducida tenemos: Al remplazar los valores correspondientes obtenemos: 19.28. En este problema se despreciaran las pérdidas. Una bomba centrifuga que produce un caudal de agua de 300m3 /h tiene las siguientes características: D1= 150mm; D2/D1= 3; b1= 40mm; b2/b1= / ; β1= º; β2= 40º. Entrada radial. Calcular: a) rpm b) Altura de la bomba c) Par
  • 54. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 54 d) Potencia e) Incremento de presión que se produce en el rodete Solución Datos: Pérdidas: Hr-int.= 0 Caudal: Q= 300m3 /h Diámetro 1: D1= 150mm Diámetro 2: D2= 3 D1 Arista de entrada: b1= 40mm Arista de salida: b2/b1= ½ → 2= 20mm Solución. El caudal en una bomba en régimen permanente es el mismo en cualquier sección de la bomba. Entonces se tiene que:  1cDbQ m111 Como la entrada es radial, se tendrá que el triangulo de velocidades a la entrada estará dado por: Donde:
  • 55. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 55 m150 mm1000 m1 mm150D m040 mm1000 m1 mm40b s m0830 s3600 h1 h m 300Q 60 entradalaaabsolutaVelocidadcc 1 1 3 3 1 m11 . . .          Despejando de (1) a c1m:    s m404c s m404 m150m040 s m0830 Db Q c m1 3 11 m1 . . .. .        Aplicando trigonometría en el triangulo de velocidades de entrada, se obtiene que: )(2 u c u c Tan 1 m1 1 1 1  Despejando u1 de (2): s m542 731 s m404 Tan c u 1 m1 1 . . .    Pero como u1, según el Claudio Mataix Pág. 362, es igual a: )(3wru 11  m0750 2 m150 2 D rr2D 1 111 . .  Despejando w de (3): s rad8733s8733 m0750 s m542 r u w 1 1 1 .. . .      Como la velocidad angular w está dada por: (Pág. 361 Claudio Mataix) )(4 2 w60 n 60 n2 w    
  • 56. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 56 Reemplazando valores en la ecuación (4):   )(. . . arpm43323n rpm43323 2 s rad873360 n     Ahora, de la ecuación (19-4) del Claudio Mataix Pág. 386, se tiene que la expresión para el cálculo de la altura es: )(.int 5HHH ru  En donde Hu es la altura que el rodete imparte al fluido y Hr-int. equivale a las perdidas hidráulicas en función de la altura. Como en este caso especifico, las pérdidas se desprecian, la ecuación (5), se reescribe como: )( .int 6HH HHH u ru    Donde según la ecuación (19-3) del Claudio Mataix Pág.385, Hu esta definida como: )(7 g cu H g cucu H u22 u u11u22 u    Ya que c1u=0 (Entrada radial). Por otra parte, como el caudal no varía igualamos las condiciones en la entrada y a la salida, se puede deducir que: m222m111 cDbcDbQ  Despejando c2m:       s m932 s m404 m1503m020 m150m040 c Db Db c m1 22 11 m2 .. .. ..     Ahora, para cálculo de u2:   s m627 60 rpm43233m1503 60 nD u 2 2 . ..).(     
  • 57. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 57 Al construir el triangulo de velocidades que corresponden a la salida de la bomba, obtenemos por trigonometría lo siguiente: s m134c s m134 840 s m932 s m627c Tan c uc Tan c cu cu c Tan u2 u2 2 m2 2u2 2 m2 u22 u22 m2 2 . . . . .         Reemplazando el valor de c2u en la ecuación (7), se tiene que:     bm213 s m819 s m134 s m627 H 2 u . . ..        El par transmitido por el rodete al fluido esta descrito por la ecuación (18-5) del Claudio Mataix en la Pág. 361:  u11u22 crcrQM  Como el fluido con el que trabaja la bomba es agua, el =1000kg/m3 . Reescribiendo todas las variables por sus respectivos valores, resulta:   )(. ... cNm717M s m134m02250 m kg1000 s m0830M 3 3                La potencia útil es la invertida en impulsar el caudal útil Q a la altura útil H. Luego, esto lleva según Claudio Mataix (Pág. 381) a que la potencia está definida por:
  • 58. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 58      dkw612P w682613P m213 s m819 m kg1000 s m0830P gHQP 23 3 . . ...              El incremento de presión creado por el rodete si la bomba está llena de agua será (Claudio Mataix, Pág. 383):    ekPa5031p Pa131490p m213 s m819 m kg1000p gHp 23 agua . . ..                19.29 UNA BOMBA CENTRIFUGA DE AGUA QUE GIRA A 1000 RPM, TIENE LAS SIGUIENTES DIMENSIONES: (Datos de Entrada) D1= 180 mm b1 = 30 mm b2 = 20 mm β1 = 20o β2 = 30o Eficiencias ηH =81 % (hidráulica) ηm = 95 % (mecánica) ηmotor eléctrico = 0.85 Diámetro tubería de entrada: 220 mm Diámetro tubería de salida: 200 mm Entrada a los alabes radial, las bridas de entrada y salida se encuentran a la misma cota. El desnivel entre el depósito de aspiración abierto a la atmosfera y la brida de aspiración asciende a 1,2 m. Calcular: a) Los triángulos de velocidad a la entrada y la salida del rodete. (c, u, w, cu, cm, α .
