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Trabajo y Energía en el Movimiento: Armónico Simple; Rotación
Sistema Masa-Resorte
Péndulo Simple y Oscilaciones
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Prof:
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Barquisimeto; 1 de Febrero del 2015
Trabajo y Energía en el Movimiento: Armónico Simple; Rotación
Es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica,
proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.
Solemosdecirque el sonidode unadeterminadanotamusical se representagráficamente
por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico
simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son
directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.
Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un
punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia.
Cuandoun punto(P) recorre una circunferenciaconvelocidaduniforme,suproyección(Q)
sobre cualquierade losdiámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple. Cada
vezque el puntose encuentre enunode loscuatrocuadrantesde lacircunferencia,se trazará una
perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto
escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un
movimiento oscilatorio rectilíneo.
Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un
punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12, T/6,
T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y
como a ordenadaslassucesivasprolongacionesdel mismo.Laresultante es una sinusoide, ya que
la variacióndel tiempot,se traduce comouna variacióndel sin x, donde x es el ángulo que forma
el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo).
Elementos:
1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de
nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.
2. Elongación:esel desplazamientode lapartículaque osciladesde laposiciónde equilibrio hasta
cualquier posición en un instante dado.
3. Amplitud:eslamáximaelongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición
de equilibrio.
4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se designa
con la letra "t".
5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo.
6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula
oscilante.
Relación entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme
El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyección"
(sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme
(­M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular ω, sobre el diαmetro vertical de la
circunferencia que recorre.
En lo siguiente podrás visualizar dicha relación.
Vamos a establecer una relación entre un movimiento vibratorio armónico simple y el
movimiento circular uniforme. Esto nos va a permitir dos cosas:
- Hallar la ecuación del MÁS sin tener que recurrir a cálculos matemáticos complejos.
- Conocer de dónde vienen algunos de los conceptos que usamos en el MÁS, como frecuencia
angular o el desfase.
Observandoel appletque viene acontinuación.Tememosinicialmenteel resorte azul,que
oscilaverticalmente.Enlacircunferenciatienes un punto negro que gira con movimiento circular
uniforme, ocupando en cada instante una posición en la circunferencia. Traza mentalmente la
proyección de esa posición sobre el diámetro vertical de la circunferencia. En cada momento, la
masa que cuelgadel resorte ocupaunaposicióndeterminada. Observaque laposiciónde la masa
del resorte coincide exactamente con la proyección de la posición del objeto sobre el diámetro,
que verás en forma de línea azul en el diámetro vertical.
Es decir,como resumen,cuandoun objeto gira con movimiento circular uniforme en una
trayectoria circular, el movimiento de la proyección del objeto sobre el diámetro es un
movimiento armónico simple.
Lo mismo podríamos decir del resorte amarillo y la proyección sobre el diámetro
horizontal, que verás como un trazo amarillo sobre dicho diámetro.
Los vectoresazul yamarillo,que varíanen el applet,correspondenal valor de la velocidad
del resorte, azul para diámetro vertical y amarillo para el horizontal. Observa su variación y
comprobarás que la velocidad es máxima en el centro de equilibrio del resorte y mínima en los
extremos,enlospuntosde mínimaymáximaelongación.Observatambiéncomoel vector rojo de
la gráfica de la derecha, la velocidad del MÁS, coincide con el vector azul, la velocidad de la
proyecciónsobre el diámetro vertical, lo que supone una prueba más de lo que hemos afirmado
anteriormente.
Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple
Fórmulas:
x = A . cos . w . t
x = elongación
r = A = radio
t = tiempo
w = velocidad angular
Vx = - V . sen Ø
V = w . r
h = w . t
w . t = V = Vector representativo de la velocidad lineal.
Vx = proyección de "Y" sobre el eje "X"
h = ángulo
Vx = -2 . F . A . sen (2 . )
Vx = + w " A2 - x2
Ax = - w2 . A . cos. w . t
Ax = - Ac . cos Ø
Ac = proyección de aceleración sobre el eje horizontal
Ac = w2 . x
Ac = aceleración centrípeta
t = 2 " mk
T = periodo
Péndulo simple
Definición:Es llamado así porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo
largo de longitud l, que cumple las condiciones siguientes:
El hilo es inextensible
Su masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo
El ángulo de desplazamiento que llamaremos 0 debe ser pequeño
Como funciona: con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa del
cuerpo el ángulo de desplazamiento debe ser pequeño.
Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza
tipo Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple, es
decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio
constante, es uno de ellos.
Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se
produce una oscilaciónperiódica.Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las fuerzas
que se ejercensobre el pesoentodomomento,yverque componentesnosinteresanycuáles no.
Esto se puede observar en la figura 13.1.
Vemospuesque,considerandoúnicamenteel desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir,
el arco que se está recorriendo, podemos poner
Que a veces también se expresa como.
Esta ecuación es absolutamente análoga a la de un movimiento armónico simple, y por
tanto susolucióntambiénserá(13.2) teniendo,únicamente,la precaución de sustituir el valor de
antiguo por el que tiene ahora para un péndulo
A partirde aquí se puedenextraertodas las demás relaciones para un péndulo simple, el
periodo, frecuencia, entre otros.
Período de un Péndulo
Período: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa. Para
determinarel períodose utiliza la siguiente expresión T/ N° de Osc. ( tiempo empleado dividido
por el número de oscilaciones).
1) El periodo de un péndulo es independiente de su amplitud. Esto significa que si se tienen 2
péndulosiguales(longitudy masa),perounode ellos tiene una amplitud de recorrido mayor que
el otro, enambas condiciones la medida del periodo de estos péndulos es el mismo.
2) El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto
significaque el periodode unpéndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada
de la longitud de ese péndulo.
Aplicaciones
Algunasaplicacionesdel péndulosonlamedicióndel tiempo,el metrónomoy la plomada.
Otra aplicaciónse conoce comoPéndulode Foucault,el cual se emplea para evidenciar la
rotaciónde la Tierra.Se llamaasí enhonor del físicofrancésLéonFoucaultyestá formado por una
gran masa suspendida de un cable muy largo.
Tambiénsirve,puestoque unpéndulooscilaen un plano fijo, como prueba efectiva de la
rotación de la Tierra, aunque estuviera siempre cubierta de nubes: En 1851 Jean Leon Foucault
colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris (latitud≅49º). Un
recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre; el hilo de arena que caía del cubo
mientrasoscilabael Pénduloseñalaba la trayectoria: demostró experimentalmente que el plano
de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora y por tanto que la Tierra rotaba.
Sistema Masa-Resorte
Otro ejemplode MovimientoArmónicoSimpleesel sistemamasa-resorteque consiste en
una masa “m” unida a un resorte, que a su vez se halla fijo a una pared, como se muestra en la
figura. Se supone movimiento sin rozamiento sobre la superficie horizontal.
El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal, en
ausenciade fuerzasexternas.Cuandose le aplicanfuerzasse deforma alargándose o acortándose
enuna magnitud“x”llamada“deformación”.Cadaresorte se caracteriza mediante una constante
“k” que es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que aplicarle. La fuerza que
ejerceráel resorte esigual yopuestoala fuerzaexternaaplicada(si el resorte deformado está en
reposo) y se llama fuerza recuperadora elástica.
Dicha fuerza recuperadora elástica es igual a:
En el primer dibujo tenemos el cuerpo de masa “m” en la posición de equilibrio, con el
resorte teniendo su longitud normal.
Si mediante una fuerza externa lo apartamos de la misma (segundo dibujo), hasta una
deformación“x = + A” y luegolosoltamos,el cuerpoempezaráamoverse conM.A.S. oscilando en
torno a la posiciónde equilibrio. En este dibujo la fuerza es máxima pero negativa, lo que indica
que va hacia la izquierda tratando de hacer regresar al cuerpo a la posición de equilibrio.
Llegará entonces hasta una deformación “x = -A” (tercer dibujo). En este caso la
deformaciónnegativaindicaque el resorte estácomprimido.Lafuerzaserámáximapero positiva,
tratando de volver al cuerpo a su posición de equilibrio.
A travésde la SegundaLeyde Newtonrelacionamoslafuerzaactuante (recuperadora) con
la aceleración a (t).
El Péndulo Simple
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por
un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.
Si la partícula se desplazaa unaposiciónq0 (ánguloque hace el hiloconla vertical) yluego
se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
El péndulo describe una trayectoria
circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección
tangencial y en la dirección normal.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos
*El peso mg
*La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq en la
dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial.
Ecuación del movimiento en la dirección radial
La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su
trayectoria circular.
La segunda ley de Newton se escribe
man=T-mg·cosq
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la
tensión T del hilo.
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio,
T=mg+mv2/l
Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq0
Principio de conservación de la energía
En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en
energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.
