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1
5. Integración
2
3
0 2
Falacias, falacias, ...
π
π
π
π
π
π
π
π
=⋅=
=⋅=
=⋅=
=⋅=
−
−
2
)2/1(2
2
2
)4/1(2
4
2
)2/1(2
2
2
12
1
1
1
3
2
1
n
n
nL
L
L
L

0 1
!!21=
!!lim2 π==
∞→
n
n
L
4
Integrales de línea, de camino o de contorno reales
.cuando0donde
),(lim),(
1
∞→→∆
∆= ∑∫ =
∞→
ns
syxFdsyxF
k
kk
n
k
k
n
B
A
||
→
∆=∆ kk ss
1x∆
→
∆ 1s
→
∆ 2s
→
∆ ns
A
B
),( 11 yx
),( 22 yx
),( nn yx
x
y
5
y
x
2
1 xy −=
0 )0,1(=B
)1,0(=A
xyyxF =),(
...
4
5
)1(4
45
1
...41)1(
),(
0
1
0
1
1
0
22
)0,1(
)1,0(
∫
∫
∫
∫∫
=−
=
−
−
−
=+−
==
dyyy
dy
y
y
yy
dxxxx
xydsdsyxF
B
A
dy
y
y
dy
dy
dx
ds
dxxdx
dx
dy
ds
)1(4
45
1
411
2
2
2
−
−
±=





+±=
+±=





+±=
El signo debe tomarse de modo que ds≥0 para los valores x e y en juego.
En este caso +.
Otra manera:
2
1 xy −=
Camino
6
kk
n
k
k
n
B
A
syxFdsyxF ∆= ∑∫ =
∞→
),(lim),(
1
dx
dy
kx∆
ky∆
λ=
=
)(F
1)(F
x,y
x,y
Interpretación física de las integrales de línea:
Podemos definir las integrales con dx y dy:
∫
B
A
ds
∫
B
A
dsλ
Donde los incrementos de x e y son las proyecciones de los
incrementos de s en el eje x e y respectivamente (observa que
los incrementos de x e y pueden ser positivos o negativos).
7
y
x
2
1 xy −=
0 )0,1(=B
)1,0(=A
xyyxF =),(
4
1
42
)1(
),(
1
0
42
1
0
2
)0,1(
)1,0(
=





−=−
==
∫
∫∫
xx
dxxx
xydxdxyxF
B
A
15
4
1),(
0
1
)0,1(
)1,0(
−=−== ∫∫∫ dyyyxydydyyxF
B
A
yx −= 1
Ejercicio: recalcular las
tres integrales recorriendo el
camino en sentido inverso.
¿Negativo?
Ejemplo:
Camino:
2
1 xy −=
Camino
8
y
x
2
1 xy −=
0 )0,1(=B
)1,0(=A xyyxF =),(
dx
dx
dy
yxFdyyxF
B
A
B
A ∫∫ = ),(),(
15
4
)2)(1(
1
0
2
)0,1(
)1,0(
)0,1(
)1,0(
−=−−
==
∫
∫∫
dxxxx
dx
dx
dy
xyxydy
Calculemos de nuevo
de otra forma:
Repetir para
dx y dx/dy.
9
La integral depende del sentido en los que recorramos el camino C
en los casos de dx y dy:
dyyxFdyyxF
dxyxFdxyxF
A
B
B
A
A
B
B
A
∫∫
∫∫
−=
−=
),(),(
),(),(
Los incrementos de x e y cambian de signo cuando cambia el
sentido de los vectores incremento de s. Pero el diferencial
de s mantiene su signo independientemente del sentido, pues
tomamos el módulo del vector:
||||
→→
∆−=∆=∆ kkk sss
dsyxFdsyxF
A
B
B
A ∫∫ = ),(),(
10
Integrales de línea, de camino o de contorno en el plano complejo
.cuando0donde
)(lim:)(
1
∞→→∆
∆= ∑∫ =
∞→
nz
zzfdzzf k
n
k
k
n
B
A
),(),()( yxivyxuzf
yixz kkk
+=
∆+∆=∆
Observa que la integral NO es el área bajo la curva.
El valor depende del sentido: es una “suma de vectores”.
Los Δz actúan como vectores, no como longitudes.
Si f(z) = 1, ¿qué significa la integral?
1z∆
A
B
1z
2z
nz
x
y
2z∆
nz∆
1x∆
ny∆
11
Conexión entre integrales de línea reales y complejas






+
+





−
=++=
∫∫
∫ ∫
∫∫
CC
C C
CC
dxyxvdyyxui
dyyxvdxyxu
idydxyxivyxudzzf
),(),(
),(),(
])][,(),([)(
Con C indicamos el camino de la integral de línea.
12
[ ]
∫
∫∫
+
==
)(
)(
)(
)(
)](')(')[(
)()(
Bt
At
Bt
At
C
dttiytxtf
dt
dt
dz
tzfdzzf
Integración de funciones complejas parametrizadas
Arco suave C de A a B: )()()( tiytxtz +=
Parametrización continua con t(A) ≤ t ≤ t(B) y con derivadas
x’(t) e y’(t) continuas.
dt
tdy
i
dt
tdx
dt
tdz )()()(
+=
13
.41,,3pordadoestádonde
:Evalúa
2
≤≤−==
∫
ttytxC
dzz
C
idttidttt
dtitittdzz
ittitttzf
ittzitttz
C
651953)92(
)23)(3(que,modoDe
33))((
23)(',3)(
4
1
2
4
1
3
4
1
2
22
2
+=++=
+−=
−=+=
+=+=
∫∫
∫∫
−−
−
Ejemplo:
14
Evalúa
donde C es el contorno de la figura
∫ +
C
dziyx )( 22
C1 está definida por y = x = t, entonces z(t) = t + it,
con 0 ≤ t ≤ 1, z’(t) = 1 + i, f(z(t)) = t2
+ it2
:
∫∫∫ +++=+
21
)()()( 222222
CCC
dziyxdziyxdziyx
idttidtiittdziyx
C 3
2
)1()1)(()(
1
0
22
1
0
2222
1
=+=++=+ ∫∫∫
La curva C2 está definida por x = 1, y = t con 1 ≤ y ≤ 2. Entonces:
z(t) = 1 + it, z’(t) = i, f(z(t)) = 1 + it2
:
iiidziyx
idtidttidtitdziyx
C
C
3
5
3
7
)
3
7
(
3
2
)(
3
7
)1()(
22
2
1
2
1
2
2
1
222
2
+−=+−+=+
+−=+−=+=+
∫
∫∫∫∫
15
Calcular la integral
Donde C es el arco de circunferencia ,
orientado positivamente.
( )∫ +
C
dzzzz2
))arg(0(,1 π<<= zz
( ) ( ) ( )
3
8
3
1
1
1
0
3
0 0
322
−=





+=
=+=+=+
=⇒=
∫ ∫∫
π
θθ
π π θθθθ
θ
θθ
ii
iiii
C
i
ee
deeideiedzzzz
ezz
Examen
SEPTIEMBRE 02/03: P-1
16
17
Camino o contorno simple cerrado
Es un contorno que
genera dos dominios:
uno acotado (interior)
y otro no acotado
(exterior). Ambos
dominios tienen al
contorno como
frontera.
Camino o contorno
no simple cerrado
18
Decimos que la integración se lleva a cabo
en sentido positivo alrededor del contorno
C cuando el interior queda a la izquierda
del sentido de circulación.
∫ ∫≡
C C
dzzfdzzf )()(
Para no recargar con símbolos
Decimos que la integración
se lleva a cabo en sentido
negativo si ocurre lo contrario.
∫ ∫− −
≡
C C
dzzfdzzf )()(
∫∫ −
−=
CC
dzzfdzzf )()(Se cumple que:
19
Propiedades de las integrales de contorno
constante,)()( ≡=∫ ∫ kzdzfkzdzfk
C C
∫∫ ∫ +=+
CC C
zdzgzdzfzdzgzf )()()]()([
,)()()(
21
∫∫ ∫ +=
CC C
zdzfzdzfzdzf
,)()(∫ ∫−
−=
C C
dzzfdzzf
20
Integrar la función
a lo largo de la circunferencia: |z| = r.
zzf /1)( =
Ejemplo
Introducimos un parámetro t
variando entre π20 ≤≤ t
y
x
r
C
[ ]
( )
idti
dteri
re
dt
dt
dz
tzfdzzf
ti
ti
C
π
π
π
π
2
1
)()(
2
0
2
0
2
0
==
=
=
∫
∫
∫∫
ti
retzC =)(:
Nota: podríamos haber usado
( )titrtzC sincos)(: +=
Ejercicio: repetir con esta forma.
i
z
dz
C
π2=∫
21
22
Integrar la función
a lo largo del cuadrado
zzf /1)( =
Ejemplo
Introducir un parámetro t
variando entre 11 +≤≤− t
y
x
i+1
i−1
i+−1
i−−1
1C
3C
2C
4C
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ∫
∫
∫
∫
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
=
+
+
=
−
=+=−=
+
+
=
+
+−
=
−−
=−=−−=
+
+
=
+
−−
=
+−
=−=+−=
+
+
=
+
−
=
+
=+=+=
1
1
2424
1
1
2323
1
1
2222
1
1
2121
1
,
1
1
)(,1,)(:
1
,
1
1
1
1
)(,,1)(:
1
,
1
1
)(,1,)(:
1
,
1
1
1
1
)(,,1)(:
dt
t
it
I
t
it
it
tzf
dt
dz
ittzC
dt
t
it
I
t
it
it
tzfi
dt
dz
titzC
dt
t
it
I
t
it
it
tzf
dt
dz
ittzC
dt
t
it
I
t
it
it
tzfi
dt
dz
titzC
[ ]∫∫ −
=
1
1
)()( dt
dt
dz
tzfdzzf
C
23
y
x
i+1
i−1
i+−1
i−−1
1C
3C
2C
4C
[ ]
( ) ( )[ ]
i
i
ti
dt
t
idt
t
t
dt
t
it
dzzf
C
π
ππ
2
4/4/4
arctan4
1
1
1
4
1
4)(
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
=
−−=
=






+
+
+
=
+
+
=
+
−
−−
−
∫∫
∫∫
i
z
dz
C
π2=∫
0 (integrando impar en
intervalo de integración par)
24
zzf /1)( =
Ejemplo: Repitamos trasladando el circuito de integración.
11 +≤≤− t
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ∫
∫
∫
∫
+
−
+
−
+
−
+
−
+−+
++−
=
+−+
++−
=
−+−
=+=−+−=
+
+
=
+
+−
=
−−
=−=−−=
++
++
=
++
−−−
=
+−−
=−=+−−=
+
−
=
+
−−
=
+−
=+=+−=
1
1
2424
1
1
2323
1
1
2222
1
1
2121
)2(1
)2(
,
)2(1
2
2
1
)(,1,2)(:
9
3
,
9
3
3
1
)(,,3)(:
)2(1
)2(
,
)2(1
2
2
1
)(,1,2)(:
1
,
1
1
1
1
)(,,1)(:
dt
t
it
I
t
it
it
tzf
dt
dz
ittzC
dt
t
it
I
t
it
it
tzfi
dt
dz
ittzC
dt
t
it
I
t
it
it
tzf
dt
dz
ittzC
dt
t
it
I
t
it
it
tzfi
dt
dz
ittzC
[ ]∫∫ −
=
1
1
)()( dt
dt
dz
tzfdzzf
C
x
i+−1
i−−1
i+− 3
i−− 3
1C
3C
2C
4C
y
Integrar la función
a lo largo del cuadradoIntroducir un parámetro t
variando entre
25
Usando las relaciones
22
22
22
)(ln
)(
)(
arctan
1
)(
tba
tba
dttb
a
bt
atba
dt
++=
++
+





 +
=
++
∫
∫
obtenemos
0=∫C
z
dz x
i+−1
i−−1
i+− 3
i−− 3
1C
3C
2C
4C
y
Donde C ahora es el “cuadrado
unitario” anterior desplazado
a la izquierda 2 unidades.
26
27
0≠∫C
z
dzC
i
z
dz
C
π2=∫
C
0≠∫C
z
dzC
0=∫C
z
dz
C
0=∫C
z
dz
C
0=∫C
z
dz
C
Observa que:
28
0≠∫C
z
dzC
0=∫C
z
dz
C
i
z
dz
C
π2=∫
0≠∫C
z
dzC
0=∫C
z
dz
0=∫C
z
dz
C
C
C
29
∫ =
C
dzzf 0)(
C
Teorema integral de Cauchy
Si f (z) es analítica con derivada
continua en todos los puntos
dentro y sobre un contorno cerrado
C, entonces:
0=∫C
z
dz
C
f (z) es analítica en todo punto
excepto en z = 0
0=∫C
z
dze
f (z) es analítica en todo punto
C
Ejemplos:
30
Para demostrar el teorema de Cauchy nos será necesario el
Teorema de Green (1828)
George Green (1793-1841).
Resultado de sus trabajos
en electromagnetismo.
y
Q
x
Q
y
P
x
P
yxQyxP
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
y,,),,(),,(Sean
continuas en en todos
los puntos dentro y sobre un contorno C, entonces:
dxdy
y
P
x
Q
dyyxQdxyxP
C DC ∫ ∫∫∫ 





∂
∂
−
∂
∂
=+ ),(),(
31
{ }
.),(),(
),(),(
),(),(
31
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
10
01
∫∫
∫ ∫
∫
∫∫ ∫ ∫
+
=+
=−−=






