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Ecuación lineal
Su forma general es:
𝐴𝑥 + 𝐵 = 0 ; 𝐴 ≠ 0
Resolver la siguiente ecuación.
𝐴𝑥 + 𝐵 = 0
𝐴𝑥 = −𝐵 𝑥 = −
𝐵
𝐴
∴ 𝐶. 𝑆 = −
𝐵
𝐴
ECUACIONES POLINOMIALES
Resolver una ecuación
significa hallar su CS.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
Resolución
Porfactorización
 Resuelva la ecuación
3𝑥2 − 7𝑥 + 2 = 0
Aplicando aspa simple
3𝑥2 − 7𝑥 + 2 = 0
3𝑥
𝑥
−1
−2
−𝑥
−6𝑥
−7𝑥
Ecuación cuadrática
Por formula general
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
Sea la ecuación
Sus soluciones son:
𝑥 =
𝑏 ±
−
2 𝑎
𝑏2− 4 𝑎 𝑐
Donde:
∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 se llama "discriminante".
Luego las soluciones o raíces son:
𝑥1 =
−𝑏 + ∆
2𝑎
∨ 𝑥2 =
−𝑏 − ∆
2𝑎
3𝑥 − 1 𝑥 − 2 = 0
3𝑥 − 1 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0
𝑥1 =
1
3
∨ 𝑥2 = 2
∴ 𝐶. 𝑆 =
1
3
; 2
∴ 𝐶. 𝑆 =
−𝑏 + ∆
2𝑎
;
−𝑏 − ∆
2𝑎
ECUACIONES POLINOMIALES DE GRADO SUPERIOR
I. ∆> 0,las raices son reales y diferentes.
II. ∆= 0,las raices son reales e iguales.
(la ecuación tiene solución única)
III. ∆> 0,las raices no son reales.
Teorema de Cardano
Sean 𝑥1 y 𝑥2 las raíces de la ecuación
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +𝑐 = 0 𝑎 ≠ 0; se cumple:
• Suma de raíces • Producto de raíces
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 =
𝒃
𝒂
− 𝒙𝟏 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
+ − +
Para resolver una
ecuación polinomial,
usaremos la
factorización.
Nota
• 𝑥4 − 5𝑥2 + 6 = 0
• 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥 − 10 = 0
• 2𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 4 = 0 Ec. cúbica
Ec. bicuadrada
Ec. cuártica
EjemplosEc.polinomialesde grado superior:
Sea la ecuación cúbica 𝒂𝑥3 + 𝒃𝑥2 +𝒄𝑥 + 𝒅 = 0; 𝑎 ≠ 0
Suma de raíces
Suma de
productos binarios
Producto de raíces
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =
𝑏
𝑎
−
𝑥1 𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1 =
𝑐
𝑎
𝑥1𝑥2 𝑥3 =
𝑑
𝑎
−
+ +
− −
cuyas raíces son 𝑥1, 𝑥2 y 𝑥3. Se cumple:
Teorema de Cardano
Análisisde las raíces
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
Sea la ecuación
cuyo discriminante es ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
se cumple:
ECUACIONES FRACCIONARIAS
• En todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 2 y
coeficientes racionales, se cumple
una raíz es
𝑎 + 𝑏 ⇔
otra raíz es
𝑎 − 𝑏
Donde 𝑎 ∈ ℚ y 𝑏 ∈ 𝕀
• En todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 2 y
coeficientes reales, se cumple
una raíz es
⇔
otra raíz es
Donde 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ − 0
𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖
Teoremasde paridadde raíces
Ejemplo:
Si 7 + 4𝑖 es raíz⟷ 7 − 4𝑖 es raíz
Si 2 + 3 es raíz ⟷ 2 − 3 es raíz
Tienen la forma:
𝑷 𝒙
𝑸 𝒙
= 𝟎;
Donde:
𝑃 𝑥 es un polinomio no nulo
𝑄 𝑥 es un polinomio, donde ° 𝑄 𝑥 ≥ 1
Ejemplos
𝑎)
2𝑥 − 1
𝑥2 − 2𝑥 − 3
= 0 𝑏)
𝑥3 − 3𝑥 + 2
4𝑥 − 1
= 0
𝑸 𝒙 ≠ 𝟎
Se resuelve de la siguiente forma:
𝑷 𝒙
𝑸 𝒙
= 𝟎 ↔
Resoluciónde ecuaciónfraccionaria
𝑷 𝒙 = 𝟎 ∧ 𝑸 𝒙 ≠ 𝟎
Ecuacionesfraccionarias
Un alambre de 48 m se corta en tres partes; la
segunda pieza mide tres veces la longitud de la
primera y tercera mide cuatro veces la longitud
de la segunda. ¿Cuánto mide la tercera pieza?
UNMSM
Luego:
𝑎 3𝑎
Resolución
4(3𝑎)
48𝑚
𝑎 + 3𝑎 + 4 3𝑎 = 48
𝑎 = 3
∴ La tercera pieza mide:12𝑎 = 36𝑚
Dos cuerpos se mueven sobre el mismo camino en
función del tiempo de acuerdo a las relaciones
𝑝1 𝑡 = 3𝑡5 + 3𝑡3 + 2𝑡2 − 𝑡 + 2
𝑝2 𝑡 = 3𝑡5 + 2𝑡3 + 7𝑡2 − 8𝑡 + 5; 𝑡 ∈ 0; 3
Siendo 𝑝1 𝑡 y 𝑝2 𝑡 los espacios recurridos en el
tiempo 𝑡 (en metros y segundos respectivamente).
Si al cabo de cierto tiempo recorren la misma
distancia, halle esta distancia.
UNMSM
Resolución
Como recorren al misma distancia:
𝑑 = 𝑝1 𝑡 = 𝑝2 𝑡
3𝑡5 + 3𝑡3 + 2𝑡2 − 𝑡 + 2 = 3𝑡5 + 2𝑡3 + 7𝑡2 − 8𝑡 + 5
𝑡3 − 5𝑡2 + 7𝑡 − 3 = 0
Aplicación 1 Aplicación 2

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1. Se resuelven dos ecuaciones para hallar los valores de x que cumplen. Los valores son x = 3 y x = -2. 2. Se resuelve otra ecuación para hallar los valores de x. Los valores son x = 4 y x = 1. 3. Se resuelve una ecuación para hallar el valor de x. El valor es x = 4/5.

𝑡 − 1 𝑡2 − 4𝑡 + 3 = 0
𝑡3 − 5𝑡2 + 7𝑡 − 3 = 0
Factorizando con divisores binómicos:
−5
1 7 −3
1 1 −4 3
1 −4 0
3
𝑡 − 1 𝑡 − 1 𝑡 − 3 = 0
𝑡 − 1 2 𝑡 − 3 = 0
Luego: 𝑡 = 1 ∨ 𝑡 = 3
Pero: 𝑡 ∈ 0; 3 → 𝑡 = 1
La distancia recorrida es cuando 𝑡 = 1:
𝑑 = 𝑝1 1 = 3 1 5 + 3 1 3 + 2 1 2 − 1 + 2
∴ 𝑑 = 9𝑚
↓
Operaciones con Intervalos
𝐔𝐧𝐢ó𝐧 e Intersección de intervalos
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵
𝐴 − 𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵
𝐃𝐢𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐨𝐬
Si 𝐴 = −1: 3 y 𝐵 = −5; 2
−∞ +∞
−1 3
−5 2
Halle 𝐴 ∪ 𝐵 y 𝐴 ∩ 𝐵
→ 𝐴 ∪ 𝐵 = −5; 3
𝐴
𝐵
Si 𝐴 = −5; 1 y 𝐵 = 0; 4
−∞ +∞
0 4
−5 1
Halle 𝐴 − 𝐵
→ 𝐵 − 𝐴 = 1
𝐵
𝐴
𝑨 − 𝑩
• 𝐵 = −∞; −1
−∞ +∞
−1
𝐵 𝑩𝒄
∴ 𝐵𝑐= −1; +∞
• 𝑀 = −∞; 3 ∪ 7; +∞
−∞ +∞
3 7
𝑀
𝑴𝒄
𝑀
∴ 𝑀𝑐= 3; 7
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑩 − 𝑨
𝐂𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐨𝐬
𝐴𝑐 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∉ 𝐴 = ℝ − 𝐴
→ 𝐴 ∩ 𝐵 = −1; 2
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
→ 𝐴 − 𝐵 = −5 ; 0
; 4
𝑥 𝑦
. 𝒛 ; 𝒛 < 0
Teoremas de desigualdades
Sean 𝑥, 𝑦, 𝑧 números reales. Se cumple:
𝑥 < 𝑦 ⟺ 𝑥 𝑦
± 𝒛 ± 𝒛
𝑥 < 𝑦
𝑥 𝑦
. 𝒛 . 𝒛
⟺
. 𝒛
• 2 < 𝑥 ≤ 5
+4
≤
𝑥 + 4
6 <
• 4 < 𝑥 ≤ 7
×3
≤
3𝑥
12<
• −5 ≤ 𝑥 < −2
× −2
>
−2𝑥
10≥
9
21
𝟏.
𝟐.
4
mantiene el sentido
cambia el sentido
<
>
<
; 𝒛 > 0
𝑥 𝑥−1
y tienen el mismo signo
𝟑.
1
𝑥 − 2
> 0 >
𝑥 − 2 0
1
𝑥 + 5
< 0 <
𝑥 + 5 0
•
•
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ⟺
𝟒.
1
𝑥
1
𝑎
>
1
𝑏
>
mismo signo
• 3 ≤ 𝑥 < 7
−1
>
1
𝑥
1
3
≥
1
7
−5 < 𝑥 < −
1
2
−1
>
1
𝑥
−
1
5
> −2
• 𝑥 > 3
−1
<
1
𝑥
1
3
<
0
+
+
•
𝑥2 ≥ 0
𝟓. ∀ 𝑥 ∈ ℝ:
• ∀ 𝑥 ∈ ℝ ≥
𝑥 + 3 2 0
≥
2𝑡 − 1 2 0
• ∀ 𝑡 ∈ ℝ
→ 𝑥 + 3 ∈ ℝ:
→ 2𝑡 − 1 ∈ ℝ:
𝑎 < 𝑥 < 𝑏⟺
𝟔.
