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PROFESOR: JULIO BARRETO - 1 - MATERIA: MATEMÁTICA IV
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
La integración no es tan directa como la derivación. No hay reglas que garanticen
absolutamente la obtención de una integral indefinida de una función. Por consiguiente, es necesario
desarrollar técnicas para usar las fórmulas de integración básicas con el fin de obtener integrales
indefinidas de funciones más complejas.
INTEGRACIÓN POR PARTES
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Expresión Sustitución Identidad
a x2 2 x a sen  cos sen  2 2
1
a x2 2 x a tan  sec tan  2 2
1
x a2 2 x a sec  tan sec  2 2
1
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES MEDIANTE FRACCIONES PARCIALES
CASO 1: El denominador  Q x es un producto de factores lineales distintos.
 
 
k
k k
P x AA A
. . . . .
Q x a x b a x b a x b
   
  
1 2
1 1 2 2
CASO 2: El denominador  Q x es un producto de factores lineales, algunos de los cuales
están repetidos.
 
     
k
k
P x AA A
. . . . .
Q x a x b a x b a x b
   
  
1 2
2
1 1 1 1 1 1
CASO 3: El denominador  Q x contiene factores cuadráticos irreductibles.
 
 
P x Ax B
Q x ax bx c


 2
CASO 4: El denominador  Q x contiene un factor cuadrático irreductible repetido.
 
     
k k
k
P x A x BA x B A x B
. . . . .
Q x ax bx c ax bx c ax bx c
 
   
     
1 1 2 2
2 2
2 2
u dv uv v du 
 
PROFESOR: JULIO BARRETO - 2 - MATERIA: MATEMÁTICA IV
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
TIPO I: INTEGRALES DE PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS
Para evaluar las integrales: Usar las identidades:
(a)    sen mx cos nx dx

(a)    sen A cos B sen A B sen A B     
1
2
(b)    sen mx sen nx dx

(b)    sen A sen B cos A B cos A B     
1
2
(c)    cos mx cos nx dx
 (c)    cos A cos B cos A B cos A B     
1
2
TIPO II: INTEGRALES DE LA FORMA m n
sen x cos x dx

(a) Si la potencia de la función coseno es impar (n k 2 1 ), guardar un factor
coseno y utilizar cos x sen x 2 2
1 para expresar los factores restantes en
términos de la función seno.
 
 
k
m k m
k
m
sen x cos x dx sen x cos x cos x dx
sen x sen x cos x dx


 
 

2 1 2
2
1
Luego, sustituir u sen x para lo cual .cosxdxdu 
(b) Si la potencia de la función seno es impar ( m k 2 1), guardar un factor seno y
utilizar sen x cos x 2 2
1 para expresar los factores restantes en términos de la
función coseno.
 
 
k
k n n
k
n
sen x cos x dx sen x cos x sen x dx
cos x cos x sen x dx


 
 

2 1 2
2
1
Luego, sustituir xu cos para lo cual .senxdxdu 
PROFESOR: JULIO BARRETO - 3 - MATERIA: MATEMÁTICA IV
(c) Si las potencias de las funciones seno y coseno son pares, usar las identidades del
semiángulo.
 sen x cos x 2 1
1 2
2
 cos x cos x 2 1
1 2
2
TIPO III: INTEGRALES DE LA FORMA m n
tan x sec x dx
 ó xdxecx nm
 coscot
(a) Si la potencia de la función secante es par ( n k 2 ), guardar un factor de sec x2
y
utilizar sec x tan x 2 2
1 para expresar los factores restantes en términos de
tan x .
 
 
k
m k m
k
m
tan x sec x dx tan x sec x sec x dx
tan x tan x sec x dx



 
 

1
2 2 2
1
2 2
1
Luego, sustituir u tan x para lo cual .sec2
xdxdu 
Además, para la otra integral si la potencia de la función cosecante es par
( n k 2 ), guardar un factor de xec2
cos y utilizar xxec 22
cot1cos  para
expresar los factores restantes en términos de xcot .
 
  xdxecxx
xdxecxecxxdxecx
km
kmkm
212
2122
coscot1cot
coscoscotcoscot






Luego, sustituir xu cot para lo cual .cos 2
xdxecdu 
(b) Si la potencia de la función tangente es impar (m k 2 1), guardar un factor de
sec x tan x y utilizar tan x sec x 2 2
1 para expresar los factores restantes en
términos de la función sec x .
 