∂
∂
−=
∂
∂
−
CC
x
x
x
x
x
x
R
x
x
y
y
dxyxPdxyxP
dxyxPdxyxP
dxyxPyxP
dxdy
y
P
dxdy
y
P
0x 1x
1y
0y
1C
2C
3C
4C
Supongamos que la región R es un
rectángulo como muestra la figura.
⇒== ∫∫ 0),(;0),(
42 CC
dxyxPdxyxP
Puesto que sobre los caminos C2 y C4 no hay variación en x:
32
∫∫∫
∫∫∫∫
=+
++=
∂
∂
−
cCC
CC
R
dxyxPdxyxPdxyxP
dxyxPdxyxPdxdy
y
P
),(),(),(
),(),(
42
31
Repitiendo análogamente para Q(x,y), y teniendo en cuenta que
C3 y C1 no tienen variación en y, obtendremos:
∫∫∫ =
∂
∂
c
R
dyyxQdxdy
y
Q
),(
Y eso completa la demostración para un contorno rectangular
recorrido en sentido positivo.
33
...)()()(
21
++++=+ ∫∫ ∫ CC C
QdyPdxQdyPdxQdyPdx
Podemos usar infinitos rectángulos
para recubrir “exáctamente” el área de R.
1C
2C
Recorriéndolos como indica la
figura superior, se compensan
las integrales en los caminos
“horizontales”...
34
Demostración del teorema integral de Cauchy:
     ∫∫∫∫
∫
++−
=
CCCC
C
dyyxuidxyxvidyyxvdxyxu
dzzf
),(),(),(),(
)(
),(:),(
),(:),(
yxvyxQ
yxuyxP
−=
=
),(:),(
),(:),(
yxuyxQ
yxvyxP
=
=
0=





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
−= ∫∫∫∫ dxdy
y
v
x
u
idxdy
y
u
x
v
DD
0
(Como f(z) es analítica
cumple las ECR)
Como suponemos u(x,y), v(x,y) y sus
derivadas parciales continuas en todos
los puntos dentro y sobre C:
35
36
37
∫ =
C
dzzf 0)(
Teorema integral de Cauchy-Goursat
Si f (z) es analítica en todos los puntos dentro y
sobre un contorno cerrado C, entonces:
Es menos restrictivo que
el teorema integral de
Cauchy. Goursat
demostró el teorema
integral de Cauchy sin
imponer la restricción
alguna sobre la derivada
de f(z).
Edouard Jean-Baptiste Goursat
(1838 – 1936)
38
?
cos
1
2
=∫C
dz
z
f (z) es no analítica en z = ± π/2, ±3π/2, ...
0
3
sin3
1
=
−∫C
z
dz
z
ze
2C
1C 0
cos
1
1
=∫C
dz
z
f (z) es no analítica
en z = 3
?
3
sin3
2
=
−∫C
z
dz
z
ze
Ejemplos
1C
2C
0
)sin(
1
=∫ dz
zC
π
No es analítica en
los puntos
z = 0, ±1, ± 2,...
0 1 2-1-2
C2i
39
Para demostrar el teorema de Cauchy-Goursat emplearemos la
desigualdad ML:
MLdzzf
C
≤∫ )(
longitud
de C
cualquier número tal que
sobre CMzf ≤)(
Demostración:
∞→→∆
∆≡ ∑∫ =
∞→
nz
zzfdzzf k
n
k
k
n
C
cuando0donde
)(lim)(
1
Cotas para integrales
de línea.
40
C.delongitudlaesLdonde;lim
1
Lzdz
n
k
k
n
C
=∆≡ ∑∫ =
∞→
Observemos que si |f(z)|=1, entonces:
Por la desigualdad triangular, tenemos:
∫∑∑∫ =∆≤∆=
=
∞→
=
∞→
C
k
n
k
k
n
k
n
k
k
n
C
dzzfzzfzzfdzzf )()(lim)(lim)(
11
∫∫ ≤
CC
dzzfdzzf )()(
41
Supongamos que: si z es un punto de C.
Entonces:
MLzMzzf
zzfdzzf
n
k
k
n
k
n
k
k
n
k
n
k
k
n
C
=∆≤∆
≤∆=
∑∑
∑∫
=
∞→
=
∞→
=
∞→
11
1
lim)(lim
)(lim)(
MLdzzf
C
≤∫ )(
Mzf ≤)(
Desigualdad ML
42
Ejemplo:
Encuentra una cota superior para el valor absoluto de:
donde C es el círculo |z| = 4.
zd
z
e
C
z
∫ +1
Puesto que |z +1| ≥ |z| − 1 = 3, entonces:
Además, |ez
| = ex
, con |z| = 4, y tenemos
que el máximo valor de x es 4. Así:
31
4
e
z
ez
≤
+
3
8
1
4
e
zd
z
e
C
z
π
≤
+∫
3
||
1||
||
1
zzz
e
z
e
z
e
=
−
≤
+
RL
Mzf
π2
)(
=
≤
43
Demostrar la siguiente desigualdad:
4
Log
2
π
≤∫Γ
zdz
Im (z)
Γ
1
Re (z)
Respuesta.
L: longitud del arco:
M: max |Log z|Γ
MLzdz ≤∫Γ
Log
2
π
=L
2
2
0,Log
arglnLog
π
π
θθ
=
≤≤=
+=
Γ
M
iz
zizz
4
Log
2
π
≤∫Γ
zdz
44
45
A
4∆
3∆2∆
1∆
B
C
DE
F
Demostración del teorema de
Cauchy-Goursat para camino
triangular cualquiera:
Sea el camino triangular ABCA.
Trazamos un triángulo auxiliar
EFD a partir de los puntos
medios
de los lados del triángulo ABC.
Entonces:
dzzfdzzfdzzfdzzf
dzzf
ABCA
∫∫∫∫
∫
∆∆∆∆
+++
=
4321
)()()()(
)(
E = (A+B)/2; F = (B+C)/2; D=(C+A)/2
46
dzzfdzzfdzzfdzzfdzzf
ABCA
∫∫∫∫∫ ∆∆∆∆
+++≤
4321
)()()()()(
Aplicando la desigualdad triangular:
dzzfdzzf
ABCA
∫∫
∆
≤
1
)(4)(
Sea },,,max{: 4321
1
∆∆∆∆=∆
Entonces:
Repitiendo el proceso con el triángulo
1
∆
dzzfdzzf
ABCA
∫∫
∆
≤
2
)(4)( 2
47
Después de n pasos, tendremos:
dzzfdzzf
n
n
ABCA
∫∫
∆
≤ )(4)(
Hemos construido una sucesión de triángulos encajados:
n
ABC ∆∆∆∆∆ ,...,,,, 321
gracias al principio de Cantor de compactos encajados:
existe un punto z0 que pertenece a todos ellos.
Y puesto que z0 está dentro o sobre ∆ABC , y como por el enunciado
f(z) es analítica en z0. Entonces:
))(())(()()( 0000 zzzzzzfzfzf −+−′+= η
recordemos que η(z) depende de z y que η(z)→0 cuando z→ z0; es
decir, que para todo ε>0 podemos encontrar un δ tal que η(z)<ε
siempre quez - z0<δ.

∞
=
=∆
1
0}{
n
n
z
48

∫∫∫
∫
∆∆∆
∆
=−+−′+
=
nnn
n
dzzzzdzzzzfdzzf
dzzf
))(()()()(
)(
0
0
00
0
0 η

1)( =zg 0)( zzzg −=
Integrandos g(z) analíticos con primeras derivadas
continuas. Podemos aplicar teorema integral de Cauchy.
∫∫
∆∆
−=
nn
dzzzzdzzf ))(()( 0η
49
Si P es el perímetro de ∆ABC , entonces el perímetro ∆n será:
nn
P
P
2
=
n∆
z
0z
δ<=≤− nn
P
Pzz
2
|| 0

L
n
M
n
PP
dzzzdzzf
nn 22
)()( 0 ⋅⋅≤−= ∫∫
∆∆ 
εη
Usando la desigualdad ML:
n
P
dzzf
n 4
)(
2
ε
=∫
∆
50
Teníamos:
dzzfdzzf
n
n
ABCA
∫∫
∆
≤ )(4)(
2
2
4
4)( P
P
dzzf n
n
ABCA
ε
ε
=≤∫
0)( =∫ABCA
dzzf
Y como ε se puede tomar arbitrariamente pequeño, entonces:
51
Puesto que todo polígono cerrado se puede
triangular, aplicando el teorema de
Couchy-Goursat a cada
triángulo podemos
demostrar el teorema
para un polígono
cerrado arbitrario.
A
B
C D
E
nzz =0
1z
2z
1−nz
Intentaremos aproximar
una curva arbitraria a través
de un polígono cerrado P de
vértices z0, z1,z2, ... zn-1, zn= z0,
tal y como hicimos para
definir la integral de línea
compleja.
52

nS
k
n
k
k
nC
zzfdzzf ∆= ∑∫ =
∞→
)(lim)(
1
Recordemos que: Para n finito, estamos
aproximando la curva
cerrada con un polígono
P cerrado de n lados y
de perímetro Sn.
n
C
n
C
SSdzzfdzzf +−=∫∫ )()(
Obviamente:
n
C
n
C
SSdzzfdzzf +−≤ ∫∫   
)()(
Usando la desigualdad triangular:
1 2
Acotaremos y1 2
53
∫ −
C
nSdzzf )(Comencemos con 1
∫=
∞→ C
n
n
dzzfS )(:lim
Entonces, dado cualquier ε > 0 existe un número N(ε) tal que
para n > N(ε):
2
)(
ε
<−∫C
nSdzzf
54
0)}()()({
...)}()()({
)}()()({
)(...)()(
0)(
1
2
1
1
0
1
2
1
1
0
22
11
=+−
+++−
++−
=+++=
=
∫
∫
∫
∫∫∫
∫
−
−
n
n
n
n
z
z
nn
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
P
dzzfzfzf
dzzfzfzf
dzzfzfzf
dzzfdzzfdzzf
dzzf
nSSigamos con acotemos:2
55



