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Introducci ón a la trigonometría y   a las funciones trigonométricas
Un poquito de historia ,[object Object]
[object Object],[object Object]
a c b Si conocemos dos de los lados del triángulo, como el Teorema de Pitágoras  afirma que a 2  + b 2  = c 2 , Comencemos con triángulos rectángulos. conocemos el tercer lado.  Eso sí, debemos saber si los  lados que conocemos son catetos  o la hipotenusa.
NOTEMOS  que la hipotenusa pasa por los puntos de la  retícula. Los triángulo de las esquinas  tienen los mismos ángulos. Dividimos los catetos en r partes iguales, y formamos una retícula. Los catetos de los triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y su hipotenusa será, por el Teorema de Pitágoras igual a c/r.  Resolución de triángulos rectángulos. Pero no tenemos ninguna información acerca de los ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este problema.
Las observaciones anteriores permiten resolver el siguiente  ,[object Object],Problema
Sigamos con el problema de encontrar los ángulos en triángulos rectángulos. Vamos a escoger triángulos “ normalizados ”, que representen a cada triángulo rectángulo. Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.
a 2  + b 2  = c 2 c a b a/c b/c (a/c) 2  + (b/c) 2  = 1 pasamos a 1 de 1 Construcci ón de triángulos de hipotenusa unitaria
Relacionamos ángulos y longitudes con   Tablas de Cuerdas En un comienzo, a cada ángulo se  asoció la   cuerda   subtendida por él  en una circunferencia de radio fijo. cuerda
Tablas de cuerdas Razonando con la figura al lado se muestra que
Tablas de cuerdas Para conseguir nuevos valores se usa la identidad y se obtienen tablas de cuerdas que van de 5 o  en 5 o .
Construcción de Tablas  ángulo cuerda seno coseno tangente 60 o 1 1/2 30 o 1/2 15 o 45 o ? 1
La figura muestra las funciones trigonométricas asociadas a un ángulo agudo  ubicado en una circunferencia secante cosecante radio seno tangente cotangente coseno
Funciones trigonométricas: seno de un ángulo agudo a b c b/c a/c 1
Funciones trigonométricas: coseno de un ángulo agudo a b c b/c a/c 1
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Todas las funciones trigonométricas de un ángulo agudo pueden expresarse a partir de una de ellas, a modo de ejemplo tomemos  sen = = = = =
Identidades Trigonométricas 1 cos sen La identidad fundamental es consecuencia del Teorema de Pitágoras
Identidades Trigonométricas 1 Si  es el ángulo complementario de  , hay un triángulo rectángulo que los tiene como ángulos agudos y se tiene que cos sen
Identidades Trigonométricas 1 En una diapositiva anterior demostramos que  o bien, tomando
Funciones Trigonométricas de ángulos arbitrarios Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo  , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura.  El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección  de la hipotenusa con el círculo.  Pero no es necesario tener todo el rectángulo, basta con tener la recta que une  con el origen.
Funciones Trigonométricas de ángulos arbitrarios DEFINIMOS para un ángulo  , medido a partir de la recta  contra las manecillas del reloj: l la abscisa de  la ordenada de  l
Funciones Trigonométricas de ángulos arbitrarios La tangente de un ángulo  , medido a partir de la recta  contra las manecillas del reloj, es la longitud (orientada) señalada l l
Funciones Trigonométricas de ángulos arbitrarios l ¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla? I II III VI I II III IV sen   + + - - cos   + - - + tan   + - + -
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Teoría introduccion a la trigonometria

  • 1. Introducci ón a la trigonometría y a las funciones trigonométricas
  • 2.
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  • 4. a c b Si conocemos dos de los lados del triángulo, como el Teorema de Pitágoras afirma que a 2 + b 2 = c 2 , Comencemos con triángulos rectángulos. conocemos el tercer lado. Eso sí, debemos saber si los lados que conocemos son catetos o la hipotenusa.
  • 5. NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los puntos de la retícula. Los triángulo de las esquinas tienen los mismos ángulos. Dividimos los catetos en r partes iguales, y formamos una retícula. Los catetos de los triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y su hipotenusa será, por el Teorema de Pitágoras igual a c/r. Resolución de triángulos rectángulos. Pero no tenemos ninguna información acerca de los ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este problema.
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  • 7. Sigamos con el problema de encontrar los ángulos en triángulos rectángulos. Vamos a escoger triángulos “ normalizados ”, que representen a cada triángulo rectángulo. Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.
  • 8. a 2 + b 2 = c 2 c a b a/c b/c (a/c) 2 + (b/c) 2 = 1 pasamos a 1 de 1 Construcci ón de triángulos de hipotenusa unitaria
  • 9. Relacionamos ángulos y longitudes con Tablas de Cuerdas En un comienzo, a cada ángulo se asoció la cuerda subtendida por él en una circunferencia de radio fijo. cuerda
  • 10. Tablas de cuerdas Razonando con la figura al lado se muestra que
  • 11. Tablas de cuerdas Para conseguir nuevos valores se usa la identidad y se obtienen tablas de cuerdas que van de 5 o en 5 o .
  • 12. Construcción de Tablas ángulo cuerda seno coseno tangente 60 o 1 1/2 30 o 1/2 15 o 45 o ? 1
  • 13. La figura muestra las funciones trigonométricas asociadas a un ángulo agudo ubicado en una circunferencia secante cosecante radio seno tangente cotangente coseno
  • 14. Funciones trigonométricas: seno de un ángulo agudo a b c b/c a/c 1
  • 15. Funciones trigonométricas: coseno de un ángulo agudo a b c b/c a/c 1
  • 16. Funciones trigonométricas: tangente y cotangente de un ángulo agudo a b c b/c a/c 1
  • 17. Funciones trigonométricas: secante y cosecante de un ángulo agudo a b c b/c a/c 1
  • 18. Todas las funciones trigonométricas de un ángulo agudo pueden expresarse a partir de una de ellas, a modo de ejemplo tomemos sen = = = = =
  • 19. Identidades Trigonométricas 1 cos sen La identidad fundamental es consecuencia del Teorema de Pitágoras
  • 20. Identidades Trigonométricas 1 Si es el ángulo complementario de , hay un triángulo rectángulo que los tiene como ángulos agudos y se tiene que cos sen
  • 21. Identidades Trigonométricas 1 En una diapositiva anterior demostramos que o bien, tomando
  • 22. Funciones Trigonométricas de ángulos arbitrarios Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura. El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección de la hipotenusa con el círculo. Pero no es necesario tener todo el rectángulo, basta con tener la recta que une con el origen.
  • 23. Funciones Trigonométricas de ángulos arbitrarios DEFINIMOS para un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj: l la abscisa de la ordenada de l
  • 24. Funciones Trigonométricas de ángulos arbitrarios La tangente de un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj, es la longitud (orientada) señalada l l
  • 25. Funciones Trigonométricas de ángulos arbitrarios l ¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla? I II III VI I II III IV sen  + + - - cos  + - - + tan  + - + -
  • 26.
  • 27.
  • 28. Medida absoluta de ángulos: RADIANES  /2 90 o Como Entonces si Rad es la medida de un ángulo en radianes y Grad la medida en grados,
  • 29. INTEGRANTES Buontempo, Marianela Ovalle, Camila Céspedes, Sofía Duran, Natalia
  • 30. BIBLIOGRAFÍA Paginas de Internet Stefan Waner Blog Universidad de Cobombia Matemática Aplicada Prof, Omar Ciro Instituto Matemático Barcelona

Notas del editor

  1. Recuperar la noción de razón y proporción.