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PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I MATEMÁTICA I
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
El Centro de Masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que
dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas
al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda
la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se
abrevia como c.m.
En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, a
efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para
análisis físicos en los que no es indispensable considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en
las órbitas de los planetas.
Ahora bien, el Centro de Gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las
fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma
que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es
el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho
cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las
fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo
producen un momento resultante nulo.
El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del
cuerpo. Así, el centro de gravedad de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera, la
cual no pertenece al cuerpo. El centro de gravedad de un cuerpo depende de la forma del cuerpo y
de cómo está distribuida su masa.
En física, además del centro de gravedad y de centro de masa, aparece un el concepto de
Centro Geométrico o Centroide que, aunque pueden coincidir, es conceptualmente diferente,
siendo el centroide un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema.
Sin embargo, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas
circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera
intercambiable, aunque designan conceptos diferentes.
Así tendremos que:
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 2 - MATERIA: MATEMÁTICA I
El centro de masas coincide con el centroide cuando la densidad es uniforme o cuando la
distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría.
El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo está en un campo
gravitatorio uniforme. Es decir, cuando el campo gravitatorio es de magnitud y dirección
constante en toda la extensión del cuerpo. A los efectos prácticos esta coincidencia se cumple
con precisión aceptable para casi todos los cuerpos que están sobre la superficie terrestre,
incluso para una locomotora o un gran edificio, puesto que la disminución de la intensidad
gravitatoria es muy pequeña en toda la extensión de estos cuerpos.
El Momento de Inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo.
Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional
puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia.
Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por
medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de
inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo
en movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de
partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la
geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que
intervienen en el movimiento.
Un ejemplo de momento de inercia aparece en un trompo que un niño
impulsa a gran velocidad para que gire sobre el suelo y también en
los bailarines que realizan giros horizontales de 360º apoyándose en un solo
pie y ayudándose con los brazos para no perder el equilibrio y la verticalidad.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del
movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un
sólido rígido.
Ahora bien, el Trabajo (física) es el producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo y del
desplazamiento del cuerpo en la dirección de esta fuerza. Mientras se realiza trabajo sobre el
cuerpo, se produce una transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el
trabajo es energía en movimiento.
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO BARRETO - 3 - MATERIA: MATEMÁTICA I
CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS PLANAS
Considere una placa delgada de masa distribuida en forma continua en dos dimensiones y
con densidad de área constante. A tal región se le llama lámina.
DISTRIBUCIONES DE MASAS EN EL PLANO
a) DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE MATERIA
Considere un sistema de n partículas ubicadas en los puntos      nn yxyxyx ,,,,,, 2211  en
el plano ,, yx y sean las medidas de sus masas ,,,, 21 nmmm  despreciables.
El centro de masa es el punto donde la lámina está en equilibrio, como se muestra en la
siguiente figura:
La figura muestra ocho partículas colocadas sobre la placa. La identificación de la i ésima
partícula es ,im que es la medida de su masa. La placa está en equilibrio sobre un punto de apoyo
ubicado en el centro de masa denotado por  ., yx
Para determinar el centro de masa de dicho sistema, primero se debe definir la masa total
del sistema y el momento de masa del sistema con respecto a los ejes coordenados
Suponga que la i ésima partícula ubicada en el punto  ii yx , tiene masa im kilogramos.
Entonces la masa total del sistema es M kilogramos, donde:


n
i
imM
1
El momento de masa de la i ésima partícula con respecto al eje y es ii xm kilogramos
metros, y su momento de masa con respecto al eje x es ii ym kilogramos metros. Si M
kilogramos metros es el momento del sistema de n partículas con respecto al eje ,x entonces:


n
i
iiy xmM
1
y 

n
i
iix ymM
1
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 4 - MATERIA: MATEMÁTICA I
El centro de masa del sistema es el punto  yx, donde
y
M
Mx
y
M
My
x 
El punto  yx, puede representarse como el punto tal que si la masa total del sistema de
M kilogramos se concentrase ahí, entonces el momento de masa del sistema con respecto al eje
y sería xM kilogramos metros y su momento con respecto al eje x sería yM kilogramos metro.
Ejemplo: Determine el centro de masa del 4 partículas cuyas masas tienen medidas 2, 4, 6
y 1 las cuales se ubican en los puntos        1,4,3,0,1,2,2,5  respectivamente. Calcular
,yM xM y  .,yx
Solución:
Cálculo de :yM
        240121041042652
4
1
 
i
i
iy xmM
Cálculo de :xM
        131126411341622
4
1
 
i
i
ix ymM
Y además, la masa es:
131462
4
1
 i
imM
Por lo tanto
1
13
13
y
13
2

M
Mx
y
M
My
x
El centro de masa está en .1,
13
2






Ejercicio propuesto: Represente el centro de masa del sistema discreto anterior.
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO BARRETO - 5 - MATERIA: MATEMÁTICA I
Ejercicio: Determine el centro de masa de 4 partículas cuyas masas tienen medidas 8, 1, 4
y 1 las cuales se ubican en los puntos        1,4,3,0,1,2,2,3  respectivamente. Calcular
,yM xM y  .,yx Represente el centro de masa del sistema discreto anterior.
b) DISTRIBUCIÓN CUASIDISCRETA DE MATERIA
En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho
más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante
aproximado.
c) DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MATERIA
Ahora, sea L la lámina homogénea cuya densidad1
de área constante es kilogramos por
metro cuadrado, la cual está limitada por la curva  xfy  , el eje x y las rectas ax  y .bx 
1
En física y química, la densidad (del latín densĭtas, -ātis) es una magnitud escalar referida a la
cantidad de masa en un determinado volumen de una sustancia. Usualmente se simboliza
mediante la letra rho  del alfabeto griego. La densidad media es la relación entre la masa de un
cuerpo y el volumen que ocupa (Densidad Volumétrica = masa / volumen), ,
V
m
 en unidades
de masa sobre unidades de volumen, ejemplos: kg/metro cúbico, gramos /centímetro cúbico,
libras / pulgada cúbica. Por ejemplo si un bloque de concreto de 2 m de ancho x 2 m de largo por
medio metro de alto (2 metros cúbicos) pesa 500 kilogramos, tiene una densidad volumétrica de
250 kg/metro cúbico.
 Sin embargo, tres conceptos se refieren a densidad de masa. Para el caso de
electromagnetismo, los conceptos son similares, pero se cambia lo de masa por carga, en
unidades de columbios.
Densidad Lineal: Es la que se usa para medir la densidad de hilos, cables, varillas,
alambres, etc. Resulta de la división de la masa entre la longitud del cuerpo.
Densidad lineal=masa/longitud, en unidades de masa sobre longitud, ejemplos: kg/m,
gr/cm, lb/pulg. Por ejemplo si un cable de 10 metros pesa 5 kilogramos, tiene una
densidad lineal de 0.5 kg/m.
Densidad Superficial: Es la que se usa para medir la densidad de placas, láminas,
cartones, pisos, etc. Se obtiene dividiendo la masa entre el área del cuerpo.
Densidad lineal = masa / área, en unidades de masa entre unidades de superficie,
ejemplos: kg/metro cuadrado, gramos /centímetro cuadrado, libras / pulgada cuadrada.
Por ejemplo si un techo de un cuarto de 4 m x 4 m (16 metros cuadrados) pesa 1000
kilogramos, tiene una densidad superficial de 62.5 kg/metro cuadrado.
 Densidad Volumétrica: Es la que se usa para medir la densidad de cuerpos de 3
dimensiones (largo, ancho y alto), como bloques, cubos, etc. Se obtiene dividiendo la
masa entre el volumen del cuerpo.
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 6 - MATERIA: MATEMÁTICA I
Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado  ba, y que   0xf para
toda x en  .,ba Como lo muestra la figura siguiente:
Observación: El centro de masa de una región homogénea no depende de su densidad o de
su masa, sino solo de la forma de la región correspondiente en el plano. Por tanto, nuestro
problema resulta geométrico en lugar de ser físico. De acuerdo con ello, a menudo hablaremos de
CENTROIDE de una región plana en lugar de Centro de Masa de una lámina homogénea.
DEFINICIÓN DE MASA, MOMENTO DE MASA Y CENTRO DE MASA DE UNA
LÁMINA.
Sea L una lámina homogénea cuya densidad de área constante es kilogramos por metro
cuadrado. La cual está limitada por la curva.  xfy  , el eje x y las rectas ax  y .bx 
La función es continua en  ba, y   0xf para toda x en  .,ba
Si M kilogramos de masa total de la lámina L, entonces
 dxxfkM
b
a
Si xM kilogramos metro es el momento de masa de la lámina L con respecto al eje x ,
entonces
   dxxfM
b
a
x
2
2
1