  • 59. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 59 b) Caudal Q c) Altura de Euler Hu d) Altura de Presión a la entrada de la bomba e) Energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento de la bomba. f) Altura de presión a la salida de la bomba. Solución: ESQUEMA DEL SISTEMA DE BOMBA a) Triángulos de Velocidad A la entrada del alabe Se considera que el fluido agua entra a los alabes en forma radial, por lo tanto el triangulo de velocidad a la entrada queda representado de la siguiente forma: C1u = 0, La razón de que c1u sea cero, es porque la entrada del fluido al álabe es radial, por lo que c1 se hace igual a c1m o la velocidad meridional, así c1 = c1m. A la salida del álabe el triángulo de velocidades que representado así:
  • 60. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 60 Calculo de las velocidades y ángulos de entrada y salida a) Considerando el triangulo de velocidades a la entrada Se determina u1 u1 = Con D1 = 180 mm β = o N = 1000 rpm u1 = u1 = 9424.8 Se determina c1m c1m = u ta β c1m = (9424.8 ) tan 20o c1m = 3430. 3 Esta velocidad es igual a c1 C1 = 3430. 3 C1u = 0 Se determina w1
  • 61. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 61 w1 = w1 = w1 = 10029.6 b) Para determinar el caudal Q Q = b1 D1 c1m Q = (30 mm) (180 mm) (3430.3 Q = 58.2 x 106 Se determina u2 u2 = Con D2 = 360 mm N = 1000 rpm u2 = u2 = 18849.6 Para hallar c2m, por conservación de caudal y sin pérdidas volumétricas se usa la ecuación: Q = b2 D2 c2m Despejando c2m c2m = Con Q = 58.2 x 106 b2 = 20 mm D2 = 360 mm c2m =
  • 62. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 62 c2m = 2572.7 Del triángulo de velocidades a la salida se determina: c2u Considerando la figura ta β = Despejando c2m se obtiene: C2u = Reemplazando los datos C2u = C2u = 14393.2 Se determina w2 De la figura w2 = w2 = Para determinar c2 se utiliza el teorema de Pitágoras y del triangulo de velocidades a la salida: c2 = c2 = 45587.9 Para deter i ar el á gulo α, de la figura: Ta α = Despeja do α α = ar ta α = ar ta
  • 63. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 63 α = . o c) Altura de Euler Se usa la ecuación: Hu = Reemplazando los valores Hu = Hu = 27656 mm Hu = 27.6 m d) Altura de presión a la entrada de la bomba Para hallar la altura de presión a la entrada de la bomba se aplicación ecuación de la energía entre los puntos A y E del sistema Se despeja la altura de presión Ze= 0 A la misma altura = perdidas a la entrada Se determina hallando la altura útil y restándola de la altura de Euler o altura teórica. Altura Útil H
  • 64. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 64 De la ecuación de la eficiencia hidráulica: ηH = De los datos de entrada La eficien ia hidráuli a ηH =81 % Despejando la altura útil H H = ηHHu H = (0.81)(27.6 m) H = 22.4 m La altura de pérdidas se expresa: Hpe = Hu – H Hpe = 27.6 -22.4 Hpe = 5.2 m Se halla la velocidad a la entrada de la bomba Ve De la ecuación de caudal Q = VA = V Despejando la velocidad V V = Reemplazando el Caudal y el diámetro. Q = 58.2 x 106 = 0.0582 de= 220 mm = 0.22m Ve= 1531.04 Reemplazando la velocidad = 119,5 mm = 0.119 m
