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SISTEMA RESORTE MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
3. Una masa que pesa 24 libras se sujeta al extremo de un resorte y lo estira 4 pulgadas. En
un inicio, la masa se libera del reposo desde un punto situado 3 pulgadas por encima de la
posición de equilibrio. Encuentre la ecuación de movimiento.
La ecuación diferencial de movimiento libre no amortiguado es:
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
= − 𝐾 ( 𝑠 + 𝑥) + 𝑚 𝑔
Utilizando la condición de equilibrio.
𝑚𝑔 = 𝑘 𝑠 → 𝑠 =
𝑚𝑔
𝑘
𝑚𝑥´´ = − 𝐾 (
𝑚𝑔
𝑠
+ 𝑥 ) + 𝑚 𝑔
𝑚𝑥´´ = − 𝑚𝑔 + 𝑘 𝑥 + 𝑚 𝑔
𝑚𝑥´´ + 𝑘 𝑥 = 0
𝑤 = 24 𝑙𝑏
𝑆1 = 4 𝑖𝑛
𝑆2 = 3 𝑖𝑛
Primeramente convertimos las pulgadas en pies
6 𝑖𝑛 → 0.5 𝑓𝑡
4 𝑖𝑛 → 𝑆
𝑆1 =
4 𝑖𝑛 ∗ 0.5 𝑓𝑡
6 𝑖𝑛
=
1
3
𝑓𝑡
6 𝑖𝑛 → 0.5𝑓𝑡
3 𝑖𝑛 → 𝑆
𝑆2 =
3 𝑖𝑛 ∗ 0.5 𝑓𝑡
6 𝑖𝑛
=
1
4
𝑓𝑡
Sabemos que 𝑤 = 𝑚𝑔 se puede despejar m que es lo que necesitamos, es decir:
𝑊 = 𝑚𝑔 → 𝑚 =
𝑤
𝑔
=
24 𝑙𝑏
32 𝑓𝑡/𝑠2
=
3
4
𝑘𝑔
𝐹 = 𝑘𝑠 → 24 𝑙𝑏 = 𝑘
1
3
𝑓𝑡
𝐾 = 72 𝑙𝑏/ 𝑓𝑡
Con toda la información anterior se puede construir nuestra ecuación
3/4 𝑥´´ + 72 𝑥 = 0
𝑋(0) = −
1
4
porque inicialmente se encontraba por encima de la posición de equilibrio
𝑋´(0) = 0ya que la masa se libera del reposo
Resolviendo la ecuación homogénea:
3/4 𝑚2
+ 72 = 0
𝑚2
= −
72
3/4
= −96
𝑚 = 4√6 𝑖
𝛼 = 0 𝛽 = 4√6
𝑥 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛(4√6𝑡) + 𝐶2𝑐𝑜𝑠(4√6𝑡)
Evaluando la primera condición inicial
𝑋(0) = −
1
4
−
1
4
= 𝐶1𝑠𝑒𝑛(4√6(0)) + 𝐶2𝑐𝑜𝑠(4√6(0))
−
1
4
= 𝐶2
Derivando y evaluando la segunda condición inicial
𝑋´(0) = 0
𝑋´ = 4√6𝐶1𝑐𝑜𝑠(4√6𝑡) − 4√6𝐶2𝑠𝑒𝑛(4√6𝑡)
0 = 4√6𝐶1𝑐𝑜𝑠(4√6(0)) − 4√6𝐶2𝑠𝑒𝑛(4√6(0))
0 = 𝐶1
En conclusion la ecuación de movimiento es:
𝑥 = −
1
4
𝑐𝑜𝑠(4√6𝑡)
22. Un resorte de 4 pies mide 8 pies de largo después de unirlo a una masa con peso de 8
libras. El medio a través del cual se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento
numéricamente igual a √2 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de
movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con velocidad
descendente de 5 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑔⁄ . Encuentre el momento en el cual la masa logra su
desplazamiento extremo a partir de la posición de equilibrio ¿Cuál es la posición de la masa
en ese instante?