Si yM kilogramos metro es el momento de masa de la lámina L con respecto al eje y ,
entonces
 dxxxfkM
b
a
y 
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO BARRETO - 7 - MATERIA: MATEMÁTICA I
Si  yx, es el centro de masa de la lámina L , entonces
M
Mx
y
M
My
x  y
Podemos hallar el centro de una región plana en lugar del centro de masa de una región
homogénea, por lo tanto se considerará el centro de masa como centroide de la región. En lugar
de momento de masa se considerarán momentos de la región.
Sea R la región limitada por la curva  xfy  , el eje x y las rectas ax  y .bx  La
función f es continua en  ba, y   0xf para toda x en  .,ba Si xM denota el momento de
R con respecto al eje x y yM denota el momento de R respecto al eje y , entonces
   dxxfM
b
a
x
2
2
1

 dxxxfkM
b
a
y 
Si  yx, es el centroide de la región plana de R cuya área es A unidades cuadradas y xM
y yM se define como
y
M
Mx
y
M
My
x 
Ejemplo 1: Determinar el centroide de la región del primer cuadrante limitada por la curva
,42
xy  el eje x y las rectas 1x y .4x
Solución:
Si   ,4
22
xxfy  entonces   .24 xxxf  Cuya gráfica es:
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 8 - MATERIA: MATEMÁTICA I
El área de la región está dada por:
 dxxfA 
4
1
dxxA 
4
1
2
dxxA 
4
1
2
1
2















4
1
1
2
1
1
2
1
2
x
A













4
1
2
3
2
3
2
x
A









4
1
2
3
3
2
2 xA









4
1
2
3
3
4
xA








 2
3
2
3
14
3
4
A
 33
12
3
4
A
 18
3
4
A
 7
3
4
A
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO BARRETO - 9 - MATERIA: MATEMÁTICA I
3
28
A
Ahora se calcula yM y xM
 dxxxfM y 
4
1
 dxxxM y 
4
1
2
dxxxM y  








4
1
2
1
2
dxxM y 


4
1
2
1
1
2
dxxM y 
4
1
2
3
2















4
1
1
2
3
1
2
3
2
x
M y













4
1
2
5
2
5
2
x
M y









4
1
2
5
5
2
2 xM y








 2
5
2
5
14
5
4
yM
 55
12
5
4
yM
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 10 - MATERIA: MATEMÁTICA I
 132
5
4
yM
 31
5
4
yM
5
124
yM
Y
   dxxfM x 
4
1
2
2
1
  dxxM x 
4
1
2
2
2
1
    dxxM x 
4
1
22
2
2
1
dxxM x 
4
1
4
2
1
dxxM x 
4
1
4
2
1
dxxM x 
4
1
2









4
1
2
2
2
x
M x
4
1
2
xM x 
22
14 xM
116 xM
15xM
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO BARRETO - 11 - MATERIA: MATEMÁTICA I
Calculamos ahora x y y
28
45
3
28
15
y
35
93
3
28
5
124

M
Mx
y
M
My
x
El centroide está en .
28
45
,
35
93






Ejercicios:
1. Determinar el centroide de una placa semicircular de radio .r Respuesta: .
3
4
,0 






r
2. La densidad  x (Densidad lineal) de un cable en el punto a x centímetros de uno de
los extremos está dada por   2
3xx  gramos por centímetros. encuentre el centro de
masa del pedazo comprendido entre 0x y .10x Respuesta: 7,5cm
3. Determinar el centroide de la región bajo la curva  ,xseny  .0  x
Respuesta: .
8
,
2





 
4. Determinar el centroide de la región R encerrada por los ejes coordenados y la curva
ayx  Respuesta: .
5
,
5





 aa
PRINCIPIO DE SIMETRÍA
En el ejercicio 1, el centroide estará en el eje Y el cual es el eje de simetría, en el ejercicio
3 el centroide estará en el eje ,
2

x y en el ejercicio 4 el centroide estará en la diagonal xy 
que es el eje de simetría.
Podemos concluir un principio que es intuitivamente obvio: “SI UNA REGIÓN TIENE
UN EJE DE SIMETRÍA, ENTONCES EL CENTROIDE DE LA REGIÓN ESTA
SITUADO EN ESTE EJE”.
En el ejemplo siguiente la región está limitada por dos curvas en lugar de una y el eje x . El
método para determinar el centroide es el mismo que el anterior, pero las ecuaciones para yM y
xM ahora dependen de las ecuaciones que definen las curvas.
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 12 - MATERIA: MATEMÁTICA I
Ejemplo 2: Determinar el centroide limitado por las curvas 2
xy  y .32  xy
Solución:
Los puntos de intersección de las curvas son cuando ,32 2
xx  es decir, factorizando
usando algún método, obtenemos:
   0130322
 xxxx
Obteniéndose que
 303  xx y tenemos que 932
y
 101  xx y tenemos que   11
2
y
Y así, los puntos de intersección son  1,1 y  9,3 . Veamos en la figura:
De acá, sea   2
xxf  y   .32  xxg
El centroide del i ésimos elemento rectangular está en el punto
   





 
2
, ii
i
mgmf
m
donde im es el punto medio del i ésimo subintervalo  .,1 ii xx 
La medida del área de la región está dada por:
    dxxfxgA 

3
1
 dxxxA 

3
1
2
32
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO BARRETO - 13 - MATERIA: MATEMÁTICA I
dxxdxdxxA  