  • 65. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 65 -5.2m – 0.119m – 0 - 5.319 m e) La energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento de la bomba Se halla la potencia útil Pútil = QρgH Pútil = (0.0582 (1000 Pútil = 12. 8 kW Ahora se determina la potencia de accionamiento Pa Es fu ió de la pote ia útil la efi ie ia total ηt Pa = = Pa = 16.6 kW Se determina la potencia suministrada por el motor eléctrico, con la eficiencia del motor eléctrico ηmotor eléctrico= 0.85 Pmotor = Pmotor = La energía eléctrica consumida en 6 horas de funcionamiento se determina con Eeléctrica = Potencia motor x tiempo de funcionamiento Eeléctrica = Pmotor x t = (19.5 kW x 6 h) Eeléctrica = 117 kW f) Altura de presión a la salida de la bomba
  • 66. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 66 Aplicando ecuación de la energía en los puntos E y S + Hútil= Pero Ze = Zs = 0 Despejando la altura de presión a la salida La velocidad Vs se determina con el caudal Q Con diámetro de salida ds = 200 mm Q = VA = V Despejando la velocidad V V = Reemplazando el Caudal y el diámetro. Q = 58.2 x 106 = 0.0582 de= 200 mm = 0.2m Ve= 1852.6 Reemplazando la velocidad = 175 mm = 0.175 m Reemplazando = 22.4 m – 5.319 m + 0.119 m – 0.175 m
  • 67. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 67 = 17.02 m 19.30 Una bomba centrifuga que aspira directamente de la atmosfera ( = 740 torr) da un caudal Q = 555 con una altura efectiva H= 13.5 m, girando a 750 rpm, el es 3.33 m, la temperatura del agua es 20 , las pérdidas de la aspiración ascienden a 0.54m.  Altura geodésica máxima de aspiración de la bomba  Numero especifico de revoluciones DATOS Bomba centrifuga Q= 555 H= 13.5 m n = 730 rpm = 3.33 m = 20 = 740 torr Perdidas en tubo de aspiración= 0.54 m =? Altura geodésica de la bomba =? = (velocidad especifica) Conversiones: Q= 550 * = 0.55 = 998 Luego hallamos la potencia. (P): P= Q (W) P= (0.55 ) (998 )(0.98 )(13.5m) P=7262 W = 7.262 Kw Luego reemplazamos estos valores en la ecuación de la velocidad especifica
  • 68. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 68 = = =75.8 Ahora procedemos a calcular la altura geodésica de la bomba: = - - - = -3.33m-0.54m =-3.87m 0 la entrada de la bomba está por debajo del nivel de la carga. 19.31. Una bomba centrifuga bombea gasolina de densidad relativa 0.7 a razón de 200 m3 /h. Un manómetro diferencial mide una diferencia de presiones entre la entrada y la salida de la bomba de 4,5 bares, el rendimiento total de la bomba es de 60%. Las tuberías de aspiración y de impulsión tienen el mismo diámetro y los ejes de las secciones en que está conectado el manómetro tienen la misma cota. Calcular: a) la altura útil de la bomba; b) la potencia de accionamiento. Solución. s m s h h m h mQ 333 5556.0 3600 1 200200 
  • 69. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 69 aguarelabs agua abs relaguarel m kg      31000;7.0 33 70010007.0 m kg m kg abs   Pa bar Pa barbarP 450000 1 10 5.45.4 5  kPaPPP ES 450 Analizando       extr ES ES ES H g VV ZZ g PP H 2 22  En esta expresión tenemos que : - debido a q los ejes están al misma altura entonces ZS-ZE = 0 - como la velocidad es 2 4 D Q  ;dependen de Q y de D y DS= DE entonces VS= VE y esa expresión se hace igual cero - por último debido los datos del ejercicio se debe suponer q no hay perdidas en el sistema   mH s m m kg kPa g PP H ES 597.65 8.9700 450 23           Ahora para calcular la potencia de accionamiento      kWWP m s m m kg s mP gHQP 002.2589.25002 6.658.970005556.0 23 2         Sabemos q Tot 60% entonces