Comparemos dos posiciones del péndulo:
En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial.
E=mg(l-l·cosθ0)
En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial
La energía se conserva
v2=2gl(cosθ-cosθ0)
La tensión de la cuerda es
T=mg(3cosθ-2cosθ0)
La tensiónde la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor
máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es
máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).
Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
La aceleración de la partícula es at=dv/dt.
La segunda ley de Newton se escribe
mat=-mg·senq
La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La
ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial
Medida de la aceleración de la gravedad
Cuandoel ánguloq es pequeñoentonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones armónicas
cuya ecuación es
q =q0·sen(w t+j )
de frecuencia angular w2=g/l, o de periodo
La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de
masas My m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r.
La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P
situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa Mes la fuerza sobre la unidad
de masa g=F/m colocada en dicho punto.
su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste.
En la páginadedicadaal estudiodel SistemaSolar,proporcionamoslos datos relativos a la
masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes.
Ejemplo:
Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·1024 kg). La
aceleración g de la gravedad en su superficie es
Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración
Cinemática
Se mide con uncronómetroel tiempotque tarda encaer una partículadesde unaaltura h.
Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.
Oscilaciones
Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el
periodode variasoscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el periodo P de
una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo.
De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.
Se representanlosdatos"experimentales"enunsistema
de ejes:
P2/(4p2) en el eje vertical y La longitud del péndulo l en el eje horizontal.
La pendiente de la recta es la inversa de la aceleración de la gravedad g.
La Hidrostática
La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos
que estudia los fluidos en estado de reposo; es decir, sin que existan fuerzas que alteren su
movimiento o posición.
Agua de mar: fluido salobre.
Reciben el nombre de fluidos aquellos cuerpos que tienen la propiedad de adaptarse a la forma
del recipiente que los contiene. A esta propiedad se le da el nombre de fluidez.
Son fluidos tanto los líquidos como los gases, y su forma puede cambiar fácilmente por
escurrimiento debido a la acción de fuerzas pequeñas.
Los principalesteoremasque respaldanel estudiode lahidrostáticason el principio de Pascal y el
principio de Arquímedes.
Principio de Pascal
En física, el principio de Pascal es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise
Pascal (1623-1662).
El principiode Pascal afirmaque lapresiónaplicadasobre un fluidonocompresible contenido en
un recipiente indeformable se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y a todas
partes del recipiente.
Este tipo de fenómeno se puede apreciar, por ejemplo en la prensa hidráulica la cual funciona
aplicando este principio.
Definimoscompresibilidadcomola capacidad que tiene un fluido para disminuir el volumen que
ocupa al ser sometido a la acción de fuerzas.
Principio de Arquímedes
El principiode Arquímedes afirma que todo cuerpo sólido sumergido total o parcialmente en un
fluidoexperimentaunempuje vertical yhacia arriba con una fuerza igual al peso del volumen de
fluido desalojado.
El objetononecesariamente ha de estar completamente sumergido en dicho fluido, ya que si el
empuje que recibe esmayorque el pesoaparente del objeto,ésteflotaráy estará sumergido sólo
parcialmente.
Propiedades de los fluidos
Las propiedadesde un fluido son las que definen el comportamiento y características del mismo
tanto en reposo como en movimiento.
Existen propiedades primarias y propiedades secundarias del fluido.
Propiedades primarias o termodinámicas:
Densidad
Presión
Definimosviscosidadcomolamayoro menor dificultad para el deslizamiento entre las partículas
de un fluido.
Temperatura
Energía interna
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Propiedades secundarias
Caracterizan el comportamiento específico de los fluidos.
Viscosidad
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Tensión superficial
Compresión
La densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen. Se denomina con la letra ρ. En el
sistema internacional se mide en kilogramos / metro cúbico.
Cuando se trata de una sustancia homogénea, la expresión para su cálculo es:
hidrostatica001
Donde
ρ: densidad de la sustancia, Kg/m3
m: masa de la sustancia, Kg
V: volumen de la sustancia, m3
En consecuencia la unidad de densidad en el Sistema Internacional será kg/m3 pero es usual
especificar densidades en g/cm3, existiendo la equivalencia
1g cm3 = 1.000 kg/ m3.
La densidadde unasustanciavaríacon la temperaturayla presión;al resolvercualquierproblema
debe considerarse la temperatura y la presión a la que se encuentra el fluido.
Peso específico
El pesoespecíficode unfluidose calculacomosupesopor unidadde volumen (o su densidad por
g).
En el sistema internacional se mide en Newton / metro cúbico.
Presión hidrostática
En general,podemosdecirque lapresiónse definecomofuerzasobre unidadde superficie,obien
que la presióneslamagnitudque indicacómose distribuye lafuerzasobre la superficie en la cual
está aplicada.
http://ricardocatarifisica.blogspot.com/2015/02/trabajo-y-energia-enel-movimiento.html

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Ricardo Catari

  • 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universidad Tecnológica Antonio José de Sucre Construcción Civil Trabajo y Energía en el Movimiento: Armónico Simple; Rotación Sistema Masa-Resorte Péndulo Simple y Oscilaciones Hidrostática Integrante: RicardoCatari Prof: MariennyArrieche Área: Física I Barquisimeto; 1 de Febrero del 2015
  • 2. Trabajo y Energía en el Movimiento: Armónico Simple; Rotación Es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento. Solemosdecirque el sonidode unadeterminadanotamusical se representagráficamente por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento. Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia. Cuandoun punto(P) recorre una circunferenciaconvelocidaduniforme,suproyección(Q) sobre cualquierade losdiámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple. Cada vezque el puntose encuentre enunode loscuatrocuadrantesde lacircunferencia,se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo. Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a ordenadaslassucesivasprolongacionesdel mismo.Laresultante es una sinusoide, ya que la variacióndel tiempot,se traduce comouna variacióndel sin x, donde x es el ángulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo).
  • 3. Elementos: 1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias. 2. Elongación:esel desplazamientode lapartículaque osciladesde laposiciónde equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado. 3. Amplitud:eslamáximaelongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio. 4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se designa con la letra "t". 5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo. 6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante. Relación entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyección" (sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme (­M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular ω, sobre el diαmetro vertical de la circunferencia que recorre. En lo siguiente podrás visualizar dicha relación. Vamos a establecer una relación entre un movimiento vibratorio armónico simple y el movimiento circular uniforme. Esto nos va a permitir dos cosas: - Hallar la ecuación del MÁS sin tener que recurrir a cálculos matemáticos complejos. - Conocer de dónde vienen algunos de los conceptos que usamos en el MÁS, como frecuencia angular o el desfase. Observandoel appletque viene acontinuación.Tememosinicialmenteel resorte azul,que oscilaverticalmente.Enlacircunferenciatienes un punto negro que gira con movimiento circular uniforme, ocupando en cada instante una posición en la circunferencia. Traza mentalmente la proyección de esa posición sobre el diámetro vertical de la circunferencia. En cada momento, la masa que cuelgadel resorte ocupaunaposicióndeterminada. Observaque laposiciónde la masa del resorte coincide exactamente con la proyección de la posición del objeto sobre el diámetro, que verás en forma de línea azul en el diámetro vertical.
  • 4. Es decir,como resumen,cuandoun objeto gira con movimiento circular uniforme en una trayectoria circular, el movimiento de la proyección del objeto sobre el diámetro es un movimiento armónico simple. Lo mismo podríamos decir del resorte amarillo y la proyección sobre el diámetro horizontal, que verás como un trazo amarillo sobre dicho diámetro. Los vectoresazul yamarillo,que varíanen el applet,correspondenal valor de la velocidad del resorte, azul para diámetro vertical y amarillo para el horizontal. Observa su variación y comprobarás que la velocidad es máxima en el centro de equilibrio del resorte y mínima en los extremos,enlospuntosde mínimaymáximaelongación.Observatambiéncomoel vector rojo de la gráfica de la derecha, la velocidad del MÁS, coincide con el vector azul, la velocidad de la proyecciónsobre el diámetro vertical, lo que supone una prueba más de lo que hemos afirmado anteriormente. Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple Fórmulas: x = A . cos . w . t x = elongación r = A = radio t = tiempo w = velocidad angular