3
1
2
3
1
3
1
32
  




















3
1
3
3
1
3
1
2
3
3
2
2
x
x
x
A
        3322
13
3
1
13313 A
     127
3
1
13319 A
   28
3
1
438 A
3
28
128 A
3
28
128 A
3
28
20 A
3
32
A
Calculamos yM y :xM
    dxxfxgxM y 

3
1
 dxxxxM y 

3
1
2
32
 dxxxxM y 

3
1
32
32
dxxdxxdxxM y  

3
1
3
3
1
3
1
2
32
dxxdxxdxxM y  

3
1
3
3
1
3
1
2
32
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 14 - MATERIA: MATEMÁTICA I




























3
1
43
1
23
1
3
42
3
3
2
xxx
M y














3
1
43
1
23
1
3
4
1
2
3
3
2
xxxM y
        442233
13
4
1
13
2
3
13
3
2
yM
      181
4
1
19
2
3
127
3
2
yM
     80
4
1
8
2
3
127
3
2
yM
     80
4
1
8
2
3
28
3
2
yM
4
80
2
24
3
56
yM
4
80
2
24
3
56
yM
3
32
yM
    dxxfxgM x 

3
1
22
2
1
    dxxxM x 

3
1
222
32
2
1
      dxxxxM x 

3
1
422
33222
2
1
  dxxxxM x 

3
1
42
9124
2
1
 dxxxxM x 

3
1
42
9124
2
1
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO BARRETO - 15 - MATERIA: MATEMÁTICA I




   
3
1
4
3
1
3
1
3
1
2
9124
2
1
dxxdxdxxdxxM x
  





































3
1
5
3
1
3
1
23
1
3
5
9
2
12
3
4
2
1 x
x
xx
M x
           






552233
13
5
1
13913613
3
4
2
1
xM
         





 1243
5
1
139196127
3
4
2
1
xM
       





 1243
5
1
4986127
3
4
2
1
xM
   





 244
5
1
364828
3
4
2
1
xM







5
244
84
3
112
2
1
xM







15
1088
2
1
xM
15
544
xM
Así,
3
32
15
544
y
3
32
3
32
M
Mx
y
M
My
x 
yx
__
5
17
1 
Ejercicios:
1. Determinar el centroide de la región limitada por las curvas 3
xy  y .xy 
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 16 - MATERIA: MATEMÁTICA I
Respuesta: .
7
3
,
25
12






2. Determinar el centroide de la región encerrada por 2
4 xy  y 2 xy
Respuesta: .
5
12
,
2
1






MOMENTOS DE INERCIA
El Momento de Inercia es una magnitud que establece la resistencia que presenta un cuerpo
a cambiar su velocidad angular, con relación un eje específico: el torque externo aplicado a un
cuerpo rígido se relaciona con la aceleración angular adquirida según la relación:
 I
En donde I es el momento de inercia,  aceleración angular,  el momento o torque
externo aplicado.
Para una distribución de masa discreta el Momento de Inercia puede calcularse con la
ecuación:


n
i
ii rmI
1
2
Donde m son las masas puntuales y r la distancia la distancia al eje de rotación.
Si la distribución de masas es continua el cálculo se hará con un integral.
 dmrI 2
Ejemplo: Se unen cuatro partículas de masa m mediante varillas sin masa, formando un
rectángulo de lados a2 y b2 . El sistema gira alrededor de un eje en el plano de la figura que pasa
por su centro.
Hallar el momento de inercia respecto de este eje.
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO BARRETO - 17 - MATERIA: MATEMÁTICA I
Solución:
Si aplicamos la definición de momento de inercia: 

n
i
ii rmI
1
2
tenemos que:
2
4mbIx  y 2
4maIy 
Ejemplo: Calcular los momentos de inercia respecto a su eje de simetría de una esfera
homogénea.
Solución:
Coloquemos nuestro origen de coordenadas en el centro de la esfera, según la figura:
Si dividimos nuestra esfera en diferenciales de masa dm con forma de coraza esférica de
radio r y espesor ,dr todos los puntos de dicho dm se encuentran a la misma distancia del
centro, por lo tanto si calculamos el momento de inercia polar de la esfera respecto de dicho
centro nos dará:
2
5
3
5
0
4
0
222
0
5
3
5
4
3
45
444 MR
R
R
MR
drrdrrrdmrI
RR













  


Por simetría el momento de inercia respecto de los tres ejes coordenados YX, y Z tiene el
mismo valor ,zyx III  y además se verifica que:
02IIII zyx 
Por tanto
2
5
2
MRIII zyx 
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 18 - MATERIA: MATEMÁTICA I
Ejercicio: Calcular los momentos de inercia respecto a su eje de simetría de los siguientes
cuerpos: a) cilindro hueco de paredes delgadas, b) cilindro homogéneo hueco de radio interior a
y exterior b , c) sistema formado por una barra cilíndrica de radio R y longitud L unida a dos
esferas de radio R2 .
PRESIÓN Y TRABAJO
En la física se utiliza el término trabajo para caracterizar la energía de movimiento de un
cuerpo cuando éste es movido cierta distancia debido a una fuerza que actúa sobre él, de modo
que
FdW 
Donde F es la fuerza y d es la distancia.
Sea F una función continua en el intervalo cerrado  ba, y  xf unidades la fuerza que
actúa sobre un objeto en el punto x del eje .X Si W unidades es el trabajo realizado por la
fuerza conforme el objeto se desplaza de a a ,b entonces
 
b
a
dxxfW
Ejemplo: Una particular se mueve a lo largo del eje X debido a la acción de una fuerza de
 xf libras cuando la partícula está a x pies del origen. Si   ,42
 xxf calcule el trabajo
realizado conforme la partícula se mueve del punto donde 2x hasta el punto donde .4x
Se toma una partición del intervalo cerrado  .4,2 Si W libras-pie es el trabajo realizado
cuando la partícula se mueve del punto donde 2x hasta el punto donde ,4x entonces
 
4
2
dxxfW
 dxxW  
4
2
2
4
 
4
2
4
2
2
4 dxdxxW
4
2
4
2
3
4
3
x
x
W 



TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO BARRETO - 19 - MATERIA: MATEMÁTICA I
   4
2
4
2
3
4
3
1
xxW 
   24424
3
1 33
W
   24864
3
1
W
  856
3
1
W
3
2456 
W
3
80
W
deesrealizadotrabajoEl .pie-lb
3
2
26
En el siguiente ejemplo aplicamos una ley física:
xl 
La Ley de Hooke que expresa que la fuerza
requerida para mantener un resorte estirado x
unidades más allá de su longitud natural es
proporcional a :x
  kxxf 
Donde k es una constante positiva (llamada
constante del resorte). La ley de Hooke se cumple
siempre que x no sea demasiado grande.
Ejemplo: Se requiere una fuerza de 40 N para sostener un resorte estirado desde su
longitud natural de 10 cm hasta una longitud de 15 cm. ¿Cuánto trabajo se realiza para estirarlo
desde 15 cm hasta 18 cm?
Solución:
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 20 - MATERIA: MATEMÁTICA I
Según la ley de Hooke, la fuerza requerida para sostener el resorte estirado x metros más
allá de su longitud natural es   .kxxf  . Cuando el resorte se estira desde 10 cm hasta 15 cm, la
cantidad es de 5 cm=0,05 m. esto significa que   ,4005,0 f de modo que
800
05,0
40
4005,0  kk
Por tanto,   xxf 800 y el trabajo realizado al estirar el resorte desde 15 cm hasta 18 cm
es
    