  • 70. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 70 kWP kWP P P P acc Tot acc acc Tot 671.41 6.0 002.25     19-32. Una bomba centrífuga de agua gira a 1490 rpm y absorbe una potencia de 300 kW; d2= 500 mm; b2= 25 mm; = 45°. La entrada en los álabes es radial. El rendimiento total se supondrá igual a 1. Calcular el caudal. Para resolver este ejercicio, realizamos el triángulo de velocidades en la salida: Con ello determinamos que . Si el rendimiento total es 1, tenemos que ; y . Por lo cual: Reemplazando los valores conocidos: x
  • 71. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 71 Aplicando fórmula general de la ecuación cuadrática: Si se utiliza el signo positivo se tiene ; Si se utiliza el signo negativo se tiene . Por lo cual, se utilizará la primera raíz. Con el valor ya obtenido de , determinamos el caudal: 19.33. El eje de una bomba centrifuga de agua se encuentra 3,5 m por encima del nivel del pozo de aspiración. La altura efectiva que da la bomba para caudal 0 es 21,4m se abre la válvula de impulsión sin cebar la bomba. Estimar la altura que se elevara el agua en la tubería de aspiración Solución Hs = 3,5m Q = 0
  • 72. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 72 H = 21,4 La altura a la que se eleva la el agua en la tubería de aspiración la podemos estimar dependiendo de la densidad del fluido. De acuerdo con esto Y es igual para la bomba en los dos casos, así que lo hallamos utilizando la ecuación anterior pero con la densidad del aire, de esta forma: Para Ahora tengo todos los datos para calcular H con Así quela altura que se elevara el agua en la tubería de aspiración 19.34. En este problema se despreciaran las perdidas. Una bomba centrifuga de agua cuyo diámetro exterior es de 200 cm y su velocidad periférica a la salida de rodete es de 10 m/s da un audal de L/ i . La e trada e los ala es es radial. ηm = 92%; C2m = /s; β2 = 30°. Calcular el momento motor del grupo. Solución. D2 = 200 cm ηm = 92% u2 = 10 m C2m = 1.5 m/s Q = 3000 L/min β2 = 30°
  • 73. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 73 Realizamos el triangulo de velocidades para la salida de la bomba para hallar el valor de C2u2. 2 2 2uC x u  ; donde 2 2cosx w  y 2 2 2s mC w en  2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos tan m m u C C C u u sen         2 2 1.5 10 7.4 / tan30 uC m s   Para hallar el momento motor, dividimos la potencia de accionamiento entre la velocidad angular, donde la potencia se calculara de esta forma: m Q gH P n   Calculamos H, teniendo en cuenta que la entrada es radial entonces 1 1 1 0uu C  2 2 2 1 1 1 (10)(7.4) 7.55 9.8 u uu C u C H m g     3 31 1min 3000 0.05 / min 1000 60 L m Q m s L s     Reemplazando los valores y considerando la densidad del agua 1000Kg/m3 . (0.05)(1000)(9.8)(7.55) 4021.2 0.92 P W  Y la velocidad angular es: 2 2r w u 22 2 2 2 (2)(10) 10 / 2 uu w rad s r D     El momento polar será: 4021.2 402.12 10 / P W M Nm w rad s    19.35. Una bomba centrifuga proporciona una altura util de 40 m con un rendimiento hidraúlico de 80%. Las tuberias de aspiracion e impulsion son de 150 mm. ; ; Las perdidas en las tuberias de aspiración e impulsión (incluyendo las perdidas secundarias) .
  • 74. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 74 Calcular: a) El caudal de la bomba; b) La diferencia de cotas entre los niveles de los depósitos de aspiración e impulsión, si ambos están abiertos a la atmosfera. Solución: a) Inicialmente estableceremos el triangulo de velocidades de la siguiente manera: ZA Zz Eje de Referencia BombaDepósito Abierto Manómetro 1 Manómetro 2
  • 75. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 75 Calculemos la velocidad periférica del rodete: Por continuidad tenemos que el mismo caudal que sale por el rodete es el mismo de la tubería teniendo en cuenta que despreciamos los espesores de los alabes de los rodetes por lo tanto tenemos que: Con la ayuda del triangulo de velocidades a la salida dibujado anteriormente tenemos que: Asumimos que la entrada de los alabes es radial como lo es normalmente en las bombas centrifugas y despreciamos los espesores de los alabes y tenemos: y Teniendo en cuenta esto calculemos la altura de Euler así: Como el enunciado nos da la altura útil H=40m remplazando tenemos que: Despejando tenemos que:
  • 76. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 76 Teniendo el valor de la velocidad en la tubería podemos calcular el caudal remplazando tenemos que: Respuesta a): b) Ahora para calcular la diferencia de cotas entre los niveles de los depósitos de aspiración e impulsión, si ambos están abiertos a la atmosfera usamos la segunda expresión de la altura útil así: Como ambos depósitos están abiertos a la atmosfera tenemos que la altura de presión es nula; y como ya están incluidas las perdidas primarias y secundarias podemos suprimir el valor de las pérdidas de tubería; teniendo estas consideraciones la ecuación de altura útil quedaría así: Remplazando los valores de H y dados en el enunciado tendríamos:
  • 77. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 77 Respuesta b): 19.36 Una bomba centrifuga que tiene un rodete de 300 mm de diámetro gira a una velocidad de 1490 rpm si β2 = 30, C2M = 2 m /s, la velocidad de los alabes es radial U1C1U = 0 N = 1500 RPM D = 0.3 mts C2M = 2 mts / seg β2 = 30  Determinar el triangulo de velocidades a la salida  La altura teórica de Euler Desarrollando para el primer punto: 1 2 60 D N u   2 0.3 1500 60 u     u2 = 23.56 mts/seg Del triangulo se deduce por trigonometría determinando el valor de X
  • 78. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 78 Ahora, la distancia C2U2 es la resta de X – U2, entonces U2 – C2U2 = 23.56 – 3.46 = 19.99 mts/seg Hallo el valor de W2 y C2 por medio de la ecuación de Pitágoras C2 = = W2 = Y el á gulo ά lo deter i a os edia te: 2 2 tan m u C C   Entonces 1 2 tan 5.68 20.1     Para desarrollar el segundo punto hacemos a u1C1u= 0 ya que se sabe que los alabes radiales a la entrada son radiales, de esto nos queda que: 2 2 1 1u u u u C u C H g   2 2u u u C H g  19.37 Una bomba centrifuga en la que se desprecian las perdidas, tiene las siguientes dimensiones: d1= 100mm, d2= 300mm, b1= 50mm y b2= 20mm. La bomba da un caudal de agua de 175m3 /h y una altura efectiva de 12m a 1000 rpm. Calcular a. La forma de los alabes o sea β1 β2. b. La potencia de accionamiento. Solución a. Por ser e trifuga α1= 90°; C1ω= Entonces los triángulos de velocidades son:
  • 79. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 79 ω1 β α = °; C1= C1m µ1 C2ω ω2 C2m βα2 µ2 Sabemos que: β1= Ar ta Calculamos entonces C1 y µ1 Donde; µ1 = = 5.2359 m/s Ahora como sabemos que Q= Conocemos el valor de Q Q= 175 m3 /h x 1h/3600s =0.0486 m3 /s Ahora calculamos C1m despejando de la ecuación de Q Entonces; C1m = = = 3.09m/s Entonces como ya tenemos los valores de C1m y µ1 pro ede os a ree plazar e la e ua ió de β1 β1 = Arctan β1 = 30°,54 Y