𝑥2
𝑎2 < 𝑏2
<
Si 𝑎, 𝑏 son positivos
2
• 2 < 𝑥 < 5 𝑥2
22 < 52
<
𝑎 < 𝑥 < 𝑏⟺ 𝑥2
𝑎2 > 𝑏2
>
Si 𝑎, 𝑏 son negativos
(Se mantiene el sentido
de la desigualdad)
(Se cambia el sentido
de la desigualdad)
→ 4 < 𝑥2 < 25
2
• −3 < 𝑥 ≤ −1 𝑥2
−3 2 > −1 2
≥
→ 9 > 𝑥2 ≥ 1
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ⟺ 𝑥2
0 ≤ máx 𝑎2; 𝑏2
<
Si 𝑎 < 0; 𝑏 > 0
2
• −4 < 𝑥 < 3 𝑥2
0 ≤ 16
< máx −4 2;32
✓
2
• −7 ≤ 𝑥 < 2 𝑥2
0 ≤ 49
≤ máx −7 2;22
✓
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨:
Halle la variación de 𝑄 = 𝑥 − 3 2 + 5; si 𝑥 ∈ −1;6 .
Resolución:
Como 𝑥 ∈ −1;6
Así, 5 ≤ 𝑄 < 21→ 𝑄 ∈ 5; 21
→ −1 < 𝑥 ≤ 6
→ −4 < 𝑥 − 3 ≤ 3
→ 𝑥 − 3 2
≤
0 <16
→ 𝑥 − 3 2 + 5
≤
5 < 21
−3
2
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𝑄

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Hola amigos! :-) Saludos! Adjunto un documento educativo de matemática, donde resuelvo ejercicios diversos de Cálculo diferencial e integral. &lt;&lt;cjag>>

calculo diferencial e integralintegrales tripleejercicios resuelto de calculo
1. InecuaciónLineal
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Ejemplo:
, 𝑎 ≠ 0
≶ 0
2. InecuaciónCuadrática
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 ≠ 0
≶ 0
Resuelva la siguiente inecuación 𝑥 −
1
2
≥
2𝑥
3
+ 5
Resolución:
𝑥 −
2𝑥
3
→
𝑥
3
≥
11
2
→ 𝑥 ≥
33
2
5 +
1
2
≥
∴ CS =
33
2
; + ∞
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐚 𝐢𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫á𝐭𝐢𝐜𝐚
En primer lugar debemos garantizar 𝑎 > 0, caso
contrario multiplique por −1.
−∞ +∞
33
2
Inecuación Polinomial
Ejemplo
𝑥2 − 13𝑥 + 22 ≥ 0
Resuelva
Resolución:
𝑥2 − 13𝑥 + 22 ≥ 0
𝑥
𝑥
− 2
− 11
Puntos críticos:
∴ CS = −∞; 2 ∪ 11; +∞
+
−
11
2
+
2; 11
𝑥 − 2 𝑥 − 11 ≥ 0
Una persona fabrica un número determinado de
pizarras. Si triplica su producción y vende 12, le
queda más de 15. Luego fabrica 7 pizarras más y
luego vende 3, tendrá entonces menos de 25
pizarras. Indique cuántas pizarras se fabricaron.
Resolución:
Aplicación:
Sea 𝑥 el número de pizarras fabricadas incialmente
𝟏 3𝑥 − 12 > 15 ⟶ 3𝑥 > 27 ⟶ 𝑥 > 9
𝟐 3𝑥 − 12 +7 −3 < 25 ⟶ 3𝑥 − 8 < 25
⟶ 𝑥 < 11
Luego, de 1 y 2 : 9 < 𝑥 < 11
⟶ 𝑥 = 10
∴ Se fabricaron 10 pizarras.
Inecuación cuadrática
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Ejemplos:
• 𝑥2 − 13𝑥 + 22 > 0
• 𝑥2 − 9 ≤ 0
, 𝑎 ≠ 0
≶ 0
Según el análisis del discriminante, tenemos tres
casos:
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐚 𝐢𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫á𝐭𝐢𝐜𝐚
En primer lugar debemos garantizar que 𝑎 > 0;
caso contrario, multiplicaremos por −1.
Es aquella inecuación que tiene la siguiente forma
general:
Caso I:
Aplicación
𝑥2 − 12𝑥 + 35 ≥ 0
∆ > 𝟎
El polinomio cuadrático 𝑃 𝑥 es factorizable en ℝ.
Resuelva la inecuación
Resolución:
𝑥2 − 12𝑥 + 35 ≥ 0
𝑥
𝑥
− 5
− 7
Puntos críticos:
∴ CS = −∞; 5 ∪ 7; +∞
+
−
7
5
+
5
→ 𝑥 − 5 𝑥 − 7 ≥ 0
Se tiene
Para resolver la inecuación se aplicará el método
de los puntos críticos.
; 7
• 3𝑥2 + 5𝑥 < −4 + 𝑥2 → 2𝑥2 + 5𝑥 + 4 < 0
Resolución:
Como ∆ = (−6)2−4 1 9
entonces, el polinomio cuadrático es un TCP
→ 𝑥 − 3 2
∴ CS = ℝ
Caso II: ∆ = 𝟎
El polinomio cuadrático 𝑃 𝑥 es un trinomio
cuadrado perfecto (TCP)
Aplicación
𝑥2 − 6𝑥 + 9 ≥ 0
Resuelva
= 0
→ 𝑥2 − 6𝑥 + 9 ≥ 0
C U R S O D E Á L G E B R A
≥ 0
Teorema del trinomio positivo
En este caso podemos completar cuadrados o
utilizar el Teoremadel trinomiopositivo.
Dado el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0
⟺ 𝑎 > 0
𝑥2 − 2𝑥 + 5 > 0
Caso III: ∆ < 𝟎
> 0; ∀ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∆ < 0
𝑃 𝑥
Aplicación
Resuelva
Resolución:
Note que ∆ =(−2)2−4 1 5 < 0
= −16
→ 𝑥2 −2𝑥 + 5 > 0
+
∴ CS = ℝ

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Inecuación de grado superior
Tiene como forma general
𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 ≷ 0
Donde: 𝑎0 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≥ 3
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
𝑥3 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 6 ≤ 0
𝑎)
𝑏) 4𝑥4 + 5𝑥3 − 37𝑥2 − 7𝑥 + 9 > 0
Para resolver una inecuación de grado superior,
factorizamos el polinomio.
𝐀𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐜𝐢ó𝐧
Resolver la inecuación:
𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 2 < 0
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
Factorizando por Divisores binómicos ∶
1 −3 3 −2
0
𝑥 = 2
1
2
−1
−2
1
2
→ (𝑥 − 2) (𝑥2 − 𝑥 + 1) < 0
+
→ 𝑥 < 2
∴ 𝐶𝑆 = −∞; 2
C U R S O D E Á L G E B R A
Inecuación fraccionaria
Tiene como forma general
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≷ 0
• 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 son polinomios
Donde
• ° 𝑄 𝑥 ≥ 1
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
2𝑥 − 1
𝑥2 − 2𝑥 − 3
≥ 0
𝑎)
𝑥2 − 2𝑥 + 1
2𝑥2 − 3𝑥 − 2
< 0
𝑏)
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≷ 0 ↔ 𝑃 𝑥 . 𝑄(𝑥) ≷ 0 ∧ 𝑄(𝑥) ≠ 0
𝐀𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Resuelva
𝑥 + 2
𝑥 − 1
≥ 0 ↔ (𝑥 + 2) (𝑥 − 1) ≥ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≠ 0
𝑥 ≠ 1
−∞ +∞
1
−2
→ 𝑥 ∈ −∞; −2 ∪ 1; +∞
Ejemplos
𝐸 𝑥 = 𝑥 + 3 𝐹 𝑥 = 𝑥² − 1
Ejemplo
Resolución
Son aquellas expresiones matemáticas que
presentan al menos una de sus variables afectada
por al menos un radical.
CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (CVA)
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
∈ ℝ
𝑝𝑎𝑟
𝑃(𝑥) ∈ ℝ
→
→ 𝑃 𝑥
≠ 0
≥ 0
Ten en cuenta que si las expresiones son:
𝑄(𝑥)
𝐸 𝑥 = 𝑥 + 4 +
5
𝑥 − 2
∗ 𝑥 − 2 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 2
∗ 𝑥 + 4 ≥ 0 → 𝑥 ≥ −4
… (I)
… (II)
De I y II tenemos:
+∞
−∞ −4 2
𝐶. 𝑉. 𝐴 = ሾ−4; ۧ
+∞ − 2
Sea
Expresiones irracionales
𝐄𝐂𝐔𝐀𝐂𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒 𝐈𝐑𝐑𝐀𝐂𝐈𝐎𝐍𝐀𝐋𝐄𝐒
Son aquellas ecuaciones en el cual se
encuentran una expresión irracional.
Ejemplo:
Resolver 2𝑥 + 3 = 𝑥 … (𝛼)
Resolución:
Elevando al cuadrado 2𝑥 + 3 = 𝑥
2 2
→ 2𝑥 + 3 = 𝑥2
→ 0 = 𝑥2 −2𝑥 −3
→ 0 = (𝑥 + 1) (𝑥 − 3)
→ 𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 3
Comprobando en α , se tiene que 𝑥 = 3
𝐶. 𝑆 = 3
INECUACIONES IRRACIONALES
Son aquellas inecuaciones en el cual se encuentra
una expresión irracional.
Ejemplo
Resolver: 𝑥 + 6 < 3
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
1) Encuentra el CVA.
𝑥 + 6 ≥ 0 → 𝑥 ≥ −6 …(I)
2) Eliminar las raíces.