    JW
x
xdxW
56,1039,04000025,00064,0400
05,008,0400
2
800800
22
08,0
05,0
08,0
05,0
2










 
FUERZA EJERCIDA POR LA PRESIÓN DE UN FLUIDO
Otra aplicación de la integral definida en física consiste en determinar la fuerza ejercida por
la presión de un líquido sobre una placa sumergida en él o sobre un lado del recipiente que lo
contiene.
La presión de un líquido es la fuerza por unidad cuadrada de área ejercida por el peso del
líquido.
Así, si  es la densidad del líquido, entonces la presión ejercida por el líquido en un punto
a h unidades debajo de la superficie del líquido es P unidades, donde .hP  
El tamaño del recipiente no importa en lo que a la presión se refiere. Por ejemplo, a una
profundidad de 5 pies en una alberca llena de agua salada la presión es la misma que a 5 pies del
Océano Pacífico, considerando que la densidad del agua es la misma.
Suponga que se introduce horizontalmente una capa delgada en el líquido de un recipiente.
Si A unidades cuadradas es el área de la placa sumergida y F es la medida de la fuerza
ejercida por el líquido que actúa sobre la cara superior de la placa, entonces .APF 
Si se sustituye el valor de la presión en ésta ecuación, tenemos .AhF  
Ejemplo: Una lámina rectangular de hojalata de 8 pies por 12 pies se sumerge en un tanque
que contiene agua a una profundidad de 10 pies, como se muestra en la figura. Calcular la fuerza
ejercida por la presión del agua sobre la cara superior de la lámina
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO BARRETO - 21 - MATERIA: MATEMÁTICA I
Si P son lb/pie2
es la presión ejercida por el agua en un punto de la cara superior de la
lámina, entonces .10P
El área de la lámina es de 96 pie2
. De este modo, si F libras es la fuerza debida a la presión
del agua que actúa sobre la cara superior de la lámina, entonces .96PF 
Al sustituir 10 por ,P tenemos que .960F Y como 4,62 2
en el sistema inglés,
tenemos que:
4,62960F
6000059904 F
Por lo tanto, la fuerza ocasionada por la presión del agua sobre la cara superior de la lámina
de hojalata es de 60 000 lb.
Ahora suponga que se sumerge una placa delgada verticalmente en el líquido de un
recipiente.
Entonces, en puntos de la placa a diferentes profundidades la presión, calculada mediante
,hP   es diferente y será mayor en la parte inferior que en la parte superior de la placa.
Para definir la presión causada por la presión de un líquido sobre una placa vertical se
utiliza el principio de Pascal.
2
La densidad del agua expresado en diferentes unidades:
Densidad Agua = 1 gr/cm3
= 1000 Kg/m3
= 133.53 onza/galón = 62.43 Lb/ft3
= 0.04 Lb/pulg3
La densidad del agua es muy usada como patrón de densidades y volúmenes de otras
sustancias y/o compuestos.
Una propiedad importante de la densidad del agua es que es muy estable, ya que esta varía
muy poco a los cambios de presión y temperatura.
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 22 - MATERIA: MATEMÁTICA I
Principio de Pascal: En cualquier punto de un líquido, la presión es la misma en todas las
direcciones.
En la siguiente figura:
Sea ABCD la región limitada por el eje ,X las rectas ax  y bx  y la curva  ,xfy 
donde la función f es continua y   0xf en el intervalo  .,ba Elija los ejes coordenados de
modo que el eje Y quede sobre la superficie del líquido. Considere el eje X vertical con el
sentido positivo hacia abajo, de modo que  xf unidades es la longitud de la placa a una
profundidad de x unidades.
Sea  una partición del intervalo cerrado  ba, que divide al intervalo en n intervalos.
Elija un punto en el i ésimo subintervalo, de modo que .1 iii xwx  Dibuje los n rectángulos
horizontales. El i ésimo rectángulo tiene una longitud de  iwf unidades y un ancho de xi
unidades.
Si se gira cada elemento rectangular 90, cada elemento se convertirá en un aplaca
sumergida horizontalmente en el líquido a una profundidad iw unidades debajo de la superficie
del líquido y perpendicular a la región ABCD . Entonces, la medida de la fuerza sobre el
i ésimo elemento rectangular es   .xwfw iii  Una aproximación de la medida de la fuerza
total ejercida por la presión del líquido sobre la placa es
 

n
i
iii xwfw
1

Suponga que una placa se sumerge verticalmente en un líquido para el cual la medida de su
densidad es  .
La longitud de la placa a una profundidad x unidades debajo de la superficie del líquido es
 xf unidades, donde f es continua en el intervalo cerrado  ba, y   0xf en  ba, .
Si F es la medida de la fuerza ejercida por la presión del líquido sobre la placa, entonces:
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO BARRETO - 23 - MATERIA: MATEMÁTICA I
  
b
a
dxxfxF 
Ejemplo: Una artesa, cuya sección transversal es un trapecio, está llena de agua. Si el
trapecio mide 3 pies de ancho en su parte superior, 2 pies de ancho en su parte inferior, y 2 pies
de profundidad, calcule la fuerza total ejercida por la presión del agua en un lado de forma
trapezoidal de la artesa.
La figura muestra el lado de la artesa junto con un elemento rectangular de área.
Puesto que una ecuación de la recta AB es ,
42
3 x
y  de aquí:
 
42
3 x
xf 
Si se gira el elemento rectangular un ángulo de 90, la fuerza sobre el elemento es
e   xwfw iii 2 libras.
Si F libras es la fuerza total sobre el lado de la artesa, entonces
 dxxfxF  
2
0
2
dx
x
xF  






2
0 42
3
2
dx
xx
F  






2
0
2
42
3
2






  dxxdxxF
2
0
2
2
0 4
1
2
3
2
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 24 - MATERIA: MATEMÁTICA I


























2
0
32
0
2
34
1
22
3
2
xx
F 
   





 3322
02
12
1
02
4
3
2F
   





 08
12
1
04
4
3
2F
   





 8
12
1
4
4
3
2F







12
8
32F







3
2
32F





 

3
29
2F







3
7
2F
3
14
F
Con  = 62.4:
 
3
4,6214
F
2,291F
La fuerza total es de 291 libras.
Ejemplo: Los extremos de un tanque de gasolina son regiones semicirculares, cada una con
radio de 2 pies: Determine la fuerza ejercida por la presión en un extremo si el tanque está lleno
de gasolina, la cual tiene una densidad de 41 lb/pie2
TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
PROFESOR: JULIO BARRETO - 25 - MATERIA: MATEMÁTICA I
La figura muestra el extremo de un tanque junto con un elemento rectangular de área:
Al resolver la ecuación de la semicircunferencia para y se tiene .4 2
xy 
La fuerza sobre el elemento rectangular es xww iii 
2
42 libras.
Por tanto, si F libras es la fuerza total. Sobre el lado semicircular del tanque, entonces
  



3
16
4
2
3
42
4
0
232
2
0
2


 
F
x-F
dx-xxF
/
Con  = 41, la fuerza total es de 219 lb.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Larson, Hostetler, Edwards. (1995). Cálculo. Volumen 1. Editorial McGraw-Hill. 6ta. Ed.
 Leithold. L. (1998). El Cálculo. Oxford University Press. 7ma. Ed.
 Purcell, E. (1992). Cálculo con Geometría Analítica. 6ta. Ed. Editorial Prentice-Hall-
Hispanoamericana.
 Saenz, J. (2009). Cálculo Integral con funciones trascendentes tempranas. Para ciencias e
ingeniería. Segunda Edición. Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
 Stewar, J. (2006). Cálculo. Conceptos y contextos. 3ra Ed. División Iberoamericana.
Chalco, Estado de México.
 Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con
aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté.