𝑊 = 8𝑙𝑏
𝑆 = 8 𝑓𝑡 − 4 𝑓𝑡
𝑆 = 4 𝑓𝑡
𝛽 = √2
La ecuación que describe al peso es:
𝑊 = 𝑚𝑔 ⥤ 𝑚 =
𝑊
𝑔
⥤ 𝑚 =
8 𝑙𝑏
32 𝑓𝑡 𝑠2⁄
=
1
4
𝑘𝑔
Para dar solución al problema utilizamos la ecuación de un sistema resorte masa
movimiento libre amortiguado:
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ (
𝛽
𝑚
)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ (
𝑘
𝑚
) 𝑥 = 0
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 2𝜆
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑊2
𝑥 = 0
A saberse que:
2𝜆 = (
𝛽
𝑚
) ; 𝑊2
= (
𝑘
𝑚
)
𝑊 = 𝑘𝑆 ⥤ 𝑘 =
𝑊
𝑠
⥤
8 𝑙𝑏
4 𝑓𝑡
= 2 𝑙𝑏 𝑓𝑡⁄
Ahora, se tiene la siguiente ecuación:
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝛽
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 0
Reemplazando los valores conocidos en esta ecuación:
1
4
𝑥′′
+ √2𝑥′ + 2𝑥 = 0
Sabiendo que 𝑥describe la posición de masa en cualquier tiempo, así mismo 𝑥′
describe
su velocidad, de este modo, se obtienen las siguientes condiciones iniciales:
𝑥′(0) = 5 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑔 ; 𝑥(0) = 0⁄
Ya que al liberar la masa, se encuentra inicialmente en la posición de equilibrio y en ese
punto tiene velocidad descendente de 5 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑔⁄
1
4
𝑥′′
+ √2𝑥′
+ 2𝑥 = 0
1
4
𝑚2
+ √2𝑚 + 2 = 0
𝑚2
+ 4√2𝑚 + 8 = 0
(𝑚 + 2√2)
2
= 0
𝑚 = −2√2 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2
De este modo una ecuación que describe la posición de la partícula en cualquier tiempo es:
𝑥 = 𝐶1 𝑒−2√2𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒−2√2𝑡
Se tiene además, que cuando el tiempo es igual a cero segundos(𝑡 = 0) la posición de
la masa es también cero pies(𝑥 = 0). Reemplazando los valores en la
ecuación anterior:
0 = 𝐶1 𝑒−2√2(0) + 𝐶2(0)𝑒−2√2(0)
𝐶1 = 0
También se sabe que cuando el tiempo es cero segundos (𝑡 = 0) la velocidad de la
masa es de 5 pies por segundo (𝑥′ = 5). Se tiene que la ecuación que describe
la velocidad de la masa en cualquier tiempo es:
𝑥′
= −2√2𝐶1 𝑒−2√2𝑡
+ (𝐶2 𝑒−2√2𝑡
− 2√2𝐶2 𝑡𝑒−2√2𝑡
)
𝑥′
= −2√2𝐶1 𝑒−2√2𝑡
+ 𝐶2(𝑒−2√2𝑡
− 2√2𝑡𝑒−2√2𝑡
)
Reemplazando los valores que ya se conocen, se obtiene:
5 = −2√2𝐶1 𝑒−2√2(0)
+ 𝐶2(𝑒−2√2(0)
− 2√2(0)𝑒−2√2(0)
)
5 = −2√2𝐶1 + 𝐶2
Pero 𝐶1 = 0, así que:
𝐶2 = 5
De este modo se tiene que la ecuación que describe la posición de la masa en cualquier
tiempo es:
𝑥 = 5𝑡𝑒−2√2𝑡
Por otra parte, cuando el desplazamiento es extremo, es decir, cuando es el máximo, la
velocidad se hace cero (conservando la ley de equilibrio), por tanto:
𝑥′
= 𝐶2(𝑒−2√2𝑡
− 2√2𝑡𝑒−2√2𝑡
)
Se convierte en:
0 = 5𝑒−2√2𝑡
− 10√2𝑡𝑒−2√2𝑡
)
0 = 5𝑒−2√2𝑡
(1 − 2√2𝑡)
0 = 1 − 2√2𝑡
𝑡 =
1
2√2
=
√2
4
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
Reemplazando este valor en la ecuación de desplazamiento, se tiene:
𝑥 = 5
√2
4
𝑒
−2√2
√2
4
𝑥 =
5√2
4
𝑒−1
El desplazamiento extremo será:
𝑥 =
5√2
4𝑒
𝑝𝑖𝑒𝑠.
31. Cuando una masa de 1 slug se sujeta a un resorte, lo estira 2 pies y después descansa en
su posición de equilibrio. Comenzando en t = 0, una fuerza externa igual f(t) = 8sen4t se
aplica al sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si el medio circundante ofrece una
fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 8 veces la velocidad instantánea.
Resumiendo se tiene:
𝑓( 𝑡) = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡 𝑚 = 1 𝑠𝑙𝑢𝑔
𝛽 = 8 𝑆 = 2 𝑝𝑖𝑒𝑠
Para este problema, se adopta el siguiente modelo de ecuación:
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 2𝜆
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑊2
𝑥 = 𝐹( 𝑡)
𝐹( 𝑡) =
𝑓( 𝑡)
𝑚
; 2𝜆 =
𝛽
𝑚
; 𝑊2
=
𝑘
𝑚
𝑚𝑔 = 𝑘𝑆 ⥤ 𝑘 =
𝑚𝑔
𝑆
⥤ 𝑘 =
1 𝑠𝑙𝑢𝑔 (32 𝑓𝑡 𝑠2
)⁄
2 𝑓𝑡
= 16 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑠2⁄
Acomodando los términos, se obtiene la siguiente ecuación:
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝛽
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 𝑓( 𝑡)
Reemplazando los valores ya conocidos en la ecuación anterior, se obtiene:
𝑥′′
+ 8𝑥′
+ 16𝑥 = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡 (∗)
𝑚2
+ 8𝑚 + 16 = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡
Resolviendo la ecuación homogénea
𝑚2
+ 8𝑚 + 16 = 0
( 𝑚 + 4)2
= 0
𝑚 = −4 ; 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2
De este modo, una solución de la ecuación es:
𝑥 𝑐 = 𝐶1 𝑒−4𝑡
+ 𝐶2 𝑡𝑒−4𝑡
Una solución particular de la ecuación es:
𝑥 𝑝 = 𝐴𝑠𝑒𝑛4𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠4𝑡
𝑥′ 𝑝 = 4𝐴𝑐𝑜𝑠4𝑡 − 4𝐵𝑠𝑒𝑛4𝑡
𝑥′′ 𝑝 = −16𝐴𝑠𝑒𝑛4𝑡 − 16𝐵𝑐𝑜𝑠4𝑡
Reemplazando en (*):
(−16𝐴𝑠𝑒𝑛4𝑡 − 16𝐵𝑐𝑜𝑠4𝑡) + 8(4𝐴𝑐𝑜𝑠4𝑡 − 4𝐵𝑠𝑒𝑛4𝑡)
+ 16(𝐴𝑠𝑒𝑛4𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠4𝑡) = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡
(−16𝐴 − 32𝐵 + 16𝐴)𝑠𝑒𝑛4𝑡 + (−16𝐵 + 32𝐴 + 16𝐵)𝑐𝑜𝑠4𝑡 = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡
32𝐴𝑐𝑜𝑠4𝑡 − 32𝐵𝑠𝑒𝑛4𝑡 = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡
Igualando los coeficientes, se tiene:
−32𝐵 = 8 ⥤ 𝐵 = −
8
32
;
32𝐴 = 0
𝐵 = −
1
4
;
𝐴 = 0
Así, la solución particular estará dada por:
𝑥 𝑝 = −
1
4
𝑐𝑜𝑠4𝑡
Y la solución general será:
𝑥 = 𝐶1 𝑒−4𝑡
+ 𝐶2 𝑡𝑒−4𝑡
−
1
4
𝑐𝑜𝑠4𝑡
Para este problema, se tienen las siguientes condiciones iniciales:
𝑥(0) = 0 ; 𝑥′(0) = 0
Reemplazando en la ecuación anterior, se tiene:
0 = 𝐶1 𝑒−4(0)
+ 𝐶2(0)𝑒−4(0)
−
1
4
𝑐𝑜𝑠4(0)
0 = 𝐶1 −
1
4
⥤ 𝐶1 =
1
4
𝑥′
= −4𝐶1 𝑒−4𝑡
− 4𝐶2 𝑡𝑒−4𝑡
+ 𝐶2 𝑒−4𝑡
+ 𝑠𝑒𝑛4𝑡
0 = −4𝐶1 𝑒−4(0)
− 4(0)𝑡𝑒−4(0)
+ 𝐶2 𝑒−4(0)
+ 𝑠𝑒𝑛4(0)
0 = −4𝐶1 + 𝐶2
Reemplazando el valor de la constante 𝐶1 =
1
4
se tiene:
0 = −1 + 𝐶2 ⥤ 𝐶2 = 1
Así, la ecuación de movimiento será:
𝑥 =
1
4
𝑒−4𝑡
+ 𝑡𝑒−4𝑡
−
1
4
𝑐𝑜𝑠4𝑡
46. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie, cuando 𝐿 =
1
4
ℎ ;
𝑅 = 20 𝛺 ; 𝐶 =
1
300
𝑓 ; 𝐸(𝑡) = 0 𝑉 ; 𝑞(0) = 4𝐶 ; 𝑖(0) = 0 𝐴. En el
capacitor, ¿La carga nunca ha sido igual a cero?
Se tiene que la ecuación que describe el problema es:
1
4
𝑞′′
+ 20𝑞′
+ 300𝑞 = 0
1
4
𝑚2
+ 20𝑚 + 300 = 0
𝑚2
+ 80𝑚 + 1200 = 0
( 𝑚 + 60)( 𝑚 + 20) = 0
𝑚 = −60 ; 𝑚 = −20
De este modo la ecuación que describe la carga será:
𝑞 = 𝐶1 𝑒−60𝑡
+ 𝐶2 𝑒−20𝑡
Pero cuando t = 0, q = 4. De modo que:
4 = 𝐶1 𝑒−60(0)
+ 𝐶2 𝑒−20(0)
4 = 𝐶1 + 𝐶2 (1)
𝑞′
= −60𝐶1 𝑒−60𝑡
− 20𝐶2 𝑒−20𝑡
Pero cuando t = 0, q’= 0. De modo que:
0 = −60𝐶1 𝑒−60(0)
− 20𝐶2 𝑒−20(0)
0 = −60𝐶1 − 20𝐶2(2)
Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
{
𝐶1 + 𝐶2 = 4
−60𝐶1 −20𝐶2 = 0
Multiplicando la primera ecuación por 60 y sumándola a la segunda, se tiene:
{
𝐶1 + 𝐶2 = 4
40𝐶2 = 240
⥤ 𝐶2 = 6
Reemplazando el valor de la constante 𝐶2 = 6en la primera ecuación, se obtiene:
𝐶1 + 6 = 4 ⥤ 𝐶1 = −2
De este modo, la ecuación que describe la carga del circuito LRC, en serie, para cualquier
tiempo es:
𝑞 = −2𝑒−60𝑡
+ 6𝑒−20𝑡
Suponiendo que en algún momento la carga se hace cero, se tiene:
0 = −2𝑒−60𝑡
+ 6𝑒−20𝑡
2𝑒−60𝑡
= 6𝑒−20𝑡
2
6
=
𝑒60𝑡
𝑒20𝑡
1
3
= 𝑒40𝑡
⥤ ln (
1
3
) = ln( 𝑒40𝑡) ⥤ ln (
1
3
) = 40𝑡 ⥤ 𝑡 = −0,0274
Como el tiempo no puede ser negativo, se concluye que la carga nunca ha sido igual a cero.
50. Demuestre que la amplitud de la corriente remanente en el circuito LRC en serie del
ejemplo 10 está dada por E0/Z donde Z es la impedancia del circuito
Se sabe que la solución de la ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado es
𝑥( 𝑡) = 𝐶1 cos 𝑤𝑡 + 𝐶2 sin 𝑤𝑡
Donde
𝐴 = √ 𝐶1
2
+ 𝐶2
2
Luego del ejemplo 10 tenemos que la corriente del circuito LRC, muestra este movimiento
𝑖 𝑝( 𝑡) =
𝐸0
𝑍
(
𝑅
𝑍
𝑠𝑖𝑛 𝛾𝑡 −
𝑋
𝑍
𝑐𝑜𝑠 𝛾𝑡)
Entonces
𝑖 𝑝( 𝑡) = (
𝐸0 𝑅
𝑍2
sin 𝛾𝑡 −
𝐸0 𝑋
𝑍2
cos 𝛾𝑡)
Así
C1=
𝐸0 𝑅
𝑍2 y C2= −
𝐸0 𝑋
𝑍2
Luego
𝐴 = √ (
𝐸0 𝑅
𝑍2
)
2
+ (−
𝐸0 𝑋
𝑍2
)
2
𝐴 = √ 𝐸0
2
𝑅
Z4
2
+
𝐸0
2
𝑋2
𝑍4
𝐴 = √
𝐸0
2
Z4
( 𝑅2 + 𝑋2)
𝐴 =
𝐸0
Z2
√( 𝑅2 + 𝑋2)
Ahora como en el ejemplo 10 la impedancia está dada por
𝑍 = √( 𝑅2 + 𝑋2)
Entonces
𝐴 =
𝐸0
Z2
𝑍
𝐴 =
𝐸0
Z
55. Muestre que si L, R, E0 y ϒ son constantes, entonces la amplitud de la corriente
remante del ejemplo 10 es un máximo cuando la capacitancia es C=1/Lϒ2
Del ejercicio anterior tenemos que
𝐴 =
𝐸0
Z
Cuando 𝑍 = √(𝑅2 + 𝑋2) y 𝑋 = 𝐿𝛾 −
1
𝐶𝛾
Luego sabiendo que E0 es constante, la amplitud A se hace máximo cuando la impedancia Z
es mínima, ahora para que la impedancia Z sea mínima, sabiendo que R es constante, X= 0
así
𝑋 = 𝐿𝛾 −
1
𝐶𝛾
0 = 𝐿𝛾 −
1
𝐶𝛾
1
𝐶𝛾
= 𝐿𝛾
1
𝐿𝛾2
= 𝐶
Así cuando
1
𝐿𝛾2 = 𝐶 la amplitud A es máxima.
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Trabajo ecuaciones

  • 1. SISTEMA RESORTE MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO 3. Una masa que pesa 24 libras se sujeta al extremo de un resorte y lo estira 4 pulgadas. En un inicio, la masa se libera del reposo desde un punto situado 3 pulgadas por encima de la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación de movimiento. La ecuación diferencial de movimiento libre no amortiguado es: 𝑚 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 = − 𝐾 ( 𝑠 + 𝑥) + 𝑚 𝑔 Utilizando la condición de equilibrio. 𝑚𝑔 = 𝑘 𝑠 → 𝑠 = 𝑚𝑔 𝑘 𝑚𝑥´´ = − 𝐾 ( 𝑚𝑔 𝑠 + 𝑥 ) + 𝑚 𝑔 𝑚𝑥´´ = − 𝑚𝑔 + 𝑘 𝑥 + 𝑚 𝑔 𝑚𝑥´´ + 𝑘 𝑥 = 0 𝑤 = 24 𝑙𝑏 𝑆1 = 4 𝑖𝑛 𝑆2 = 3 𝑖𝑛 Primeramente convertimos las pulgadas en pies 6 𝑖𝑛 → 0.5 𝑓𝑡 4 𝑖𝑛 → 𝑆 𝑆1 = 4 𝑖𝑛 ∗ 0.5 𝑓𝑡 6 𝑖𝑛 = 1 3 𝑓𝑡 6 𝑖𝑛 → 0.5𝑓𝑡 3 𝑖𝑛 → 𝑆 𝑆2 = 3 𝑖𝑛 ∗ 0.5 𝑓𝑡 6 𝑖𝑛 = 1 4 𝑓𝑡
  • 2. Sabemos que 𝑤 = 𝑚𝑔 se puede despejar m que es lo que necesitamos, es decir: 𝑊 = 𝑚𝑔 → 𝑚 = 𝑤 𝑔 = 24 𝑙𝑏 32 𝑓𝑡/𝑠2 = 3 4 𝑘𝑔 𝐹 = 𝑘𝑠 → 24 𝑙𝑏 = 𝑘 1 3 𝑓𝑡 𝐾 = 72 𝑙𝑏/ 𝑓𝑡 Con toda la información anterior se puede construir nuestra ecuación 3/4 𝑥´´ + 72 𝑥 = 0 𝑋(0) = − 1 4 porque inicialmente se encontraba por encima de la posición de equilibrio 𝑋´(0) = 0ya que la masa se libera del reposo Resolviendo la ecuación homogénea: 3/4 𝑚2 + 72 = 0 𝑚2 = − 72 3/4 = −96 𝑚 = 4√6 𝑖 𝛼 = 0 𝛽 = 4√6 𝑥 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛(4√6𝑡) + 𝐶2𝑐𝑜𝑠(4√6𝑡) Evaluando la primera condición inicial 𝑋(0) = − 1 4 − 1 4 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛(4√6(0)) + 𝐶2𝑐𝑜𝑠(4√6(0)) − 1 4 = 𝐶2 Derivando y evaluando la segunda condición inicial
  • 3. 𝑋´(0) = 0 𝑋´ = 4√6𝐶1𝑐𝑜𝑠(4√6𝑡) − 4√6𝐶2𝑠𝑒𝑛(4√6𝑡) 0 = 4√6𝐶1𝑐𝑜𝑠(4√6(0)) − 4√6𝐶2𝑠𝑒𝑛(4√6(0)) 0 = 𝐶1 En conclusion la ecuación de movimiento es: 𝑥 = − 1 4 𝑐𝑜𝑠(4√6𝑡) 22. Un resorte de 4 pies mide 8 pies de largo después de unirlo a una masa con peso de 8 libras. El medio a través del cual se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a √2 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con velocidad descendente de 5 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑔⁄ . Encuentre el momento en el cual la masa logra su desplazamiento extremo a partir de la posición de equilibrio ¿Cuál es la posición de la masa en ese instante? 𝑊 = 8𝑙𝑏 𝑆 = 8 𝑓𝑡 − 4 𝑓𝑡 𝑆 = 4 𝑓𝑡 𝛽 = √2 La ecuación que describe al peso es: 𝑊 = 𝑚𝑔 ⥤ 𝑚 = 𝑊 𝑔 ⥤ 𝑚 = 8 𝑙𝑏 32 𝑓𝑡 𝑠2⁄ = 1 4 𝑘𝑔 Para dar solución al problema utilizamos la ecuación de un sistema resorte masa movimiento libre amortiguado:
  • 4. 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 + ( 𝛽 𝑚 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + ( 𝑘 𝑚 ) 𝑥 = 0 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 + 2𝜆 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑊2 𝑥 = 0 A saberse que: 2𝜆 = ( 𝛽 𝑚 ) ; 𝑊2 = ( 𝑘 𝑚 ) 𝑊 = 𝑘𝑆 ⥤ 𝑘 = 𝑊 𝑠 ⥤ 8 𝑙𝑏 4 𝑓𝑡 = 2 𝑙𝑏 𝑓𝑡⁄ Ahora, se tiene la siguiente ecuación: 𝑚 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 + 𝛽 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 0 Reemplazando los valores conocidos en esta ecuación: 1 4 𝑥′′ + √2𝑥′ + 2𝑥 = 0 Sabiendo que 𝑥describe la posición de masa en cualquier tiempo, así mismo 𝑥′ describe su velocidad, de este modo, se obtienen las siguientes condiciones iniciales:
  • 5. 𝑥′(0) = 5 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑔 ; 𝑥(0) = 0⁄ Ya que al liberar la masa, se encuentra inicialmente en la posición de equilibrio y en ese punto tiene velocidad descendente de 5 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑔⁄ 1 4 𝑥′′ + √2𝑥′ + 2𝑥 = 0 1 4 𝑚2 + √2𝑚 + 2 = 0 𝑚2 + 4√2𝑚 + 8 = 0 (𝑚 + 2√2) 2 = 0 𝑚 = −2√2 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2 De este modo una ecuación que describe la posición de la partícula en cualquier tiempo es: 𝑥 = 𝐶1 𝑒−2√2𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒−2√2𝑡 Se tiene además, que cuando el tiempo es igual a cero segundos(𝑡 = 0) la posición de la masa es también cero pies(𝑥 = 0). Reemplazando los valores en la ecuación anterior:
  • 6. 0 = 𝐶1 𝑒−2√2(0) + 𝐶2(0)𝑒−2√2(0) 𝐶1 = 0 También se sabe que cuando el tiempo es cero segundos (𝑡 = 0) la velocidad de la masa es de 5 pies por segundo (𝑥′ = 5). Se tiene que la ecuación que describe la velocidad de la masa en cualquier tiempo es: 𝑥′ = −2√2𝐶1 𝑒−2√2𝑡 + (𝐶2 𝑒−2√2𝑡 − 2√2𝐶2 𝑡𝑒−2√2𝑡 ) 𝑥′ = −2√2𝐶1 𝑒−2√2𝑡 + 𝐶2(𝑒−2√2𝑡 − 2√2𝑡𝑒−2√2𝑡 ) Reemplazando los valores que ya se conocen, se obtiene: 5 = −2√2𝐶1 𝑒−2√2(0) + 𝐶2(𝑒−2√2(0) − 2√2(0)𝑒−2√2(0) ) 5 = −2√2𝐶1 + 𝐶2
  • 7. Pero 𝐶1 = 0, así que: 𝐶2 = 5 De este modo se tiene que la ecuación que describe la posición de la masa en cualquier tiempo es: 𝑥 = 5𝑡𝑒−2√2𝑡 Por otra parte, cuando el desplazamiento es extremo, es decir, cuando es el máximo, la velocidad se hace cero (conservando la ley de equilibrio), por tanto: 𝑥′ = 𝐶2(𝑒−2√2𝑡 − 2√2𝑡𝑒−2√2𝑡 ) Se convierte en: 0 = 5𝑒−2√2𝑡 − 10√2𝑡𝑒−2√2𝑡 ) 0 = 5𝑒−2√2𝑡 (1 − 2√2𝑡) 0 = 1 − 2√2𝑡 𝑡 = 1 2√2 = √2 4 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
  • 8. Reemplazando este valor en la ecuación de desplazamiento, se tiene: 𝑥 = 5 √2 4 𝑒 −2√2 √2 4 𝑥 = 5√2 4 𝑒−1 El desplazamiento extremo será: 𝑥 = 5√2 4𝑒 𝑝𝑖𝑒𝑠. 31. Cuando una masa de 1 slug se sujeta a un resorte, lo estira 2 pies y después descansa en su posición de equilibrio. Comenzando en t = 0, una fuerza externa igual f(t) = 8sen4t se aplica al sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si el medio circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 8 veces la velocidad instantánea. Resumiendo se tiene: 𝑓( 𝑡) = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡 𝑚 = 1 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝛽 = 8 𝑆 = 2 𝑝𝑖𝑒𝑠 Para este problema, se adopta el siguiente modelo de ecuación: 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 + 2𝜆 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑊2 𝑥 = 𝐹( 𝑡)
  • 9. 𝐹( 𝑡) = 𝑓( 𝑡) 𝑚 ; 2𝜆 = 𝛽 𝑚 ; 𝑊2 = 𝑘 𝑚 𝑚𝑔 = 𝑘𝑆 ⥤ 𝑘 = 𝑚𝑔 𝑆 ⥤ 𝑘 = 1 𝑠𝑙𝑢𝑔 (32 𝑓𝑡 𝑠2 )⁄ 2 𝑓𝑡 = 16 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑠2⁄ Acomodando los términos, se obtiene la siguiente ecuación: 𝑚 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 + 𝛽 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 𝑓( 𝑡) Reemplazando los valores ya conocidos en la ecuación anterior, se obtiene: 𝑥′′ + 8𝑥′ + 16𝑥 = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡 (∗) 𝑚2 + 8𝑚 + 16 = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡 Resolviendo la ecuación homogénea 𝑚2 + 8𝑚 + 16 = 0 ( 𝑚 + 4)2 = 0
  • 10. 𝑚 = −4 ; 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2 De este modo, una solución de la ecuación es: 𝑥 𝑐 = 𝐶1 𝑒−4𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒−4𝑡 Una solución particular de la ecuación es: 𝑥 𝑝 = 𝐴𝑠𝑒𝑛4𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠4𝑡 𝑥′ 𝑝 = 4𝐴𝑐𝑜𝑠4𝑡 − 4𝐵𝑠𝑒𝑛4𝑡 𝑥′′ 𝑝 = −16𝐴𝑠𝑒𝑛4𝑡 − 16𝐵𝑐𝑜𝑠4𝑡 Reemplazando en (*): (−16𝐴𝑠𝑒𝑛4𝑡 − 16𝐵𝑐𝑜𝑠4𝑡) + 8(4𝐴𝑐𝑜𝑠4𝑡 − 4𝐵𝑠𝑒𝑛4𝑡) + 16(𝐴𝑠𝑒𝑛4𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠4𝑡) = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡 (−16𝐴 − 32𝐵 + 16𝐴)𝑠𝑒𝑛4𝑡 + (−16𝐵 + 32𝐴 + 16𝐵)𝑐𝑜𝑠4𝑡 = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡 32𝐴𝑐𝑜𝑠4𝑡 − 32𝐵𝑠𝑒𝑛4𝑡 = 8𝑠𝑒𝑛4𝑡
  • 11. Igualando los coeficientes, se tiene: −32𝐵 = 8 ⥤ 𝐵 = − 8 32 ; 32𝐴 = 0 𝐵 = − 1 4 ; 𝐴 = 0 Así, la solución particular estará dada por: 𝑥 𝑝 = − 1 4 𝑐𝑜𝑠4𝑡 Y la solución general será: 𝑥 = 𝐶1 𝑒−4𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒−4𝑡 − 1 4 𝑐𝑜𝑠4𝑡 Para este problema, se tienen las siguientes condiciones iniciales: 𝑥(0) = 0 ; 𝑥′(0) = 0 Reemplazando en la ecuación anterior, se tiene: 0 = 𝐶1 𝑒−4(0) + 𝐶2(0)𝑒−4(0) − 1 4 𝑐𝑜𝑠4(0)
  • 12. 0 = 𝐶1 − 1 4 ⥤ 𝐶1 = 1 4 𝑥′ = −4𝐶1 𝑒−4𝑡 − 4𝐶2 𝑡𝑒−4𝑡 + 𝐶2 𝑒−4𝑡 + 𝑠𝑒𝑛4𝑡 0 = −4𝐶1 𝑒−4(0) − 4(0)𝑡𝑒−4(0) + 𝐶2 𝑒−4(0) + 𝑠𝑒𝑛4(0) 0 = −4𝐶1 + 𝐶2 Reemplazando el valor de la constante 𝐶1 = 1 4 se tiene: 0 = −1 + 𝐶2 ⥤ 𝐶2 = 1 Así, la ecuación de movimiento será: 𝑥 = 1 4 𝑒−4𝑡 + 𝑡𝑒−4𝑡 − 1 4 𝑐𝑜𝑠4𝑡 46. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie, cuando 𝐿 = 1 4 ℎ ; 𝑅 = 20 𝛺 ; 𝐶 = 1 300 𝑓 ; 𝐸(𝑡) = 0 𝑉 ; 𝑞(0) = 4𝐶 ; 𝑖(0) = 0 𝐴. En el capacitor, ¿La carga nunca ha sido igual a cero?
  • 13. Se tiene que la ecuación que describe el problema es: 1 4 𝑞′′ + 20𝑞′ + 300𝑞 = 0 1 4 𝑚2 + 20𝑚 + 300 = 0 𝑚2 + 80𝑚 + 1200 = 0 ( 𝑚 + 60)( 𝑚 + 20) = 0 𝑚 = −60 ; 𝑚 = −20 De este modo la ecuación que describe la carga será: 𝑞 = 𝐶1 𝑒−60𝑡 + 𝐶2 𝑒−20𝑡 Pero cuando t = 0, q = 4. De modo que: 4 = 𝐶1 𝑒−60(0) + 𝐶2 𝑒−20(0) 4 = 𝐶1 + 𝐶2 (1)
  • 14. 𝑞′ = −60𝐶1 𝑒−60𝑡 − 20𝐶2 𝑒−20𝑡 Pero cuando t = 0, q’= 0. De modo que: 0 = −60𝐶1 𝑒−60(0) − 20𝐶2 𝑒−20(0) 0 = −60𝐶1 − 20𝐶2(2) Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: { 𝐶1 + 𝐶2 = 4 −60𝐶1 −20𝐶2 = 0 Multiplicando la primera ecuación por 60 y sumándola a la segunda, se tiene: { 𝐶1 + 𝐶2 = 4 40𝐶2 = 240 ⥤ 𝐶2 = 6 Reemplazando el valor de la constante 𝐶2 = 6en la primera ecuación, se obtiene: 𝐶1 + 6 = 4 ⥤ 𝐶1 = −2 De este modo, la ecuación que describe la carga del circuito LRC, en serie, para cualquier tiempo es: 𝑞 = −2𝑒−60𝑡 + 6𝑒−20𝑡
  • 15. Suponiendo que en algún momento la carga se hace cero, se tiene: 0 = −2𝑒−60𝑡 + 6𝑒−20𝑡 2𝑒−60𝑡 = 6𝑒−20𝑡 2 6 = 𝑒60𝑡 𝑒20𝑡 1 3 = 𝑒40𝑡 ⥤ ln ( 1 3 ) = ln( 𝑒40𝑡) ⥤ ln ( 1 3 ) = 40𝑡 ⥤ 𝑡 = −0,0274 Como el tiempo no puede ser negativo, se concluye que la carga nunca ha sido igual a cero. 50. Demuestre que la amplitud de la corriente remanente en el circuito LRC en serie del ejemplo 10 está dada por E0/Z donde Z es la impedancia del circuito Se sabe que la solución de la ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado es 𝑥( 𝑡) = 𝐶1 cos 𝑤𝑡 + 𝐶2 sin 𝑤𝑡 Donde 𝐴 = √ 𝐶1 2 + 𝐶2 2 Luego del ejemplo 10 tenemos que la corriente del circuito LRC, muestra este movimiento 𝑖 𝑝( 𝑡) = 𝐸0 𝑍 ( 𝑅 𝑍 𝑠𝑖𝑛 𝛾𝑡 − 𝑋 𝑍 𝑐𝑜𝑠 𝛾𝑡) Entonces 𝑖 𝑝( 𝑡) = ( 𝐸0 𝑅 𝑍2 sin 𝛾𝑡 − 𝐸0 𝑋 𝑍2 cos 𝛾𝑡)
  • 16. Así C1= 𝐸0 𝑅 𝑍2 y C2= − 𝐸0 𝑋 𝑍2 Luego 𝐴 = √ ( 𝐸0 𝑅 𝑍2 ) 2 + (− 𝐸0 𝑋 𝑍2 ) 2 𝐴 = √ 𝐸0 2 𝑅 Z4 2 + 𝐸0 2 𝑋2 𝑍4 𝐴 = √ 𝐸0 2 Z4 ( 𝑅2 + 𝑋2) 𝐴 = 𝐸0 Z2 √( 𝑅2 + 𝑋2) Ahora como en el ejemplo 10 la impedancia está dada por 𝑍 = √( 𝑅2 + 𝑋2) Entonces 𝐴 = 𝐸0 Z2 𝑍 𝐴 = 𝐸0 Z 55. Muestre que si L, R, E0 y ϒ son constantes, entonces la amplitud de la corriente remante del ejemplo 10 es un máximo cuando la capacitancia es C=1/Lϒ2 Del ejercicio anterior tenemos que 𝐴 = 𝐸0 Z Cuando 𝑍 = √(𝑅2 + 𝑋2) y 𝑋 = 𝐿𝛾 − 1 𝐶𝛾 Luego sabiendo que E0 es constante, la amplitud A se hace máximo cuando la impedancia Z es mínima, ahora para que la impedancia Z sea mínima, sabiendo que R es constante, X= 0 así
  • 17. 𝑋 = 𝐿𝛾 − 1 𝐶𝛾 0 = 𝐿𝛾 − 1 𝐶𝛾 1 𝐶𝛾 = 𝐿𝛾 1 𝐿𝛾2 = 𝐶 Así cuando 1 𝐿𝛾2 = 𝐶 la amplitud A es máxima.