𝑥 + 6 < 3
2 2
→ 𝑥 + 6 < 9 …(II)
→ 𝑥 < 3
3) Hallando el C. S. = 𝐼 ∩ (𝐼𝐼)
+∞
−∞ −6
(𝐼)
3
(𝐼𝐼)
→ 𝐶. 𝑆 = ሾ−6; ۧ
3

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Valor absoluto
1. Definición
𝑥 =
𝑥
൝
• ȁ𝑥2 +
; si 𝑥 ≥ 0
−𝑥
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
; si 𝑥 < 0
• ȁ3
Se define el valor absoluto de 𝑥 ∈ ℝ,
denotado por 𝑥 , así:
൝
positivo
൝
negativo
= 𝑥2 + 1
= 𝜋 − 3
2. Propiedades
Si 𝑥; 𝑦 son números reales, entonces:
𝑥 ≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ −𝑥
𝑥 2
𝑥𝑦
𝑥2
𝑥
𝑦
• 2𝑥 + 1 • 5 − 𝑥
• 𝑥 − 1 2
• 𝑥 + 3 2
𝟏. 𝟐.
𝟑. 𝟒.
𝟓. 𝟔.
• −2𝑥
𝑥 + 1
2𝑥 − 3
•
; 𝑦 ≠ 0
; 𝑥 ≠
3
2
= 𝑥2 = 𝑥2
= 𝑥 − 1 2
= − 𝑥 − 5 = 𝑥 − 5
= 𝑥
= 𝑥 + 3
=
𝑥
𝑦
=
𝑥 + 1
2𝑥 − 3
= 𝑥
≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
= 𝑥 . 𝑦
= −2 . 𝑥 = 2 𝑥
Ecuaciones con valor absoluto
• 𝑥 + 3 = 7
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟏
𝑥 = 𝑎⇔ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎 ; 𝑎 > 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
→ 𝑥 + 3 = 7 ∨ 𝑥 + 3 = −7
→ 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = −10
∴ CS = 4; −10
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟐
𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎
• 𝑥 − 3 = 2𝑥
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
→ 𝑥 − 3 = 2𝑥 ∨ 𝑥 − 3 = −2𝑥
→ 𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 1
∴ CS = −3; 1
Inecuaciones con valor absoluto
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚
𝑥 < 𝑎⇔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 ; 𝑎 > 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
• 𝒙 − 𝟏 < 4→
∴ CS = −3; 5
→ −3 < 𝑥 < 5
4
−4 <
𝒙 − 𝟏
<
𝑥 ≤ 𝑎⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 ; 𝑎 ≥ 0
+1
𝑥 > 𝑎⇔ 𝑥 < −𝑎
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
∨ 𝑥 > 𝑎
𝑥 ≥ 𝑎⇔ 𝑥 ≤ −𝑎 ∨ 𝑥 ≥ 𝑎
−∞ +∞
1
−7
• 𝒙 + 𝟑 > 4
→ 4
𝒙 + 𝟑< 𝒙 + 𝟑>
−4 ∨
→ 𝑥 < −7 ∨ 𝑥 > 1
−3
∴ CS = −∞ ; −7 ∪ 1; +∞
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Es un conjunto de dos o mas ecuaciones lineales
con dos o mas incógnitas .
Ejemplos:
�
𝑦𝑦2
𝑦𝑦2
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3
�
2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 5
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 3
4𝑥𝑥 − 6𝑧𝑧 = 4
Solución y conjunto solución de un sistema de
ecuaciones lineales
Ejemplo:
4; 1
Los valores que
cumplen son: 𝑦𝑦 = 1
La solución es el
par ordenado:
�
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3 𝑥𝑥 = 4;
Y tiene como 𝐶𝐶. 𝑆𝑆 = 4; 1
Sistemas de Ecuaciones
Compatible
Tiene solución
Incompatible
No tiene solución
Determinado Indeterminado
Tiene finitas soluciones Tiene infinitas soluciones
𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐝𝐝𝐝𝐝
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬
Métodos de resolución de un S.E.L.
1. Método de eliminación o método de Gauss
�
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 5
• Resuelva
2𝑥𝑥 = 14
→ 𝑥𝑥 = 7
En 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9
7 + 𝑦𝑦 = 9
→ 𝑦𝑦 = 2
Ejemplos
Su solución es el PAR ORDENADO (7;2)
CS= (7; 2)
2 Método de sustitución
Ejemplos
�
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 5
• Resuelva
. . . (α)
. . . (β)
De (β) 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 5
Reemplazamos en (α)
𝑦𝑦 + 5 + 𝑦𝑦 = 9
2𝑦𝑦 = 4
𝑦𝑦 = 2
En 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 5 = 7
Su solución es el PAR ORDENADO (7;2)
CS= (7; 2)

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SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
Son aquellos sistemas donde por lo menos una
ecuación no es lineal.
Ejemplos
�
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5
𝑥𝑥2
+ 𝑦𝑦2
= 13
2
𝑥𝑥
+
3
𝑦𝑦
= 5
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2
• •
𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐮𝐮𝐮𝐮 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐧𝐧𝐧𝐧 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
Existe más de una forma de resolver un sistema
no lineal, donde uno de ellos es el método de
sustitución.
Resuelva el sistema �
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 5
Ejemplo
… 𝟏𝟏
… 𝟐𝟐
De 𝟏𝟏 : 𝑦𝑦 = 3 − 𝑥𝑥
Reemplazamos en 𝟐𝟐 :
𝑥𝑥2 + (3 − 𝑥𝑥)2 = 5
𝑥𝑥2
2𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 4 = 0
𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 2 = 0
𝒙𝒙
𝒙𝒙
−𝟏𝟏
−𝟐𝟐
→ (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2) = 0
→ 𝑥𝑥 = 1 ∨ 𝑥𝑥 = 2
Así, en 𝑦𝑦 = 3 − 𝑥𝑥
Si 𝑥𝑥 = 1 ⟶ 𝑦𝑦 = 2
Si 𝑥𝑥 = 2 ⟶ 𝑦𝑦 = 1
∴ CS= 1; 2 , (2; 1)
+ 9 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 5
Solución:
Solución:
1; 2
2; 1
Resolución:
SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
Es un conjunto formado por dos o más inecuaciones
lineales
Ejemplos
 �
2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ≤ 6
3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 < 12
𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 ≥ 1
 �
2𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 > 10
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 2
El par ordenado 𝑥𝑥0; 𝑦𝑦0 es solución de un sistema de
inecuaciones, si verifica cada una de las inecuaciones
del sistema.
Resolución de un sistema de inecuaciones en ℤ
Resuelva en ℤ
�
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 6
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 > 2
𝑥𝑥 ≤ 5
Resolución
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 6
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 > 2
Hallamos 𝒙𝒙
2𝑥𝑥 8
>
𝑥𝑥 > 4 𝑥𝑥 ≤ 5
∧ ∧ 𝑥𝑥 ∈ ℤ
𝒙𝒙 = 𝟓𝟓
Hallamos 𝒚𝒚
En 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 6 5 + 𝑦𝑦 ≥ 6 𝑦𝑦 ≥ 1
En 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 > 2 5 − 𝑦𝑦 > 2 3 > 𝑦𝑦
∧ 𝑦𝑦 ∈ ℤ
𝒚𝒚 =𝟏𝟏; 𝟐𝟐
Sus soluciones son: 5; 1 , 5; 2
𝐂𝐂𝐂𝐂 = { 𝟓𝟓; 𝟏𝟏 , 𝟓𝟓; 𝟐𝟐 }
�
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 6
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 > 2
𝑥𝑥 ≤ 5
Definición
si a cada elemento 𝒙𝒙 de 𝑨𝑨
𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄:
Sean 𝑨𝑨 y 𝑩𝑩 conjuntos no vacíos. La relación 𝑓𝑓 de 𝑨𝑨
en 𝑩𝑩 es una función
𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍: 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 ⟶ 𝐵𝐵
Gráficamente
𝒙𝒙
le corresponde un único elemento 𝒚𝒚 de 𝑩𝑩 tal que
𝒙𝒙; 𝒚𝒚 ∈ ℝ.
𝑨𝑨 𝑩𝑩
𝑓𝑓
𝒚𝒚
• •
Conjunto de
partida
Conjunto de
llegada
1
𝑨𝑨 𝑩𝑩
𝑓𝑓
−2
4
5
7
0
3
8
9
𝑓𝑓 = 1; −2 ; 4; 0 ; 5; 9 ; 7; 8
• 𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝒇𝒇
• 𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝒇𝒇
Dom𝑓𝑓 = 1; 4; 5; 7 = 𝐴𝐴
Ran𝑓𝑓 = −2; 0; 8; 9 ⊆ 𝐵𝐵
Condición de unicidad de una función
Sea f una función.
𝒙𝒙; 𝑦𝑦
Si ∧ 𝒙𝒙; 𝑧𝑧 ∈ 𝑓𝑓 → 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧
𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄:
∈ 𝑓𝑓
Si 𝟗𝟗; 𝑛𝑛 ∈ 𝑓𝑓 ∧ 𝟗𝟗; 4 ∈ 𝑓𝑓 → 𝑛𝑛= 4
• Sea 𝑓𝑓 una función
FUNCIÓN
𝑃𝑃 𝑥𝑥
𝑄𝑄 𝑥𝑥
∈ ℝ
𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩
𝒂𝒂 ∈ ℝ 𝑄𝑄 𝑥𝑥 ≠ 0
Cálculo del dominio y rango de una función
1. Cálculo del dominio
Es el conjunto formado por todos los valores reales
de 𝑥𝑥; tales que la función resulte real.
𝒂𝒂 ≥ 0
⇔ ⇔
𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄:
Calcule el dominio de 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 25 − 𝑥𝑥2 +
5
𝑥𝑥 − 2
Resolución:
• 25 − 𝑥𝑥2 ≥ 0 → 𝑥𝑥2 ≤ 25
→ −5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5
• 𝑥𝑥 − 2 ≠ 0 → 𝑥𝑥 ≠ 2
∴ Dom𝑓𝑓 = −5; 5 − 2
2. Cálculo del rango
Es el conjunto formado por todos los valores reales de
𝑦𝑦 o 𝑓𝑓𝑥𝑥 y se obtiene (en general) a partir del dominio.
𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄 ∶
Halle el rango de la función
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1 −
18
𝑥𝑥 + 3
; si 𝑥𝑥 ∈ ⟨−3; ]
6
Resolución:
Como 𝑥𝑥 ∈ ⟨−3; ]
6 → −3 < 𝑥𝑥 ≤ 6
→ 0 < 𝑥𝑥 + 3 ≤ 9
+ 3
→
1
𝑥𝑥 + 3
≥
1
9
invertimos
× −18
→ −
18
𝑥𝑥 + 3
≤ −2
+ 1
𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ −1
→
∴ Ran𝑓𝑓 ∈ ⟨−∞; ]
−1

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1. Función constante 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 ; 𝑘𝑘 ∈ ℝ
• g 𝑥𝑥 = −3
𝐗𝐗
𝐘𝐘
−𝟑𝟑
𝐠𝐠
2. Función lineal 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ; 𝑎𝑎 ≠ 0
Grafique 𝑓𝑓𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 − 6
𝑋𝑋
𝑌𝑌
−6
3
𝑥𝑥 𝑦𝑦
0
0
−6
3
Tabulando 𝒇𝒇
Ejemplo:
3. Función cuadrática 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ; 𝑎𝑎 ≠ 0
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − ℎ 2
+ 𝑘𝑘
Completando cuadrados se tiene:
Vértice: 𝒉𝒉; 𝒌𝒌
Gráfica de una función
Si 𝑎𝑎 > 0 Si 𝑎𝑎 < 0
𝑋𝑋
𝑌𝑌
𝑋𝑋
𝑌𝑌
𝑉𝑉 ℎ; 𝑘𝑘
ℎ
ℎ
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑉𝑉 ℎ; 𝑘𝑘
𝑓𝑓mín =
𝑓𝑓máx =
Parábola cóncava hacia arriba Parábola cóncava hacia abajo
Punto mínimo
Punto máximo
Respecto a su gráfica se tiene los casos:
ℎ = −
𝑏𝑏
2𝑎𝑎
; 𝑘𝑘 = 𝑓𝑓 −
𝑏𝑏
2𝑎𝑎
Nota:
𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀:
Se lanza una piedra al aire tal que su altura queda
determinada por la función 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = −5𝑡𝑡2
+ 50𝑡𝑡,
donde 𝑡𝑡 es el tiempo en segundos y 𝑓𝑓 𝑡𝑡 es la
altura en metros. Halle el tiempo en el que la
piedra alcanza su máxima altura y cuál es dicha
altura.
Resolución:
𝑓𝑓 𝑡𝑡 = −5𝑡𝑡2
+ 50𝑡𝑡
Se tiene
= −
50
2 −5
= 𝟓𝟓
ℎ
La altura máxima se encuentra en el vértice
tiempo
altura
𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑉𝑉 5; 125
𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =
𝑓𝑓 𝟓𝟓 = −5 𝟓𝟓 2 + 50. 𝟓𝟓
𝑘𝑘 = = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
∴ Para 𝑡𝑡 = 5 s se alcanza la altura máxima de 125 m.
�
Raíces reales y diferentes Raíces reales e iguales Raíces no reales
𝑋𝑋
𝑌𝑌
𝑋𝑋
𝑌𝑌
𝑋𝑋
𝑌𝑌
𝑋𝑋
𝑌𝑌
𝑋𝑋
𝑌𝑌
𝑋𝑋
𝑌𝑌
∆ > 𝟎𝟎 ∆ = 𝟎𝟎 ∆ < 𝟎𝟎
𝑎𝑎 > 0
𝑎𝑎 < 0
𝑥𝑥1
𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2
𝑥𝑥2
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2
𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2
Propiedades: Sea 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ; 𝑎𝑎 ≠ 0
Función lineal
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃 ; 𝒂 ≠ 𝟎 ; Dom𝑓 = ℝ
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 6
Para intuir sus gráficas tabularemos para
algunos valores de 𝑥.
; 𝑔 𝑥 = −3𝑥
𝑋
𝑌
= T.I.
Raíz =
−6
3
𝑥 𝑦
0
0
−6
3
𝒇
= T.I.
Raíz = 0
1
𝑥 𝑦
0
−3
1
−3
𝒈
En 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 6
En 𝑔 𝑥 = −3𝑥
𝐍𝐨𝐭𝐚:
𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 − 𝒉 + 𝒌 ; 𝑎 ≠ 0
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
𝜽
𝜽
Si 𝑎 = ±1 → 𝜽 = 90°
Función valor absoluto
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨
Grafique 𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 4 + 6
Resolución:
Identificando: 𝑎 = −2
Como 𝑎 = −2, la gráfica se abre hacia abajo.
; ℎ = 4 ∧ 𝑘 = 6
Luego el vértice es: 𝑉 = 4 ; 6
𝐗
𝐘
𝟔
𝟒
−𝟐
𝟏 𝟕
𝑉 4 ; 6
Intersección con
el eje 𝐘
𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 4 + 6
cuando 𝒙 = 𝟎
𝑓 𝟎 = −2
Hacemos 𝑓 𝑥 = 0
−2 𝑥 − 4 + 6 = 0
𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 7
Intersección con
el eje 𝐗
Función cuadrática
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘
Su gráfica es:
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
Completando cuadrados :
T.I.
⟶
𝑐
Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘
T.I.
⟶
𝑐

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COMITE SEGURIDAD Y SALUD EN EL TRABAJO SST
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COMITE SEGURIDAD Y SALUD EN EL TRABAJO SST

Comité SST

Gráficasnotables
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
1 2 3
0 𝑋
𝑌
3
−1
Resolución:
→ 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 2 − 1
Se tiene 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
Coordenadas del vértice: 2; −1
𝑉 2; −1
• Intersecciones con el eje 𝑌 : 𝒙 = 𝟎
= 𝟎2 − 4. 𝟎 + 3
= 𝑦
𝑓 0
→ 𝑦 = 3
• Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎
𝑥 − 2 2 − 1
𝟎 =
→ 𝑥 − 2 2 = 1
→ 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 1
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘 𝑉 ℎ; 𝑘
Observación:
El vértice 𝑉 ℎ; 𝑘 es el punto más alto o más bajo,
según sea la gráfica de la función 𝑓.
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑎 ≠ 0
𝑓mín =
𝑓máx =
ℎ =−
𝑏
2𝑎
; 𝑘 =𝑓 −
𝑏
2𝑎
Parábola cóncava hacia arriba Parábola cóncava hacia abajo
Punto mínimo
Punto máximo
donde
Raíces realesy diferentes Raíces realese iguales Raícesno reales
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
∆ > 𝟎 ∆ = 𝟎 ∆ < 𝟎
𝑎 > 0
𝑎 < 0
𝑥1
𝑥1 = 𝑥2
𝑥2
𝑥1 𝑥2
𝑥1 = 𝑥2
Propiedades: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥
; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
𝑓 𝑥 = 2𝑥
; 𝑥 ∈ ℝ
1 2
−2 −1 0 𝑋
𝑌
1
2
4
𝑥 𝑦
−2 1/4
−1 1/2
0 1
1 2
2 4
Tabulando
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏:
. Su gráfica es:
1 2
−2 −1 0 𝑋
𝑌
1
2
4
𝑥 𝑦
−2 4
−1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
Tabulando
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐:
𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
; 𝑥 ∈ ℝ
Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ+
donde:
. Su gráfica es:
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Funcióncreciente Funcióndecreciente
No cambiael sentido
de la desigualdad
Sí cambiael sentido
de la desigualdad
En general:
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥
; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1. Se tiene
Si 𝑏 > 1 Si 0 < 𝑏 < 1
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
1 1
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
• 5𝑥
< 59
• 2𝑥
≤ 64
• 𝑥 > 7
• 3 < 𝑥 ≤ 5
⟷ 𝑥 9
<
⟷ 2𝑥
≤ 26
⟷ 𝑥 6
≤
⟷ 4 4
>
𝑥 7
1
2
𝑥
≥
1
2
11
• ⟷ 𝑥 11
≤
⟷ 0,2 0,2
>
3 𝑥
0,2
≥
5
• 𝑥 ≥ 5 ⟷
1
3
≤
𝑥 5
1
3
0 <
𝑏𝑥
< 𝑏𝑦 𝑏𝑥
< 𝑏𝑦
⟷ ⟷ 𝑥 > 𝑦
𝑥 < 𝑦 𝑦 = 𝑏𝑥
> 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ
(Siendo 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1)
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:

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𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥 ; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
𝑓 𝑥 = log2 𝑥 ; 𝑥 > 0
𝑥 𝑦
1/4 −2
1/2 −1
1 0
2 1
4 2
Tabulando
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
. Su gráfica es:
𝑥 𝑦
1/4 2
1/2 1
1 0
2 −1
4 −2
Tabulando
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐:
𝑓 𝑥 = log1
2
𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ
1 2 3 4
0 𝑋
𝑌
1
2
−1
−2
1 2 3 4
0 𝑋
𝑌
1
2
−1
−2
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏:
Dom𝑓 = ℝ+ ∧ Ran𝑓 = ℝ
donde:
. Su gráfica es:
FUNCIÓN LOGARITMICAS
Funcióncreciente Funcióndecreciente
No cambiael sentido
de la desigualdad
Sí cambiael sentido
de la desigualdad
En general:
Sea 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0 . Se tiene
Si 𝑏 > 1 Si 0 < 𝑏 < 1
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
1
1
log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦
⟷ ⟷ 𝑥 > 𝑦
𝑥 < 𝑦
Son aquellas inecuaciones donde la variable se encuentra
afectada por el logaritmo.
𝐈𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫í𝐭𝐦𝐢𝐜𝐚𝐬
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬
• log2 𝑥 − 2 ≤ log2 3𝑥
• log1
5
2𝑥 − 1 > 3
• log 𝑥 < 1 + 𝑥
• log 𝑥 + log 2𝑥 + 1 ≥ 5
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐢𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫í𝐭𝐦𝐢𝐜𝐚
Tenga en cuenta los siguientes pasos:
1. Calcule el CVA (existencia de los logaritmos en los reales).
log𝑏 𝑥 ∈ ℝ 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0
2. Despeje 𝑥, usando el teorema según la base.
⟺
log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦
log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦
⟷
⟷ 𝑥 > 𝑦
𝑥 < 𝑦
Si 𝑏 > 1:
Si 0 < 𝑏 < 1:
3. Interceptelos resultados anteriores.
log𝑏 𝑥 < 𝑛 ⟷ 𝑥 < 𝑏𝑛 log𝑏 𝑥 < 𝑛 ⟷ 𝑥 > 𝑏𝑛

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ULTRARRESUMEN ALGEBRA CURSO INTEGRAL PREU

  • 1. Ecuación lineal Su forma general es: 𝐴𝑥 + 𝐵 = 0 ; 𝐴 ≠ 0 Resolver la siguiente ecuación. 𝐴𝑥 + 𝐵 = 0 𝐴𝑥 = −𝐵 𝑥 = − 𝐵 𝐴 ∴ 𝐶. 𝑆 = − 𝐵 𝐴 ECUACIONES POLINOMIALES Resolver una ecuación significa hallar su CS. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0 Resolución Porfactorización  Resuelva la ecuación 3𝑥2 − 7𝑥 + 2 = 0 Aplicando aspa simple 3𝑥2 − 7𝑥 + 2 = 0 3𝑥 𝑥 −1 −2 −𝑥 −6𝑥 −7𝑥 Ecuación cuadrática Por formula general 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0 Sea la ecuación Sus soluciones son: 𝑥 = 𝑏 ± − 2 𝑎 𝑏2− 4 𝑎 𝑐 Donde: ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 se llama "discriminante". Luego las soluciones o raíces son: 𝑥1 = −𝑏 + ∆ 2𝑎 ∨ 𝑥2 = −𝑏 − ∆ 2𝑎 3𝑥 − 1 𝑥 − 2 = 0 3𝑥 − 1 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0 𝑥1 = 1 3 ∨ 𝑥2 = 2 ∴ 𝐶. 𝑆 = 1 3 ; 2 ∴ 𝐶. 𝑆 = −𝑏 + ∆ 2𝑎 ; −𝑏 − ∆ 2𝑎
  • 2. ECUACIONES POLINOMIALES DE GRADO SUPERIOR I. ∆> 0,las raices son reales y diferentes. II. ∆= 0,las raices son reales e iguales. (la ecuación tiene solución única) III. ∆> 0,las raices no son reales. Teorema de Cardano Sean 𝑥1 y 𝑥2 las raíces de la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +𝑐 = 0 𝑎 ≠ 0; se cumple: • Suma de raíces • Producto de raíces 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝒃 𝒂 − 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝒄 𝒂 + − + Para resolver una ecuación polinomial, usaremos la factorización. Nota • 𝑥4 − 5𝑥2 + 6 = 0 • 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥 − 10 = 0 • 2𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 4 = 0 Ec. cúbica Ec. bicuadrada Ec. cuártica EjemplosEc.polinomialesde grado superior: Sea la ecuación cúbica 𝒂𝑥3 + 𝒃𝑥2 +𝒄𝑥 + 𝒅 = 0; 𝑎 ≠ 0 Suma de raíces Suma de productos binarios Producto de raíces 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑏 𝑎 − 𝑥1 𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1 = 𝑐 𝑎 𝑥1𝑥2 𝑥3 = 𝑑 𝑎 − + + − − cuyas raíces son 𝑥1, 𝑥2 y 𝑥3. Se cumple: Teorema de Cardano Análisisde las raíces 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0 Sea la ecuación cuyo discriminante es ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 se cumple:
  • 3. ECUACIONES FRACCIONARIAS • En todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 2 y coeficientes racionales, se cumple una raíz es 𝑎 + 𝑏 ⇔ otra raíz es 𝑎 − 𝑏 Donde 𝑎 ∈ ℚ y 𝑏 ∈ 𝕀 • En todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 2 y coeficientes reales, se cumple una raíz es ⇔ otra raíz es Donde 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ − 0 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 Teoremasde paridadde raíces Ejemplo: Si 7 + 4𝑖 es raíz⟷ 7 − 4𝑖 es raíz Si 2 + 3 es raíz ⟷ 2 − 3 es raíz Tienen la forma: 𝑷 𝒙 𝑸 𝒙 = 𝟎; Donde: 𝑃 𝑥 es un polinomio no nulo 𝑄 𝑥 es un polinomio, donde ° 𝑄 𝑥 ≥ 1 Ejemplos 𝑎) 2𝑥 − 1 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 𝑏) 𝑥3 − 3𝑥 + 2 4𝑥 − 1 = 0 𝑸 𝒙 ≠ 𝟎 Se resuelve de la siguiente forma: 𝑷 𝒙 𝑸 𝒙 = 𝟎 ↔ Resoluciónde ecuaciónfraccionaria 𝑷 𝒙 = 𝟎 ∧ 𝑸 𝒙 ≠ 𝟎 Ecuacionesfraccionarias
  • 4. Un alambre de 48 m se corta en tres partes; la segunda pieza mide tres veces la longitud de la primera y tercera mide cuatro veces la longitud de la segunda. ¿Cuánto mide la tercera pieza? UNMSM Luego: 𝑎 3𝑎 Resolución 4(3𝑎) 48𝑚 𝑎 + 3𝑎 + 4 3𝑎 = 48 𝑎 = 3 ∴ La tercera pieza mide:12𝑎 = 36𝑚 Dos cuerpos se mueven sobre el mismo camino en función del tiempo de acuerdo a las relaciones 𝑝1 𝑡 = 3𝑡5 + 3𝑡3 + 2𝑡2 − 𝑡 + 2 𝑝2 𝑡 = 3𝑡5 + 2𝑡3 + 7𝑡2 − 8𝑡 + 5; 𝑡 ∈ 0; 3 Siendo 𝑝1 𝑡 y 𝑝2 𝑡 los espacios recurridos en el tiempo 𝑡 (en metros y segundos respectivamente). Si al cabo de cierto tiempo recorren la misma distancia, halle esta distancia. UNMSM Resolución Como recorren al misma distancia: 𝑑 = 𝑝1 𝑡 = 𝑝2 𝑡 3𝑡5 + 3𝑡3 + 2𝑡2 − 𝑡 + 2 = 3𝑡5 + 2𝑡3 + 7𝑡2 − 8𝑡 + 5 𝑡3 − 5𝑡2 + 7𝑡 − 3 = 0 Aplicación 1 Aplicación 2
  • 5. 𝑡 − 1 𝑡2 − 4𝑡 + 3 = 0 𝑡3 − 5𝑡2 + 7𝑡 − 3 = 0 Factorizando con divisores binómicos: −5 1 7 −3 1 1 −4 3 1 −4 0 3 𝑡 − 1 𝑡 − 1 𝑡 − 3 = 0 𝑡 − 1 2 𝑡 − 3 = 0 Luego: 𝑡 = 1 ∨ 𝑡 = 3 Pero: 𝑡 ∈ 0; 3 → 𝑡 = 1 La distancia recorrida es cuando 𝑡 = 1: 𝑑 = 𝑝1 1 = 3 1 5 + 3 1 3 + 2 1 2 − 1 + 2 ∴ 𝑑 = 9𝑚 ↓
  • 6. Operaciones con Intervalos 𝐔𝐧𝐢ó𝐧 e Intersección de intervalos 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 − 𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 𝐃𝐢𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐨𝐬 Si 𝐴 = −1: 3 y 𝐵 = −5; 2 −∞ +∞ −1 3 −5 2 Halle 𝐴 ∪ 𝐵 y 𝐴 ∩ 𝐵 → 𝐴 ∪ 𝐵 = −5; 3 𝐴 𝐵 Si 𝐴 = −5; 1 y 𝐵 = 0; 4 −∞ +∞ 0 4 −5 1 Halle 𝐴 − 𝐵 → 𝐵 − 𝐴 = 1 𝐵 𝐴 𝑨 − 𝑩 • 𝐵 = −∞; −1 −∞ +∞ −1 𝐵 𝑩𝒄 ∴ 𝐵𝑐= −1; +∞ • 𝑀 = −∞; 3 ∪ 7; +∞ −∞ +∞ 3 7 𝑀 𝑴𝒄 𝑀 ∴ 𝑀𝑐= 3; 7 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: 𝑩 − 𝑨 𝐂𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐨𝐬 𝐴𝑐 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∉ 𝐴 = ℝ − 𝐴 → 𝐴 ∩ 𝐵 = −1; 2 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬: → 𝐴 − 𝐵 = −5 ; 0 ; 4
  • 7. 𝑥 𝑦 . 𝒛 ; 𝒛 < 0 Teoremas de desigualdades Sean 𝑥, 𝑦, 𝑧 números reales. Se cumple: 𝑥 < 𝑦 ⟺ 𝑥 𝑦 ± 𝒛 ± 𝒛 𝑥 < 𝑦 𝑥 𝑦 . 𝒛 . 𝒛 ⟺ . 𝒛 • 2 < 𝑥 ≤ 5 +4 ≤ 𝑥 + 4 6 < • 4 < 𝑥 ≤ 7 ×3 ≤ 3𝑥 12< • −5 ≤ 𝑥 < −2 × −2 > −2𝑥 10≥ 9 21 𝟏. 𝟐. 4 mantiene el sentido cambia el sentido < > < ; 𝒛 > 0 𝑥 𝑥−1 y tienen el mismo signo 𝟑. 1 𝑥 − 2 > 0 > 𝑥 − 2 0 1 𝑥 + 5 < 0 < 𝑥 + 5 0 • • 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ⟺ 𝟒. 1 𝑥 1 𝑎 > 1 𝑏 > mismo signo • 3 ≤ 𝑥 < 7 −1 > 1 𝑥 1 3 ≥ 1 7 −5 < 𝑥 < − 1 2 −1 > 1 𝑥 − 1 5 > −2 • 𝑥 > 3 −1 < 1 𝑥 1 3 < 0 + + •
  • 8. 𝑥2 ≥ 0 𝟓. ∀ 𝑥 ∈ ℝ: • ∀ 𝑥 ∈ ℝ ≥ 𝑥 + 3 2 0 ≥ 2𝑡 − 1 2 0 • ∀ 𝑡 ∈ ℝ → 𝑥 + 3 ∈ ℝ: → 2𝑡 − 1 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏⟺ 𝟔. 𝑥2 𝑎2 < 𝑏2 < Si 𝑎, 𝑏 son positivos 2 • 2 < 𝑥 < 5 𝑥2 22 < 52 < 𝑎 < 𝑥 < 𝑏⟺ 𝑥2 𝑎2 > 𝑏2 > Si 𝑎, 𝑏 son negativos (Se mantiene el sentido de la desigualdad) (Se cambia el sentido de la desigualdad) → 4 < 𝑥2 < 25 2 • −3 < 𝑥 ≤ −1 𝑥2 −3 2 > −1 2 ≥ → 9 > 𝑥2 ≥ 1 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ⟺ 𝑥2 0 ≤ máx 𝑎2; 𝑏2 < Si 𝑎 < 0; 𝑏 > 0 2 • −4 < 𝑥 < 3 𝑥2 0 ≤ 16 < máx −4 2;32 ✓ 2 • −7 ≤ 𝑥 < 2 𝑥2 0 ≤ 49 ≤ máx −7 2;22 ✓ 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨: Halle la variación de 𝑄 = 𝑥 − 3 2 + 5; si 𝑥 ∈ −1;6 . Resolución: Como 𝑥 ∈ −1;6 Así, 5 ≤ 𝑄 < 21→ 𝑄 ∈ 5; 21 → −1 < 𝑥 ≤ 6 → −4 < 𝑥 − 3 ≤ 3 → 𝑥 − 3 2 ≤ 0 <16 → 𝑥 − 3 2 + 5 ≤ 5 < 21 −3 2 +5 𝑄
  • 9. 1. InecuaciónLineal 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Ejemplo: , 𝑎 ≠ 0 ≶ 0 2. InecuaciónCuadrática 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 ≠ 0 ≶ 0 Resuelva la siguiente inecuación 𝑥 − 1 2 ≥ 2𝑥 3 + 5 Resolución: 𝑥 − 2𝑥 3 → 𝑥 3 ≥ 11 2 → 𝑥 ≥ 33 2 5 + 1 2 ≥ ∴ CS = 33 2 ; + ∞ 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐚 𝐢𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫á𝐭𝐢𝐜𝐚 En primer lugar debemos garantizar 𝑎 > 0, caso contrario multiplique por −1. −∞ +∞ 33 2 Inecuación Polinomial Ejemplo 𝑥2 − 13𝑥 + 22 ≥ 0 Resuelva Resolución: 𝑥2 − 13𝑥 + 22 ≥ 0 𝑥 𝑥 − 2 − 11 Puntos críticos: ∴ CS = −∞; 2 ∪ 11; +∞ + − 11 2 + 2; 11 𝑥 − 2 𝑥 − 11 ≥ 0
  • 10. Una persona fabrica un número determinado de pizarras. Si triplica su producción y vende 12, le queda más de 15. Luego fabrica 7 pizarras más y luego vende 3, tendrá entonces menos de 25 pizarras. Indique cuántas pizarras se fabricaron. Resolución: Aplicación: Sea 𝑥 el número de pizarras fabricadas incialmente 𝟏 3𝑥 − 12 > 15 ⟶ 3𝑥 > 27 ⟶ 𝑥 > 9 𝟐 3𝑥 − 12 +7 −3 < 25 ⟶ 3𝑥 − 8 < 25 ⟶ 𝑥 < 11 Luego, de 1 y 2 : 9 < 𝑥 < 11 ⟶ 𝑥 = 10 ∴ Se fabricaron 10 pizarras.
  • 11. Inecuación cuadrática 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Ejemplos: • 𝑥2 − 13𝑥 + 22 > 0 • 𝑥2 − 9 ≤ 0 , 𝑎 ≠ 0 ≶ 0 Según el análisis del discriminante, tenemos tres casos: 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐚 𝐢𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫á𝐭𝐢𝐜𝐚 En primer lugar debemos garantizar que 𝑎 > 0; caso contrario, multiplicaremos por −1. Es aquella inecuación que tiene la siguiente forma general: Caso I: Aplicación 𝑥2 − 12𝑥 + 35 ≥ 0 ∆ > 𝟎 El polinomio cuadrático 𝑃 𝑥 es factorizable en ℝ. Resuelva la inecuación Resolución: 𝑥2 − 12𝑥 + 35 ≥ 0 𝑥 𝑥 − 5 − 7 Puntos críticos: ∴ CS = −∞; 5 ∪ 7; +∞ + − 7 5 + 5 → 𝑥 − 5 𝑥 − 7 ≥ 0 Se tiene Para resolver la inecuación se aplicará el método de los puntos críticos. ; 7 • 3𝑥2 + 5𝑥 < −4 + 𝑥2 → 2𝑥2 + 5𝑥 + 4 < 0
  • 12. Resolución: Como ∆ = (−6)2−4 1 9 entonces, el polinomio cuadrático es un TCP → 𝑥 − 3 2 ∴ CS = ℝ Caso II: ∆ = 𝟎 El polinomio cuadrático 𝑃 𝑥 es un trinomio cuadrado perfecto (TCP) Aplicación 𝑥2 − 6𝑥 + 9 ≥ 0 Resuelva = 0 → 𝑥2 − 6𝑥 + 9 ≥ 0 C U R S O D E Á L G E B R A ≥ 0 Teorema del trinomio positivo En este caso podemos completar cuadrados o utilizar el Teoremadel trinomiopositivo. Dado el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 ⟺ 𝑎 > 0 𝑥2 − 2𝑥 + 5 > 0 Caso III: ∆ < 𝟎 > 0; ∀ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ∆ < 0 𝑃 𝑥 Aplicación Resuelva Resolución: Note que ∆ =(−2)2−4 1 5 < 0 = −16 → 𝑥2 −2𝑥 + 5 > 0 + ∴ CS = ℝ
  • 13. Inecuación de grado superior Tiene como forma general 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 ≷ 0 Donde: 𝑎0 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≥ 3 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬: 𝑥3 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 6 ≤ 0 𝑎) 𝑏) 4𝑥4 + 5𝑥3 − 37𝑥2 − 7𝑥 + 9 > 0 Para resolver una inecuación de grado superior, factorizamos el polinomio. 𝐀𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐜𝐢ó𝐧 Resolver la inecuación: 𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 2 < 0 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: Factorizando por Divisores binómicos ∶ 1 −3 3 −2 0 𝑥 = 2 1 2 −1 −2 1 2 → (𝑥 − 2) (𝑥2 − 𝑥 + 1) < 0 + → 𝑥 < 2 ∴ 𝐶𝑆 = −∞; 2
  • 14. C U R S O D E Á L G E B R A Inecuación fraccionaria Tiene como forma general 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) ≷ 0 • 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 son polinomios Donde • ° 𝑄 𝑥 ≥ 1 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬: 2𝑥 − 1 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ≥ 0 𝑎) 𝑥2 − 2𝑥 + 1 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 < 0 𝑏) 𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚: 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) ≷ 0 ↔ 𝑃 𝑥 . 𝑄(𝑥) ≷ 0 ∧ 𝑄(𝑥) ≠ 0 𝐀𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐜𝐢ó𝐧: Resuelva 𝑥 + 2 𝑥 − 1 ≥ 0 ↔ (𝑥 + 2) (𝑥 − 1) ≥ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≠ 0 𝑥 ≠ 1 −∞ +∞ 1 −2 → 𝑥 ∈ −∞; −2 ∪ 1; +∞
  • 15. Ejemplos 𝐸 𝑥 = 𝑥 + 3 𝐹 𝑥 = 𝑥² − 1 Ejemplo Resolución Son aquellas expresiones matemáticas que presentan al menos una de sus variables afectada por al menos un radical. CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (CVA) 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) ∈ ℝ 𝑝𝑎𝑟 𝑃(𝑥) ∈ ℝ → → 𝑃 𝑥 ≠ 0 ≥ 0 Ten en cuenta que si las expresiones son: 𝑄(𝑥) 𝐸 𝑥 = 𝑥 + 4 + 5 𝑥 − 2 ∗ 𝑥 − 2 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 2 ∗ 𝑥 + 4 ≥ 0 → 𝑥 ≥ −4 … (I) … (II) De I y II tenemos: +∞ −∞ −4 2 𝐶. 𝑉. 𝐴 = ሾ−4; ۧ +∞ − 2 Sea Expresiones irracionales
  • 16. 𝐄𝐂𝐔𝐀𝐂𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒 𝐈𝐑𝐑𝐀𝐂𝐈𝐎𝐍𝐀𝐋𝐄𝐒 Son aquellas ecuaciones en el cual se encuentran una expresión irracional. Ejemplo: Resolver 2𝑥 + 3 = 𝑥 … (𝛼) Resolución: Elevando al cuadrado 2𝑥 + 3 = 𝑥 2 2 → 2𝑥 + 3 = 𝑥2 → 0 = 𝑥2 −2𝑥 −3 → 0 = (𝑥 + 1) (𝑥 − 3) → 𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 3 Comprobando en α , se tiene que 𝑥 = 3 𝐶. 𝑆 = 3 INECUACIONES IRRACIONALES Son aquellas inecuaciones en el cual se encuentra una expresión irracional. Ejemplo Resolver: 𝑥 + 6 < 3 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: 1) Encuentra el CVA. 𝑥 + 6 ≥ 0 → 𝑥 ≥ −6 …(I) 2) Eliminar las raíces. 𝑥 + 6 < 3 2 2 → 𝑥 + 6 < 9 …(II) → 𝑥 < 3 3) Hallando el C. S. = 𝐼 ∩ (𝐼𝐼) +∞ −∞ −6 (𝐼) 3 (𝐼𝐼) → 𝐶. 𝑆 = ሾ−6; ۧ 3
  • 17. Valor absoluto 1. Definición 𝑥 = 𝑥 ൝ • ȁ𝑥2 + ; si 𝑥 ≥ 0 −𝑥 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬: ; si 𝑥 < 0 • ȁ3 Se define el valor absoluto de 𝑥 ∈ ℝ, denotado por 𝑥 , así: ൝ positivo ൝ negativo = 𝑥2 + 1 = 𝜋 − 3 2. Propiedades Si 𝑥; 𝑦 son números reales, entonces: 𝑥 ≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ −𝑥 𝑥 2 𝑥𝑦 𝑥2 𝑥 𝑦 • 2𝑥 + 1 • 5 − 𝑥 • 𝑥 − 1 2 • 𝑥 + 3 2 𝟏. 𝟐. 𝟑. 𝟒. 𝟓. 𝟔. • −2𝑥 𝑥 + 1 2𝑥 − 3 • ; 𝑦 ≠ 0 ; 𝑥 ≠ 3 2 = 𝑥2 = 𝑥2 = 𝑥 − 1 2 = − 𝑥 − 5 = 𝑥 − 5 = 𝑥 = 𝑥 + 3 = 𝑥 𝑦 = 𝑥 + 1 2𝑥 − 3 = 𝑥 ≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ = 𝑥 . 𝑦 = −2 . 𝑥 = 2 𝑥
  • 18. Ecuaciones con valor absoluto • 𝑥 + 3 = 7 𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟏 𝑥 = 𝑎⇔ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎 ; 𝑎 > 0 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬: → 𝑥 + 3 = 7 ∨ 𝑥 + 3 = −7 → 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = −10 ∴ CS = 4; −10 𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟐 𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎 • 𝑥 − 3 = 2𝑥 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬: → 𝑥 − 3 = 2𝑥 ∨ 𝑥 − 3 = −2𝑥 → 𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 1 ∴ CS = −3; 1 Inecuaciones con valor absoluto 𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝑥 < 𝑎⇔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 ; 𝑎 > 0 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬: • 𝒙 − 𝟏 < 4→ ∴ CS = −3; 5 → −3 < 𝑥 < 5 4 −4 < 𝒙 − 𝟏 < 𝑥 ≤ 𝑎⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 ; 𝑎 ≥ 0 +1 𝑥 > 𝑎⇔ 𝑥 < −𝑎 𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬: ∨ 𝑥 > 𝑎 𝑥 ≥ 𝑎⇔ 𝑥 ≤ −𝑎 ∨ 𝑥 ≥ 𝑎 −∞ +∞ 1 −7 • 𝒙 + 𝟑 > 4 → 4 𝒙 + 𝟑< 𝒙 + 𝟑> −4 ∨ → 𝑥 < −7 ∨ 𝑥 > 1 −3 ∴ CS = −∞ ; −7 ∪ 1; +∞
  • 19. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Es un conjunto de dos o mas ecuaciones lineales con dos o mas incógnitas . Ejemplos: � 𝑦𝑦2 𝑦𝑦2 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3 � 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 5 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 3 4𝑥𝑥 − 6𝑧𝑧 = 4 Solución y conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales Ejemplo: 4; 1 Los valores que cumplen son: 𝑦𝑦 = 1 La solución es el par ordenado: � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3 𝑥𝑥 = 4; Y tiene como 𝐶𝐶. 𝑆𝑆 = 4; 1 Sistemas de Ecuaciones Compatible Tiene solución Incompatible No tiene solución Determinado Indeterminado Tiene finitas soluciones Tiene infinitas soluciones 𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬
  • 20. Métodos de resolución de un S.E.L. 1. Método de eliminación o método de Gauss � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 5 • Resuelva 2𝑥𝑥 = 14 → 𝑥𝑥 = 7 En 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9 7 + 𝑦𝑦 = 9 → 𝑦𝑦 = 2 Ejemplos Su solución es el PAR ORDENADO (7;2) CS= (7; 2) 2 Método de sustitución Ejemplos � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 5 • Resuelva . . . (α) . . . (β) De (β) 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 5 Reemplazamos en (α) 𝑦𝑦 + 5 + 𝑦𝑦 = 9 2𝑦𝑦 = 4 𝑦𝑦 = 2 En 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 5 = 7 Su solución es el PAR ORDENADO (7;2) CS= (7; 2)
  • 21. SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES Son aquellos sistemas donde por lo menos una ecuación no es lineal. Ejemplos � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 13 2 𝑥𝑥 + 3 𝑦𝑦 = 5 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2 • • 𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐮𝐮𝐮𝐮 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐧𝐧𝐧𝐧 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 Existe más de una forma de resolver un sistema no lineal, donde uno de ellos es el método de sustitución. Resuelva el sistema � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 5 Ejemplo … 𝟏𝟏 … 𝟐𝟐 De 𝟏𝟏 : 𝑦𝑦 = 3 − 𝑥𝑥 Reemplazamos en 𝟐𝟐 : 𝑥𝑥2 + (3 − 𝑥𝑥)2 = 5 𝑥𝑥2 2𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 4 = 0 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 2 = 0 𝒙𝒙 𝒙𝒙 −𝟏𝟏 −𝟐𝟐 → (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2) = 0 → 𝑥𝑥 = 1 ∨ 𝑥𝑥 = 2 Así, en 𝑦𝑦 = 3 − 𝑥𝑥 Si 𝑥𝑥 = 1 ⟶ 𝑦𝑦 = 2 Si 𝑥𝑥 = 2 ⟶ 𝑦𝑦 = 1 ∴ CS= 1; 2 , (2; 1) + 9 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 5 Solución: Solución: 1; 2 2; 1 Resolución:
  • 22. SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES Es un conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales Ejemplos  � 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ≤ 6 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 < 12 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 ≥ 1  � 2𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 > 10 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 2 El par ordenado 𝑥𝑥0; 𝑦𝑦0 es solución de un sistema de inecuaciones, si verifica cada una de las inecuaciones del sistema. Resolución de un sistema de inecuaciones en ℤ Resuelva en ℤ � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 6 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 > 2 𝑥𝑥 ≤ 5 Resolución 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 6 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 > 2 Hallamos 𝒙𝒙 2𝑥𝑥 8 > 𝑥𝑥 > 4 𝑥𝑥 ≤ 5 ∧ ∧ 𝑥𝑥 ∈ ℤ 𝒙𝒙 = 𝟓𝟓 Hallamos 𝒚𝒚 En 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 6 5 + 𝑦𝑦 ≥ 6 𝑦𝑦 ≥ 1 En 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 > 2 5 − 𝑦𝑦 > 2 3 > 𝑦𝑦 ∧ 𝑦𝑦 ∈ ℤ 𝒚𝒚 =𝟏𝟏; 𝟐𝟐 Sus soluciones son: 5; 1 , 5; 2 𝐂𝐂𝐂𝐂 = { 𝟓𝟓; 𝟏𝟏 , 𝟓𝟓; 𝟐𝟐 } � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 6 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 > 2 𝑥𝑥 ≤ 5
  • 23. Definición si a cada elemento 𝒙𝒙 de 𝑨𝑨 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄: Sean 𝑨𝑨 y 𝑩𝑩 conjuntos no vacíos. La relación 𝑓𝑓 de 𝑨𝑨 en 𝑩𝑩 es una función 𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍: 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 ⟶ 𝐵𝐵 Gráficamente 𝒙𝒙 le corresponde un único elemento 𝒚𝒚 de 𝑩𝑩 tal que 𝒙𝒙; 𝒚𝒚 ∈ ℝ. 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑓𝑓 𝒚𝒚 • • Conjunto de partida Conjunto de llegada 1 𝑨𝑨 𝑩𝑩 𝑓𝑓 −2 4 5 7 0 3 8 9 𝑓𝑓 = 1; −2 ; 4; 0 ; 5; 9 ; 7; 8 • 𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝒇𝒇 • 𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝒇𝒇 Dom𝑓𝑓 = 1; 4; 5; 7 = 𝐴𝐴 Ran𝑓𝑓 = −2; 0; 8; 9 ⊆ 𝐵𝐵 Condición de unicidad de una función Sea f una función. 𝒙𝒙; 𝑦𝑦 Si ∧ 𝒙𝒙; 𝑧𝑧 ∈ 𝑓𝑓 → 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄: ∈ 𝑓𝑓 Si 𝟗𝟗; 𝑛𝑛 ∈ 𝑓𝑓 ∧ 𝟗𝟗; 4 ∈ 𝑓𝑓 → 𝑛𝑛= 4 • Sea 𝑓𝑓 una función FUNCIÓN
  • 24. 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑄𝑄 𝑥𝑥 ∈ ℝ 𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩 𝒂𝒂 ∈ ℝ 𝑄𝑄 𝑥𝑥 ≠ 0 Cálculo del dominio y rango de una función 1. Cálculo del dominio Es el conjunto formado por todos los valores reales de 𝑥𝑥; tales que la función resulte real. 𝒂𝒂 ≥ 0 ⇔ ⇔ 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄: Calcule el dominio de 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 25 − 𝑥𝑥2 + 5 𝑥𝑥 − 2 Resolución: • 25 − 𝑥𝑥2 ≥ 0 → 𝑥𝑥2 ≤ 25 → −5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5 • 𝑥𝑥 − 2 ≠ 0 → 𝑥𝑥 ≠ 2 ∴ Dom𝑓𝑓 = −5; 5 − 2 2. Cálculo del rango Es el conjunto formado por todos los valores reales de 𝑦𝑦 o 𝑓𝑓𝑥𝑥 y se obtiene (en general) a partir del dominio. 𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄𝐄 ∶ Halle el rango de la función 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1 − 18 𝑥𝑥 + 3 ; si 𝑥𝑥 ∈ ⟨−3; ] 6 Resolución: Como 𝑥𝑥 ∈ ⟨−3; ] 6 → −3 < 𝑥𝑥 ≤ 6 → 0 < 𝑥𝑥 + 3 ≤ 9 + 3 → 1 𝑥𝑥 + 3 ≥ 1 9 invertimos × −18 → − 18 𝑥𝑥 + 3 ≤ −2 + 1 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ −1 → ∴ Ran𝑓𝑓 ∈ ⟨−∞; ] −1
  • 25. 1. Función constante 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 ; 𝑘𝑘 ∈ ℝ • g 𝑥𝑥 = −3 𝐗𝐗 𝐘𝐘 −𝟑𝟑 𝐠𝐠 2. Función lineal 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ; 𝑎𝑎 ≠ 0 Grafique 𝑓𝑓𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 − 6 𝑋𝑋 𝑌𝑌 −6 3 𝑥𝑥 𝑦𝑦 0 0 −6 3 Tabulando 𝒇𝒇 Ejemplo: 3. Función cuadrática 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ; 𝑎𝑎 ≠ 0 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − ℎ 2 + 𝑘𝑘 Completando cuadrados se tiene: Vértice: 𝒉𝒉; 𝒌𝒌 Gráfica de una función Si 𝑎𝑎 > 0 Si 𝑎𝑎 < 0 𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝑉𝑉 ℎ; 𝑘𝑘 ℎ ℎ 𝑘𝑘 𝑘𝑘 𝑉𝑉 ℎ; 𝑘𝑘 𝑓𝑓mín = 𝑓𝑓máx = Parábola cóncava hacia arriba Parábola cóncava hacia abajo Punto mínimo Punto máximo Respecto a su gráfica se tiene los casos: ℎ = − 𝑏𝑏 2𝑎𝑎 ; 𝑘𝑘 = 𝑓𝑓 − 𝑏𝑏 2𝑎𝑎 Nota:
  • 26. 𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀: Se lanza una piedra al aire tal que su altura queda determinada por la función 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = −5𝑡𝑡2 + 50𝑡𝑡, donde 𝑡𝑡 es el tiempo en segundos y 𝑓𝑓 𝑡𝑡 es la altura en metros. Halle el tiempo en el que la piedra alcanza su máxima altura y cuál es dicha altura. Resolución: 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = −5𝑡𝑡2 + 50𝑡𝑡 Se tiene = − 50 2 −5 = 𝟓𝟓 ℎ La altura máxima se encuentra en el vértice tiempo altura 𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑉𝑉 5; 125 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑓𝑓 𝟓𝟓 = −5 𝟓𝟓 2 + 50. 𝟓𝟓 𝑘𝑘 = = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∴ Para 𝑡𝑡 = 5 s se alcanza la altura máxima de 125 m. � Raíces reales y diferentes Raíces reales e iguales Raíces no reales 𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝑋𝑋 𝑌𝑌 𝑋𝑋 𝑌𝑌 ∆ > 𝟎𝟎 ∆ = 𝟎𝟎 ∆ < 𝟎𝟎 𝑎𝑎 > 0 𝑎𝑎 < 0 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2 Propiedades: Sea 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ; 𝑎𝑎 ≠ 0
  • 27. Función lineal 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃 ; 𝒂 ≠ 𝟎 ; Dom𝑓 = ℝ 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 6 Para intuir sus gráficas tabularemos para algunos valores de 𝑥. ; 𝑔 𝑥 = −3𝑥 𝑋 𝑌 = T.I. Raíz = −6 3 𝑥 𝑦 0 0 −6 3 𝒇 = T.I. Raíz = 0 1 𝑥 𝑦 0 −3 1 −3 𝒈 En 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 6 En 𝑔 𝑥 = −3𝑥 𝐍𝐨𝐭𝐚: 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 − 𝒉 + 𝒌 ; 𝑎 ≠ 0 Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘 𝑉 ℎ; 𝑘 𝑉 ℎ; 𝑘 ℎ ℎ 𝑘 𝑘 𝜽 𝜽 Si 𝑎 = ±1 → 𝜽 = 90° Función valor absoluto
  • 28. 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 Grafique 𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 4 + 6 Resolución: Identificando: 𝑎 = −2 Como 𝑎 = −2, la gráfica se abre hacia abajo. ; ℎ = 4 ∧ 𝑘 = 6 Luego el vértice es: 𝑉 = 4 ; 6 𝐗 𝐘 𝟔 𝟒 −𝟐 𝟏 𝟕 𝑉 4 ; 6 Intersección con el eje 𝐘 𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 4 + 6 cuando 𝒙 = 𝟎 𝑓 𝟎 = −2 Hacemos 𝑓 𝑥 = 0 −2 𝑥 − 4 + 6 = 0 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 7 Intersección con el eje 𝐗 Función cuadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘 Su gráfica es: Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑉 ℎ; 𝑘 ℎ ℎ 𝑘 𝑘 𝑉 ℎ; 𝑘 Completando cuadrados : T.I. ⟶ 𝑐 Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘 T.I. ⟶ 𝑐
  • 29. Gráficasnotables 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: Grafique 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 1 2 3 0 𝑋 𝑌 3 −1 Resolución: → 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 2 − 1 Se tiene 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 Coordenadas del vértice: 2; −1 𝑉 2; −1 • Intersecciones con el eje 𝑌 : 𝒙 = 𝟎 = 𝟎2 − 4. 𝟎 + 3 = 𝑦 𝑓 0 → 𝑦 = 3 • Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎 𝑥 − 2 2 − 1 𝟎 = → 𝑥 − 2 2 = 1 → 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 1 Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑉 ℎ; 𝑘 ℎ ℎ 𝑘 𝑘 𝑉 ℎ; 𝑘 Observación: El vértice 𝑉 ℎ; 𝑘 es el punto más alto o más bajo, según sea la gráfica de la función 𝑓. Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑎 ≠ 0 𝑓mín = 𝑓máx = ℎ =− 𝑏 2𝑎 ; 𝑘 =𝑓 − 𝑏 2𝑎 Parábola cóncava hacia arriba Parábola cóncava hacia abajo Punto mínimo Punto máximo donde
  • 30. Raíces realesy diferentes Raíces realese iguales Raícesno reales 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 ∆ > 𝟎 ∆ = 𝟎 ∆ < 𝟎 𝑎 > 0 𝑎 < 0 𝑥1 𝑥1 = 𝑥2 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑥1 = 𝑥2 Propiedades: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
  • 31. 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 ; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 𝑓 𝑥 = 2𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ 1 2 −2 −1 0 𝑋 𝑌 1 2 4 𝑥 𝑦 −2 1/4 −1 1/2 0 1 1 2 2 4 Tabulando Es aquella función cuya regla de correspondencia es 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏: . Su gráfica es: 1 2 −2 −1 0 𝑋 𝑌 1 2 4 𝑥 𝑦 −2 4 −1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 Tabulando 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐: 𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ+ donde: . Su gráfica es: FUNCIÓN EXPONENCIAL
  • 32. Funcióncreciente Funcióndecreciente No cambiael sentido de la desigualdad Sí cambiael sentido de la desigualdad En general: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 ; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1. Se tiene Si 𝑏 > 1 Si 0 < 𝑏 < 1 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 1 1 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬: • 5𝑥 < 59 • 2𝑥 ≤ 64 • 𝑥 > 7 • 3 < 𝑥 ≤ 5 ⟷ 𝑥 9 < ⟷ 2𝑥 ≤ 26 ⟷ 𝑥 6 ≤ ⟷ 4 4 > 𝑥 7 1 2 𝑥 ≥ 1 2 11 • ⟷ 𝑥 11 ≤ ⟷ 0,2 0,2 > 3 𝑥 0,2 ≥ 5 • 𝑥 ≥ 5 ⟷ 1 3 ≤ 𝑥 5 1 3 0 < 𝑏𝑥 < 𝑏𝑦 𝑏𝑥 < 𝑏𝑦 ⟷ ⟷ 𝑥 > 𝑦 𝑥 < 𝑦 𝑦 = 𝑏𝑥 > 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ (Siendo 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1) 𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
  • 33. 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥 ; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 𝑓 𝑥 = log2 𝑥 ; 𝑥 > 0 𝑥 𝑦 1/4 −2 1/2 −1 1 0 2 1 4 2 Tabulando Es aquella función cuya regla de correspondencia es . Su gráfica es: 𝑥 𝑦 1/4 2 1/2 1 1 0 2 −1 4 −2 Tabulando 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐: 𝑓 𝑥 = log1 2 𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ 1 2 3 4 0 𝑋 𝑌 1 2 −1 −2 1 2 3 4 0 𝑋 𝑌 1 2 −1 −2 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏: Dom𝑓 = ℝ+ ∧ Ran𝑓 = ℝ donde: . Su gráfica es: FUNCIÓN LOGARITMICAS
  • 34. Funcióncreciente Funcióndecreciente No cambiael sentido de la desigualdad Sí cambiael sentido de la desigualdad En general: Sea 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0 . Se tiene Si 𝑏 > 1 Si 0 < 𝑏 < 1 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 1 1 log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 ⟷ ⟷ 𝑥 > 𝑦 𝑥 < 𝑦 Son aquellas inecuaciones donde la variable se encuentra afectada por el logaritmo. 𝐈𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫í𝐭𝐦𝐢𝐜𝐚𝐬 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬 • log2 𝑥 − 2 ≤ log2 3𝑥 • log1 5 2𝑥 − 1 > 3 • log 𝑥 < 1 + 𝑥 • log 𝑥 + log 2𝑥 + 1 ≥ 5 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐢𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫í𝐭𝐦𝐢𝐜𝐚 Tenga en cuenta los siguientes pasos: 1. Calcule el CVA (existencia de los logaritmos en los reales). log𝑏 𝑥 ∈ ℝ 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0 2. Despeje 𝑥, usando el teorema según la base. ⟺ log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 ⟷ ⟷ 𝑥 > 𝑦 𝑥 < 𝑦 Si 𝑏 > 1: Si 0 < 𝑏 < 1: 3. Interceptelos resultados anteriores. log𝑏 𝑥 < 𝑛 ⟷ 𝑥 < 𝑏𝑛 log𝑏 𝑥 < 𝑛 ⟷ 𝑥 > 𝑏𝑛