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  • 1. PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I MATEMÁTICA I TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL El Centro de Masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m. En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, a efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es indispensable considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas. Ahora bien, el Centro de Gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el centro de gravedad de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera, la cual no pertenece al cuerpo. El centro de gravedad de un cuerpo depende de la forma del cuerpo y de cómo está distribuida su masa. En física, además del centro de gravedad y de centro de masa, aparece un el concepto de Centro Geométrico o Centroide que, aunque pueden coincidir, es conceptualmente diferente, siendo el centroide un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema. Sin embargo, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. Así tendremos que:
  • 2. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 2 - MATERIA: MATEMÁTICA I El centro de masas coincide con el centroide cuando la densidad es uniforme o cuando la distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría. El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme. Es decir, cuando el campo gravitatorio es de magnitud y dirección constante en toda la extensión del cuerpo. A los efectos prácticos esta coincidencia se cumple con precisión aceptable para casi todos los cuerpos que están sobre la superficie terrestre, incluso para una locomotora o un gran edificio, puesto que la disminución de la intensidad gravitatoria es muy pequeña en toda la extensión de estos cuerpos. El Momento de Inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. Un ejemplo de momento de inercia aparece en un trompo que un niño impulsa a gran velocidad para que gire sobre el suelo y también en los bailarines que realizan giros horizontales de 360º apoyándose en un solo pie y ayudándose con los brazos para no perder el equilibrio y la verticalidad. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. Ahora bien, el Trabajo (física) es el producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo y del desplazamiento del cuerpo en la dirección de esta fuerza. Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en movimiento.
  • 3. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO BARRETO - 3 - MATERIA: MATEMÁTICA I CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS PLANAS Considere una placa delgada de masa distribuida en forma continua en dos dimensiones y con densidad de área constante. A tal región se le llama lámina. DISTRIBUCIONES DE MASAS EN EL PLANO a) DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE MATERIA Considere un sistema de n partículas ubicadas en los puntos      nn yxyxyx ,,,,,, 2211  en el plano ,, yx y sean las medidas de sus masas ,,,, 21 nmmm  despreciables. El centro de masa es el punto donde la lámina está en equilibrio, como se muestra en la siguiente figura: La figura muestra ocho partículas colocadas sobre la placa. La identificación de la i ésima partícula es ,im que es la medida de su masa. La placa está en equilibrio sobre un punto de apoyo ubicado en el centro de masa denotado por  ., yx Para determinar el centro de masa de dicho sistema, primero se debe definir la masa total del sistema y el momento de masa del sistema con respecto a los ejes coordenados Suponga que la i ésima partícula ubicada en el punto  ii yx , tiene masa im kilogramos. Entonces la masa total del sistema es M kilogramos, donde:   n i imM 1 El momento de masa de la i ésima partícula con respecto al eje y es ii xm kilogramos metros, y su momento de masa con respecto al eje x es ii ym kilogramos metros. Si M kilogramos metros es el momento del sistema de n partículas con respecto al eje ,x entonces:   n i iiy xmM 1 y   n i iix ymM 1
  • 4. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 4 - MATERIA: MATEMÁTICA I El centro de masa del sistema es el punto  yx, donde y M Mx y M My x  El punto  yx, puede representarse como el punto tal que si la masa total del sistema de M kilogramos se concentrase ahí, entonces el momento de masa del sistema con respecto al eje y sería xM kilogramos metros y su momento con respecto al eje x sería yM kilogramos metro. Ejemplo: Determine el centro de masa del 4 partículas cuyas masas tienen medidas 2, 4, 6 y 1 las cuales se ubican en los puntos        1,4,3,0,1,2,2,5  respectivamente. Calcular ,yM xM y  .,yx Solución: Cálculo de :yM         240121041042652 4 1   i i iy xmM Cálculo de :xM         131126411341622 4 1   i i ix ymM Y además, la masa es: 131462 4 1  i imM Por lo tanto 1 13 13 y 13 2  M Mx y M My x El centro de masa está en .1, 13 2       Ejercicio propuesto: Represente el centro de masa del sistema discreto anterior.
  • 5. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO BARRETO - 5 - MATERIA: MATEMÁTICA I Ejercicio: Determine el centro de masa de 4 partículas cuyas masas tienen medidas 8, 1, 4 y 1 las cuales se ubican en los puntos        1,4,3,0,1,2,2,3  respectivamente. Calcular ,yM xM y  .,yx Represente el centro de masa del sistema discreto anterior. b) DISTRIBUCIÓN CUASIDISCRETA DE MATERIA En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado. c) DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MATERIA Ahora, sea L la lámina homogénea cuya densidad1 de área constante es kilogramos por metro cuadrado, la cual está limitada por la curva  xfy  , el eje x y las rectas ax  y .bx  1 En física y química, la densidad (del latín densĭtas, -ātis) es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa en un determinado volumen de una sustancia. Usualmente se simboliza mediante la letra rho  del alfabeto griego. La densidad media es la relación entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa (Densidad Volumétrica = masa / volumen), , V m  en unidades de masa sobre unidades de volumen, ejemplos: kg/metro cúbico, gramos /centímetro cúbico, libras / pulgada cúbica. Por ejemplo si un bloque de concreto de 2 m de ancho x 2 m de largo por medio metro de alto (2 metros cúbicos) pesa 500 kilogramos, tiene una densidad volumétrica de 250 kg/metro cúbico.  Sin embargo, tres conceptos se refieren a densidad de masa. Para el caso de electromagnetismo, los conceptos son similares, pero se cambia lo de masa por carga, en unidades de columbios. Densidad Lineal: Es la que se usa para medir la densidad de hilos, cables, varillas, alambres, etc. Resulta de la división de la masa entre la longitud del cuerpo. Densidad lineal=masa/longitud, en unidades de masa sobre longitud, ejemplos: kg/m, gr/cm, lb/pulg. Por ejemplo si un cable de 10 metros pesa 5 kilogramos, tiene una densidad lineal de 0.5 kg/m. Densidad Superficial: Es la que se usa para medir la densidad de placas, láminas, cartones, pisos, etc. Se obtiene dividiendo la masa entre el área del cuerpo. Densidad lineal = masa / área, en unidades de masa entre unidades de superficie, ejemplos: kg/metro cuadrado, gramos /centímetro cuadrado, libras / pulgada cuadrada. Por ejemplo si un techo de un cuarto de 4 m x 4 m (16 metros cuadrados) pesa 1000 kilogramos, tiene una densidad superficial de 62.5 kg/metro cuadrado.  Densidad Volumétrica: Es la que se usa para medir la densidad de cuerpos de 3 dimensiones (largo, ancho y alto), como bloques, cubos, etc. Se obtiene dividiendo la masa entre el volumen del cuerpo.
  • 6. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 6 - MATERIA: MATEMÁTICA I Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado  ba, y que   0xf para toda x en  .,ba Como lo muestra la figura siguiente: Observación: El centro de masa de una región homogénea no depende de su densidad o de su masa, sino solo de la forma de la región correspondiente en el plano. Por tanto, nuestro problema resulta geométrico en lugar de ser físico. De acuerdo con ello, a menudo hablaremos de CENTROIDE de una región plana en lugar de Centro de Masa de una lámina homogénea. DEFINICIÓN DE MASA, MOMENTO DE MASA Y CENTRO DE MASA DE UNA LÁMINA. Sea L una lámina homogénea cuya densidad de área constante es kilogramos por metro cuadrado. La cual está limitada por la curva.  xfy  , el eje x y las rectas ax  y .bx  La función es continua en  ba, y   0xf para toda x en  .,ba Si M kilogramos de masa total de la lámina L, entonces  dxxfkM b a Si xM kilogramos metro es el momento de masa de la lámina L con respecto al eje x , entonces    dxxfM b a x 2 2 1  Si yM kilogramos metro es el momento de masa de la lámina L con respecto al eje y , entonces  dxxxfkM b a y 
  • 7. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO BARRETO - 7 - MATERIA: MATEMÁTICA I Si  yx, es el centro de masa de la lámina L , entonces M Mx y M My x  y Podemos hallar el centro de una región plana en lugar del centro de masa de una región homogénea, por lo tanto se considerará el centro de masa como centroide de la región. En lugar de momento de masa se considerarán momentos de la región. Sea R la región limitada por la curva  xfy  , el eje x y las rectas ax  y .bx  La función f es continua en  ba, y   0xf para toda x en  .,ba Si xM denota el momento de R con respecto al eje x y yM denota el momento de R respecto al eje y , entonces    dxxfM b a x 2 2 1   dxxxfkM b a y  Si  yx, es el centroide de la región plana de R cuya área es A unidades cuadradas y xM y yM se define como y M Mx y M My x  Ejemplo 1: Determinar el centroide de la región del primer cuadrante limitada por la curva ,42 xy  el eje x y las rectas 1x y .4x Solución: Si   ,4 22 xxfy  entonces   .24 xxxf  Cuya gráfica es:
  • 8. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 8 - MATERIA: MATEMÁTICA I El área de la región está dada por:  dxxfA  4 1 dxxA  4 1 2 dxxA  4 1 2 1 2                4 1 1 2 1 1 2 1 2 x A              4 1 2 3 2 3 2 x A          4 1 2 3 3 2 2 xA          4 1 2 3 3 4 xA          2 3 2 3 14 3 4 A  33 12 3 4 A  18 3 4 A  7 3 4 A
  • 9. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO BARRETO - 9 - MATERIA: MATEMÁTICA I 3 28 A Ahora se calcula yM y xM  dxxxfM y  4 1  dxxxM y  4 1 2 dxxxM y           4 1 2 1 2 dxxM y    4 1 2 1 1 2 dxxM y  4 1 2 3 2                4 1 1 2 3 1 2 3 2 x M y              4 1 2 5 2 5 2 x M y          4 1 2 5 5 2 2 xM y          2 5 2 5 14 5 4 yM  55 12 5 4 yM
  • 10. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 10 - MATERIA: MATEMÁTICA I  132 5 4 yM  31 5 4 yM 5 124 yM Y    dxxfM x  4 1 2 2 1   dxxM x  4 1 2 2 2 1     dxxM x  4 1 22 2 2 1 dxxM x  4 1 4 2 1 dxxM x  4 1 4 2 1 dxxM x  4 1 2          4 1 2 2 2 x M x 4 1 2 xM x  22 14 xM 116 xM 15xM
  • 11. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO BARRETO - 11 - MATERIA: MATEMÁTICA I Calculamos ahora x y y 28 45 3 28 15 y 35 93 3 28 5 124  M Mx y M My x El centroide está en . 28 45 , 35 93       Ejercicios: 1. Determinar el centroide de una placa semicircular de radio .r Respuesta: . 3 4 ,0        r 2. La densidad  x (Densidad lineal) de un cable en el punto a x centímetros de uno de los extremos está dada por   2 3xx  gramos por centímetros. encuentre el centro de masa del pedazo comprendido entre 0x y .10x Respuesta: 7,5cm 3. Determinar el centroide de la región bajo la curva  ,xseny  .0  x Respuesta: . 8 , 2        4. Determinar el centroide de la región R encerrada por los ejes coordenados y la curva ayx  Respuesta: . 5 , 5       aa PRINCIPIO DE SIMETRÍA En el ejercicio 1, el centroide estará en el eje Y el cual es el eje de simetría, en el ejercicio 3 el centroide estará en el eje , 2  x y en el ejercicio 4 el centroide estará en la diagonal xy  que es el eje de simetría. Podemos concluir un principio que es intuitivamente obvio: “SI UNA REGIÓN TIENE UN EJE DE SIMETRÍA, ENTONCES EL CENTROIDE DE LA REGIÓN ESTA SITUADO EN ESTE EJE”. En el ejemplo siguiente la región está limitada por dos curvas en lugar de una y el eje x . El método para determinar el centroide es el mismo que el anterior, pero las ecuaciones para yM y xM ahora dependen de las ecuaciones que definen las curvas.
  • 12. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 12 - MATERIA: MATEMÁTICA I Ejemplo 2: Determinar el centroide limitado por las curvas 2 xy  y .32  xy Solución: Los puntos de intersección de las curvas son cuando ,32 2 xx  es decir, factorizando usando algún método, obtenemos:    0130322  xxxx Obteniéndose que  303  xx y tenemos que 932 y  101  xx y tenemos que   11 2 y Y así, los puntos de intersección son  1,1 y  9,3 . Veamos en la figura: De acá, sea   2 xxf  y   .32  xxg El centroide del i ésimos elemento rectangular está en el punto            2 , ii i mgmf m donde im es el punto medio del i ésimo subintervalo  .,1 ii xx  La medida del área de la región está dada por:     dxxfxgA   3 1  dxxxA   3 1 2 32
  • 13. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO BARRETO - 13 - MATERIA: MATEMÁTICA I dxxdxdxxA    3 1 2 3 1 3 1 32                        3 1 3 3 1 3 1 2 3 3 2 2 x x x A         3322 13 3 1 13313 A      127 3 1 13319 A    28 3 1 438 A 3 28 128 A 3 28 128 A 3 28 20 A 3 32 A Calculamos yM y :xM     dxxfxgxM y   3 1  dxxxxM y   3 1 2 32  dxxxxM y   3 1 32 32 dxxdxxdxxM y    3 1 3 3 1 3 1 2 32 dxxdxxdxxM y    3 1 3 3 1 3 1 2 32
  • 14. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 14 - MATERIA: MATEMÁTICA I                             3 1 43 1 23 1 3 42 3 3 2 xxx M y               3 1 43 1 23 1 3 4 1 2 3 3 2 xxxM y         442233 13 4 1 13 2 3 13 3 2 yM       181 4 1 19 2 3 127 3 2 yM      80 4 1 8 2 3 127 3 2 yM      80 4 1 8 2 3 28 3 2 yM 4 80 2 24 3 56 yM 4 80 2 24 3 56 yM 3 32 yM     dxxfxgM x   3 1 22 2 1     dxxxM x   3 1 222 32 2 1       dxxxxM x   3 1 422 33222 2 1   dxxxxM x   3 1 42 9124 2 1  dxxxxM x   3 1 42 9124 2 1
  • 15. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO BARRETO - 15 - MATERIA: MATEMÁTICA I         3 1 4 3 1 3 1 3 1 2 9124 2 1 dxxdxdxxdxxM x                                         3 1 5 3 1 3 1 23 1 3 5 9 2 12 3 4 2 1 x x xx M x                   552233 13 5 1 13913613 3 4 2 1 xM                 1243 5 1 139196127 3 4 2 1 xM               1243 5 1 4986127 3 4 2 1 xM           244 5 1 364828 3 4 2 1 xM        5 244 84 3 112 2 1 xM        15 1088 2 1 xM 15 544 xM Así, 3 32 15 544 y 3 32 3 32 M Mx y M My x  yx __ 5 17 1  Ejercicios: 1. Determinar el centroide de la región limitada por las curvas 3 xy  y .xy 
  • 16. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 16 - MATERIA: MATEMÁTICA I Respuesta: . 7 3 , 25 12       2. Determinar el centroide de la región encerrada por 2 4 xy  y 2 xy Respuesta: . 5 12 , 2 1       MOMENTOS DE INERCIA El Momento de Inercia es una magnitud que establece la resistencia que presenta un cuerpo a cambiar su velocidad angular, con relación un eje específico: el torque externo aplicado a un cuerpo rígido se relaciona con la aceleración angular adquirida según la relación:  I En donde I es el momento de inercia,  aceleración angular,  el momento o torque externo aplicado. Para una distribución de masa discreta el Momento de Inercia puede calcularse con la ecuación:   n i ii rmI 1 2 Donde m son las masas puntuales y r la distancia la distancia al eje de rotación. Si la distribución de masas es continua el cálculo se hará con un integral.  dmrI 2 Ejemplo: Se unen cuatro partículas de masa m mediante varillas sin masa, formando un rectángulo de lados a2 y b2 . El sistema gira alrededor de un eje en el plano de la figura que pasa por su centro. Hallar el momento de inercia respecto de este eje.
  • 17. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO BARRETO - 17 - MATERIA: MATEMÁTICA I Solución: Si aplicamos la definición de momento de inercia:   n i ii rmI 1 2 tenemos que: 2 4mbIx  y 2 4maIy  Ejemplo: Calcular los momentos de inercia respecto a su eje de simetría de una esfera homogénea. Solución: Coloquemos nuestro origen de coordenadas en el centro de la esfera, según la figura: Si dividimos nuestra esfera en diferenciales de masa dm con forma de coraza esférica de radio r y espesor ,dr todos los puntos de dicho dm se encuentran a la misma distancia del centro, por lo tanto si calculamos el momento de inercia polar de la esfera respecto de dicho centro nos dará: 2 5 3 5 0 4 0 222 0 5 3 5 4 3 45 444 MR R R MR drrdrrrdmrI RR                   Por simetría el momento de inercia respecto de los tres ejes coordenados YX, y Z tiene el mismo valor ,zyx III  y además se verifica que: 02IIII zyx  Por tanto 2 5 2 MRIII zyx 
  • 18. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 18 - MATERIA: MATEMÁTICA I Ejercicio: Calcular los momentos de inercia respecto a su eje de simetría de los siguientes cuerpos: a) cilindro hueco de paredes delgadas, b) cilindro homogéneo hueco de radio interior a y exterior b , c) sistema formado por una barra cilíndrica de radio R y longitud L unida a dos esferas de radio R2 . PRESIÓN Y TRABAJO En la física se utiliza el término trabajo para caracterizar la energía de movimiento de un cuerpo cuando éste es movido cierta distancia debido a una fuerza que actúa sobre él, de modo que FdW  Donde F es la fuerza y d es la distancia. Sea F una función continua en el intervalo cerrado  ba, y  xf unidades la fuerza que actúa sobre un objeto en el punto x del eje .X Si W unidades es el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se desplaza de a a ,b entonces   b a dxxfW Ejemplo: Una particular se mueve a lo largo del eje X debido a la acción de una fuerza de  xf libras cuando la partícula está a x pies del origen. Si   ,42  xxf calcule el trabajo realizado conforme la partícula se mueve del punto donde 2x hasta el punto donde .4x Se toma una partición del intervalo cerrado  .4,2 Si W libras-pie es el trabajo realizado cuando la partícula se mueve del punto donde 2x hasta el punto donde ,4x entonces   4 2 dxxfW  dxxW   4 2 2 4   4 2 4 2 2 4 dxdxxW 4 2 4 2 3 4 3 x x W    
  • 19. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO BARRETO - 19 - MATERIA: MATEMÁTICA I    4 2 4 2 3 4 3 1 xxW     24424 3 1 33 W    24864 3 1 W   856 3 1 W 3 2456  W 3 80 W deesrealizadotrabajoEl .pie-lb 3 2 26 En el siguiente ejemplo aplicamos una ley física: xl  La Ley de Hooke que expresa que la fuerza requerida para mantener un resorte estirado x unidades más allá de su longitud natural es proporcional a :x   kxxf  Donde k es una constante positiva (llamada constante del resorte). La ley de Hooke se cumple siempre que x no sea demasiado grande. Ejemplo: Se requiere una fuerza de 40 N para sostener un resorte estirado desde su longitud natural de 10 cm hasta una longitud de 15 cm. ¿Cuánto trabajo se realiza para estirarlo desde 15 cm hasta 18 cm? Solución:
  • 20. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 20 - MATERIA: MATEMÁTICA I Según la ley de Hooke, la fuerza requerida para sostener el resorte estirado x metros más allá de su longitud natural es   .kxxf  . Cuando el resorte se estira desde 10 cm hasta 15 cm, la cantidad es de 5 cm=0,05 m. esto significa que   ,4005,0 f de modo que 800 05,0 40 4005,0  kk Por tanto,   xxf 800 y el trabajo realizado al estirar el resorte desde 15 cm hasta 18 cm es          JW x xdxW 56,1039,04000025,00064,0400 05,008,0400 2 800800 22 08,0 05,0 08,0 05,0 2             FUERZA EJERCIDA POR LA PRESIÓN DE UN FLUIDO Otra aplicación de la integral definida en física consiste en determinar la fuerza ejercida por la presión de un líquido sobre una placa sumergida en él o sobre un lado del recipiente que lo contiene. La presión de un líquido es la fuerza por unidad cuadrada de área ejercida por el peso del líquido. Así, si  es la densidad del líquido, entonces la presión ejercida por el líquido en un punto a h unidades debajo de la superficie del líquido es P unidades, donde .hP   El tamaño del recipiente no importa en lo que a la presión se refiere. Por ejemplo, a una profundidad de 5 pies en una alberca llena de agua salada la presión es la misma que a 5 pies del Océano Pacífico, considerando que la densidad del agua es la misma. Suponga que se introduce horizontalmente una capa delgada en el líquido de un recipiente. Si A unidades cuadradas es el área de la placa sumergida y F es la medida de la fuerza ejercida por el líquido que actúa sobre la cara superior de la placa, entonces .APF  Si se sustituye el valor de la presión en ésta ecuación, tenemos .AhF   Ejemplo: Una lámina rectangular de hojalata de 8 pies por 12 pies se sumerge en un tanque que contiene agua a una profundidad de 10 pies, como se muestra en la figura. Calcular la fuerza ejercida por la presión del agua sobre la cara superior de la lámina
