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Colegio de bachilleres del estado de Oaxaca
Plantel 22 huatulco
Profesor: Crecencio
Integrantes del equipo:
Diana Montserrat Salinas Elizondo.
Regina Sibaja Galguera
Yesica Sánchez Guerra.
Luis Gerardo Velásquez Garcia
l. Halla la pendiente y el ángulo de inclinación para las siguientes rectas que
se forman con los puntos:
1. A (-5,-2) y B (7 ,5)
Mab=
5+2
7+5
=
7
12
Angulo 𝑡𝑎𝑛−1
(
7
12
)
Angulo = 30°
15"
23.17"
2. A (0,3) y B (11,-1)
Mab=
−1−3
11−0
=
−4
11
Angulo 𝑡𝑎𝑛−1
(
−4
11
)
Angulo = -19 º
58′
59.18"
3. M (7,8) y N (4,3)
Mmn=
3−8
4−7
=
−5
−3
=
5
3
Angulo 𝑡𝑎𝑛−1
(
5
3
)
Angulo= 59°
2"
10.48"
4. P (7,4) y Q (1,-2)
Mpq =
−𝟐−𝟒
𝟏−𝟕
=
−𝟔
−𝟔
=
𝟔
𝟔
Angulo 𝑡𝑎𝑛−1
(
𝟔
𝟔
)
Angulo = 45°
ll. Demuestra por medio de las pendientes que los siguientes puntos son
colineales.
1. A ( -2,3) B (2/3, 1) Y C (6,-3)
Mab=
3−1
2
3
+2
=
−2
8
3
Mbc=
3−1
6−
2
3
=
2
16
3
Mac=
−3−3
6+2
=
−6
8
=
−3
4
2. A (7, -9), B (2,-2) Y C (-3,5)
Mab =
−2+9
2−7
=
7
−5
Mbc =
5+2
−3−2
=
7
−5
Mac =
5+9
−3−7
=
11
10
3. K (-4,7), L (2,2) Y M (5, -1/2)
Mkl=
2−7
2+4
=
−5
6
Mlm =
−1
2
−2
5−2
=
−
5
2
3
Mkm =
−
1
2
−7
5+7
=
15
2
12
4. Q (2,7), R (4,3 ) Y S (6,-1)
Mqr=
3−7
4−2
=
−4
2
=
−2
1
= -2
Mqs =
−1−7
6−2
=
−8
4
=
−4
2
=
−2
1
= -2
Mrs =
−1−3
6−4
=
−4
2
−2
1
= -2
lll. Resuelve los siguientes problemas.
1. Una recta de pendiente (-2/3) pasa por el punto A (-2,5); la ordenada
de otro punto B de la recta es (1), halla su abscisa.
M =
−2
3
A(-2,5) B ( x,1)
Mab =
𝑦2− 𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
1−5
𝑥+2
=
−4
𝑥+2
M = mab
−2
3
=
−4
𝑥+2
-2x-4= -12
-2x= -12+4
-2X= -12+4
X= -8 / -2
X= 4
2. Una recta de pendiente (-6/5) pasa por el punto P (3, -5); y por los
puntos A y B. Si la ordenada de A es (-2) y la abscisa de B es (-2), ¿Cuál
es la abscisa de A y cual la ordenada de B?
M= -6/5 P= (3,-5) A(x,-2) B (-2, Y)
MPA= -2-(-5)/ X-3 = -2+5/x-3 = 3/X-3
MPB= y-(-5)/ -2-3 = y+5/-5
MPA = M MPB= M
3/x-3 = -6/5
𝑦+5
−5
= -
6
5
3(5)= -6x+18 5(y+5) = -6 (-5)
15+6x-18=0 5y + 25 = 30
6x-3= 0 5y+25-30 = 0
6x= 3 5y -5= 0
X= 3/6 = ½ 5y= 5
Y= 5/5 = 1
3. Una recta pasa por los dos puntos A (1,4) y B (4,5). Si su punto P de
abscisa (-5) pertenece a la recta, ¿Cuál es su ordenada?
A (1,4) MAB= 5-4/4-1 = 1/3
B (4,5) MBP= y-5/-5-4 = y-5/-9
P (-5, Y) MBP= MAB
Y-5/-9 = 1/3
3(y-5) = 1 (-9)
3y-15= -9
3y-15+9 =0 P= (-5, 2)
3y-6 = 0
3y=6
Y= 6/3 Y= 2
5. Demuestra por pendientes que los puntos A(-2,1 ), B (2,5) y C (8,-1)
son los vértices de un triángulo rectángulo; halla su área y perímetro.
M =
−1−5
8−2
=
−6
6
= -1
Mab =
5−1
2−(−2)
=
4
4
= 1
Mbc =
−1−5
8−2
=
−6
6
= -1
M ac =
−1−1
8−(−2)
=
−2
10
=
−1
5
Reciprocas:
-1= -1
(1)(-1) = -1
( 𝑚1 𝑙1 ) 𝑙𝑚 𝑙2 = -1
m𝑙1=
−1
𝑚2
Área =
a=
1
2
=
1
2
(
−10−2+8
4
)-2 1
2 5
8 -1
1
2
(48) = 48/2 = 24
8. halla la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P(x,y) que
pertenezca a la recta que pasa por el punto A (3,-1) y que tiene una
pendiente igual a (4).
P =(x,y)
A(3,-1)
M = 4
M =
𝑥−(−1)
𝑥−3
4=
𝑥+1
𝑥−3
4(x-3) = y+1
4x-12= y+1
4x-12-1=y
Y=4x -13
Y=mx + b
Ax + By + c = 0
4x -12 –y-1=0
4x-y-13=0
-2 1
9.-Dadas las siguientes rectas que pasan por los puntos A y, así como las definidas
por los puntos M y N: determina si son paralelas o perpendiculares entre sí:
a) A (4,1)
B(-2,5)
M (3,7)
N (-1,1)
b) A (-7,1), B (1,-6) y M (-4,6), N (3,2)
c) A (2,2), B (9,9) y M (6,5), N(5,6)
10.- Traza las siguientes rectas que pasan por el punto dado, cuya
pendiente se indica.
a) A (6,-2) ; m =
3
4
b) P (2,1) ; m =
3
4
c) R(2,-7) m = -4
d) A(4,-0); m = -3
11.- Demuestra por medio de pendientes, que los puntos dados son los
vértices de un paralelogramo.
a) A(4,6),B,(2,-2),C (-11,-1) y D (-3,-9)
b) A (2,4), B, (6,2),C (8,6) y D (4,8)
12.- Demuestra que los puntos dados son los vértices de un rombo y que
sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
a) A(6,5), B,((9,9), C,(5,6) y D(2,2)
b) K (5,0), L (0.2) N,(0,-2)
x Y
0 -13
1 -9
2 -5
3 -1
-1 -17
13.- Demuestra que los puntos dados son los vértices de un cuadrado y que
sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes
iguales
a) A(2,4),B(7,3),C(6,-2) y D (1,-1)
r: LOS PUNTOS A,B,C Y D LOS VERTICES DE UN CUADRADO Y SUS
DIAGONALES PERPENDICULARES SE DIVIDEN MUTUAMENTE EN PARTES
IGUALES
PARALELAS
𝑚𝐴𝐵̅̅̅̅ =
−1
5
𝑚𝐶𝐷̅̅̅̅ =
−1
5
𝑚𝐵𝐶̅̅̅̅ = 5 𝑚𝐴𝐷̅̅̅̅ = 5
PERPENDICULARES
𝑚𝐴𝐶̅̅̅̅ =
−3
2
𝑚𝐵𝐷̅̅̅̅ =
2
3
𝑚𝐴𝐵̅̅̅̅ =
3−4
7−2
=
−1
5
𝑚𝐶𝐷̅̅̅̅ =
−2−(−1)
6−1
=
−1
5
𝑚𝐵𝐶̅̅̅̅ =
−2−3
6−7
=
−5
−1
= 5 𝑚𝐴𝐷̅̅̅̅ =
−1−4
1−2
=
−5
−1
= 5
𝑚𝐴𝐶̅̅̅̅ =
−2−4
6−2
=
−6
4
=
−3
2
𝑚𝐵𝐷̅̅̅̅ =
−1−3
1−7
=
−4
−6
=
2
3
PUNTOS MEDIOS
PM𝐴𝐶̅̅̅̅=(4, 1) PM𝐵𝐷̅̅̅̅=(4, 1)
PM𝐴𝐶̅̅̅̅= PM𝐵𝐷̅̅̅̅=
X=
6+2
2
=
8
2
= 4 Y=
4−2
2
=
8
2
= 1 X=
7+1
2
=
8
2
= 4 Y=
3−1
2
=
2
2
= 1
DISTANCIA DE LOS LADOS: TODOS LOS LADOS TIENEN LA MISMA
DISTANCIA
𝑑𝐴𝐵̅̅̅̅ = √(7 − 2)2 + (3 − 4)2 𝑑𝐵𝐶̅̅̅̅ = √(6 − 7)2 + (−2 − 3)2
𝑑𝐴𝐵̅̅̅̅ = √52 + 1 = √𝟐𝟔 𝑑𝐵𝐶̅̅̅̅ = √52 + 1 = √𝟐𝟔
𝑑𝐶𝐷̅̅̅̅ = √(1 − 6)2 + (−1 + 2)2 𝑑𝐴𝐷̅̅̅̅ = √(1 − 2)2 + (−1 − 4)2
𝑑𝐶𝐷̅̅̅̅ = √52 + 1 = √𝟐𝟔 𝑑𝐴𝐷̅̅̅̅ = √1 + 52 = √𝟐𝟔
b) K (4,-2), L (7,2) M (3,5) y N (0,1)
PARALELAS
𝑚𝐿𝑀̅̅̅̅ =
3
−4
𝑚𝐾𝑁̅̅̅̅̅ =
3
−4
𝑚𝐾𝐿̅̅̅̅ =
4
3
𝑚𝑀𝑁̅̅̅̅̅ =
4
3
PERPENDICULARES
𝑚𝐾𝑀̅̅̅̅̅ = −7 𝑚𝐿𝑁̅̅̅̅ =
1
7
𝑚𝐿𝑀̅̅̅̅ =
5+2
3−4
=
3
−4
𝑚𝐾𝑁̅̅̅̅̅ =
1+2)
0−4
=
3
−4
𝑚𝐾𝐿̅̅̅̅ =
2+2
7−4
=
4
3
𝑚𝑀𝑁̅̅̅̅̅ =
1−5
0−3
=
−4
−3
PUNTOS MEDIOS
PM𝐾𝑀̅̅̅̅̅=(
7
2
,
3
2
) PM𝐿𝑁̅̅̅̅=(
7
2
,
3
2
)
PM𝐾𝑀̅̅̅̅̅= PM𝐿𝑁̅̅̅̅=
X=
5+2
2
=
7
2
Y=
−2+5
2
=
3
2
X=
7
2
Y=
2+1
2
=
3
2
DISTANCIA DE LOS LADOS: TODOS LOS LADOS TIENEN LA MISMA
DISTANCIA
𝑑𝑀𝑁̅̅̅̅̅ = √(−3)2 + (1 − 5)2 𝑑𝐾𝐿̅̅̅̅ = √(7 − 4)2 + (2 + 2)2
𝑑𝑀𝑁̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = √9 + 16 = √𝟐𝟓 = 𝟓 𝑑𝐾𝐿̅̅̅̅ = √9 + 16 = √𝟐𝟓 = 𝟓
𝑑𝐾𝑁̅̅̅̅̅ = √(0 − 4)2 + (3)2 𝑑𝐿𝑀̅̅̅̅ = √(3 − 7)2 + (5−2)2
𝑑𝐾𝑁̅̅̅̅̅ = √16 + 9 = √𝟐𝟓 = 𝟓 𝑑𝐿𝑀̅̅̅̅ = √16 + 9 = √𝟐𝟓 = 𝟓
14.- Una recta L1, pasa por el punto los puntos A ( 3,2) y B (-4,-6); otra recta
L 2 pasa por el punto P (-7,1) y el punto Q cuya ordenada es (-6). Halla la
abscisa del punto Q; sabemos que L1 es perpendicular a L2..
