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Tema-Geometría Análitica Unidad 3-Circunferencias-VOL 3
1.-Hallar la ecuación de la circunferencia que sea tangente a los dos ejes de coordenadas de
radio r=8 y cuyo centro esté en el primer cuadrante.
Solución:
Datos del Problema: Ec=?; La circunferencia es tangente a los ejes coordenados; el radio es
de r=8; el centro de la circunferencia está en el Primer Cuadrante, luego el centro es C(h,k)
y vale, por el enunciado del problema, es tangente a los ejes coordenados, luego h=k=r=8,
ahora la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia tiene la forma siguiente:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Solución: La ecuación de la circunferencia puede estar así:
ó ( ) ( )
La gráfica es la siguiente:
2.- -Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen, de radio r=10 y cuya
abscisa de su centro sea x=6
Solución:
Datos del problema: P(0,0); r=10 y cuya abscisa x=-6=h, luego C(6,k).
De la definición de la circunferencia tenemos: ( )
( ) √( ) ( )
Luego tenemos los puntos: C1(6,8) y C2(6,-8) y radio es r=10. Sustituyendo estos valores en
la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia tenemos:
( ) ( )
Para C1(6,8) y r=10:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
En forma general, se desarrolla la anterior, es deci:
Para C2(6,-8) y r=10:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
En forma general, se desarrolla la anterior, es deci:
Las gráficas son:
3.-Hallar la ecuación de la circunferencia que pase por el origen, de radio 8 y cuya abscisa de
su centro sea x= 6.
Solución:
Datos del problema: Si pasa por el origen de coordenadas entonces P(0,0); el radio de la
circunferencia es r=8, y su centro tiene por abscisa x=-6, es decir, su centro es (-6,k).
Sabemos por teoría que: ( )
( ) √( ) ( ) ( ( )) ( )
Luego el centro tiene dos posibles puntos: C1(-6,5) y C2(-6,-5).
Para el punto C1(-6,5) y r=8:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Para el punto C2(-6,-5) y r=8:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
La gráfica es la siguiente:
4.- Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados las rectas
siguientes: x-y+2=0; 2x+3y-1=0, y 4x+y-17=0.
Solución:
Datos del Problema: La Circunferencia está circunscrita al triángulo formado por las rectas
siguiente: .
Formamos sistemas de a dos (2) en dos (2) con el objeto de obtener los puntos por donde
pasa la circunferencia, después seleccionando de dos (2) en dos (2) los puntos obtenidos
anteriormente, calculamos el punto medio y las pendiente respectivas de las cuerdas (lados
del triángulo), por el punto medio pasa una recta que es perpendicular a estos lados,
llamada mediatriz, cuya pendiente se calcula así: ; y
, con esta pendiente perpendicular y el punto medio, se formar tres(3) rectas
perpendiculares llamada mediatrices de los lados del triángulo (cuerdas de la
circunferencia), Formando sistemas de dos en dos se obtiene el centro de la circunferencia.
Se utiliza luego las propiedades de la circunferencia para obtener la ecuación. Veamos el
procedimiento:
{
( )
( )
; {
( )
( )
; {
( )
( )
Para el sistema A:
En el sistema A multiplicamos por (-2) a la ecuación (1) y se lo sumamos a la ecuación (2),
el resultado se sustituye en la ecuación (1)[ó (2)], se obtiene el punto A, así:
{
( )
( )
{
( )
( )
( ) ( )
Para el sistema B:
En el sistema A multiplicamos por (-4) a la ecuación (3) y se lo sumamos a la ecuación (4),
el resultado se sustituye en la ecuación (3)[ó (4)], se obtiene el punto B, así:
{
( )
( )
{
( )
( )
( ) ( )
Para el sistema C:
En el sistema A multiplicamos por (-2) a la ecuación (5) y se lo sumamos a la ecuación (6),
el resultado se sustituye en la ecuación (5)[ó (6)], se obtiene el punto C, así:
{
( )
( )
{
( )
( )
( ) ( )
Para el cálculo de la pendiente y el punto medio de A(-1,1) y B(3,5):
Calculo del punto medio de A y B:
( ) (
( )
) ( )
Calculo de la pendiente de la recta AB[lado del triángulo ABC y Cuerda de la circunferencia]:
( )
Calculo de la pendiente de la mediatriz de AB ( ):
Calculo de la recta mediatriz AB [ ] y ( ):
( )( )
Para el cálculo de la pendiente y el punto medio de A(-1,1) y C(5,-3):
Calculo del punto medio de A y C:
( ) (
( )
) ( )
Calculo de la pendiente de la recta AC[lado del triángulo ABC y Cuerda de la circunferencia]:
( )
( )
Calculo de la pendiente de la mediatriz de AC ( ):
Calculo de la recta mediatriz AC [ ] y ( ):
( ) ( ) ( )
Para el cálculo de la pendiente y el punto medio de B(3,5) y C(5,-3):
Calculo del punto medio de B y C:
( ) (
( )
) ( )
Calculo de la pendiente de la recta BC[lado del triángulo ABC y Cuerda de la circunferencia]:
Calculo de la pendiente de la mediatriz de BC ( ):
Calculo de la recta mediatriz BC [ ] y ( ):
( ) ( )
Luego tenemos el sistema formado por las mediatrices, es decir:
{
( )
( )
( )
Construyendo un sistema con dos de las mediatrices hallamos el centro de la circunferencia,
en este caso salen los siguientes sistemas:
{
( )
( )
; {
( )
( )
; {
( )
( )
Escogiendo cualquiera de ellos obtenemos el centro, ya que su intersección nos da el centro,
en este caso seleccionamos el S12:
{
( )
( )
Multiplicamos a M1 por (-3) y se lo sumamos a M2, es decir:
{
( )
( )
Sustituimos este valor en M1, por tanto:
Luego el centro de la Circunferencia es ( ) ( )
El radio lo obtenemos así: A(-1,1) y ( ), ( ), y posteriormente utilizamos la
ecuación canónica u ordinaria de la circunferencia, es decir: ( ) ( )
( ) √( ) ( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
La circunferencia tiene por ecuación:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Solución: E:
5.-El punto C(3,-1) es el centro de una circunferencia que intersecta en la recta de ecuación
2x-5y+18=0, una cuerda, cuya longitud es igual a 6. Hallar la ecuación de esta circunferencia.