  • 80. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 80 Ahora de acuerdo con el segundo triangulo se puede deducir como se puede realizar el calculo del á gulo β2 β2 = Arctan Calculamos entonces C2m ta ié el valor de C2m = = = 2.5783m/s De la formula siguiente tenemos que: H = Hµ- Hr-int Pero como sabemos por el enunciado que despreciamos las perdidas, entonces el segundo termino de la ecuación se hace 0. Entonces; H = Hµ = ; C1ω= 0 Entonces; H = Despejamos C2µ2 C2ω= Como no conocemos el valor de µ2procedemos a calcularlo µ2 = µ2 = = 15.7079m/s Ahora como y sabemos que g = 9.8m/s2 y H=12m, entonces reemplazamos los valores ya conocidos en la ecuación de C2µ2 C2ω= = 7.4866m/s Co o ie do a estos valores esta os e apa idad de o o er el valor de edia te la siguie te ecuación: Y = µ2 - C2ω
  • 81. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 81 Reemplazamos; Y =15.7079m/s - 7.4866m/s Y = 8.2212m/s Ahora simplemente reemplazamos en la ecuación enunciada anteriormente para calcular el valor de β2 β2 = Arctan β2 = 17°,41 b) Sabemos que la potencia de accionamiento está definida por la siguiente ecuación: Pa= QƍgH Pa = (0.0486m3 /s) (1000kg/m3 ) (9.8m/s2 )(12m) Pa= 5715.36 (Kg) (m2 )/ s3 Pa = 5, 71536 Kw 19.38. U a o a e trifuga o ea u audal de sal uera = . de 3 /h. Un manometro diferencial colocado entre las tuberías de aspiración e impulsión marca 4.5 bar. La tubería de aspiración es de 150 mm y la de impulsión de 125 mm. La diferencia de cotas entre los ejes de las dos secciones a que están conectadas las tomas manométricas es de 1 m. Calcular: a) La altura efectiva de la bomba; b) La potencia de accionamiento si el rendimiento total de la bomba es de 60% Datos: Q = Por ecuación de Bernoulli tenemos que: Por ecuación de continuidad: , pero necesitamos
  • 82. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 82 Para la impulsión tenemos que: H = 379.20m b) , pero
  • 83. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 83 19.39 Calcular la altura teórica Hu alcanzada por una bomba centrifuga a la cual se le conocen los siguientes datos: C1= 4 m/s,C2= 24 m/s; D1= 150 mm,D2= 150 mm; , ; n=1450rpm Desarrollo: La altura teórica se calcula a partir de la ecuación de Euler de las bombas (Ecu 19-3. Mataix) donde son despreciadas las perdidas internas de la bomba Donde U2, C2u, U1, C1u son componentes del triangulo de velocidades de entrada y salida de los alabes de un rodete de una bomba. Luego por los triángulos de velocidades tenemos: u1 = velocidad absoluta del alabe a la entrada, u2 = velocidad absoluta del alabe a la salida C1=velocidad absoluta del fluido a la entrada, C2=velocidad absoluta del fluido a la salida α 1 = ángulo que forman U1, α2 = ángulo que forman U2,C2. Remplazando y despejando los valores conocidos tenemos:
  • 84. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 84 Para las velocidades U1, U2 Hallamos w a partir de n. Volviendo a U1, U2 Teniendo todos los términos remplazamos en la ecuación 19.3 del mataix correspondiente a la altura teorica.     2 2 2 2 26.572 / (23.475 / ) 11.388 / (1.0352 / 9.8 / 612.01 / 62.4 9.8 / u u m s m s m s m s H m s m s H m m s     19.40. Una bomba centrifuga suministra un caudal de agua Q=100m3 /h. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm y el desnivel entre los depósitos de aspiración e impulsión abiertos a la atmosfera, es de 32 m. La potencia en el eje de la bomba es de 14 Kw. El coeficiente total de pérdidas (sec 11.4) C=10.5. Calcular el rendimiento total de la bomba. Datos Q=100m3 /h Dasp=Dimp=150mm ∆Z=32m Pa=14 Kw C=10.5 Nt=? A través de la ecuación de Bernoulli hallamos la altura útil (H): H= + (Z2 - Z1) + + hL
  • 85. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 85 Pero sabemos que el delta de presión se anula debido a que los tanques de aspiración e impulsión están abiertos a la atmosfera y por tanto las presiones son iguales. Por otra parte las velocidades a la entrada y a la salida al restarse se anulan ya que los diámetros de las tuberías son iguales: H= (Z2 - Z1) + hL El valor ∆) os los e trega el e u iado del ejer i io hL corresponde a las pérdidas totales que las podemos hallar a partir de: hL = Donde C es el coeficiente total de perdidas V es la velocidad, la cual se mantiene constante g es la gravedad. Para el cálculo de la velocidad recurrimos a la siguiente fórmula de la cual no desconocemos ningún término: V= V= = 5658.8* = 1.572 Ahora conociendo todos los valores para el cálculo de hL tenemos que: hL = hL=3.3m Reemplazando H=32 + 3.3 H=35.3m Habiendo obtenido todos estos valores procedemos a calcular la potencia útil: P=Q* *g*H P=100 *1000 *9.8 *35.3m* P=9609.4W* P=9.6Kw Por último hallamos el rendimiento total de la bomba en donde se relaciona la potencia útil con la potencia de accionamiento: Nt= Nt=
  • 86. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 86 Nt=0.69. 19.41 Calcular las dos características principales de un rodete (diámetro exterior y ángulo de los álabes a la salida del rodete). Si girando a , desarrolla una altura manométrica de , proporcionando un caudal de . Supóngase: a) b) Pérdida total en la bomba: c) Área para el flujo a la salida del rodete: d) Entrada Radial de la corriente en el rodete. Datos: Comenzamos diciendo que: Por otra parte como:
  • 87. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 87 Y como: Reemplazando: Se sabe que la altura teórica de la bomba está dada por: Sin embargo debido a que la entrada del rodete es axial tenemos que: Con lo que: Donde: Luego la ecuación queda: Dado que: Los datos en rojo constituyen el área de salida del rodete que según los datos de entrada es igual a: Reemplazando, tenemos:
  • 88. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 88 Despejando: Se construye el triángulo de velocidades a la salida del rodete como se muestra en la figura: Vemos que al formar un triángulo rectángulo se debe cumplir que: Remplazando tenemos que: Remplazando los valores, tenemos que: Resolviendo queda: Ordenando la ecuación queda: La iteración muestra el siguiente resultado:
  • 89. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 89 Diámetro 0 0,25567 -0,00076008 0,25568 -0,00067973 0,25569 -0,00059936 0,2557 -0,00051898 0,25571 -0,00043858 0,25572 -0,00035817 0,25573 -0,00027774 0,25574 -0,00019729 0,25575 -0,00011684 0,25576 -3,6361E-05 0,25577 4,4128E-05 0,25578 0,00012463 0,25579 0,00020515 0,2558 0,00028569 0,25581 0,00036624 0,25582 0,00044681 0,25583 0,00052739 Vemos que la mejor aproximación al diámetro exterior es: 2 0.25577D m Reemplazando este valor obtenemos las velocidades: Si analizamos la otra mitad del triángulo tenemos que:
  • 90. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 90 Sabiendo que: Reemplazando tenemos que: 2 29.2  
  • 91. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 91 19.42 En este problema se despreciaran las perdidas. Una bomba centrifuga tiene las siguientes características: ; ; ; ; . La entrada en los álabes del rodete es radial. Cal ular: a β ; Altura que da la bomba; c) Altura de velocidad del agua a la salida del rodete Solución. 19.43 Una bomba centrifuga para alimentación de una caldera de vapor que desarrolla una alturas efectiva de 80 m bombea agua a 90 desde el depósito de aspiración abierto a la atmosfera, hasta la caldera, la perdida de carga de la tubería de aspiración es de 0.5m, la presión 1 mcc 11  1u 1 2C 2 22uC 2u 2 mC2 2 sm mrpmND u /24.5 60 )1.0)(1000( 60 1   º97.15 /24.5 /5.1 tantan 1 1 1              sm sm Arc u C Arc m  sm mm smmm u D u D u w wD u /48.10 100 )/24.5)(250( 22 ; 2 2 2 2 1 11 1   sm sm sm C uC Cu C Tan m u u m /38.7 º30tan /5.1 /48.10 tan ; 2 2 222 222 2 2      sm sen sm sen C C sm sm Arc C C Arc C C m sm smsm g Cu H m u m u m u /53.7 º49.11 /5.1 º49.11 /38.7 /5.1 tantan;tan 89.7 /8.9 )/38.7)(/48.10( 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 222                 
  • 92. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 92 atmosférica es de 725 torr. El caudal es de 0,25 /s, el diámetro de la tubería es de 400 mm y el coeficiente de cavitación es de 0,1. a. A qué altura geodésica mas se podrá poner colocar la bomba. b. Esquema de la instalación con indicación de la cota del eje de la bomba con respecto al nivel superior del pozo. c. si la presión de la caldera es de 8.2 bar y el eje de la bomba se encuentra debajo del nivel del agua en la caldera ¿cuáles son las pérdidas totales en la impulsión de la bomba? Solución. A) = : Presión absoluta en el nivel superior de aspiración. Presión de saturación del vapor a una temperatura dada. = Perdida de carga en tubería de aspiración. =caída de altura de presión en el interior de la bomba. H= 80m a 90 =0,7011 bar = 70110 Pa y a 90 =965,3 /Kg =0,5 m = =725 torr =96425 Pa Q= 0, 25 /s D= 0, 4 m = Ahora aplicamos el teorema de Bernoulli para encontrar la otra altura que va desde el nivel del tanque donde se está aspirando hasta la caldera. Asumimos que DE = DS por ende vE = vS
  • 93. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 93 Entonces nos queda: ; Tomando el punto de referencia desde el nivel h20 de aspiración donde Zs es la altura geodésica maxima Solución. B) 19.44 Una bomba centrifuga tiene las siguientes características: d2=250mm ; d1=150mm; b1=15mm; =45; cm=constante en todo el rodete; caudal 1500 l/min ; n=1000rpm Calcular a) Angulo de los alabes del rodete de la entrada b) Angulo de los alabes de la corona directriz Solución Consideraciones Si cm es constante en todo el rodete, podemos decir que c1m=c2m Datos
  • 94. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 94 d2=250mm d1=150mm b1=15mm =45 Q=1500 l/min =0.025m3 /s n=1000rpm Tenemos que Q= πb1d1c1m Despejandoc1m c1m= c1m= c1m=3.53m/s Haciendo el triangulo de velocidades para la salida del rodete Tenemos que c2m= w*sen = c1m Con esto podemos concluir que b) el triangulo de velocidades para la entrada del rodete tenemos c1u= u1 - – Donde u1 es la velocidad tangencial o periférica del rodete u1= = 7.85m/s c1u= u1 - –
  • 95. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 95 c1u=7.85 – = 4.32 Entonces c1= c1u 2 + c1m 2 ) = 5.57m/s El ángulo que se forma entre el vector de la velocidad absoluta y la velocidad periférica es = = 39.25 El ángulo de corona directriz es aquel ángulo que se forma entre el vector tangente del alabe w y el brazo del momento flector de c1 W C1 U1 α l Entonces el ángulo de la corona directriz es la sumatoria del ángulo (ángulo de los alabe del rodete el á gulo α Ángulo de la corona directriz= 45+39.29=84.29 19.45. Un grupo moto-bomba de agua tiene las siguientes características: caudal 2000 ; diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión iguales; entre los ejes de las tuberías de aspiración e impulsión hay un desnivel de 1 m; presión en la impulsión de 15 bar; temperatura del agua bombeada 60°C; depresión en la aspiración 200 mbar; rendimiento global del grupo 68%; rendimiento total de la bomba 80%. Calcular: a) Potencia absorbida por la red. b) Potencia de accionamiento de la bomba.
  • 96. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 96 Datos. = 0.68 = 0.80 Q= 2000 m3 /s = 1 m = 20 mm = 15 bar. = 200 mbar. Solución. Para este ejercicio, la densidad del agua será igual a 983.2 kg/ m3 y no 1000 kg/ m3 , debido a que se encuentra a 60°C. Además, se realizó una serie de conversiones de unidades en las presiones y el caudal para facilitar los cálculos: Para determinar la potencia útil, se calculó la altura útil mediante la ecuación de Bernoulli: Donde el valor se desprecia por ser muy pequeño. Por lo que H será: El valor de la potencia útil será: El valor de la potencia absorbida por la red será entonces:
  • 97. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 97 Respuesta a)/: La potencia absorbida por la red es 1249.7 kW. El valor de la potencia accionamiento de la bomba será: Respuesta b)/: La potencia accionamiento de la bomba es 1062.25 kW.
  • 98. Maquinas Hidráulicas. Ingeniería Mecánica. 98 BIBLIOGRAFIA.  Ejercicios Capitulo 19; 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43. (Grupo Kevin Campo Rodríguez).  Ejercicios Capitulo 19; 23, 24, 32, 33, 35, 44, 45. (Grupo Stephanie Vargas).  Ejercicios Capitulo 19; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. (Ejercicios Propuestos Libro Claudio Mataix).