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MARCO TEÓRICO
El trabajo es realizado por fuerzas que actúan sobre el cuerpo y cuyo valor cambia durante el
desplazamiento. Para estirar un resorte ha de aplicarse una fuerza cada vez mayor conforme
aumenta el alargamiento, dicha fuerza es directamente proporcional a la deformación, siempre
que esta última no sea demasiado grande.
Esta propiedad de la materia fue una de las primeras estudiadas cuantitativamente, y el
enunciado, publicado por Robert Hooke en 1678, el cual es conocido hoy como “La Ley de
Hooke”, que en términos matemáticos

predice la relación directa entre la fuerza aplicada al

cuerpo y la deformación producida.
F = - k x

(1)

Donde k es la constante elástica del resorte y x es la elongación del resorte.
El signo negativo en el lado derecho de la ecuación (1) se debe a que la fuerza tiene sentido
contrario al desplazamiento.
3.1.

Sistema masa-resorte.

Consideremos un cuerpo de masa m suspendido de un resorte vertical de masa despreciable,
fija en su extremo superior como se ve en la figura
3.1.1. si se aplica una fuerza al cuerpo desplazándose una pequeña distancia y luego se le deja en
libertad, oscilara ambos lados de la posición de equilibrio entre las posiciones +A y –A debido a
la sección de la fuerza elástica.

Fig. 3.1.1. Sistema masa-resorte.

Este movimiento se le puede denominar armónico, pero se realiza en ausencia de fuerzas de
rozamiento, entonces se define como “Movimiento Armónico Simple” (MAS).
Si aplicamos la Segunda ley de Newton sobre el lado izquierdo de la ecuación (1), podemos
escribir:
-k x = m a
Luego si consideramos que:

∆v
a=
∆t

Entonces

k
a+m x =0

En este punto introduciremos la variableω, tal que:

ω=

km

Por lo cual la ecuación (4) se modifica, transformándose en la siguiente expresión:
2

a+ω x=0
La solución de (5) es una función sinusoidal conocida y se escribe de la siguiente manera:
X = A cos (ωt + δ)
Donde A, es la amplitud de oscilación.
La amplitud representa el desplazamiento máximo medido a partir de la posición
siendo las posiciones

de

equilibrio,

–A y +A los limites del desplazamiento de la masa. (ωt+δ) es el

ángulo de fase y representa el argumento de la función armónica. La variable ω es la frecuencia
angular y nos proporciona la rapidez con que el ángulo de fase cambia en la unidad de
tiempo. La cantidad δ se denomina constante de fase o fase inicial del movimiento, este
valor se determina usando las condiciones iniciales del movimiento, es decir el desplazamiento y
la velocidad inicial, seleccionando el punto del ciclo a partir del cual se inicia la cuenta destiempo (t
= 0). También puede evaluarse cuando se conozca otra información equivalente.
Como el movimiento se repite a intervalos iguales, se llama periódico debido a esto se puede
definir algunas cantidades de interés que facilitaran la descripción del fenómeno.
Frecuencia (f), es el número de oscilaciones completas o ciclos de movimiento que se producen
en la unidad de tiempo, esta relacionado con la frecuencia angular por medio de la relación:
ω= 2 π

f

(8)

Periodo (T), es el tiempo que emplea el sistema para realizar una oscilación o
un ciclo completo, esta relacionado con f y ω, por medio de la relación:

1

2π

T = ω=
f
Las expresiones para la velocidad y aceleración de un cuerpo que se mueve con movimiento
armónico simple, pueden ser deducidas a partir de la ecuación (6) usando las relaciones
cinemáticas de la segunda Ley de Newton.
= ∆x

∆t,

Velocidad de la partícula (v), como sabemos por definición que:

podemos usar la ecuación (6), para obtener lo siguiente:
V = - ω A sen ( ω t + δ)

(10)

A

∆v
Aceleración de la partícula (a), como sabemos por definición que:

∆t,

podemos usar la ecuación (10) para obtener lo siguiente:
2

A = - ω A cos (ωt + δ)
La

ecuación

(11)

nos

indica

que

en

el

MAS,

las

aceleración

(11)
es

siempre

proporcional y opuesta al desplazamiento.
Respecto al periodo de oscilación, es posible señalar algo adicional; su relación con la
masa y la constante elástica del resorte, la cual puede obtenerse usando la ecuación (9) y
la definición de ω, que se empleo para llegar a la ecuación (6).
Dicha relación se escribe de la siguiente forma:

T

=

2π
m

(12)

k
Ahora si la masa m del resorte no es despreciable, pero si pequeña n comparación
con la masa del cuerpo suspendido, se demuestra que se pude determinar el periodo de
movimiento usando la siguiente ecuación:

m + mr 
T = 2π 3 
k

 m + mr
÷
(13)
Donde m es la masa del resorte.
r

Transformada de Fourier
Es un tratamiento matemático para determinar las frecuencias presentes en una señal. La
computadora puede obtener el espectro de frecuencias, pero no por el uso de filtros, sino
por esta técnica. Dada una señal, la transformada de Fourier da el espectro de frecuencias.
El algoritmo se llama la transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform).
Donde m es la masa del resorte.
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Trabajo y energia

