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02-08-2017
1
Función
Cuadrática
Prof. Cristina Antilef Robarte
Tercer año medio
DEFINICIÓN
• Una función cuadrática se define como
f(x)=ax2 + bx + c donde a, b, c son reales y
a≠0.
a: coeficiente cuadrático
b: coeficiente lineal
c: coeficiente libre
Para denotar la gráfica de la función hacemos
f(x)=y, así y=ax2 + bx + c
x: es la variable independiente
y o f(x): es la variable dependiente
02-08-2017
2
• La gráfica de toda función cuadrática es
una curva llamada parábola.
Elementos de la gráfica de una función
cuadrática
02-08-2017
3
CONCAVIDAD
• La concavidad se refiere la abertura de las ramas
de la parábola y se relaciona con el coeficiente
cuadrático de f(x)=ax2 + bx + c donde a, b, c son
reales y a≠0.
• Así cuando:
a>0 (+) La parábola será cóncava hacia arriba.
a<0 (-) La parábola será cóncava hacia abajo (o convexa)
• Para comparar la concavidad de las parábolas,
debemos considerar que el valor absoluto de los
coef. cuadráticos.
• Cuando menor es |a| (valor absoluto de a), la
parábola será más abierta, y viceversa.
02-08-2017
4
Ejercicio: Analiza la concavidad de cada función
cuadrática.
CORTES CON EL EJE X (RAÍCES)
• Sea f(x)=ax2 + bx + c con a≠0, la intersección de
la parábola con el eje X está dada por las raíces
de la ecuación cuadrática que se obtiene al
hacer f(x)=0
Así, las soluciones x1 y x2 de ax2 + bx + c = 0
determina los cortes en los puntos
(x1 , 0) y (x2 , 0)
02-08-2017
5
Ejemplo: Determinar los cortes con el eje X
de f(x)= x2 + x – 6
Pasos:
1° x2 + x – 6 = 0
2° Determinar raíces utilizando el método
apropiado.
3° Indicar los puntos de corte con el eje X.
• Una función cuadrática puede cortar al eje X en
dos puntos, un punto, o puede no cortarla,
para saber qué caso es, se debe calcular el
discriminante D=b2-4ac.
a>0 a<0
02-08-2017
6
Ejercicio: Analiza en cuántos puntos corta
la parábola dada por las funciones:
1
2
3
CORTES CON EL EJE Y
• Sea f(x)=ax2 + bx + c con a≠0,
para conocer el punto de corte
de la parábola con el eje Y
hacemos x=0, así:
f(0)=a•02 + b•0 + c  f(0) = c
Luego, el corte con el eje Y
será el punto (0, c)
02-08-2017
7
Ejemplo: Determinar el corte con el eje Y
de f(x)= x2 – 4
Ejercicio: Analiza el punto de corte con el
eje Y de las siguientes funciones.
1 2
3 4
02-08-2017
8
VÉRTICE
• El vértice de la función f(x)=ax2 + bx + c indica
el punto máximo (o mínimo) que alcanza la
función.
VÉRTICE
• El vértice de la función f(x)=ax2 + bx + c esta
dado por el punto V=(Vx , f(Vx)) donde:
a
b
Vx
2


Ejemplo:
f(x) = x2 - 4x
1° Calcular la primera coordenada del punto Vx.
2° Reemplazar el valor de la primera
coordenada en la función f(x).
3° Escribir el punto que corresponde al vértice.
Notar si es punto mínimo o máximo.
02-08-2017
9
VÉRTICE
2
2
4
12
)4(
2





 xx V
a
b
V
Ejemplo: f(x) = x2 - 4x a= 1 b= -4 c= 0
1° Calcular la primera coordenada del punto Vx.
2° Reemplazar el valor de la primera coordenada en
la función f(x).
242)2()( 2
 fVf x
3° )4,2( V
Punto mínimo, pues su
concavidad es positiva.
84
4
Ejercicio: Calcula el vértice de las
siguientes funciones, y decide si es punto
mínimo o máximo:
1
2
3
xxxf 10)( 2

34)( 2
 xxg
982)( 2
 xxxh
02-08-2017
10
• El eje de simetría de la función f(x)=ax2 + bx + c
corresponde a la recta vertical, paralela al eje Y,
que pasa por el vértice de la parábola y que la
divide en dos partes simétricas.
• La ecuación corresponde a :
EJE DE SIMETRÍA
a
b
x
2


EJE DE SIMETRÍA
2
4
8
22
)8(
2







 x
a
b
x
Ejemplo: f(x) =-2 x2 - 8x + 5 a= -2 b= -8 c= 5
1° Reemplazamos en la ecuación:
2° Luego, la ecuación correspondiente al eje de
simetría es:
2x
02-08-2017
11
Ejercicio: Calcula el eje de simetría de las
siguientes funciones:
1
2
3
xxxf 10)( 2

34)( 2
 xxg
982)( 2
 xxxh
Ejercicio: Determina los 5 elementos de las
siguientes funciones:
1
2
3
4
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Teoria y problemas de funciones cuadraticas ccesa007

  • 1. 02-08-2017 1 Función Cuadrática Prof. Cristina Antilef Robarte Tercer año medio DEFINICIÓN • Una función cuadrática se define como f(x)=ax2 + bx + c donde a, b, c son reales y a≠0. a: coeficiente cuadrático b: coeficiente lineal c: coeficiente libre Para denotar la gráfica de la función hacemos f(x)=y, así y=ax2 + bx + c x: es la variable independiente y o f(x): es la variable dependiente
  • 2. 02-08-2017 2 • La gráfica de toda función cuadrática es una curva llamada parábola. Elementos de la gráfica de una función cuadrática
  • 3. 02-08-2017 3 CONCAVIDAD • La concavidad se refiere la abertura de las ramas de la parábola y se relaciona con el coeficiente cuadrático de f(x)=ax2 + bx + c donde a, b, c son reales y a≠0. • Así cuando: a>0 (+) La parábola será cóncava hacia arriba. a<0 (-) La parábola será cóncava hacia abajo (o convexa) • Para comparar la concavidad de las parábolas, debemos considerar que el valor absoluto de los coef. cuadráticos. • Cuando menor es |a| (valor absoluto de a), la parábola será más abierta, y viceversa.
  • 4. 02-08-2017 4 Ejercicio: Analiza la concavidad de cada función cuadrática. CORTES CON EL EJE X (RAÍCES) • Sea f(x)=ax2 + bx + c con a≠0, la intersección de la parábola con el eje X está dada por las raíces de la ecuación cuadrática que se obtiene al hacer f(x)=0 Así, las soluciones x1 y x2 de ax2 + bx + c = 0 determina los cortes en los puntos (x1 , 0) y (x2 , 0)
  • 5. 02-08-2017 5 Ejemplo: Determinar los cortes con el eje X de f(x)= x2 + x – 6 Pasos: 1° x2 + x – 6 = 0 2° Determinar raíces utilizando el método apropiado. 3° Indicar los puntos de corte con el eje X. • Una función cuadrática puede cortar al eje X en dos puntos, un punto, o puede no cortarla, para saber qué caso es, se debe calcular el discriminante D=b2-4ac. a>0 a<0
  • 6. 02-08-2017 6 Ejercicio: Analiza en cuántos puntos corta la parábola dada por las funciones: 1 2 3 CORTES CON EL EJE Y • Sea f(x)=ax2 + bx + c con a≠0, para conocer el punto de corte de la parábola con el eje Y hacemos x=0, así: f(0)=a•02 + b•0 + c  f(0) = c Luego, el corte con el eje Y será el punto (0, c)
  • 7. 02-08-2017 7 Ejemplo: Determinar el corte con el eje Y de f(x)= x2 – 4 Ejercicio: Analiza el punto de corte con el eje Y de las siguientes funciones. 1 2 3 4
  • 8. 02-08-2017 8 VÉRTICE • El vértice de la función f(x)=ax2 + bx + c indica el punto máximo (o mínimo) que alcanza la función. VÉRTICE • El vértice de la función f(x)=ax2 + bx + c esta dado por el punto V=(Vx , f(Vx)) donde: a b Vx 2   Ejemplo: f(x) = x2 - 4x 1° Calcular la primera coordenada del punto Vx. 2° Reemplazar el valor de la primera coordenada en la función f(x). 3° Escribir el punto que corresponde al vértice. Notar si es punto mínimo o máximo.
  • 9. 02-08-2017 9 VÉRTICE 2 2 4 12 )4( 2       xx V a b V Ejemplo: f(x) = x2 - 4x a= 1 b= -4 c= 0 1° Calcular la primera coordenada del punto Vx. 2° Reemplazar el valor de la primera coordenada en la función f(x). 242)2()( 2  fVf x 3° )4,2( V Punto mínimo, pues su concavidad es positiva. 84 4 Ejercicio: Calcula el vértice de las siguientes funciones, y decide si es punto mínimo o máximo: 1 2 3 xxxf 10)( 2  34)( 2  xxg 982)( 2  xxxh
  • 10. 02-08-2017 10 • El eje de simetría de la función f(x)=ax2 + bx + c corresponde a la recta vertical, paralela al eje Y, que pasa por el vértice de la parábola y que la divide en dos partes simétricas. • La ecuación corresponde a : EJE DE SIMETRÍA a b x 2   EJE DE SIMETRÍA 2 4 8 22 )8( 2         x a b x Ejemplo: f(x) =-2 x2 - 8x + 5 a= -2 b= -8 c= 5 1° Reemplazamos en la ecuación: 2° Luego, la ecuación correspondiente al eje de simetría es: 2x
  • 11. 02-08-2017 11 Ejercicio: Calcula el eje de simetría de las siguientes funciones: 1 2 3 xxxf 10)( 2  34)( 2  xxg 982)( 2  xxxh Ejercicio: Determina los 5 elementos de las siguientes funciones: 1 2 3 4 5