n
n
n
n
n
z
z
z
n
z
z
n
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
dzzfdzzfzf
dzzfdzzfzf
dzzfdzzfzf
∆
∆
∆
∫∫
∫ ∫
∫∫
−−
+−
+++−
++−=
11
2
1
2
2
1
1
1
0
1
0
)()}()({
...)()}()({
)()}()({0
22
11
0)}()({
...)}()({)}()({
1
2
1
1
0
21
=+−
++−+−
∫
∫∫
−
n
z
z
n
z
z
z
z
Sdzzfzf
dzzfzfdzzfzf
n
n
56
∫
∫∫
−
−
++−+−=
n
n
z
z
n
z
z
z
z
n
dzzfzf
dzzfzfdzzfzfS
1
2
1
1
0
)}()({
...)}()({)}()({ 21
∫
∫∫
−
−
++−+−≤
n
n
z
z
n
z
z
z
z
n
dzzfzf
dzzfzfdzzfzfS
1
2
1
1
0
)}()({
...)}()({)}()({ 21
Utilizando la desigualdad triangular:
Multiplicando por –1 y cambiando el signo de los integrandos:
57
∫ −
−
k
k
z
z
k dzzfzf
1
)}()({
Para cada una de las k integrales
(k=1,2, ..., n) usaremos la
desigualdad ML.
Observemos que la “longitud” de cada integral es:
1
1
−−=∫ −
kk
z
z
zzdz
k
k
Puesto que la curva cerrada que integramos es suave, podemos
tomar el N(ε) de lo suficientemente grande como para que
con n > N(ε) la distancia entre f(zk) y f(z) esté por debajo de ε/2P,
para todo k, donde P es el perímetro de la curva cerrada. Así
podemos acotar todos los integrandos:
P
zfzf k
2
)()(
ε
<−
1
58
De modo que:
∫
∫∫
−
−
++−+−≤
n
n
z
z
n
z
z
z
z
n
dzzfzf
dzzfzfdzzfzfS
1
2
1
1
0
)}()({
...)}()({)}()({ 21
Teníamos:
{ }
2
...
2
11201
εε
=−++−+−≤ −
   P
nnn zzzzzz
P
S
59
ε
εε
=+<+−≤ ∫∫ 22
)()( n
C
n
C
SSdzzfdzzf
Recopilando:
Puesto que ε es arbitrario, entonces:
0)( =∫C
dzzf
60
61
Ejercicio
62
63
Principio de deformación de contornos
(Teorema integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo).
∫∫ =
21
)()(
CC
dzzfdzzf
Supongamos que f (z) es analítica en un dominio doblemente
conexo D así como en las curvas que lo limitan.
Entonces:
D
1C
2C
Recordatorio: Un dominio es un conjunto abierto
conexo (no incluye los puntos frontera).
Nota: Simplemente conexo significa 1 contorno (y 0 agujeros)
Doblemente conexo significa 2 contornos (y 1 agujeros)
Triplemente conexo significa 3 contornos (y 2 agujeros) ...
Sentido negativo
64
0)(
21
∫ +++
=
BACABC
dzzf
1C
2C
A
B
∫∫
∫∫
+
++=
BAC
ABC
dzzfdzzf
dzzfdzzf
)()(
)()(
2
1
∫∫ −=
BAAB
dzzfdzzf )()(Como:
0)()(
21
=+ ∫∫ CC
dzzfdzzf
0)(
21
∫+=
=
CCC
dzzf
Sentido positivo
Nota: Observa que los sentidos en que se
recorren los circuitos en este dibujo y el
anterior, no son los mismos...
65
∫∫ =
21 C
z
C
z
dzedzeEjemplo 1:
1C
2C
D
(¡obvio!)
∫∫ =
21
11
CC
dz
z
dz
z
Ejemplo 2: (no tan obvio)
66
0)(,0)(
***
== ∫∫ cc
dzzfdzzf
Otra demostración
Introduzcamos dos cortes,
L1 y L2 ,que unen los dos
contornos.
Sean C*
y C**
los dos nuevos
contornos cerrados indicados
por las flechas (1-2-3-4)
y (5-6-7-8), respectivamente.
1L
2L
**
C
*
C
1 2
3
4
5
6
7
8
Inicio
y
x
Ahora f (z) es analítica sobre y dentro
de C*
y C**
. Por el teorema Integral de Cauchy:
67
Integramos alrededor del dominio D,
a lo largo de 1-2-3-4-5-6-7-8. Así:
∫∫
∫∫
∫∫∫
−=
+=
+=
−−−
−−−−
21
***
)()(
)()(
)()()(
8,63,1
8765
4321
CC
CC
dzzfdzzf
dzzfdzzf
dzzfdzzfdzzf
Las integrales a lo largo de
L1 y L2 se anulan
Pero como las integrales a lo largo de C*
y C**
son cero,
entonces:
0)()(
21
=− ∫∫ CC
dzzfdzzf
con lo que se demuestra el enunciado.
1L
2L
**
C
*
C
1 2
3
4
5
6
7
8
Inicio
y
x
68
¿Por qué se denomina principio de deformación de contornos?
Si uno de los contornos puede
transformarse en el otro mediante
una deformación continua y sin
cruzar ninguna singularidad de
f(z), entonces:
∫∫ =
21
)()(
CC
dzzfdzzf
y
x
i+1
i−1
i+−1
i−−1
1C
3C
2C
4C
i
z
dz
C
π2=∫
Recordemos:
69
Así que como la integral
de f(z) = 1/z a lo largo de un
círculo de radio r es 2πi:
A partir del teorema integral de Cauchy
para dominios doblemente conexos
vemos que la integral de f(z) = 1/z a lo
largo de cualquier camino que contenga
este círculo es también 2πi.
1C
2C
r
idz
zC
π2
1
1
=∫
z
1 es analítica
aquí
Ejemplo
70
∫ +C
dz
zz
dz
)9( 22
Evaluar la integral
f (z) presenta singularidades en z = 0 y z = ±3i. Esos puntos están fuera
de la región sombreada como muestra la figura. Así:
donde C es un círculo de
radio 2, centrado en 0, descrito
en sentido positivo y un círculo
de radio 1, centrado en 0,
descrito en sentido negativo.
0
)9( 22
=
+∫C
dz
zz
dz
Ejemplo
C
0
3i
-3i
1 2
71
Teorema de Cauchy-Goursat para dominios
múltiplemente conexos
∫ ∑ ∫=
=
C
n
k
Ck
zdzfdzzf
1
)()(
Supongamos que C, C1, …, Cn
son curvas cerradas simples con
orientación positiva, tales que
C1, C2, …, Cn son interiores a C
pero las regiones interiores a
cada Ck, k = 1, 2, …, n, no
tienen puntos en común. Si f es
analítica dentro y sobre el
contorno C, sin el interior de
todos los Ck, k = 1, 2, …, n,
entonces:
72
2C
1C
D
3C
No es necesario que los caminos cerrados no se corten, es decir
que formen anillos. Por ejemplo:
Imaginemos que f(z) es analítica
en todos los puntos del dominio
D de la figura. Tanto C2 como
C3 forman anillos con C1.
Por deformación de
contornos:
∫∫
∫∫
=
=
31
21
)()(
)()(
CC
CC
dzzfdzzf
dzzfdzzf
∫∫ =
32
)()(
CC
dzzfdzzf
73
Ejercicio: Se sabe que una cierta función es f(z) es analítica en todo el plano
complejo salvo en los puntos z = 1, z = 2 y z = 3, y que
3,2,1,)( ==∫ kadzzf
kC
k
siendo Ck : |z – k| = ½, orientado en sentido positivo.
Calcular , siendo Γi cada uno de los siguientes
contornos orientados positivamente:
(1) Γ1 : |z| = 4, (2) Γ2 : |z| = 5/2 y (3) Γ3 : |z – 5/2| = 1
∫Γi
dzzf )(
Respuesta:
Por el teorema de Cauchy-
Goursat en dominios
múltiplemente conexos:
32
21
321
3
2
1
)(
)(
)(
aadzzf
aadzzf
aaadzzf
+=
+=
++=
∫
∫
∫
Γ
Γ
Γ
74
y
x
C
i+1
0
Integremos la función a lo largo de
la recta C, que une los puntos 0 y 1+ i.
zzf =)(
(1) Representar C en la forma z(t):
( )10)( ≤≤+= ttittz
[ ]
[ ] 12)(
)1)(()()(
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
===+−+
+−==
∫∫
∫∫∫
ttdtdttittit
dtititdt
dt
dz
tzfdzzf
C
(2) Integramos: i
dt
dz
+=1
Independencia del camino de integración
75
zzf =)(
y
x
i+1
0
2C
1C
( )10)( ≤≤= tttz
[ ]
[ ] 2
11
0
2
2
1
1
0
1
0
)1)((
)()(
===
=
∫
∫∫
tdtt
dt
dt
dz
tzfdzzf
C
A lo largo de C2: ( )101)( ≤≤+= ttitz
[ ]
[ ] ititdtitdtiti
dt
dt
dz
tzfdzzf
C
+=+=+=−=
=
∫∫
∫∫
2
1
1
0
2
2
1
1
0
1
0
1
0
)())(1(
)()(
Ejemplo
Integrar la función a largo del camino C = C1 + C2
que une los puntos 0 y 1+ i, como muestra la figura:
A lo largo de C1:
1
76
1=∫C
dzz
y
x
i+1
0
iidzz
C
+=





++=∫ 1
2
1
2
1
¿El valor de la
integral entre dos
puntos depende
siempre del camino?
77
y
x
C
i+1
0
Repitamos pero con a lo largo de
la recta C, que unía los puntos 0 y 1+ i.
zzf =)(
(1) Representar C en la forma z(t):
( )10)( ≤≤+= ttittz
[ ]
[ ] iittdti
dtititdt
dt
dz
tzfdzzf
C
===
++==
∫
∫∫∫
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
)1)(()()(
(2) Integramos:
78
zzf =)(
y
x
i+1
0
2C
1C
( )10)( ≤≤= tttz
[ ]
[ ] 2
11
0
2
2
1
1
0
1
0
)1)((
)()(
===
=
∫
∫∫
tdtt
dt
dt
dz
tzfdzzf
C
A lo largo de C2: ( )101)( ≤≤+= ttitz
[ ]
[ ] ititdtitdtiti
dt
dt
dz
tzfdzzf
C
+−=+−=+−=+=
=
∫∫
∫∫
2
1
1
0
2
2
1
1
0
1
0
1
0
)())(1(
)()(
Ejemplo
Repitamos de nuevo con la función , pero ahora a largo
del camino C = C1 + C2 que une los puntos 0 y 1+ i:
A lo largo de C1:
1
79
izdz
C
=∫
y
x
i+1
0
iizdz
C
=





+−+=∫ 2
1
2
1
Ahora el valor de la
integral no depende
del camino.
¿Qué diferencias hay
entre f(z) = z y f(z)= ?z
80
Integrar la función a lo largo del camino C
uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura
2
)( zzf =
Otro ejemplo
( )1022)( ≤≤+−= titttz
[ ]
[ ]
[ ]
)219(
3
1
)3/8(1)21(
)84()443()21(
)21()22(
)()(
1
0
22
1
0
2
1
0
i
ii
dtttitti
dtitit
dt
dt
dz
tzfdzzf
C
+−=
++−=
+−++−−+−=
+−+−=
=
∫
∫
∫∫
y
x
i21+
0
C
2
81
Integrar la función a lo largo del camino C = C1+ C2
uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura
2
)( zzf =
Otro ejemplo
( )202)( ≤≤−= tttz
3
8
)44(
)1()2()(
2
0
2
2
0
2
−=−+−=
−−=
∫
∫∫
dttt
dttdzzf
C
y
x
i21+
0 21C
2C
A lo largo de C1:
( )102)( ≤≤+= ttittzA lo largo de C2:
idtti
dtititdzzf
C
3
2
3
11
)211(
)21()2()(
1
0
2
1
0
2
−−=−−=
++=
∫
∫∫
82
3/)219(2
idzz
C
+−=∫
y
x
i21+
0
3/)219(2
idzz
C
+−=∫
El valor de la integral
a lo largo de los dos
caminos es el mismo.
2
¿Coincidencia?
83
Independencia del camino
1z
2z
1C
2C
0)()(
21
=+ ∫∫ CC
dzzfdzzf
Supongamos que f (z) es analítica en
un dominio simplemente conexo D
D
(por el teorema integral de Cauchy)
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
delargoloadelargoloa
delargoloadelargoloa
delargoloadelargoloa
)()(
)()(
0)()(
C
z
z
C
z
z
C
z
z
C
z
z
C
z
z
C
z
z
dzzfdzzf
dzzfdzzf
dzzfdzzf
∫∫
∫∫
∫∫
=
−=
=+
84
Recuerda el potencial gravitatorio:
La energía potencial gravitatoria = m g h
es independiente del camino...
masa m
altura h
85
Ejemplo: f(z)=|z|2
2
||)( zzf =
x
1
i
1+i
L0
L1
L2
y
101:
100:
10:
2
1
0
≤≤==
≤≤==
≤≤==
ttyxL
tytxL
ttytxL
3
4
3
)1(|1|:
3
1
||:
3
)1(2
)1(|1|)1(||:
1
0
2
1
0
2
22
1
0
2
1
0
2
11
1
0
22
1
0
2
00
ii
iidttidtitIL
dttdttIL
i
dttiidtiittIL
=+=+=+=
===
+
=++=++=
∫∫
∫∫
∫∫
Observa que L0 ≠ L1+L2
86
Ejemplo: f(z)=z2
2
)( zzf =
x
1
i
1+i
L0
L1
L2
y
101:
100:
10:
2
1
0
≤≤==
≤≤==
≤≤==
ttyxL
tytxL
ttytxL
3
32
)21()1(:
3
1
:
3
22
)1()1()(:
1
0
2
1
0
2
22
1
0
2
11
1
0
23
1
0
2
00
−
=+−=+=
==
−
=+=++=
∫∫
∫
∫∫
i
idttitidtitIL
dttIL
i
dttidtiittIL
Observa que L0=L1+L2
87
y
x
144
=+ yx
0 1
i
Ejemplo: calcular
dz
z
i
∫1
1
A lo largo del camino C1:
Como f(z) = 1/z es analítica en
todo el plano complejo excepto
en z = 0. Podemos utilizar un
camino más sencillo C2 (|z| = 1).
[ ]
( ) 2
1
)()()(
2/
0
2/
021
π
θ
θ
θ
θ
π
θ
θ
π
i
dei
e
d
d
dz
zfdzzfdzzf
i
i
CC
==
==
∫
∫∫∫
2C
1C
88
1z
2z1C
2C
Si los caminos se cruzan, podemos hacer lo
mismo para cada bucle, utilizando como puntos
intermedios los puntos de intersección.
89
Si f es analítica en D entonces:
0)()(
1
=+ ∫∫ −CC
zdzfzdzf
∫∫ =
1
)()(
CC
zdzfzdzf
90
Independencia del camino
Consideremos la integral dzzf
z
z
∫
1
0
)(
Si F (z) es analítica en un dominio simplemente conexo D, con
derivada dF/dz = f(z) y, z0 y z1 están en D, entonces la integral
de f(z) entre z0 y z1 es independiente del camino en D.
)()()( 01
1
0
zFzFdzzf
z
z
−=∫ donde )(zf
dz
dF
=
0z
1z
)219(
3
1
33 2
3
21
321
2
2
i
zz
dzz
ziz
i
+−=−=
=+=
+
∫p.ej.
De modo que podemos hablar de primitivas o antiderivadas como en variable real:
91
Ejemplos
(1)
i
ii
zdzz
i
i
i
i
097.23
sinh2)sin(2
sincos
=
==
=
+
−
+
−
∫
ππ
π
π
π
π
todo el plano
complejo
C
(2) ?
1
0
=∫
+
dzz
i
( f (z) es no analítica en todo punto -
depende del camino)
(3) i
z
dz
z
i
i
i
i
2
11
2
=−=
+
−
+
−
∫ f (z) analítica en
este dominio
(ambas 1/z2
y 1/z son no analíticas en z = 0
- el camino de integración C debe eludir el punto)
92
.sobreconstanteserá)(entoncesanalítica)es)((y
,dominiounen0)('Si
Dzfzf
Dzf =
Diyxbayxf
Diyxbyxvayxu
vuvu
vuvu
vuivuzf
yyxx
xyyx
xxxx
∈+∀+=→
∈+∀==→
====→
−==
==→=+→=
)(i),(
)(),(y),(
0
y
0y000)('
:Prueba
constante.unasalvoúnicaes)(dedaantiderivaoprimitivaLa zf
( )
.)()(.)()(quemodoDe
).(-)(diferenciasueslotambién,definiciónpor
analíticasson)(y)(quePuesto0.G(z)-F(z)
).(dediferentesprimitivasdos)(y)(Sean
:Prueba
CtezGzFCtezGzF
zGzF
zGzF
dz
d
zfzGzF
+=→=−
=
93
94
y
x
0 1
i
1C
1−
x0
1
2C
1−
y
( )
πθ
θ
π
π
θ
θ
idi
dei
e
dz
z
i
i
C
∫
∫∫
−=
==
0
0
11
1
( )
πθ
θ
π
π
θ
θ
idi
dei
e
dz
z
i
i
C
∫
∫∫
−
−
=
==
0
0
11
2
¿Por qué en este caso la integral depende del camino?
95
y
x
0 1
i
1C
1−
ππ ii
ii
zdz
z
dz
zC
−=−
=−−−−+
=== −
−
∫∫
)0(
)1arg(|1|log)1arg(|1|log
log
11 1
1
1
11
Intentemos definir F(z) = Ln z
como primitiva. En este caso
una posible primitiva es:
Corte
Punto de
ramificación
2/3arg2/-con
arg||loglog
ππ <<
+=
z
zizz
96
x
0 1
2C
1−
y
CortePunto de
ramificación
πππ ii
ii
zdz
z
dz
zC
=−
=−−−−+
=== −
−
∫∫
)2(
)1arg(|1|log)1arg(|1|log
log
11 1
1
1
12
2/5arg2/con
arg||loglog
ππ <<
+=
z
zizz
Intentemos definir una
primitiva para este caso.
Observe que NO puede ser
la misma que en el caso anterior:
Y tomemos los
cortes como los
tomemos, siempre
obtendremos este
resultado.
97
98
99
Más sobre integración en contornos cerrados...
Podemos usar el teorema Integral de Cauchy para integrar
funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean:
(a) analíticas, o
(b) analíticas en ciertas regiones
Por ejemplo,
0=∫C
z
dz
C
f (z) es analítica en todo punto
excepto en z = 0
Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular?
C
?=∫C
z
dz
100
)(2
)(
0
0
zfidz
zz
zf
C
π=
−∫
Fórmula Integral de Cauchy
Sea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D.
Para cualquier punto z0 en D y cualquier contorno cerrado C
en D que incluya z0:
D
0z
C
101
Ejemplo
Ilustremos la fórmula integral de Cauchy para el caso de
f (z) = 1 y z0 = 0
00 =z
C D
La fórmula integral de Cauchy
iidz
zC
ππ 212
1
=×=∫
f (z) es una función constante,
es entera, así que C puede ser cualquier
contorno cerrado en el plano complejo
conteniendo z = 0.
)(2
)(
0
0
zfidz
zz
zf
C
π=
−∫
se convierte en
102
Ejemplo
∫ −C
dz
z
z
2
2
Evaluar la integral donde C es
20 =z
z = 2 es un punto singular en el interior a C.
se convierte en:
21 =−z
)(2
)(
0
0
zfidz
zz
zf
C
π=
−∫
La fórmula integral de Cauchy
ππ 842
2
2
iidz
z
z
C
−=×−=
−
−∫
f (z) es analítica en todo punto de
modo que C puede ser cualquier
contorno en el plano complejo
conteniendo el punto z = 2.
103
0C
C
0z
z
θi
er0
Demostración no rigurosa de
la fórmula integral de Cauchy:
Por el principio de deformación
de contornos:
∫∫ −
=
− 0 00
)()(
CC
dz
zz
zf
dz
zz
zf
θθ
π
θθ
π
θ
θ
derzfideir
er
erzf
dz
zz
zf ii
C
i
i
∫∫ ∫ +=
+
=
−
2
0
000
2
0
0
00
0
)(
)()(
0
θθ
θ
ii
eir
d
dz
erzz 000 ; =+=
Cambio de
variable:
104
Hemos tomado un r0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente
pequeño:
)(2)(
)()(lim
0
2
0
0
2
0
0
2
0
00
00
zifdzif
dzfiderzfi i
r
πθ
θθ
π
ππ
θ
=
==