A (3,2)
B (-4,6)
P ( 7,1)
Q(X1 -6)
MAB= =
−6
−4
−
2
−3
=
−8
−7
reciproco
MPQ=−
6−1
𝑋−(−7 )
=
−7
𝑥+7
MAB=MPQ
−
7
8
= −
7
𝑋+7
-7 (X+7) = 8 (-7)
-7X-49 =-56
-7X – 49 + 56 =0
-7X +7 = 0
-7X = 7X = −
7
−7
X=1
15.- Demuestra que el punto A (-5,3) está sobre la mediatriz del segmento
cuyos extremos son ( 2,5) y Q (-3,-4).
A= (-5,3)
P= (2,5)
Q= (-3-4)
Pm (
1
2
, ,
1
2
)
MPQ==
−4 −5
−3−2
=
9
5
MAB = 𝑥 =
3−
1
2
−5 (
1
2
)
=
5
9
(MPQ) (MAB) = -1
=
9
5
5
−9
= -1
-1=1
Ejercicio XII
Determina los angulos interiores de los siguientes triángulos cuyos vértices son los
puntos que a continuación se indican; comprueba los resultados.
1-. A (-2,0) B (5, -5) y C (3, 7)
mAC=
7−0
3+2
=
−7
5
tan𝜃 =
−7
5
−
12
−2
1+(
12
−2
)(
−7
5
)
=
mBC=
7+5
3−5
=
12
−2
mAB=
−5−0
5+2
=
−5
7
tan𝜃=
−12
2
−
−5
7
1+(
−12
2
)(
−5
7
)
mCB=
−5−7
5−3
=
−12
2
mCA=
0−7
−2−3
=
−7
−5
tan𝜃=
5
−7
−
−7
−5
1+
5
−7
+
−7
−5
=
mBA=
0+5
−2−5
=
5
−7
2.-
K (2,5) L (-3,-2) M (4,2)
m KL=
−2−5
−3−2
=
−7
−5
tan𝜃=
−4
−7
−
−7
−5
1+
−4
−7
+
−7
−5
=
m ML=
−2−2
−3−4
=
−4
−7
m KM=
2−5
4−2
=
−3
2
tan𝜃=
4
7
−
−3
2
1+(
4
7
) (
−3
2
)
=
m LM=
2+2
4+3
=
4
7
m LK=
5+2
2+3
=
7
5
tan𝜃=
3
−2
−
7
5
1+(
3
−2
)(
7
5
)
=
m MK=
5−2
2−4
=
3
−2
II.-
1.-Dos rectas se cortan formando un angulo de 135◦; si la recta inicial pasa
por los puntos A (-4,5) y B (3,9) y la recta final pasa por los puntos K (-2,4) y
L (x,1), determina la abscisa de L.
Recta inicial
A (-4,5)
B (3,9)
Recta final
K (-2,4)
L(x,1)
Mab=
9−5
3−(−4)
=
4
7
Mkl=
1−4
𝑥−(−2)
=
−3
𝑥+2
ᶿtan=
𝑚2−𝑚1
1+𝑚2 𝑚1
135(tan) =
𝑚
2−
4
7
1+𝑚
2
4
7
-1=
𝑚
2−
4
7
1+
4
7
𝑚2
-1(1+
4
7
𝑚2) = 𝑚2 -
4
7
-1-
4
2
𝑚2= 𝑚2-
4
7
-1-
4
7
𝑚2- 𝑚2= -
4
7
-
4
7
𝑚2 -
7
7
𝑚2 = -
4
7
+
7
7
-
11
7
𝑚2 =
3
7
𝑚2=
3
7
−11
7
𝒎 𝟐 =
𝟑
−𝟏𝟏
𝟑
−𝟏𝟏
=
−𝟑
𝒙 + 𝟐
3(x+2) = -11 (-3)
3x+6= 33
3x= 33-6
X= 23/3
X=9
2.- La recta l1 forma un angulo de 30◦ con la recta l2; si la pendiente de l2 es
𝟐√𝟑, halla la pendiente de l1.
𝑙1 y 𝑙2 = ᶱ30°
𝑚𝑙1= 2√3ᶿ
m𝑙2= ¿?
30 (tan)=
2√3−𝑚1
1+ √3𝑚1
2
0.577=
3.46−𝑚1
1+3.46𝑚1
0.577(1+3.46𝑚1) = 3.46 - 𝑚1
0.577+1.996 𝑚1= 3.46- 𝑚1
1.996𝑚1+𝑚1= 3.46-0.577
2.996𝑚1= 3.883
𝑚1=
3.883
2.996
𝒎 𝟏= 0.96
3.- Dos rectas se cortan formando un angulo de 45◦, si la recta final pasa por los puntos
A (5,3) y B (2,-1), determina la pendiente de la recta inicial.
𝑙1 y 𝑙2 = 45°
A(5,3)
B(2,-1)
Mab=
−1−3
2−5
=
−3
−4
=
3
4
45(tan)=
4
3
−𝑚1
1+
4
3
𝑚1
1=
4
3
−𝑚1
1+
4
3𝑚1
1(1
4
3
𝑚1)=
4
3
𝑚1
1+
4
3
𝑚1=
4
3
𝑚1
1+
4
3
𝑚1 + 𝑚1=
4
3
4
3
𝑚1 + 𝑚1=
4
3
-1
7
3
𝑚1=
1
3
𝑚1=
1
3
7
3
=
𝟏
𝟕
4.-Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,5) y forma un angulo de
135◦ con la recta de ecuación 4x-2y+2=0.
5.-Determina el angulo que se forma entre las rectas 2x-6y+12=0 y 2x-y+1=0.
2x-6y+12=0 2x-y+1=0
M =
−𝐴
𝐵
=
−2
−6
=
1
3
M =
−𝐴
𝐵
=
−2
−1
= 2
Tan 𝜃=
2−
1
3
1+2(
1
3)
=
5
3
1+
2
3
=
5
3
5
3
=
5
5
= 1
Tan 𝜃 = 1
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
(1)
𝜃 = 45º
6.- El angulo formado entre dos rectas es de 45◦, si una de la rectasp tiene por pendiente
(-2/3), determina la pendiente de la otra recta.
7.- Determina los angulos interiores del paralelogramo, cuyos vértices son A
(4,8), B(8,6), C (6,2) D (2,4): comprueba los resultados.
8.- Halla el área del triangulo cuyos vértices son A(2,-4), B(4,4) y C (7,-2); emplea la
formula A=
𝟏
𝟐
ab sen C
9.- Aplicando la formula A=
𝟏
𝟐
ab sen C; determina el área del triangulo, cuyos vértices son
A(-8,-2) B(-4,-6) C (-1,5).
A=
𝟏
𝟐
ab sen C
Dac = √(−𝟏 + 𝟖) 𝟐 + (𝟓 + 𝟐) 𝟐
DAc =√(𝟕) 𝟐 + (𝟕) 𝟐
DDAc=√ 𝟒𝟗 + 𝟒𝟗
Ac= √𝟗𝟖
Dbc = √(−𝟏 + 𝟒) 𝟐 + (𝟓 + 𝟔) 𝟐
dBC=√(𝟑) 𝟐 + (𝟏𝟏) 𝟐
dBC = √ 𝟗 + 𝟏𝟐𝟏
dBC= √𝟏𝟑𝟎
Mac =
𝟓+𝟐
−𝟏+𝟖
= =
𝟕
𝟕
= 1
Mbc =
𝟓+𝟔
−𝟏+𝟒
=
𝟏𝟏
𝟑
Tan 𝜃=
11
3
−1
1+
11
3
(1)
=
8
3
1+
11
3
=
8
3
14
3
=
8
14
=
4
7
Tan 𝜃=
4
7
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
(
4
7
)
𝜃 = 29º 44"41.57""
A=
𝟏
𝟐
ab sen C
A= (
𝟏
𝟐
) (√𝟗𝟖) (√𝟏𝟑𝟎) sen 29º 44"41.57"" = 27.99
10.- La ecuación de una recta es x + 6y + 16=0;escribe la ecuación que representa todas
las rectas paralelas a la recta dada; determina específicamente la ecuación de la recta
paralela a la dad y que pasa por A(2,-3)
A(2,-3) x+6y+16= 0
M =
−𝐴
𝐵
= -(
1
6
) = -
1
6
m = -
1
6
y-𝑦1= m(x-𝑥1)
y-(-3) = -
1
6
(x-2)
6(y+3 =
1
6
x +
2
6
)
6y+18= -x+2
x-2+6y-18=0
x+6y+16= 0
11.-Demustra que las rectas 3x+2y=0 y 2x-3y+6=0 satisfacen la condición de
la perpendicular.
3x+2y=0
2x-3y+6=0
𝑀1=
−𝐴
𝐵
=
−𝟑
𝟐
𝑀2=
−𝐴
𝐵
=
−2
−3
=
𝟐
𝟑
12.- Una recta l1 pasa por el origen y por A (4,3); otra recta l2 pasa por A y es perpendicular a la
recta 6x-5y-16=0; determina el angulo formado por l1 y l2.
Iii. Dados los siguientes pares de ecuaciones, graficalos y demuestra las condiciones
x-y +1 =0 M= 1/1 = 1 Reciproco
x+y -5 = 0 M = 1/1 = ¡ Hay perpendiculares
x-y + 1 = 0
x+y -5 =0
2x -4 = 0
2x = 4
X= 4/2
X=2 punto de intersección
2+y – 5 = 0
Y -3 = 0
Y =3 interseccion intersección total en el punto (2,3)
IV.-
3 x -9y +33= 0 x-3y-11 = 0 = x= 3y+11
X=3y -15
5
x y
2 -3
5 -2
8 -1
11 0
17 2
20 3
x Y
-1.2 -3
-4.8 3

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  • 1. Colegio de bachilleres del estado de Oaxaca Plantel 22 huatulco Profesor: Crecencio Integrantes del equipo: Diana Montserrat Salinas Elizondo. Regina Sibaja Galguera Yesica Sánchez Guerra. Luis Gerardo Velásquez Garcia
  • 2. l. Halla la pendiente y el ángulo de inclinación para las siguientes rectas que se forman con los puntos: 1. A (-5,-2) y B (7 ,5) Mab= 5+2 7+5 = 7 12 Angulo 𝑡𝑎𝑛−1 ( 7 12 ) Angulo = 30° 15" 23.17" 2. A (0,3) y B (11,-1) Mab= −1−3 11−0 = −4 11 Angulo 𝑡𝑎𝑛−1 ( −4 11 ) Angulo = -19 º 58′ 59.18"
  • 3. 3. M (7,8) y N (4,3) Mmn= 3−8 4−7 = −5 −3 = 5 3 Angulo 𝑡𝑎𝑛−1 ( 5 3 ) Angulo= 59° 2" 10.48" 4. P (7,4) y Q (1,-2) Mpq = −𝟐−𝟒 𝟏−𝟕 = −𝟔 −𝟔 = 𝟔 𝟔 Angulo 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝟔 𝟔 ) Angulo = 45° ll. Demuestra por medio de las pendientes que los siguientes puntos son colineales. 1. A ( -2,3) B (2/3, 1) Y C (6,-3)
  • 4. Mab= 3−1 2 3 +2 = −2 8 3 Mbc= 3−1 6− 2 3 = 2 16 3 Mac= −3−3 6+2 = −6 8 = −3 4 2. A (7, -9), B (2,-2) Y C (-3,5) Mab = −2+9 2−7 = 7 −5 Mbc = 5+2 −3−2 = 7 −5 Mac = 5+9 −3−7 = 11 10 3. K (-4,7), L (2,2) Y M (5, -1/2) Mkl= 2−7 2+4 = −5 6
  • 5. Mlm = −1 2 −2 5−2 = − 5 2 3 Mkm = − 1 2 −7 5+7 = 15 2 12 4. Q (2,7), R (4,3 ) Y S (6,-1) Mqr= 3−7 4−2 = −4 2 = −2 1 = -2 Mqs = −1−7 6−2 = −8 4 = −4 2 = −2 1 = -2 Mrs = −1−3 6−4 = −4 2 −2 1 = -2 lll. Resuelve los siguientes problemas. 1. Una recta de pendiente (-2/3) pasa por el punto A (-2,5); la ordenada de otro punto B de la recta es (1), halla su abscisa. M = −2 3 A(-2,5) B ( x,1) Mab = 𝑦2− 𝑦1 𝑥2−𝑥1 = 1−5 𝑥+2 = −4 𝑥+2 M = mab
  • 6. −2 3 = −4 𝑥+2 -2x-4= -12 -2x= -12+4 -2X= -12+4 X= -8 / -2 X= 4 2. Una recta de pendiente (-6/5) pasa por el punto P (3, -5); y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es (-2) y la abscisa de B es (-2), ¿Cuál es la abscisa de A y cual la ordenada de B? M= -6/5 P= (3,-5) A(x,-2) B (-2, Y) MPA= -2-(-5)/ X-3 = -2+5/x-3 = 3/X-3 MPB= y-(-5)/ -2-3 = y+5/-5 MPA = M MPB= M 3/x-3 = -6/5 𝑦+5 −5 = - 6 5 3(5)= -6x+18 5(y+5) = -6 (-5) 15+6x-18=0 5y + 25 = 30 6x-3= 0 5y+25-30 = 0 6x= 3 5y -5= 0 X= 3/6 = ½ 5y= 5
  • 7. Y= 5/5 = 1 3. Una recta pasa por los dos puntos A (1,4) y B (4,5). Si su punto P de abscisa (-5) pertenece a la recta, ¿Cuál es su ordenada? A (1,4) MAB= 5-4/4-1 = 1/3 B (4,5) MBP= y-5/-5-4 = y-5/-9 P (-5, Y) MBP= MAB Y-5/-9 = 1/3 3(y-5) = 1 (-9) 3y-15= -9 3y-15+9 =0 P= (-5, 2) 3y-6 = 0 3y=6 Y= 6/3 Y= 2
  • 8. 5. Demuestra por pendientes que los puntos A(-2,1 ), B (2,5) y C (8,-1) son los vértices de un triángulo rectángulo; halla su área y perímetro. M = −1−5 8−2 = −6 6 = -1 Mab = 5−1 2−(−2) = 4 4 = 1 Mbc = −1−5 8−2 = −6 6 = -1 M ac = −1−1 8−(−2) = −2 10 = −1 5 Reciprocas: -1= -1 (1)(-1) = -1 ( 𝑚1 𝑙1 ) 𝑙𝑚 𝑙2 = -1 m𝑙1= −1 𝑚2 Área = a= 1 2 = 1 2 ( −10−2+8 4 )-2 1 2 5 8 -1
  • 9. 1 2 (48) = 48/2 = 24 8. halla la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P(x,y) que pertenezca a la recta que pasa por el punto A (3,-1) y que tiene una pendiente igual a (4). P =(x,y) A(3,-1) M = 4 M = 𝑥−(−1) 𝑥−3 4= 𝑥+1 𝑥−3 4(x-3) = y+1 4x-12= y+1 4x-12-1=y Y=4x -13 Y=mx + b Ax + By + c = 0 4x -12 –y-1=0 4x-y-13=0 -2 1
  • 10. 9.-Dadas las siguientes rectas que pasan por los puntos A y, así como las definidas por los puntos M y N: determina si son paralelas o perpendiculares entre sí: a) A (4,1) B(-2,5) M (3,7) N (-1,1) b) A (-7,1), B (1,-6) y M (-4,6), N (3,2) c) A (2,2), B (9,9) y M (6,5), N(5,6) 10.- Traza las siguientes rectas que pasan por el punto dado, cuya pendiente se indica. a) A (6,-2) ; m = 3 4 b) P (2,1) ; m = 3 4 c) R(2,-7) m = -4 d) A(4,-0); m = -3 11.- Demuestra por medio de pendientes, que los puntos dados son los vértices de un paralelogramo. a) A(4,6),B,(2,-2),C (-11,-1) y D (-3,-9) b) A (2,4), B, (6,2),C (8,6) y D (4,8) 12.- Demuestra que los puntos dados son los vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. a) A(6,5), B,((9,9), C,(5,6) y D(2,2) b) K (5,0), L (0.2) N,(0,-2) x Y 0 -13 1 -9 2 -5 3 -1 -1 -17
  • 11. 13.- Demuestra que los puntos dados son los vértices de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales a) A(2,4),B(7,3),C(6,-2) y D (1,-1) r: LOS PUNTOS A,B,C Y D LOS VERTICES DE UN CUADRADO Y SUS DIAGONALES PERPENDICULARES SE DIVIDEN MUTUAMENTE EN PARTES IGUALES PARALELAS 𝑚𝐴𝐵̅̅̅̅ = −1 5 𝑚𝐶𝐷̅̅̅̅ = −1 5 𝑚𝐵𝐶̅̅̅̅ = 5 𝑚𝐴𝐷̅̅̅̅ = 5 PERPENDICULARES 𝑚𝐴𝐶̅̅̅̅ = −3 2 𝑚𝐵𝐷̅̅̅̅ = 2 3 𝑚𝐴𝐵̅̅̅̅ = 3−4 7−2 = −1 5 𝑚𝐶𝐷̅̅̅̅ = −2−(−1) 6−1 = −1 5 𝑚𝐵𝐶̅̅̅̅ = −2−3 6−7 = −5 −1 = 5 𝑚𝐴𝐷̅̅̅̅ = −1−4 1−2 = −5 −1 = 5 𝑚𝐴𝐶̅̅̅̅ = −2−4 6−2 = −6 4 = −3 2 𝑚𝐵𝐷̅̅̅̅ = −1−3 1−7 = −4 −6 = 2 3 PUNTOS MEDIOS
  • 12. PM𝐴𝐶̅̅̅̅=(4, 1) PM𝐵𝐷̅̅̅̅=(4, 1) PM𝐴𝐶̅̅̅̅= PM𝐵𝐷̅̅̅̅= X= 6+2 2 = 8 2 = 4 Y= 4−2 2 = 8 2 = 1 X= 7+1 2 = 8 2 = 4 Y= 3−1 2 = 2 2 = 1 DISTANCIA DE LOS LADOS: TODOS LOS LADOS TIENEN LA MISMA DISTANCIA 𝑑𝐴𝐵̅̅̅̅ = √(7 − 2)2 + (3 − 4)2 𝑑𝐵𝐶̅̅̅̅ = √(6 − 7)2 + (−2 − 3)2 𝑑𝐴𝐵̅̅̅̅ = √52 + 1 = √𝟐𝟔 𝑑𝐵𝐶̅̅̅̅ = √52 + 1 = √𝟐𝟔 𝑑𝐶𝐷̅̅̅̅ = √(1 − 6)2 + (−1 + 2)2 𝑑𝐴𝐷̅̅̅̅ = √(1 − 2)2 + (−1 − 4)2 𝑑𝐶𝐷̅̅̅̅ = √52 + 1 = √𝟐𝟔 𝑑𝐴𝐷̅̅̅̅ = √1 + 52 = √𝟐𝟔 b) K (4,-2), L (7,2) M (3,5) y N (0,1) PARALELAS 𝑚𝐿𝑀̅̅̅̅ = 3 −4 𝑚𝐾𝑁̅̅̅̅̅ = 3 −4 𝑚𝐾𝐿̅̅̅̅ = 4 3 𝑚𝑀𝑁̅̅̅̅̅ = 4 3 PERPENDICULARES
  • 13. 𝑚𝐾𝑀̅̅̅̅̅ = −7 𝑚𝐿𝑁̅̅̅̅ = 1 7 𝑚𝐿𝑀̅̅̅̅ = 5+2 3−4 = 3 −4 𝑚𝐾𝑁̅̅̅̅̅ = 1+2) 0−4 = 3 −4 𝑚𝐾𝐿̅̅̅̅ = 2+2 7−4 = 4 3 𝑚𝑀𝑁̅̅̅̅̅ = 1−5 0−3 = −4 −3 PUNTOS MEDIOS PM𝐾𝑀̅̅̅̅̅=( 7 2 , 3 2 ) PM𝐿𝑁̅̅̅̅=( 7 2 , 3 2 ) PM𝐾𝑀̅̅̅̅̅= PM𝐿𝑁̅̅̅̅= X= 5+2 2 = 7 2 Y= −2+5 2 = 3 2 X= 7 2 Y= 2+1 2 = 3 2 DISTANCIA DE LOS LADOS: TODOS LOS LADOS TIENEN LA MISMA DISTANCIA 𝑑𝑀𝑁̅̅̅̅̅ = √(−3)2 + (1 − 5)2 𝑑𝐾𝐿̅̅̅̅ = √(7 − 4)2 + (2 + 2)2 𝑑𝑀𝑁̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = √9 + 16 = √𝟐𝟓 = 𝟓 𝑑𝐾𝐿̅̅̅̅ = √9 + 16 = √𝟐𝟓 = 𝟓 𝑑𝐾𝑁̅̅̅̅̅ = √(0 − 4)2 + (3)2 𝑑𝐿𝑀̅̅̅̅ = √(3 − 7)2 + (5−2)2 𝑑𝐾𝑁̅̅̅̅̅ = √16 + 9 = √𝟐𝟓 = 𝟓 𝑑𝐿𝑀̅̅̅̅ = √16 + 9 = √𝟐𝟓 = 𝟓 14.- Una recta L1, pasa por el punto los puntos A ( 3,2) y B (-4,-6); otra recta L 2 pasa por el punto P (-7,1) y el punto Q cuya ordenada es (-6). Halla la abscisa del punto Q; sabemos que L1 es perpendicular a L2.. A (3,2) B (-4,6) P ( 7,1) Q(X1 -6) MAB= = −6 −4 − 2 −3 = −8 −7 reciproco MPQ=− 6−1 𝑋−(−7 ) = −7 𝑥+7 MAB=MPQ − 7 8 = − 7 𝑋+7
  • 14. -7 (X+7) = 8 (-7) -7X-49 =-56 -7X – 49 + 56 =0 -7X +7 = 0 -7X = 7X = − 7 −7 X=1 15.- Demuestra que el punto A (-5,3) está sobre la mediatriz del segmento cuyos extremos son ( 2,5) y Q (-3,-4). A= (-5,3) P= (2,5) Q= (-3-4) Pm ( 1 2 , , 1 2 ) MPQ== −4 −5 −3−2 = 9 5 MAB = 𝑥 = 3− 1 2 −5 ( 1 2 ) = 5 9 (MPQ) (MAB) = -1 = 9 5 5 −9 = -1 -1=1 Ejercicio XII Determina los angulos interiores de los siguientes triángulos cuyos vértices son los puntos que a continuación se indican; comprueba los resultados. 1-. A (-2,0) B (5, -5) y C (3, 7)
  • 16. m KL= −2−5 −3−2 = −7 −5 tan𝜃= −4 −7 − −7 −5 1+ −4 −7 + −7 −5 = m ML= −2−2 −3−4 = −4 −7 m KM= 2−5 4−2 = −3 2 tan𝜃= 4 7 − −3 2 1+( 4 7 ) ( −3 2 ) = m LM= 2+2 4+3 = 4 7 m LK= 5+2 2+3 = 7 5 tan𝜃= 3 −2 − 7 5 1+( 3 −2 )( 7 5 ) = m MK= 5−2 2−4 = 3 −2 II.-
  • 17. 1.-Dos rectas se cortan formando un angulo de 135◦; si la recta inicial pasa por los puntos A (-4,5) y B (3,9) y la recta final pasa por los puntos K (-2,4) y L (x,1), determina la abscisa de L. Recta inicial A (-4,5) B (3,9) Recta final K (-2,4) L(x,1) Mab= 9−5 3−(−4) = 4 7 Mkl= 1−4 𝑥−(−2) = −3 𝑥+2 ᶿtan= 𝑚2−𝑚1 1+𝑚2 𝑚1 135(tan) = 𝑚 2− 4 7 1+𝑚 2 4 7 -1= 𝑚 2− 4 7 1+ 4 7 𝑚2 -1(1+ 4 7 𝑚2) = 𝑚2 - 4 7 -1- 4 2 𝑚2= 𝑚2- 4 7 -1- 4 7 𝑚2- 𝑚2= - 4 7 - 4 7 𝑚2 - 7 7 𝑚2 = - 4 7 + 7 7 - 11 7 𝑚2 = 3 7 𝑚2= 3 7 −11 7
  • 18. 𝒎 𝟐 = 𝟑 −𝟏𝟏 𝟑 −𝟏𝟏 = −𝟑 𝒙 + 𝟐 3(x+2) = -11 (-3) 3x+6= 33 3x= 33-6 X= 23/3 X=9 2.- La recta l1 forma un angulo de 30◦ con la recta l2; si la pendiente de l2 es 𝟐√𝟑, halla la pendiente de l1. 𝑙1 y 𝑙2 = ᶱ30° 𝑚𝑙1= 2√3ᶿ m𝑙2= ¿? 30 (tan)= 2√3−𝑚1 1+ √3𝑚1 2 0.577= 3.46−𝑚1 1+3.46𝑚1
  • 19. 0.577(1+3.46𝑚1) = 3.46 - 𝑚1 0.577+1.996 𝑚1= 3.46- 𝑚1 1.996𝑚1+𝑚1= 3.46-0.577 2.996𝑚1= 3.883 𝑚1= 3.883 2.996 𝒎 𝟏= 0.96 3.- Dos rectas se cortan formando un angulo de 45◦, si la recta final pasa por los puntos A (5,3) y B (2,-1), determina la pendiente de la recta inicial. 𝑙1 y 𝑙2 = 45° A(5,3) B(2,-1) Mab= −1−3 2−5 = −3 −4 = 3 4 45(tan)= 4 3 −𝑚1 1+ 4 3 𝑚1 1= 4 3 −𝑚1 1+ 4 3𝑚1 1(1 4 3 𝑚1)= 4 3 𝑚1 1+ 4 3 𝑚1= 4 3 𝑚1 1+ 4 3 𝑚1 + 𝑚1= 4 3 4 3 𝑚1 + 𝑚1= 4 3 -1
  • 20. 7 3 𝑚1= 1 3 𝑚1= 1 3 7 3 = 𝟏 𝟕 4.-Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,5) y forma un angulo de 135◦ con la recta de ecuación 4x-2y+2=0. 5.-Determina el angulo que se forma entre las rectas 2x-6y+12=0 y 2x-y+1=0. 2x-6y+12=0 2x-y+1=0 M = −𝐴 𝐵 = −2 −6 = 1 3 M = −𝐴 𝐵 = −2 −1 = 2 Tan 𝜃= 2− 1 3 1+2( 1 3) = 5 3 1+ 2 3 = 5 3 5 3 = 5 5 = 1 Tan 𝜃 = 1 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (1)
  • 21. 𝜃 = 45º 6.- El angulo formado entre dos rectas es de 45◦, si una de la rectasp tiene por pendiente (-2/3), determina la pendiente de la otra recta. 7.- Determina los angulos interiores del paralelogramo, cuyos vértices son A (4,8), B(8,6), C (6,2) D (2,4): comprueba los resultados. 8.- Halla el área del triangulo cuyos vértices son A(2,-4), B(4,4) y C (7,-2); emplea la formula A= 𝟏 𝟐 ab sen C 9.- Aplicando la formula A= 𝟏 𝟐 ab sen C; determina el área del triangulo, cuyos vértices son A(-8,-2) B(-4,-6) C (-1,5). A= 𝟏 𝟐 ab sen C Dac = √(−𝟏 + 𝟖) 𝟐 + (𝟓 + 𝟐) 𝟐 DAc =√(𝟕) 𝟐 + (𝟕) 𝟐 DDAc=√ 𝟒𝟗 + 𝟒𝟗 Ac= √𝟗𝟖 Dbc = √(−𝟏 + 𝟒) 𝟐 + (𝟓 + 𝟔) 𝟐 dBC=√(𝟑) 𝟐 + (𝟏𝟏) 𝟐 dBC = √ 𝟗 + 𝟏𝟐𝟏 dBC= √𝟏𝟑𝟎 Mac = 𝟓+𝟐 −𝟏+𝟖 = = 𝟕 𝟕 = 1 Mbc = 𝟓+𝟔 −𝟏+𝟒 = 𝟏𝟏 𝟑
  • 22. Tan 𝜃= 11 3 −1 1+ 11 3 (1) = 8 3 1+ 11 3 = 8 3 14 3 = 8 14 = 4 7 Tan 𝜃= 4 7 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 4 7 ) 𝜃 = 29º 44"41.57"" A= 𝟏 𝟐 ab sen C A= ( 𝟏 𝟐 ) (√𝟗𝟖) (√𝟏𝟑𝟎) sen 29º 44"41.57"" = 27.99 10.- La ecuación de una recta es x + 6y + 16=0;escribe la ecuación que representa todas las rectas paralelas a la recta dada; determina específicamente la ecuación de la recta paralela a la dad y que pasa por A(2,-3) A(2,-3) x+6y+16= 0 M = −𝐴 𝐵 = -( 1 6 ) = - 1 6 m = - 1 6 y-𝑦1= m(x-𝑥1) y-(-3) = - 1 6 (x-2) 6(y+3 = 1 6 x + 2 6 ) 6y+18= -x+2 x-2+6y-18=0 x+6y+16= 0 11.-Demustra que las rectas 3x+2y=0 y 2x-3y+6=0 satisfacen la condición de la perpendicular. 3x+2y=0
  • 23. 2x-3y+6=0 𝑀1= −𝐴 𝐵 = −𝟑 𝟐 𝑀2= −𝐴 𝐵 = −2 −3 = 𝟐 𝟑 12.- Una recta l1 pasa por el origen y por A (4,3); otra recta l2 pasa por A y es perpendicular a la recta 6x-5y-16=0; determina el angulo formado por l1 y l2. Iii. Dados los siguientes pares de ecuaciones, graficalos y demuestra las condiciones x-y +1 =0 M= 1/1 = 1 Reciproco x+y -5 = 0 M = 1/1 = ¡ Hay perpendiculares x-y + 1 = 0 x+y -5 =0 2x -4 = 0 2x = 4 X= 4/2 X=2 punto de intersección 2+y – 5 = 0 Y -3 = 0 Y =3 interseccion intersección total en el punto (2,3) IV.- 3 x -9y +33= 0 x-3y-11 = 0 = x= 3y+11 X=3y -15 5 x y 2 -3 5 -2 8 -1 11 0 17 2 20 3 x Y -1.2 -3 -4.8 3