Solución:
Datos del problema: Centro de la circunferencia C(3,-1); la cuerda R: 2x-5y+18=0, longitud
de la cuerda; L=6. Ec=?
Hagamos un dibujo aproximado de la interpretación del problema, así tenemos:
Aplicando la fórmula de distancia (d) entre un punto C(3,.1) y la recta dada de ecuación la
siguiente: 2x-5y+18=0, es decir:
( )
| |
√
| |
√
| ( ) ( ) |
√ ( )
| |
√ √ √
√
√
√
En el triángulo rectángulo ACM, aplicando El Teorema de Pitágoras, se tiene:
( ) ( ) ( ) pero “d” es √ , luego tenemos:
(√ )
La ecuación de la circunferencia ordinaria o canónica es:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Solución: ( ) ( ) ó
6.-Hallar las ecuaciones de las circunferencias de radio r=√ , que son tangentes a la recta de
ecuación x-2y-1=0 en el punto M(3,1). Realizar la gráfica
Solución:
Datos del problema: el radio de las circunferencias es √ , estas son tangentes a la
ecuación de la recta , en el punto M(3,1). Hallar también su gráfica.
La recta dada L es tangente a ambas ecuaciones de la circunferencia en el punto M(3,1), y la
recta perpendicular es la normal con pendiente negativa inversa que pasa por los centros
de la circunferencias, entonces hallamos la pendiente de recta y le aplicamos la propiedad
de dos rectas perpendiculares, es decir: y la pendiente de L es
el coeficiente de la x, es decir:
, entonces {FG: y=mx+b}, entonces la
recta normal tiene pendiente: ;
La ecuación de la recta normal está dado por: ( ) en M(3,1)
( ) ( )( )
, como dije anteriormente la recta normal contiene a
ambos centro de la circunferencia, entonces: ( )
La ecuación de la circunferencia ordinaria o canónica es: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (√ ) ( ) ( ) , (2)
el punto de tangencia es M(3,1), sustituyendo en (2) tenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2)
Luego tenemos el sistema formado por las ecuaciones:
{
( )
( ) ( ) ( )
Sustituyendo (1) en (2) tenemos:
( ) ( ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
{
√
√ ( ) √( ) ( )( )
( )
{ ; sustituyendo estos valores en (1) obtenemos los siguientes valores de
k, es decir:
Para h1=2; k1=3; Para h2=4; k2=-1; √
Las circunferencias son:
( ) ( ) ( ) ( ) (√ ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ( )) (√ ) ( ) ( )
Las gráficas son las siguientes:
( ) ( ) ; ( ) ( )
7.- Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las dos rectas paralelas de
ecuaciones: 2x+y-5=0; 2x+y+15=0 y, a una de ellas, en el punto A(2,1)
Solución:
Datos del Problema: Ec=?; Ec de la circunferencia es tangente a las dos rectas paralelas
cuyas ecuaciones son las siguientes: L1: 2x+y-5=0; L2: 2x+y+15=0 y, una de las dos es
tangente en el punto A(2,1). L1  L2m1=m2.
El punto A(2,1) al sustituir en las rectas L1 y L2, se observa que satisface la línea recta L1, es
decir: L1: 2(2)+(1)-5=05-5=0, luego A(2, 1)  L1. La recta Normal es perpendicular a
ambas recta, es decir: mN·mL1=-1 y mN=mL2=-1. Con la recta Normal y la recta L2, se
obtiene un sistema de ecuaciones, donde obtendremos el punto BL2, luego el punto medio
de el segmento AB obtendremos el centro de la circunferencia y con la distancia desde
C(h,k) y A ó B obtendremos el radio, con lo cual obtendremos la ecuación de la
circunferencia que tendrá por ecuación: ( ) ( )
Entonces tenemos:
De L1:2x+y-5=0L1:y= 2x+5m1=-2
La recta normal está dada por: ( ) y A(2,1)
( ) ( ) ( ) ( )
Luego esl sistema de ecuaciones es: {
( )
( )
Sustituyendo (1) en (2) obtenemos:
, sustituyendo en (1)
obtenemos a “y” es decir ( ) , Luego B(-6,-3)
El punto medio del segmento AB está dado por: ( ), A(2,1) y B(-6,-3), es decir:
( ) ( ) ( ), este es el centro de la circunferencia, es
decir: ( ) ( ) .
El radio viene dado por la distancia ( ) ( ) , es decir:
( ) √( ) ( ) y C(2,1) y A(2,1)
√( ) ( ) √( ( )) ( ( ))
√ √ √
La ecuación canónica u ordinaria de la circunferencia tiene la forma:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ó
( ) ( )
Entonces la solución es:
ó ( ) ( )
La gráfica planteada en el problema es la siguiente:
Gráfica elaborada con Geogebra 4.2.58.0
8.- Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por el punto A(1,0) y son tangentes
a las dos rectas paralelas: 2x+y+2=0, 2x+y-18=0.
Solución:
Datos del problema: Las Ec`s de las circunferencias pasan por A(1,0) y son tangentes a las
rectas paralelas de ecuaciones y , y  .
Veamos cómo sería gráficamente su planteamiento:
Por el punto A(1,0) pasa una recta que es paralela a las dos rectas dadas, esto quiere decir
que:   y  ; .
De , luego y A(1,0)
La recta paralela es:
( ) ( )( )
También tenemos la recta perpendicular a las 3 rectas paralelas que la llamaremos N,
donde se cumple que ; en el punto A(1,0), es decir:
La recta perpendicular N tiene por ecuación: ( )
( ) ( ) ( )
Luego planteamos los siguientes sistemas para calcular los puntos de cortes con las rectas
paralelas y que coincide con los puntos B y C que son tangentes a las circunferencias, es
decir:
, y
( ) {
( )
( )
( ) {
( )
( )
De ( ) tenemos:
( ) {
( )
( )
( ) {
( )
( )
Multiplicamos por 4 a (2) y suma (1) a (2), es decir:
( ) {
( )
Sustituyendo este valor en (1) obtenemos:
Luego tenemos el punto ( )
De ( ) tenemos:
( ) {
( )
( )
( ) {
( )
( )
Multiplicamos por 4 a (2) y suma (1) a (2), es decir:
( ) {
( )
( )
Sustituyendo este valor en (1) obtenemos:
( )
Luego tenemos el punto ( )
Entonces tenemos los puntos A. B y C, donde el punto medio de CA es el centro de la
primera circunferencia, que llamaremos C1 y el punto medio de AB es el centro de la
segunda circunferencia, que llamaremos C2. Entonces tenemos:
El punto medio de CA, donde ( ) y A(1,0) viene dado por ( )
( ) (
( ) ( )
) ( ). El radio será la distancia desde A a C1, es
decir:
√( ) ( ) √( ) ( ) √ √
√
La ecuación de la circunferencia es:
( ) ( ) ( ) ( ) (
√
)
( ) ( ) ( ) ( )
Dividiendo entre 5
obtenemos:
Luego la primera circunferencia tiene por ecuación:
ó ( ) ( )
El punto medio AB, donde ( ) y A(1,0) viene dado por ( )
( ) (
( ) ( )
) ( ). El radio será la distancia desde A a C2,
es decir:
√( ) ( ) √( ) ( ) √
√
La ecuación de la circunferencia es:
( ) ( ) ( ) ( ) (√ )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
Luego la segunda circunferencia tiene por ecuación:
( ) ( )
ó
9.-Hallar la ecuación de la circunferencia que teniendo el centro en la recta 2x+y=0, es
tangente a las rectas 4x-3y+10=0; 4x-3y-30=0.
Solución:
Datos de problema: El centro está en la recta , La circunferencia es tangente a
las rectas y .
Vamos representar estos elementos en un sistema de coordenadas rectangulares:
La recta que contiene al centro de la circunferencia es:
( )
Luego tenemos 2 sistemas formados por las ecuaciones siguientes:
{
( )
( )
y {
( )
( )
Del sistema S1 obtenemos el P1, que es un punto de intersección de las rectas L1 y LC, es decir:
De (a) despejamos a “y” y lo sustituimos en (b), así obtenemos:
( )
( )
Sustituyendo este valor en (a), obtenemos:
( ) El punto 1 es: ( )
Del sistema S2 obtenemos el P2, que es un punto de intersección de las rectas L2 y LC, es decir:
De (c) despejamos a “y” y lo sustituimos en (d) así obtenemos
( )
( )
Sustituyendo este valor en (c), obtenemos:
( ) El punto 2 es: ( )
Para hallar el centro de la circunferencia tenemos:
Para (1) y ( ), obtenemos:
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
Para (2) y ( ), obtenemos:
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
Como los radios son iguales, igualamos (1) y (2), es decir:
Sustituyendo en obtenemos: ( )
El centro de la circunferencia es C(h,k) ( ).
Para hallar el radio, empleamos a C(1,-2) y la pendiente de las rectas tangentes a le
circunferencia, es decir: ( ) ( )
( )
| |
√
|( )( ) ( )( ) |
√ ( )
Luego la circunferencia viene dada por: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Luego la circunferencia es:
ó ( ) ( )
La solución es:
ó ( ) ( )
La gráfica exacta de la propuesta del problema es la siguiente:
10.-Hallar las ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a dos rectas concurrentes:
7x-y-5=0; x+y+13=0 y, a una de ellas, en el punto M1(1,2)
Solución:
Datos del Problema: Ecuaciones de las circunferencias son tangentes a dos rectas
concurrentes: ; el punto M1(1,2)L1 por inspección.
Se dice que dos o más rectas son concurrentes si están en un mismo plano y que disponen
de un punto en común. Veamos la gráfica aproximada del problema:
En la gráfica se observa que existen 4 circunferencias, nos lleva a buscar sus soluciones
En el primer momento, para hallar los centros de las circunferencias a partir de los datos
del problema, nos sugiere que debemos hallar la recta normal N1, en el punto M1(1,2) y
formar dos (2) sistemas de ecuaciones, con las siguientes características, así:
(1)Hallar las Bisectrices de L1 y L2.
(2)Hallar la normal a la recta L1,
(3)Resolver el sistema formado por las bisectrices y la normal N1, obteniéndose los
centros de las circunferencias C1 y C2.
(4)Obtener los radios desde dichos centros (C1 y C2) y el punto M1(1,2)
De (1) tenemos el siguiente sistema: { empleamos la definición de la
bisectriz de un ángulo entre 2 rectas dadas, por definición es el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo. Sea P(x,y) el punto y
las rectas L1 y L2, entonces se cumple que las distancias,  ( )  ( ), de aquí
que:
 ( )  ( ) {
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Donde:
De (A): ( ) ( )
√( ) ( ) √( ) ( ) √ √ √ √
( )
(1)
De (B): ( ) ( )
√( ) ( ) √
(2)
De (2) tenemos que L1 es perpendicular a N1, (viceversa) en el punto M1(1,2), entonces
tenemos:
, pero
Luego la Normal está dada por: ( )
( ) ( ) ( )
De (3) tenemos los sistemas siguientes:
( ) {
( )
( )
( ) {
( )
( )
Del sistema (1): multiplicamos por (-1) a (1) y se lo sumamos a (2), es decir:
{ ; luego tenemos C2(29,-2)
Del Sistema (2): multiplicamos por (-3) a (1) y se lo sumamos a (2), es decir.
( ) { ; luego tenemos C1(6,3)
Los radios de las circunferencias lo obtenemos con la fórmula de distancia entre dos (2)
punto, es decir:
( ) ( )
Para r1 con M1(1,2) y C1(-6,3):
( ) √( ) ( ) √( ( )) ( )
√ ( ) √ √
Para r2 con M1(1,2) y C2(29,-2):
( ) √( ) ( ) √( ) ( ( ))
√( ) √ √
De la ecuación de la circunferencia C1, tenemos r1= √ y C1(6,3):
La forma de la ecuación de la circunferencia ordinaria es: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( √ )
De la ecuación de la circunferencia C2, tenemos r2= √ y C2(29,2):
La forma de la ecuación de la circunferencia ordinaria es: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( √ )
Ahora en un segundo momento debemos hallar las otras dos circunferencias, tomando en
cuenta los datos dados en el problema y los obtenidos hasta aquí, es decir C3 y C4. (ver
figura).
Datos dados y nuevos para apoyos:
Rectas Dadas:
Punto dado: M1(1,2)
Rectas Obtenidas: ; ;
Puntos Obtenidos: C1(6,3); C2(29,-2)
Circunferencias Obtenidas:
; √
; √
Para hallar las dos (2) restantes circunferencia debemos seguir el siguiente procedimiento:
(1) Hallar los puntos de tangencia D y E
(2)Hallar las rectas normales N3 y N4. (N3(D y C1) y N4(E y C2))
(3)Resolver los sistemas formado por N3 y B2C3 y N4 y B1C4.
(4)Los se obtienen (r3D y C3; r4E y C4.)
Así que comencemos:
De (1) en D, tenemos:
{ {
{ ;
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
{
√
√ ( ) √( ) ( )( )
( )
√
; ( ) ; ( )
De (1) en E, tenemos:
{ ;
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
{
√
√ ( ) √( ) ( )( )
( )
√
; E(9,-22)
Luego los puntos de tangencia son: ( ) y E(9,-22)
De (2) la recta normal N3 en N3(D y C1): ( ) y C1(6,3)
La recta que pasa por D y C1 la hallamos con la fórmula: (
( ) ( )
De (2) la recta normal N4 en N4(E y C2): E(9,-22) y C2(29,-2)
La recta que pasa por E y C2 la hallamos con la fórmula: (
( ) ( )
De (3) con los sistemas siguientes:
{
( )
( )
y {
( )
( )
Resolviendo tenemos:
{
( )
( )
{ ; ( )
{
( )
( )
{ ; ( )
De (4) calculamos los radios r3 y r4, así:
{
( )
( )
y {
( )
( )
{
( )
( )
( ) √( ) ( ) √
{
( )
( )
( ) √( ) ( ) √
La gráfica de lo que se hizo es:
TODAS LAS GRÁFICAS FUERON ELABORADA CON GEOGEBRA V 5.0.238.0
LOS PROBLEMAS FUERON TOMADOS DE PAGINAS DE INTERNET Y VARIOS LIBROS SOBRE
LAS CONICAS.
Tema-Geometría Análitica Unidad 3-Circunferencias-VOL 3

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Tema-Geometría Análitica Unidad 3-Circunferencias-VOL 3

  • 2. 1.-Hallar la ecuación de la circunferencia que sea tangente a los dos ejes de coordenadas de radio r=8 y cuyo centro esté en el primer cuadrante. Solución: Datos del Problema: Ec=?; La circunferencia es tangente a los ejes coordenados; el radio es de r=8; el centro de la circunferencia está en el Primer Cuadrante, luego el centro es C(h,k) y vale, por el enunciado del problema, es tangente a los ejes coordenados, luego h=k=r=8, ahora la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia tiene la forma siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Solución: La ecuación de la circunferencia puede estar así: ó ( ) ( ) La gráfica es la siguiente:
  • 3. 2.- -Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen, de radio r=10 y cuya abscisa de su centro sea x=6 Solución: Datos del problema: P(0,0); r=10 y cuya abscisa x=-6=h, luego C(6,k). De la definición de la circunferencia tenemos: ( ) ( ) √( ) ( ) Luego tenemos los puntos: C1(6,8) y C2(6,-8) y radio es r=10. Sustituyendo estos valores en la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia tenemos: ( ) ( ) Para C1(6,8) y r=10: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) En forma general, se desarrolla la anterior, es deci: Para C2(6,-8) y r=10: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) En forma general, se desarrolla la anterior, es deci: Las gráficas son:
  • 4. 3.-Hallar la ecuación de la circunferencia que pase por el origen, de radio 8 y cuya abscisa de su centro sea x= 6. Solución: Datos del problema: Si pasa por el origen de coordenadas entonces P(0,0); el radio de la circunferencia es r=8, y su centro tiene por abscisa x=-6, es decir, su centro es (-6,k). Sabemos por teoría que: ( ) ( ) √( ) ( ) ( ( )) ( ) Luego el centro tiene dos posibles puntos: C1(-6,5) y C2(-6,-5). Para el punto C1(-6,5) y r=8: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Para el punto C2(-6,-5) y r=8: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La gráfica es la siguiente:
  • 5. 4.- Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados las rectas siguientes: x-y+2=0; 2x+3y-1=0, y 4x+y-17=0. Solución: Datos del Problema: La Circunferencia está circunscrita al triángulo formado por las rectas siguiente: . Formamos sistemas de a dos (2) en dos (2) con el objeto de obtener los puntos por donde pasa la circunferencia, después seleccionando de dos (2) en dos (2) los puntos obtenidos anteriormente, calculamos el punto medio y las pendiente respectivas de las cuerdas (lados del triángulo), por el punto medio pasa una recta que es perpendicular a estos lados, llamada mediatriz, cuya pendiente se calcula así: ; y , con esta pendiente perpendicular y el punto medio, se formar tres(3) rectas perpendiculares llamada mediatrices de los lados del triángulo (cuerdas de la circunferencia), Formando sistemas de dos en dos se obtiene el centro de la circunferencia. Se utiliza luego las propiedades de la circunferencia para obtener la ecuación. Veamos el procedimiento: { ( ) ( ) ; { ( ) ( ) ; { ( ) ( ) Para el sistema A: En el sistema A multiplicamos por (-2) a la ecuación (1) y se lo sumamos a la ecuación (2), el resultado se sustituye en la ecuación (1)[ó (2)], se obtiene el punto A, así: { ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) Para el sistema B: En el sistema A multiplicamos por (-4) a la ecuación (3) y se lo sumamos a la ecuación (4), el resultado se sustituye en la ecuación (3)[ó (4)], se obtiene el punto B, así: { ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) Para el sistema C: En el sistema A multiplicamos por (-2) a la ecuación (5) y se lo sumamos a la ecuación (6), el resultado se sustituye en la ecuación (5)[ó (6)], se obtiene el punto C, así: { ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( )
  • 6. Para el cálculo de la pendiente y el punto medio de A(-1,1) y B(3,5): Calculo del punto medio de A y B: ( ) ( ( ) ) ( ) Calculo de la pendiente de la recta AB[lado del triángulo ABC y Cuerda de la circunferencia]: ( ) Calculo de la pendiente de la mediatriz de AB ( ): Calculo de la recta mediatriz AB [ ] y ( ): ( )( ) Para el cálculo de la pendiente y el punto medio de A(-1,1) y C(5,-3): Calculo del punto medio de A y C: ( ) ( ( ) ) ( ) Calculo de la pendiente de la recta AC[lado del triángulo ABC y Cuerda de la circunferencia]: ( ) ( ) Calculo de la pendiente de la mediatriz de AC ( ): Calculo de la recta mediatriz AC [ ] y ( ): ( ) ( ) ( ) Para el cálculo de la pendiente y el punto medio de B(3,5) y C(5,-3): Calculo del punto medio de B y C: ( ) ( ( ) ) ( ) Calculo de la pendiente de la recta BC[lado del triángulo ABC y Cuerda de la circunferencia]: Calculo de la pendiente de la mediatriz de BC ( ): Calculo de la recta mediatriz BC [ ] y ( ): ( ) ( ) Luego tenemos el sistema formado por las mediatrices, es decir: { ( ) ( ) ( ) Construyendo un sistema con dos de las mediatrices hallamos el centro de la circunferencia, en este caso salen los siguientes sistemas: { ( ) ( ) ; { ( ) ( ) ; { ( ) ( )
  • 7. Escogiendo cualquiera de ellos obtenemos el centro, ya que su intersección nos da el centro, en este caso seleccionamos el S12: { ( ) ( ) Multiplicamos a M1 por (-3) y se lo sumamos a M2, es decir: { ( ) ( ) Sustituimos este valor en M1, por tanto: Luego el centro de la Circunferencia es ( ) ( ) El radio lo obtenemos así: A(-1,1) y ( ), ( ), y posteriormente utilizamos la ecuación canónica u ordinaria de la circunferencia, es decir: ( ) ( ) ( ) √( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) La circunferencia tiene por ecuación: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Solución: E:
  • 8. 5.-El punto C(3,-1) es el centro de una circunferencia que intersecta en la recta de ecuación 2x-5y+18=0, una cuerda, cuya longitud es igual a 6. Hallar la ecuación de esta circunferencia. Solución: Datos del problema: Centro de la circunferencia C(3,-1); la cuerda R: 2x-5y+18=0, longitud de la cuerda; L=6. Ec=? Hagamos un dibujo aproximado de la interpretación del problema, así tenemos: Aplicando la fórmula de distancia (d) entre un punto C(3,.1) y la recta dada de ecuación la siguiente: 2x-5y+18=0, es decir: ( ) | | √ | | √ | ( ) ( ) | √ ( ) | | √ √ √ √ √ √ En el triángulo rectángulo ACM, aplicando El Teorema de Pitágoras, se tiene: ( ) ( ) ( ) pero “d” es √ , luego tenemos: (√ ) La ecuación de la circunferencia ordinaria o canónica es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Solución: ( ) ( ) ó
  • 9. 6.-Hallar las ecuaciones de las circunferencias de radio r=√ , que son tangentes a la recta de ecuación x-2y-1=0 en el punto M(3,1). Realizar la gráfica Solución: Datos del problema: el radio de las circunferencias es √ , estas son tangentes a la ecuación de la recta , en el punto M(3,1). Hallar también su gráfica. La recta dada L es tangente a ambas ecuaciones de la circunferencia en el punto M(3,1), y la recta perpendicular es la normal con pendiente negativa inversa que pasa por los centros de la circunferencias, entonces hallamos la pendiente de recta y le aplicamos la propiedad de dos rectas perpendiculares, es decir: y la pendiente de L es el coeficiente de la x, es decir: , entonces {FG: y=mx+b}, entonces la recta normal tiene pendiente: ; La ecuación de la recta normal está dado por: ( ) en M(3,1) ( ) ( )( ) , como dije anteriormente la recta normal contiene a ambos centro de la circunferencia, entonces: ( ) La ecuación de la circunferencia ordinaria o canónica es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (√ ) ( ) ( ) , (2) el punto de tangencia es M(3,1), sustituyendo en (2) tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) Luego tenemos el sistema formado por las ecuaciones: { ( ) ( ) ( ) ( ) Sustituyendo (1) en (2) tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) { √ √ ( ) √( ) ( )( ) ( ) { ; sustituyendo estos valores en (1) obtenemos los siguientes valores de k, es decir: Para h1=2; k1=3; Para h2=4; k2=-1; √ Las circunferencias son: ( ) ( ) ( ) ( ) (√ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) (√ ) ( ) ( ) Las gráficas son las siguientes:
  • 10. ( ) ( ) ; ( ) ( )
  • 11. 7.- Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las dos rectas paralelas de ecuaciones: 2x+y-5=0; 2x+y+15=0 y, a una de ellas, en el punto A(2,1) Solución: Datos del Problema: Ec=?; Ec de la circunferencia es tangente a las dos rectas paralelas cuyas ecuaciones son las siguientes: L1: 2x+y-5=0; L2: 2x+y+15=0 y, una de las dos es tangente en el punto A(2,1). L1  L2m1=m2. El punto A(2,1) al sustituir en las rectas L1 y L2, se observa que satisface la línea recta L1, es decir: L1: 2(2)+(1)-5=05-5=0, luego A(2, 1)  L1. La recta Normal es perpendicular a ambas recta, es decir: mN·mL1=-1 y mN=mL2=-1. Con la recta Normal y la recta L2, se obtiene un sistema de ecuaciones, donde obtendremos el punto BL2, luego el punto medio de el segmento AB obtendremos el centro de la circunferencia y con la distancia desde C(h,k) y A ó B obtendremos el radio, con lo cual obtendremos la ecuación de la circunferencia que tendrá por ecuación: ( ) ( ) Entonces tenemos: De L1:2x+y-5=0L1:y= 2x+5m1=-2 La recta normal está dada por: ( ) y A(2,1) ( ) ( ) ( ) ( ) Luego esl sistema de ecuaciones es: { ( ) ( ) Sustituyendo (1) en (2) obtenemos: , sustituyendo en (1) obtenemos a “y” es decir ( ) , Luego B(-6,-3) El punto medio del segmento AB está dado por: ( ), A(2,1) y B(-6,-3), es decir: ( ) ( ) ( ), este es el centro de la circunferencia, es decir: ( ) ( ) . El radio viene dado por la distancia ( ) ( ) , es decir: ( ) √( ) ( ) y C(2,1) y A(2,1) √( ) ( ) √( ( )) ( ( )) √ √ √ La ecuación canónica u ordinaria de la circunferencia tiene la forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ó ( ) ( ) Entonces la solución es: ó ( ) ( )
  • 12. La gráfica planteada en el problema es la siguiente: Gráfica elaborada con Geogebra 4.2.58.0
  • 13. 8.- Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por el punto A(1,0) y son tangentes a las dos rectas paralelas: 2x+y+2=0, 2x+y-18=0. Solución: Datos del problema: Las Ec`s de las circunferencias pasan por A(1,0) y son tangentes a las rectas paralelas de ecuaciones y , y  . Veamos cómo sería gráficamente su planteamiento: Por el punto A(1,0) pasa una recta que es paralela a las dos rectas dadas, esto quiere decir que:   y  ; . De , luego y A(1,0) La recta paralela es: ( ) ( )( ) También tenemos la recta perpendicular a las 3 rectas paralelas que la llamaremos N, donde se cumple que ; en el punto A(1,0), es decir: La recta perpendicular N tiene por ecuación: ( ) ( ) ( ) ( ) Luego planteamos los siguientes sistemas para calcular los puntos de cortes con las rectas paralelas y que coincide con los puntos B y C que son tangentes a las circunferencias, es decir:
  • 14. , y ( ) { ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) De ( ) tenemos: ( ) { ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) Multiplicamos por 4 a (2) y suma (1) a (2), es decir: ( ) { ( ) Sustituyendo este valor en (1) obtenemos: Luego tenemos el punto ( ) De ( ) tenemos: ( ) { ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) Multiplicamos por 4 a (2) y suma (1) a (2), es decir: ( ) { ( ) ( ) Sustituyendo este valor en (1) obtenemos: ( ) Luego tenemos el punto ( ) Entonces tenemos los puntos A. B y C, donde el punto medio de CA es el centro de la primera circunferencia, que llamaremos C1 y el punto medio de AB es el centro de la segunda circunferencia, que llamaremos C2. Entonces tenemos: El punto medio de CA, donde ( ) y A(1,0) viene dado por ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ). El radio será la distancia desde A a C1, es decir: √( ) ( ) √( ) ( ) √ √ √ La ecuación de la circunferencia es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( √ ) ( ) ( ) ( ) ( )
  • 15. Dividiendo entre 5 obtenemos: Luego la primera circunferencia tiene por ecuación: ó ( ) ( ) El punto medio AB, donde ( ) y A(1,0) viene dado por ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ). El radio será la distancia desde A a C2, es decir: √( ) ( ) √( ) ( ) √ √ La ecuación de la circunferencia es: ( ) ( ) ( ) ( ) (√ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Luego la segunda circunferencia tiene por ecuación: ( ) ( ) ó
  • 16. 9.-Hallar la ecuación de la circunferencia que teniendo el centro en la recta 2x+y=0, es tangente a las rectas 4x-3y+10=0; 4x-3y-30=0. Solución: Datos de problema: El centro está en la recta , La circunferencia es tangente a las rectas y . Vamos representar estos elementos en un sistema de coordenadas rectangulares: La recta que contiene al centro de la circunferencia es: ( ) Luego tenemos 2 sistemas formados por las ecuaciones siguientes: { ( ) ( ) y { ( ) ( ) Del sistema S1 obtenemos el P1, que es un punto de intersección de las rectas L1 y LC, es decir: De (a) despejamos a “y” y lo sustituimos en (b), así obtenemos: ( )
  • 17. ( ) Sustituyendo este valor en (a), obtenemos: ( ) El punto 1 es: ( ) Del sistema S2 obtenemos el P2, que es un punto de intersección de las rectas L2 y LC, es decir: De (c) despejamos a “y” y lo sustituimos en (d) así obtenemos ( ) ( ) Sustituyendo este valor en (c), obtenemos: ( ) El punto 2 es: ( ) Para hallar el centro de la circunferencia tenemos: Para (1) y ( ), obtenemos: ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Para (2) y ( ), obtenemos: ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Como los radios son iguales, igualamos (1) y (2), es decir: Sustituyendo en obtenemos: ( ) El centro de la circunferencia es C(h,k) ( ). Para hallar el radio, empleamos a C(1,-2) y la pendiente de las rectas tangentes a le circunferencia, es decir: ( ) ( ) ( ) | | √ |( )( ) ( )( ) | √ ( ) Luego la circunferencia viene dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Luego la circunferencia es: ó ( ) ( ) La solución es: ó ( ) ( )
  • 18. La gráfica exacta de la propuesta del problema es la siguiente:
  • 19. 10.-Hallar las ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a dos rectas concurrentes: 7x-y-5=0; x+y+13=0 y, a una de ellas, en el punto M1(1,2) Solución: Datos del Problema: Ecuaciones de las circunferencias son tangentes a dos rectas concurrentes: ; el punto M1(1,2)L1 por inspección. Se dice que dos o más rectas son concurrentes si están en un mismo plano y que disponen de un punto en común. Veamos la gráfica aproximada del problema: En la gráfica se observa que existen 4 circunferencias, nos lleva a buscar sus soluciones En el primer momento, para hallar los centros de las circunferencias a partir de los datos del problema, nos sugiere que debemos hallar la recta normal N1, en el punto M1(1,2) y formar dos (2) sistemas de ecuaciones, con las siguientes características, así: (1)Hallar las Bisectrices de L1 y L2. (2)Hallar la normal a la recta L1, (3)Resolver el sistema formado por las bisectrices y la normal N1, obteniéndose los centros de las circunferencias C1 y C2. (4)Obtener los radios desde dichos centros (C1 y C2) y el punto M1(1,2) De (1) tenemos el siguiente sistema: { empleamos la definición de la bisectriz de un ángulo entre 2 rectas dadas, por definición es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo. Sea P(x,y) el punto y
  • 20. las rectas L1 y L2, entonces se cumple que las distancias,  ( )  ( ), de aquí que:  ( )  ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Donde: De (A): ( ) ( ) √( ) ( ) √( ) ( ) √ √ √ √ ( ) (1) De (B): ( ) ( ) √( ) ( ) √ (2) De (2) tenemos que L1 es perpendicular a N1, (viceversa) en el punto M1(1,2), entonces tenemos: , pero Luego la Normal está dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) De (3) tenemos los sistemas siguientes: ( ) { ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) Del sistema (1): multiplicamos por (-1) a (1) y se lo sumamos a (2), es decir: { ; luego tenemos C2(29,-2) Del Sistema (2): multiplicamos por (-3) a (1) y se lo sumamos a (2), es decir. ( ) { ; luego tenemos C1(6,3) Los radios de las circunferencias lo obtenemos con la fórmula de distancia entre dos (2) punto, es decir: ( ) ( ) Para r1 con M1(1,2) y C1(-6,3): ( ) √( ) ( ) √( ( )) ( ) √ ( ) √ √
  • 21. Para r2 con M1(1,2) y C2(29,-2): ( ) √( ) ( ) √( ) ( ( )) √( ) √ √ De la ecuación de la circunferencia C1, tenemos r1= √ y C1(6,3): La forma de la ecuación de la circunferencia ordinaria es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( √ ) De la ecuación de la circunferencia C2, tenemos r2= √ y C2(29,2): La forma de la ecuación de la circunferencia ordinaria es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( √ ) Ahora en un segundo momento debemos hallar las otras dos circunferencias, tomando en cuenta los datos dados en el problema y los obtenidos hasta aquí, es decir C3 y C4. (ver figura). Datos dados y nuevos para apoyos: Rectas Dadas: Punto dado: M1(1,2) Rectas Obtenidas: ; ; Puntos Obtenidos: C1(6,3); C2(29,-2) Circunferencias Obtenidas: ; √ ; √ Para hallar las dos (2) restantes circunferencia debemos seguir el siguiente procedimiento: (1) Hallar los puntos de tangencia D y E (2)Hallar las rectas normales N3 y N4. (N3(D y C1) y N4(E y C2)) (3)Resolver los sistemas formado por N3 y B2C3 y N4 y B1C4. (4)Los se obtienen (r3D y C3; r4E y C4.) Así que comencemos: De (1) en D, tenemos: { { { ; ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) { √ √ ( ) √( ) ( )( ) ( ) √
  • 22. ; ( ) ; ( ) De (1) en E, tenemos: { ; ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) { √ √ ( ) √( ) ( )( ) ( ) √ ; E(9,-22) Luego los puntos de tangencia son: ( ) y E(9,-22) De (2) la recta normal N3 en N3(D y C1): ( ) y C1(6,3) La recta que pasa por D y C1 la hallamos con la fórmula: ( ( ) ( ) De (2) la recta normal N4 en N4(E y C2): E(9,-22) y C2(29,-2) La recta que pasa por E y C2 la hallamos con la fórmula: ( ( ) ( ) De (3) con los sistemas siguientes: { ( ) ( ) y { ( ) ( ) Resolviendo tenemos: { ( ) ( ) { ; ( ) { ( ) ( ) { ; ( ) De (4) calculamos los radios r3 y r4, así: { ( ) ( ) y { ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) √( ) ( ) √ { ( ) ( ) ( ) √( ) ( ) √
  • 23. La gráfica de lo que se hizo es: TODAS LAS GRÁFICAS FUERON ELABORADA CON GEOGEBRA V 5.0.238.0 LOS PROBLEMAS FUERON TOMADOS DE PAGINAS DE INTERNET Y VARIOS LIBROS SOBRE LAS CONICAS.