  • 21. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO BARRETO - 21 - MATERIA: MATEMÁTICA I Si P son lb/pie2 es la presión ejercida por el agua en un punto de la cara superior de la lámina, entonces .10P El área de la lámina es de 96 pie2 . De este modo, si F libras es la fuerza debida a la presión del agua que actúa sobre la cara superior de la lámina, entonces .96PF  Al sustituir 10 por ,P tenemos que .960F Y como 4,62 2 en el sistema inglés, tenemos que: 4,62960F 6000059904 F Por lo tanto, la fuerza ocasionada por la presión del agua sobre la cara superior de la lámina de hojalata es de 60 000 lb. Ahora suponga que se sumerge una placa delgada verticalmente en el líquido de un recipiente. Entonces, en puntos de la placa a diferentes profundidades la presión, calculada mediante ,hP   es diferente y será mayor en la parte inferior que en la parte superior de la placa. Para definir la presión causada por la presión de un líquido sobre una placa vertical se utiliza el principio de Pascal. 2 La densidad del agua expresado en diferentes unidades: Densidad Agua = 1 gr/cm3 = 1000 Kg/m3 = 133.53 onza/galón = 62.43 Lb/ft3 = 0.04 Lb/pulg3 La densidad del agua es muy usada como patrón de densidades y volúmenes de otras sustancias y/o compuestos. Una propiedad importante de la densidad del agua es que es muy estable, ya que esta varía muy poco a los cambios de presión y temperatura.
  • 22. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 22 - MATERIA: MATEMÁTICA I Principio de Pascal: En cualquier punto de un líquido, la presión es la misma en todas las direcciones. En la siguiente figura: Sea ABCD la región limitada por el eje ,X las rectas ax  y bx  y la curva  ,xfy  donde la función f es continua y   0xf en el intervalo  .,ba Elija los ejes coordenados de modo que el eje Y quede sobre la superficie del líquido. Considere el eje X vertical con el sentido positivo hacia abajo, de modo que  xf unidades es la longitud de la placa a una profundidad de x unidades. Sea  una partición del intervalo cerrado  ba, que divide al intervalo en n intervalos. Elija un punto en el i ésimo subintervalo, de modo que .1 iii xwx  Dibuje los n rectángulos horizontales. El i ésimo rectángulo tiene una longitud de  iwf unidades y un ancho de xi unidades. Si se gira cada elemento rectangular 90, cada elemento se convertirá en un aplaca sumergida horizontalmente en el líquido a una profundidad iw unidades debajo de la superficie del líquido y perpendicular a la región ABCD . Entonces, la medida de la fuerza sobre el i ésimo elemento rectangular es   .xwfw iii  Una aproximación de la medida de la fuerza total ejercida por la presión del líquido sobre la placa es    n i iii xwfw 1  Suponga que una placa se sumerge verticalmente en un líquido para el cual la medida de su densidad es  . La longitud de la placa a una profundidad x unidades debajo de la superficie del líquido es  xf unidades, donde f es continua en el intervalo cerrado  ba, y   0xf en  ba, . Si F es la medida de la fuerza ejercida por la presión del líquido sobre la placa, entonces:
  • 23. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO BARRETO - 23 - MATERIA: MATEMÁTICA I    b a dxxfxF  Ejemplo: Una artesa, cuya sección transversal es un trapecio, está llena de agua. Si el trapecio mide 3 pies de ancho en su parte superior, 2 pies de ancho en su parte inferior, y 2 pies de profundidad, calcule la fuerza total ejercida por la presión del agua en un lado de forma trapezoidal de la artesa. La figura muestra el lado de la artesa junto con un elemento rectangular de área. Puesto que una ecuación de la recta AB es , 42 3 x y  de aquí:   42 3 x xf  Si se gira el elemento rectangular un ángulo de 90, la fuerza sobre el elemento es e   xwfw iii 2 libras. Si F libras es la fuerza total sobre el lado de la artesa, entonces  dxxfxF   2 0 2 dx x xF         2 0 42 3 2 dx xx F         2 0 2 42 3 2         dxxdxxF 2 0 2 2 0 4 1 2 3 2
  • 24. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 24 - MATERIA: MATEMÁTICA I                           2 0 32 0 2 34 1 22 3 2 xx F            3322 02 12 1 02 4 3 2F           08 12 1 04 4 3 2F           8 12 1 4 4 3 2F        12 8 32F        3 2 32F         3 29 2F        3 7 2F 3 14 F Con  = 62.4:   3 4,6214 F 2,291F La fuerza total es de 291 libras. Ejemplo: Los extremos de un tanque de gasolina son regiones semicirculares, cada una con radio de 2 pies: Determine la fuerza ejercida por la presión en un extremo si el tanque está lleno de gasolina, la cual tiene una densidad de 41 lb/pie2
  • 25. TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL PROFESOR: JULIO BARRETO - 25 - MATERIA: MATEMÁTICA I La figura muestra el extremo de un tanque junto con un elemento rectangular de área: Al resolver la ecuación de la semicircunferencia para y se tiene .4 2 xy  La fuerza sobre el elemento rectangular es xww iii  2 42 libras. Por tanto, si F libras es la fuerza total. Sobre el lado semicircular del tanque, entonces       3 16 4 2 3 42 4 0 232 2 0 2     F x-F dx-xxF / Con  = 41, la fuerza total es de 219 lb. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS  Larson, Hostetler, Edwards. (1995). Cálculo. Volumen 1. Editorial McGraw-Hill. 6ta. Ed.  Leithold. L. (1998). El Cálculo. Oxford University Press. 7ma. Ed.  Purcell, E. (1992). Cálculo con Geometría Analítica. 6ta. Ed. Editorial Prentice-Hall- Hispanoamericana.  Saenz, J. (2009). Cálculo Integral con funciones trascendentes tempranas. Para ciencias e ingeniería. Segunda Edición. Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.  Stewar, J. (2006). Cálculo. Conceptos y contextos. 3ra Ed. División Iberoamericana. Chalco, Estado de México.  Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté.