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Subido porAlvaro Cuji
Tuensor de inercia
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculos de tensores de inercia para diferentes objetos como paralelepípedos, placas, varillas, anillos, esferas y cilindros. Se calculan los tensores de inercia en diferentes bases vectoriales y se piden determinar direcciones y momentos de inercia principales para algunos casos.
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- 1. MECÁNICA RELACIÓN 6: Tensores de Inercia. 1.- Determine el tensor de inercia del paralelepípedo de la figura, en la base vectorial mostrada, que está centrada en G. ⎛1 ⎞ ⎜12 M(b +c ) 2 2 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ Solución: I0 = ⎜ 0 1 M(a +c ) 2 2 0 ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 2⎟ ⎜ 0 0 (a +b )⎟ ⎝ 12 ⎠ 2.- Determine el tensor de inercia de la placa plana de la figura, en la base vectorial mostrada. Suponga despreciable el espesor de la placa. ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎜ 18 mb 36 mab 0 ⎟ ⎜ ⎟ Solución: I G = ⎜ mb 2 ⎟ 1 1 ma 2 0 ⎜ 36 18 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜ 0 m( a + b ) ⎟ 2 ⎝ 18 ⎠ 3.- Determine el tensor de inercia de la varilla de la figura en las bases vectoriales xyz y XYZ. Suponga que la varilla es esbelta. ⎛ ⎞ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ Solución: I 0 = ⎜ 0 1 mL2 0 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 1 2⎟ ⎜0 0 mL ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎛ ⎞ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ IG = ⎜ 0 1 mL2 0 ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜0 0 mL2 ⎟ ⎝ 12 ⎠
- 2. 4.- Determine eltensor de inercia del anillo y de la placa circular mostrados. Suponga que el espesor es despreciable en ambos casos. ⎛ mR 2 ⎞ ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ mR 2 ⎟ Solución: I 0anillo =⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 0 mR 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ mR 2 ⎞ ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ mR 2 ⎟ I 0 placa =⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ mR 2 ⎟ ⎜ 0 0 2 ⎟ ⎝ ⎠ 5.- Determine el tensor de inercia del sistema mostrado en la figura, suponga que los únicos elementos que tienen masa son las bolas. ⎛ b 2 −ab 0 ⎞ ⎜ ⎟ Solución: I 0 = 2m ⎜ − ab a 2 0 ⎟ ⎜ 0 0 a 2 + b2 ⎟ ⎝ ⎠ 6.- Determine el tensor de inercia de la esfera mostrada respecto a la base vectorial XYZ. Demuestre que el tensor es invariante al expresarlo en cualquier otra base vectorial xyz. Solución:
- 3. 7.- El tensorde inercia del cilindro sólido de la figura en la base vectorial XYZ centrada en G es: ⎛1 ⎞ ⎜ 12 M (3r + h ) 2 2 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ IG = ⎜ 0 1 M (3r + h ) 2 2 0 ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ 0 0 Mr 2 ⎟ ⎟ ⎝ 12 ⎠ Se pide: 1.- Determinar el tensor de inercia en la base xyz en un ángulo β alrededor de Y. 2.- Determine las direcciones y momentos de inercia principales (en la base xyz). Particularizar para M=100kg, h=3m, d=1.3m, β = 30º Solución: 8.- La barra de la figura pesa 0,1N/mm. Determine: 1.- Tensor de inercia en la base XYZ. 2.- Momento de inercia respecto del eje MN, definido por el vector unitario: u = 0.3i + 0.45 j + 0.84k . 3.- Direcciones principales de inercia. 4.- Momentos principales de inercia. Las dimensiones están dadas en mm. Solución: ⎛ ⎞ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ mL2 1.- I 0 = ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜0 mL ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ 3 ⎠