 
k
k n n
k
n
tan x sec x dx tan x sec x sec x tan x dx
sec x sec x sec x tan x dx
 


 
 

2 1 2 1
2 1
1
Luego, sustituir u sec x para lo cual .tansec xdxxdu 
PROFESOR: JULIO BARRETO - 4 - MATERIA: MATEMÁTICA IV
Además, para la otra integral si la potencia de la función cotangente es impar
( m k 2 1), guardar un factor de exxcoscot y utilizar xxec 22
cot1cos 
para expresar los factores restantes en términos de la función ecxcos .
   
   dxecxxxecxec
dxexxxecxxdxecx
nk
nknk






coscotcos1cos
coscotcoscotcoscot
12
1212
Luego, sustituir ecxu cos para lo cual .coscot ecxdxxdu 
SUSTITUCIONES DE RACIONALIZACIÓN
Mediante una sustitución apropiada, algunas funciones se pueden transformar en racionales y
por consiguiente, integradas por alguno de los métodos vistos. En particular, cuando un integrando
contiene una expresión de la forma  n
g x , entonces la sustitución  n
u g x o  u g x puede
ser efectiva.
ESTRATEGIA DE INTEGRACIÓN
La integración es más desafiante que la derivación. Al encontrar la derivada de una función es
obvio cual fórmula de derivación se debe aplicar, pero puede no resultar obvio que técnica se debe
emplear para integrar una función dada.
Veamos ahora una colección de diversas integrales en orden aleatorio y el principal reto
consiste en identificar cuál técnica o fórmula se debe usar. No existen reglas rígidas y rápidas con
respecto a cuál método se aplica en una situación dada, pero proporcionaremos algunas sugerencias
acerca de la estrategia que puede ser útil. Un prerrequisito para ello es el conocimiento de las fórmulas
de integración básicas. La mayoría de ellas deben ser memorizadas. Una vez proporcionadas estas
fórmulas de integración básicas, si no se ve inmediatamente cómo proceder a calcular una integral
dada, se podrá intentar la siguiente estrategia de cuatro pasos:
1. SIMPLIFICAR EL INTEGRANDO SIEMPRE QUE SEA POSIBLE. Algunas veces el manejo
algebraico o las identidades trigonométricas simplificarán el integrando y harán obvio el método de
integración. Los siguientes son algunos ejemplos:
   x x dx x x dx  
 1
tan sen
d cos d sen cos d sen d
cossec
 
       

  
   
2
2
1
2
2
     sen x cos x dx sen x sen x cos x cos x dx sen x cos x dx     
  
2 2 2
2 1 2
PROFESOR: JULIO BARRETO - 5 - MATERIA: MATEMÁTICA IV
2. BUSCAR UNA SUSTITUCIÓN OBVIA. Trate de encontrar alguna función  u g x en el
integrando y que, su diferencial  du g' x dx también esté presente, excepto por un factor
constante. Por ejemplo:
x
dx
x  2
1
En la integral se observa que si u x 2
1, entonces du x dx 2 . Por lo tanto se emplea la
sustitución u x 2
1 en vez del método de fracciones parciales.
3. CLASIFICAR EL INTEGRANDO DE ACUERDO A SU FORMA. Si los pasos 1 y 2 no han
llevado a la solución, entonces se observa la forma del integrando  f x .
a) F UNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Si  f x es un producto de potencias de sen x y
cos x o tan x y sec x o cot x y csc x, entonces se usan las sustituciones recomendadas. Si f es
una función trigonométrica que no es de dichos tipos pero no obstante es una función racional
de sen x y cos x, entonces se emplea la sustitución:







2
tan
x
z (SUSTITICIÓN DE WEIERSTRASS)
Con
22
2
2
1
2
y
1
1
cos,
1
2
z
dz
dx
z
z
x
z
z
senx







b) FUNCIONES RACIONALES. Si f es una función racional, se utiliza el procedimiento
utilizado para las fracciones parciales.
c) INTEGRACIÓN POR PARTES. Si  f x es un producto de una potencia de x (o un
polinomio) y una función trascendente (tal como una función trigonométrica, exponencial o
logarítmica), entonces se prueba la integración por partes, eligiendo u y dv según los
lineamientos tomando u de acuerdo con el criterio:
Inversa trigonométrica
Logarítmica
Algebraica
Trigonométrica
Exponencial
d) RADICALES. Cuando aparecen ciertos radicales se recomiendan tipos particulares de
sustituciones
(i) Si está presente la expresión x a 2 2
, se usa la sustitución trigonométrica adecuada
según la tabla dada.
PROFESOR: JULIO BARRETO - 6 - MATERIA: MATEMÁTICA IV
(ii) Si aparece la expresión ax b , se usa la sustitución de racionalización
u ax b  . De manera más general, este procedimiento es efectivo algunas veces en
que aparecen  g x .
4. INTENTAR DE NUEVO. Si los tres primeros pasos no han producido la respuesta, recuerde que
existen básicamente solamente dos métodos de integración: por sustitución y por partes.
(a) INTENTAR LA SUSTITUCIÓN. Aun cuando no haya una sustitución obvia (Paso 2),
un poco de inspiración o de ingenio (incluso de desesperación) podría sugerir una
sustitución apropiada.
(b) INTENTAR INTEGRACIÓN POR PARTES. Aunque la integración por partes se usa
la mayoría de las veces en el caso de productos de la forma descrita en el Paso 3(c), a
veces es efectiva en el caso de una sola función.
(c) MANIPULAR EL INTEGRANDO. Las manipulaciones algebraicas (tal vez la
racionalización del denominador o el uso de identidades trigonométricas) pueden ser
útiles para transformar la integral en una forma más sencilla. Esta manipulaciones
pueden ser más sustanciales que en el Paso 1 y pueden implicar un poco de ingenio. El
siguiente es un ejemplo:
dx dx cos x cos x
dx
cos x cos x cos x cos x
cos x cos x
dx csc x dx
sen x sen x
 
  
   
  
   
 
  
 
2
2
2 2
1 1
1 1 1 1
1
(d) RELACIONAR EL PROBLEMA CON PROBLEMAS ANTERIORES. Cuando
se ha adquirido cierta experiencia con la integración, se puede emplear un método en
una integral dada que sea semejante a uno ya utilizado con una integral anterior. O se
podría incluso expresar la integral dada en términos de un anterior. Por ejemplo,
tan x sec x dx

2
es una integral de apariencia difícil, pero si se hace uso de la
identidad tan x sec x 2 2
1 , se puede escribir:
tan x sec x dx sec x dx sec x dx 
  
2 3
y si sec x dx

3
ha sido calculada previamente, entonces se puede utilizar en el
problema presente.
(e) USAR VARIOS MÉTODOS. Algunas veces se requieren dos o tres métodos para
calcular una integral. El cálculo podría implicar varias sustituciones sucesivas de tipos
diferentes o bien combinar la integración por partes con una o más sustituciones.

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  • 1. PROFESOR: JULIO BARRETO - 1 - MATERIA: MATEMÁTICA IV TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN La integración no es tan directa como la derivación. No hay reglas que garanticen absolutamente la obtención de una integral indefinida de una función. Por consiguiente, es necesario desarrollar técnicas para usar las fórmulas de integración básicas con el fin de obtener integrales indefinidas de funciones más complejas. INTEGRACIÓN POR PARTES SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Expresión Sustitución Identidad a x2 2 x a sen  cos sen  2 2 1 a x2 2 x a tan  sec tan  2 2 1 x a2 2 x a sec  tan sec  2 2 1 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES MEDIANTE FRACCIONES PARCIALES CASO 1: El denominador  Q x es un producto de factores lineales distintos.     k k k P x AA A . . . . . Q x a x b a x b a x b        1 2 1 1 2 2 CASO 2: El denominador  Q x es un producto de factores lineales, algunos de los cuales están repetidos.         k k P x AA A . . . . . Q x a x b a x b a x b        1 2 2 1 1 1 1 1 1 CASO 3: El denominador  Q x contiene factores cuadráticos irreductibles.     P x Ax B Q x ax bx c    2 CASO 4: El denominador  Q x contiene un factor cuadrático irreductible repetido.         k k k P x A x BA x B A x B . . . . . Q x ax bx c ax bx c ax bx c             1 1 2 2 2 2 2 2 u dv uv v du   
  • 2. PROFESOR: JULIO BARRETO - 2 - MATERIA: MATEMÁTICA IV INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS TIPO I: INTEGRALES DE PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS Para evaluar las integrales: Usar las identidades: (a)    sen mx cos nx dx  (a)    sen A cos B sen A B sen A B      1 2 (b)    sen mx sen nx dx  (b)    sen A sen B cos A B cos A B      1 2 (c)    cos mx cos nx dx  (c)    cos A cos B cos A B cos A B      1 2 TIPO II: INTEGRALES DE LA FORMA m n sen x cos x dx  (a) Si la potencia de la función coseno es impar (n k 2 1 ), guardar un factor coseno y utilizar cos x sen x 2 2 1 para expresar los factores restantes en términos de la función seno.     k m k m k m sen x cos x dx sen x cos x cos x dx sen x sen x cos x dx        2 1 2 2 1 Luego, sustituir u sen x para lo cual .cosxdxdu  (b) Si la potencia de la función seno es impar ( m k 2 1), guardar un factor seno y utilizar sen x cos x 2 2 1 para expresar los factores restantes en términos de la función coseno.     k k n n k n sen x cos x dx sen x cos x sen x dx cos x cos x sen x dx        2 1 2 2 1 Luego, sustituir xu cos para lo cual .senxdxdu 
  • 3. PROFESOR: JULIO BARRETO - 3 - MATERIA: MATEMÁTICA IV (c) Si las potencias de las funciones seno y coseno son pares, usar las identidades del semiángulo.  sen x cos x 2 1 1 2 2  cos x cos x 2 1 1 2 2 TIPO III: INTEGRALES DE LA FORMA m n tan x sec x dx  ó xdxecx nm  coscot (a) Si la potencia de la función secante es par ( n k 2 ), guardar un factor de sec x2 y utilizar sec x tan x 2 2 1 para expresar los factores restantes en términos de tan x .     k m k m k m tan x sec x dx tan x sec x sec x dx tan x tan x sec x dx         1 2 2 2 1 2 2 1 Luego, sustituir u tan x para lo cual .sec2 xdxdu  Además, para la otra integral si la potencia de la función cosecante es par ( n k 2 ), guardar un factor de xec2 cos y utilizar xxec 22 cot1cos  para expresar los factores restantes en términos de xcot .     xdxecxx xdxecxecxxdxecx km kmkm 212 2122 coscot1cot coscoscotcoscot       Luego, sustituir xu cot para lo cual .cos 2 xdxecdu  (b) Si la potencia de la función tangente es impar (m k 2 1), guardar un factor de sec x tan x y utilizar tan x sec x 2 2 1 para expresar los factores restantes en términos de la función sec x .     k k n n k n tan x sec x dx tan x sec x sec x tan x dx sec x sec x sec x tan x dx          2 1 2 1 2 1 1 Luego, sustituir u sec x para lo cual .tansec xdxxdu 
  • 4. PROFESOR: JULIO BARRETO - 4 - MATERIA: MATEMÁTICA IV Además, para la otra integral si la potencia de la función cotangente es impar ( m k 2 1), guardar un factor de exxcoscot y utilizar xxec 22 cot1cos  para expresar los factores restantes en términos de la función ecxcos .        dxecxxxecxec dxexxxecxxdxecx nk nknk       coscotcos1cos coscotcoscotcoscot 12 1212 Luego, sustituir ecxu cos para lo cual .coscot ecxdxxdu  SUSTITUCIONES DE RACIONALIZACIÓN Mediante una sustitución apropiada, algunas funciones se pueden transformar en racionales y por consiguiente, integradas por alguno de los métodos vistos. En particular, cuando un integrando contiene una expresión de la forma  n g x , entonces la sustitución  n u g x o  u g x puede ser efectiva. ESTRATEGIA DE INTEGRACIÓN La integración es más desafiante que la derivación. Al encontrar la derivada de una función es obvio cual fórmula de derivación se debe aplicar, pero puede no resultar obvio que técnica se debe emplear para integrar una función dada. Veamos ahora una colección de diversas integrales en orden aleatorio y el principal reto consiste en identificar cuál técnica o fórmula se debe usar. No existen reglas rígidas y rápidas con respecto a cuál método se aplica en una situación dada, pero proporcionaremos algunas sugerencias acerca de la estrategia que puede ser útil. Un prerrequisito para ello es el conocimiento de las fórmulas de integración básicas. La mayoría de ellas deben ser memorizadas. Una vez proporcionadas estas fórmulas de integración básicas, si no se ve inmediatamente cómo proceder a calcular una integral dada, se podrá intentar la siguiente estrategia de cuatro pasos: 1. SIMPLIFICAR EL INTEGRANDO SIEMPRE QUE SEA POSIBLE. Algunas veces el manejo algebraico o las identidades trigonométricas simplificarán el integrando y harán obvio el método de integración. Los siguientes son algunos ejemplos:    x x dx x x dx    1 tan sen d cos d sen cos d sen d cossec                   2 2 1 2 2      sen x cos x dx sen x sen x cos x cos x dx sen x cos x dx         2 2 2 2 1 2
  • 5. PROFESOR: JULIO BARRETO - 5 - MATERIA: MATEMÁTICA IV 2. BUSCAR UNA SUSTITUCIÓN OBVIA. Trate de encontrar alguna función  u g x en el integrando y que, su diferencial  du g' x dx también esté presente, excepto por un factor constante. Por ejemplo: x dx x  2 1 En la integral se observa que si u x 2 1, entonces du x dx 2 . Por lo tanto se emplea la sustitución u x 2 1 en vez del método de fracciones parciales. 3. CLASIFICAR EL INTEGRANDO DE ACUERDO A SU FORMA. Si los pasos 1 y 2 no han llevado a la solución, entonces se observa la forma del integrando  f x . a) F UNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Si  f x es un producto de potencias de sen x y cos x o tan x y sec x o cot x y csc x, entonces se usan las sustituciones recomendadas. Si f es una función trigonométrica que no es de dichos tipos pero no obstante es una función racional de sen x y cos x, entonces se emplea la sustitución:        2 tan x z (SUSTITICIÓN DE WEIERSTRASS) Con 22 2 2 1 2 y 1 1 cos, 1 2 z dz dx z z x z z senx        b) FUNCIONES RACIONALES. Si f es una función racional, se utiliza el procedimiento utilizado para las fracciones parciales. c) INTEGRACIÓN POR PARTES. Si  f x es un producto de una potencia de x (o un polinomio) y una función trascendente (tal como una función trigonométrica, exponencial o logarítmica), entonces se prueba la integración por partes, eligiendo u y dv según los lineamientos tomando u de acuerdo con el criterio: Inversa trigonométrica Logarítmica Algebraica Trigonométrica Exponencial d) RADICALES. Cuando aparecen ciertos radicales se recomiendan tipos particulares de sustituciones (i) Si está presente la expresión x a 2 2 , se usa la sustitución trigonométrica adecuada según la tabla dada.
  • 6. PROFESOR: JULIO BARRETO - 6 - MATERIA: MATEMÁTICA IV (ii) Si aparece la expresión ax b , se usa la sustitución de racionalización u ax b  . De manera más general, este procedimiento es efectivo algunas veces en que aparecen  g x . 4. INTENTAR DE NUEVO. Si los tres primeros pasos no han producido la respuesta, recuerde que existen básicamente solamente dos métodos de integración: por sustitución y por partes. (a) INTENTAR LA SUSTITUCIÓN. Aun cuando no haya una sustitución obvia (Paso 2), un poco de inspiración o de ingenio (incluso de desesperación) podría sugerir una sustitución apropiada. (b) INTENTAR INTEGRACIÓN POR PARTES. Aunque la integración por partes se usa la mayoría de las veces en el caso de productos de la forma descrita en el Paso 3(c), a veces es efectiva en el caso de una sola función. (c) MANIPULAR EL INTEGRANDO. Las manipulaciones algebraicas (tal vez la racionalización del denominador o el uso de identidades trigonométricas) pueden ser útiles para transformar la integral en una forma más sencilla. Esta manipulaciones pueden ser más sustanciales que en el Paso 1 y pueden implicar un poco de ingenio. El siguiente es un ejemplo: dx dx cos x cos x dx cos x cos x cos x cos x cos x cos x dx csc x dx sen x sen x                        2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 (d) RELACIONAR EL PROBLEMA CON PROBLEMAS ANTERIORES. Cuando se ha adquirido cierta experiencia con la integración, se puede emplear un método en una integral dada que sea semejante a uno ya utilizado con una integral anterior. O se podría incluso expresar la integral dada en términos de un anterior. Por ejemplo, tan x sec x dx  2 es una integral de apariencia difícil, pero si se hace uso de la identidad tan x sec x 2 2 1 , se puede escribir: tan x sec x dx sec x dx sec x dx     2 3 y si sec x dx  3 ha sido calculada previamente, entonces se puede utilizar en el problema presente. (e) USAR VARIOS MÉTODOS. Algunas veces se requieren dos o tres métodos para calcular una integral. El cálculo podría implicar varias sustituciones sucesivas de tipos diferentes o bien combinar la integración por partes con una o más sustituciones.