  • 5. Vx = - V . sen Ø V = w . r h = w . t w . t = V = Vector representativo de la velocidad lineal. Vx = proyección de "Y" sobre el eje "X" h = ángulo Vx = -2 . F . A . sen (2 . ) Vx = + w " A2 - x2 Ax = - w2 . A . cos. w . t Ax = - Ac . cos Ø Ac = proyección de aceleración sobre el eje horizontal Ac = w2 . x Ac = aceleración centrípeta t = 2 " mk T = periodo Péndulo simple Definición:Es llamado así porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo largo de longitud l, que cumple las condiciones siguientes: El hilo es inextensible Su masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo El ángulo de desplazamiento que llamaremos 0 debe ser pequeño Como funciona: con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa del cuerpo el ángulo de desplazamiento debe ser pequeño. Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple, es
  • 6. decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de ellos. Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilaciónperiódica.Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las fuerzas que se ejercensobre el pesoentodomomento,yverque componentesnosinteresanycuáles no. Esto se puede observar en la figura 13.1. Vemospuesque,considerandoúnicamenteel desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que se está recorriendo, podemos poner
  • 7. Que a veces también se expresa como. Esta ecuación es absolutamente análoga a la de un movimiento armónico simple, y por tanto susolucióntambiénserá(13.2) teniendo,únicamente,la precaución de sustituir el valor de antiguo por el que tiene ahora para un péndulo A partirde aquí se puedenextraertodas las demás relaciones para un péndulo simple, el periodo, frecuencia, entre otros. Período de un Péndulo Período: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa. Para determinarel períodose utiliza la siguiente expresión T/ N° de Osc. ( tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones). 1) El periodo de un péndulo es independiente de su amplitud. Esto significa que si se tienen 2 péndulosiguales(longitudy masa),perounode ellos tiene una amplitud de recorrido mayor que el otro, enambas condiciones la medida del periodo de estos péndulos es el mismo. 2) El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto significaque el periodode unpéndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de ese péndulo. Aplicaciones Algunasaplicacionesdel péndulosonlamedicióndel tiempo,el metrónomoy la plomada. Otra aplicaciónse conoce comoPéndulode Foucault,el cual se emplea para evidenciar la rotaciónde la Tierra.Se llamaasí enhonor del físicofrancésLéonFoucaultyestá formado por una gran masa suspendida de un cable muy largo. Tambiénsirve,puestoque unpéndulooscilaen un plano fijo, como prueba efectiva de la rotación de la Tierra, aunque estuviera siempre cubierta de nubes: En 1851 Jean Leon Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris (latitud≅49º). Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre; el hilo de arena que caía del cubo mientrasoscilabael Pénduloseñalaba la trayectoria: demostró experimentalmente que el plano de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora y por tanto que la Tierra rotaba.
  • 8. Sistema Masa-Resorte Otro ejemplode MovimientoArmónicoSimpleesel sistemamasa-resorteque consiste en una masa “m” unida a un resorte, que a su vez se halla fijo a una pared, como se muestra en la figura. Se supone movimiento sin rozamiento sobre la superficie horizontal. El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal, en ausenciade fuerzasexternas.Cuandose le aplicanfuerzasse deforma alargándose o acortándose enuna magnitud“x”llamada“deformación”.Cadaresorte se caracteriza mediante una constante “k” que es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que aplicarle. La fuerza que ejerceráel resorte esigual yopuestoala fuerzaexternaaplicada(si el resorte deformado está en reposo) y se llama fuerza recuperadora elástica. Dicha fuerza recuperadora elástica es igual a:
  • 9. En el primer dibujo tenemos el cuerpo de masa “m” en la posición de equilibrio, con el resorte teniendo su longitud normal. Si mediante una fuerza externa lo apartamos de la misma (segundo dibujo), hasta una deformación“x = + A” y luegolosoltamos,el cuerpoempezaráamoverse conM.A.S. oscilando en torno a la posiciónde equilibrio. En este dibujo la fuerza es máxima pero negativa, lo que indica que va hacia la izquierda tratando de hacer regresar al cuerpo a la posición de equilibrio. Llegará entonces hasta una deformación “x = -A” (tercer dibujo). En este caso la deformaciónnegativaindicaque el resorte estácomprimido.Lafuerzaserámáximapero positiva, tratando de volver al cuerpo a su posición de equilibrio. A travésde la SegundaLeyde Newtonrelacionamoslafuerzaactuante (recuperadora) con la aceleración a (t).
  • 10.
  • 11. El Péndulo Simple Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplazaa unaposiciónq0 (ánguloque hace el hiloconla vertical) yluego se suelta, el péndulo comienza a oscilar. El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal. Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos *El peso mg *La tensión T del hilo Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq en la dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial. Ecuación del movimiento en la dirección radial La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular. La segunda ley de Newton se escribe
  • 12. man=T-mg·cosq Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la tensión T del hilo. La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv2/l Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq0 Principio de conservación de la energía En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio. Comparemos dos posiciones del péndulo: En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial. E=mg(l-l·cosθ0) En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial La energía se conserva v2=2gl(cosθ-cosθ0)
  • 13. La tensión de la cuerda es T=mg(3cosθ-2cosθ0) La tensiónde la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula). Ecuación del movimiento en la dirección tangencial La aceleración de la partícula es at=dv/dt. La segunda ley de Newton se escribe mat=-mg·senq La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial Medida de la aceleración de la gravedad Cuandoel ánguloq es pequeñoentonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es q =q0·sen(w t+j ) de frecuencia angular w2=g/l, o de periodo La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas My m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r. La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa Mes la fuerza sobre la unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto. su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste.
  • 14. En la páginadedicadaal estudiodel SistemaSolar,proporcionamoslos datos relativos a la masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes. Ejemplo: Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·1024 kg). La aceleración g de la gravedad en su superficie es Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración Cinemática Se mide con uncronómetroel tiempotque tarda encaer una partículadesde unaaltura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste. Oscilaciones Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodode variasoscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo. De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal. Se representanlosdatos"experimentales"enunsistema de ejes:
  • 15. P2/(4p2) en el eje vertical y La longitud del péndulo l en el eje horizontal. La pendiente de la recta es la inversa de la aceleración de la gravedad g. La Hidrostática La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en estado de reposo; es decir, sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o posición. Agua de mar: fluido salobre. Reciben el nombre de fluidos aquellos cuerpos que tienen la propiedad de adaptarse a la forma del recipiente que los contiene. A esta propiedad se le da el nombre de fluidez. Son fluidos tanto los líquidos como los gases, y su forma puede cambiar fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas pequeñas. Los principalesteoremasque respaldanel estudiode lahidrostáticason el principio de Pascal y el principio de Arquímedes. Principio de Pascal En física, el principio de Pascal es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662). El principiode Pascal afirmaque lapresiónaplicadasobre un fluidonocompresible contenido en un recipiente indeformable se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y a todas partes del recipiente.
  • 16. Este tipo de fenómeno se puede apreciar, por ejemplo en la prensa hidráulica la cual funciona aplicando este principio. Definimoscompresibilidadcomola capacidad que tiene un fluido para disminuir el volumen que ocupa al ser sometido a la acción de fuerzas. Principio de Arquímedes El principiode Arquímedes afirma que todo cuerpo sólido sumergido total o parcialmente en un fluidoexperimentaunempuje vertical yhacia arriba con una fuerza igual al peso del volumen de fluido desalojado. El objetononecesariamente ha de estar completamente sumergido en dicho fluido, ya que si el empuje que recibe esmayorque el pesoaparente del objeto,ésteflotaráy estará sumergido sólo parcialmente. Propiedades de los fluidos Las propiedadesde un fluido son las que definen el comportamiento y características del mismo tanto en reposo como en movimiento. Existen propiedades primarias y propiedades secundarias del fluido. Propiedades primarias o termodinámicas: Densidad Presión Definimosviscosidadcomolamayoro menor dificultad para el deslizamiento entre las partículas de un fluido.
  • 17. Temperatura Energía interna Entalpía Entropía Calores específicos Propiedades secundarias Caracterizan el comportamiento específico de los fluidos. Viscosidad Conductividad térmica Tensión superficial Compresión La densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen. Se denomina con la letra ρ. En el sistema internacional se mide en kilogramos / metro cúbico. Cuando se trata de una sustancia homogénea, la expresión para su cálculo es:
  • 18. hidrostatica001 Donde ρ: densidad de la sustancia, Kg/m3 m: masa de la sustancia, Kg V: volumen de la sustancia, m3 En consecuencia la unidad de densidad en el Sistema Internacional será kg/m3 pero es usual especificar densidades en g/cm3, existiendo la equivalencia 1g cm3 = 1.000 kg/ m3. La densidadde unasustanciavaríacon la temperaturayla presión;al resolvercualquierproblema debe considerarse la temperatura y la presión a la que se encuentra el fluido. Peso específico El pesoespecíficode unfluidose calculacomosupesopor unidadde volumen (o su densidad por g). En el sistema internacional se mide en Newton / metro cúbico. Presión hidrostática En general,podemosdecirque lapresiónse definecomofuerzasobre unidadde superficie,obien que la presióneslamagnitudque indicacómose distribuye lafuerzasobre la superficie en la cual está aplicada.