 +
∫
∫∫→
)(2
)(
0
0
zfidz
zz
zf
C
π=
−∫
¿Qué no es riguroso aquí?
105
0C
C
0z
z
θi
er0
Demostración de la fórmula
integral de Cauchy. Por el
principio de deformación
de contornos:
∫∫ −
=
− 0 00
)()(
CC
dz
zz
zf
dz
zz
zf
  
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
00
0
)()(1
)(
)()()()(
I
C
I
C
C
C
dz
zz
zfzf
dz
zz
zf
dz
zz
zfzfzf
dz
zz
zf
∫∫
∫ ∫
−
−
+
−
=
−
−+
=
−
106
∫∫ ∫ ===
−
=
π
θ
π
θ
πθθ
2
0
0
2
0
00
1 2
11
0
idideir
er
dz
zz
I i
C
i
∫ −
−
=
0
0
0
2
)()(
C
dz
zz
zfzf
IVamos a encontrar una cota ML para
02 rL π=
M
zz
zfzf
zz
zfzf
≤
−
−
=
−
−
0
0
0
0
)()()()(
Tenemos:
Y necesitamos M tal que:
Para todo z en C0 : 00 rzz =−
Como f(z) es continua en z0: δε <−<− 00 )()( zzsizfzf
Si tomamos εδ <−⇒≤ )()( 00 zfzfr
para todo z sobre C0.
107
εππ
ε
22
)()(
0
00
0
2
0
==≤
−
−
= ∫ r
r
MLdz
zz
zfzf
I
C
Ya podemos aplicar la desigualdad ML: para
02 rL π=
M
rr
zfzf
zz
zfzf
≡≤
−
=
−
−
00
0
0
0 )()()()( ε
Epsilon puede ser tan pequeño como queramos (de hecho
reducirlo es reducir el radio r0. Así que: 00 22 =⇒= II
)(2
)()(1
)(
)(
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
1
0
zifdz
zz
zfzf
dz
zz
zfdz
zz
zf
I
C
iI
C
C
π
π
=
−
−
+
−
=
−
==
∫∫∫
  
108
)(2
)(
0
0
zfidz
zz
zf
C
π=
−∫
Ejemplos
Evaluar las siguientes integrales:
∫ −C
iz
dz
(1) donde C es el círculo |z |=2
iz =0
1)( =zf
f (z) es analítica en D y C incluye z0
1)( 0 =zf
C
i
D
i
iz
dz
C
π2=
−∫
109
)(2
)(
0
0
zfidz
zz
zf
C
π=
−∫
∫ +C
z
dz
12
(2) donde C es el círculo |z+i |=1
Necesitamos un término en la forma 1/(z- z0) así que rescribimos la
integral como:
En primer lugar, notemos que 1/(z2
+1) presenta
puntos singulares en z =± i.
El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i.
Ese es nuestro punto z0 en la fórmula
Ci−
i+
D
dz
iz
iz
iziz
dz
z
dz
CCC
∫∫∫ +
−=
−+
=
+
1
))((12
110
π−=
+
→ ∫C
z
dz
12
)(2
)(
0
0
zfidz
zz
zf
C
π=
−∫
iz −=0
Ci−
i+
D
iz
zf
−
=
1
)(
2/)( 0 izf =
dz
iz
iz
iziz
dz
z
dz
CCC
∫∫∫ +
−=
−+
=
+
1
))((12
111
Evaluar
donde C es el círculo |z – 2i | = 4.
Solución
Solo z = 3i está dentro de C, y
iz
iz
z
z
z
3
3
92
−
+=
+
zd
z
z
C∫ + 92
:entonces,
3
)(Sea
iz
z
zf
+
=
i
i
i
iifizd
iz
iz
z
zd
z
z
CC
πππ ===
−
+=
+ ∫∫ 6
3
2)3(2
3
3
92
112
Otro ejemplo
)(2
)(
0
0
zfidz
zz
zf
C
π=
−∫
Fórmula integral de Cauchy:
se convierte en
i
C
z
iedz
iz
e −
=
+∫ π2
iz −=0
C D
∫ +C
z
dz
iz
e
Evaluar donde C es cualquier contorno cerrado
conteniendo z = -i
f (z) es analítica en todo punto
113
∫ −C
z
dz
14
C
i−
i+
1− 1+
Tenemos que
∫∫ −+−+
=
− CC
izizzz
dz
z
dz
))()(1)(1(14
El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i.
Ese es nuestro punto z0 en la fórmula
∫∫ −
=
− CC
dz
iz
zf
z
dz )(
14
))(1)(1(
1
)(
izzz
zf
+−+
=donde
4)2)(1)(1(
1
)()( 0
i
iii
ifzf =
−+
==Ahora
2
)(2
)(
1
0
0
4
π
π −==
−
≡
−
→ ∫∫ zfidz
zz
zf
z
dz
CC
donde C es el círculo |z+i |=1
114
∫ −C
z
dzz
1
tan
2 donde C es el círculo |z |=3/2
tan z es no analítica en ±π/2, ±3π/2, …, pero esos
puntos están fuera de nuestro contorno de
integración
C incluye dos puntos singulares, z = ±1.
Para poder usar la fórmula integral de Cauchy,
debemos tener sólo un punto singular z0 dentro de C.
C
1−
1+2/3π− 2/π
Usaremos fracciones parciales:
)1)(1(
)1()1(
111
1
2
+−
−++
=
+
+
−
=
− zz
zBzA
z
B
z
A
z
2/1,2/1
1
0)(
−==→
=−
=+
→ BA
BA
zBA
115
∫∫∫ +
−
−
=
− CCC
dz
z
z
dz
z
z
dz
z
z
1
tan
2
1
1
tan
2
1
1
tan
2
C
1−
1+ 2/π
1tan)(
tan)(
1
0
0
=
=
+=
zf
zzf
z
)1tan()(
tan)(
1
0
0
−=
=
−=
zf
zzf
z
[ ] iidz
z
z
C
785.9)1tan()1tan(
2
1
2
1
tan
2
≈−−×=
−∫ π
116
117
118
119
120
121
( ) 0
!
2)(
1
0 z
n
n
C
n
dz
fd
n
i
dz
zz
zf π
=
−∫ +
Por ejemplo,
Se pueden tratar funciones más complicadas con potencias de z-z0,
con la fórmula:
Nota: cuando n=0 tenemos la
Fórmula Integral de Cauchy: 0
)(2
)(
0
z
C
zfidz
zz
zf
π=
−∫
Generalización de la fórmula integral de Cauchy
( )
[ ]
( )
[ ]
∫∫
=−=
=
−
−
=
+
−
C zzC
dz
zd
idz
z
z
dz
zzd
idz
z
zz
2
2
2
3
1
2
2
2
00
cos
2
cos
,
3
2
1
3
ππ
f analítica en y dentro
de C, z0 dentro de C
Esta fórmula también es conocida como la “formula para las
derivadas de una función analítica.”
122
( ) 0
!
2)(
1
0 z
n
n
C
n
dz
fd
n
i
dz
zz
zf π
=
−∫ +
Tomando f(z0) como una función de variable z0. Derivando
con respecto a z0 y aplicando la regla de Leibnitz:
Partamos de la fórmula integral de Cauchy: ∫ −
=
C
dz
zz
zf
i
zf
0
0
)(
2
1
)(
π
Demostración de la generalización de
la fórmula integral de Cauchy
( )∫
∫
∫
−
=





−
=





−
=
C
C
C
dz
zz
zf
i
dz
zzdz
d
zf
i
dz
zz
zf
idz
d
zf
dz
d
2
0
00
00
0
0
)(
2
1
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
π
π
π Usar el mismo
procedimiento para
demostrar por inducción:
123
La generalización de la fórmula integral de Cauchy nos
muestra algo excepcional:
Si una función f(z) es analítica en cierto dominio, entonces
posee derivadas de todos los órdenes en dicho dominio. Y
estas derivadas son a su vez también analíticas en el
dominio.
Sea f(z) una función definida en todo punto de un entorno de z0. Si f(z)
no es analítica en z0 es imposible encontrar una función F(z) tal que
dF/dz = f(z) en todo punto del entorno. De existir F(z) sería analítica y
por la fórmula generalizada de Cauchy, su segunda derivada df/dz
existiría en todo punto del entorno considerado. Y entonces f(z) sería
analítica en z0: una contradicción.
124
)(2
)(
)(
02
0
zfidz
zz
zf
C
′=
−∫ π
Ejemplo
Evaluar la integral
∫C
z
dz
z
e
2
π
donde C es el círculo |z |=2
C
00 =zsea
z
ezf π
=)(sea
f (z) es analítica en D, y C incluye z0
ππ
π π
==′
=′
0
0 )(
)(
ezf
ezf z
D
i
z
dze
C
z
2
2
2π
π
=∫
125
)(
2
2
)(
)(
03
0
zf
i
dz
zz
zf
C
′′=
−∫
π
Ejemplo
Evaluar la integral
( )∫ −C
dz
iz
z
3
2
donde C es el círculo |z |=2
C
iz =0sea
2
)( zzf =sea
f (z) es analítica in D, y C incluye z0
2)(
2)(
0 =′′
=′′
zf
zf
D
i
iz
dzz
C
π2
)( 3
2
=
−∫
126
Calcular
donde C es la circunferencia con sentido positivo.
( )∫ +C
z
dz
iz
e
3
2
3=z
( )
( )
( )
( )
i
C
z
i
iz
C
n
n
C
z
ieI
i
I
dz
iz
e
i
e
ezfezfiz
siendo
dz
zz
zf
i
n
zf
dz
iz
e
I
2
3
2
2
00
1
0
0
)(
3
22
!2
)()(;2
:
,
)(
2
!
2
−−
−
+
=⇒=
+
=
=′′⇒=−=
−
=
+
=
∫
∫
∫
π
ππ
π
Examen
JUNIO 02/03: P-1
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
Resumen:
0)( =∫C
dzzf con f (z) analítica dentro y sobre C.
(1)
)(2
)(
0zifdz
zz
zf
C o
π=
−∫ con f (z) analítica dentro y sobre C(3)
( Teorema integral de Cauchy-Goursat )
(Fórmula integral de Cauchy )
con f (z) analítica
dentro y sobre C(4)
( Fórmula para derivadas )
(2)
)()()( 01
1
0
zFzFdzzf
z
z
−=∫ donde )(zf
dz
dF
=
F (z) analítica en un dominio simplemente conexo D,
con derivada dF/dz = f(z) y z0 y z1 en D.
( ) 0
!
2)(
1
0 z
n
n
C
n
dz
fd
n
i
dz
zz
zf π
=
−∫ +
143
Ejercicios: Demostrar
(1) El teorema de Morera:
(2) La desigualdad de Cauchy:
“Si f (z) es continua en un dominio simplemente conexo D y si 0)( =∫C
dzzf
para cualquier camino cerrado en D, entonces f (z) es analítica en D”
n
n
r
Mn
zf
!
)( 0
)(
≤
0z
r
CMzf en)( ≤
C
(Probarlo usando la fórmula para las derivadas de una función analítica
y la desigualdad ML)
(3) El teorema de Liouville
“Si una función entera f (z) está acotada en valor absoluto para todo z, entonces
f (z) debe ser constante” – probarlo usando la desigualdad de Cauchy.
144
145
Desigualdad de Cauchy
• Si tomamos el contorno circular C: |z – z0| = r,
utilizando la generalización de la fórmula integral
de Cauchy y la desigualdad ML:
donde |f(z)| ≤ M para todos los puntos de C.
nn
C n
n
r
Mn
r
r
M
n
zd
zz
zfn
zf
!
2
1
2
!
)(
)(
2
!
|)(|
1
1
0
0
)(
=≤
−
=
+
+∫
π
π
π
146
147
Haciendo n = 1 en la desigualdad de Cauchy, tenemos que |
f ’(z0)| ≤ M/r. Tomando r arbitrariamente largo, podemos hacer
que |f ’(z0)| sea tan pequeño como queramos: |f ’(z0)| = 0. De
modo que f es una función constante.
Teorema de Liouville
148
149
150
151
Ejercicio. Sea la función entera tal que:
Con la ayuda del teorema de Liouville obtener la expresión general de f(z).
Czezf z
∈< ,)(
Respuesta.
Cz
e
zf
Czezf z
z
∈∀<⇒∈< ,1
)(
,)(
Por el teorema de Liouville: 1con,.
)(
<== λλcte
e
zf
z
Por tanto
z
ezf λ=)(
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  • 2. 2
  • 3. 3 0 2 Falacias, falacias, ... π π π π π π π π =⋅= =⋅= =⋅= =⋅= − − 2 )2/1(2 2 2 )4/1(2 4 2 )2/1(2 2 2 12 1 1 1 3 2 1 n n nL L L L  0 1 !!21= !!lim2 π== ∞→ n n L
  • 4. 4 Integrales de línea, de camino o de contorno reales .cuando0donde ),(lim),( 1 ∞→→∆ ∆= ∑∫ = ∞→ ns syxFdsyxF k kk n k k n B A || → ∆=∆ kk ss 1x∆ → ∆ 1s → ∆ 2s → ∆ ns A B ),( 11 yx ),( 22 yx ),( nn yx x y
  • 5. 5 y x 2 1 xy −= 0 )0,1(=B )1,0(=A xyyxF =),( ... 4 5 )1(4 45 1 ...41)1( ),( 0 1 0 1 1 0 22 )0,1( )1,0( ∫ ∫ ∫ ∫∫ =− = − − − =+− == dyyy dy y y yy dxxxx xydsdsyxF B A dy y y dy dy dx ds dxxdx dx dy ds )1(4 45 1 411 2 2 2 − − ±=      +±= +±=      +±= El signo debe tomarse de modo que ds≥0 para los valores x e y en juego. En este caso +. Otra manera: 2 1 xy −= Camino
  • 6. 6 kk n k k n B A syxFdsyxF ∆= ∑∫ = ∞→ ),(lim),( 1 dx dy kx∆ ky∆ λ= = )(F 1)(F x,y x,y Interpretación física de las integrales de línea: Podemos definir las integrales con dx y dy: ∫ B A ds ∫ B A dsλ Donde los incrementos de x e y son las proyecciones de los incrementos de s en el eje x e y respectivamente (observa que los incrementos de x e y pueden ser positivos o negativos).
  • 7. 7 y x 2 1 xy −= 0 )0,1(=B )1,0(=A xyyxF =),( 4 1 42 )1( ),( 1 0 42 1 0 2 )0,1( )1,0( =      −=− == ∫ ∫∫ xx dxxx xydxdxyxF B A 15 4 1),( 0 1 )0,1( )1,0( −=−== ∫∫∫ dyyyxydydyyxF B A yx −= 1 Ejercicio: recalcular las tres integrales recorriendo el camino en sentido inverso. ¿Negativo? Ejemplo: Camino: 2 1 xy −= Camino
  • 8. 8 y x 2 1 xy −= 0 )0,1(=B )1,0(=A xyyxF =),( dx dx dy yxFdyyxF B A B A ∫∫ = ),(),( 15 4 )2)(1( 1 0 2 )0,1( )1,0( )0,1( )1,0( −=−− == ∫ ∫∫ dxxxx dx dx dy xyxydy Calculemos de nuevo de otra forma: Repetir para dx y dx/dy.
  • 9. 9 La integral depende del sentido en los que recorramos el camino C en los casos de dx y dy: dyyxFdyyxF dxyxFdxyxF A B B A A B B A ∫∫ ∫∫ −= −= ),(),( ),(),( Los incrementos de x e y cambian de signo cuando cambia el sentido de los vectores incremento de s. Pero el diferencial de s mantiene su signo independientemente del sentido, pues tomamos el módulo del vector: |||| →→ ∆−=∆=∆ kkk sss dsyxFdsyxF A B B A ∫∫ = ),(),(
  • 10. 10 Integrales de línea, de camino o de contorno en el plano complejo .cuando0donde )(lim:)( 1 ∞→→∆ ∆= ∑∫ = ∞→ nz zzfdzzf k n k k n B A ),(),()( yxivyxuzf yixz kkk += ∆+∆=∆ Observa que la integral NO es el área bajo la curva. El valor depende del sentido: es una “suma de vectores”. Los Δz actúan como vectores, no como longitudes. Si f(z) = 1, ¿qué significa la integral? 1z∆ A B 1z 2z nz x y 2z∆ nz∆ 1x∆ ny∆
  • 11. 11 Conexión entre integrales de línea reales y complejas       + +      − =++= ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ CC C C CC dxyxvdyyxui dyyxvdxyxu idydxyxivyxudzzf ),(),( ),(),( ])][,(),([)( Con C indicamos el camino de la integral de línea.
  • 12. 12 [ ] ∫ ∫∫ + == )( )( )( )( )](')(')[( )()( Bt At Bt At C dttiytxtf dt dt dz tzfdzzf Integración de funciones complejas parametrizadas Arco suave C de A a B: )()()( tiytxtz += Parametrización continua con t(A) ≤ t ≤ t(B) y con derivadas x’(t) e y’(t) continuas. dt tdy i dt tdx dt tdz )()()( +=
  • 14. 14 Evalúa donde C es el contorno de la figura ∫ + C dziyx )( 22 C1 está definida por y = x = t, entonces z(t) = t + it, con 0 ≤ t ≤ 1, z’(t) = 1 + i, f(z(t)) = t2 + it2 : ∫∫∫ +++=+ 21 )()()( 222222 CCC dziyxdziyxdziyx idttidtiittdziyx C 3 2 )1()1)(()( 1 0 22 1 0 2222 1 =+=++=+ ∫∫∫ La curva C2 está definida por x = 1, y = t con 1 ≤ y ≤ 2. Entonces: z(t) = 1 + it, z’(t) = i, f(z(t)) = 1 + it2 : iiidziyx idtidttidtitdziyx C C 3 5 3 7 ) 3 7 ( 3 2 )( 3 7 )1()( 22 2 1 2 1 2 2 1 222 2 +−=+−+=+ +−=+−=+=+ ∫ ∫∫∫∫
  • 15. 15 Calcular la integral Donde C es el arco de circunferencia , orientado positivamente. ( )∫ + C dzzzz2 ))arg(0(,1 π<<= zz ( ) ( ) ( ) 3 8 3 1 1 1 0 3 0 0 322 −=      += =+=+=+ =⇒= ∫ ∫∫ π θθ π π θθθθ θ θθ ii iiii C i ee deeideiedzzzz ezz Examen SEPTIEMBRE 02/03: P-1
  • 16. 16
  • 17. 17 Camino o contorno simple cerrado Es un contorno que genera dos dominios: uno acotado (interior) y otro no acotado (exterior). Ambos dominios tienen al contorno como frontera. Camino o contorno no simple cerrado
  • 18. 18 Decimos que la integración se lleva a cabo en sentido positivo alrededor del contorno C cuando el interior queda a la izquierda del sentido de circulación. ∫ ∫≡ C C dzzfdzzf )()( Para no recargar con símbolos Decimos que la integración se lleva a cabo en sentido negativo si ocurre lo contrario. ∫ ∫− − ≡ C C dzzfdzzf )()( ∫∫ − −= CC dzzfdzzf )()(Se cumple que:
  • 19. 19 Propiedades de las integrales de contorno constante,)()( ≡=∫ ∫ kzdzfkzdzfk C C ∫∫ ∫ +=+ CC C zdzgzdzfzdzgzf )()()]()([ ,)()()( 21 ∫∫ ∫ += CC C zdzfzdzfzdzf ,)()(∫ ∫− −= C C dzzfdzzf
  • 20. 20 Integrar la función a lo largo de la circunferencia: |z| = r. zzf /1)( = Ejemplo Introducimos un parámetro t variando entre π20 ≤≤ t y x r C [ ] ( ) idti dteri re dt dt dz tzfdzzf ti ti C π π π π 2 1 )()( 2 0 2 0 2 0 == = = ∫ ∫ ∫∫ ti retzC =)(: Nota: podríamos haber usado ( )titrtzC sincos)(: += Ejercicio: repetir con esta forma. i z dz C π2=∫
  • 21. 21
  • 22. 22 Integrar la función a lo largo del cuadrado zzf /1)( = Ejemplo Introducir un parámetro t variando entre 11 +≤≤− t y x i+1 i−1 i+−1 i−−1 1C 3C 2C 4C [ ] [ ] [ ] [ ] ∫ ∫ ∫ ∫ + − + − + − + − + + = + + = − =+=−= + + = + +− = −− =−=−−= + + = + −− = +− =−=+−= + + = + − = + =+=+= 1 1 2424 1 1 2323 1 1 2222 1 1 2121 1 , 1 1 )(,1,)(: 1 , 1 1 1 1 )(,,1)(: 1 , 1 1 )(,1,)(: 1 , 1 1 1 1 )(,,1)(: dt t it I t it it tzf dt dz ittzC dt t it I t it it tzfi dt dz titzC dt t it I t it it tzf dt dz ittzC dt t it I t it it tzfi dt dz titzC [ ]∫∫ − = 1 1 )()( dt dt dz tzfdzzf C
  • 23. 23 y x i+1 i−1 i+−1 i−−1 1C 3C 2C 4C [ ] ( ) ( )[ ] i i ti dt t idt t t dt t it dzzf C π ππ 2 4/4/4 arctan4 1 1 1 4 1 4)( 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 = −−= =       + + + = + + = + − −− − ∫∫ ∫∫ i z dz C π2=∫ 0 (integrando impar en intervalo de integración par)
  • 24. 24 zzf /1)( = Ejemplo: Repitamos trasladando el circuito de integración. 11 +≤≤− t [ ] [ ] [ ] [ ] ∫ ∫ ∫ ∫ + − + − + − + − +−+ ++− = +−+ ++− = −+− =+=−+−= + + = + +− = −− =−=−−= ++ ++ = ++ −−− = +−− =−=+−−= + − = + −− = +− =+=+−= 1 1 2424 1 1 2323 1 1 2222 1 1 2121 )2(1 )2( , )2(1 2 2 1 )(,1,2)(: 9 3 , 9 3 3 1 )(,,3)(: )2(1 )2( , )2(1 2 2 1 )(,1,2)(: 1 , 1 1 1 1 )(,,1)(: dt t it I t it it tzf dt dz ittzC dt t it I t it it tzfi dt dz ittzC dt t it I t it it tzf dt dz ittzC dt t it I t it it tzfi dt dz ittzC [ ]∫∫ − = 1 1 )()( dt dt dz tzfdzzf C x i+−1 i−−1 i+− 3 i−− 3 1C 3C 2C 4C y Integrar la función a lo largo del cuadradoIntroducir un parámetro t variando entre
  • 25. 25 Usando las relaciones 22 22 22 )(ln )( )( arctan 1 )( tba tba dttb a bt atba dt ++= ++ +       + = ++ ∫ ∫ obtenemos 0=∫C z dz x i+−1 i−−1 i+− 3 i−− 3 1C 3C 2C 4C y Donde C ahora es el “cuadrado unitario” anterior desplazado a la izquierda 2 unidades.
  • 26. 26
  • 29. 29 ∫ = C dzzf 0)( C Teorema integral de Cauchy Si f (z) es analítica con derivada continua en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces: 0=∫C z dz C f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0 0=∫C z dze f (z) es analítica en todo punto C Ejemplos:
  • 30. 30 Para demostrar el teorema de Cauchy nos será necesario el Teorema de Green (1828) George Green (1793-1841). Resultado de sus trabajos en electromagnetismo. y Q x Q y P x P yxQyxP ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y,,),,(),,(Sean continuas en en todos los puntos dentro y sobre un contorno C, entonces: dxdy y P x Q dyyxQdxyxP C DC ∫ ∫∫∫       ∂ ∂ − ∂ ∂ =+ ),(),(
  • 31. 31 { } .),(),( ),(),( ),(),( 31 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 10 01 ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ + =+ =−−=       ∂ ∂ −= ∂ ∂ − CC x x x x x x R x x y y dxyxPdxyxP dxyxPdxyxP dxyxPyxP dxdy y P dxdy y P 0x 1x 1y 0y 1C 2C 3C 4C Supongamos que la región R es un rectángulo como muestra la figura. ⇒== ∫∫ 0),(;0),( 42 CC dxyxPdxyxP Puesto que sobre los caminos C2 y C4 no hay variación en x:
  • 32. 32 ∫∫∫ ∫∫∫∫ =+ ++= ∂ ∂ − cCC CC R dxyxPdxyxPdxyxP dxyxPdxyxPdxdy y P ),(),(),( ),(),( 42 31 Repitiendo análogamente para Q(x,y), y teniendo en cuenta que C3 y C1 no tienen variación en y, obtendremos: ∫∫∫ = ∂ ∂ c R dyyxQdxdy y Q ),( Y eso completa la demostración para un contorno rectangular recorrido en sentido positivo.
  • 33. 33 ...)()()( 21 ++++=+ ∫∫ ∫ CC C QdyPdxQdyPdxQdyPdx Podemos usar infinitos rectángulos para recubrir “exáctamente” el área de R. 1C 2C Recorriéndolos como indica la figura superior, se compensan las integrales en los caminos “horizontales”...
  • 34. 34 Demostración del teorema integral de Cauchy:      ∫∫∫∫ ∫ ++− = CCCC C dyyxuidxyxvidyyxvdxyxu dzzf ),(),(),(),( )( ),(:),( ),(:),( yxvyxQ yxuyxP −= = ),(:),( ),(:),( yxuyxQ yxvyxP = = 0=      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ −= ∫∫∫∫ dxdy y v x u idxdy y u x v DD 0 (Como f(z) es analítica cumple las ECR) Como suponemos u(x,y), v(x,y) y sus derivadas parciales continuas en todos los puntos dentro y sobre C:
  • 35. 35
  • 36. 36
  • 37. 37 ∫ = C dzzf 0)( Teorema integral de Cauchy-Goursat Si f (z) es analítica en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces: Es menos restrictivo que el teorema integral de Cauchy. Goursat demostró el teorema integral de Cauchy sin imponer la restricción alguna sobre la derivada de f(z). Edouard Jean-Baptiste Goursat (1838 – 1936)
  • 38. 38 ? cos 1 2 =∫C dz z f (z) es no analítica en z = ± π/2, ±3π/2, ... 0 3 sin3 1 = −∫C z dz z ze 2C 1C 0 cos 1 1 =∫C dz z f (z) es no analítica en z = 3 ? 3 sin3 2 = −∫C z dz z ze Ejemplos 1C 2C 0 )sin( 1 =∫ dz zC π No es analítica en los puntos z = 0, ±1, ± 2,... 0 1 2-1-2 C2i
  • 39. 39 Para demostrar el teorema de Cauchy-Goursat emplearemos la desigualdad ML: MLdzzf C ≤∫ )( longitud de C cualquier número tal que sobre CMzf ≤)( Demostración: ∞→→∆ ∆≡ ∑∫ = ∞→ nz zzfdzzf k n k k n C cuando0donde )(lim)( 1 Cotas para integrales de línea.
  • 40. 40 C.delongitudlaesLdonde;lim 1 Lzdz n k k n C =∆≡ ∑∫ = ∞→ Observemos que si |f(z)|=1, entonces: Por la desigualdad triangular, tenemos: ∫∑∑∫ =∆≤∆= = ∞→ = ∞→ C k n k k n k n k k n C dzzfzzfzzfdzzf )()(lim)(lim)( 11 ∫∫ ≤ CC dzzfdzzf )()(
  • 41. 41 Supongamos que: si z es un punto de C. Entonces: MLzMzzf zzfdzzf n k k n k n k k n k n k k n C =∆≤∆ ≤∆= ∑∑ ∑∫ = ∞→ = ∞→ = ∞→ 11 1 lim)(lim )(lim)( MLdzzf C ≤∫ )( Mzf ≤)( Desigualdad ML
  • 42. 42 Ejemplo: Encuentra una cota superior para el valor absoluto de: donde C es el círculo |z| = 4. zd z e C z ∫ +1 Puesto que |z +1| ≥ |z| − 1 = 3, entonces: Además, |ez | = ex , con |z| = 4, y tenemos que el máximo valor de x es 4. Así: 31 4 e z ez ≤ + 3 8 1 4 e zd z e C z π ≤ +∫ 3 || 1|| || 1 zzz e z e z e = − ≤ + RL Mzf π2 )( = ≤
  • 43. 43 Demostrar la siguiente desigualdad: 4 Log 2 π ≤∫Γ zdz Im (z) Γ 1 Re (z) Respuesta. L: longitud del arco: M: max |Log z|Γ MLzdz ≤∫Γ Log 2 π =L 2 2 0,Log arglnLog π π θθ = ≤≤= += Γ M iz zizz 4 Log 2 π ≤∫Γ zdz
  • 44. 44
  • 45. 45 A 4∆ 3∆2∆ 1∆ B C DE F Demostración del teorema de Cauchy-Goursat para camino triangular cualquiera: Sea el camino triangular ABCA. Trazamos un triángulo auxiliar EFD a partir de los puntos medios de los lados del triángulo ABC. Entonces: dzzfdzzfdzzfdzzf dzzf ABCA ∫∫∫∫ ∫ ∆∆∆∆ +++ = 4321 )()()()( )( E = (A+B)/2; F = (B+C)/2; D=(C+A)/2
  • 46. 46 dzzfdzzfdzzfdzzfdzzf ABCA ∫∫∫∫∫ ∆∆∆∆ +++≤ 4321 )()()()()( Aplicando la desigualdad triangular: dzzfdzzf ABCA ∫∫ ∆ ≤ 1 )(4)( Sea },,,max{: 4321 1 ∆∆∆∆=∆ Entonces: Repitiendo el proceso con el triángulo 1 ∆ dzzfdzzf ABCA ∫∫ ∆ ≤ 2 )(4)( 2
  • 47. 47 Después de n pasos, tendremos: dzzfdzzf n n ABCA ∫∫ ∆ ≤ )(4)( Hemos construido una sucesión de triángulos encajados: n ABC ∆∆∆∆∆ ,...,,,, 321 gracias al principio de Cantor de compactos encajados: existe un punto z0 que pertenece a todos ellos. Y puesto que z0 está dentro o sobre ∆ABC , y como por el enunciado f(z) es analítica en z0. Entonces: ))(())(()()( 0000 zzzzzzfzfzf −+−′+= η recordemos que η(z) depende de z y que η(z)→0 cuando z→ z0; es decir, que para todo ε>0 podemos encontrar un δ tal que η(z)<ε siempre quez - z0<δ.  ∞ = =∆ 1 0}{ n n z
  • 48. 48  ∫∫∫ ∫ ∆∆∆ ∆ =−+−′+ = nnn n dzzzzdzzzzfdzzf dzzf ))(()()()( )( 0 0 00 0 0 η  1)( =zg 0)( zzzg −= Integrandos g(z) analíticos con primeras derivadas continuas. Podemos aplicar teorema integral de Cauchy. ∫∫ ∆∆ −= nn dzzzzdzzf ))(()( 0η
  • 49. 49 Si P es el perímetro de ∆ABC , entonces el perímetro ∆n será: nn P P 2 = n∆ z 0z δ<=≤− nn P Pzz 2 || 0  L n M n PP dzzzdzzf nn 22 )()( 0 ⋅⋅≤−= ∫∫ ∆∆  εη Usando la desigualdad ML: n P dzzf n 4 )( 2 ε =∫ ∆
  • 50. 50 Teníamos: dzzfdzzf n n ABCA ∫∫ ∆ ≤ )(4)( 2 2 4 4)( P P dzzf n n ABCA ε ε =≤∫ 0)( =∫ABCA dzzf Y como ε se puede tomar arbitrariamente pequeño, entonces:
  • 51. 51 Puesto que todo polígono cerrado se puede triangular, aplicando el teorema de Couchy-Goursat a cada triángulo podemos demostrar el teorema para un polígono cerrado arbitrario. A B C D E nzz =0 1z 2z 1−nz Intentaremos aproximar una curva arbitraria a través de un polígono cerrado P de vértices z0, z1,z2, ... zn-1, zn= z0, tal y como hicimos para definir la integral de línea compleja.
  • 52. 52  nS k n k k nC zzfdzzf ∆= ∑∫ = ∞→ )(lim)( 1 Recordemos que: Para n finito, estamos aproximando la curva cerrada con un polígono P cerrado de n lados y de perímetro Sn. n C n C SSdzzfdzzf +−=∫∫ )()( Obviamente: n C n C SSdzzfdzzf +−≤ ∫∫    )()( Usando la desigualdad triangular: 1 2 Acotaremos y1 2
  • 53. 53 ∫ − C nSdzzf )(Comencemos con 1 ∫= ∞→ C n n dzzfS )(:lim Entonces, dado cualquier ε > 0 existe un número N(ε) tal que para n > N(ε): 2 )( ε <−∫C nSdzzf
  • 57. 57 ∫ − − k k z z k dzzfzf 1 )}()({ Para cada una de las k integrales (k=1,2, ..., n) usaremos la desigualdad ML. Observemos que la “longitud” de cada integral es: 1 1 −−=∫ − kk z z zzdz k k Puesto que la curva cerrada que integramos es suave, podemos tomar el N(ε) de lo suficientemente grande como para que con n > N(ε) la distancia entre f(zk) y f(z) esté por debajo de ε/2P, para todo k, donde P es el perímetro de la curva cerrada. Así podemos acotar todos los integrandos: P zfzf k 2 )()( ε <− 1
  • 58. 58 De modo que: ∫ ∫∫ − − ++−+−≤ n n z z n z z z z n dzzfzf dzzfzfdzzfzfS 1 2 1 1 0 )}()({ ...)}()({)}()({ 21 Teníamos: { } 2 ... 2 11201 εε =−++−+−≤ −    P nnn zzzzzz P S
  • 59. 59 ε εε =+<+−≤ ∫∫ 22 )()( n C n C SSdzzfdzzf Recopilando: Puesto que ε es arbitrario, entonces: 0)( =∫C dzzf
  • 60. 60
  • 62. 62
  • 63. 63 Principio de deformación de contornos (Teorema integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo). ∫∫ = 21 )()( CC dzzfdzzf Supongamos que f (z) es analítica en un dominio doblemente conexo D así como en las curvas que lo limitan. Entonces: D 1C 2C Recordatorio: Un dominio es un conjunto abierto conexo (no incluye los puntos frontera). Nota: Simplemente conexo significa 1 contorno (y 0 agujeros) Doblemente conexo significa 2 contornos (y 1 agujeros) Triplemente conexo significa 3 contornos (y 2 agujeros) ... Sentido negativo
  • 64. 64 0)( 21 ∫ +++ = BACABC dzzf 1C 2C A B ∫∫ ∫∫ + ++= BAC ABC dzzfdzzf dzzfdzzf )()( )()( 2 1 ∫∫ −= BAAB dzzfdzzf )()(Como: 0)()( 21 =+ ∫∫ CC dzzfdzzf 0)( 21 ∫+= = CCC dzzf Sentido positivo Nota: Observa que los sentidos en que se recorren los circuitos en este dibujo y el anterior, no son los mismos...
  • 65. 65 ∫∫ = 21 C z C z dzedzeEjemplo 1: 1C 2C D (¡obvio!) ∫∫ = 21 11 CC dz z dz z Ejemplo 2: (no tan obvio)
  • 66. 66 0)(,0)( *** == ∫∫ cc dzzfdzzf Otra demostración Introduzcamos dos cortes, L1 y L2 ,que unen los dos contornos. Sean C* y C** los dos nuevos contornos cerrados indicados por las flechas (1-2-3-4) y (5-6-7-8), respectivamente. 1L 2L ** C * C 1 2 3 4 5 6 7 8 Inicio y x Ahora f (z) es analítica sobre y dentro de C* y C** . Por el teorema Integral de Cauchy:
  • 67. 67 Integramos alrededor del dominio D, a lo largo de 1-2-3-4-5-6-7-8. Así: ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ −= += += −−− −−−− 21 *** )()( )()( )()()( 8,63,1 8765 4321 CC CC dzzfdzzf dzzfdzzf dzzfdzzfdzzf Las integrales a lo largo de L1 y L2 se anulan Pero como las integrales a lo largo de C* y C** son cero, entonces: 0)()( 21 =− ∫∫ CC dzzfdzzf con lo que se demuestra el enunciado. 1L 2L ** C * C 1 2 3 4 5 6 7 8 Inicio y x
  • 68. 68 ¿Por qué se denomina principio de deformación de contornos? Si uno de los contornos puede transformarse en el otro mediante una deformación continua y sin cruzar ninguna singularidad de f(z), entonces: ∫∫ = 21 )()( CC dzzfdzzf y x i+1 i−1 i+−1 i−−1 1C 3C 2C 4C i z dz C π2=∫ Recordemos:
  • 69. 69 Así que como la integral de f(z) = 1/z a lo largo de un círculo de radio r es 2πi: A partir del teorema integral de Cauchy para dominios doblemente conexos vemos que la integral de f(z) = 1/z a lo largo de cualquier camino que contenga este círculo es también 2πi. 1C 2C r idz zC π2 1 1 =∫ z 1 es analítica aquí Ejemplo
  • 70. 70 ∫ +C dz zz dz )9( 22 Evaluar la integral f (z) presenta singularidades en z = 0 y z = ±3i. Esos puntos están fuera de la región sombreada como muestra la figura. Así: donde C es un círculo de radio 2, centrado en 0, descrito en sentido positivo y un círculo de radio 1, centrado en 0, descrito en sentido negativo. 0 )9( 22 = +∫C dz zz dz Ejemplo C 0 3i -3i 1 2
  • 71. 71 Teorema de Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos ∫ ∑ ∫= = C n k Ck zdzfdzzf 1 )()( Supongamos que C, C1, …, Cn son curvas cerradas simples con orientación positiva, tales que C1, C2, …, Cn son interiores a C pero las regiones interiores a cada Ck, k = 1, 2, …, n, no tienen puntos en común. Si f es analítica dentro y sobre el contorno C, sin el interior de todos los Ck, k = 1, 2, …, n, entonces:
  • 72. 72 2C 1C D 3C No es necesario que los caminos cerrados no se corten, es decir que formen anillos. Por ejemplo: Imaginemos que f(z) es analítica en todos los puntos del dominio D de la figura. Tanto C2 como C3 forman anillos con C1. Por deformación de contornos: ∫∫ ∫∫ = = 31 21 )()( )()( CC CC dzzfdzzf dzzfdzzf ∫∫ = 32 )()( CC dzzfdzzf
  • 73. 73 Ejercicio: Se sabe que una cierta función es f(z) es analítica en todo el plano complejo salvo en los puntos z = 1, z = 2 y z = 3, y que 3,2,1,)( ==∫ kadzzf kC k siendo Ck : |z – k| = ½, orientado en sentido positivo. Calcular , siendo Γi cada uno de los siguientes contornos orientados positivamente: (1) Γ1 : |z| = 4, (2) Γ2 : |z| = 5/2 y (3) Γ3 : |z – 5/2| = 1 ∫Γi dzzf )( Respuesta: Por el teorema de Cauchy- Goursat en dominios múltiplemente conexos: 32 21 321 3 2 1 )( )( )( aadzzf aadzzf aaadzzf += += ++= ∫ ∫ ∫ Γ Γ Γ
  • 74. 74 y x C i+1 0 Integremos la función a lo largo de la recta C, que une los puntos 0 y 1+ i. zzf =)( (1) Representar C en la forma z(t): ( )10)( ≤≤+= ttittz [ ] [ ] 12)( )1)(()()( 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 ===+−+ +−== ∫∫ ∫∫∫ ttdtdttittit dtititdt dt dz tzfdzzf C (2) Integramos: i dt dz +=1 Independencia del camino de integración
  • 75. 75 zzf =)( y x i+1 0 2C 1C ( )10)( ≤≤= tttz [ ] [ ] 2 11 0 2 2 1 1 0 1 0 )1)(( )()( === = ∫ ∫∫ tdtt dt dt dz tzfdzzf C A lo largo de C2: ( )101)( ≤≤+= ttitz [ ] [ ] ititdtitdtiti dt dt dz tzfdzzf C +=+=+=−= = ∫∫ ∫∫ 2 1 1 0 2 2 1 1 0 1 0 1 0 )())(1( )()( Ejemplo Integrar la función a largo del camino C = C1 + C2 que une los puntos 0 y 1+ i, como muestra la figura: A lo largo de C1: 1
  • 76. 76 1=∫C dzz y x i+1 0 iidzz C +=      ++=∫ 1 2 1 2 1 ¿El valor de la integral entre dos puntos depende siempre del camino?
  • 77. 77 y x C i+1 0 Repitamos pero con a lo largo de la recta C, que unía los puntos 0 y 1+ i. zzf =)( (1) Representar C en la forma z(t): ( )10)( ≤≤+= ttittz [ ] [ ] iittdti dtititdt dt dz tzfdzzf C === ++== ∫ ∫∫∫ 1 0 2 1 0 1 0 1 0 2 )1)(()()( (2) Integramos:
  • 78. 78 zzf =)( y x i+1 0 2C 1C ( )10)( ≤≤= tttz [ ] [ ] 2 11 0 2 2 1 1 0 1 0 )1)(( )()( === = ∫ ∫∫ tdtt dt dt dz tzfdzzf C A lo largo de C2: ( )101)( ≤≤+= ttitz [ ] [ ] ititdtitdtiti dt dt dz tzfdzzf C +−=+−=+−=+= = ∫∫ ∫∫ 2 1 1 0 2 2 1 1 0 1 0 1 0 )())(1( )()( Ejemplo Repitamos de nuevo con la función , pero ahora a largo del camino C = C1 + C2 que une los puntos 0 y 1+ i: A lo largo de C1: 1
  • 79. 79 izdz C =∫ y x i+1 0 iizdz C =      +−+=∫ 2 1 2 1 Ahora el valor de la integral no depende del camino. ¿Qué diferencias hay entre f(z) = z y f(z)= ?z
  • 80. 80 Integrar la función a lo largo del camino C uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura 2 )( zzf = Otro ejemplo ( )1022)( ≤≤+−= titttz [ ] [ ] [ ] )219( 3 1 )3/8(1)21( )84()443()21( )21()22( )()( 1 0 22 1 0 2 1 0 i ii dtttitti dtitit dt dt dz tzfdzzf C +−= ++−= +−++−−+−= +−+−= = ∫ ∫ ∫∫ y x i21+ 0 C 2
  • 81. 81 Integrar la función a lo largo del camino C = C1+ C2 uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura 2 )( zzf = Otro ejemplo ( )202)( ≤≤−= tttz 3 8 )44( )1()2()( 2 0 2 2 0 2 −=−+−= −−= ∫ ∫∫ dttt dttdzzf C y x i21+ 0 21C 2C A lo largo de C1: ( )102)( ≤≤+= ttittzA lo largo de C2: idtti dtititdzzf C 3 2 3 11 )211( )21()2()( 1 0 2 1 0 2 −−=−−= ++= ∫ ∫∫
  • 82. 82 3/)219(2 idzz C +−=∫ y x i21+ 0 3/)219(2 idzz C +−=∫ El valor de la integral a lo largo de los dos caminos es el mismo. 2 ¿Coincidencia?
  • 83. 83 Independencia del camino 1z 2z 1C 2C 0)()( 21 =+ ∫∫ CC dzzfdzzf Supongamos que f (z) es analítica en un dominio simplemente conexo D D (por el teorema integral de Cauchy) 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 delargoloadelargoloa delargoloadelargoloa delargoloadelargoloa )()( )()( 0)()( C z z C z z C z z C z z C z z C z z dzzfdzzf dzzfdzzf dzzfdzzf ∫∫ ∫∫ ∫∫ = −= =+
  • 84. 84 Recuerda el potencial gravitatorio: La energía potencial gravitatoria = m g h es independiente del camino... masa m altura h
  • 85. 85 Ejemplo: f(z)=|z|2 2 ||)( zzf = x 1 i 1+i L0 L1 L2 y 101: 100: 10: 2 1 0 ≤≤== ≤≤== ≤≤== ttyxL tytxL ttytxL 3 4 3 )1(|1|: 3 1 ||: 3 )1(2 )1(|1|)1(||: 1 0 2 1 0 2 22 1 0 2 1 0 2 11 1 0 22 1 0 2 00 ii iidttidtitIL dttdttIL i dttiidtiittIL =+=+=+= === + =++=++= ∫∫ ∫∫ ∫∫ Observa que L0 ≠ L1+L2
  • 86. 86 Ejemplo: f(z)=z2 2 )( zzf = x 1 i 1+i L0 L1 L2 y 101: 100: 10: 2 1 0 ≤≤== ≤≤== ≤≤== ttyxL tytxL ttytxL 3 32 )21()1(: 3 1 : 3 22 )1()1()(: 1 0 2 1 0 2 22 1 0 2 11 1 0 23 1 0 2 00 − =+−=+= == − =+=++= ∫∫ ∫ ∫∫ i idttitidtitIL dttIL i dttidtiittIL Observa que L0=L1+L2
  • 87. 87 y x 144 =+ yx 0 1 i Ejemplo: calcular dz z i ∫1 1 A lo largo del camino C1: Como f(z) = 1/z es analítica en todo el plano complejo excepto en z = 0. Podemos utilizar un camino más sencillo C2 (|z| = 1). [ ] ( ) 2 1 )()()( 2/ 0 2/ 021 π θ θ θ θ π θ θ π i dei e d d dz zfdzzfdzzf i i CC == == ∫ ∫∫∫ 2C 1C
  • 88. 88 1z 2z1C 2C Si los caminos se cruzan, podemos hacer lo mismo para cada bucle, utilizando como puntos intermedios los puntos de intersección.
  • 89. 89 Si f es analítica en D entonces: 0)()( 1 =+ ∫∫ −CC zdzfzdzf ∫∫ = 1 )()( CC zdzfzdzf
  • 90. 90 Independencia del camino Consideremos la integral dzzf z z ∫ 1 0 )( Si F (z) es analítica en un dominio simplemente conexo D, con derivada dF/dz = f(z) y, z0 y z1 están en D, entonces la integral de f(z) entre z0 y z1 es independiente del camino en D. )()()( 01 1 0 zFzFdzzf z z −=∫ donde )(zf dz dF = 0z 1z )219( 3 1 33 2 3 21 321 2 2 i zz dzz ziz i +−=−= =+= + ∫p.ej. De modo que podemos hablar de primitivas o antiderivadas como en variable real:
  • 91. 91 Ejemplos (1) i ii zdzz i i i i 097.23 sinh2)sin(2 sincos = == = + − + − ∫ ππ π π π π todo el plano complejo C (2) ? 1 0 =∫ + dzz i ( f (z) es no analítica en todo punto - depende del camino) (3) i z dz z i i i i 2 11 2 =−= + − + − ∫ f (z) analítica en este dominio (ambas 1/z2 y 1/z son no analíticas en z = 0 - el camino de integración C debe eludir el punto)
  • 92. 92 .sobreconstanteserá)(entoncesanalítica)es)((y ,dominiounen0)('Si Dzfzf Dzf = Diyxbayxf Diyxbyxvayxu vuvu vuvu vuivuzf yyxx xyyx xxxx ∈+∀+=→ ∈+∀==→ ====→ −== ==→=+→= )(i),( )(),(y),( 0 y 0y000)(' :Prueba constante.unasalvoúnicaes)(dedaantiderivaoprimitivaLa zf ( ) .)()(.)()(quemodoDe ).(-)(diferenciasueslotambién,definiciónpor analíticasson)(y)(quePuesto0.G(z)-F(z) ).(dediferentesprimitivasdos)(y)(Sean :Prueba CtezGzFCtezGzF zGzF zGzF dz d zfzGzF +=→=− =
  • 93. 93
  • 94. 94 y x 0 1 i 1C 1− x0 1 2C 1− y ( ) πθ θ π π θ θ idi dei e dz z i i C ∫ ∫∫ −= == 0 0 11 1 ( ) πθ θ π π θ θ idi dei e dz z i i C ∫ ∫∫ − − = == 0 0 11 2 ¿Por qué en este caso la integral depende del camino?
  • 95. 95 y x 0 1 i 1C 1− ππ ii ii zdz z dz zC −=− =−−−−+ === − − ∫∫ )0( )1arg(|1|log)1arg(|1|log log 11 1 1 1 11 Intentemos definir F(z) = Ln z como primitiva. En este caso una posible primitiva es: Corte Punto de ramificación 2/3arg2/-con arg||loglog ππ << += z zizz
  • 96. 96 x 0 1 2C 1− y CortePunto de ramificación πππ ii ii zdz z dz zC =− =−−−−+ === − − ∫∫ )2( )1arg(|1|log)1arg(|1|log log 11 1 1 1 12 2/5arg2/con arg||loglog ππ << += z zizz Intentemos definir una primitiva para este caso. Observe que NO puede ser la misma que en el caso anterior: Y tomemos los cortes como los tomemos, siempre obtendremos este resultado.
  • 97. 97
  • 98. 98
  • 99. 99 Más sobre integración en contornos cerrados... Podemos usar el teorema Integral de Cauchy para integrar funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean: (a) analíticas, o (b) analíticas en ciertas regiones Por ejemplo, 0=∫C z dz C f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0 Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular? C ?=∫C z dz
  • 100. 100 )(2 )( 0 0 zfidz zz zf C π= −∫ Fórmula Integral de Cauchy Sea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D. Para cualquier punto z0 en D y cualquier contorno cerrado C en D que incluya z0: D 0z C
  • 101. 101 Ejemplo Ilustremos la fórmula integral de Cauchy para el caso de f (z) = 1 y z0 = 0 00 =z C D La fórmula integral de Cauchy iidz zC ππ 212 1 =×=∫ f (z) es una función constante, es entera, así que C puede ser cualquier contorno cerrado en el plano complejo conteniendo z = 0. )(2 )( 0 0 zfidz zz zf C π= −∫ se convierte en
  • 102. 102 Ejemplo ∫ −C dz z z 2 2 Evaluar la integral donde C es 20 =z z = 2 es un punto singular en el interior a C. se convierte en: 21 =−z )(2 )( 0 0 zfidz zz zf C π= −∫ La fórmula integral de Cauchy ππ 842 2 2 iidz z z C −=×−= − −∫ f (z) es analítica en todo punto de modo que C puede ser cualquier contorno en el plano complejo conteniendo el punto z = 2.
  • 103. 103 0C C 0z z θi er0 Demostración no rigurosa de la fórmula integral de Cauchy: Por el principio de deformación de contornos: ∫∫ − = − 0 00 )()( CC dz zz zf dz zz zf θθ π θθ π θ θ derzfideir er erzf dz zz zf ii C i i ∫∫ ∫ += + = − 2 0 000 2 0 0 00 0 )( )()( 0 θθ θ ii eir d dz erzz 000 ; =+= Cambio de variable:
  • 104. 104 Hemos tomado un r0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente pequeño: )(2)( )()(lim 0 2 0 0 2 0 0 2 0 00 00 zifdzif dzfiderzfi i r πθ θθ π ππ θ = ==     + ∫ ∫∫→ )(2 )( 0 0 zfidz zz zf C π= −∫ ¿Qué no es riguroso aquí?
  • 105. 105 0C C 0z z θi er0 Demostración de la fórmula integral de Cauchy. Por el principio de deformación de contornos: ∫∫ − = − 0 00 )()( CC dz zz zf dz zz zf    2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 )()(1 )( )()()()( I C I C C C dz zz zfzf dz zz zf dz zz zfzfzf dz zz zf ∫∫ ∫ ∫ − − + − = − −+ = −
  • 106. 106 ∫∫ ∫ === − = π θ π θ πθθ 2 0 0 2 0 00 1 2 11 0 idideir er dz zz I i C i ∫ − − = 0 0 0 2 )()( C dz zz zfzf IVamos a encontrar una cota ML para 02 rL π= M zz zfzf zz zfzf ≤ − − = − − 0 0 0 0 )()()()( Tenemos: Y necesitamos M tal que: Para todo z en C0 : 00 rzz =− Como f(z) es continua en z0: δε <−<− 00 )()( zzsizfzf Si tomamos εδ <−⇒≤ )()( 00 zfzfr para todo z sobre C0.
  • 107. 107 εππ ε 22 )()( 0 00 0 2 0 ==≤ − − = ∫ r r MLdz zz zfzf I C Ya podemos aplicar la desigualdad ML: para 02 rL π= M rr zfzf zz zfzf ≡≤ − = − − 00 0 0 0 )()()()( ε Epsilon puede ser tan pequeño como queramos (de hecho reducirlo es reducir el radio r0. Así que: 00 22 =⇒= II )(2 )()(1 )( )( 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 zifdz zz zfzf dz zz zfdz zz zf I C iI C C π π = − − + − = − == ∫∫∫   
  • 108. 108 )(2 )( 0 0 zfidz zz zf C π= −∫ Ejemplos Evaluar las siguientes integrales: ∫ −C iz dz (1) donde C es el círculo |z |=2 iz =0 1)( =zf f (z) es analítica en D y C incluye z0 1)( 0 =zf C i D i iz dz C π2= −∫
  • 109. 109 )(2 )( 0 0 zfidz zz zf C π= −∫ ∫ +C z dz 12 (2) donde C es el círculo |z+i |=1 Necesitamos un término en la forma 1/(z- z0) así que rescribimos la integral como: En primer lugar, notemos que 1/(z2 +1) presenta puntos singulares en z =± i. El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i. Ese es nuestro punto z0 en la fórmula Ci− i+ D dz iz iz iziz dz z dz CCC ∫∫∫ + −= −+ = + 1 ))((12
  • 110. 110 π−= + → ∫C z dz 12 )(2 )( 0 0 zfidz zz zf C π= −∫ iz −=0 Ci− i+ D iz zf − = 1 )( 2/)( 0 izf = dz iz iz iziz dz z dz CCC ∫∫∫ + −= −+ = + 1 ))((12
  • 111. 111 Evaluar donde C es el círculo |z – 2i | = 4. Solución Solo z = 3i está dentro de C, y iz iz z z z 3 3 92 − += + zd z z C∫ + 92 :entonces, 3 )(Sea iz z zf + = i i i iifizd iz iz z zd z z CC πππ === − += + ∫∫ 6 3 2)3(2 3 3 92
  • 112. 112 Otro ejemplo )(2 )( 0 0 zfidz zz zf C π= −∫ Fórmula integral de Cauchy: se convierte en i C z iedz iz e − = +∫ π2 iz −=0 C D ∫ +C z dz iz e Evaluar donde C es cualquier contorno cerrado conteniendo z = -i f (z) es analítica en todo punto
  • 113. 113 ∫ −C z dz 14 C i− i+ 1− 1+ Tenemos que ∫∫ −+−+ = − CC izizzz dz z dz ))()(1)(1(14 El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i. Ese es nuestro punto z0 en la fórmula ∫∫ − = − CC dz iz zf z dz )( 14 ))(1)(1( 1 )( izzz zf +−+ =donde 4)2)(1)(1( 1 )()( 0 i iii ifzf = −+ ==Ahora 2 )(2 )( 1 0 0 4 π π −== − ≡ − → ∫∫ zfidz zz zf z dz CC donde C es el círculo |z+i |=1
  • 114. 114 ∫ −C z dzz 1 tan 2 donde C es el círculo |z |=3/2 tan z es no analítica en ±π/2, ±3π/2, …, pero esos puntos están fuera de nuestro contorno de integración C incluye dos puntos singulares, z = ±1. Para poder usar la fórmula integral de Cauchy, debemos tener sólo un punto singular z0 dentro de C. C 1− 1+2/3π− 2/π Usaremos fracciones parciales: )1)(1( )1()1( 111 1 2 +− −++ = + + − = − zz zBzA z B z A z 2/1,2/1 1 0)( −==→ =− =+ → BA BA zBA
  • 115. 115 ∫∫∫ + − − = − CCC dz z z dz z z dz z z 1 tan 2 1 1 tan 2 1 1 tan 2 C 1− 1+ 2/π 1tan)( tan)( 1 0 0 = = += zf zzf z )1tan()( tan)( 1 0 0 −= = −= zf zzf z [ ] iidz z z C 785.9)1tan()1tan( 2 1 2 1 tan 2 ≈−−×= −∫ π
  • 116. 116
  • 117. 117
  • 118. 118
  • 119. 119
  • 120. 120
  • 121. 121 ( ) 0 ! 2)( 1 0 z n n C n dz fd n i dz zz zf π = −∫ + Por ejemplo, Se pueden tratar funciones más complicadas con potencias de z-z0, con la fórmula: Nota: cuando n=0 tenemos la Fórmula Integral de Cauchy: 0 )(2 )( 0 z C zfidz zz zf π= −∫ Generalización de la fórmula integral de Cauchy ( ) [ ] ( ) [ ] ∫∫ =−= = − − = + − C zzC dz zd idz z z dz zzd idz z zz 2 2 2 3 1 2 2 2 00 cos 2 cos , 3 2 1 3 ππ f analítica en y dentro de C, z0 dentro de C Esta fórmula también es conocida como la “formula para las derivadas de una función analítica.”
  • 122. 122 ( ) 0 ! 2)( 1 0 z n n C n dz fd n i dz zz zf π = −∫ + Tomando f(z0) como una función de variable z0. Derivando con respecto a z0 y aplicando la regla de Leibnitz: Partamos de la fórmula integral de Cauchy: ∫ − = C dz zz zf i zf 0 0 )( 2 1 )( π Demostración de la generalización de la fórmula integral de Cauchy ( )∫ ∫ ∫ − =      − =      − = C C C dz zz zf i dz zzdz d zf i dz zz zf idz d zf dz d 2 0 00 00 0 0 )( 2 1 1 )( 2 1 )( 2 1 )( π π π Usar el mismo procedimiento para demostrar por inducción:
  • 123. 123 La generalización de la fórmula integral de Cauchy nos muestra algo excepcional: Si una función f(z) es analítica en cierto dominio, entonces posee derivadas de todos los órdenes en dicho dominio. Y estas derivadas son a su vez también analíticas en el dominio. Sea f(z) una función definida en todo punto de un entorno de z0. Si f(z) no es analítica en z0 es imposible encontrar una función F(z) tal que dF/dz = f(z) en todo punto del entorno. De existir F(z) sería analítica y por la fórmula generalizada de Cauchy, su segunda derivada df/dz existiría en todo punto del entorno considerado. Y entonces f(z) sería analítica en z0: una contradicción.
  • 124. 124 )(2 )( )( 02 0 zfidz zz zf C ′= −∫ π Ejemplo Evaluar la integral ∫C z dz z e 2 π donde C es el círculo |z |=2 C 00 =zsea z ezf π =)(sea f (z) es analítica en D, y C incluye z0 ππ π π ==′ =′ 0 0 )( )( ezf ezf z D i z dze C z 2 2 2π π =∫
  • 125. 125 )( 2 2 )( )( 03 0 zf i dz zz zf C ′′= −∫ π Ejemplo Evaluar la integral ( )∫ −C dz iz z 3 2 donde C es el círculo |z |=2 C iz =0sea 2 )( zzf =sea f (z) es analítica in D, y C incluye z0 2)( 2)( 0 =′′ =′′ zf zf D i iz dzz C π2 )( 3 2 = −∫
  • 126. 126 Calcular donde C es la circunferencia con sentido positivo. ( )∫ +C z dz iz e 3 2 3=z ( ) ( ) ( ) ( ) i C z i iz C n n C z ieI i I dz iz e i e ezfezfiz siendo dz zz zf i n zf dz iz e I 2 3 2 2 00 1 0 0 )( 3 22 !2 )()(;2 : , )( 2 ! 2 −− − + =⇒= + = =′′⇒=−= − = + = ∫ ∫ ∫ π ππ π Examen JUNIO 02/03: P-1
  • 127. 127
  • 128. 128
  • 129. 129
  • 130. 130
  • 131. 131
  • 132. 132
  • 133. 133
  • 134. 134
  • 135. 135
  • 136. 136
  • 137. 137
  • 138. 138
  • 139. 139
  • 140. 140
  • 141. 141
  • 142. 142 Resumen: 0)( =∫C dzzf con f (z) analítica dentro y sobre C. (1) )(2 )( 0zifdz zz zf C o π= −∫ con f (z) analítica dentro y sobre C(3) ( Teorema integral de Cauchy-Goursat ) (Fórmula integral de Cauchy ) con f (z) analítica dentro y sobre C(4) ( Fórmula para derivadas ) (2) )()()( 01 1 0 zFzFdzzf z z −=∫ donde )(zf dz dF = F (z) analítica en un dominio simplemente conexo D, con derivada dF/dz = f(z) y z0 y z1 en D. ( ) 0 ! 2)( 1 0 z n n C n dz fd n i dz zz zf π = −∫ +
  • 143. 143 Ejercicios: Demostrar (1) El teorema de Morera: (2) La desigualdad de Cauchy: “Si f (z) es continua en un dominio simplemente conexo D y si 0)( =∫C dzzf para cualquier camino cerrado en D, entonces f (z) es analítica en D” n n r Mn zf ! )( 0 )( ≤ 0z r CMzf en)( ≤ C (Probarlo usando la fórmula para las derivadas de una función analítica y la desigualdad ML) (3) El teorema de Liouville “Si una función entera f (z) está acotada en valor absoluto para todo z, entonces f (z) debe ser constante” – probarlo usando la desigualdad de Cauchy.
  • 144. 144
  • 145. 145 Desigualdad de Cauchy • Si tomamos el contorno circular C: |z – z0| = r, utilizando la generalización de la fórmula integral de Cauchy y la desigualdad ML: donde |f(z)| ≤ M para todos los puntos de C. nn C n n r Mn r r M n zd zz zfn zf ! 2 1 2 ! )( )( 2 ! |)(| 1 1 0 0 )( =≤ − = + +∫ π π π
  • 146. 146
  • 147. 147 Haciendo n = 1 en la desigualdad de Cauchy, tenemos que | f ’(z0)| ≤ M/r. Tomando r arbitrariamente largo, podemos hacer que |f ’(z0)| sea tan pequeño como queramos: |f ’(z0)| = 0. De modo que f es una función constante. Teorema de Liouville
  • 148. 148
  • 149. 149
  • 150. 150
  • 151. 151
  • 152. Ejercicio. Sea la función entera tal que: Con la ayuda del teorema de Liouville obtener la expresión general de f(z). Czezf z ∈< ,)( Respuesta. Cz e zf Czezf z z ∈∀<⇒∈< ,1 )( ,)( Por el teorema de Liouville: 1con,. )( <== λλcte e zf z Por tanto z ezf λ=)(
  • 153. 153
  • 154. 154
  • 155. 155
  • 156. 156

Notas del editor

  1. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  2. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  3. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  4. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  5. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  6. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  7. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  8. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  9. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  10. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  11. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  12. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  13. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  14. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  15. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus
  16. 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus