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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN


      TRABAJO DE ESTADÍSTICA


       FERMIN CHAVEZ REYES


               2. C
1) Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una
campaña publicitaria, se toma la muestra de 1000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el
producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?
     a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.
     b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto
Datos:
n = 1000
x = 25




Donde:
x = ocurrencias
n = observaciones

 = proporción de la muestra

     = proporción propuesta
Solución:
a)




a = 0,01
Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de
ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que
realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8
semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas.
Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión.
Datos:
(= 40


n=8


Nivel de confianza del 99%
Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005




Solución:
H0: (= 40
H1: (> 40
Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7

a = 0,005
Un investigador de mercados y hábitos de comportamiento afirma que el tiempo que
los niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión cada semana se distribuye
normalmente con una media de 22 horas y desviación estándar 6 horas. Frente a este estudio,
una empresa de investigación de mercados cree que la media es mayor y para probar su
hipótesis toma una muestra de 64 observaciones procedentes de la misma población,
obteniendo como resultado una media de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%.
Verifique si la afirmación del investigador es realmente cierta.
Datos:




n = 64


a = 5% = 0,05




Solución:
H0: (= 22
H1: (> 22

a = 0,05
Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca de relojes caen por debajo
de las 170,000 unidades mensuales, se considera razón suficiente para lanzar una campaña
publicitaria que active las ventas de esta marca. Para conocer la evolución de las ventas, el
departamento de marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados, seleccionados
aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en relojes de esta marca. A partir de
estas cifras se obtienen los siguientes resultados: media = 169.411,8 unidades., desviación estándar
= 32.827,5 unidades. Suponiendo que las ventas mensuales por establecimiento se distribuyen
normalmente; con un nivel de significación del 5 % y en vista a la situación reflejada en los datos.
¿Se considerará oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria?

Datos:




n = 51




Solución:

H0: (= 170000

H1: (< 170000

a = 0,05
Un sociólogo ha pronostica do, que en una d eterminad a ciudad, el nivel d e abstención en las

próximas elecciones será d el 40% como mínimo. Se elige a l azar una muestra aleatoria de 200

individuos, con derecho a voto, 75 d e los cua les estarían dispuestos a votar. Determinar con un

nivel de signifi cación del 1 %, si se puede admitir el pronóstico.



1. Enunciamos las hipótesi s nula y alternativa:


           H 0 : μ ≥ 0.40    La abstención s erá como mínimo del 40%.



           H 1 : μ < 0.40   La abstención será como máximo d el 40%;



2. Z ona d e aceptación


Para α = 0.01, le corresponde un valor crítico: z   α   = 2.33.



Determinamos el intervalo de confianza para la media :




3. Veri fica ción.




4. Decisión


   Aceptamos la hipótesis nula H 0 . Podemos afirmar, con un nivel d e significación del 1%,

   que la La abstención s erá como mínimo d el 40%.
Un informe ind ica qu e el precio medio del billete de avión entr e Canarias y

Madrid es, como máximo, d e 120 € con una desviación típica de 4 0 €. S e toma

una muest ra d e 100 viajeros y se obtiene q ue la media de los precios de sus

billetes es d e 128 €.



¿S e pued e acept ar, co n un niv el de si gnific ación igual a 0,1 , la a firmación de

partida?


1 . Enunciamos las hi p ót esis nula y alternativa:


H 0 : μ ≤ 120


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2. Zona d e acept ación


Para α = 0.1 , le correspond e un valor crítico: z    α   = 1.28 .


Determina mos el int er valo d e confianza:




3. Verif icación.


Valor obt enid o d e la m ed ia d e la muestra: 128 €.


4. Decisión


No acep t amos l a h ip ótes is nul a H 0 . Con u n nivel de si gnificació n del 10%.
Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es

2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven

estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6,

con un nivel de confianza del 95%?


1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:


H0: μ = 6     La nota media no ha variado.


H1: μ ≠ 6     La nota media ha variado.


2. Zona de aceptación


Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z   α /2   = 1.96.


Determinamos el intervalo de confianza para la media:


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Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .


4. Decisión


Aceptamos la hipótesis nula H 0 , con un nivel de significación del 5%.
Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de
ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que
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Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión.
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(= 40


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Solución:
H0: = 40
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a = 0,005
Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15

estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534,

523, 452, 464, 562, 584, 507, 461

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un
intervalo de

Confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

Solución:

Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestra valga 505,35 y la
desviación

Típica 42,54. 2- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de
extroversión tienen una

Media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.

a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel
del

90%, para la media de la población.

b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que
podríamos

Cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación
puntual.

Solución:

a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por
debajo una

Probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta
muestra

En la expresión del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta
muestra

en la expresión del intervalo de confianza obtenemos:

( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 )
En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen
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a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por
debajo una

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muestra

en la expresión del intervalo de confianza obtenemos:

( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 )

Operando

( 30,06 ,, 35,34 )

b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que deja por

Debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel de confianza del
95% la

Media de la población puede valer

32,7 ± 2 · 12,64 / 8

Luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: 3,16
Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas cronometradas
por su

Entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04           41,81 42,18 41,72 42,26.

Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un
95% de

Confianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica para
este

Nadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un error en la estimación
de la

Media de este nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas debería
cronometrar?

SOLUCIÓN:

Para dar un intervalo de confianza de la media conocida la desviación típica,
utilizamos es

Estadístico pivote:
            y para 1 α = 0,95 el intervalo de confianza es:



                   ¿Quién es en nuestro caso         Es un valor tal que en la tabla de la

normal, sabemos que
     Dado el espacio muestral sustituyendo se obtiene el intervalo:



(41,924 – 0, 186 , 41,924 + 0,186). El valor 0,186 se llama margen de error.

El intervalo para la media es ( 41 , 738 , 42, 11)

Esto es lo mismo que decir que la media es 41,924 ± 18,6 %. Es decir que la media se
estima en

41,92 con un margen de error de ± 18,6 %
En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a favor
de la

política del actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con nivel del
95%, para

la proporción de alumnos que apoyan a esta dirección?

SOLUCIÓN:

Hay que averiguar un intervalo de confianza para estimar una proporción, donde
resulta que el

Valor del parámetro en la muestra elegida es     =190/360=0,5278.

Para obtener un intervalo de confianza de una proporción, el pivote estadístico es:
                                 la proporción muestra y p la proporción


Poblacional. De este modo resulta el intervalo de confianza para un nivel de
confianza 1-α el


Siguiente:                              ) En nuestro caso 1-α = 0,95 y α/2=0,025


Vamos a la tabla de la normal y calculamos      cuyo valor es 1,96 de modo que el
intervalo de confianza pedido es:

                                               dicho en otros términos, la proporción

de alumnos que apoyan a la junta directiva es del

orden del 52,7% con un margen de error de ±5,15%

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  • 1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN TRABAJO DE ESTADÍSTICA FERMIN CHAVEZ REYES 2. C
  • 2. 1) Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de 1000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis? a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto. b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto Datos: n = 1000 x = 25 Donde: x = ocurrencias n = observaciones = proporción de la muestra = proporción propuesta Solución: a) a = 0,01
  • 3. Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión. Datos: (= 40 n=8 Nivel de confianza del 99% Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005 Solución: H0: (= 40 H1: (> 40 Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7 a = 0,005
  • 4. Un investigador de mercados y hábitos de comportamiento afirma que el tiempo que los niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión cada semana se distribuye normalmente con una media de 22 horas y desviación estándar 6 horas. Frente a este estudio, una empresa de investigación de mercados cree que la media es mayor y para probar su hipótesis toma una muestra de 64 observaciones procedentes de la misma población, obteniendo como resultado una media de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%. Verifique si la afirmación del investigador es realmente cierta. Datos: n = 64 a = 5% = 0,05 Solución: H0: (= 22 H1: (> 22 a = 0,05
  • 5. Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca de relojes caen por debajo de las 170,000 unidades mensuales, se considera razón suficiente para lanzar una campaña publicitaria que active las ventas de esta marca. Para conocer la evolución de las ventas, el departamento de marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados, seleccionados aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en relojes de esta marca. A partir de estas cifras se obtienen los siguientes resultados: media = 169.411,8 unidades., desviación estándar = 32.827,5 unidades. Suponiendo que las ventas mensuales por establecimiento se distribuyen normalmente; con un nivel de significación del 5 % y en vista a la situación reflejada en los datos. ¿Se considerará oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria? Datos: n = 51 Solución: H0: (= 170000 H1: (< 170000 a = 0,05
  • 6. Un sociólogo ha pronostica do, que en una d eterminad a ciudad, el nivel d e abstención en las próximas elecciones será d el 40% como mínimo. Se elige a l azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 d e los cua les estarían dispuestos a votar. Determinar con un nivel de signifi cación del 1 %, si se puede admitir el pronóstico. 1. Enunciamos las hipótesi s nula y alternativa: H 0 : μ ≥ 0.40 La abstención s erá como mínimo del 40%. H 1 : μ < 0.40 La abstención será como máximo d el 40%; 2. Z ona d e aceptación Para α = 0.01, le corresponde un valor crítico: z α = 2.33. Determinamos el intervalo de confianza para la media : 3. Veri fica ción. 4. Decisión Aceptamos la hipótesis nula H 0 . Podemos afirmar, con un nivel d e significación del 1%, que la La abstención s erá como mínimo d el 40%.
  • 7. Un informe ind ica qu e el precio medio del billete de avión entr e Canarias y Madrid es, como máximo, d e 120 € con una desviación típica de 4 0 €. S e toma una muest ra d e 100 viajeros y se obtiene q ue la media de los precios de sus billetes es d e 128 €. ¿S e pued e acept ar, co n un niv el de si gnific ación igual a 0,1 , la a firmación de partida? 1 . Enunciamos las hi p ót esis nula y alternativa: H 0 : μ ≤ 120 H 1 : μ > 12 0 2. Zona d e acept ación Para α = 0.1 , le correspond e un valor crítico: z α = 1.28 . Determina mos el int er valo d e confianza: 3. Verif icación. Valor obt enid o d e la m ed ia d e la muestra: 128 €. 4. Decisión No acep t amos l a h ip ótes is nul a H 0 . Con u n nivel de si gnificació n del 10%.
  • 8. Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%? 1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa: H0: μ = 6 La nota media no ha variado. H1: μ ≠ 6 La nota media ha variado. 2. Zona de aceptación Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z α /2 = 1.96. Determinamos el intervalo de confianza para la media: (6-1,96 · 0,4; 6+1,96 · 0,4) = (5,22; 6,78) 3. Verificación. Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 . 4. Decisión Aceptamos la hipótesis nula H 0 , con un nivel de significación del 5%.
  • 9. Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión. Datos: (= 40 n=8 Nivel de confianza del 99% Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005 Solución: H0: = 40 H1: (> 40 Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7 a = 0,005
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  • 14. Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15 estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534, 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461 Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un intervalo de Confianza para la media a un nivel de confianza del 95%. Solución: Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestra valga 505,35 y la desviación Típica 42,54. 2- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una Media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64. a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población. b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que podríamos Cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual. Solución: a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por debajo una Probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta muestra En la expresión del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos: ( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 )
  • 15. En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una Media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64. a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población. b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que podríamos Cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual. Solución: a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por debajo una Probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos: ( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 ) Operando ( 30,06 ,, 35,34 ) b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que deja por Debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel de confianza del 95% la Media de la población puede valer 32,7 ± 2 · 12,64 / 8 Luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: 3,16
  • 16. Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas cronometradas por su Entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04 41,81 42,18 41,72 42,26. Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un 95% de Confianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica para este Nadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un error en la estimación de la Media de este nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas debería cronometrar? SOLUCIÓN: Para dar un intervalo de confianza de la media conocida la desviación típica, utilizamos es Estadístico pivote: y para 1 α = 0,95 el intervalo de confianza es: ¿Quién es en nuestro caso Es un valor tal que en la tabla de la normal, sabemos que Dado el espacio muestral sustituyendo se obtiene el intervalo: (41,924 – 0, 186 , 41,924 + 0,186). El valor 0,186 se llama margen de error. El intervalo para la media es ( 41 , 738 , 42, 11) Esto es lo mismo que decir que la media es 41,924 ± 18,6 %. Es decir que la media se estima en 41,92 con un margen de error de ± 18,6 %
  • 17. En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a favor de la política del actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con nivel del 95%, para la proporción de alumnos que apoyan a esta dirección? SOLUCIÓN: Hay que averiguar un intervalo de confianza para estimar una proporción, donde resulta que el Valor del parámetro en la muestra elegida es =190/360=0,5278. Para obtener un intervalo de confianza de una proporción, el pivote estadístico es: la proporción muestra y p la proporción Poblacional. De este modo resulta el intervalo de confianza para un nivel de confianza 1-α el Siguiente: ) En nuestro caso 1-α = 0,95 y α/2=0,025 Vamos a la tabla de la normal y calculamos cuyo valor es 1,96 de modo que el intervalo de confianza pedido es: dicho en otros términos, la proporción de alumnos que apoyan a la junta directiva es del orden del 52,7% con un margen de error de ±5,15%