  • 1. MARCO TEÓRICO El trabajo es realizado por fuerzas que actúan sobre el cuerpo y cuyo valor cambia durante el desplazamiento. Para estirar un resorte ha de aplicarse una fuerza cada vez mayor conforme aumenta el alargamiento, dicha fuerza es directamente proporcional a la deformación, siempre que esta última no sea demasiado grande. Esta propiedad de la materia fue una de las primeras estudiadas cuantitativamente, y el enunciado, publicado por Robert Hooke en 1678, el cual es conocido hoy como “La Ley de Hooke”, que en términos matemáticos predice la relación directa entre la fuerza aplicada al cuerpo y la deformación producida. F = - k x (1) Donde k es la constante elástica del resorte y x es la elongación del resorte. El signo negativo en el lado derecho de la ecuación (1) se debe a que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento. 3.1. Sistema masa-resorte. Consideremos un cuerpo de masa m suspendido de un resorte vertical de masa despreciable, fija en su extremo superior como se ve en la figura 3.1.1. si se aplica una fuerza al cuerpo desplazándose una pequeña distancia y luego se le deja en libertad, oscilara ambos lados de la posición de equilibrio entre las posiciones +A y –A debido a la sección de la fuerza elástica. Fig. 3.1.1. Sistema masa-resorte. Este movimiento se le puede denominar armónico, pero se realiza en ausencia de fuerzas de rozamiento, entonces se define como “Movimiento Armónico Simple” (MAS). Si aplicamos la Segunda ley de Newton sobre el lado izquierdo de la ecuación (1), podemos
  • 2. escribir: -k x = m a Luego si consideramos que: ∆v a= ∆t Entonces k a+m x =0 En este punto introduciremos la variableω, tal que: ω= km Por lo cual la ecuación (4) se modifica, transformándose en la siguiente expresión: 2 a+ω x=0 La solución de (5) es una función sinusoidal conocida y se escribe de la siguiente manera: X = A cos (ωt + δ) Donde A, es la amplitud de oscilación. La amplitud representa el desplazamiento máximo medido a partir de la posición siendo las posiciones de equilibrio, –A y +A los limites del desplazamiento de la masa. (ωt+δ) es el ángulo de fase y representa el argumento de la función armónica. La variable ω es la frecuencia angular y nos proporciona la rapidez con que el ángulo de fase cambia en la unidad de tiempo. La cantidad δ se denomina constante de fase o fase inicial del movimiento, este valor se determina usando las condiciones iniciales del movimiento, es decir el desplazamiento y la velocidad inicial, seleccionando el punto del ciclo a partir del cual se inicia la cuenta destiempo (t = 0). También puede evaluarse cuando se conozca otra información equivalente. Como el movimiento se repite a intervalos iguales, se llama periódico debido a esto se puede definir algunas cantidades de interés que facilitaran la descripción del fenómeno.
  • 3. Frecuencia (f), es el número de oscilaciones completas o ciclos de movimiento que se producen en la unidad de tiempo, esta relacionado con la frecuencia angular por medio de la relación: ω= 2 π f (8) Periodo (T), es el tiempo que emplea el sistema para realizar una oscilación o un ciclo completo, esta relacionado con f y ω, por medio de la relación: 1 2π T = ω= f Las expresiones para la velocidad y aceleración de un cuerpo que se mueve con movimiento armónico simple, pueden ser deducidas a partir de la ecuación (6) usando las relaciones cinemáticas de la segunda Ley de Newton.
  • 4. = ∆x ∆t, Velocidad de la partícula (v), como sabemos por definición que: podemos usar la ecuación (6), para obtener lo siguiente: V = - ω A sen ( ω t + δ) (10) A ∆v Aceleración de la partícula (a), como sabemos por definición que: ∆t, podemos usar la ecuación (10) para obtener lo siguiente: 2 A = - ω A cos (ωt + δ) La ecuación (11) nos indica que en el MAS, las aceleración (11) es siempre proporcional y opuesta al desplazamiento. Respecto al periodo de oscilación, es posible señalar algo adicional; su relación con la masa y la constante elástica del resorte, la cual puede obtenerse usando la ecuación (9) y la definición de ω, que se empleo para llegar a la ecuación (6). Dicha relación se escribe de la siguiente forma: T = 2π m (12) k Ahora si la masa m del resorte no es despreciable, pero si pequeña n comparación con la masa del cuerpo suspendido, se demuestra que se pude determinar el periodo de movimiento usando la siguiente ecuación: m + mr  T = 2π 3  k  m + mr ÷ (13)
  • 5. Donde m es la masa del resorte. r Transformada de Fourier Es un tratamiento matemático para determinar las frecuencias presentes en una señal. La computadora puede obtener el espectro de frecuencias, pero no por el uso de filtros, sino por esta técnica. Dada una señal, la transformada de Fourier da el espectro de frecuencias. El algoritmo se llama la transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform).
  • 6. Donde m es la masa del resorte. r Transformada de Fourier Es un tratamiento matemático para determinar las frecuencias presentes en una señal. La computadora puede obtener el espectro de frecuencias, pero no por el uso de filtros, sino por esta técnica. Dada una señal, la transformada de Fourier da el espectro de frecuencias. El algoritmo se llama la transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform).